收敛模式似乎与S&Smodel相同。该近似值在0.25年的短期内收敛，如图13a所示。然而，13b a和13c小组表明，对于半年和一年到期的时间，趋同似乎变成了分歧。请注意，即使对于短期到期情况，对于OTM调用，N=5的近似误差仍然很大。与零相关情况相比，随着股价的上涨，近似误差消失得更快、更均匀。此外，在这种情况下，每一个新的校正项的近似值确实更加精确，而在相同成熟度的零相关性情况下，第六个校正项略微降低了精度。当到期时间增加时，SZ模型的近似值显示出与S&S模型相同的行为。在半年的期限内，趋同模式开始消失，在一年的期限内变为分歧。总的来说，与CEV或Heston模型相比，这类模型的KM近似方法的兼容性似乎较低。对于赫斯顿模型（Hestonmodel），对于最长两年的到期日，仍然存在一种趋同模式。Kimmel【2008】发现，如果用于定价的序列展开在某些复杂到期日具有奇点，则某些到期日会出现这种分歧行为。在这种情况下，序列展开将开始偏离绝对量级5随机波动率相同的到期日，OU过程56与奇点发生的复杂到期日相同。更具体地说，Kimmel【2008年】认为，复平面中存在一个圆，其半径由从零到最接近零的奇点的距离确定，这种级数展开式在圆内收敛，在圆外发散。

这表明，超过0.5年的SZ mo del到期日已经超出了这一范围。请注意，图12和图13都表明，当到期时间为0.5年或更长时，最精确的KM扩展仅包括第一个修正项，即N=0。对于一年期的长期债券，这些扩张似乎非常精确。然而，这可以简单地用nuisanceparameter的特定选择和波动率微笑的一般行为来解释。通过选择η=σ（t），ONE有效地将第一个校正项设置为零，这样N=0展开式仅使用Black-Scholes价格作为近似值。正如我在讨论赫斯顿模型的近似值时已经指出的那样，对于长期到期的债券，波动性指数往往会下降，因此布莱克-斯科尔斯价格将更接近真实价格。参见K immel【2008年】，第1.5页随机波动率与OU过程57图12：Stein和Stein【1991年】模型的近似值。股票价格80 85 90 95 100 105 110 115 120-20-15-10-5N=0 N=1 N=2 N=3 N=4 N=5（a）到期时间T-t=0.25股价80 85 90 95 100 105 110 115 120-20-15-10-5N=0 N=1 N=2 N=3 N=4 N=5（b）到期时间t- t=0.50股价80 85 90 95 100 105 110 115 120-20-15-10-5N=0 N=1 N=2 N=3 N=4 N=5（c）到期时间t- t=1.00注：对于所有面板：履约价格=100，θ=0.2，κ=4.0，ω=0.1，r=0.0953，即期波动率σ=0.2。Black-Scholes波动率σ=σ=0.2。

通过带有OU过程的随机波动率ρ=0.5的SZ模型傅里叶反演解分析价格58图13：Sch¨obel和Zhu[1999]模型的近似值。股票价格80 85 90 95 100 105 110 115 120-80-60-40-20N=0 N=1 N=2 N=3 N=4 N=5（a）到期时间T-t=0.25股价80 85 90 95 100 105 110 115 120-80-60-40-20N=0 N=1 N=2 N=3 N=4 N=5（b）到期时间t- t=0.50股价80 85 90 95 100 105 110 115 120-80-60-40-20N=0 N=1 N=2 N=3 N=4 N=5（c）到期时间t- t=1.00注：对于所有面板：履约价格=100，θ=0.2，κ=4.0，ω=0.1，r=0.0953，即期波动率σ=0.2，ρ=-0.5. Black-Scholes波动率σ=σ=0.2。通过傅立叶反演分析价格。似乎只有在成熟时间低于六个月的情况下，近似才能产生具有足够精度的结果。图14总结了这一点，它清楚地表明，近似值的准确性随着成熟时间的增加而迅速恶化。因此，我将首先关注三个月和一个月的短期到期，以研究不同水平的相关性对近似性能的影响。图12a和13a表明，当相关性处于-0.5.5有OU过程的随机波动性59图14：对增加到期时间的敏感性1.5成熟度0.50.9货币性K/S1.1-500-400-300-200-1001.2注：对于增加到期时间的SZ模型，KM近似值的不稳定性和六个修正项。履约价格=100，θ=0.2，κ=4.0，ω=0.1，r=0.0953，即期波动率σ=0.2，ρ=- 0.5. Black-Scholes波动率σ=σ=0.2。通过傅立叶反演分析价格。图15显示了一个月和三个月到期日的近似行为，其中使用了六个修正条款（即N=5）来表示不同级别的相关性和货币性。

图中显示了与t heHeston模型相似的行为（对比见图5）。对于图15a中一个月的到达时间的情况，只有-0.5吨油-1对近似值的准确性有影响，因此这种影响也仅限于OTM选项。ITM选项以极高的精度近似所有级别的相关性。如图15b所示，如果考虑到三个月的更长到期时间，相关性的影响将显著增加。对于零相关性情况，近似值在整个货币范围内保持完全稳定。相关性水平的提高明显降低了近似值的准确性，因此，影响现在不仅限于O TM选项，而且也出现在ITM选项中。尽管后者不太明显。由于在这些情况下近似值的不稳定性，SZ模型不考虑更长的时间。5具有OU过程的随机波动率60图15：具有六个修正t项的SZ模型K/S0.9 0.95 1 1.05 1.1 1 1.15 1.2-6-4-2ρ=-1ρ=-0.75ρ=-0.5ρ=-0.25ρ=0.0（a）到期时间等于一个月的时间K/S0.9 0.95 1 1.05 1.1 1 1 1.15 1.2-6-4-2ρ=-1ρ=-0.75ρ=-0.5ρ=-0.25ρ=0.0（b）三个月到期时间等式注：傅立叶分析价格使改变走向=10 0，κ=4.0，θ=0.2，ω=0.1，r=0.0953，现货波动率σ（t）=θ。布莱克-斯科尔斯波动率等于即期波动率。所有近似值均为N=5.5阶随机波动率，OU过程615.2.1近似SZ模型中的希腊人，以获得KM在SZ模型动态下看涨期权对冲比率的近似值。我再次使用方程（20）。

