超越随机连续性的仿射过程

2022-6-10 00:31:22

超越随机连续性的仿射过程Martin KELLER-RESSEL、THORSTEN SCHMIDT和ROBERT WARDENGAKeywords：一个有效过程、半鞅、随机不连续性、度量差分方程、违约风险、利率、期权定价、公告效应、dividendsAbstract。本文研究了超越一般随机连续性假设的时间非齐次a ffne过程。在此设置中，跳跃时间既不可访问，也可预测。为此，我们在非常弱的假设下发展了有限维半鞅的一般理论。我们证明了相应的半鞅特征具有一种形式，并且条件特征函数可以用度量Riccatitype微分方程的解来表示。我们在温和的条件下证明了a ffne马尔可夫过程和a ffne半鞅的存在性，并详细阐述了包括不区分时间的a ffne过程在内的例子和应用。1、导言在可预测或预定时间跳跃的重要性在财务文献中得到了广泛认可，例如参见【28、18、1、32、31、26、11、13、30】。这是因为股票价格或其他金融时间序列出现了惊人的大幅跳跃或快速变化，这与在预定时间发布的公告相一致，因此是可预测的时间（参见，例如，[22]）。一个突出的例子是2016年6月23日欧元/英镑汇率的飙升，当时很明显，英国关于加入欧盟的公投将支持英国脱欧。此外，股价的大幅上涨往往与季度报告或盈利公告的发布同时发生。（示例见图1，进一步的实证支持参见[12]）。

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能者818

2022-6-10 00:31:25

参考文献[32]中的市场数据，研究并测试了在预定时间包含此类跳跃的计量经济学模型，另见文献[33]和文献[17，16]。虽然金融过程是利率或随机波动性的一个重要模型类别，但它们仅在随机连续性假设下考虑，这排除了在可预测时间的跳跃。本文放弃了这一假设，只在非常温和的假设下研究了一个过程，这种假设允许跳跃在可预测和完全不可访问的时间发生。一个过程的定义属性是条件特征函数的指数形式，它允许丰富的结构属性，同时保持可跟踪性，这是因为条件特征函数用有序微分方程表示，即所谓的“广义Riccati方程”。在随后的研究中，探索了进一步的应用（如[25，24，9]），以及状态空间的扩展（如[5，6]），最显著的是对[14]中的时间非均匀过程的扩展。日期：2018年12月21日。我们感谢Freiburg-Wien-Z¨urich研讨会的与会者激发了讨论并提出了非常有益的意见。2 M.KELLER-RESSEL、T.SCHMIDT和R.WARDENGAIn在[14]中的评论2.11中，作者推测，在忽略随机连续性假设的情况下，他的结果也可以在半鞅水平上得到。在这里，我们通过将[14]中的结果推广到具有奇异连续和不连续特征且只有局部可积参数的半鞅来证实这个猜想。在某些温和的假设下，这个结果被a ffene马尔可夫过程和a ffene半鞅的存在性结果所补充。此外，我们还提供了各种示例和应用程序。

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可人4

2022-6-10 00:31:28

特别是，我们提出了一个明确的期限结构框架，允许在之前固定的时间点出现不连续性。20 25 30德意志银行（关闭）2015年1月15日M"ar-15 Mai-15 Jul-15 Sep-15 Nov-15 Jan-16图1。德意志银行股票价格表。垂直线表示2013年和2014年以前年度报告中宣布的日期，例如年度和季度报告以及股东大会。我们用圆圈标记了10个最大的单日波动；其中三个（最大的、第四大和第六大的）发生在预先宣布的日期。手边的论文结构如下。下一节在说明半鞅的定义和引入某些技术假设之前，将回顾半鞅的一些事实。在证明了第一个结果后，我们在第3节中定义了良好参数集的概念，这是我们第一个主要结果的关键组成部分，即表征定理3.2。第4节讨论了αffinemarkov过程和αffinesim鞅之间的关系，以及不可分过程的重要情况。第五节证明了在一定条件下，在其好参数集上存在一个ffene马尔可夫过程和一个ffene半鞅。第6节解释了示例和应用程序，该节介绍了一个新的术语结构框架，从而结束了本文。表征和存在结果中出现的测量微分方程的详细信息，而不是[10]和[14]中出现的常微分方程，推迟到附录中。超越随机连续性的仿射过程32。预备工作2.1。一个半鞅。考虑过滤概率空间pOhm, F，F，P q，过滤F“pFtqtě0满足通常条件。如果随机过程X的所有路径都是左极限右连续的，则取其值，称为c\'adl\'ag。

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能者818

2022-6-10 00:31:31

对于c\'adl\'ag processX，我们定义了X\'和X X X'X0'“X，Xt'”lims`Otxs对于ta0，Xt“Xt'Xt'。特别注意半鞅是一个分解为X“X\'N\'M的过程X，其中XisF是可测量的，N是c\'adl\'ag，经过调整，在每个有限区间内有有限的变化路径，其中N“0和M是从0开始的局部鞅。我们将始终考虑半鞅X的c\'adl\'agversion。对于X的跳跃，我们将一个整值随机测度uXbyuXpdt，dxq”"ysě0t关联起来Xs‰0uδps，Xsqpdt、dxq；（1）这里δa是点a处的狄拉克测度。我们表示随机测度uXbyν的补偿器或双重可预测投影。这是唯一的可预测随机度量，它呈现关于uX'ν局部鞅的随机积分。我们简要回顾了著名的半鞅特征概念，参【21，Ch.II】：分解为X的半鞅X“X\'N\'M被称为特殊ifN是可预测的。在这种情况下，分解是唯一的，我们称之为正则分解。局部鞅部分M可以分解为连续的局部鞅部分，我们用Xc表示，也可以分解为纯不连续的局部鞅部分，X\'Xc。我们定义了截断函数h：Rd~nRd，这是一个满足HPXq的有界函数“x在0附近。然后是\'Xphq“sd¨pXs'hpXsqq和Xphq“X'ˇXphq都定义了d维随机过程。请注意Xphq“hpXq，这样xphq有界跳跃。由此产生的过程是一个特殊的半鞅，我们用xphq“X ` Bphq ` Mphq”表示其正则分解，具有有限变化的可预测过程Bphq和局部鞅Mphq。半鞅X的特征是三重态pB，C，νq，其中B“Bphq，C”pcijq与Cij“@Xi，C，Xj，cd和ν”νXis是等式（1）中定义的uXde的补偿器。

