由于V（t）表示（34）中的方差，选择η=pv（t）意味着将使用相同的现货波动率估计来计算Black-Scholes和Heston期权价格。由于这种现货波动率通常是根据观察到的期权价格来估计的，因此其相应的基础似乎是合理的。KM建议一台mig ht也使用通过优化问题确定的最佳妨害参数：ηOptN（S，v，t）=ar g minηCN（S，t；η）- CBS（S、t、η）（47）请注意，这相当于最小化定价误差的平方。正如KM所指出的，ηOptN（S，v，t）收敛于Black-Scholes模型asN的隐含波动率→ ∞. 考虑图1所示的实验，其中蓝线显示了（34）中定义的方差过程的一个可能样本路径。同一图中的红线显示了Black-Scholes隐含波动率，其中期权价格是在Heston模型下使用蓝线中的特定值v（t）在每个时间步计算得出的。因此，红线显示，如果在布莱克-斯科尔斯模型的假设下工作，人们将在每个时间点估计的隐含波动率，而真实的市场动态则由赫斯顿模型控制。图1清楚地表明，赫斯顿模型的sp ot波动率与Black-Scholes模型的隐含波动率高度相关，其中隐含Black-Scholes波动率总是略微低估真实波动率。然而，这一公认的启发性示例表明，选择η=pv（t）几乎等同于使用（47）中的优化标准，这解释了为什么如果使用有限且数量较少的修正项，此特定选择优于建议的替代性近似精度。并将其推广到CEV模型。3近似赫斯顿模型22图1：模拟vs。

B-S隐含挥发度0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5Heston挥发度隐含B-S挥发度注释：方差序列是由（48）&（49）的欧拉离散生成的单一样本路径，具有500个时间增量。期权价格通过数值积分的傅立叶反演计算，通过Matlabs bsimpl（）函数的隐含Black-Scholes波动率计算。参数：κ=2.00，θ=0.04，ω=0.10，ρ=-0.5和r=0.10.3.2近似精度为了研究近似的精度，我将遵循KM，并将近似误差相对于解析解表示为%Diff=CApproximation- CanalyticAnalysis·10 0I将对本论文中考虑的所有模型使用近似误差的定义，而不仅仅是赫斯顿模型。如果没有解析解，我使用蒙特卡罗模拟得出的价格，就像上面表达式中的解析价格一样。首先，我在初始示例中使用了与KM相同的参数，这与Heston【1993】中的参数大致相同。使得κ=2.00，θ=0.04，ω=0.10，ρ=-0.5，r=0.10。即期波动率为v（t）=0.04，履约价格设定为100，到期时间为一年。在图2a中，Black-Scholes挥发度被设置为η=pv（t），因此得到的图以KM为单位复制了图3。对于图2b，干扰参数设置为η=√θ. 在这两种情况下，近似值都是收敛的，仅在五个修正项后即可实现有效进动。如图2a所示，在选择妨害参数之前已经指出，该参数似乎优于备选参数。注意，设置η=pv（t）意味着3近似于赫斯顿模型23初始校正项δ=0。因此，在图2a中，N=0线有效地显示了Black Scholes和Heston价格之间的百分比差异。

图2b中的情况并非如此，其中η=√θ6=pv（t）。由于在这种情况下，近似值失去了精度，这种损失似乎与级数展开中δ项的出现有关。图2:Heston【1993】模型股票价格的KM近似值80 85 90 95 100 105 110 115 120-15-10-5N=0 N=1 N=2 N=3 N=4（a）使用σ=pv（t）股票价格80 85 90 95 100 110 115 120-15-10-5N=0 N=1 N=2 N=3 N=4（b）使用σ=√θ注：分析价格是通过傅里叶变换计算的。N=纠正术语的数量。履约价格=100，到期时间=1年，κ=2.00，θ=0.04，ω=0.10，ρ=-0.5，r=0.10，v（t）=0.04。所有与Hest on【1993】参数一致的B-S参数设置为相等。3近似赫斯顿模型24请注意，在这两种情况下，都有一系列股票价格，其中涉及四个修正项的近似值表现略好于使用五个修正项的近似值。然而，最大绝对误差为最低f或N=4。因此，在本节中，我将使用η=pv（t）和N=4。图3a至3c显示了不同到期日相同近似值的误差。这些示例显示了一个有趣的模式。如果增加了到达精度的时间，则除N=0近似值外，所有近似值的精度都会降低。在长达四年的成熟期内，由于N=0的近似值产生了最精确的结果，因此收敛似乎变成了发散。回想一下，近似值的讨厌参数设置为N=0近似值仅包含Black-Scholes价格。在分析期权数据中的波动率微笑时，有充分证据表明，微笑在短期到期时比在长期到期时更明显，即波动率微笑随着波动率的增加而变化。

由于Black-Scholes模型预测完全“微笑”，与短期到期相比，长期到期的真实期权价格将更接近Black-Scholes价格。这表明，KM的方法只是在图3c中的Black-Scholes价格中添加非零修正项，随着到期时间的增加，该方法变得越来越不精确。所以，KM级数展开的收敛性可能会随着时间的推移而不一致。在KM中也发现了这一问题，以近似长期债券的价格。然而，在股票或外汇期权的情况下，这样的长期期限是罕见的。3近似HESTON模型25图3:HESTON【1993】模型股票价格的KM近似80 85 90 95 100 105 110 115 120-15-10-5N=0 N=1 N=2 N=3 N=4（a）到期时间1.5年股票价格80 85 90 95 100 105 110 115 120-15-10-5N=0 N=1 N=2 N=3 N=4（b）到期时间2.0年股票价格80 85 90 95 100 105 110 120-15-10-5N=0 N=1 N=2 N=3 N=4（c）到期时间4.0年分析价格是通过傅立叶变换计算出来的。N=纠正术语的数量。罢工价格=100，κ=2.00，θ=0.04，ω=0。10, ρ = -0.5，r=0.10，v（t）=0.04。所有与Heston【1993】参数一致的B-S参数都设置为相等。3近似赫斯顿模型26下图4显示了当成熟时间和货币到期时，近似的准确性如何变化，而现在也考虑了一年以下的到期日。正如预期的那样，对于低信息量，近似的性能会增加。ITM的近似值（货币中，货币性>1）优于OTM的近似值（货币中，货币性<1）所称的模式在所有到期日都保持不变。