与赫斯顿模型一样，我也将再次使用中心有限差分来获得相关项的导数。分析参考值可通过傅里叶变换获得，其原理与赫斯顿模型相同，我在附录A.1.1中概述了该模型。表10和表11显示了KM的近似值 以及SZ模型动力学下的看涨期权的Γ。与之前一样，希腊人的报告以百分比为单位，因此近似误差以百分比为单位。所选参数与之前相同，到期时间为0.25。正如预期的那样，近似值的精度比赫斯顿模型的精度低。表12显示了选项V的近似值。近似误差报告为绝对偏差。请注意，这里Black-Scholes V也等于零。表12中的面板A显示了不同货币的近似值。近似误差保持在1%以下，并且显示出与其他近似值相似的量级。但是，请注意，现货波动率设置为0.2。同一表格的面板B表明，近似值对即期波动率参数的选择高度敏感。对于0.1和0.2的现货波动率，近似值得出了准确的结果。随着现货波动性的增加，V的近似值变得不稳定，从而产生了极高的对冲比率负值。尽管需要时间来处理，但这揭示了SZ模型中近似过程不稳定的另一个来源。关于SZ模型中希腊人的详细描述，请参见Sch¨obel和Zhu[1999]，第。

29.5有OU的随机波动率-过程62表10：近似值 对于SZ modelPanel A：股价傅里叶变换，%KM约，%差值。，pp.80 1.5781 1.9609-0.3827885 7.6057 8.6632-1.057522.6168 22.4057 0.211795 44.2531 42.1098 2.143364.6821 62.9238 1.7583105 79.5248 79.2665 0.258388.791 89.2885-0.4975115 94.0791 94.6592-0.5800896.9379 97.473-0.53503面板B：σ（t=0）傅里叶变换，约公里，，%差异。，pp.0.1 69.0697 69.594-0.524250.2 64.6821 62.92 38 1.75830.362.3638 61.09 68 1.2670.4 61.121 60.7674 0.353630.560.4721 60.63 94-0.167250.660.1788 60.59 42-0.415390.760.1131 60.60 83-0.495210.8 60.2009 60.66 37-0.462740.960.3968 60.74 24-0.3455660.6711 60.82 72-0.156041.1 61.004 60.9022 0.10177注：到期时间0.25，θ=0.2，κ=4。0，ω=0.1，r=0.0953，ρ=-0.5. 布莱克-斯科尔斯波动率σ=σ=0.2。A组：履约价格=100，现货波动率σ=0.2。面板B：股票价格=执行价格=100.5随机波动率，带OU-过程63表11：SZ模型的近似值面板A：股票价格傅里叶变换，%KM约，%差异。，pp.80 0.57373 0.7438-0.1700785 2.0189 2.0166 0.0027043.9028 3.4479 0.4549295 4.4477 4.2612 0.186513.581 3.8587-0.27766105 2.3676 2.6194-0.251751.3973 1.4584-0.061154115 0.77065 0.7635 0.00714610.40811 0.3993 0.0088082面板B：σ（t=0）傅里叶变换，约，，%KM，，%差异。，pp.0.1 0.046477-0.077595 0.1240 70.2 0.03581 0.038587-0.00277660.30.028296 0.028236 6.0567e-050.4 0.023168 0.023232-6.4091e-050.50.019529 0.019976-0.00 0446870.60.016836 0.017531-0.00 0694020.70.014772 0.015584-0.00 0811760.8 0.013142 0.013988-0.00 000846340.90.011823 0.012652-0.00082880.010735 0.011519-0.00 0784711.1 0.0098209 0.010544-0.00 072277注释：到期时间0.25，θ=0.2， κ = 4 .0，ω=0.1，r=0.0953，ρ=-0.5. 布莱克-斯科尔斯波动率σ=σ=0.2。

A组：履约价格=100，现货波动率σ=0.2。面板B：股票价格=执行价格=100.5随机波动率和OU-过程64表12：近似SZ的VPanel A：股票价格分析V KM近似差值。，防抱死制动系统。80 0.86888 0.49785 0.371033.5542 3.5823-0.0281328.2878 9.6389-1.351195 11.7159 12.9976-1.281711.6291 11.2967 0.33233105 9.2815 8.3014 0.980026.4823 6.2093 0.27295115 4.163 4.3411-0.17812.5337 2.4634 0.070352面板B：σ（t=0）傅里叶变换，%KM约，，%差异。，防抱死制动系统。7.7.7.7 7.7 7.7 7.7.7.7.7 7.7.7 7.7 7.9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 7 7 7 7 7.7 7 7 7 7 7 7 7 7.7 7 7 7 7 7 7.7 7 7 7 7 7.7 7 7 7.7 7 7 7 7.7 7 7 7.9 9 9 9 9 9 9 9 9 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9-2389 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 36.4368 428003749.00 92票据：到期时间0.25, θ = 0.2, κ = 4 .0，ω=0.1，r=0.0953，ρ=-0.5. 布莱克-斯科尔斯波动率σ=σ=0.2。A组：履约价格=100，现货波动率σ=0.2。B组：股票价格=履约价格=100.6随机波动的商品期货656随机波动的商品期货迄今为止考虑的所有模型都有一个共同点，即假定标的本身遵循几何布朗运动。只有随机波动率被认为是均值回复。虽然这是期权或期货等金融衍生品（如股票）建模中的一个相当标准的假设，但商品价格通常是通过均值回归过程建模的。许多大宗商品都有充分的证据证明，下垫面的这种均值回归。

