由于线性算子U是有界的，mapssTh~naijs“xei | UHsU'1ejy，1di，jdnar”也是连续的。因此，第i）部分来自注释7.1。对于第ii）部分和第iii）部分，我们可以进行类似的讨论。例如，对于足够小的ha0，我们可以计算\'dspijs，t“limhOE0hppijs”h，t'pijs。tq“limhOE0h'1xei'pPs，t'Ps，tq“limhOE0h'”xei | U pPs ` h，t'Ps，tqU'1和by（6）右侧倾向于“xei | uhsp，tUejy”，这是“HsPs，t”的第ij个分量。这表明ii）的有效性，ii）的有效性以完全相同的方式遵循。前面的命题表明，我们可以通过求解普通微分方程（40）或（41）来计算Ps，ton多项式的作用。在时间均匀的情况下，其中对pPs，t，Hsq替换为对pPs，hq，这很简单：d ` dsPs'hps和P“I~nPs”e'sH：“"yk”0Hkk！，见Teschl（2012）第3章。然而，在非均匀情况下，情况更为复杂：而线性方程（40）和（41）是可解的，因为HSI是连续的（见Teschl（2012）定理3.9），没有简单的显式形式的解决方案。在下文中，我们将介绍威廉·马格纳斯（Wilhelm Magnus）的方法，见马格纳斯（1954），这至少可以让我们获得近似解。用rA，Bs表示：“AB'BA是两个矩阵的换向器。命题7.2。设r0，T q TTh~nBptq P RN^Nbe连续，并假设T}Bptq}dtaπ。考虑初值问题｜ddtUptq“BptqUptq，Ta0Up0q”I.（42），则该问题的唯一解Uptq P RN^noo的形式为Uptq“e”OhmPTQ何处Ohmptq P RN^可表示为绝对收敛的幂级数Ohmptq“"yk”1Ohmkptq（43）时间非齐次多项式过程25，其系数依赖于t和pbpsq0dsdt。

本系列的前三个术语由Ohmptq“ztBpuqduOhmptq“ztduzudvrBpuq，BpvqsOhmptq“ztduzudvzvdw prBpuq，rBpvq，Bpwqss\'rBpwq，rBpvq，bpuqsq。有关此结果的证明，请参见Blanes et al.（2009）定理9和S\'anchez et al.（2011）。该系列（43）称为Magnus系列或Magnus展开。备注7.2。可以为所有Ohmk（见Blaneset al.（2009））。在这里，我们通常会忽略第4阶和更高阶的条款，而使用eprk“1OhmKPTQQA是（42）的近似解。然而，让我们注意到，高阶项是用pBptqq族中越来越多的嵌套换向器来表示的，这特别表明，如果该族的换向器为rBptq，Bpsqs“0，对于所有s，t，则OhmBkptq“0表示ka1，因此（42）的解由uptq”estBprqdr给出。（44）参见Blanes et al.（2009）。现在让我们将定理7.2应用于Kolmogorov方程（40）和（41）。回想一下，通过选择适当的基，我们总是能够实现（45），参见第7.1节。定理7.3。如果zTs}Hs}dsaπ，（45），那么对于0dsdtdt，我们有Ps，t“eOhmps，tqwhereOhmps，tq可表示为绝对收敛幂级数Ohmps，tq“"yk”1Ohmkps，tq（46），其系数取决于s、t和pHuqsdudt。本系列的前三项由Ohmps，tq“ztsHudu（47）Ohmps，tq“ztsduzusdv rHu，Hvs（48）Ohmps，tq“ztsduzusdvzvsdw prHu，rHv，Hwss\'rHw，rHv，Hussq.（49）作为一个特例，我们得到了交换族pHsq，thatPs，t“estsHudu.（50）26 M.AGOITIA和t.SCHMIDTProof。该定理通过将定理7.2应用于正演方程（41）和weaim（42）的表示。

