第一个断言来自φ和ψ的积分表示。第二个断言可以直接从可接受性条件中派生出来。关于（iii），letsdt，u P u"和定义prq：“ψrps，ψspt，uqq，对于0drds。将方程（42b）插入上述定义中，我们可以看到，在r0上，ss-f满足与ψrpt相同的度量Riccati方程，uq:fprq“ψspt，uq\'pr，ssR\'w，fpwq”dAsBy通过Riccati方程的唯一性，我们推断出f prq“ψpr，t，uq”。简单计算上述和等式（42b）显示φ的方程式。断言（iv）遵循方程式（47）和（50）。22 M.KELLER-RESSEL、T.SCHMIDT和R.WARDENGAWe现在准备陈述我们关于马氏过程和半鞅存在性的主要结果：定理5.6。设pA，α，β，uq是满足假设5.3的可容许增强参数集。然后，存在一个具有φ，ψ解的相关度量Riccati方程的不可整除的αffine马尔可夫过程X（参见定义4.1）。如果X是保守的，那么它是一个半鞅，其特征由（12）给出，对于任何初始点X“X P D”。下一个结果为X的保守性提供了一个有效条件；可以沿着[10，Lem.9.2]的路线发展进一步的条件。推论5.7。设X是一个有效的马尔可夫过程，如定理5.6所示。如果对于任何Ta0，g“0是唯一的Rmd0值解，gtdat”'Re cript，gtq，gT“0，（51）那么X是保守的。定理5.6几乎完全遵循以下两个命题：命题5.8。设定理5.6的假设成立，并设pφ，ψq为（13）-（17）的带容许参数的解。

然后，存在一个a ffne马尔可夫过程X，其状态空间为D，且其转移核满足指数φ和ψ的a ffne性质（36）。为了证明这一命题，我们引入了以下符号（见【10，第7节】）。设C表示函数φpuq“xAw，wy ` xB，uy'C'Dzt0u'exu，ξy'1'xw，hJpξqy'M pdξq（52）的凸锥：“pv，wq P U，其中A P Sd`，B P D，C P R>0和Mpdξq是Dzt0u积分x1，hIpξqy`}hJpξq}的非负Borelmeasure。我们用cmm倍笛卡尔坐标表示N从[10，引理7.1]召回C.产品，φP C当且仅当D上存在亚随机测度η，使得zDexξ，uyηpdξq“eφpuq，@u P u.（53）证明。证明分为四个步骤。首先，在对F和R的形式的一些限制下，我们证明了广义测度Riccati方程的解Pφ，ψq是inC^Cd，这与[10]中的命题7.4（ii）相似。具体而言，假设，对于所有i P i，Dzt0uhipξquipdξqa8αi，ik“αi，ki”0，对于所有k P J（54）在这种情况下，RIcan应以RIipt、uq“~RIipt、uq'ciptqvi、i P i和'RiP C、ciě0 dA-a.e.和ciptq的形式书写tAd1。因此，广义测度Riccatiequation（42b）等价于以下方程：ψispt，uq“viEtsp'cidAq'ztsEsrp'cidAq'R pr，ψrpt，uqq dAr，i P i，超越随机连续性的仿射过程23whereEtsp'cidAq“exp^'tsciprqdAcr'rPps，tsp1'ciprqArqis线性测度微分方程dgtdat“ciptqgt”的解，见示例A.4。定义迭代序列pqψispt，uq“vi，pk`1qψispt，uq”viEtsp'cidAq'tsrp'cidAq'Ri'r，pkqψIrpt，uq，ψJspt，uq'dAr。根据Banachs fixed point定理和Helly选择原则，有一个'kψI'kpthnthat的子序列点向解收敛0 Iof（42b）。

根据[10]中的命题7.2，Cm在复合极限和逐点极限下是稳定的，我们得出结论：ψIspt，¨q P Cm。断言ψJspt，¨q P cns直接来自（47）。由于F在C中也是φspt，¨q在C中，参见【10，第7.2项】。其次，我们准备第三部分的近似论证，并在右侧建立广义测度Riccati方程解的连续依赖性，即LpdAq^puoc中的收敛性。右侧的Uq表示pdA'a.e.q^puoc中的解的收敛。在这里和下面的U q上，“uoc。“在U上”是指U的统一紧子集。实际上，让KDU紧致和R，~R具有良好的、可容许的和可积的参数，例如>>>>supuPK'R p¨，uq''R p¨，uq'>>>>>>>LpdAqdδ。（55）用ψ表示与R相对应的解，并检查与ψ的差异：ψtpT，uq'ψtpT，uq'Tt'R'，ψspT，uq'R'，ψspT，uq'R'，ψspT，uq'Tt'dAs，ψspT，uq'R'，ψspT，uq'R's dAs `zTtˇR''''''''''''''R''''''''ψspT，uq'''''''''''R'''''ψspT，uq''dAs。如果|ψ保持在K中，我们可以通过δ估计第二个和，并结合命题5.5（iv）获得R的局部Lipschitz连续性（具有A-可积Lipschitz常数），即ˇψtpT，uq'''ψtpT，uq''Δ'TtLsˇψspT，uq''ψspT，uq'dAs。（56）通过Stieltjes微分方程的Gronwalls引理（c.f.[19，推论19.3.3]），微分满足ψtpT，uq''''ψtpT，uq''''δexp'TtLsdAs'。（57）现在假设τ“sup！t P r0，t s：ˇψtpT，uq'ψtpT，uqˇα）0（58）。这意味着，由于ψ和ψ的共同终值以及右侧的连续性，ψ和ψ的差值小于α，因此，对于所有的t”τ，t。通过（57），我们可以选择δsmall24 M.KELLER-RESSEL，t.SCHMIDT和R.WARDENGAenough，这样ψtpT，uq'ψtpT，uqˇˇαLτAτ\'1dα。因此|ψ不能连续离开α-邻域，而只能通过跳跃。