Lutz【2009年，第2章】对商品价格均值回归特性的经验证据和理论合理性进行了很好的讨论。在下文中，我考虑了Lutz【2009】提出的一个模型，其中，基础价格和随机方差均为均值回归。dX（t）=η (α - X（t））-v（t）+pv（t）dW（t）（57）dv（t）=κ（θ- v（t））+ωpv（t）dW（t）（58）dW（t）dW（t）=ρdtS（t）=eX（t）随机方差由类赫斯顿平方根过程建模，在之前的实验中，该过程与KM近似最为兼容。商品价格本身遵循Ornstein-Uhlenbeck过程，其中上述表示是通过设置X（t）=ln（S（t））然后应用Ito引理得出的。这种过程的组合特别有趣，因为KM的近似对于平方根方差过程有很好的结果，但对于OrnsteinUhlenbeck vola-tility不稳定。上述模型结合了这两个过程。虽然在前面几节中，我一直在考虑普通的看涨期权，但在本节中，我将考虑未来合同。在没有市场摩擦的情况下，如果利率是确定性的，期货价格和期货价格是相等的。如前一节所述，我将假设利率不变，因此未来和远期价格将在下文中视为相同。6.1商品期货的基准模型。我将在本节中重点介绍期货，布莱克-斯科尔斯模型不能作为基准模型。然而，文献中有几种可能的商品期货价格模型可供选择。近似上述期货价格的合适基准是Schwart z[1997]中的模型1，我将在下文中引用Schwartz模型。该模型假设commoditySee-Cox et al.（1981，Proposition 3），p。

325.6随机波动率为66的商品期货价格遵循Ornstein-Uhlenbeck过程，波动率为常数yDx（t）=κ（α- x（t））dt+σdW（t）（59）α=u-σ2κS（t）=ex（t）注意，这里假设x（t）=ln（S（t））遵循Ornstein-Uhlenbeck过程，而不是S（t）本身。因此，真实模型和基线模型之间的潜在差异的过程略有不同。众所周知，遵循anOrnstein-Uhlenbeck过程的变量具有高斯分布。因此，通过使用统计的标准结果，可以很容易地验证x（t）具有以下分布x~ Ne-κTx+1.- e-κTα|{z}=E（x），σ2κ1.- e-2κT|{z}V ar（x）（60）由于到期日为T的期货合约的价格等于该到期日标的物的预期价格，因此价格由f（S，T）=E（S（T））=expe-κTx+1.- e-κTα +σ2κ1.- e-2κT（61）6.2 KM扩展可根据第2.2节概述的原则再次计算KM的系列扩展。推导（57）和（58）u（X，t）中Commodity模型的漂移向量和协方差矩阵是很困难的=η ( α - X（t））-v（t）κ（θ）- v（t））′, （62）σ（X，t）=“v（t）ρωv（t）ρωv（t）ωv（t）ωv（t）#（63），而模型的PDE为Ft型+η ( α - X（t））-v（t）FX+κ（θ- v（t））Fv+（64）+v（t）FX+ωv（t）Fv+ ρωv（t）F十、v=0或，根据（5）中给出的运算符L，simplyL F（X，t）=0（65）。参见Schwartz【1997】，第926页。参见Schwartz[1 997]第927页的模型，或Cox等人[1981]第339页的一般模型。6边界条件为F（X，T）=X（T）的随机波动率商品期货67。

注意，（65）中的偏微分方程缺少通常出现在其他导数偏微分方程中的f（X，t）项。在财务文献中，每个衍生工具的价格都应该由基本PDE（另见（4））L F（X，t）+c（X，t）=rF（X，t）（66）确定，其中c（X，t）表示基础资产的现金流。在前面的所有章节中，我都假设c（X，t）≡ 0，因为这也是由KM完成的。然而，在期货的情况下这样做可能会产生误导。Cox等人（1981年，Proposition 7）指出，期货合约的价格等于收到连续付款的资产的价值，即c（X，t）=rX（t），另外F（X，t）=X（t）。因此（66）减少到（65）。Friedman【1975，定理6.1】表明，（65）的直接解将由F（X，t）=Et【X（t）】给出。通过应用傅里叶变换m技术，Lutz【2009】为这一期望提供了一个解析（半）闭式解。然而，KM的封闭式近似方法是基于PDE的Feynman-Kac表示，描述了真实模型和基线模型之间的差异。通过表示F（X，t）=F（X，t）-F（X，t）True模型和Schwartz模型下的期货价格之间的差异，相关的PDE可以写成F（X，t）+δ（X，t）=0（67）s.t.d（X）=0，其中δ（X，t）与（17）中的相同，因此表示真实市场和基线市场之间驱动力的差异。边界条件d（X）等于零，因为真实模型和基线模型具有相同的最终结果。为了找到类似于（16）的（67）解决方案，回顾第2.2节中KM\'sapproach的轮廓，这里提到了Karatzas和Shreve【1991年，定理7.6】的表示。进一步注意，（67）与（1）和（2）中的一般定价偏差PDE的区别仅在于术语R（X，t）F（X，t）。