为此，FIX s P r0、T s和Uprq：“PJs、s `兰德Bsprq：“HJs ` r.Then Up0q”PJs、s“IJ”I和0ar'T'sd'drUprq'd'drPs、s'r'J“pPs、s'rqJ“HJs'rPJs、s'r'Bsprq。根据假设，自“zJs}Hu}duaπ博士，定理7.2得出唯一解的形式为Uprq“e”OhmPRQ带▄Ohm 具有（43）中幂级数的表达式。这反过来意味着，通过让t“s\'r，Ps，t”eOhmpt'sqJ“ep▄Ohmpt'sqqJ。特别是设置Ohmps，tq：“r▄Ohmpt'sqsJ，定理的第一部分如下。此外，我们可以计算Ohmps，tq“zt”sBspuqduJ“t”sHJu“sduJ“ztsHudu，显示（47）。计算Ohmps，tq我们用它来表示两个矩阵C，D，我们有rC，DsJ“'rCJ，DJs和Ohmps，tq“”~OhmptzsqiJztzsduzudvrBspuq，bspvqJ“'t'sdu'udvrBJspuq，BJspvqs”'t'sdu'udvrHs'u，Hs'vs”'tsdu'u'sdvrHu，Hs'vs“'tsdu'usdvrHu，Hvs，显示（48）。最后，（49）以相同的方式，使用三个矩阵C，D，E，我们有rrC，Ds，EsJ“rrCJ，DJs，EJs。我们完成了证明，注意到（50）的有效性如下摘自备注7.2。时间非齐次多项式过程的示例本节的目标是给出多项式过程的一些进一步示例，并说明如何使用第9节的结果计算其矩。我们将自己限制在状态空间为E“R或E”R的一维例子和过程中。8.1。带漂移的布朗运动。设Ta0。我们认为马尔可夫过程满足xt“tapuqdu”Wt，0dTdT（51）其中WT是布朗运动，a是连续函数。首先，让我们通过计算相关的转移算子族，直接说明这个过程是多项式的。时间非齐次多项式过程27为此，让Aptq：“stapuqdu。

然后对于Ps域中的0dsdtdt和函数f，我们可以计算步骤，tfpxq“E rf pXtq | Xs“Xs”E rf pXt'Xs'xqs“E rf pAptq'Wt'Apsq'Ws'xqs“ErfpAptq'pWt'Wsq'xqs”zrf pAptq'Apsq'x'yqφ'yt's'dy，（52）其中φ表示标准正态分布的密度。这是我们可以找到的最简单的表达式，用于表示操作符Ps，触摸一般函数f。现在我们需要检查如果f在PkpRq中会发生什么。为此，让我们用fpxq“1，fpxq”x，…，fkpxq“xk表示PkpRq的标准基。此外，对于固定的ta，我们用N p0，pt'sqq分布的第i个矩表示（密度为φp0，t'sq）。在这种情况下，奇数矩等于0，偶数矩可以用p的t'sqppp'1q！表示“2n，n P n.命题8.1。对于kě0，0dsdtdt和x P E，我们有：Ps，tfkpxq“k"yi”0^ki˙pAptq'Apsq'xqk'imi，（53），其中mi是n p0，pt'sqq分布的第i时刻。特别是，通过（51）定义的过程xd是多项式。证明。对于k”0，（53）的左侧和右侧都是0。此外，对于k P n，我们直接计算Ps，tfkpxq“RpAptq'Apsq'x'yqkφp0，t'sqpyqdy“k"yi”0'ki'pAptq'Apsq'xqk'izRyiφp0，t'sqpyqdy“k"yi”0'ki'pAptq'apsqqk'imi。我们继续考虑（51）中给出的带漂移的布朗运动。正如我们所看到的，这个过程非常简单，可以直接计算其力矩。然而，对于更复杂的多项式过程，通常情况并非如此，必须使用相应的微元生成器族（更容易获得）和第9节的结果来计算矩。在下文中，我们将简要介绍如何做到这一点。根据It^o公式，HTFPxq“aptqdfpxqdx ` dfpxqdx，tě0。（54）28 M.AGOITIA和t.SCHMIDTLemma 8.2给出了（51）的生成器族。族pHtqtě0 commutes.Proof。