然而，ψ满足ψtpT，uq“R pt，ψtpT，uqqAtat不连续点（与|ψ类似），由此得出|ψτ'pT，uq'ψτ'pT，uq'α-矛盾。这证明了对右侧的持续依赖。第三，我们展示了[14，引理5.7]的类似物，即存在一个L'evy Khintchine形式的序列pRkqkPNof函数，其容许参数满足假设5.3和条件（54），在pLpdAqq^puoc中收敛到R。在U q上，满足（54）的函数序列pRkqkPNof的构造与[14，引理5.7]或[10]p.33中的相同。在LpdAq^puoc中，只有收敛模式被加强到收敛。在Uq上。从第33页的【10】中，我们获得了任何i p i的标识▄Rikpt，uq'cript，uq“piptq^hu^ξptqk˙'xQptquJ Yi，uJ Yi˙，”（59）其中pptq“αiiiptq>>αiiij Yiptq>，ξptqIzi“0，ξptqJ Yi”αij Yiptq>>>αij Yiptq>，qpkl：“pαikiαiilαiiiiiiihupξq”'exu，ξy'1我们可以简化（59）toxQptquJ-Yi，uJ-Yi中的表达式“2"yl，mPJ Yiulαiliptqαiimptqαiiiptqum.利用截断函数和}ξ}的性质“1，对于足够大的kthatpptqhu^ξptqk˙Cpptq'1`}uJ Yi}ξC'1`}uJ Yi}>>>αiiJ Yiptq>>>αiiptqc不依赖于u或ξ。上述量的可积性w.r.t.αptq的正半不确定性和Cauchy Schwartz不等式得出。这意味着因施工原因，u q上pLpdAqq^puoc中的Rkto r最后，我们进入最后一步。从（53）可以看出，对于每个pt、xq P r0、T s^和s P r0、ts，都存在一个唯一的次随机测度ps、tps、¨q on D withzDexu、ξyps、tpx、Dξq“eφps、T、uq`xψps、T、uq、xy、@u P u。（60）Pφ、ψq的半流性质确保测度族pps、tqsdtPr0、T满足查普曼-科尔莫戈罗夫方程。

根据Kolmogorov存在定理（见[23，Theorem8.4]），在r0，Ts上存在一个D值马尔可夫过程X，在定律上唯一，具有传递核pps，tqsdtPr0，Ts。通过定义，X满足所有u P u的有效性质（36）。提案5.9。设X为命题5.8中的a ffine Markov过程，从someX“X P D”开始。如果X是保守的，则有一个对X的修改，它是一个c\'adl\'ag a ffinesim鞅。超越随机连续性的仿射过程25Proof。设X为a ffine Markov过程，pFtqtě0其自然过滤。从（36），我们有thattmt，ut：“E”exu，XTyˇˇFti“eφtpT，uq\'xψtpT，uq，XTy，（61）必须是所有u P u的鞅。由于φ和ψ在T中是右连续的，而c\'adl\'ag在T中是右连续的，因此将此恒等式应用于T”0表明x（因此也是everyMT，u）在概率上是右连续的。因此，鞅MT，uh是一个c\'adl\'agmodification。让u“pv，wq。通过等式（47）ψJtpT，pv，0qq“对于r0，ts上的所有tat和hencexψItpT，pv，0qq，XIty是v P Rm'的c\'adl\'ag半鞅。对于一些线性相关向量e，…，emin Rmd0，我们可以找到sdt，使得ψItpT，eq，…，ψItpT，emqa对于所有t P ps，ts是线性独立的。因此xi是ps，ts上的半鞅。这可以对任意t进行，它允许使用覆盖参数进行推断（右连续性t“0），xi是R>0上的半鞅。对于过程的实值部分xjo，我们使用，对于所有u”pv，wq P u"，ψj的方程导出为一个解为ψJtpT，uq”wψJtpT q的线性方程（见方程（47））。通过与[10，定理2.12的证明]中相同的参数，可以得出XJ也是ac ` adl\'ag半鞅。我们完成了定理5.6和推论5.7的证明。证据