因此，e effectivelyin（67）瞬时短期利率为R（X，t）=0。因此，设定R（X，t）=0，d（X）=0 in（15）yieldsF（X，t）=F（X，t）+ZTtEt，X[δ（X，s）]dt（68）。此处显示的情况类似于Karatzas和Shreve[1 991，p.397]中描述的情况。其中R（X，t）=δ（X，t）=0，而d（X）6=0。然后，通过Friedman【1975，定理6.1】可以再次找到（67）的解F（X，t）=Et【d（X）】。与该情况（68）类似的是（67）的解。基于此解的表示，KM的级数展开式为（见第2.2节）F（X，t）=F（X，t）+NXn=0δn（z，t）（t- t） n+1（n+1）！（69）见Cox et al.（1981），第338.6页随机波动性商品期货68因为R（X，t）被设置为零，以推导（68）根据δn（X，t）=Lδn得出的修正项-1（X，t）表示n>0（70），其中初始定价误差δ仍然由（14）给出。注意，（68）中的期望也可以通过蒙特卡罗积分进行评估。然而，在这种情况下，得到的解不会有闭合形式，因此与蒙特卡罗积分相比，在评估前面提到的直接解方面没有优势。使用（63）中的协方差矩阵得到（14）中的定义，可以直接得出初始定价误差δ=v（t）-σF十、-v（t）FX（71）虽然初始定价误差中的第一个因素与之前的实验中的凸度调整相同，但第二个因素解释了基线和真实模型中基础SDE的不同裂痕。

下表13显示了如何根据（70）中的规则开发一系列纠正术语。6具有随机波动率的商品期货706.3数值精度为了评估该模型的KM近似精度，我使用Lutz【2009】建议的参数值：s=80，(R)s=8 5（即α=log（85）），η=1.0，ω=0.2，v（t）=0.04，κ=1.0，θ=0.05，a和ρ=-0.5以及12、6和3个月的到期时间。根据与前几节相同的论证，基线模型的干扰参数设置为σ=pv（t）。图16显示了MC结果及其95%置信区间，以及这些参数值的N=0到N=4修正项的KM近似结果。Et的模拟值eX（T）为81.8091，95%置信区间为[81.7681；81.8500]。KM近似的结果高估了所考虑的近似阶数的MC。此外，KM近似值中的任何一个都不在估计置信区间内。然而，近似误差相当小，范围在0.2387%到0.4131%之间，具体取决于近似值的顺序。然而，在五个修正项之后，级数展开无法收敛到参考值。仅使用初始校正项的近似将得到最准确的结果（近似误差：0.2387%）。然后，通过在KM的六分法中再加入一个元素，将精度降低到最低水平（近似误差：0.4131%）。然而，随着包含更多的更正，似乎略有改进。总的来说，第一个五个要素的级数展开行为表明，要实现明显的收敛，需要大量的修正项。

虽然近似误差如此之低，以至于对于大多数实际应用来说，精度似乎是足够的，但这暗示了KM方法的一个问题：并不总是清楚哪个数量的修正项会产生最佳近似。图17显示了将时间到期日减少到一个月时的近似结果。整体模式与e之前的模式相同。仅使用初始修正项的近似值将产生最精确的近似值。只添加一个额外的修正项会产生最不精确的结果。添加更多校正项后，近似值再次略有改善，而N=2 toN=4的结果是相同的。对于一个月的到期日，KM的近似结果在每个考虑的近似顺序的95%置信区间内。请注意，尽管使用所有校正项并非最佳，但精度极高，对于n=4近似，n近似误差仅为0.0136%。然而，仅使用初始校正项会产生小于0.0057%的近似误差。图18描述了一年到期时间的KM近似结果。在这种情况下，序列扩展的行为符合预期。精度低于同一组参数，s Lutz【2009】报告的MC结果为81.8016，95%的置信区间为【81.7941；81.8090】。Lutz【2009】还报告了这些参数的分析价格为81.8008。这意味着我自己的MC结果高估了分析价格0.0101%。因此，我相信使用我的MC程序不会对得出的结论产生任何重大影响。6随机波动率商品期货71前面的两个例子。同样，一阶近似值产生的结果最多，二阶近似值产生的结果最不精确。

近似值均不在MC模拟的95%置信区间内。然而，在一年不成熟的情况下，所有近似误差仍然非常低。对于N=4阶近似，误差仅为0.9521%；对于N=0阶展开，误差为0.6856%。图16：MC结果与KM近似值-到期日0.5年预计未来价格81.75 81.8 81.85 81.9 81.95 82 82.05 82.1 82.15 MC价格下形态。上形态N=0 N=1 N=2 N=3 N=4注：与st ochastic方差商品未来模型的MC结果相比，KM的近似值。附录A.5中提供了MC方法的说明。参数值：S=80，(R)S=85（即α=对数（85）），η=1.0，T-t=0.5，ω=0.2，v（t）=0.0 4，κ=1.0，θ=0.05，ρ=-0.5.基线模型是Schwartz【1997】的模型I。6随机波动性商品期货72图17：MC结果与KM近似值-到期日0.25年估计未来价格80.365 80.37 80.375 80.38 80.385 80.39 80.395 80.4 80.405 80.41MC价格下形态。上形态N=0 N=1 N=2 N=3 N=4注：与st ochastic方差商品期货模型的MC结果相比，KM的近似值。附录A.5中提供了MC方法的说明。参数值：S=80，(R)S=85（即α=对数（85）），η=1.0，T- t=0.25，ω=0.2，v（t）=0.04，κ=1.0，θ=0.05，ρ=- 0.5. 基线模型是Schwartz【1997】的模型I。图18：MC结果vs.KM近似值-到期日1.0年预计未来价格82.7 82.8 82.9 83.1 83.2 83.3 83.4 83.5 83.6 83.7 MC价格下限形态上限形态N=0 N=1 N=2 N=3 N=4注：与st ochastic方差商品期货模型的MC结果相比，KM的近似值。附录A.5中提供了MC方法的说明。参数值：S=80，(R)S=85（即。