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2022-6-10 00:31:34

关于半鞅和随机分析的其他事实，我们参考文献[21]。设DArde为全维闭凸锥，即凸集，带正标量的闭欠乘，线性壳等于Rd。一个重要的例子是Rm>0^Rnwith m\'n“d，这在[10，14]中用作a ffneprocesses的“规范状态空间”。对于Cdwe中的u，w，集xu，wy“rdi”1 Iwiwand表示u的实部。此外，我们用u定义状态空间d的复对偶锥：“tu P Cd:xRe u，xyd0表示所有x P Du。（2）对于正则态空间U等于Cmd0^iRn，式中，Cd0“tu P C:Re ud0u，与【10】中使用的定义一致.我们现在准备陈述本文的中心定义。我们以类似的方式将此符号用于a、a或ě而不是d，并用R而不是C.4 M.KELLER-RESSEL、T.SCHMIDT和R.WARDENGADe定义2.1。设X是一个c\'adl\'ag半鞅，取D中的值。如果存在c和Cd值的确定函数φspt，uq和ψspt，uq，在u P u和φspt中连续，则过程Xis称为a ffene半鞅，0q“0和ψspt，0q”0，使得e“exu，Xty | Fs‰”exp`φspt，uq` xψspt，uq，Xsy（3）适用于所有0dsdt和u P u。此外，如果φspt，uq“φpt\'s，uqandψspt，uq”ψpt\'s，uq，同样适用于所有0dsdt和u P u，则x称为时间齐次。注意（3）的左侧由于U.备注2.2的定义，绝对值始终定义良好，并以1为界。将定义2.1与[10]（处理时间齐次情况）和[14]（处理时间非齐次情况）中对一个有效过程的定义进行比较，我们将[10，14]中的马尔可夫假设替换为半鞅假设。鉴于【10，第2.12条】，这似乎略微限制了定义的范围，因为它排除了非保守过程。

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mingdashike22

2022-6-10 00:31:37

另一方面，这也是我们论文的中心点，我们没有像[10，14]中所做的那样，对X施加随机连续性假设。事实证明，忽略这一假设会导致更大类别的随机过程，并大大扩展了[10，14]中的结果。为了继续，我们引入了一个关于支持过程X的重要条件。回想一下，支持一般随机变量X，是最小的闭集C，如P pX P Cq“1；我们用supppXq表示该集。对于集a，我们为其凸包写convpAq，即包含a的最小凸集。条件2.3。我们说一个有效的半鞅X支持全凸跨度，ifconvpspxtqq“D对于所有ta0。在条件2.3下，φ和ψ是唯一指定的：引理2.4。设X是满足支持条件2.3的一个有效半鞅。然后φspt，uq和ψspt，uq是唯一指定的（3）对于所有0asdt和u P u。证明。固定0asdt，并假设rφspt，uq和rψspt，uq在u和u中也是连续的。写出pspt，uq：“rφspt，uq'φspt，uq和qspt，uq：”rφspt，uq'φspt，uq。由于（3）它必须保持pspt，uq\'xqspt，uq，Xsy取t2πik:k P Nu a.s.@u P u中的值。然而，集合U是单连通的，因此其在连续函数下的图像也必须是单连通的。因此，uTh~npspt，uq ` xqspt，uq，Xsy在uan上是常数，因此等于pspt，0q ` xqspt，0q，Xsy“0。因此，对于所有x P suppxsq和u P u，pspt，uq ` xqspt，uq，xy”0。采用凸组合，等式可以扩展到x P D。由于D具有完整的线性跨度，我们得出结论，pspt，uq“0和qspt，uq”0适用于allu P u，完成了证明。定义2.5。如果以下条件成立，则称为拟正则半鞅：（i）函数φ和ψ在s和t中的s和c\'adl\'ag都是有限变化的。

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2022-6-10 00:31:40

更准确地说，我们假设，对于所有pt，uq P R>0^UsTh~nφspt，uq和sTh~nψspt，超过随机连续性5的uqAFFINE过程是r0，ts上有限变化的c ` adl\'ag函数，对于所有ps，uq P R>0^UtTh~nφspt，uq和tThψspt，uqare c ` adl\'ag函数在rs，8q上。（ii）对于所有0asdt，函数suTh~nφs'pt，uq和uThψs'pt，uqa在u上连续。备注2.6。定义2.5应与【10】和【14】中规定的假设进行比较。这两篇论文都定义了技术“规律性条件”。在[10，14]中，由于X的随机连续性，φ和ψ在其第一个参数中是自动连续的。此外，它们被假定为连续可从右侧区分，导数在u中是连续的。因此，（i）和（ii）明显比[10]或[14]中的正则性假设温和。2.2. 关于φ和ψ的第一个结果。我们继续展示（3）中关于函数φ和ψ的第一个分析结果。引理2.7。设X是满足支持条件2.3的a ffne半鞅。然后，（i）对于所有0asdt，（ii）φ和ψ满足半流性质，即对于所有0asdt和u P u，φspt，uq“φrpt，uq`φspr，ψrpt，uqq，φtpt，uq“0ψspt，uq”ψspr，ψrpt，uqq，ψtpt，uq”u.（4）证明。为了显示第一个性质，回想一下等式（3），我们有“exu，Xty | Fs‰”exp\'φspt，uq` xψspt，uq，Xsy（5）对于所有u P u和0dsdt。自xRe u，Xtyd0，a.s.以来，左侧以绝对值的1为界。因此，对于所有x P suppxsq，也可以使用φspt、uq\'xReψspt、uq、Xsyd0、a.s.和相应的φspt、uq\'xReψspt、uq、xyd0。取这些不等式的任意凸组合，并使用条件2.3的convpuspppxsqq“D，我们得到该不等式实际上必须对所有x P D都成立。