根据命题5.8和5.9，只需证明X的半鞅三元组由（12）给出，参数与构造X的参数相同。为此，我们将引理3.6应用于X，得到与方程（25）类似的Θtpωq¨F pt，ψtpT，uqqRpt，ψtpT，uqq。。。Rdpt，ψtpT，uqq媫媫媫媫媫媫媫媫媫媫媫媫媫媫媫媫媫媫Gpdt；ω，T，uq…Gdpdt；ω，T，uq，媫媫媫媫其中左侧的F，R包含参数pA，β，α，uq和G，X的半鞅特征（cf.（20））。我们按照定理3.2的证明进行，通过对Rě0^U的可数密集子集“u和L'evy–khintchinenform函数唯一确定其参数三元组的事实，我们导出了（12）的连续部分。跳跃点处的ν方程来自引理3.5和4.4，完成了定理5.6的证明。对于推论5.7的证明，在u“0 yieldspt，Tpx，Dq”exp pφtpT，0q`xψtpT，0q，xyq（62）下计算（36）对于所有0dtdt和x P D。考虑到pt，Tpx，Dqd1和D“Rm>0^Rn，我们看到φtpT，0qd0，ψItpT，0qd0和ψJtpT，0q”0。写入gptq：“ψItpT，0q测量Riccati方程（42b）变成（51）。该方程具有常数解g”0；如果它是唯一的解，那么ψItpT，0q“0对于所有0dtdt插入（42a），也就是φtpT，0q”0。与（62）一起，这表明pt，Tpx，Dq“1，即X是守恒的。备注5.10。定理5.6的证明可以很容易地适用于γ不是t P JA的L'evy–Khintchine形式（40），而是aD值随机变量的一般对数特征函数的情况。这是因为γ只进入测量Riccati方程的部分（42a），而不进入部分（42b）。26 M.KELLER-RESSEL、T.SCHMIDT和R.WARDENGA6。

示例和应用本节开始时，我们用一些示例说明了半鞅中随机不连续性的几个方面。之后，我们在第6.1节中研究了离散时间的a ffne半鞅。在第6.2节中，我们简要介绍了半鞅在股息股票价格中的应用，在第6.3节中，我们考虑了一类新的考虑随机不连续性的期限结构模型。示例6.1。考虑（时间不均匀）泊松过程的以下离散时间变量：设X“X P N。此外，假设X是常数，但fort P t1，2，…u除外，并假设XnP t0，1u，n P t1，2。u与P P独立Xn“1q”pnP p0，1q。那么X是一个有效的半鞅，因为对于0dsdt，EreuXt | Fss“exp'uXs'sandt，nPNφnpuq”，其中φnpuq“Ereu”Xns“euppn\'e\'up1\'pnqq”exppu\'logppn\'e\'up1\'pnqq。显然，可能会发生以下情况Xn“0，而φpu，n，tq'φpu，n'，tq”φnpuq‰0。随机不连续性通过在t P t1，2，…u处具有正概率的跳跃来反映。所考虑的过程属于点过程类，其相关跳跃测度为扩展泊松测度，见[21]中的II.1c. 与泊松过程相反，X不是准左连续的。总之，X是一个具有独立增量的过程，但不是一个时间不均匀的L'evy过程。以下示例说明了如何通过适当的（不连续的）时间变化，从随机连续的半鞅，甚至从没有跳跃的半鞅，构造出随机不连续的半鞅。示例6.2。这个例子的灵感来自于【17】：考虑一个随机连续的a ffine半鞅X（如【10】和【14】中所述）。

我们假设D表示a ffne半鞅的状态空间，φ和ψ是X的特征，如（3）所示。设tta¨¨¨¨¨tNuaR0为一些时间点，并且aiP Rd，biP Rd^D为所有x P D的AI\'bi¨x P D，i“1，…，N。然后Xt：“N"yi”1ttětiupai ` bi¨Xtq，tě0（63）是定义2.1意义上的一个半鞅。请注意X通常是非随机连续的，因为它在时间点ti，i以正概率跳跃“1，…，N。超越随机连续性的仿射过程27实际上，通过X的a ffne性质并使用迭代条件期望，我们得到了tkdtatk\'1，E”exu，~Xty | FtkiE”exp'xu，k"yi“1pai ` bi¨Xtqy'Ftki”erki“1xu，aiyE”exp'xk"yi“1abji，Xty'Ftk'exp'k"yi“1xu，aiy'φtkpt，uq'xψtkpt，uq，Xtky（64），因为x是一个函数；这里我们设置了u：“rki”1abji。Lyox的有效特性直接来自方程式（64）。上述示例表明，（63）中考虑的转换的更复杂变体留在a ffine课堂上。以下示例表明，情况并非总是如此。示例6.3。考虑一个有效的进程X和letYt“Xt\'1ttě1uX，tě0。那么Y通常不是有效的，因为对于1dsat，EreuYt | Fss“euX¨eφspt，uq'ψspt，uqXs‰e'φspt，uq'ψspt，uqXsas在一般ψspt，uq‰u中。然而，pX，Y qJis a ffne是债券期权定价中的一个重要属性。以下示例说明了使用ffne傅里叶变换的过程的可能性，这些过程不是半鞅：示例6.4。考虑确定性一维过程Xtpωq“fptq，tě0，函数f为有限变化。例如，可以选择布朗运动的一条路径，在这种情况下，f甚至是连续的。那么，X是一条函数，因为它的fourier变换具有指数形式，asEreuXt | Fss”eufptq。因此，X用φspt，uq“uf ptq”和ψspt，uq”0满足方程2.1。

