时间非齐次多项式过程

2022-6-10 03:27:30

时间非齐次多项式过程Mar'IA FERNANDA DEL CARMEN AGOITIA HURTADO和THORSTEN SCHMIDTAbstract。时间齐次多项式过程是马尔可夫过程，其矩可以通过矩阵指数轻松计算。在这项工作中，我们发展了一种时间非齐次多项式过程，其中过程的系数可能依赖于时间。利用半鞅特征给出了该模型类的一个充分刻画。我们证明，一般来说，不再可能用矩阵指数计算动量。作为另一种选择，我们探索一种连接到Magnus级数的快速数值近似方法。时间不均匀性在许多应用中都很重要：在期限结构模型中，这允许对可用价格进行完美校准。在电力市场中，季节性自然发挥作用，必须通过使用的模型来捕捉。本文研究的modelclass扩展了现有模型，例如Sato过程和时间不均匀a ffine过程。关键词：多项式过程、a ffne过程、马格纳斯级数、时间非齐次马尔可夫过程、季节性、电力市场、信用风险、利率。1、介绍马尔可夫过程的许多应用，特别是在数学金融中，证明了矩的高效可计算性。例如，这是期权价格计算和矩估计的一个重要特征。这推动了Cuchiero等人（2012）对多项式过程的研究，因为它们通过定义直接满足这一特性：多项式过程X是一个马尔可夫过程，因此未来时间过程的非多项式的期望值由过程初始值的多项式（相同阶数）给出。事实证明，如果存在处理过的矩，这一性质是众所周知的a ffne过程所共有的。

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2022-6-10 03:27:33

其他重要的例子分类为多项式过程：Jacobi过程，这是生活在整个空间的紧凑子集上的过程，参见Delbaen和Shirakawa（2002）和Gouriroux和Jasiak（2006）以及PearsonDiffusions，表现出线性漂移和平方扩散系数，inForman和Sorensen（2008）正在研究。除此之外，多项式过程在金融领域越来越受欢迎，见Filipovi\'c和Larsson（2016）。应用领域从期限结构建模（见Cheng和Tehranchi（2015）和Grbac（2015））到方差掉期（见Filipovi\'c et al.（2014））、伦敦银行同业拆借利率模型（见Glau et al.（2014））以及期权定价和对冲的方差减少，如Cuchiero et al.（2012）。上述所有模型在时间上都是同质的，因此不考虑季节性。时间不均匀性在期限结构建模中也起着重要作用，因为它允许对观察到的市场数据进行完美校准。一个自然的例子，时间非齐次多项式的所有特征都发挥了作用，即有界日期：2018年6月12日。我们感谢马丁·拉尔森提出的富有洞察力的建议。第一作者感谢国家科学和技术委员会（CONACyT）的慷慨支持。2 M.AGOITIA和T.SCHMIDTstate space AND seasonality是电力现货市场，我们参考AGOITIA Hurtado（2017）了解详细应用。本文的目的是刻画和研究时间非齐次多项式过程。虽然在时间齐次多项式过程中，所有阶的矩都可以通过矩阵指数来计算，但这种性质在时间非齐次情况下并不存在。相反，我们通过磁系列给出了一个近似值，它仍然提供了足够的可处理性。

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2022-6-10 03:27:36

此案例的小应用程序。本文组织如下：在第2节中，我们介绍了时间非齐次多项式过程。接下来，我们将在第3节探讨演化系统与时间非齐次多项式过程的转移算子之间的联系，并给出一个表征结果。在第四节中，我们证明了具有紧状态空间的时间非齐次多项式过程是Feller过程。此外，我们在第5节中给出了时间非齐次多项式过程与半鞅之间的关系。第8节给出了时间非齐次多项式过程的一些例子，以及一些反例。在第9节中，我们给出了计算时间非齐次多项式过程矩的Magnus级数。此外，本节还包含一些时间非齐次多项式过程的示例，这些过程的矩可以使用前一节中给出的结果进行计算。一些辅助结果参见附录A.2。多项式过程我们的目标是研究具有状态空间SARn的时间非齐次马尔可夫过程。仅假设状态空间S是可测量的，并且非常丰富，可以唯一识别多项式。通过S，我们表示S上的Borelσ-代数，通过S，我们表示非负可测函数的空间f:S尼R。为了便于表示，我们定义了最终时间范围Ta0，并引入了三角形 :“tps，tq | 0dsdtdt u。（1）马尔可夫过程s可以由一系列（时间非齐次）传递算子pPs，tqps，tqP表征, 给定byPs，tfpxq“zSfpξqps，tpx，dξq，（2）对于所有x P S和f P S”。

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2022-6-10 03:27:39

这里，ps，tpx，Aq表示转移概率函数，它满足以下众所周知的特性（比较Revuz和Yor（1994），第三章，了解更多详细信息）：（i）ps，tpx，Aq在ps，t，xq中是联合S-可测量的，对于所有A P S，（ii）对于固定ps，tqp x P S，ps，tpx，¨q是S上的概率度量，（iii）对于所有x P S和t P r0，t S，pt，tpx，¨q“δx，其中δxdenotes是狄拉克测度，（iv）查普曼-科尔莫戈罗夫方程holdps，upx，Aq“zSps，tpx，dyqpt，upy，Aq，0dsdtdudt。这些性质立即转化为传递算子的相关性质。特别是查普曼-科尔莫戈罗夫方程yieldPs，ufpxq“Ps，tPt，ufpxq，对于所有f P S`。使用以下多索引表示法将很方便：对于k”pk，…，kdq P Ndlet | k |“k`…`kdand xk”xk¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨xkd。通过PmpSq，我们表示S上mě0阶多项式的有限维时间非齐次多项式过程3向量空间，即PmpSq：“tS Q xThm"yk |”0αkPru（3）PmpSq的尺寸由Na8表示，并取决于S。此外，表示Pm：“PmpRdq。我们的目标是考虑菲利波维奇（Filipovi\'c）和拉尔森（Larsson）（2016）中的一般状态空间，因为（3）中的多项式的重复可能不是唯一的。考虑到这一点，我们通过pfq”tα：m | k |“0αkxk”fu定义多项式f Pmits表示，并考虑范数}f}m”infαPRpf qmax0 | k |。（4（）现在我们可以引入一类适当的时间相关多项式。让我们来“S” ^S是增广状态空间（由三角形表示的时间增广). 由Cp提供, Rq我们表示一次连续可微分函数的空间对于R.阶数最多为m的时间相关多项式的向量空间由▄PmpSq定义：“t▄S Q ps，t，xqThnim▄k▄”0αkps，tqxk：αkP Cp, Rqu。