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2022-6-10 00:31:44

由于Dis是圆锥，这意味着Reφspt，uqd0和ψspt，uq P U，证明（i）。为了显示半流量方程，我们将迭代期望应用于（5）的左侧，yieldingE“E”exu，Xty | Fr‰| Fs‰“E”exp `φrpt，uq ` xψrpt，uq，XryFs‰”“exp `φspr，uq `φspr，ψrpt，uqq ` xψspr，ψrpt，uqq，Xsy。请注意，右侧的指数在u中是连续的，并且（5）的保持不变。通过与引理2.4中相同的论证，我们得出结论：φspt，uq ` xψspt，uq，xy“φspr，uq`φspr，ψrpt，uqq` xψspr，ψrpt，uqq，xy，对于所有x P D。由于D的线性壳是rds，半流方程（4）如下。注意，终端条件ψtpt，uq“u和φtpt，uq”0是e r exppxu，Xtyq | Fts”exppxu，Xtyq和引理2.4的唯一性的简单结果。6 M.KELLER-RESSEL、T.SCHMIDT和R.WARDENGARemark 2.8。请注意，由于条件2.3不适用于X的初始值Xof，s“0被排除在半流方程之外。然而，一旦施加准正则性，φ和ψ的c’adl’ag特性立即允许将半流方程也扩展到s“0.备注2.9。为了更简洁地表达半流方程，有时可以方便地引入以下‘大流’符号。定义setpU：“Cd0^U，并用pu”pu、uq表示其元素。定义ψspt、puq：“^φspt、uq\'Uψspt、uq˙。引理2.7的第（i）部分等同于UThИψspt、uq mapspU topU和第（ii）部分的主张对于所有0asdrdt和pu-PpU，等价于ψspt，puq“ψspr，ψrpt，puqq，ψtpt，puq”pu。引理2.10。设X为拟正则半鞅。然后，E“exu，Xt'y'Fs‰”exp'φspt'，uq'Xψspt'，uq，Xsy'，@0dsat，u P u。（6）E“exu，Xty”| Fs'''exp`φs'pt，uq` Xψs'pt，uq，Xs'y'，@0asdt，u P u。

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2022-6-10 00:31:47

（7）如果X除满足支撑条件2.3外，还保持E“exu，Xty | Ft''exp `'φtpt，uq'xψtpt，uq，Xt'y，@pt，uq P R>0^U。（8）证明。第一个表达式（6）后面是（3）两侧t的左极限。在右侧，极限由t中φ和ψ的c\'adl\'ag性质很好地定义。在左侧，支配收敛和X收益率的c\'adl\'ag性质（6）。方程（7）来自一个类似的论点，现在在s中取左极限。事实上，请注意，对于任何可积随机变量，Y鞅收敛产生lim'O0E“Y | Fs'”‰“E”Y | Fs'‰。方程式（8）在s”t处计算（7），并注意到φtpt，uq“φtpt，uq'φt'pt，uq”'φt'pt，uq，和ψtpt，uq“ψtpt，uq'ψt'pt，uq“u'ψt'pt，uq，根据表2.7。引理2.11。设X是一个满足支持条件2.3的拟正则半鞅。然后，（i）对于所有ps，uq P R>0^U函数stTh~nφs'pt，uq，tTh~nψs'pt，uqare c'adl'ag on rs，8q。（ii）“双极限”φs'pt'，uq和ψs'pt'，uq得到了很好的定义，并且独立于极限的顺序，即lim'O0ψs'pt', uq“limΔ'O0ψs'δpt'，uq，φ的情况类似。（iii）当s被s'替换或t被t'（或两者）替换时，半流方程（4）仍然成立。（iv）对于所有0asdt和u P u仿射过程，它认为e“exu，Xt'y''Fs''exp'φs'pt'，uq'xψs'pt'，uq，Xs y'728；，对于所有随机连续性7（v）以外的所有0asdt和u P u仿射过程u P u和0dsat它认为φspt，uq“φsps，ψspt，uqq，ψspt，uq“ψsps，ψspt，uqq。（9）证明。我们只展示了ψ的权利要求（i）、（ii）和（iii）。证明可以很容易地扩展到φ，例如通过使用备注2.9中的“大流量”参数。

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2022-6-10 00:31:50

为了在（i）中显示正确的连续性，wewritelim'O0ψs'pt `, uq“lim'O0ψs'pt，ψtpt `, uqq“ψs''t，lim'O0ψtpt `, uq‘“ψs'pt，ψtpt，uqq”ψs'pt，uq。这里，我们使用了流动性质，ψs'pt，uq in u的连续性，以及ψspt，uq in t的右连续性。至于左极限，等式lim'O0ψs'pt', uq“lim'O0ψs'ps，ψspt', uqq“ψs''s，lim'O0ψtpt', 此外，ψs′、ψspt′、uqq表明存在左极限。此外，ψs′、ψspt′、uqq“limΔ'O0ψs′δps、ψspt′、uqq“limΔ'O0ψs'δpt'，uqq表明了（ii）中极限的可交换性。权利要求（iii）源自半流方程（4），取s中的左极限、t中的左极限或两者。类似地，权利要求（iv）源自（6通过在s中取左极限，或从（7）中取左极限通过取t中的左极限，对于（v），我们将半流动特性（4）应用于r“s，并获得φspt，uq“φspt，uq'φs'pt，uq”φsps，ψspt，uqq'φs'ps，ψspt，uqq和（9）的第一部分如下。第二部分类似。3、仿射半鞅的特征在本节中，我们通过半鞅的特征以及系数φ和ψ的广义测度Riccati方程导出了一个半鞅的表示。事实证明，一类半鞅实质上概括了一类随机连续的一类过程：首先，允许在固定的时间点跳跃，其次，跳跃高度可能取决于过程的状态。自始至终，我们将使用简写符号α“pα，’αq表示一般的d `一维向量α“pα，…，αdq。此外，我们用Sd `表示对称正半有限d^d矩阵的凸锥。给定半鞅X的特征pB，C，νq，回想一下[21，等式II.1.23，属性II.2.6]，C总是连续的，Bc可以分解为B“Bc `''B

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可人4

2022-6-10 00:31:53

此外，也可以用j定义“连续部分”νcofν：“tpω，tq:νpω，ttu，Dqa0uνcpω，dt，dxq:”νpω，dt，dxqIJ{pω，tq.（10）最后，如果一个人选择了特性的“好版本”（就像我们一直做的那样），那么Bt“zDhpxqνpttu，dxq，（11），其中h是跳跃的截断函数；参见[21，Prop.II.2.9]。我们介绍了以下定义，这将需要用于表述我们的主要结果。8 M.KELLER-RESSEL，T.SCHMIDT和R.WARDENGADe定义3.1。设A是具有连续部分A和跳跃点JA的非递减c\'adl\'ag函数：“ttě0|在a0u。设pγ，β，α，uq“pγi，βi，αi，uiquipt0，…，dube函数说明γ：Rě0^U尼C，(R)γ：Rě0^U尼Cd，βi：Rě0尼Rd，αi：Rě0尼sdpuipt，¨qtě0是Dzt0u上的Borel测度族（可能有符号）。如果对于所有i p t0，…，du，（i）αi和βi是局部可积的w.R..Ac，（ii）对于所有紧集KADzt0u，up¨，Kq是局部Ac可积的。（iii）γpt，uq“0对于所有pt，uq P pRě0zJAq^U.定理3.2.设X是一个满足支持条件2.3的拟正则半鞅。然后存在一个好的参数集pA，γ，β，α，uq，使得X w.r.t的半鞅特征pB，C，νq。截断函数h满足，P-a.s.对于任何ta0，Bctpωq“zt`βpsq\'d"yi”1Xisωqβipsq；dAcs（12a）Ctpωq“zt`αpsq` d"yi”1Xis'pωqαipsq'dAcs（12b）νcpω，ds，dxq'ups，dxq'd"yi”1Xis'pωquips，dxq'dAcs（12c）d'exu，ξy'1'νpω，ttu，dξq'expγpt，uq'd"yi”1xXit'pωq，'γipt，uqy'''1'。