有趣的是，对于非常长的到期日，该方法高估了买入价格，而对于最短的到期日，则低估了价格。应该注意的是，虽然对于一年以下的到期日，far ITM调用的近似误差实际上变为零，但对于所有长期到期日，它仍然略高于零。总的来说，图4显示了大多数成熟度的高精度近似值。图4：到期日和货币性对KM扩张的影响0.80.9货币性K/S1.11.20.5成熟度1.5-2-1注：分析价格是通过傅立叶变换计算的。KM的近似使用了fivecorrective项。κ = 2.00 , θ = 0.04, ω = 0.10, ρ = -0.5，r=0.10，v（t）=0.04。所有与Heston【1993】参数一致的B-S参数设置为相等。接下来，我分析了股票价格与方差过程之间的相关性的影响。在所有之前的图中，相关系数ρ设置为-0.5. 图5显示了当同时改变ρa s和股价时，SKM对赫斯顿模型的近似值，而校正项的数量固定为5（即N=4）。面板（a）显示了一年到期的结果，面板（b）显示了0.5年到期的结果。两个图都表明，随着相关性的增加，近似值会在快速f或OTM调用时丢失精度。随着相关精度的提高，图5b中OTM3近似赫斯顿模型27次调用的近似精度显著降低。然而，ITM调用的近似值的精度似乎几乎不受相关性的影响。图5a清楚地表明，在较长的成熟期内，近似值的总体精度较低。在不同的货币范围内，相关性总是影响准确性。然而，图5b中的类似模式适用。

对于低水平的相关性，ITM和OTM调用之间的差异不准确度远远低于高相关性。总的来说，图4和图5显示，KM的近似值受到相关性、货币性和到期时间的强烈影响。由于图5还显示了到期时间和相关性之间的关系，图6明确显示了如果这两个量不同，对KM扩展F或ATM调用（在货币上，货币度=1）的近似误差的影响。对于6个月的到期日，相关性水平对准确性没有显著影响。然而，对于更长的时间，成熟度相关性在0.0和-0.5会导致高估买入价格，而-0.5和-1.0导致低估。在任何一种情况下，最大的近似误差都是在考虑的相关谱的最末端和考虑的最长到期时间（两年）达到的。3近似赫斯顿模型28图5：相关性对KM近似货币性K/S0.8 0.85 0.9 0.95 1 1.05 1.1 1.15 1.2-4-3.5-3-2.5-2-1.5-1-0.50.51.5ρ=-1ρ=-0.75ρ=-0.5ρ=-0.25ρ=0.0（a）一年到期时间K/S0.8 0.85 0.9 0.95 1 1.05 1.1 1.15 1.2-4-3.5-3-2.5-2-1.5-1-0.50.51.5ρ=-1ρ=-0.75ρ=-0.5ρ=-0.25ρ=0.0（b）到期时间0.5向往：分析价格是通过傅里叶变换计算出来的。KM的近似使用了fivecorrective项。到期时间=1年（A组）或=0.5年（B组），κ=2.00，θ=0.04，ω=0.10，r=0.10，v（t）=0.04。所有与Heston【1993】参数一致的B-S参数都设置为相等。3近似赫斯顿模型29图6：成熟度和相关性对KM扩张的影响1.5成熟度0.5-1-0.8-0.6-0.4ρ-0.2-1-2-3注：分析价格通过傅立叶反演获得。

KM的近似值使用了五个校正项。κ=2.00，θ=0.04，ω=0.10，r=0.10，v（t）=0.04。所有与Heston【1993】参数一致的Black-Scholes参数均设置为相等。本节中出现的所有图形都有一个共同点，即KM近似精度在OTM选项范围内具有最大绝对误差。期权在OTM区域越深，误差增加越快，而在ITM区域，误差随着期权价格的变动而减小。因此，期权的价格似乎对近似值的准确性有很大影响。对于短期到期和/或低水平的相关性，在整个货币范围内，近似值似乎相当准确。然而，如果成熟度和/或相关性增加，OTM选项的精度恶化最严重。KM还分析了另一组参数对赫斯顿模型的近似值。具体而言，KM使用了以下值：Strike=1000，T- t=1/12，κ=0.1465，θ=0.5172，ω=0.5786，ρ=-0.02 43，r=0.00，v（t）=θ，γ=0.5。Bollerslev和Zhou[2002]在FXoptions的背景下对这些参数进行了估计。KM近似的结果见表2，这与Younesian【2013】所观察到的相同。该参数选择违反了Feller条件，因为4κθ/v=0.5860<2。然而，Cizek e t al【2011年】指出，当在外汇环境下将赫斯顿模型与市场数据进行校准时，通常会发生这种情况。这仅仅意味着变量过程会反复触及零边界，但会立即离开它，即在边界y处花费的时间为零。（见Cizek e t al.（2011），第144页）。因此，违反Feller条件不应影响KM近似的结果。3近似于赫斯顿30型，结果已以KM为单位显示。

面板A显示了即期货币性如何影响近似值的准确性，而面板B显示了ATM调用的即期方差v（t）的不同值的影响。Aga在两个面板中的近似精度都非常高。在这种情况下，极高的准确性也可能与极低的相关性和较短的成熟时间有关。前面的示例表明，两者都有可能改进近似值。3近似HESTON模型31表2：近似HESTON【1993】模型面板A：股价傅里叶变换KM约为%差异950 57.8425 57.8449 0.00418960 62.3711 62.3738 0.004257467.1005 67.1033 0.0042447980 72.0291 72.0321 0.004155377.1553 77.1584 0.00400211000 82.4766 82.4797 0.00379787.9903 87.9934 0.00355131020 93.6933 93.6964 0.00327599.5822 99 5852 0.0029773105.6560.00266631050 111.9021 111.9048 0.0023492面板B：v（t=0）傅里叶变换KM约为0.1 36.4488 36.4854 0.100450.2 51.4125 51.4255 0.0253190.362.8997 62.9068 0.0112760.472.5792 72.5838 0.00634720.581.1007 81.104 0.00406280.6 88.7981 88.8006 0.0028210.795.8702 95.8721 0.0020720.8102.8102 4465 102。4481 0.00158570.9 108.6171 108 .6184 0.0012524114.4477 114 .4488 0.0010141.1 119.9878 119 .9888 0.00083766在Heston【1993】模型动态下的欧洲看涨期权价格比较。使用Matlab的integral（）函数，通过数值积分得到傅里叶变换价格。KM近似使用Black-Scholes模型作为基线模型。面板A：提供期权现货价格的准确性。执行价格=1000。B组：在货币期权（S（t）=st rike=1000）下，用于区分即期差异。在两个窗格中：到期时间=1/12，κ=0.14 65，θ=0.5172，ω=0。5786, ρ = -0.0243，r=0.00，v（t）=θ，γ=0.5。BlackScholes模型的波动率为σ=pv（t）。