我们有htphsfqpxq“aptq^apsqdfpxqdx ` dfpxqdx˙` apsqdfpxqdx ` dfpxqdx˙hsphtfqdxq”apsq^aptqdfpxqdx ` dfpxqdx˙` aptqdfpxqdx˙，短期检查表明，这两个术语在定义时是一致的。我们再次选择PmpRq的标准基准pxq“1，fpxq”x，…，fmpxq“xm，并计算Ht的相应矩阵表示。由于Htf“0，Htf”aptq和HTFK“kpk\'1q–fk\'2`k–aptq–fk\'1，kě2，结果如下所示（未显示的所有条目均为0）：Ht“0 aptq 10 2aptq 30 3aptq 6……………………mpm'1q0 maptq'''''''''''''''''''''''''''''''''''''P Rpm'''''1q''''''''''''''''''''pm'''''''1qAlso矩阵族pHtq的“yf`…` ymfm由Ps的第k列给出，因此我们可以计算（使用稍微正式的符号）E“pXtqk | Xs”x‰“Ps，tfkpxq”p1，x，…，xmqPs，tp0，…，0，1，0，…，0qT，”p1，x，…，xmqestsHudup0，…，0，1，…，0qT，其中右侧向量中的“1”位于第k点（从0开始）。例如，如果我们想获得（51）的第一个时刻如果我们在前面的过程中选择m“k”1，则会很有用。我们得到了时间非齐次多项式过程29，其中Aptq“tapuqdu”。因此，E rXt | Xs“Xs”p1，xq^1 Aptq'Apsq0 1˙^˙“Aptq'Apsq'x，正如预期的那样，与之前获得的结果一致。在上述示例中，由于矩阵pHtqtě0的可交换性，计算非常简单。在接下来的章节中，我们将考虑并非如此的示例。8.2.Ornstein-Uhlenbeck过程。本节中考虑的Ornstein-Uhlenbeck过程是多项式，我们将正式介绍在第6.1节中证明。

在这里，我们将集中讨论他们的发电机系列。（i） 我们考虑以下均值回归过程：dXt“pθt'Xtqdt'dWt，0dtdt，（55），其中θp R。最小生成元如下所示：Htfpxq“pθt'xqdfpxqdx'dfpxqdx。（56）对该族的非交换性感兴趣，我们计算htphsfqpxq“pθt'xq'θsdfpxqdx'xdfpxqdx'dfpxqdx'dfpxqdx'dfpxqdx'θsdfpxqdx'xdffpxqdx'2dfpxqdx'dfpxqdx'为清晰起见，我们在f”fP-PpRq（回想一下fpxq“x”）的情况下显示了该成分。HtpHsfqpxq“x'θthsphtfqpqpxq”“x'θs。因此，很明显，小型发电机系列不会相互转换。9.过渡运算符的计算在下文中，我们将指出当作用于PpRq时，相应过渡运算符ps，tw的计算。H相对于基本pxq“ε'1，fpxq“ε'1x，fpxq”ε'1x和ε'0的表示矩阵由HT给出“ε"0θt 10'1 2θt0'2''''''（57）在Agoitia Hurtado（2017）的附录A中显示，}Ht}”εd5θt'6'ap3θt'4q'4θt.30 M。Agoitia和t.SCHMIDTWe始终能够选择ε，因此，zt}Hu duπ。然后，相应的矩阵Ps，由Ps，t“e”给出Ohmps、TQ和Magnus系列Ohmps，tq“rk”1Ohm根据定理7.3，kps，tq是绝对收敛的。Magnus系列的前三个术语如下：Ohmps，tq“tsHudu”ε¨0θpt'sq t's0 s't 2θpt'sq0 2ps'tq，Ohmps、tq、tsdu、usrHu、Hvsdv、ε、θ、pt、3st、st、4sq、0θ、pt、st、4sq、0θOhmps，tq“ztsduzusdvzvsprHu，rHv，Hws ` rHw，rHv，Hussq dw”ε¨0 aa0 0 A00 0 0，其中“θt'θ's'θ's'st'710'θ'st's，a”'θt'θ3s'st'θst，AND t'θ；s`θst'θst'''''''''''''θs。现在矩阵eOhmps、tq`Ohmps、tq`Ohmps，tq可用作ps，t.9.1的近似值。Ornstein-Uhlenbeck过程。通过在Ornstein-Uhlenbeck过程下的简短计算，我们打算证明算子的交换性甚至可以依赖于空间。