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2022-6-10 00:31:56

（12d）此外，对于所有pT，uq P p0，8q^U，函数φ和ψ是绝对连续的w.r.t a，并求解以下广义测度Riccati方程：它们的连续部分满足φctpT，uqdAct“'F pt，ψtpT，uqq，（13）dψctpT，uqdAct”'Rpt，ψtpT，uqq，（14）dAc-a.e.，其中F ps，uq“xβpsq，uy'xu，αpsqy'd'exx，uy'1'xhpxq，uy'ups，dxqRips，uq“xβipsq，uy'xu，αipsquy'd'exx，uy'ips，dxq，（15）而他们的跳跃由φtpT，uq“'γpt，ψtpT，uqqψtpT，uq“'”γpt，ψtpT，uqq，（16）及其终端条件为φtpT，uq“0和ψtpT，uq”u。（17）备注3.3。请注意，参数集pA，γ，β，α，uq不是唯一确定的：实际上，考虑一些递增函数，例如A！A和写入g“关于A相对于A的RadonNikodym密度的dAdAfor。很容易看出，对于替代参数集pA，γ，gβ，gα，guq，定理的所有陈述都是正确的。超越随机连续性的仿射过程9备注3.4。我们期望定理3.2可以通过添加“第四特征”（参见[37]和[3]）扩展到一个具有爆炸或杀死的半鞅，具有类似于（12）的分解。这里将不讨论相应结果的严格公式，而是留给未来的研究。在固定时间发生的a ffine半鞅跳跃的分布可以直接描述如下。引理3.5。设X是满足支持条件2.3的拟正则半鞅，对于任意pt，uq P p0，8q^U，zD′exu，ξy′1′νPω，其特征为pB，C，νq.（i）；ttu，dξq“exp''”φtpt，uq'xψtpt，uq，Xt'y'1。（18）（ii）设置jν：“tta0:Ppνpω，ttu，Dqa0qa0uJφ，ψ：”tta0:D u p uφtpt，uq‰0或ψtpt，uq‰0u。（19）然后Jν“Jφ，ψ。（iii）设置γpt，uq”φtpt，uq和‘γpt，uq’’ψtpt，uq。

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2022-6-10 00:31:59

然后（12d）和（16）保持正确，并且γ“pγ，’γq是定义3.1意义上的一个好参数，无论何时JνAJA.Proof。通过定义，νpttu，dξq是δ的双重可预测投影Xtpdξq使得（根据命题II 1.17 in【21】）zD'exu，ξy'1'νpω；ttu，dξq“E”'exu，Xty 1英尺。结合（8），权利要求（i）如下。对于（ii），设t P Jν。然后，存在一个u P u，使得（18）的左侧非零。因此，右侧也是非零的，我们得出结论φtpt，uq‰0或ψtpt，uq‰0。因此，t P Jφ，ψ，JνDJφ，ψ。对于另一个方向，让t P Jφ，ψ并选择一个u P u，使得φtpt，uq‰0或ψtpt，uq‰0。结合X上的条件2.3，我们得出结论，（18）的右侧是非零的，具有严格的正概率。左手侧也必须如此，我们得出结论，t P Jν，因此Jν“Jφ，ψ。对于（iii）而言，γ的定义方式是（18）变成（12d）。跳跃方程（16）是（9）的直接结果。如果JνJA，则γpt，uq“0，无论何时t R JA，γ都是一个好参数。现在，我们关注半鞅特征的连续部分，并作出以下定义：对于特征为pB、C、νq的任何一个半鞅X，对于pT，uq P R>0^U，我们定义了r0，T s byGpdt，ω，T，uq：“xψt，dBctpωqy\'xψt，dCtpωqψty`（20）`D'exψt，ξy'1'xψt，hpξqy'νcpω，dt，Dξq，其中我们写ψt：”ψtpT，简称uq。引理3.6。设x是一个准正则半鞅，具有其特征pB，C，νq，Let pT，uq P p0，8q^U和Let Gpdt，ω，t，uq是（20）中定义的复杂值和度量. 它认为GPDT；ω、 T，uq\'dφctpT，uq\'xXtpωq，dψctpT，uqy“0，P'a.s，（21）10 M.KELLER-RESSEL，T.SCHMIDT和R.WARDENGAas在r0上的度量之间的恒等式，T s.证明。

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2022-6-10 00:32:02

对于pT，uq P p0，8q^U考虑过程mu，Tt：“E”exu，XTyˇFti“exp pφtpT，uq\'xψtpT，uq，Xtyq t p r0，t q，这是一个c\'adl\'ag鞅，终值为Mu，TT”exppxu，Xtyq。为了缓解这种情况，我们考虑pT，uq固定并写入pT“Mu，TT”exp pφt\'xψt，Xtyq，φt：“φtpT，uq和ψptq：”ψtpT，uq。将It^o公式应用于半鞅（参见[21，Prop对于M，我们得到一个分解mt“Lt` Ft，其中L是局部鞅，F是可预测的有限变分过程Ft：”“ztMs'”dφcs'xXs'，dψcsy'xψs'，dBsy'xψs'，dCsψs'y（22）'d'eφs′xψs，Xs'′ξy′xψs'，Xs'y′1′xψs'，hpξqy′νpω，ds，dξq*。跳跃部分F因引理3.5和（11）而消失，剩下的是连续部分ft“Fct”ztMs'“dφcs\'xXs'，dψcsy\'xψs'，dBcsy\'xψs'，dCsψs'y\'d'exψs'，ξy'1'xψs'，hpξqy'νcpω，ds，dξq*。回想一下，M是鞅，因此，在r0，T s，P-a.s上的M“L和F”0可以重写。asFt公司“ztMs'tdφcs'xXs'，dψcsy'Gpds；ω，T，uqu。由于没有出现在电荷点上方的度量值，左极限Xs'，ψs'可以被右极限Xs，ψs替代。此外，Ms'在任何地方都是非零的，（21）紧随其后。为了有效地利用支持条件2.3，我们引入了以下约定：给定一个半鞅X，一个元组X“pX，…，Xdq表示X的d`1个随机独立副本。形式上，元组X可以在乘积空间p上实现Ohmpd\'1q、Fbpd\'1q、pFbpd\'1qtqtě0q配备相关产品测量。此外，对于任何点ξ，ξdin Rd，我们定义了pd\'1q^pd\'1q矩阵XHPξ，ξnq：“1ξJ……1ξJn……23）矩阵值过程是通过在H中插入X”pX，…，Xdq形成的，即我们设置了Θtpωq“HpX，…，Xdq”1 XtpωqJ……1 XdtpωqJ……24）超越随机连续性的仿射过程11引理3.7。