与Heston【1993】参数一致的所有B-S参数均设置为相等。3.2.1近似看跌期权价格取决于所选参数值。对于OTM调用，近似值的性能相对较差，对于ITM调用，近似值的性能相对较好。在下文中，我将分析这种影响是否也出现在欧洲Put3近似于赫斯顿32型选项的情况下。KM没有提供一个近似看跌期权的示例。然而，put的级数展开式很容易推导出来。回想一下（46）中级数展开式中修正项d（·）和δn（·）的定义。d（·）被定义为真实模型和基线模型的最终支付之间的差异。如果使用Black-Scholes看跌期权作为基线模型来近似Heston f r amewo r k中的欧式看跌期权，则t项d（·）仍然等于零。回想一下，有必要选择最终支付相同的ba seline模型，因为普通香草选项的支付函数是不可区分的。另一个修正术语δnac反映了真实市场和基准市场驱动力的差异。从技术上讲，这种修正是建立在SDE两个模型系统和基线模型衍生物的系数差异的基础上的（见表1）。如果从看涨期权转换为看跌期权，表1中给出的初始定价错误和所有高阶修正条款可能保持不变。为了了解这一点，回顾如下：在任何一种情况下，系数都是相同的，并且校正项中出现的基线模型的导数也是相同的。在Black-Scholes模型中，只有股价方向的一阶导数在看涨期权和看跌期权之间存在差异，而二阶导数在这两种情况下是相同的。

在初始定价误差δ中，仅会出现Black-Scholes公式的二阶导数，而在近似中使用的基线模型的所有其他导数均取自该二阶导数。因此，对于看涨期权和看跌期权，整个修正项系列δ是相同的。因此，在KM近似下，只需将看跌期权的Black-Scholes价格作为序列扩展中的第一个元素，其余部分保持不变，就可以从看涨期权转换为看跌期权。可通过应用输出调用奇偶校验关系C（S，t）+Ke来检查此结果-r（T-t） =P ut（S，t）+通过KM系列扩展预测的看涨期权价格，即通过看涨期权平价从看涨期权价格获得的看跌期权价格应与通过使用Black-Scholes看跌期权价格作为其第一要素的系列扩展获得的看跌期权价格相同。应用bothapproaches，我可以证实这确实是真的。图7a显示了看跌期权KM近似值的收敛性。关于参数值，我再次使用最后一节第一部分的值，即κ=2.00，θ=0.04，ω=0.10，ρ=-0.5，r=0.10，v（t）=0.04，罢工100次，到期时间为一年。总的来说，每种KM近似值的绝对最大误差都低于具有相同数量修正项的买入价格近似值。每个额外的修正项似乎都会提高近似值的准确性。然而，与之前一样，有一系列期权价格，其中包括四个条款的扩张略优于包括五个条款的扩张。在看跌期权的情况下，OTM和ITM选项近似值的准确性差异不太明显。而影响，如赫尔（Hull）[2015]，p。

242.3近似HESTON模型33 OTM期权的近似值高于ITM期权的近似值，在所有近似值中都存在，除了N=2的展开，它远不如Call期权的显著。图7b和7c分别对2年和0.25年的到期时间重复分析。正如预期的那样，短期到期的准确率显著提高，而长期到期的准确率则下降。此外，更好地近似ITM选项的效果也变得更加明显。与之前一样，在长期到期的情况下，收敛模式开始消失。3近似HESTON模型34图7:HESTON【1993】模型股票价格中欧洲看跌期权的KM近似80 85 90 95 100 105 110 115 120-15-10-5N=0 N=1 N=2 N=3 N=4（a）到期时间一年股票价格80 85 90 95 100 105 110 115 120-15-10-5N=0 N=1 N=2 N=3 N=4（b）到期时间两年股票价格80 85 90 95 100 105 110 110 120-15-10-5N=0 N=1 N=2 N=3 N=4（c）到期时间0.25 Deargotes：欧洲看跌期权KM近似的收敛行为。真实模型为Heston【1993】，基线模型为Black-Scholes模型。百分比误差以分析赫斯顿价格的百分比表示。分析价格是通过傅里叶变换和使用MATLAB的integral（）函数进行数值积分计算得出的。N=纠正术语的数量。履约价格=100，到期时间=1年（a组）和0.25年（b组），κ=2.00，θ=0.04，ω=0.10，ρ=-0.5，r=0.1 0，v（t）=0.04，γ=0.5。干扰参数设置为σ=pv（t）。3近似HESTON模型353.2.2近似HESTON模型中的希腊人迄今为止，我分析了KM系列扩展在近似欧洲看涨期权价格方面的性能，并在HESTON模型的fr Amework中出售期权。

接下来，我将评估Heston framewo r k中对冲比率计算的KM近似值的准确性。为了计算对冲比率的KM近似值，我使用（20）中的级数展开和有限差分近似值来计算其中的导数。我使用与表2计算相同的一组参数来计算这些希腊语。该示例与以KM为单位进行的示例相同。然而，KM并没有解释他们是使用数值近似还是解析近似来获得序列扩展值。通过使用有限差分，我能够获得所有希腊人在不同钼含量情况下以KM为单位的相同值。对于可变现货波动率的情况，我的近似值和分析套期保值比率都与KM中报告的值略有偏差。结果见表3和表4。因为我代表选项 以百分比表示，近似误差报告在%点。表5显示了用KM级数展开近似V时的结果。这里给出了近似误差的绝对偏差。对于V，当sp ot波动率变化时，我的结果与KM的偏差最大（见附录B）。这有点令人惊讶，因为我在这两种情况下使用相同的计算方法，得到了VaryngMoneyness的精确KM结果。注意，对于V，基线模型没有对应的希腊语。尽管Black-Scholes挥发参数的值设置为等于赫斯顿模型中的现货挥发参数，但变量并不相同。在推导（45）中的初始定价误差时也强调了这一点，其中Black-Scholes模型的相应导数被认为等于零。