我们考虑以下随机过程：dXt“tXtdt\'dWt，0dtdt。它的最小生成元族由htfpxq“txdfpxqdx”dfpxqdx给出。一个简短的计算表明，然后hsphtfqdq由x^tdfpxqdx ` txdfpxqdx˙txdffpxqdx ` 2tfpxqdx ` dfpxqdx˙给出。当我们考虑Hson-PpRq并评估fpxq上的成分时，时间非齐次多项式过程31“x我们得到：HspHtfqpxq”stxhtphfqpxq”tsx，然后它进行转换（当然，在两个项都消失的情况下，它也在fw上进行转换）。但是如果我们考虑Hson PpRq并评估fpxq“x”上的成分，则HspHtfqpxq“4tsx ` 2thphfqpxq”“4stx`2s，因此该家族不会在PpRq上通勤。9.2雅可比过程。我们考虑最后一种随机过程，雅可比过程，它是一种具有b P R `级势垒的微分。它对应于随机微分方程dxt“aptq ` aXtpb'XtqdWt，其中aptq是一个连续函数，wt是一个布朗运动。我们将在下一章中看到，这个过程是多项式的（见第6.1节）。对于每个tě0，它的整数生成器由htfpxq”aptqdfpxqdx'xpb'xqdfpxqdx给出。再次关注这个族的交换性，我们得到了htphsfqpxq“aptq^apsqdfpxqdx'pb'2xqdfpxqdx'xpb'xqdfpxqdx'xpb'xq'apsqdfpxqdx'2dfpxqdx'2pb'2xqdfpxqdx'xpb'xqdfpxqdx'729;我们注意到，由于此表达式仅包含在PpRq上的2阶和更高阶pHsq的导数。然而，对于fpxq“xwe获得HTPHSQFPXQ”aptqp2apsq'”bx'2xq'xpb'xqHspHtqfpxq“apsqp2aptq ` bx'2xq'xpb'xq，因此pHsq族不会在P上进行换算，使得ě2阶矩的计算比第一阶矩的计算困难得多。附录A.其他结果回顾了空间▄PmpSq时间非齐次多项式的定义，这些多项式连续可微分，且与方程（5）的阶数最多为m。

下面的命题表明，在适当的范数下，该空间是一个Banach空间。提案A.1。对于多项式pps，t，xq“m | k |”0αkps，tqxkPPmpSq，我们定义了pm： “m| k |”0^maxps，tqP|αkps，tq |`最大值，tqP|Dαkps，tq |`最大值，tqP|Dαkps，tq |˙，则空间pPmpSq，kkmq是完备的。32 M.AGOITIA和T.SCHMIDTProof。设pfnq为APmpSq中的Cauchy序列，表示Fnps，t，xq“m"yk |”0αnkps，tqxk，@n P n。然后，对于所有 存在N P N，对于所有N，PěN，它认为fp'fnma,hencem"y| k |“0^maxps，tqP|αpkps，tq'αnkps，tq'maxps，tqP|Dαpkps，tq'Dαnkps，tq |'maxps，tqP|Dαpkps，tq'Dαnkps，tq |˙a.因此，我们得到所有0d| k | m：}αpk'αnk}C：“maxps，tqP|αpkps，tq'αnkps，tq'maxps，tqP|Dαpkps，tq'Dαnkps，tq |'maxps，tqP|Dαpkps，tq'Dαnkps，tq |a.这表明，对于所有0d| k | m序列，pαnkqnPNis是Cauchy序列inpCpq、 }.}Cq。由于该空间是完整的，因此每0d| k | m存在一个αkP Cpq使得}αnk'αk}Cn尼8尼0。设置f ps，t，xq：“rm | k |”0αkps，tqxkfor ps，t，xq PrE。然后设置f PAPmpSq自αkP Cpq和fn'fm“m"y| k |”0^maxps，tqP|αnkps，tq'αkps，tq'maxps，tqP|Dαnkps，tq'Dαkps，tq |'maxps，tqP|Dαnkps，tq'Dαkps，tq |˙“mk |”0}αnk'αk}Cn~n8~n0。因此，Cauchy序列pfnq收敛于f，因此APmpSq是完整的。下面的引理表明多项式关于范数}的收敛性m、 方程4中定义的，相当于每个点的逐点收敛。引理A.2。让UARdand对于每个U P U，让puP PmpSq。那么，对于uP U，以下是等效的：i）}pu'pu}m尼0表示U尼U.ii）对于每x P S：| pupxq'pupxq'0表示U尼U。备注A.1。在这个命题的证明中，我们用V表示有限维向量空间V的对偶空间。