然而，请注意，X不是半鞅，tTh~nφspt，uq是有限变化的，因此不是拟正则的（参见定义2.5）。对于具有独立增量的过程，GAP也可以完全分类为半鞅的过程，请参见第二节。[21]中的c。本文研究的A ffene半鞅与processessatising（2.1）之间的差距，但这不是半鞅，这超出了本文的范围。除了不连续点t处的一个过渡，t也有可能，如下例所示。示例6.5。设N是强度为λ的泊松过程。这也是一个具有ψspt特征的a ffne过程，uq“u和φspt，uq”λpt'sq peu'1q。让αa伯努利分布的随机变量具有Ppα“'1q”和βa标准正态随机变量。进一步让α、β和N相互独立。考虑（确定性）时间τ0和XT“Nt\'1ttěu'α'βaNτ\'，tě028 M.KELLER-RESSEL、t.SCHMIDT和R.WARDENGAtogether给出的过程（增强）由σpNs、α1tτdsu、β1tτdsu:sdtq生成的过滤。我们计算X的条件特征函数。首先让saτdt；E“exu，XtyˇFsi”E“E”exu，Nt\'1ttěτupα\'β？NτqyˇFτiFsi“eφτpt，uqE reuαs¨e”eψτpt，uqNτ\'uβ？NτˇFsi“eφτpt，uq\'eu\'e\'ue”epψτpt，uq ` uqNτˇFsi“eφτpt，uq ` eu ` e'u'eψspτ，ψτpt，uq'uqNs，在第二种情况下，其中τsdt，我们有e“euXt'Fs‰”exp'φps，t，uq'ψps，t，uq Ns'u'α'βaNτps，t，uq'uXs由φspt、uq“φspt、uq\'1tsaτtu ` log pcosh uqψspt、uq“ψs^τ、ψτpt、uq\'1tsaτtu˙“u\'1tsaτtuu.注意，过程X不满足支持条件2.3，因为它在跳跃之前的正实数上得到支持，并且在τ6.1之后可能会取负值。离散时间内的一个过程。

在所考虑的半鞅方法中，离散时间中的一个函数过程也可以嵌入到连续时间中。这使我们能够在离散时间内全面处理一个函数过程，作为我们一般结果的特例。请注意，任何离散时间过程都是有限变化的，因此是一个半鞅，事实上，定义2.1涵盖了有限维中的所有离散时间过程。我们对离散时间的过程使用时间序列表示法，并在不损失一般性的情况下考虑时间点0、1、2、。考虑一个完全概率空间pOhm, FP q和a filtration in discrete time^F“P^Fnqně0。定义6.6。如果时间序列P^Xnqně0是F自适应的，并且存在c和Cd值的c\'adl\'ag函数φnpm、uq和ψnpm、uq，则称为a fine，例如e“exu，Xmy | Fn‰”exp `φnpm，uq ` xψnpm，uq，uxny（65）适用于所有u P iRdand 0dndm，n，m P n。如果φnpm，uq“φpn'm，uq”：φm'npuq和ψnpm，uq“ψpm'n，uq”：ψm'npuq，同样适用于所有u P ird和0dsdt。为了强调我们正在进行的过滤，我们有时将其称为^X^F-a ffine。我们将其与时间序列P^Xnqně0关联，将其分段常数嵌入到具有rts的连续时间文本“^Xrts，tě0（66“n如果ndtan\'1，则^X是c\'adl\'ag，具有有限的变化，因此是一个半鞅。以类似的方式，我们让Ft”^frts在连续时间内获得相关的过滤。

这里不需要通常的条件。超越随机连续性的仿射过程29注意，即使一个时间序列是时间齐次的，相关的连续时间过程X通常也不是时间齐次的：对于0a a1E“exu，Xm`y | Fn‰“exp`φnpm `, uq`xψnpm `, uq，Xny“exp`φnpm，uq` xψnpm，uq，Xny，这将给出φm`\'npuq“φm'npuq，另一方面”exu，Xm`{2y | Fn'{2‰“exp`φn'{下午2点`{2，uq`@ψn'{下午2点`{2，uq，Xn'{2D“exp `φn'1pm，uq'xψn'1pm，uq，Xn'1y，这将给出φm'npuq“φm'pn'1qpuq因此使得X是常数。因此，离散时间的时间不均匀性是一个严格弱于连续时间的概念。然而，在相反的方向上，我们得到了一个积极的结果。备注6.7。如果X是齐次连续时间F-a ffene过程，那么很快就会得出时间序列^X是^F-a ffene，而^X是时间齐次的。命题6.8。让p^Xq是一个满足支持条件2.3的一个时间序列。然后φ和ψ满足半流性质φnpm，uq“φnpn，ψnpm，uqq`φnpm，uqψnpm，uq”ψnpn，ψnpm，uqq（67）对于所有0dnam，u P iRd.证明。我们应用定理3.2。首先，注意znpq“Dexu，xyνptnu，dxq“E”tXn‰0uexu，Xny | Fn'1i。因此，E“exu，Xny | Fn'1‰“znpuq'P PXn“0 | Fn'1q”znpuq'1'znp0q。这通过定义“exu，Xny | Fn'1‰“E”exu，Xny | Fn'1‰E'xu，Xn'1y”Eφn'1pn，uq'xψn'1pn，uq'u，Xn'1y（68），我们从方程（16）中恢复γpn，uq'φn'1pn，uq和γipn，uq'ψn'1pn，uq'u。首先，定理3.2得出φn′1pm，uq′φnpn′1，ψnpm，uqq，即φnpm，uq′φnpn′1，ψn′1pm，uqq′φn′1pm，uq（69）对于0dnam和所有u P iRd。通过归纳，我们得出φ满足半流动性质φnpm，uq′φnpn，ψnpm，uqq′φnpm，uqf对于所有0dnanam和u P iRd。