因此，当考虑（20）中的级数展开时，表示基线模型导数的第一个元素在近似V时等于零。3近似赫斯顿36型表3：近似赫斯顿面板A：股票价格傅里叶变换KM近似差值。，pp.950 44.2794 44.2819-0.0025864960 46.2918 46.294-0.002158848.2928 48.2945-0.0016931980 50.2776 50.2788-0.0 0120152.2414 52.2421-0.000694181000 54.18 5 4.1801-0.0001839856.0893 56.089 0.000318741020 57.9657.9649 0.000809659.8046 0.001262661.6066 61.6049 0.00168691050 63.3654 63.3633 0.00207面板B：v（t=0）傅里叶变换KM约差。，pp.0.1 51.9512 51.9516-0.000443210.2 52.6614 52.6509 0.0104690.353.2189 53.2149 0.00405750.453.6929 53.6917 0.00121050.554.1121 54.1121 0.00003480.6 54.492 54.4932-0.00120020.754.8416 54.8419-0.000211020.855.1673 55.1588 0.00850980.9 55.4732 55.4419 0.03134355.7625 55.69 0.0725551.1 56.0376 55.9066 0.131 01注：比较根据Heston[1993]模型的动态，稳定部队的欧洲看涨期权。所有希腊语单位为pct，差异单位为百分点。傅里叶变换价格是使用Matlab的integral（）函数通过数值积分得到的。希腊语的KM近似值通过有限差分获得。面板A：区分期权的现货价格。执行价格=1000。B组：在货币选项（S（t）=罢工=1000）处，用于区分即期差异。在bot h Panles中：到期时间=1/12，κ=0.1465，θ=0.517 2，ω=0.5786，ρ=-0.0243，r=0.00，v（t）=θ。Black-Scholes模型的波动率为σ=pv（t）。所有与Heston（1993）参数一致的B-S参数都设置为相等。3近似赫斯顿模型37表4：近似赫斯顿的Γ面板A：股价傅里叶变换KM近似值。

差异。，pp.950 0.20165 0.20161 4.0526e-05960 0.20076 0.20071 4.4782e-050.19937 0.19932 4.8141e-05980 0.1975 0.19745 5.0149e-050.19519 0.19514 5.0908e-051000 0.19246 0.19241 5.0701e-050.18935 0.1893 4.9582e-051020 0.18588 0.18583 4.7187e-050.18209 0.18205 4.4327e-050.17802 0.17798 4.0407e-051050 0.1737 0.17366 3.6158e-05面板B：v（t=0）傅里叶变换KM约差。，pp.0.1 0.44642 0.38533 0.0610960.2 0.31234 0.30392 0.00841560.30.25395 0.25273 0.00121730.40.21935 0.21918 0.00016690.50.1958 0.19575 5 5.1236e-050.6 0.17844 0.17843 1.3833e-050.70.16496 0.1652-0.000237020.80.15409 0.15448-0.000380830 0.9 0.14509 0.1436 0.00149050.137450 8 0.1273 0.0101791.1 0.13092 0.096136 0.034784注：赫斯顿动态下欧式看涨期权的比较【1993】型号。Al lGreek以百分比表示，差异以百分比表示。傅里叶变换价格是通过使用Matlab的integral（）函数进行数值积分得到的。希腊语中KM的近似值通过有限差分获得。面板A：区分期权的现货价格。Str ike价格=1000。小组B：在货币期权（S（t）=罢工=1000）上，用于区分即期差异。在两个窗格中：时间成熟度=1/12，κ=0.1465，θ=0.51 72，ω=0.5 786，ρ=-0.0243，r=0.00，v（t）=θ。Black-Scholes模型的波动率为σ=pv（t）。所有与Heston【1993】参数一致的B-S参数均设置为相等。3近似赫斯顿模型38表5：近似赫斯顿的VPanel A：股价分析V KM近似Diff，abs。74.9687 74.9679 0.00076581960 76.221 76.2212-0.0002336777.2834 77.2847-0.0013377980 78.1538 78.1563-0.002528678.8316 78.8354-0.00378511000 79.3178 79.3229-0.00508379.6148 79.6212-0.00639611020 79.7259 79.7336-0.007696679.6561 79.6651-0.008956679.4111 79.4213-0.0101481050 78.9977 79.0090-0.0112面板B：v（t=0）傅里叶变换KM约。

差异。，防抱死制动系统。0.1 180.4329 151.6085 28.82440.2 127.7884 122.9584 4.82990.3104.3134 103.4803 0.833080.490.279 90.1519 0.127050.580.6826 80.6861-0.00356990.673.5874 73.5304 0.0569 880.7 68.0654 67.8674 0.1979 20.863.6084 63.6146-0.00614720.9 59.9122 61.4241-1.51256.7816 62.6834-5.90181.1 54.0853 69.5145-15.4293注：在Heston【1993】模型动力学下，欧洲看涨期权的V比较。使用Matlab的integral（）函数，通过数值积分获得傅里叶变换价格。希腊语的KM近似值通过有限差分获得。A组：区分选项的零散性。执行价格=1000。B组：在货币期权（S（t）=罢工=1000）处，用于区分即期差异。在两个窗格中：成熟时间=1/12，κ=0.1465，θ=0.5172，ω=0.5786，ρ=-0.0243，r=0.00，v（t）=θ。Black-Scholes模型的波动率为σ=pv（t）。与Heston【1993】参数一致的所有l B-S参数设置为相等。4近似CEV模型394近似CEV模型在本节中，我将继续遵循K M的路径，并将其级数展开方法应用于另一个随机波动率模型。这也是由KM自己完成的，因此我在本节中也打算通过应用KM的结果来开始我的数值分析。