我们记得，在每个有限维赋范空间pV，}.}Q弱拓扑和范数拓扑重合（见Kreyszig（1989），第4.8节）。这实际上意味着，对于函数f:UARd~nV，以下是等效的：a1）}fpuq'fpuq}ni0表示UAU.a2）对于每个l P V：| lpf puqq'lpfpuqq'ni0表示UAU.Proof。使用前面备注的符号，我们选择pV，}。}q“pPmpSq，}.}mq和f:U~nV，f puq”pu。时间非齐次多项式过程33iq~niiq：这紧随a1q~na2q，注意到对于每个固定的x P，函数allx:PmpSq~nR，lxppq“ppxq（58）是线性的，即对偶空间pPmpSqq的一个元素。iiq~niq：让N“dimpmpsqq。然后存在N个不同的点x，…，xNP S，因此线性泛函lx，…，lxn构成了pPmpSqq的基：实际上，计算泛函tlx的线性跨度：x P Su是对偶空间pPmpSqq。由于向量空间的维数与其对偶空间重合，因此我们找到了一个包含N个元素的基。对于任意l P pPmpSqq，我们因此找到了α，…”。,αNP R使得l“αlx”…`αNlxN。特别是，我们得到了u的上u | lpf puqq'lpf puqq'lppuq'lppuq'lppuq'''lppuq''''''αlxppu'puq'''''αNlxNppu|“|αppu'puqpxq`…`αNppu'puqpxNq'|α'pupxq'pupxq''''`…`'αN'pupxNq'pupxNq''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''。引理A.3。让pAptqq0dtaTdenote一个RN^N中的连续矩阵族。然后，对于固定的s P r0，t q，初值问题“ddtVps，tq”Vps，tqAt，sataTVps，sq”ih是唯一的解V，使得Vps，tq在变量和可满足的ddsvps，tq“'AsVps，tq.Proof中连续可差。结果是Pazy（1992）中定理5.2的直接应用。

在下一个定理中，我们陈述了pPs、tq和pHsq族的一些附加性质。提案A.4。设X“pXtq0dtdTbe是一个S值m-多项式过程，具有转移算子族pPs，tqps，tqP和小型发电机系列pHsq0dsaT。然后，对于0dkdm，以下情况适用：对于每个f P PkpSq，mapr0，T q sTh~nHsf P pPkpSq，}kqis连续，即族pHsq0dsa在pPkpSq上是强连续的，}kq。证据设0dkdm和f P PkpSq。然后Ps，tfpxq“k | l |”0αflps，tqxl，x P S，对于某些αflP Cp我们在引理3.3中看到，phsfqpxq“k"y| l |”0B`αflps，sqxl，x P S，0dSaT。因此，对于0dS，raT，我们可以计算}Hrf'Hsf}k“>>>>>>>>>>k | l | 0'Bαflpr，rq'Btαflps，sq xl>>>>>>>>k”max0 |l | kˇBαflpr，rqˇBαflps，sqˇ34 M.AGOITIA和T.Schmidt当r通过Bαfl的连续性趋向于S时，最后一项趋向于0。ReferencesAgoitia Hurtado，M.F.d.C.（2017），《电力现货价格模型中的时间非齐次多项式过程》，弗莱堡大学博士论文。Blanes，S.、Casas，F.、Oteo，J.和Ros，J.（2009），“Magnus扩展及其一些应用”，《物理报告》470（56），151–238。B–ottcher，B.（2014），“费勒进化系统：生成器和近似”，随机与动力学14（03），13–25。Cheng，S.和Tehranchi，M.（2015），“多项式期限结构模型”，工作文件。Cuchiero，C.、Keller Ressel，M.和Teichmann，J.（2012），“多项式过程及其在数学金融中的应用”，《金融与随机》16（4），711–740。Cuchiero，C.、Larsson，M.和Svaluto Ferro，S.（2017），“单位单纯形上的多项式跳跃差异”，即将发表在《应用概率年鉴》上。Delbaen，F.和Shirakawa，H.（2002），“具有上限和下限的利率模型”，亚太金融市场9（3-4），191–209。菲利波维奇，D。