本着类似的精神，定理3.2得出ψn′1pm，uq“’ψnpn′1，ψn′1pm，uqq′ψn′1pm，uqq相当于ψnpm，uq”ψnpn′1，ψn′1pm，uqq（70）30 M.KELLER-Restel，T.SCHMIDT，和R.Wardengaa，因此半流动性质ψnpm，uq“ψnpn′n，ψnpm，uqqf或所有0ananaM和u P ird，权利要求如下。备注6.9。尽管存在半FLOW性质，但从（69）和（70）中可以直接得出φ和ψ是以下微分方程φnpn\'1q“F pn、uqψnpn\'1、uq\'u”Rpn、uqφnpm\'1、uq”F pn、uq\'φnpm、u\'Rpm、uqqψnpm\'1、uq”ψnpm、u\'Rpm、uqqq的唯一解，其中函数F和R由前两个方程定义。根据定理3.2，F“'γ和Ri”'γi。这些方程和上述命题是[35]中命题4.4的内容。作者直接从迭代条件期望中获得结果。示例6.10（AR（1））。一个（时间非齐次）阶自回归时间序列由^Xn“αpnq^Xn'1 `这里我们假设pnq是独立的（不一定相同或正态分布）。那么，^X是一个函数，asEreuXn^Fn'1s“EreunseαpnqXn'1with^Fn'1“σp^X，…，Xn'1q。推广到更高阶需要扩展状态空间。因此，AR（p）系列给出了一个有效的过程p^Xn，…，Xn'pqn'p。6.2。资产价格与股息。股息和企业资产价格的关系很久以来就已经讨论和分析过，早期的贡献就是例子【29，30】或者是[27]中提出的方法，为此我们提出了一种动态泛化。最值得注意的是，典型的连续时间模型通过股息收益率包含股息。虽然这种方法确实简化了数学建模，但它肯定不会反映经验行为。

在本节中，我们将展示如何使用时间非齐次a ffne过程来高效地建模股票价格和股息。从一般观点来看，以下示例显示了如何在一个时间不均匀的a ffine模型中混合两个不同的时间尺度（连续时间和离散时间）。此外，由于离散时间尺度具有一定的滞后性，我们还展示了如何以相同的方式合并过去的依赖性（当然是通过扩展状态空间）。考虑一个dě3维aěne过程X。设d：“Xdenote累积股息过程，其中我们假设股息在时间点t”1，2，…，即d在每个区间rn，n\'1q，ně1上是非递减且恒定的。设Xdenote股票价格过程，即Xat股息支付日期的跳跃包括股息支付的减除，Xn，再加上新信息可能带来的额外跳跃，例如股息的高度。我们将遵循[27]中的方法，并假设股息的大小与当年的税后利润呈线性关系。在这方面，让Xdenote表示当年税后的累计利润，即Xn“0，Xn”表示第i年的累计利润。在Lintner的模型中，请参见【27】，当前股息dn由dn“a ` bXn''''''''''''''`表示n、 超越随机连续性的仿射过程31where平均零随机误差项。根据定理3.2，只有当nsatis fiesp公司nP dx | Xn'q“κ0,3pdxq'd"yi”1Xin'κi，3pdxq其中y P Rd，κi，jpdxq“sRd'1κpdy，…，dyj'1，dx，dyj'1，dydq。显然，这包括例如独立误差项（不一定是正态分布的）。X的剩余成分可用于建模随机波动或s进一步的协变量。6.3.有效项结构模型。

在本节中，我们将研究一类由有效流程驱动的新术语结构模型。基于我们在第3节中的发现，即一个过程X的半鞅特征由一个递增的c\'adl\'ag函数a支配，我们研究了Heath Jarrowmoton框架的以下扩展：考虑一个债券价格族，由P pt给出，T q“exp'''''pt，T sfpt，uqdAu'，0dTdT，（71）某些最终时间范围为T0。利率fpt，T q称为瞬时远期利率，代表在TdT时，未来最小时间间隔pt，T'dATs的可签约利率，见【15】详细信息和相关文献。该市场的数量被假定为来自exp\'trpsqdAs。本文提出的期限结构模型是通过假设以下远期利率结构来确定的：fpt，T q“fp0，T q`ztaps，T qdXs，0dTdT，（72），其中a是一个合适的确定函数。第一步是推导a上的一个条件，该条件使贴现债券价格为局部鞅，从而导致债券市场满足合适的无套利属性，例如NAFL。考虑一个过滤概率空间pOhm, F，F，Pq满足通常条件，并考虑一个具有半鞅特征pB，C，νq的d维特殊半鞅X。由于我们的目标是考虑一个有效过程X，根据定理3.2的观点，我们还假设X具有规范表示X“X`Bt`Xc`Xpu'νq，（73），其中dBt“btdAt，dCt”ctdata和νpdt，dxq“ktpdxqdata和a是确定性的，c`adl` ag随“0”增加。