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2022-6-10 03:27:42

（5）与PmpSq相比，~PmpSq是一个有限维向量空间。在命题A.1中，我们证明了在适当的范数下，~PmpSq确实是一个Banach空间。定义2.1。我们称转移算子为pPs，tqps，tqPm-多项式如果对于所有k Pt0，mu和所有f P PkpSqS Q ps、t、xqTh~nps、tfpxq都在PkpSq中。如果pPs、tqps、tqP是所有mě0的m-多项式，则简称为多项式。备注2.1。让我们强调与此定义相关的一些要点。i）注意，我们隐含地假设，对于每个f P PmpSq、x P S和Ps、tqp，存在m阶矩，即Ps，t | f | pxq“S | fpξq | Ps，tpx，dξqa8. 此外，请注意，对于状态空间S、Ps、tf“0上的任何多项式F，可以很好地定义变换运算符。ii）变换运算符pPs、tqps、tqP称为时间齐次，ifPs，t“P0，s’t”：Ps’t。这是Cuchiero et al.（2012）所述的情况，但在sTh~nPsfpxq在s“0代替了此处所需的连续可微性。在时间齐次的情况下，可以通过半群方法将零处的连续性扩展到整条直线。原因是在时间齐次的情况下，转移算子Ps，tca可以简化为马尔可夫半群。在更一般的情况下，我们认为这将不再可能。iii）非常有效的研究时间非齐次马尔可夫过程的技巧是将时间作为过程的附加坐标。转换后的过程称为时空过程，比较一下B¨ottcher（2014）的这种处理方法。应用这个技巧4 M.AGOITIA和T。

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2022-6-10 03:27:45

Schmidto多项式过程会严重限制时间不均匀性的类型，因为对时间的依赖性要求是多项式形式。在下面的命题中，我们证明多项式过程可以等价地由以下两个更简单的条件来描述。提案2.1。过渡运算符pPs、tqps、tqP是m-多项式当且仅当以下两个条件成立：i）对于所有k P t0，mu，所有f P PkpSq和ps，tq P,S Q xTh~nPs，tfpxq在PkpSq中，ii）对于所有k P t0，mu、所有f P PkpSq和x P S， Q ps，tqTh~nps，tfpxq在Cp中q、证明。必要性从定义开始就紧随其后。为了提高效率，设0dkdm和f P PkpSq。映射S Q xTh~nxl的一个子族，0| | l | k，将构成我们用tv表示的KPSQ的基础，vNu。条件i）得出Ps，tf P PkpSq for everyps，tq P. 因此，存在系数αfjps，tq，0djdN，因此ps，tf“N"yj”1αfjps，tqvjan，我们需要证明αfjP Cpq、 j“1，…，N.为此，让v，…，vndnote tv，…，vNu的双重基础，即每个vjis是双空间pPkpSqqandvipvjq“1ti”ju的一个元素。然后vipPs，tfq“vi"yN"yj”1αfjps，tqvj,“N"yj”1αfjps，tqvipvjq“αfips，tq。根据条件iiq映射 Q ps，tqTh~nps，tfpxq对于所有x P S都是连续可微的。因此，引理A.2也将映射 Q ps，tqTh~nps，tf P pPkpSq，}kq持续存在差异。但线性泛函vi（作用于有限维空间）自动连续且有界。表示其运算符范数vi, 即vi “最大0‰gPPkpSq | vipgq |}g}k，我们得到| vIPP，tfqvIPP，tfq |”| vIPP，TFP，tfq |vi Ps，tf'Ps，tf}k。但这里，右边是0，对于Ps，tq~nPs，tq，通过Ps，tqTh~nPs，tf P pPkpSq，}的连续性kq和so的连续性 Q ps，tqTh~nvIPP，tfq“αfips，tq如下。

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2022-6-10 03:27:49

以同样的方式，我们看到αi甚至是连续可微的。2.1. 相关的多项式过程。因为我们对马尔可夫过程感兴趣，它是半鞅，所以我们假设Ohm 是c\'adl\'ag函数的空间ω：r0，T s~ns，X是坐标过程，过滤是由X生成的规范过滤pFtq0dTdT。此外，F“FT。然后，根据Revuz和Yor（1994）中的定理III.1.5，对于任何初始分布和转移操作符pPs，tqps，tqPp上存在唯一的概率测度Ohm, F q使得X是马尔可夫的，关于转移算子pPs，tqps，tqP的正则滤波.时间非齐次多项式过程5这一设置允许我们引用多项式过程X，它是一个具有多项式演化系统的马尔可夫过程，没有强加Feller性质（参见第4节）。我们还使用了m-多项式过程现在显而易见的定义。3、进化系统在这一节中，我们证明了多项式过程中的转移算子实际上导致了一个进化系统。在时间不均匀的情况下，进化系统取代了半群，但人们对它的了解要少得多。我们参考Pazy（1992）；Gulisashvili和van Casteren（2006）进行了更详细的阐述。定义3.1。两参数有界线性算子族U“pUs，tqps，tqP如果满足以下两个条件，ona Banach空间pB，}¨}q称为演化系统：i）Us，s“I表示所有0dsdT（其中I表示单位运算符），ii）Ur，sUs，T”Ur，T表示所有0drdsdTdT。进化系统的重要性源于这样一个事实，即我们可以通过转移概率函数将进化系统与马尔可夫过程相关联。请注意，马尔可夫半群pPtq0dTdtindect通过U ps，tq“Pt\'s，ps，tq P诱导进化系统.