然而，与之前的赫斯顿模型一样，我也将考虑一些自己的例子。Chan等人【1992】首先引入了恒定方差弹性（CEV）模型来模拟随机利率，Jones【2003】或Lewis【2000】等在随机波动的背景下对其进行了进一步分析，并由以下SDEsdS（t）=rSdt+pv（t）SdW（t）（48）dv（t）=κ（θ）系统定义- v（t））dt+ω| v（t）|γdW（t）（49）dW（t）dW（t）=ρdt，其中κ表示平均反转参数的速度，θ和ω分别表示长期方差和扩散系数，r表示恒定瞬时短期速率。γ表示CEV参数。（48）和（49）中的表示是以KM为单位的相同值。然而，方差过程通常包括v（t）γ而不是| v（t）|γ。KM没有指出他们选择此版本CEV模型的原因，但这对系列扩展没有任何影响。CEV模型是赫斯顿模型的推广。通过设置γ=0.5，可以得到平方根过程in（34）。尽管Heston模型很受欢迎，但具有γ6=的CEV模型的案例具有实证相关性，如Jones【2003】所示。而在赫斯顿模型中，瞬时波动率的波动率不是水平依赖的，而方差瞬时波动率似乎是水平依赖的。Jones（2003）得出结论，水平依赖性似乎是数据的一部分，因此CEV模型可能在应用观察到的波动率微笑方面表现更好。因此，在（49）中选择γ6=1/2的过程可能是赫斯顿规范的合理选择。事实上，通过对标准普尔500指数（S&P500 index）日收益率数据的大量样本和3537个观测值进行分析，Jones（2003）估计γ值为1.33。

如本文所述，这些值表明了高方差弹性，与经验金融中的其他发现一致。Younesian（2013）使用标准普尔500指数看涨期权的最新数据集估计CEV参数约为0.6。请注意，虽然Jones[200 3]依赖Monte Carlo模拟和Baysian估计方法来获得他的估计，但Younesian[2013]直接从期权价格的m个横截面估计参数，我使用与KM相同的术语。然而，在文献中，术语CEV通常用于描述方差由确定性函数（例如股票价格）给出的模型。见Jones【2003】见Jones【2003】中的讨论，第196.4页，使用非线性最小二乘估计和KM的闭式近似公式近似CEV模型40。然而，Younesian【2013年】指出，CEV参数的估计因与KM系列近似值相关的相关系数的正确估计存在困难而受到严重影响。由于除了γ=之外，CEV模型的任何情况下都没有可用的解析解，因此我将依靠蒙特卡罗模拟来获得通过KM方法估计的期权价格的参考值。因此，本节中所述的所有近似误差可理解为与通过蒙特卡罗（MC）获得的价格的百分比或绝对偏差。4.1 CEV模型的KM展开由于CEV模型是赫斯顿模型的简单推广，因此很容易推导出该模型的KM级数展开式。在赫斯顿模型的情况下，可以简单地重复步骤，只需在第3.1节的所有方程中用v（t）γ替换v（t）项。遵循知识管理的方法，我再次使用Black-Scholesmodel作为基线模型。

由于我再次打算在CEV模型下近似欧洲看涨期权，并在Black-Scholes模型中使用看涨期权，因此调整边界的修正项等于零。应用（14）得到的初始定价误差与针对Heston模型δ（S，t）=（v（t）得到的初始定价误差相同- η） S哥伦比亚广播公司S（50），其中（50）再次出现，因为哥伦比亚广播公司/v=哥伦比亚广播公司/v=哥伦比亚广播公司/Sv=0。下表6显示了定价误差序列是如何按照近似顺序发展的，从（50）到任意正整数N。将表6与表1进行比较表明，修正项中唯一的差异在于方差项v（t），它是γ的幂，而不是1/2。由此产生的系列扩展与（46）中的相同，只是使用表6中的纠正术语。关于KM近似下的假设，更仔细地研究CEV过程的一个性质可能会很有趣。具体而言，如果γ>1then v→ ∞ 因此，增长条件无法保持。回顾KM方法所基于的假设的简要总结，在确定tr ue和基线模型之间差异的PDE解决方案的Feynman-Kac表示中提到了增长条件（见第2.2节）。然而，该条件仅在确保真实模型的SDEs存在解时才有必要。因此，如果生长条件被违反，则证明存在差异是很有必要的。为了证明ECV SDEs解的存在性，我密切关注Jones[2003，附录C]中的证明。见Jones[2003]，第187页。Jones（2003）证明了溶液的存在，但使用了不同的CEV过程公式。

因此，我基本上重做了Jones[2003]中的步骤，使用了近似CEV模型41的公式。请注意，CEV模型的价格过程本质上是一个几何布朗运动。对于常方差的情况，这类DE的解的存在性已在文献的其他地方得到证明。对于目前的随机波动率案例，Jones【2003】表明，如果SDE存在一个解，则存在一个解来确定方差的随机行为。因此，为了证明存在CEV模型的解，从而很好地定义了确定KM近似中定价偏差的PDE解的Feynman-Kac表示，有必要证明（49）的解的存在。要做到这一点，有必要说明（4 9）的尺度度量在0和+∞.（49）的标度度量为Ohm（v） =ZnmΘ（v）dv（51），其中Θ（v）=exp2κθω(2γ - 1） v2γ-1.-κω(γ - 1） v2γ-2.附录A.6包括上述比例尺的简要推导。Jones（2003）指出，上界+∞ 无法实现，如果Ohm（v） =R+∞mΘ（v）dv=+∞. 对于γ>1，这是true，因为t henv2γ- 1.→ 0和V2γ- 2.→ 0，使得Θ（v）→ 1as v→ ∞. 因此，积分无法收敛导致+∞ 无法实现。因此，Jones[2 003]指出，如果Ohm（v） =RnΘ（v）dv=+∞. 注意，对于γ>1，Θ（v）≈ 经验值2κθω(2γ-1） v2γ- 1.作为v→ 如果额外的t oγ>1，κ>0，自然θ>0，则Ξ≡2κθω(2γ-1） >0为真。对于v的小值，这意味着以下关系exp2κθω(2γ - 1） v2γ-1.= 经验值Ξv2γ-1.> 经验值Ξv>Ξv（52）自1/v起→ +∞ 作为v→ 0上述不等式也表示Θ（v）→ +∞ asv公司→ 0