我们定义了左连续过程Ap。，T q，0aTdT，byApt，T q：“rt，T saps，uqdAu，0dTdT，并要求以下技术假设。（A1）：假设a：r0，Ts尼尔迪是可测量和满足的。| aip，uq | dAu{2P LpXiq，i”1，…，d，TTTapt，uq | dBt | dAua8，0dTT式中，LpXiq表示在半鞅积分意义下相对于第i坐标Xiof X，i可积的过程集“1，…，d.32 M.KELLER-Restel，T.SCHMIDT，和R.Wardengapoposition 6.11。根据（A1），贴现债券价格是局部鞅，如果且仅当（i）rt”fpt，几乎可以肯定为0dT，并且（ii）以下条件成立：Apt，T qbt“Apt，T qctApt，T qJ\'Rd\'eApt，T qx\'1\'Apt，T qx\'Ktpdxq，（74）对于0dtdtdt，dA b dP几乎可以肯定。证据该证明遵循[20]中的经典步骤，依赖于随机Fubini定理。首先请注意，贴现债券价格的形式为▄P pt，T q“e''''pt，T sfp0，uqdAuexp''''pt，T sztaps，uqdXsdAu''p0，tsrsdAs'：P p0，T q exppIpt，T qq。（75）I的动力学可以从远期利率的动力学中获得，如zpt，T sfpt，uqdAu“zpt，T sfp0，uqdAu''pt，T sztaps，uqddau“zpt，T sfp0，uqdAu'''''''''380; Tzpt，T saps，uqdAudXs“zpt，T sfp0，uqdAuzTzrs，T saps，uqdAudXs'Tzrs，tsap，uqdAudXs“zpt，T sfp0，uqdAu'Tzuaps，uqdXsdAu'tAps，T qdXs”Tfp0，uqdAu'tfpu，uqdAu'tAps，T qdXs；积分的交换根据（A1）根据富比尼定理进行调整，例如沿着[39，34]的直线。下一步是将exppIp，T qq“Ep▄Ip.，T qq表示为基于修改过程▄I的随机指数E关于[21]中的定理II.8.10. 这一理论得出▄Ipt，T q▄Ip0，T q▄Ipt，T q▄xIcp，T qyt▄pex▄1▄xquIp.，T q，其中uIp.，T q表示与I的跳跃相关的随机度量，见（1）。

根据我们的假设和表示（73）计算上述条件，得出DIpt，T q“^'Apt、T qbt'Apt、T qctApt、T qJ'Rd'e'Apt、T qx'1'Apt、T qx'Kpt、dxq'pf pt、tq'rtq'dAt'dMt、0dT'Twith a local鞅M。首先考虑T，然后得出（i）和（ii）。对于相反的情况，请注意（i）和（ii）暗示'Ip，T q是local鞅，下面的声明如下。回想一下定义3.1中关于a ffine半鞅X的好参数集的概念。以下推论给出了更经典情况下的期限结构模型的具体说明，即，当γ“0.超越随机连续性的仿射过程33推论6.12。如果（A1）成立，且X是满足支持条件2.3的拟正则半鞅，且参数集为pA，0，β，α，uq，和ifApt，T qβi，T”Apt，T qαi，tApt，T qJ′Rd′eApt，T qx′1′Apt，T qx′uipt ipt dxq，（76）适用于i“0，…，d，则漂移条件（74）持有。证据应用定理3.2得出b“β`rdi”1Xi'βi，a和K的表达式相似。使用线性和（76），我们立即得到（74）。该结果的反向版本很容易获得，需要某些系数的额外线性独立性，例如参见【15】中的第9.3节。在下文中，我们研究了Vasiˇcek模型的各种扩展，以在可预测的时间内合并跳跃。当然，以类似的方式扩展Cox-IngersollRoss模型是可能的，或者甚至可以以类似的方式扩展一般的随机连续马尔可夫过程。示例6.13（Vasiˇcek模型）。我们首先在上述框架中铸造著名的Vasiˇcek模型。

Vasˇcek模型是一个单因素高斯模型，其中，短期利率是随机微分方程“pα`βrtqdt `σdWt（77）的强解，具有一维标准布朗运动W和β‰0，σa0。债券价格以指数形式给出，使得p pt，T q“expp'φpt，T q'ψpt，T qrtq，带φ和ψ求解某些Riccati微分方程，见【15】，详见第5.4.1节。如果我们将这种方法嵌入（71）中给出的结构中，我们可以选择在“t”处。这种情况下，fpt的动力学也将取决于Rt：“trsds”，因此我们利用a ffne processXt”pt，Rt，rtqJ，tě0in（72）。我们得出bt“bt ` btXtwith bt”p1，0，αqJand bt”p0，1，βq以及asct“cw，其中矩阵除了c3,3”σ外都是消失项。漂移条件（76）现在直接意味着对于Apt，t q“pApt，T q，Apt，T q，Apt，T qqApt，T q”βApt，T qApt，T q”pApt，T qqσ'αApt，T q.（78）我们可以自由选择Apt，T q的成分，我们可以通过设置Apt的第三个成分，T q等于pT，T q“β'1'eβpT'tq'1'来匹配Vasiˇcek模型的波动性结构。特别是，这种选择给了usapt，T q“σβ'eβpT'tq'1'αeβpT'tq，apt，T q”'βeβpT'tq，apt，T q”eβpT'tq。鉴于[15]第5.4.1节中φ和ψ的明确表达式，该规范确实与Vasiˇcek模型一致，这是一个简单的练习. 以类似的方式，所有期限结构模型都可以在本节考虑的框架中进行转换。34 M.KELLER-RESSEL、T.SCHMIDT和R.Wardengae示例6.14（一个简单的高斯项结构模型）。对上述规范的回顾指向了更简单的高斯模型，其中X是上述由Vasiˇcek即期汇率驱动的三维Aˇneprocess，但现在我们选择pT，T q“pT'tq，这样参数apt，T q”1是常数。