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2022-6-10 03:27:52

演进系统pUs、tqps、tqP被称为强连续if for eachps，tq P 和f P B，limQpv、wq~nps、tq}Uv、wf'Us、，tf}“0.对于强连续演化系统，我们将其最小生成元定义为具有GSF的线性算子族G”pGsq0dsdTof：“limh'O0hpUs，s ` hf'fq。GSSQ的域D是存在上述极限的B的子空间。以下引理说明了强连续演化系统的Kolmogorov方程。方程（6）被称为Kolmogorov向后方程，（7）被称为Kolmogorovforward方程。这一基本结果的证明见（R¨uschendorf et al.，2016，引理2.1）。引理3.1。对于具有最小生成元的强连续演化系统U，它认为：i）如果f P B和sTh~nUs，tf对于0dsat，然后是dadsUs是右可微的，tf“'GSU，tf。（6）尤其是美国，tf P DpGsq用于0dsat。ii）如果f P D pGsq用于0dsat，则D\'dtUs，tf“Us，tGtf。（7）让我们强调一下，上述方程对于Banach空间pB，}成立q、我们的下一步是证明m-多项式过程的转移算子构成了一个强连续演化系统。在下文中，我们将此进化系统称为马尔可夫过程的关联进化系统。提案3.2。如果转换运算符pPs、tqps、tqP是m-多项式，它们在pPkpSq上形成了惊人的连续演化系统，}每0dkdm.6 m.AGOITIA和T.SCHMIDTProof的kq。验证pPs、tqP、tqP是满足定义3.1中i）点和ii）点的线性算子族。此外，它们是有界的，作为有限维赋范空间pPkpSq上的线性算子，}¨}kq是自动有界的。所有这些都是为了表现出很强的连续性，即。

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2022-6-10 03:27:55

对于每个f P PkpSq，我们有}Ps，tf'Pu，vf}k~n0 Q ps、tq尼普、vq。根据引理A.2，这相当于所有x P S的| Ps、tfpxq'Pu、vfpxq | ni0。然而，这遵循命题2.1 ii）。3.1. 小型发电机。在本小节中，我们将说明多项式过程的最小生成元（将在下文介绍）实际上与相关进化系统的最小生成元一致。过渡运算符pPs、tqps、tqP的最小生成器是线性算子族H“pHtq0dtdTsatisfyingpHsfqpxq：”limh'O0hpPs，s\'hf'fqpxq，x P s。同样，域D pHsq是所有x P s都存在上述极限的可测函数f:s~nR的集合。引理3.3。让转移算子pPs，tqps，tqP是具有独立生成器H的m-多项式。则以下情况适用：i）所有0dsaT的PmpSqAD pHsq。ii）如果0dkdm和Ps的f P PkpSq，tfpxq“k | l |”0αlps，tqxl，thenpHsfqpxq“k | l |”0D `αlps，sqxl，x P S.（8）iii）所有0dkdm和所有0dSaT的hspkpsqq。证明。让0dkdm.因为x是m多项式，P，.f PaPpSq。对于0dSaT和0h自αlP Cp以来，我们从上方获得了HPP、S ` hf ` fq pxq“k | l |”0h `αlps、S ` hq `αlps、sqxl~nk | l | 0D `αlps、sqxlas h~n0q、因此，i）和ii）遵循。第iii部分）紧随（8）中H的表示。以下命题表明，微元生成器的这两个概念实际上在多项式的适当空间上重合。提案3.4。考虑m-多项式转移算子，其最小生成元为pHsq0dsd，并让pGsq0dsdTbe作为pPmpSq上相关进化系统的最小生成元，}kq。然后，它认为i）D pGsq“PmpSq对于每0dsaT，ii）如果f P PmpSq那么Gsf“Hsf对于每0dsaT。时间非齐次多项式过程7证明。显然，DpGsqaPmpSq。

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2022-6-10 03:27:58

反之，考虑f P PmpSq，这样Ps，TFPXQ可表示为rk | l |“0αlps，tqxl。然后（8）产生>>>>>HPP，s ` hf'fq'Hsf>>>>>>>>>m | l|“0^αlps，s ` hq'αlps，sqh'D'αlps，sq'xl>>>>>>m'max0'l'k'αlps，s'hq'αlps，sqh'D'α'l'ps，sq'Hsf。但在最后一个等式中，通过定义D'αlps，sq，h'0的右侧变为0。因此f P D pGsq和Gsf”Hsf。3.2. 多项式过程的第一个特征。生成器的成功概念在以下结果中有一个主要应用，它允许生成关联鞅。回顾第2.1节，我们假设Ohm 是c\'adl\'ag函数的空间ω：r0，T s nis，X是坐标过程，过滤是标准过滤F：“pFtq0dtdt由X生成。此外，F”FT。这导致了唯一概率度量P0，X，X P S，其中P0，xpX“xq“1.此外，对于任何s P r0，T s，我们可以将自己限制在函数空间ω：rs，T s~ns，仅从s开始，以类似的方式得出唯一的概率度量Ps，其中Ps，xpXs“xq”1。这种情况下的标准过滤将用Fs表示：“pFs，tqsdT.Lemma 3.5。让XpXtq0dtdTbe是一个E值马尔可夫过程，具有传递算子族pPs、tqps、tqP和小生成元族pHsq0dsaT。假设对于一些f P X0duaTDpHuq和每个s P r0，T q，以下成立：a）随机变量mfs，t： “fpXtq'fpXsq'tsHufpXuqdu，sdtdt（9）定义明确，b）对于所有0dsdt和所有x P E，u'Huf'pxqdua8。那么以下是等效的：i）pMfs，tqsdtdTis a pPs，x，Fs，tq鞅，对于每个x P E和每个s P r0，t q.ii）对于所有ps，tqp 每个x P E我们都有P，tfpxq“f pxq`ztsp，uHufpxqdu。（10）证明。iq~niiq：鞅性质产生所有0dsdvdtdt，thatEs，xrMfs，vs”Es，xrMfs，ts。