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能者818

2022-6-10 00:32:06

设sa0和X是满足支持条件2.3的aane半鞅。那么就有了 a0和集E P Fswith P pEqa0，使得矩阵Θtpωq和Θt'Pωq；对于所有pt，ωq P ps，s都是正则的`q^E.证明。定义第一次命中时间τ：“infttas：Θtsingular，或Θt'singularu。由于奇异矩阵集是Rpd'1q^pd'1q矩阵向量空间的闭子集，τ是一个停止时间，参见[34，Thm.1.4]。此外，通过单调收敛，对于所有t P P，wehavelimn~n8P'和Θt'正则，s'1{nq'limn 8Ppτ283s'1{nq公司“Ppτasq.如果我们可以证明Ppτasqa0，那么通过选择足够大的N并设置 “1{N和E”tτs\'1{N u.但通过X的右连续性，集合tω：τpωqasui等于tω：Θspωq是正则的，它仍然表明Θ是正则的，具有严格的正概率。通过条件2.3，它认为convpsuppxsqq“D，我们可以找到1个凸独立点ξ，…，ξdin suppxsq。回顾（23）中H的定义，可以得出Hpξ，ξdq是正则的。由于正则矩阵集是开放的，我们发现δa0，因此即使Hpy，ydq对于所有yiP Uδpξiq，i p t0，…，都是正则的，du，其中uδpξiq是半径δ以ξi为中心的开放球。现在，通过独立于X，Xd，它遵循p pΘsis regularqěp'XisP Uδpξiq@i p t0，du“d'zi”0PpXsP Uδpξiqq。由于对于每个i p t0，…，du Uδpξiq在Xsis支持下的交集非空，所有概率都是严格正的，证明是完整的。与（24）中定义的Rpd\'1q^pd\'1q值过程pΘtqtě0类似，我们从方程（20）中定义了复数随机测度Gpdt，ω，T，uq的独立副本，并用G，分别为Gd。

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2022-6-10 00:32:09

使用此符号，对于任何pT，uq PR>0^U，d′1对应的方程（21）可以用矩阵向量形式写成Θtpωq¨dφctpT，uqdψc，1tpT，uq。。。dψc，dtpT，Gpdt；ω，T，uq…Gdpdt；ω，T，uq（25）它将P-a.s.作为r0，T s上复值测度之间的恒等式。nextLemma给出了定理3.2连续部分的“局部”版本。引理3.8。设X是满足支持条件2.3的拟正则a ffne半鞅，设τP p0，8q是确定性时间点。然后存在一个区间τ：“pτ，τ`q、在哪里 “ pτqa0，以及Iτ上的良好参数pAc、β、α、uq。对于这些参数，以及（15）中的F和R，度量Riccati方程（13）和（14）适用于每个pT，uq P R>0^U和t P IτX r0，t s。如果没有一个点可以表示为剩余点的凸组合，则称为凸独立点集。12 M.KELLER-RESSEL、T.SCHMIDT和R.WARDENGARemark 3.9。我们强调，在这个引理中，参数pAc、β、α、uq以及函数F和R可能依赖于τ。对于半鞅X，存在一个c\'adl\'ag，递增的，可预测的，R>0值的过程a，从0开始，具有连续部分Ac，这样X的半鞅特征可以相对于a“分解”。对于特征的连续部分pBc，c，νcq，这意味着表示bct“ztbsdAcsCt”ztcsdAcs（26）νcpω，dt，dxq“Kω，tpdxqdActpωq，其中b和c是可预测的过程，Kω，tpdxq是从Ohm ^R>0，具有可预测的σ-代数，to（Rd，B pRdqq；参见[21，Prop.II.2.9]了解更多详细信息。证明。设X，…，Xdbe d\'1 X的随机独立副本。表示Xiby pBi，Ci，νiq和define Gipω；t，t，uq的半鞅特征，如（20），i“0，…，d所示。

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大多数88

2022-6-10 00:32:12

半鞅特征pBi，Ci，νiq可以分解为（26）。由于我们只考虑半鞅的有限集合，我们可以假设每个Xi的过程Acspωq是相同的。根据引理3.7，存在区间Iτ“pτ，τ`q 和一个集E P F，其ppeq为，并且使得所有pt，ωq P IτE的Θtpωq都是可逆的。将左侧的（25）与该矩阵的逆相乘，得到dφctpT，uqdψc，1tpT，uq。。。dψc，dtpT，uq媫媫媫媫媫媫媫媫媫媫媫媫媫媫媫媫媫媫媫Gpdt；ω，T，uq…Gdpdt；ω，T，uq媫媫媫媫媫，（27）作为所有ωP E的Iτ上复值度量之间的恒等式。由于ppea0，我们可以选择（27）适用的某些特定ωP du得出结论，也就是（27）的左手侧对于Acon Iτ是绝对连续的。用pbi、ci、Kiqt表示Xi的分解半鞅特征，如（26）所示。注意，随机测量Gipdt；ω、 T，uq线性依赖于pbi，ci，Kiq，根据（27）建议将线性变换Θtpωq'1直接应用于分解半鞅特性。在ω处进行评估，因此我们确定了确定性函数pβi、αi、uiquipt0，。。。，duon Iτ通过设置`β，β，βdJt：“t'pωq'1'b，b，…，bd'Jtpωq'αkl，αkl，…，αdkl'Jt：“t'pωq'1'ckl，ckl，…，cdkl'Jtpωq，k，l p t1，…，du，ud'Jt：“t'pωq'1'k，k，…，Kd 728; Jtpωq。超越随机连续性的仿射过程13使用这些参数，可以在Iτ上定义函数F，R，如（15）所示。结合（27）因此dφctpT，uqdψc，1tpT，uq。。。dψc，dtpT，uq媫媫媫媫媫媫媫媫媫媫媫媫媫媫媫媫媫媫媫媫媫媫媫媫媫媫媫媫媫媫媫媫媫媫媫媫23iτ上的（13）和（14）。Thm证明。