漂移条件现在意味着a“'β，Apt，T q”pT'tqσ{2'αpT'tq，我们得到了一个线性项Apt，T q“σpT'tq'α。这个高斯模型比Vasiˇcek模型更简单，并且仍然具有均值回归特性（因为X具有均值回归特性），但远期利率的波动性在波动性中没有阻尼因子eβpT'tq。最后，我们提供了两个随机不连续规范的示例。示例6.15（示例6.14不连续）。现在，我们在上述示例中加入了t“1处的随机不连续性，并让Aptq“t\'1tt1u。我们的想法是在第三个分量中引入t”1处的单跳跃，并通过在第一个坐标中的可预测跳跃来补偿这一点。我们首先精确描述模型：第一，drt“pα`βrtqdt `σdWt ` dJtwhere Jt“1ttě1uξ，ξ为N p0，γq，γ2610，与W无关。考虑到“pAt，Rt，rtqJ，tě0，与R”rsds，如上所述。X的这种构造意味着对于t‰1，bt“p1，0，αqJand bt”p0，1，βqj，而对于t“1，b”p1，0，0qJand b”0。此外，对于上述示例中的t‰，ct“cas”，ct“0，对于t”1，我们得到c“0.核K消失，t”1除外，由Kpdxq“δpdxqφpx{γqdx给出，其中δ是Dirac测量点1，φ是标准正态密度。它不依赖于ω。如例6.14中所示，我们指定了“1”，使得Apt，t q“pT'tq'1t1Prt，T su。对于Ta1过程Apt，T q与前一示例6.14完全相同。对于剩余时间，我们使用推论6.12：一方面，对于i”1，漂移条件（76）意味着所有0dT的Apt，T q“'βApt，T q。另一方面，对于i”0，漂移条件可以分离。实际上，对于dAt“dt'δpdtq，我们使用C“0，即（对于t”1）Ap1、t qb0、1”Rd'e'Ap1、t qx'1'Ap1、t qx'K0、1pdxq，（79），对于t‰1，Apt、t qb0、t”Apt、t qc0、tApt、t qJ。

（80）现在等式（79）给出了SAP1，T q“e'Ap1，T q'pAp1，T qγq{2'1'Ap1，T q^oAp1，T q”pAp1，T qγq，（81）使得A被指定为T P r1，T s。最后，对于0dTa1，方程（80）简化了Apt，T q“'αApt，T'pApt，T，T qσqa，我们总结了我们的示例。超越随机连续性的仿射过程35示例6.16（不连续的Vasiˇcek模型）. 我们以更一般的方式将前面的示例扩展到Vasiˇcek模型。考虑时间点t，对应于随机不连续的tn。此外假设drt“pα`βrtqdt `σdWt ` dJtwereJt“n"yi”1ttidtuξi，tě0，ξi为i.i.d.“n p0，γq，独立于W。让t ` ni”1ttidtu考虑上述X“pA，R，rq。同样，对于t R tt，…，tnu，b0，t”p1，0，αqJ，b1，t“p0，1，βqJ，c0，t”cwhile对于t“ti，t”b0、ti“p1、0、0qJ、b1、ti“0和cti”0。此外，Ktpdxq“1ttPtt，…，tnuuδpdxqφpx{γqdx。我们首先在例6.13中指定apt，T q”eβpT'tqas，这样apt，T q“β'1'eβpT'tq1'n"yi”1ttiPrt，T su。同样，我们借助推论6.12分离连续和不连续部分的漂移条件，直接产生apt，T q“βapt，T q和apt，T q“pApt，T qqσ'αApt，T q，对于T P r0，T sztt，…，tnu，比较方程（78）。仍然需要计算Apti，T qf或tidT。在这方面，我们得到如（81）所示的Apti，T q”pApti，T qγq，i“1，…，n，（82）因此，不连续Vasiˇcek模型是完全特定的。附录A.测量微分方程本节回顾并扩展了本文所述特殊情况下关于测量微分方程（有时也称为Stieltjes微分方程）的一些概念和陈述。设A是Rě0上的一个左极限增函数，F:Rě0^U~nU，其中空间U在方程（2）中定义。