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2022-6-10 03:28:02

（11）在条件b）下，我们使用Fubini定理得到，Es，xrMfs，vs“Es，xrfpXvqs，xrfpXsqs，xzvsHufpXuqdu“Ps，vfpxq'fpxq'vsPs，uHufpxqdu。在（11）中选择v”s，我们得到iiq.8 M.AGOITIA和T.Schmidtiiiq~niq：通过马尔可夫性质和Fubini定理的进一步应用，让0dsdsaTdT。Es，xrMfs，T'Fs，ss'Mfs，s，s，s，s's，xrfpxsq'tshufpqdq'XUQDU | Fs，ss“Es，XsrfpXtq'fpXsq'tsHufpXuqdus”Ps，tfpXsq'fpXsq'tsPs，UHUFPXSSQDUIIQ“ 0. 如果m是偶数（因为m是|¨| mis多项式），则上述引理中Mfin的鞅性质可以从多项式性质推导出来。时间齐次多项式过程的情况已经如此，见Cuchiero等人（2012）的定理2.10和备注2.11。提案3.6。设mě2为偶数，设X“pXtq0dtdTbe为S值m-多项式过程，pHsq0dSaTbe为它的微元生成器族。对于f P PmpSq和S Pr0，t S，Mfs，t：”fpXtq'fpxq'tsHufpXuqdu，SdtdTis定义良好，并且每X P S证明一个pPs，X，X，Fsq鞅。通过引理3.3，我们得到了PmpSq Q fA所有0duat和hufpxuq“m"yl |”0D`αflpu，uqpXuql（12）带αflP Cpq、这样，supuPrs，ts |αflpu，uq | 8。此外，uTh~nXupωq对于所有ω都是c\'adl\'ag，因此uTh~nHufpXuq确实可以在ps、tq上进行积，因此可以很好地定义Mfs。此外，对于所有0dsduaT，函数Huf在PmpSq中，因此，对于所有x P s，函数u | Huf | pxqa8（如m多项式过程所需）。因此，引理3.5的条件a）满足。对于条件b），注意等式（12）yieldsPs，u | Hufpxq | m | l |“0 | D`αflpu，uq |¨Ps，u | el | pxq with el”xl。此外，elpxq | 1 ` gpxq with gpxq“| x | m。由于m是偶数，g是多项式。

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2022-6-10 03:28:05

然后，比例2.1得出，对于所有x P S，Ps，ugpxq持续依赖于u，引理3.5的条件b）也满足。此外，对于Kolmogorov正演方程（7）中的所有0dsdtdt和x P s，我们得到了thatPs，tfpxq'fpxq'ztsPs，uhuffpxqdu“Ps，tfpxq'fpxq'tsd'duPs，ufpxqdu”0。现在，命题来自引理3.5中的等价iq^oiiiiq。以下定理是本节的主要结果。它将定理2.10 Inuchiero et al.（2012）扩展到时间不均匀情况。如上所述，我们表示MFS，t：“fpXtq'fpXsq'tsHufpXuqdu，ps，tq P.时间非齐次多项式过程9定理3.7。设X“pXtq0dtdTbe是一个具有传递算子族pPs，tqps，tqP的S值马尔可夫过程和一系列微型生成器pHsq0dsaT。此外，让mě2b为偶数。那么以下是等价的：i）X是m-多项式。ii）以下条件适用：a）所有x P S、0dSdT和f P PmpSq的TSP、u | f | pxqdua8。b） pMfs、tqsdtaTis定义良好，对于所有0dkdm和0dSat，每x P S、f P PmpSqand all S P r0、t q.c）都有一个pPs、x、Fsq鞅。d）对于所有0dkdm和f P PkpSq，存在bflP Cpr0、T qq、0dl|k，这样，hsfpxq“k"y| l |”0bflpsqxl（13）对于所有x P S和S P r0，T q.证明。首先，我们注意到蕴涵iq~niiq容易遵循引理3.3、命题3.6和m-多项式过程的定义。对于逆方向iiq~niq，让0dkdm和f P PkpSq。我们必须证明所有ps、tf P PkpSq、tqp 还有那个 Q ps，tqTh~nps，tf P pPkpSq，}kq持续存在差异。首先，请注意，根据条件c），所有0dsaT和Hsf P PkpSq的f P D pHsq。

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2022-6-10 03:28:08

然后，条件a）和b）保证引理3.5的适用性，我们得到方程（10）。注意，这已经意味着map rs，T q q TTh~nPs，tfpxq是连续的。第二，从假设d）中，我们通过应用Ps，uto方程（13），得到，uhuffpxq“k"y| l |”0bflpuqrPs，uelspxq，其中又是elpxq“xl。由于uTh~nbflpuq是连续的，并且如前所示，uTh~nPs，uelpxqis是连续的，我们得到uTh~nPs，uhuffpxq是连续的。由于X是多项式，根据命题3.2和引理3.1，转换算子pPs，tq是一个强连续的演化系统，从而得出Kolmogorov前向方程d\'dtPs，tfpxq“Ps，tHtfpxq.（14）成立。第三步，也是最后一步，将使用此属性和引理A.3来获得 Q ps，tqTh~nps，tf P pPkpSq，}kq是连续可区分的。为了应用引理A.3，我们在多项式空间中表示关于A基的Kolmogorov方程：设v，Vn表示PkpSq的基础，并考虑P r0，T q。回想Hs:PkpSq~nPkpSq，以便我们可以选择Hs的代表矩阵，我们将其表示为AsP RN^N（详情请参见第7.1节，特别是我们将其表示为“UHsU'1，线性映射U:PkpSq~nr由U vj“ej，j”1，…，N定义，标准基为RN，te，…，eNu）。由于pAsq0dsat构成了一个连续的矩阵族，引理a.3给出了初值问题“ddtVps，tq”Vps，tqAt，sataTVps，sq的唯一解“I.10 M.AGOITIA和T.Schmidt定义Vs，T：”U'1Vps，tqU。然后Vs，T:PkpSq~nPkpSq，对于每个f P PkpSq，地图 Q ps，tqTh~nVs，tf P pPkpSq，}KQI连续可区分，Vs，s“I（PkpSq上的身份运算符）和DDTVS，t”'HsVs，t。