（2005），“时间非均匀过程”，随机过程及其应用115（4），639–659。Filipovi\'c，D.、Gourier，E.和Mancini，L.（2014），《二次方差交换模型》，金融经济学杂志，即将出版。Filipovi\'c，D.和Larsson，M.（2016），“金融中的多项式差异和应用”，《金融与随机》20（4），931-972。Forman，J.L.和Sorensen，M.（2008），“皮尔逊差异：一类统计上可分割的差异过程”，斯堪的纳维亚统计杂志35（3），438–465。Glau，K.、Grbac，Z.和Keller Ressel，M.（2014），“利用多项式保持过程构建LIBOR模型”，工作论文。Gouriroux，C.和Jasiak，J.（2006），“应用于平滑过渡的多元Jacobi过程”，《计量经济学杂志》131（1/2，（3/4）），475-505。Grbac，Z.（2015），“多项式保持过程和离散期限利率模型”，工作文件。Gulisashvili，A.和van Casteren，J.（2006），《非自治加藤类和FeynmanKac传播子》，世界科学杂志，Jacod，J.和Shiryaev，A.（2003），《随机过程的极限定理》，第二版，柏林斯普林格-维拉格出版社。Keller Ressel，M.、Schmidt，T.和Wardenga，R.（2018），“超越随机连续性的有效过程”，ArXiv 1804.07556。Kluge，W.（2005），《利率和信贷风险模型中的时间非齐次L'evy过程》，博士论文，Albert Ludwigs Universit¨at Freiburg im Breisgau。Kreyszig，E.（1989），《功能分析与应用入门》，威利经典图书馆，威利。Magnus，W.（1954），“关于线性算子微分方程的指数解”，纯数学和应用数学通讯7（4），649–673。Neufeld，A.和Nutz，M.（2014），“半鞅特征相对于概率律的可测性”，随机过程及其应用124（11），3819–3845。帕齐，A。

（1992），《线性算子的半群及其在部分微分方程中的应用》，《应用数学科学》中的Bd.44号，Springer。时间非齐次多项式过程35Revuz，D.和Yor，M.（1994），《连续鞅和布朗运动》，SpringERFlag。柏林海德堡纽约。R¨uschendorf，L.、Schnurr，A.和Wolf，V.（2016），“时间不均匀马尔可夫过程的比较”，Adv.in Appl。概率。48(4), 1015–1044.S’anchez，S.、Casas，F.和Fern’andez，A.（2011），“基于马格纳斯展开的新分析近似”，数学化学杂志49（8），1741-1758。Teschl，G.（2012），《普通微分方程和动力系统》，第140卷《数学研究生研究》，美国数学学会，普罗维登斯，RI。德国开姆尼茨理工大学，Reichenhainer街41号，邮编：09126。艾伯特·路德维希（Albert Ludwigs University of Freiburg，Eckertstr）。179104弗赖堡，德国。电子邮件地址：thorsten。schmidt@stochastik.uni-弗莱堡。判定元件