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2022-6-10 00:32:15

3.2. 我们首先考虑Riccati方程的连续部分，然后处理它们的跳跃。将引理3.8应用于每个τP p0，8q，我们得到了一系列区间Iτ，每个区间都有非空的内部Iτ，使得pIτqτPp0，8q是正半线p0，8q的开盖。由于R>0可以被紧集耗尽，这样的覆盖有一个可数子覆盖S。对于每个区间I P S，引理3.8关联了良好的参数SPAC，I，βI，αI，νIq。根据S的可数性，存在一个连续的公共支配函数Ac:R>0尼R>0，这样Ac，I！Ac对于所有I P S.如备注3.3所述，从Ac开始，Ito Ach仅为将所有参数乘以Radon NikodymderivativedAc，IdAc的影响。因此，我们可以在不丧失一般性的情况下假设Ac，I“Acfor eachI P S。现在，I和I是两个具有非空交点的区间，取自可数子覆盖S。用pAc、β、α、uq和pAc、~β、~α、~uq表示通过应用引理3.8和pF、Rq和PF为这些区间获得的相应参数集，~Rq表示由（15）定义的相应函数。如果它们是自由的，我们说这两个参数集是兼容的（达一个dAct nullset）在交点I XI上。一旦我们展示了轨道间隔I和I的兼容性，很明显，我们可以找到一个好的参数集pA、β、α、uq，定义在整个实数半直线R>0上，这样Riccati方程（13）和（14）就成立了。为了压缩符号，我们引入了向量ψctpT，uq：“dφctpT，uqdψc，1tpT，uq…dψc，dtpT，uq媫媫，Rpt，uq：”F pt，uqRpt，uq…Rdpt，uq媫，Rpt，uq：“F pt，uq媫Rpt，uq…媫Rdpt，uq媫媫媫。在区间I上应用方程式（28）一次，在区间I上应用一次关于▄I yieldsRpt，ψtpT，uqqdAct“dψctpT，uq”▄Rpt，ψtpT，uqdact，t P I X▄I X r0，t s.（29）设T^E是R＞0^U的可数稠密子集。

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2022-6-10 00:32:18

将并集置于可数集T^E上，我们从（29）thatRpt，ψtpT获得，uqq“~Rpt，ψtpT，uqq表示所有pT，uq P T^E和T P pI XI X r0，T sqzN，（30），其中N是dAct零集，与pT，uq无关。下一步是在T“T”处‘评估’（30），并通过在可数集T中取限制来使用该ψtpT，uq”u。观察其作为L’evy Khintchine形式的函数（参见（15）)在u中，Thf和R都是连续的。通过T在R>0中的密度，我们可以找到一个序列pTnqDTsuch，Tn'OT为n~n8。再加上ψtpT的右连续性，uq in T this yieldsRpt，uq“limn~n8Rpt，ψtpTn，uqq”limn~n8Rpt，ψtpTn，uqq“Rpt，uq，（31）14 M.KELLER-RESSEL，T.SCHMIDT和R.WARDENGAfor for all u P E。利用u中F和R的连续性，方程（31）可以从稠密子集E扩展到所有u。众所周知，L'evy Khintchine form的函数唯一地确定其参数三元组，参见[36，Thm.8.1]。因此，我们可以得出结论βIt It“~βit，αit”~αit，uit”~uit，对于每个i P t0，…，du和t P i X▄i，除了dAct nullset N。这是所需的兼容性属性，显示了良好参数pAc，β，α，νq的存在。我们现在转向半鞅特征pB，C，νq和show（12a），（12b）和（12c）的连续部分. 为此，fix pT，uq P R>0^U，设pb，c，Kq为x的连续半鞅特征，相对于递增的可预测过程Actpωq分解，如（26）所示。对于每个ωPOhm, 将Actpωq“ztaspωqdAct ` Stpωqf写入Actpωq关于Act的Lebesgue分解。此外，定义了ω，t，t，uq：“xψt，btpωqy ` xψt，ctpωqψty`（32）`D'exψt，ξy'1'xψt，hpξqy'Ktpω，Dξq，可以视为（20）的分解类似物。

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mingdashike22

2022-6-10 00:32:21

结合（25）和theRiccati方程，我们得到了Θtpω；xq–Rpt，ψtpT，uqdact“gpω，t，u，t qatpωqdAct ` gpω，t，u，tqdStpωq（33），对于所有pT，uq P R>0^u和t P r0，t s。通过Lebesgue分解的唯一性，我们得出以下结论：#atpωqgpω，t，t，uq“Θtpωq¨Rpt，ψtpT，uqq，dAct'a.egpω，t，t，t，uq”0，dStpωa.e.（34）与证明的第一部分一样，我们考虑了R>0^U的可数稠密子集T^E。取T^E中所有pT，uq的并集，并重复（31）的密度参数，我们找到一个dAct nullset和一个dStpωq nullset N，这样#atpωqgpω，T，T，uq“Θtpωq¨Rpt，uq，对于所有t P R>0zN，u P Egpω，t，t，uq”0，对于所有t P R>0zN，u P E.（35）作为u的函数，两边都是L’evy Khintchine形式。此外，E在u中是稠密的，这允许我们从第一个方程得出结论，atpωqbtpωq“Θtp q¨Pβt，…，βdtqctpωtp q”ωq¨Pαt，…，αdtqatpωqKtpωq“Θtpωq–puc，0t，…，uc，dtqfor all t p R>0zn，从第二个方程得出，btpωq“0，ctpωq”0，Ktpωq“0，dStpωq'a.e.与Actpωq积分并相加产量（12）.请注意，我们的论证不需要ωTh~naspωq或ωTh~nStpωq的可测性。随机连续性之外的仿射过程15为了总结证明，我们最终转向不连续部分。注意引理3.5已经为我们提供了参数γ、集合Jν以及（12c）和（16）的有效性。利用证明第一部分的连续递增函数Ac，并在每次t P Jν插入严格正高的跳跃，我们得到了一个具有连续递增函数Ac和跳跃集JA的递增函数A“Jν。请注意，跳跃的高度是任意的；例如，可以取可和序列p2'nqnpnca的值。在定义3.1的意义上，pA、γ、α、β、uq现在是一个很好的参数集，定理3.2的所有部分都已完成。4.