因此，对于CEV变量过程的尺度度量，0和+∞ 无法获得（49）的解，因此存在（49）的解，因此，即使生长条件为viola t ed f或γ>1，也可以确保存在确定CEV模型的SDE解。因此，至少应该明确KM近似的第一步，即定价误差服从的PD e解的费曼-卡茨表示。本文使用的CEV模型。见Jones[2003]，第217页或其中引用的资料来源。见Jones[2003]，第216页。见Jones[2003]，第216.4页近似CEV模型434.2数值精度图8显示了KM对CEV模型中欧洲调用的近似值，用于两个CEV参数选择γ=0.6（面板a）和γ=1.33（面板b）。到期时间为一年，履约价格设定为100。其他参数为：θ=0.04，ω=0.10，ρ=-0.5，r=0.1，即期方差v=0.05，到期时间为一年，履约价格为100。布莱克-斯科尔斯足球俱乐部√v、 如前一节所述，N表示近似的阶数。由于这两种选择的CEV参数没有CEV模型的解析解，因此通过蒙特卡罗模拟获得参考值。图8中的两个例子都清楚地表明KM的级数展开收敛于蒙特卡罗解。γ=1.33的近似值似乎比γ=0的近似值更精确。总的来说，收敛模式与赫斯顿模型已经观察到的模式非常相似。对于CEV参数的两种情况，每一个新的修正项都会改善近似值，因此对于γ的两个值，显然应使用N=4阶近似值。结果表明，γ=1.33时的精度略高。

然而，ITM地区的错误面板似乎并没有完全消失，因为赫斯顿模型就是这样。4近似CEV模型44图8：不同的CEV参数值股票价格80 85 90 95 100 105 110 115 120-15-10-5N=0N=1N=2N=3N=4（a）CEV，γ=0.6股票价格80 85 90 95 100 105 110 115 120-15-10-5N=0N=2N=3N=4（b）CEV，γ=1.33注：CEV模型的近似值。面板（a）：γ=0.6，面板（b）：γ=1.33。在两个面板中：θ=0.04，ω=0。10, ρ = -0.5，r=0.1，即期方差v=0.05，到期时间为一年，履约价格为100。Black-Scholes波动率为√v、 使用附录A.4中的规范，通过蒙特卡罗模拟获得参考值。KM分析其对CEV模型的近似精度，γ=0.6，并使用Bollerslev和Zhou【2002】f或f X选项估计的参数集。下表7在t empts复制了Kristensen和Mele的部分内容【201 1，表2】。成熟时间为一个月，κ=0.1465，θ=0.5172，ω=0.5786，ρ=-0.0243，r=0.00，v（t）=θ。看涨期权的行权设定为1000。我还将95%的密度区间包括在表中，这些区间未以KM为单位报告。这两种价格，MC以及KM价格，都与其中报告的价格不同。KM提到，他们设计了4近似CEV模型45的MC模拟，以使γ=0.6时获得的MC价格与分析赫斯顿价格的偏差不超过0.5%，即与使用相同参数集但γ=0.5的傅立叶反演获得的价格的偏差不超过0.5%。然而，当比较Kristensen和Mele【2011年，表1】以及Kristensen和Mele【2011年，表2】中报告的期权价格时，发现表2中的MC价格与表1中的Fourier价格相比偏离了0.5%以上。

此外，将MC价格与傅立叶结果进行拟合的过程可能存在疑问。即使参数值很接近，结果模型也会产生结构性后果。如前所述，虽然Heston模型（即γ=0.5）是一个有效模型，但γ=0.6的一般CEV情况产生一个非有效模型。此外，0.5%偏差的界限似乎是任意的。因此，我不会按照KM的建议限制MC价格。因此，基于MC模拟的价格可能会以另一种方式偏离赫斯顿价格，而不是以KM为单位。然而，KM的sMC价格在我自己的MC结果的置信区间内。通过KM系列扩展获得的结果与Ristensen和Mele【2011年，表2】报告的值不同。我用于获得表7中近似值的程序与表2相同。由于结果与以KM为单位的报告值完全匹配，因此偏差令人惊讶。虽然KM的原始结果经常高估MC价格1%左右，但我自己的结果却经常高估MC价格。然而，我的MC和KM近似价格仅相差约-0.55%。然而，如果我使用KM的原始结果，结论将保持不变。对于非a ffene CEV情况，KM的级数展开似乎得出的近似值不如a ffene Heston模型的精确值。表8使用了与表7相同的参数值，但现在将γ设置为1.33，以便分析高方差弹性的情况。与MC价格的差异保持在1%以下，但现在系列扩张不断产生高于MC价格的价格。近似误差现在也显示出意外的模式。当选项从OTM移动到ITM时，它们会增加。

这似乎与特定参数值和高弹性方差有关。见K ristensen和Mele【2011年】，第4页01.4近似CEV模型46表7：近似CEV模型-γ=0.6面板A：股价蒙特卡罗系数。下形态上KM约%差异950 58.178 56.5888 59.7672 57.8674-0.53393960 62.7283 61.0752 64.3814 62.3967-0.52869970 67.4865 65.7693 69.2036 67.1266-0.5333980 72.4486 70.6673 74.2298 72.0555-0.54255990 77.6149 75.7696 79.4602 77.1817-0.558141000 82.9715 81.0622 84.8809 82.5029-0.56483109 10 88.5223 86.5491 90.4955 88.0163-0.571641020 94.2615 92.2246 96.2983 93.7188-0.575751030100.1746 98.0743 102.2748 99.6069-0.566641040 106.2693 104.106 108.4326 105.677-0.557391050 112.5434 110.3175 114.7693 111.9249-0.54959面板B：v（t=0）蒙特卡罗形态下形态上KM约%差异0.1 36.7795 35.9868 37.5721 36.6167-0.442490.2 51.7656 50.6285 52.9026 51.5021-0.509030.3 63.2958 61.888 24 64.7093 62.9573-0.534860.4 73.0207 71.3661 74.6754 72.6188-0.550430.5 81.587879.7144 83.4613 81.1286-0.562830.6 89.3302 87.2538 91.4066 88.8177-0.573670.7 96.4461 94.1786 98.7137 95.8836-0.583290.8 103.0649 100.6155 105.5143 102.455-0.591760.9 109.2765 106.6527 111.9003 108.6217-0.599251 115.1459 112.3539 117.9379 114.449-0.605251 120.7237 117.7688 123.6786 119.9864-0.61074注：CEV模型动态下欧洲看涨期权价格的比较γ = 0.6.MC价格使用Milstein方案、500个时间步和20000 s样本路径获得。密度区间按95%的水平计算。KM近似使用Black-s-choles模型作为基线模型。面板A：区分期权现货价格的准确性。执行价格=1000。小组B：在货币期权（S（t）=罢工=1000）上，用于区分即期差异。