α=对数（85）），η=1.0，T-t=1.0，ω=0.2，v（t）=0.0 4，κ=1.0，θ=0.05，ρ=-0.5.基线模型是Schwartz【1997】的模型I。结论737结论本论文的主题是分析Kristensen和Mele【2011】开发的封闭式近似方法的行为。在衍生品定价模型方面，我重点关注随机波动率模型，因为它们提供了一种方便的设置，用于测试近似值的准确性和收敛性。我运用KM的方法获得了衍生产品价格的闭合形式近似值以及希腊的近似值。KM的近似在广泛的参数选择范围内为Heston和theCEV模型提供了非常精确的近似。级数展开收敛速度很快，因此五个校正项足以近似这些模型中的资产价格。由于近似值具有闭合形式，因此在希腊很容易获得，在希腊，赫斯顿近似值的表现与期权价格的近似值一样好。尤其是在CEV模型的情况下，KM的近似显示出它在计算效率方面的优势。虽然通过MonteCarlo模拟计算参考值需要大量的计算时间，但KM的闭合形式近似几乎可以立即产生结果。CEV和Heston这两个模型都是两组不同参数的近似f。对于赫斯顿模型，ITM的近似性能通常优于OTM选项。由此，精确度上的这种差异变得更加明显，从而考虑了级数展开中的较低修正项。此外，货币对近似精度的影响随着水平相关性和到期时间的增加而降低，而到期时间对putthan on看涨期权的影响更为显著。

CEV模型的近似值似乎对模型参数的变化不太敏感，尤其是对于高水平的方差弹性。一个例外似乎是对相关性的敏感性，这几乎是由高弹性方差造成的。SZ模型的近似值表现更差。具体而言，成熟时间对近似精度的影响远强于赫斯顿模型。虽然在赫斯顿模型中，近似值在长达两年的期限内保持稳定，但在SZ模型中，不稳定性已经在超过六个月的期限内发生。由于这两个模型之间的唯一区别是方差/波动性过程，这种不稳定性很可能与SZ模型中使用的theOrnstein-Uhlenbeck过程有关。赫斯顿模型是指数线性特征函数意义上的一个函数，而SZ模型以及CEVmodel在这个意义上是非线性的。对CEVmodel近似值的分析表明，对于非有效模型，KM近似值的精度较低，如同对于有效模型一样。然而，在CEV和Heston情况下，级数展开的收敛行为是相似的，这表明不稳定性可能与SZ模型的非唯一结构无关。这些结果表明，KM级数展开的收敛性结论可能随时间不一致。Kimmel（2008）对此做出了可能的解释，他将级数展开解的发散行为与偏微分方程联系起来，并将其与某些成熟度的奇点联系起来。Kimmel【2008】建议通过用非线性时间函数替换时间变量来扩展此类级数展开的收敛范围。

KM提到，Kimmel【2008】开发的方法可用于改进其近似值的收敛性，但未说明如何做到这一点。Kimmel【2008】仅将其时间变化方法应用于单变量差异，并指出在许多情况下，扩展到多变量差异可能并不简单。因此，Kimmel【2008】和KM方法的结合可能是未来研究的一个有希望的可能性。如果只考虑6个月以下的到期日，如果相关性为零，则SZ模型的近似值总体上更精确。然而，在零相关性的情况下，使用五个修正项的近似可以产生最精确的结果，而如果相关性非零，则使用六个修正项的近似更为优越。与Heston和CEV模型的情况类似，近似值在ITM中的表现优于OTM选项，因此aga在这种影响下会随着相关程度的增加而增加。SZ模型中希腊人的近似精度与期权价格的近似精度相似。然而，近似值对于点体积来说似乎是不稳定的。最后，我将KM近似应用于一个商品期货价格模型，该模型通过Ornstein-Uhlenbeck过程对标的商品的价格进行建模，并通过类似Heston的平方根过程对随机方差进行建模。该系列扩展的期限最多为五个更正条款，对于期限最长为一年的债券，通常既没有明显的趋同，也没有明显的分歧。似乎近似值正在接近一个略有偏差的期货价格，而不是真实价格。然而，近似误差仍低于1%。最值得注意的是，对于商品期货模型的近似值，仅使用第一个修正项的近似值的精度最高。

考虑到对于零相关性的SZ模型，使用六项的近似比使用五项的近似精度低，而对于CEV和赫斯顿模型，在某些情况下，使用四项的近似比使用五项的近似精度略高，这表明，如果不同时通过另一个程序获得参考值来求解研究中的模型，可能很难确定最佳近似阶数。尽管如此，由于其计算效率显著提高，KM的方法为期货模型提供了蒙特卡罗解或龙格库塔解的可行替代方案。闭合形式近似也可被视为模型解析解的替代，该解析解仅在KummerSee K immel【2008】第38页中可用。如前所述，在这种情况下，SZ模型与S&S模型相同。7结论75第一类和第二类功能。虽然这些函数在某些编程语言中可能很难实现，但KM的系列扩展在大多数语言中都很容易实现。总的来说，除了SZ模型外，KM的级数展开对本文考虑的所有模型都产生了令人满意的结果。由于基础假设非常抽象，似乎很难指出收敛行为或近似值对特定参数值的敏感性差异的具体原因。尽管系列扩展的实现很简单，但如果手动进行推导，推导过程也很繁琐且容易出错。然而，即使使用Maple等符号数学软件，计算也仅限于五项，因为校正项的长度增长速度太快，超过了计算机内存。