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2022-6-10 00:32:24

仿射马尔可夫过程和无限可除性集X是D中的马尔可夫过程（可能是非保守的），其过渡核ps、tpx、Bq定义为所有0dsdt、X P D和B P BpDq。以下定义与【10，定义2.1】相同。定义4.1。如果存在C值函数φ，ψ，使得X的转移核满足zDexu，ξyps，tpx，dξq“eφspt，uq`xψspt，uq，xy，（36）对于所有0dsdt，px，uq P d^U。在温和的条件下，一个半鞅也是一个有效的马尔可夫过程。首先，请注意，对于每个半鞅，我们可以通过考虑正则条件分布sp pXtP B | Xsq”ps，将所有0dsdt，B P BpDq和x P suppxsq的转移核ps，关联到每个半鞅tpXs，Bq。（37）由（3）决定，核将满足（36）的所有x P suppxsq，半流方程（4）提供了核ps，tpx的查普曼-科尔莫戈罗夫方程。q、还有待证明的是，转移核族和（36）的有效性可以从supppXsq扩展到D。除了平凡的条件SUPPXSQ之外“D对于所有sa0，我们可以给出以下有效条件：定义4.2。如果正则条件分布ps、tpXs、.q是任何0dsdt引理4.3的D、P-a.s上的可整除概率测度，则称为半鞅X为不可整除。设X为满足支持条件2.3的拟正则半鞅。假设（i）supppXtq“对于所有ta0，D或（ii）X是可整除的。那么X可以通过状态空间D证明实现为一个保守的马尔可夫过程。它有助于证明（36）的右侧是所有X P D和0asdt的概率测度D的傅立叶变换。事实上，如果族pps，tq0dsdtsatis（36），这些流动方程（4）确保其满足查普曼-科尔莫戈罗夫方程。

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mingdashike22

2022-6-10 00:32:27

通过Kolmogorov存在定理（参见，例如，[23，定理8.4]），这保证了具有转移核pps，tq0dsdt的唯一马尔可夫过程的存在。q是半鞅X的传递核，由（37）定义。注意，根据a ffene性质（3），这些核对于所有x P suppxsq满足（36），并且仍然需要将恒等式扩展到所有x P D.16 M.KELLER-RESSEL、T.SCHMIDT和R.WARDENGAIn情形（i），这对于sa0来说是微不足道的，由于supppXsq“D”。在情况（ii）中，通过有限整除性，对于任何λP p0，1q，都存在一个概率核ppλqs，tpx，.q，使得zDexu，ξyppλqs，tpx，Dξq“eλφspt，uq`xψspt，uq，λxy。（38）固定x，y P supppXsq，λP p0，1q，并让z“λx` p1'λqy”是x和y的凸中点。在z处，我们定义ps，tpz，.q以下内容：“pλs，tpx，.q媫pp1'λqs，tpy，.q，其中媫表示度量的卷积，并获得zDexu，ξyps，tpz，dξq”eφspt，uq'xψspt，uq，λx'p1'λqyy”eφspt，uq'xψspt，uq，zy（39），即（36）已扩展到x和y的凸中点z”λx'p1'λqy。根据条件2.3，我们对所有sa0进行convpsupppXsqq“d，显示（36），但时间点s”0除外。在这两种情况下（i）（ii）我们最终可以使用φ，ψ的准正则性性质，通过从右边取极限，立即将（36）扩展到s“0。结果表明，有限整除性对一个半鞅的结构有着更强烈的影响，特别是在确定性跳跃时间JA。引理4.4。设X是满足支持条件2.3的不可整除拟正则半鞅。然后的条件分布Xtgiven Xt'对于任何tě0都是P-a.sin不可整除的。此外，定理3.2中的参数γ“pγ，γ，…，γdq具有以下形式：对于任何t p ja和i p t0。

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2022-6-10 00:32:30

，du，存在▄βiptq P Rd、▄αiptq P sda和（可能有符号的）Borel度量▄uipt。q在Dzt0u上，因此γipt，uq“Aβiptq，uE'xu，'αiptqy'D'exx，uy'1'xhpxq，uy'''uipt，dxq，（40）对于所有u P u证明。使用引理3.5和定义2.5中的准正则性，我们可以编写“exu，Xty'''Ft''''exp P'”φtpt，uq'xψtpt，uq，Xt'yq“”lims`Otexp pφspt，uq'xψspt，uq，Xsyq“lims`OtzDexu，ξyps，tpXs，dξq。请注意，右侧是d上不可整除测度的傅里叶-拉普拉斯变换的极限。左侧是Xt分布的傅里叶-拉普拉斯变换，有条件地在Ft'上，我们得出结论，该分布也必须是不可整除的。通过引理3.5γpt，uq”φtpt，uq和γipt，uq“\'ψitpt，uq表示所有i P t1，杜。然后，分解（40）遵循L’evy Khinchtine公式，用于不可分割分布。回顾定义3.1中对良好参数集pA、γ、β、α、uq的定义，并注意函数βptq、αptq和upt。q仅定义为Ac零集。特别是，我们可以在任何跳跃点t P ja修改β、α、u，而不影响定理3.2的有效性。根据γ的分解（40），这表明以下定义：定义4.5。设pA，γ，β，α，uq是满足支持条件2.3的拟正则有限可微半鞅X的良好参数集。我们通过设置αiptq来增强函数β、α、u”在▄αiptqβiptq〃处在￠βiptq（41a）uipt，dξq“对于所有t P JA，i P t0，…，在|uipt，dξq处，du，（41b）超越随机连续性17的仿射过程，如引理4.4中所示，具有▄α，▄β，▄u，并将pA，β，α，uq称为X的增强参数集。请注意，γ不再出现在增强参数集中，因为它在时间点t P JA被吸收到α，β，u的值中。

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大多数88

2022-6-10 00:32:33

增强的参数还允许我们通过设置fpt，uq：“F pt，uq1ttRJAu”将F与γ和R与γ结合`在γpt，uq1ttPJAu，R pt，uq：“Rpt，uq1ttRJAu`在γpt处，uq1ttPJAu。F和R都是L’evy-Khintchine形式，度量Riccati方程的连续部分（13）-（14）和不连续部分（16）可以统一到度量微分方程DφtpT中，uqdAt'Fpt，ψtpT，uqq，dψtpT，uqdAt'Rpt，ψtpT，uqq，其与终端条件（17）等价于积分方程φtpT，uq“zpt，T sF ps，ψspT，uqq dAs，（42a）ψtpT，uq“uzpt，T sR ps，ψspT，uqq dAs。（42b）仿射马尔可夫过程和仿射半鞅的存在在这一节中，我们在温和的假设下，使用a ffene马尔可夫过程作为中间步骤，证明了a ffene半鞅的存在。虽然我们之前没有对状态空间D进行限制，在本节中，我们只考虑“规范状态空间”（参见[10，14]）D“Rmě0^Rn，m\'n”D。请注意，对于该状态空间，U的形式为“Cmd0^iRn”。此外，我们还有bu“iRd，Uo”Cma0^iRn，如[10]所示。为了便于注释，我们将I“t1，¨¨¨，mu，J”tm\'1，¨¨，du，andIzi：“Iz tiu，J Y I：“对于任何i，J Y tiu。最后，我们引入以下简短符号：”“对于两个子集i，JAt1，…，du，我们用aijt表示a的子矩阵，并用i^J表示，即aIJ:”“paijqiPI，jPI”“，β表示具有列β，β，…，βd的矩阵。我们用去掉的firstcolumn来写β。”“，对于任何i，k P t0，…，du，我们设置Hikptq：“sDzt0uhipξqukpt，dξq，只要积分是有限的。其他值可以任意选择，所得矩阵由Hptq”pHikptqq表示。回想定理3.2，半鞅X有一个很好的参数集pa，γ，α，β，uq。