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2022-6-10 03:28:12

（15）最后，我们证明了Ps，tf“Vs，tf对于完成证明的所有f P PkpSq：fix x P和0dsatdt，并定义新的prq：“Ps，rVr，tfpxq，sdrdt。那么函数W可与d\'drW prq“d\'drPs，r˙Vr，tfpxq\'Ps，rd\'drVr，t˙fpxq”Ps，rHrVr，tfpxq\'Ps，rHrVr，tfpxq“0这表明W是常数，特别是W psq“W ptq，相当于Vs，tfpxq“Ps、tfpxq和证明已完成。4、Feller属性在本节中，我们为相关传递算子的唯一性建立了一个有效的标准—Feller属性。一个中心结果是，具有紧状态空间的多项式过程是Feller过程。我们首先简要介绍以下主题：Revuz和Yor（1994）；B–ottcher（2014）。为此，我们将一组SARdbyCpSq表示为：“tf P CpSq：@εa0 DKAS紧，这样x R ku的| fpxq |ε为S上的连续函数空间在单位内消失。回想一下，配备了}f}：“supxPS | fpxq |，CpSq是一个Banach空间。定义4.1。转移算子pPs，tqps，tqP被称为Feller，如果对于所有的f P CpSq:i）Ps，tf P CpSq，ii）}Ps，tf}d}f}对于所有的Ps，tq P,iii）pPs、tqps、tqP在Banach空间pCpSq上是强连续的}。}q、在这种情况下，族pPs、tqps、tqP也被称为伐木进化系统。请注意，对于任何马尔可夫过程，由于CpSq中的函数是有界的，因此相关的转移算子Ps、TAR在PSQ上定义。此外，所有马尔可夫过程都满足iiq性质。Feller过程的相关性源于这样一个事实，即人们可以将一个独特的进化系统与Feller过程联系起来，见命题III.2.2。在Revuz andYor（1994）中。提案4.1。让SARdbe紧凑。然后一个S值多项式过程X“pXtq0dtd是一个Feller过程。证明。用pPs，tqps，tqP表示X的转移算子。由于SARdis紧，我们有CpSq“CpSq”。

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2022-6-10 03:28:15

我们验证定义4.1的属性。显然ii）持有。接下来，我们展示时间非齐次多项式过程11i）：设f P CpSq，x P S和 a 0. 通过Stone-Weierstrass定理，我们知道存在k P N和P P PkpSq，使得}f'P}{3.那么，对于y P S，我们有| Ps，tfpxq'Ps，tfpyq'Ps，tpf'pqpxq''`''''''''Ps，tppxq'Ps，tpp'fqpyq''Ps，tpf'pq''''''Ps，tppyq''''''Ps，tpp'''fq'''''''''''''P'''''''''''124; Ps，tppxq'Ps，tppyq'`}f'P}2{3` | Ps，tppxq | Ps，tppyq |。由于xTh~nPs，tppxq是多项式，因此是连续的，因此存在δa0，因此与| x | yδ一起，它认为| Ps，tppxqPs，tppyq{3和i）如下。鉴于iii）我们必须验证对于每个f P CpSq和pv，wq P 以下内容适用：适用于所有 a0存在δa0，因此对于ps，tq P 有| ps，tq'pv，wq'δwehave}ps，tf'pv，wf}259;. 为此，考虑f P CpSq和 a 0. 如上所述，存在P N和P P PkpSq，使得}f'P}{3.然后，}Ps，tf'Pv，wf}p}Ps，tpf'pq}Ps，tp'Pv，wp'fq}p}Ps，tp'Pv，wp'p'f}f}2{3`}Ps，tp'Pv，wp}。剩下的就是适当地选择ps，tq，使第二项小于{3.在有限维Banach空间PkpSq上，所有范数都是等价的。因此，存在一个常数ca0，使得}Ps，tp'Pv，wp}c}Ps，tp'Pv，wp}kwith}f}m“max0d| k | m |αk |。在命题3.2中，我们证明了pPs，tq在PkpSq上是强连续的。因此，存在δa0，使得'Ps，tq“Pv，wq |aδwehave}Ps，tp'Pv，wp}ka{p3cq。因此，对于ps，tq的选择，我们得到了}ps，tp'Pv，wp}c}ps，tp'Pv，wp}ka{3和iii）如下。备注4.1。

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2022-6-10 03:28:18

（i）即使我们知道规范状态空间上的一个函数过程具有Feller性质（见Filipovi\'c（2005）），这也可能无法保持这里所考虑的更一般的状态空间。（ii）命题4.1的证明实际上表明，对于多项式转移算子，定义4.1的性质ii）和iii）成立（在可能不紧凑的状态空间上）。此外，tCpSqACpSq仅持有较弱的资产Ps，而不是财产i），但这将有助于遵循下节开头的常规规范过滤。半鞅特征我们开始研究多项式过程，它是半鞅。对于本文中使用的一般factson半鞅和随机分析，我们参考了Jacod和Shiryaev（2003）。回顾第2.1节，我们假设Ohm 是c\'adl\'ag函数的空间ω：r0，ts nis，X是坐标过程，过滤是标准过滤F：“pFtq0dtdt由X生成。此外，F”FT。这导致了唯一的概率测量P0，ν，X P S，其中ν是X的初始分布，即P0，xp Aq“νpAq。然而，这种过滤既不是完全的，也不是完全连续的，这对于半鞅演算的应用至关重要。我们遵循Revuz和Yor（1994）第III.2节中关于马尔可夫过程的常规增强：考虑初始分布ν。然后，用Fν表示F相对于P0、ν的完成，用Fν表示：“pFνtq0dtdt通过将Fν中的所有P0，ν-可忽略集添加到每个Ft，t P r0，t s中获得的12 M.AGOITIA和t.SCHMIDT过滤。最后，我们设置Ft”cFνt，F：“cFνt”，并表示F：“pFtq0dtdt”。根据Revuz和Yor（1994）中的命题III.2.10，F满足通常的条件，如果X是Feller，则通常无法用于考虑的多项式过程。