本文中的一个主要问题可能是chosenbaseline模型的结构。对于本文中的大多数示例，我使用Black-Scholes模型作为基线。如前一节所述，如果只使用五个校正项，这已经需要计算布莱克-斯科尔斯模型的导数，最多十个阶数，这实际上意味着将正态分布的导数和交叉导数取这个阶数。尽管使用符号数学软件，但级数展开通常只能针对视图项进行开发。类似于基线模型导数的有限差分近似，正如doneby Garcia[201 3]所述，该方法缓解了发展近似的数学困难，但显著降低了计算速度。此外，该方法失去了以封闭形式生成定价公式的功能，因此该方法将失去其两个主要优势。因此，根据KM的方法，我建议未来研究的三个领域。（i） Kimmel【2008】的时间变化方法与KM的序列扩展相结合，以提高成熟时间的稳健性。（ii）对计算修正项的迭代过程进行更深入的研究，以推导定价偏差的较短表达式，从而能够计算级数展开中的更多项。（iii）针对特定模型的基本假设制定可执行的测试程序。这可能与标准调查有关，以确定特定模型的最佳近似顺序。（iv）最后，进一步研究真实模型和基线模型之间的相互作用，以确定基线的最佳选择。参见Lutz【2009】第页。

64、A参考溶液76A参考溶液本附录描述了赫斯顿（1993）模型和朔伊贝尔和朱（1999）模型的傅立叶变换解，以及用于CEV模型和商品期货模型的蒙特卡罗解。A、 1赫斯顿模型的傅立叶变换解通过傅立叶变换获得赫斯顿模型的分析价格。我用来计算这些价格的Matlab代码由Crisostomo（2014）提供，他使用Gatherel（2006）提出的模型特征函数公式，而不是Heston的原始公式。赫斯顿最初的特征函数公式的一个特殊缺点是，在计算特征函数中出现的复数对数时，可能会出现分支切割。在目前的情况下，这些分支切割可能存在问题，asI将在各种不同的参数值下比较KM近似的性能。因此，如果忽略可能的分支切割问题，则无法确保所有参数选择的分析参考值的有效性，从而破坏从近似误差分析中得出的结论。然而，通过使用Gatheral【2006】的特征函数，特征函数中对数hm的参数从未穿过负实数轴，因此不会发生br anch切割。尽管如此，Gartherals的模型公式与Heston的原始公式是等效的。Crisostomo【2014】对Heston modelCAnalytic（S，t）=SP使用了以下定价框架- e-r（T-t） KP（72），其中p=+πZ∞真实的e-iφlog（K）Д（φ- i） iφИ(-（一）dφP=+πZ∞真实的e-iφlog（K）Д（φ）iφdφ，其中特征函数Д（·）在Crisostomo【2014】中给出。并不是说这种方法与Gathereal（2006）中的方法略有不同。

Gatheral【2006】和Heston【1993】都推导出了概率PandP的两个不同特征函数，而Crisostomo【2014】只对两种概率使用了一个特征函数。Crisostomo【2014】还将Gatherals方法用于推导特征函数到log（S（t）），而不是像Gat heral【2006】中所述的log（S（t）/K。然而，Crisostomo【201 4，附录B】证明了这两种方法的等效性。为了通过Matlabs integral（）计算（72）直接积分中的实积分，请参见Gatherel[2006]，第20页。参见例如Zhu[2010]，第55页。使用参考解77函数，该函数采用全局自适应求积对积分进行数值计算。通过傅里叶变换可以直接获得（半）封闭形式的解，欧洲将其置于Heston框架中p ut（S，t）=e-r（T-t） KP公司- SP（73）带P=-πZ∞真实的e-iφlog（K）Д（φ- i） iφИ(-（一）dφP=-πZ∞真实的e-iφlog（K）Д（φ）iφdφ，其中特征函数φ与（72）中的相同。我通过改编Crisostomo（2014）的Matlab代码实现了HestonPuts。A、 1.1 Heston模型中的分析方程Heston模型中这些所谓的希腊人的计算很简单，因为特征函数的积分和微分可以互换。注意，我再次使用了Crisostomo（2014）开发的特征函数公式。回顾看涨期权价格的一般结构C（S，t）=SP-e-r（T-t） KP和定义1。）至4。）在第2.3节中，赫斯顿模型的分析希腊人定义为S=P（74）ΓS=PS（75）V=SPv- e-r（T-t） K级Pv（76）带Pj公司h=πZ∞ψj（φ）hdφψ=实e-iφlog（K）Д（φ- i） iφИ(-（一）ψ=实e-iφlog（K）Д（φ）iφ其中h等于S或v，j=1，2。有关更多详细信息，请参阅Matlab帮助文件。朱[2010，Ch。

4.3至4.5]对傅里叶变换方法应用中的集成算法进行了很好的概述。参见例如朱[2000]，第35页。参见例如Zhu[2000]，第36页。A参考溶液78A。2 SZ模型的傅立叶变换解S&S模型和SZ模型的分析价格都是通过Fourier变换获得的，而S&S价格可以通过简单地在特征函数中设置ρ=0来计算。该解的结构与（72）中赫斯顿模型的傅立叶解相同。然而，Sch¨obel和Zhu[1999]使用两个不同的特征函数来推导概率Pand P。为了实现Fourier解，我采用了我在图宾根大学金融PC实验室课程的数值方法中使用的Matlab代码。Matlab程序简单地实现了Sch¨obel和Zhu[1999]中给出的两个特征函数，并使用全局自适应求积对所涉及的积分进行数值计算。由于SZ模型的特征函数还包括复数对数，因此可能的br anch切割问题与赫斯顿模型中的问题相同。虽然我可以方便地使用特征函数的重新公式来确保参考解的稳定性，但据我所知，这种重新公式对于SZ模型并不容易获得。因此，我使用一个简单的校正算法来调整复数对数，只要它的参数穿过负实数轴。附录A.3提供了所用算法的描述以及相应的Matlab代码。A、 3关于复杂对数的离题本附录是2015年“金融中的数值方法”课程的两个作业的改编摘录，我与F.Slezak和A一起写信给gether。