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2022-6-10 00:32:37

为了证明给定一个好参数集的a ffene半鞅的存在性，我们还需要考虑状态空间的几何结构。在【10】中，这是通过在参数上引入可容许性条件来实现的。在以下定义中，我们将这一概念扩展到我们的环境中。18 M.KELLER-RESSEL、T.SCHMIDT和R.WARDENGADe定义5.1。一个好的参数集pA，γ，α，β，uq称为容许的，如果（i）对于Ac几乎所有的t P R>0，对于所有i P t0，αiptq P Sd，¨¨，du，α0；IIptq“0，αi；Izi，Iziptq”0表示i P i，αjptq“0表示j P j，’βptq P Rd^pd ` 1q表示βP D，’βIJptq“0”和‘βipIziqptq’HipIziqptq P Rm'1ě0表示所有i P i'uptq是一个支持D的L'evy度量向量，因此，对于i P i Y 0，j P Jand Miptq'0，ujptq“0 T0U'@hIzipξq，1D `}hJ Yipξq}uipt，Dξq。（43）（ii）对于所有t P ja和所有x P D，函数uTh~nexp Pγpt，uq\'x\'γpt，uq\'u，xyq是D值随机变量的傅里叶拉普拉斯变换。如果X是可整除的，且pA、α、β、uq是其增强参数集（见定义4.5），则（ii）可替换为（ii’）所有t P ja和i P t0、¨¨、du、“αiptq P Sd”、αi；IIptq“0表示i P i Y 0，αjptq”0表示j P j，\'βptq P D，\'βIJptq”0和\'βIIptq'HIIptq'iddP Rm>0。\'uiptq是D上的一个L'evy度量，对于i P i Y 0和uj“0表示j P j。请注意，半限定矩阵对角线上的零元素意味着对应的整行和整列为零；因此，可以从上述条件推导出对αi元素的进一步限制。命题5.2。设X为准正则a ffine半鞅，满足支持条件2.3，具有良好的参数集pA、γ、α、β、uq。假设（i）supppXtq“D表示所有ta0，或（ii）X是可整除的。那么参数pA、γ、α、β、uq是可容许的。证明。

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可人4

2022-6-10 00:32:40

通过引理4.3，X可以实现为一个（时间非齐次）马尔可夫过程，具有转移核ps，tpx，dξq，定义了所有0dsdt和x P D。设置fupxq“exu，xyforu P U。与[10]中的可采性证明类似，我们考虑以下限制fupxq：“limh'O0E rfupXtq | Xt'h“xs'exu，xyAt'h”（44）“limh'O0exp Pφt'hpt，uq'xψt'hpt，uq'xyq'exu，xyAt'h。对于Ac几乎所有的t R>0，存在一个序列phh Nqnpn，减小到0，沿其存在极限（c.f.【7】或【2，定理5.8.8】中的主要定理）。从（7）以及（13）和（14）中，我们可以确定开始的极限，即pF pt，uq\'xRpt，uq，xyq fupxq。（45）对于t P JA，我们从（8）中获得φsps，uq'xψsps，uq，xy'1'¨Asfupxq。（46）超越随机连续性的仿射过程19另一方面，我们可以用X asGtfupxqfupxq“limn~n8At'At'hn'D'fupξ'xq'1'pt'hn，t'X，Dξ'''''x9的转移核来写极限。通过（45）和（46），上述极限存在并且在u处连续“0.如果t是a的连续点，我们将最后一行中的积分项解释为强度为1{pAt'At'hnq的复合泊松分布的对数特征函数，它是不可整除的。这意味着它们的弱极限也是不可整除的。我们得出结论，（45）的r.h.s是不完全可分分布的对数特征函数，因此为L’evy-Khintchine形式。由此可知，pα、β、uq在a的连续点处的容许性与[10]中的直线相同。对于A的不连续点t P ja，我们从（46）中得到，exp Pγpt，uq\'x\'γpt，uq\'u，xyq“Dfupξqpt'，tpx，dξq，其中我们将pt'，tpx，.q写为pt'h，tpx，.q的弱极限，作为h'O0。可采性条件的第（ii）部分如下所示，pt'，tpx，.q必须在df上支持所有x P d和0dsdt。

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2022-6-10 00:32:43

如果X是不可整除的，则γ的分解为（40），以及不可整除分布的标准支持定理（参见[36，Ch.24]）产生（ii’）。在本节的剩余部分，我们展示了以下内容：给定一个可容许的增广参数集，我们可以构造一个马尔可夫过程，该过程对于D中的每个起点都是一个不可整除的a fi fine半鞅。在这方面，我们需要进一步的可积性假设。假设5.3。给定一个增强的参数集pA、β、α、uq，假设（43）定义的α、β和Mde对于命题5.4是局部可积的。设pA，α，β，uq是满足假设5.3的可容许增强参数集。然后，对于所有pT，uq P p0，8q^U"，存在唯一的解Pφ。pT，uq，ψ。广义测度Riccati方程（12）-（17）（或等效于（42））的pT，uqqon r0，T s。在下面的let u“pv，wq P u与v P Cmd0和w P iRn中，我们还将使用Conventionspa，bs”sbato在某些地方缩短符号。证明。由于给出了增强的参数集，广义度量Riccati方程（12）-（17）可以组合为（42）。它有助于显示方程（42b）的唯一全局解的存在性，因为（42a）的存在性和唯一性然后进行简单积分（注意φ不出现在（42a）的右侧）。由于容许条件的存在，ψ的方程可分为分量ψI“pψiq，I PI的方程和分量j p j的解耦线性方程（另见【10，第6节】），可写成：ψJtpT，uq“w′zTt′βJJpsqψJspT，uq dAs。该线性方程可根据附录中的示例A.4进行求解，其中yieldsa函数与起始值w具有线性依赖关系，即ψJtpT，uq”wψJtpT q，ψJpT q:r0，T s^n。

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