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2022-6-10 03:28:21

然而，如备注4.1 ii）所述，较弱的财产持有，即ii）和iii）满足定义4.1，而不是i）它持有Ps、tCpSqACpSq。尤其是，此属性适用于有界连续函数。对命题III证明的检查。2.10表明这实际上有助于F的正确连续性。我们以类似的方式定义过滤Fs“pFs，tqsdtdt从s P r0，t s开始。最后，类似于第2.1节，我们定义了从时间点s P r0，t s开始的相应数量，即Ps，ν，Fν和Fs。现在，我们准备重述半鞅演算的标准概念。对于c\'adl\'ag过程X，我们定义了X和X X X'X0'“X，Xt'”lims`Otxs对于ta0，Xt“Xt'Xt'。如果过程X具有分解X”X'N'M，则过程X是pP，Fq半鞅，其中X是F-可测的，N是c'adl'ag，F-自适应的，在每个单位区间上具有有限的变化路径“0和M是从0开始的pP，Fq局部鞅。我们强调了对P和F的明显依赖，因为在下面我们将提到不同的滤波和度量。对于以下定义，我们将记住这种依赖性，但为了便于理解，我们通常将其放在符号中。我们可以将整数值随机度量uX与X乘以uXpdt，d的跳跃相关联xq“"ysě0tXs‰0uδps，Xsqpdt、dxq；（16）这里δa是点a处的狄拉克测度。我们表示随机测度uXbyν的补偿器或双重可预测投影。这是唯一的F-可预测随机测度，它呈现关于uX'ν局部鞅的随机积分。如果N是可预测的，则半鞅X称为特殊的。在这种情况下，decompositionX“X\'N\'M是唯一的，我们称之为正则分解。

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mingdashike22

2022-6-10 03:28:25

局部鞅部分M可以分解为连续的局部鞅部分（我们用Xc表示）和纯间断的局部鞅部分（X'Xc）。对我们来说，一个基本概念是半鞅的特征。一般半鞅的特征通常涉及分支函数h。然而，这里我们只讨论特殊半鞅，这样就没有必要了，可以选择hpxq“x”。具有唯一分解x“x\'B\'M”的特殊半鞅x的特征是三重态pB，C，νq，其中B“pBiq是一个有限变化的过程，C”pCijq与Cij“@Xi，C，Xj，cd和ν”νXis是等式（16）中定义的uXde的补偿器。引理5.1。让x“pXtq0dtdTbe是一个mě2 andArd闭合的S值m-多项式过程。然后对于所有0dSdt和所有x P S，过程pXtqsdtd是一个关于随机基P的特殊半鞅Ohm, F、pFs、tqsdtdt、Ps、xq。证据我们用pHsq0dsaT表示X的最小生成元。根据假设，X是2多项式，因此我们可以将命题3.6应用于第i次非齐次多项式过程的投影13coordinate，πipx，xdq：“xi，1didd。因此，Mis，t：“Mπis，t”Xit'Xis'tsHuπipXuqdu，sdtdt（17）是一个pPs，x，Fsq鞅。根据Neufeld和Nutz（2014）中的命题2.2，它是另外一个apPs，x，Fsq鞅。为Xit求解，我们看到XII是一个绝对连续（因此是可预测的）过程和一个鞅的和，因此是一个特殊的半鞅和sois x。定理5.2。固定0dsdT和x P s，并表示m-多项式过程pXs，tqsdTdtwi相对于pFs，tqsdTd和Ps，xbypBt，Ct，νtqsdTdT的半鞅特征。

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2022-6-10 03:28:28

如果mě2，则以下情况成立：i）存在可测函数bi，aij:r0，T q^S~nR，1di，jdd，不依赖于和x，因此对于所有0dTaT和ξP Sbipt。q P PpSq，aijpt。q P PpSq，带bip。，ξq，aijp。，ξq P Cr0，T q andBit“ztsbipu，Xuqdu，（18）CijtztszRdξiξjνpdu，dξq”ztsaijpu，Xuqdu，（19）对于所有0dTdT和1di，jdd.ii）存在一个可测函数c“pcijqdi，j”1:r0，T q^sdRd^d，取值于一组正半限定矩阵中，例如CIJS，T“ztscijjjpu徐克渡，0dsdTdT.（20）iii）对于每个0dtdt，存在一个从pS、Sq到prd、BpRdqq的正转换内核kt，它集成了` | x ^^1'和satis Kupx，t0uq“0，因此νpω；dt，dξq”KtpXtpωq，dξqdt。（21）此外，对于所有3d| k | m，存在αlP Cr0，T q，0d| l | k |因此zRdξkKtpx，dξq“| kl |”0αlptqxl，x p S，T p r0，T q.（21）22）证明。我们的证明遵循了Cuchieroet al.（2012）中命题2.12中的第一个含义的证明，此外还考虑了时间不均匀性。i）方程（17）意味着位“stsHuπipXuqdu，我们设置了bipu，ξq：”Huπipξq，0dudT，ξP S.（23）由于πip PpSq和，根据定理3.7 c），Huπip P，它遵循bipu，.q P PpSq。此外，根据定理3.7 d）映射uThИHuπipξq”bipu，ξq是连续的。14 M.Gagotia和T.Schmidt将其与pxpxq“xkimesfkimes”相结合PXTQ“fkpxqztsd"yi”1DifkpXuztsd"yi，j“1DijfkpXu'qdCijs，u'u't'fkpXuq'fkpXu'q'd'i”1DifkpXu'q秀,。（24）首先，我们专注于跳跃部分。由i'thentry为1且其余分量为0的d'维向量表示，并由uX与X的跳跃相关的随机测度表示。自Dixkξ“kixk'ei起，我们得到pXu'''''ξqk'pXu'qk'd'i“1DikipXu'qk'eiξi”| k'''''l''l''''Xk'lu l'pXu'qk'd'i 1kipXu'qk'eiξei“| k'255;'l'”2^kl'Xk'lu'ξl”：W pu，ξq。