在两个窗格中：成熟时间=1/12，κ=0.14 65，θ=0.5172，ω=0.5786，ρ=-0.0243，r=0.00，v（t）=θ。Black-Scholes模型的波动率为σ=pv（t）。4近似CEV模型47表8：近似CEV模型-γ=1.33面板A：股价蒙特卡罗系数。下形态上KM约%差异950 57.7911 56.2022 59.3801 57.9685 0.30688960 62.2887 60.6359 63.9416 62.4995 0.33837970 66.974 65.257 68.6911 67.2303 0.38266980 71.8629 70.0816 73.6442 72.1595 0.412 8990 76.9577 75.1121 78.8032 77.2853 0.425741000 82.2442 80.3345 84.1539 82.6053 0.43906106 87.7206 85 7469 89.6943 88.1168 0.451681020 93.3737 91.3361 95.4113 93.8168 0.474551030 99.213697.1124 101.3148 99.7018 0.492151040 105.2331 103.0687 107.3975 105.7682 0.508481050 111.4358 109.2087 113.6629 112.0119 0.51693面板B:v（t=0）蒙特卡罗形态下形态上千米约0.1 36.6629 35.8701 37.4558 36.8541 0.521530.2 51.4396 50.3018 52.5775 51.6922 0.490960.3 62.818 61.4036 64.2324 63 1147 0.472320.4 72.4188 70.7634 74.0743 72.7493 0.456330.5 80.8778 79.0039 82.751781.235 0.441580.6 88.5227 86.4464 90.5991 88.9015 0.427960.7 95.5489 93.2821 97.8157 95.9457 0.415360.8 102.0848 99.6369 104.5326 10 2.4961 0.402930.9 108.2186 105.5973 110.8399 108.642 0.3912 81 114.0145 111.2261 116.8029 114.4488 0.380941.1 119.5232 116.573 122.4734 11 9 9.9658 0.37029注：比较γ=1.33的CEV模型动态下的欧洲看涨期权价格。MC价格使用Milstein方案、500个时间步和20000个样本路径获得。置信区间按95%计算。KM近似使用Black-Scholesmodel作为基线模型。面板A：区分期权现货价格的准确性。执行价格=1000。B组：在货币期权（S（t）=罢工=1000）处，用于区分即期差异。

在这两种情况下：到期时间=1/12，κ=0.1465，θ=0。5172, ω = 0.5786, ρ = -0.0243，r=0.00，and v（t）=θ。Black-Scholes模型的波动率为σ=pv（t）。专注于γ=1.33的情况，图9显示，对于不同的到期日，相关性似乎对近似的准确性没有显著影响。尽管存在水平相关性和时间相关性，但所有参数均与图8b相同。对于图9a中较短的六个月到期时间，KM的近似值对于每个相关级别都达到了完全相同的精度。对于图9b中近似于CEV模型48的较长到期时间（一年），表明近似精度的直线随着相关程度的增加而略有偏移，但差异非常小。因此，对于γ=1.33的CEV模型，相关性对KM近似精度的影响似乎并不显著。由于之前在近似赫斯顿模型时，相关性水平对准确性有影响，现在这种影响似乎是由方差的高弹性决定的。图10对γ=0的CEV参数进行了相同的分析。6，保持所有其他参数相等。结果支持这样一种观点，即相关性对近似值的影响是由高方差弹性决定的。对于γ=0.6，相关性确实有明显的影响，但是，随着期权在ITEM区域内移动得更深，这种影响就会消失。

正如预期的那样，相关性的影响也随着到期时间的增加而增加。4近似CEV模型49图9:CEV：γ=1.33的相关性和货币性K/S0.8 0.85 0.9 0.95 1 1 1.05 1.1 1 1.15 1.2-1-0.50.51.5ρ=-1ρ=-0.75ρ=-0.5ρ=-0.25ρ=0.0（a）T- t=0.5moneynes K/S0.8 0.85 0.9 0.95 1 1.05 1.1 1.15 1.2-1-0.50.51.5ρ=-1ρ=-0.75ρ=-0.5ρ=-0.25ρ=0.0（b）t- t=1.0注：使用校正项对CEV模型的KM近似值产生影响。专家组（a）：到期时间为三个月。小组（b）：到期时间为六个月。γ = 1.33, θ = 0.04, ω = 0.1 0, ρ = -0.5，r=0.1，即期方差v=0.05。BlackScholes波动率设置为√v、 参考值通过蒙特卡罗模拟获得，使用附录A.4.4中的规定，近似于CEV模型50。图10：CEV：γ=0.6Moneyness K/S0.8 0.85 0.9 0.95 1 1 1.05 1.1 1 1.15 1.2-1-0.50.5ρ=-1ρ=-0.75ρ=-0.5ρ=-0.25ρ=0.0（A）T- t=0.5moneynes K/S0.8 0.85 0.9 0.95 1 1.05 1.1 1.15 1.2-1-0.50.5ρ=-1ρ=-0.75ρ=-0.5ρ=-0.25ρ=0.0（b）t- t=1.0注：使用校正项对CEV模型的KM近似值产生影响。专家组（a）：到期时间为三个月。小组（b）：到期时间为六个月。γ = 0.6, θ = 0.04, ω = 0.10, ρ = -0.5，r=0.1，即期方差v=0.05。Black-Scholesvality设置为√v、 使用附录A.4中的规范，通过蒙特卡罗模拟获得参考值。最后，以更集中的方式分析γ本身的影响可能会很有趣。图11尝试这样做。参数与图8相同，但nowlettγ在0.6到1.6之间变化。正如在前面的图中一样，我使用N=4的阶数作为KM近似值。