伯格。分支切割的问题出现在第3节中赫斯顿模型的傅立叶变换解以及第5节中的SZ模型的背景下，因为在这两种情况下，期权价格的计算都包括对复数对数的评估。可以看出，复数z的对数具有以下形式w=log（z）=log（| z |）+i（Arg（z）+2kπ）（77），k=±0，±1，±2。。。其中Arg（z）表示z的主参数，即。-π ≤ Arg（z）<π。大多数商业软件包（如Matlab）将复杂对数算法的计算限制为其主值，即方程式（77）中的k设置为零。由于k的任何值都有助于恢复ew=z，因此在孤立计算中，k=0的选择不会成为问题。然而，Sch¨obel和Zhu【1999】是第一批观察到这导致通过Matlab的integral（）函数进行特征数值积分的不连续性，至少对于极端参数值而言。最初的PC-lab c代码通过Matlab的trapz（）函数使用了简单的类人猿算法。然而，在产生数字上相同的结果时，我发现integral（）的速度要快得多。见朱【2010】第100页。A参考解决了其和其他随机波动率模型的79个函数，从而得出了错误的积分。为了正确计算复数对数算法，实现等式（77）的主要问题是，只有当复数的路径已知时，才能找到合适的e k值。每次z穿过图19中实轴的负部分时，都需要调整k的值。图19:z原点周围的路径（z）Im（z）zИIIIIII IV，而Gat heral【2006】提供了赫斯顿特征函数的公式，因此复对数的参数不会在19中越过红线，我不知道SZ模型有任何这样的重新公式。

为了获得SZ模型的数字可调参考解，我使用了一种校正算法hm，每当对数hm的复变元穿过图19中的红线时，该算法会调整（77）中的数字k。A、 4 CEV模型MC的MC模拟需要对（48）和（49）中的过程进行离散化，这可能导致样本路径中出现负偏差。这些值是有问题的，因为在生成股票价格样本路径的过程中，需要计算方差的平方根以及其他根。这一问题在金融文献中得到了广泛的研究，主要是在赫斯顿模型的续文中。如（49）所示，将绝对值引入方差过程类似于所谓的反射假设，该假设设定了规则：如果v<0，则-v=v。然而，为了实现这一点，有必要将这一规则应用于v的所有根。另一种避免负面影响的可能性参见Sch¨obel and Zhu[1999]，第28页和Lord and Kahl[2010]，第672页。见朱[2010]，p。

所用的Matlab代码取自与本附录部分内容相同的作业，并稍作修改。参考解决方案80方差将使用所谓的吸收假设，该假设设定了规则：如果v<0，则v=0。如果有大量的轨迹和样本路径，这两个过程都不会对结果产生显著影响，因为如果离散化误差导致模拟方差为负，则真实方差可能很小。KM没有指出他们使用哪种离散化方案来获得MC结果，也没有提到轨迹的数量或模拟中使用的样本路径的数量。为了离散（48）和（49）中的过程，我使用Milstein模式，该模式意味着将伊藤-泰勒展开的下一个元素添加到Euler模式（ti+1）=S（ti）1+ri+p | V（ti）| piZ（ti）+V（ti）|Z（ti）- 1.我（78）V（ti+1）=V（ti）+κ（θ- | V（ti）|）i+ω| V（ti）|γpiZ（ti）（79）+ωγ| V（ti）| 2γ-1.Z（ti）- 1.iwith Z（ti）=Ran，Ran~ N（0，1）Z（ti）=ρRan+p1- ρRan，Ran~ N（0，1），其中IDE注意到时间步长i的长度。注意，如果出现负模拟方差，我使用了反射假设来处理它们。应用Milstein离散代替Euler离散不会提高MC结果的精度，因为两种格式都是弱阶格式。然而，使用Milstein方案不会显著增加计算负担，但会减少样本路径中的负方差频率。因此，Gatheral（2006）主张始终对Heston模型使用Milstein离散化。由于CEVand模型和Heston模型之间的相似性，在这种情况下，应用Milstein方案的积极影响也应适用。这进一步减轻了在反思和吸收假设之间进行选择的影响。

此外，在下面的所有模拟中，我使用了500个大小相同的时间步和20000个采样路径。参见例如Gathereal[200 6]，第21页。见Lee和Sokolinskiy【2014年】，第8页。根据Glasserman【2003】的说法，Milstein方案的名称可能会产生误导，因为Milstein有几种方法。然而，在整个论文中，我使用这个术语来命名如下所示的离散化方案。i、 e.，术语diff（h）Dif f（h）\'Zh（ti）- 1.添加h=S或V的I。其中，Diff（h）表示各自SDE的扩散项，Diff（h）及其导数相对于h表示的变量的扩散项。（参见Glasserman【2003年】，第343页）参见Glasserman【2003年】，第347页。见Gatheral[2006]，第22页。伪随机数通过Matla bs多重递归生成器（mrg32k3a）获得。A参考溶液81A。5 MC商品未来模拟之前已经提到，Lutz【2009】为（57）和（58）中的模型提供了解析解。然而，该解决方案需要评估第一类和第二类KummerFunction。为了在解析解中实现Kummer函数，Lutz【2009】使用了B.Barrows通过Matlabs中央文件交换提供的Matlab代码，但需要调整该代码以处理整数参数。或者，可以使用R ung e-Kutta算法实现解析解。然而，为了简单起见，我将使用MC模拟而不是解析解来获得由KM系列展开近似的期货价格参考值。Lutz【2009年】还将a-na裂解溶液与MC结果进行了比较，发现其与获得的价格非常接近。为了生成MC解决方案，我使用了与第a.4节类似的方法。由于基础价格的对数是模拟的，而不是基础本身，所以我对（57）使用了简单的Euler离散化。