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2022-6-10 03:28:31

（25）从方程（17）中回忆，Xit“Xis ` Mis，t ` Bis，t，使得fkpxtq“fkpxq ` tsd"yi”1DifkpXu'qdMis，u'tsd'i“1DifkpXu'qdCijs，u'ts'RdW pu，ξquXpdu，dξq.（26）补偿ux我们得到fkpxq是一个具有唯一半鞅的特殊半鞅分解。使用等式（9）中的符号我们用Mfks表示局部鞅部分，并获得fkpxtq“fkpxq ` Mfks，t ` tsd ` i”1DifkpXu'qdBis，u ` tsd'i，j”1DijfkpXu'qdCijs，u ` ts'RdW pu，ξqνpdu，dξq“fkpxq'Mfks，t'tsHufkpXuqdu；（27）时间非齐次多项式过程15最后一个等式来自引理3.5，特别是方程式（9）。我们将此表示应用于二次多项式fijp XQ：“xixj，1di，jdd并获得ztsHufijpXuqdu（28）“ztsd"yk”1DkfijpXu'qdBks，uztsd"yk，l“1DklfijpXu'qdCkls，uztszRdξiξjνpdu，dξq”tsXju dBis，uztssui'dBjs，u'Cijs，tztszRdξiξjνpdu，dξq.“ztsXjubipu，Xuqdu `ztsXiubjpu，Xuqdu ` Cijs，tztszRdξiξjνpdu，dξqwith bip.，.q来自方程式（23）。鉴于我们的主张，setaijpu，ξq：“Hufijpξq'ξjbipu，ξq'ξibjpu，ξq。由于Hufijp PpSq，根据定理3.7 c）和d），我们得到了aijpu，、q P PpSq andaijp，、ξq P Cr0，T q。此外，表示（19）现在遵循（28），并证明了i）。ii）：首先，定义可预测和递增的过程A byAs，tpωq：“ztszRd |ξ|νpω；du，dξq，sdtdt.然后，根据Jacod和Shiryaev（2003）中定理II.1.8的证明中的相同论点，在pRd，BpRdqq上存在一个转移核Ktpω；dξq”Ktpω；dξqdAs，tp q。此外，由于by（19）d"yi“1Ciis，tpωq\'as，tpωq“d"yi“1ztsaiipu，Xupωqqduan由于pCiis，tq，i P t1，…，du和pAs，tq是有限变化的非负增长过程，它们对于Lebesgue测度是绝对连续的。

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2022-6-10 03:28:34

根据命题I。3.13在Jacod和Shiryaev（2003）中，存在可预测的过程，即，t“ztsciiudu和As，t”tsaudu，sdtdt.ThenrKtpω；dξq：“~atpωqKtpω；dξq再次是一个可预测的过渡核。它几乎可以肯定地满足νpω；dt，dξq”rKtpω；dξqdt qdt。这允许获得（19）的以下表示，这次对于所有1di，jdd：Cijs，tpωq“zts^aijpu，Xupωqq'RdξiξjrKupω；dξq˙du，sdtdt。因此，pCijs，tq对于i‰j的勒贝格度量也是绝对连续的，从而产生表示Cijs，t”tsscijudu。根据Jacod和Shiryaev（2003）中的命题II.2.9，我们能够找到c和K，从而ctpωq“cpt，Xtpωqq和~Ktpω；dξq“KtpXtpωq；dξq，显示（20）（以及ii）和（21）的有效性。16 M.AGOITIA和T.SCHMIDTiii）：将ii）的结果插入到（27）中，并将我们获得的可预测有限变量部分与s中的连续性相等，即zRd | k | l | 3^kl˙fk˙lpxqξlKspx；dξq“Hsfkpxq"yd"yi”1dijpxqqbips，xqforall x P s.现在| k |“3该方程的读数为zRdξkKspx；dξq”Hsfkpxq'd"yi“1Difkpxqbips，xq'd"yi，j”1difkpxqaijps，xqand此处右侧为PpSq（作为x的函数），并在s中连续（如下所示），显示了（22）对于| k |”3。一般| k | 3的有效性现在由归纳得出。我们的下一个目标是扭转上述程序。我们证明了一个满足定理5.2中i）-iii）的特殊半鞅确实是m-多项式，如果转移核Ktsatisfyan附加条件。定理5.3。设X“pXtq0dtdTbe为状态空间为S的马尔可夫过程，设mě2。假设对于所有0dSdt和所有X P S，过程pXtqsdtd是关于P的特殊半鞅Ohm, F，Fs，Ps，xq及其特性pBs，Cs，νq满足定理5.2的iiiq。

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2022-6-10 03:28:38

如果加上，xzRd |ξ| mKtpXt，dξqa8，对于几乎所有的0dsdtdt，（29）或zRd |ξ| mKtpXt，dξqdCp1 ` | Xt | mq，0dtdt，（30）对于某些常数C，则X是m多项式过程，对于所有g P PmpSq，0dsaand x P s它认为hsgpxq“d"yi”1Digpxqbips，xq\'d"yi，j“1Di，jgpxqcijps，xq\'Rdpgpx\'ξq'gpxq\'d"yi”1Digpxqξiqspx，dξq，（31）其中bi，cij，ks在定理5.2的iiiiiiiq中定义。让g P和de finev px，ξq：“gpx'ξq“gpxq‘d"yi”1Digpxqξi，x P s，ξP Rd.根据泰勒公式V px，ξq“m | l|“2Dlgpxqξll！and so | V px，ξq | ` |ξ| ^ |ξ| mm"yl |”2 | Dlgpxq | l！：` |ξ| ^ |ξ| m| hpxq。特别是，（19）和（22）表示| Rd | V px，ξq |124; Kupx，dξqdhpxqzRd ` |ξ| ^ |ξ| mKupx，dξqa8.时间非齐次多项式过程17因此过程pstssRdV pXu，ξqKupXu，dξqduqsdtd是局部可积变分。它的o’s公式产生了mgs，t：“gpXtq'gpxq'tsd”"yi“1DigpXuqbipu，Xuqdu（32）'tsd"yi，j”1dijgpxuqcipu，Xuqdu'tszRdV pXu，ξqKupXu，dξqdu，sdtdt，是关于随机基p的局部鞅Ohm, F，Fs，Ps，xq（比较Jacod和Shiryaev（2003）中定理II.2.42，aq~ncq的证明）。定义生成器ugpxq：“d"yi”1Digpxqbipu，xq\'d"yi，j”1dijgpxqcipu，xq\'RdV px，ξqKupx，dξq。根据定理5.2中iiiiq的有效性，cijpu，xq“aijpu，xq'RdξiξjKupx，dξq。此外，再次使用泰勒公式，V px，ξq d"yi，j”1dijjgpxqξiξj“m | l |”3Dlgpxqξll！（按照约定，m | l |”3p…q：“0 if m”2）。因此，Lugpxq“d"yi“1Digpxqbipu，xq\'d"yi，j”1dijgpxqaipu，xq\'Rd^m"yl |”3Dlgpxqξll！Kupx，dξq。定理5.2中的条件iq'iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii接下来，我们证明了MG实际上是一个真鞅。