假设F p¨，g p¨qq对于有界变差的所有函数g:Rě0~nU在某个区间Rě0上是A-可积的。我们考虑方程dgptqdat“'F pt，gptqq，gpT q”u，（83）dg{dA表示g诱导的测度相对于A诱导的测度的Radon-Nikodym导数。我们现在回顾一下本文采用的[8]中对测度微分方程解的定义。定义A.1。让我们成为u和T P I中的一个开连通集。函数g P¨q“g p¨，T，uq将被称为区间I上通过pT，uq的（83）解，如果g是右连续的，则称为边界变差，gpT q”u和g满足度的分布导数（83）I.备注A.2中任何τaT的onpτ，T qf。假设Fpt，gptqq对于有界变差的每个函数g的Lebesgue-Stieltjes测度dA是可积的。等效于上述定义g isa（83）到pT，I上的uq的解当且仅当它满足积分方程gptq“uzpT，T sF ps，gpsqq dAs，（84）36 M.KELLER-RESSEL，T.SCHMIDT，和R.WARDENGAsee【8】了解更多详细信息。我们现在陈述并证明[38]中度量微分方程的存在性和唯一性结果的修正。定义Ohmb“tu P U | | U | UabuTheorem A.3.假设以下条件成立（i）存在一个A-可积函数w，使得| F pt，uq | w ptq（85）在U P中一致Ohmb（ii）F满足u中的Lipschitz条件，即存在a-可积Lipschitz常数L，使得所有u POhmb、 然后，在某个区间pT'a，ts，aa0上存在一个（83）的唯一解g，满足终端条件gpT q“u.证明。首先注意，对于所有T P tt P R，我们有以下方程，用于解g到（83）的跳跃`|在‰0u时，gptq“'F pt，gptqq在

（86）带gptq“gptq'gpt'q这是g的左极限的显式方程，因此我们可以假设A在终点时间T没有跳跃，因为我们可以简单地从终点计算gpt'q，然后从那里开始。即使使用时变Lipschitz-Constant，也可以证明[38]中的定理1小调整有效：A增加，c'adl'ag。因此存在r P r0，T s，使得zpr，T sL psq dAsa1和k：“| u | `zpr，T sw psq dAsab.（87）表示c'adl'ag函数f在pr，T s上的空间，终值为f pT q“u，总变差为∧f}k，并考虑映射kf ptq“u'pT，T sF ps，f psqq dAs，T P pr，T s。它遵循条件（i）和方程（87）K将∧映射到自身。从F上的lipschitz条件，我们得到了}Kf'Kf}d}F'F}zpr，T sLpsqdAs。因此，K是∧-有界变差c\'adl\'ag函数空间的闭子空间上的收缩。这意味着K存在唯一的固定点，即（85）的局部解。超越随机连续性的仿射过程37例A.4（线性方程）。设A如上所述，L P LpdAq与Lptq对于所有tě0。考虑r0，T s上的线性测量方程dDatφptq“'LptqφptqφpT q”φT（88）。过程'At：“sr0，tsL psq dash有限变化，因此我们可以应用[21，定理I.4.61]，尤其是方程I.4.63，以获得线性方程（88）的唯一c'adl'ag解，由φptq“φTETtpL dAq”给出，其中ettpl dAq：“esTtLpsqdAs'zsPpt，T sp1'LpsqAsq e'Lpsq作为“esTtLpsqdAcs'zsPpt，T sp1\'LpsqAsq。提案A.5。设f，g为右连续和绝对连续w.r.t.A。

如果以下条件成立（i）fpT qdgpT q，（ii）ddatftq“'F`t，fptq'和ddatgtq“'G`t，gptq'on I”r0，t s，其中F，G在第二个变量中是局部Lipschitz连续的，具有A-可积Lipschitz常数，（iii）F pt，uqdGpt，uq用于所有t P I，然后F ptqdgptq用于所有t P I。证明。假设命题的结论不成立。设w“F'G。然后存在区间I“rt，tq，使得w在地面上为正且连续，w ptqd0。可能发生两种情况：在“0”或在‰0。首先考虑t处没有跳跃的情况。从条件（ii）和（iii）我们得到pt，ts thatdwptqdAt“Gpt，gptqq'F pt，F ptqqěGpt，gptqq'Gpt，fptqq'Ltwptq，其中lti是相关域上Gpt，.q的Lipschitz常数。考虑pt，ts上的函数W ptq“wptq exp''''''''ttLsdAs\'。W是绝对连续的W.r.t.A和连续的。此外，dw ptqdAt“dwptqdAt\'Ltwptq˙e'ttLsdAsě0，t P pt，ts。与w ptqd0一起，可以得出所有t P pt，ts的wptqd0与假设相矛盾。其次，如果我们在t处有一个跳跃，即。wptq‰0，我们立即得到w ptqa0及其后的0a带ptq“'pF pt、fptqq'G pt、GPTQQAtě'Ltw ptq在因此，wptqa0；矛盾。参考文献[1]B'elanger，A.、Shreve，S.E.和Wong，D.（2004），“pricingcredit风险的一般框架”，数学金融14（3），317–350。[2] Bogachev，V.I.（2007），《测量理论》，斯普林格出版社。38 M.KELLER-RESSEL、T.SCHMIDT和R.WARDENGA【3】Cheridito，P.、Filipovi\'c，D.和Yor，M.（2005），“跳跃扩散过程的等效和绝对连续测量变化”，Ann。应用程序。概率。第1713-1732页。[4] Crasta，G.和De Cicco，V.（2011），“空间bv中的链式规则公式及其对守恒定律的应用”，暹罗数学分析杂志43（1），430–456。[5] Cuchiero，C.、Filipovi\'C，D.、Mayerhofer，E.和Teichmann，J。

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