该图表明，当γ>0.6时，弹性参数对近似精度没有显著影响。对于所有价值，系列扩展显示出OTM选项的预期精度较低。4尽管与CEV 51型近似，但与MC价格的绝对最大差异从未超过1.5%。图11：方差和货币弹性水平0.80.9货币性S/K1.11.20.60.81.2γ1.41.50.51.6注：方差参数和货币性的不同弹性对CEV模型KM近似值的影响，使用五个正确的术语。完工时间为一年，θ=0.04，ω=0.10，ρ=-0.5，r=0.1，即期方差v=0.05。Black-Scholes波动率设置为√v、 参考值通过蒙特卡罗模拟获得，使用附录A.4.5随机波动率和OU过程525随机波动率和OU过程。在本节中，我将重点转向期权价格的另一类随机波动率模型，其中随机波动率直接建模，并遵循Ornstein-Uhlenbeck过程。考虑以下系统：SDEsdS（t）=r dt+σ（t）dW（t）（53）dσ（t）=κ（θ- σ（t））dt+ωdW（t）（54）dW（t）dW（t）=ρdt，其中κ表示均值回归参数的速度，θ表示长期均值，ω表示波动率的瞬时波动率。该模型最初由斯坦（Stein）和斯坦（Stein）[1991]（此后为S&S）提出，用于股票价格和波动过程之间的零相关性，因此在原始公式中ρ≡ 由于波动率与股价过程之间的相关性在重新应用数据中观察到的波动率微笑中起着重要作用，因此零相关性似乎具有相当大的限制性。

然而，Sch¨obel和Zhu[1999]对该模型进行了扩展，以涵盖这两个过程之间的任意相关性。我之所以考虑这个模型，是因为它不属于a ffine模型的范畴，因此产生了一个比之前的非a ffne CEV示例更常见的非a ffne模型。Sch¨obel和Zhu[1999]通过傅里叶反演技术为该模型提供了一个（半）闭式解，因此可以通过解析解来检验K M近似的准确性和收敛性。请注意，SZ模型不是赫斯顿模型的特例，反之亦然。对于参数限制κ=κ赫斯顿/2、ω=ω赫斯顿/2、θ=0和θ赫斯顿=ω/κ赫斯顿，Sch¨obel and Zhu[1999]模型等效于赫斯顿模型。然而，这些限制决定了赫斯顿模型，因此这两个模型在很大的参数值范围内并不一致。这为保持KM近似的鲁棒性提供了另一个优势。CEV模型中的非特定和非特定的变量过程具有相同的一般结构，其中一个变量是另一个变量的特例。虽然KM没有考虑除CEV情况以外的任何非有效期权定价模型，但他们是在利率模型的背景下考虑的。具体而言，KM将其近似值应用于Forani和Mele[2006]提出的非净因子模型。在这种情况下，KM发现近似误差只会随着不到三年的纠正条款格式数量的减少而减少，并得出结论，对于较长的到期日，可能需要许多纠正条款才能实现准确的近似。

由于KM方法的准确性也随着赫斯顿成熟时间的增加而恶化，因此有必要在Stein和Stein【1991】以及Sch¨obel和Zhu【1999】的背景下评估不同成熟时间近似值的准确性。参见Sch¨obel和Zhu【1999】，第30页。参见K ristensen和Mele【2011年】，第4页07.5随机波动率与OU过程53模型。5.1 SZ模型的近似推导SZ/s&s-模型的KM近似值的步骤与Heston模型的步骤基本相同。同样，Black-Scholes公式作为基线模型。第一步是推导SZ模型的协方差矩阵。应用与第3.1节（36）中相同的原理，协方差矩阵由“σ（t）S（t）0ρωp1”给出- ρω#×”σ（t）S（t）ρωp1- ρω#=“σ（t）S（t）ρωσ（t）S（t）ρωσ（t）S（t）ρωσ（t）S（t）ω#（55）在上述matr ix方程的右侧应用（14）会产生初始定价误差δ=σ（t）- ηS（t）哥伦比亚广播公司S（t）（56）注意，通过用σ（t）代替v（t），δ与（50）中的δ相同。基于此初始定价错误，可以根据（18）中的规则迭代计算所有进一步的修正项。纠正术语的迭代如表9所示。注意，对于S&S模型的情况，即ρ=0时，所有术语包括交叉导数δn/Sσ（t）退出。使用（46）和表9中的修正项，可以表示SZ模型动态下普通香草调用的价格。对于该模型，我开发了SZ模型的展开式，直到N=5，因为这是KM用于其近似f theForani和Mele[2006]模型的级数展开式的最佳顺序。由于SZ和S&S模型是等效的，因此ρI的选择将以SZ规范为基础。

通过将ρ设置为零，可以简单地获得S&S模型的近似值。5具有OU过程的随机波动率555.2近似精度图12遵循与前几节中初始图相同的想法，显示了在近似S&S模型时，不同股票价格的近似误差行为，即模型的零相关性情况。参数值取自Sch¨obel和Zhu【1999年】。图12a（到期日为0.25年）显示了预期的收敛模式。对于N=4或N=5的校正项，KM的近似可产生非常精确的结果，N=4的百分比误差不超过0.6458%，N=5的百分比误差不超过1.1282%。当N=5时，N=4的最大绝对误差略小，这表明并非所有模型都需要更多的修正项才能导致更大的进动。如果解析解是未知的，则很难确定近似的最佳阶数的特性。随着成熟时间准确性和lso的增加，收敛行为迅速恶化。图12b和12c显示了0.5年和1年的到期时间的相同近似值。虽然在图12b中似乎不存在明显的收敛模式，但最后两个面板甚至似乎暗示朝着发散方向而不是收敛方向，至少就所考虑的纠正项数量而言。这表明，当使用Ornstein-Uhlenbeck而不是前面章节中的平方根过程时，随着成熟时间的增加，近似变得不稳定的速度要快得多。只有一年以上的到期日才会出现不稳定性。图13显示了用KM近似法近似更一般的SZ模型的结果。我假设相关系数ρ=-0.5，而所有其他参数与之前相同。