然而，根据第A.4节中的相同情况，我对（58）中的方差过程使用Milstein离散化，以减少样本路径中负模拟方差的频率。X（ti+1）=X（ti）+η ( α - X（ti））-|V（ti）|i+p | V（ti）| piZ（ti）（80）V（ti+1）=V（ti）|+κ（θ-|V（ti）|）i+ωp | V（ti）|iZ（ti）（81）+ωZ（ti）- 1.iwith Z（ti）=Ran，Ran~ N（0，1）Z（ti）=ρRan+p1- ρRan，Ran~ N（0，1），其中IDE注意到时间步长i的长度。正如上述等式所示，如果出现负模拟方差，我会再次使用反射假设来处理样本路径中的负模拟方差。对于他的MC模拟，Lutz【2009】使用了大量2500个时间步长和150万条样本路径。不幸的是，我现有的计算资源不足以使用这些数字。因此，我将自己限制为1000个时间步和200000个样本路径，我认为这应该足以获得参考值的满意结果。下图20a和20b显示了解析解中出现的超几何函数的类型取决于参数值。对于基础过程和方差过程之间完全相关的特殊情况，出现了第一类和第二类贝塞尔函数，而不是Kummer函数（见Lutz【2009】，第64页）。请注意，自Matlab的R2014b版本以来，第二类Kummer函数可通过kummerU（a、b、z）作为内置函数使用（请参阅Matlab o Online文档）。该函数只能通过符号数学工具箱使用。有关这两种实现方法的比较，请参见Lutz【2009】，第77-7 9页。其中375000人是独立的。大量150万条路径是使用对偶抽样的结果。A参考解82某些未来合同到期时标的物模拟价格的直方图和密度。

模拟基于上述商品模型的离散化和以下一组参数值：S=80，(R)S=85（即α=log（85）），η=1.0，T- t=0.5，ω=0.2，v（t）=0.04，κ=1.0，θ=0.05，ρ=-0.5. Lutz【2009】提出了这些参数，因为它们应该产生一个现实的设置。A参考溶液83图20：商品价格模拟S（T）40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140（A）在TS（T）20 40 60 80 100 120 1400.0050.010.0150.020.0250.030.0350.040.045（b）在TNotes：面板（A）：使用1000个箱子时的商品价格密度。面板（b）：通过Matlab的kdensity（）函数从面板（a）中的数据估计出的核密度。对于两个面板：S=80，(R)S=85（即α=ln（85）），η=1.0，T- t=0.5，ω=0.2，v（t）=0.04，κ=1.0，θ=0.05，ρ=-0.5A参考溶液84A。6 CEV方差过程量表测量的定义一般来说，量表测量Ohm（·）dx=u（x）dt+σ（x）dW，其中dW表示维纳过程，定义为Ohm（x） =ZnmΘ（x）dx（82），其中Θ（x）=exp-Z2u（x）～σ（x）dx（83）式中，Θ（x）称为刻度密度。注意，如果x是SDEs系统的一部分，则∧σ（x）仅表示过程x的方差，而不是整个协方差矩阵的方差。因此，对于（49）中的CEV方差过程，我们得到u（v）=κ（θ- v） 和￠σ（v）=ωv2γ。

这样，刻度密度可以计算为Θ（v）=exp-Z2u（v）～σ（v）dv= 经验值-Z2κ（θ- v） ωv2γdv= 经验值-2κωθZv2γdv-Zv2γ-1dv（84）其中两个整数可解为zv2γdv=-x1-2γ2γ-如果γ6=1/2对数（v），如果γ=1/2（85）Zv2γ-1dv=-x2个-2γ2γ-2如果γ6=1log（v），如果γ=1（86），将（85）和（86）的第一个溶液插入（84）并重新排列，则得出CEV方差过程的标度密度，如（51）Θ（v）=exp2κθω(2γ - 1） v2γ-1.-κω(γ - 1） v2γ-2.注意，该表达式与inJones【2003】给出的CEV过程的标度密度相同，α=κθ，β=-κ.见Jones[2003]，第215页。参考文献IV参考Yacine Ait Sahalia和Jialin Yu。连续时间马尔可夫过程的Saddlepo int逼近。《计量经济学杂志》（134）：507–5512006。Fischer Black和Myron Scholes。期权和公司负债的定价。《政治经济学杂志》（81）：637–65，1973年9月9日。T、 Bollerslev和H.ZhoU.使用综合波动率的条件矩估计随机波动率差异。《计量经济学杂志》（109）：33–652002。K、 C.Chan、G.A.Karolyi、F.A.Longstaff和A.B.Sanders。短期利率替代模型的实证比较。《金融杂志》（47）：1209–12271992。帕维尔·齐泽克、沃尔夫冈·K·海德尔和拉法·沃伦。金融和保险统计工具。柏林斯普林格，2011年。J、 C.Cox、J.E.Ingersoll和S.A.Ross。远期价格与期货价格之间的关系。金融经济学杂志，（9）：321–3461981。里卡多·克里斯托莫。赫斯顿随机容积模型分析：使用matlab实现和校准。西班牙证券市场委员会（CNMV）（第58号工作文件），2014年。H、 丹尼尔斯。统计学中的鞍点近似。《数理统计年鉴》（25（4））：631–6501954年。阿尔贝托·艾利斯和爱德华德·吉梅内斯。

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