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2022-6-10 03:28:41

使用该| gpyq | Cp1 ` | y | mq获得一些常数Cwe，xsupsdτt | Mgs，τ|dEs，xr | gpXτq | s | gpxq | `zsβpuq Es，xr | Xu | msdudCp1 ` Es，xr | Xτm | sq | gpxq | `ztsβpuqdu Es，X | supsdu |τXu | Xu | m. （33）现在，Es，x“supsdudτ| Xu | ma8通过应用Burkholder-Davis-Gundy不等式，遵循Cuchiero et al.（2012）中的假设（29）和/或（30），我们在下面的引理5.4中提供了精确的证明。由于MG是一个局部鞅，因此（33）的结果一致性意味着它确实是一个真正的鞅。正如引理3.5中iq~niiq的证明一样，我们可以看到，tgpxq“gpxq `ztsPs，uLugpxqdu.18 M.AGOITIA和T.Schmidt，尤其是在定理3.7的证明中，uTh~nPs，uLugpxq是连续的，因此存在以下限制：limhOE0h'1pPs，s ` hgpxq'gpxqq“Lsgpxq。因此，g P D pHsq和Hsgpxq”Lsgpxq。总之，我们已经证明定理3.7中的所有条件aq'dq都是满足的，因此X是M多项式。定理5.3的证明依赖于以下引理，该引理是Cuchiero等人（2012）中引理2.17对时间不均匀设置的改编。引理5.4。设0dsaτT和x P E为固定值。考虑一个半鞅X，并假设其半鞅特征pB，C，νq满足定理5.2中的iq'iiiq点。然后存在一个常数Csuch thatEs，x“supsdudτ| Xu | md^| x | m\'1zτsEs，xzRd |ξ| mKupXu，dξq杜zτsEs，xr | Xu | ms du˙。（34）此外，如果满足条件（29）或（30）中的一个，则存在有限常数▄Cand▄Csuch thatEs，x▄supsdu▄τ▄Xu▄mdИCeCτ。（35）证明。通过Yt“pt，Xtq和状态空间▄E：“rs，t q^Rdand sample space▄定义sdtat进程YOhm :“rs，T q^Ohm. 过程Y是一个时空齐次马尔可夫过程。

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2022-6-10 03:28:44

特别地，这个过程是一个pd'1q维半鞅，其特征为p▄B，▄C，~νq定义为：~Bt“ztsbpYuqdu”ztsbpu，XuqduCt“ztscpYuqdu”ztspu，Xuqdupω；dt，dξq“~KpYtpωq，dξqdt”KtpXtpωq，dξqdt。由于b、c和K满足定理5.2中的iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiCuchiero et al.（2012）中命题2.12的条件（2.11）-（2.13）。然后，Cuchiero et al.（2012）中的引理2.17得出（34）和（35）. 5.1. 多项式跳跃差分。我们通过介绍一类定理5.3适用的过程来结束本节。定义5.1。设mě2和X“pXtq0dtdTbe是一个具有不同特征pb、c、Kq的S值半鞅。然后，如果以下条件成立，我们称X为m多项式跳差：i）对于所有1didd、0dtat和所有X P S:bipt，.q P PpSq和bip，xq Cr0，t q.ii）对于所有1di、jdd、0dtat和所有X P S:cijpt，.q P和cijp，PpSq al的时间非齐次多项式过程l 2~nk~nm存在αlP Cr0，T q，0~nl~nk~n，因此zRdξkKtpx，dξq“| k | l |”0αlptqxl，x P S，T P r0，T q.iv）其中，xzRd |ξmKtpXt，dξqa8，对于几乎所有的0dsdtdt，或zRd |ξ| mKtpXt，dξqd| Cp1 ` | Xt | mq，0dtdt。注意上述假设ii）和iii），对于| k |”2，意味着函数saijpu，yq“cijpu，yq ` RdξiξjKupy，dξq满足定理5.2，第1部分的所有要求），以下推论立即来自定理5.3。推论5.5。让X“pXtq0dtdtb为S值m多项式跳变差。然后，X是m多项式过程及其微型生成器pHsq0dSdTsatis fieshsfpxq“d”我“1Difpxqbips，xq\'d"yi，j”1Di，jfpxqcijps，xq\'Rdpfpx`ξq'fpxq'd"yi”1DifpxqξiqKspx，dξq，适用于所有f P PmpSq，0dsaT和x P s.6。

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2022-6-10 03:28:47

示例在本节中，我们使用上面讨论的特征化结果来展示多项式过程的一些示例，以及不属于此类别的随机过程的示例。我们首先证明了一些广泛使用和著名的随机过程类确实是多项式。这表明多项式过程的广泛适用性。6.1. 多项式微分。S值半鞅pXtq0dtd如果是一个没有跳跃的多项式it^o过程，则称为多项式微分，即Kt“0表示所有0dtdt。根据推论5.5，多项式微分是一个多项式过程。特别是，如果c“σσJ，σ”σpt，xq P Rd^d表示σijpt，q P PpSq和σijp，xq P Cr0，t表示所有1di，Jdd，x P S和0dtat，则x是随机微分方程dxt的强解“bpt，Xtqdt `σpt，XtqdWt，其中W是标准的d维布朗运动。回想一下，通过定义，bipt，.q PPpSq对于所有0dtdt.20 M.AGOITIA和t.SCHMIDT6.2。时间非齐次L'evy过程。Rd值过程pXtq0dtd，如果它有独立的增量，则称为时间齐次L'evy过程。对于每0dtdt，X的定律以特征f为特征Uctione“eixu，Xtyi”exp^z"ixu，bsy'xu，csuy'Rd'eixu，ξy'1'ixu，ξy1t'ξ'Kspdξqds˙，其中每0dsdT，它认为bsP Rd、csP Rd^非对称和正定义，Ks是Rd的度量，参见Kluge（2005）。那么X是一个具有不同特征pb，c，Kq的半鞅，参见Jacod和Shiryaev（2003）。特别是，如果sTh~nbS和sTh~ncS是连续的，并且如果F满足某些mě2的条件（29）或（30），则Xis是m-多项式。6.3. 一系列流程。如果杀伤率为常数且L'evy度量νipt，¨q，对于i P t1，…，pu，满足ξ1，ξmνipt，dξq，tě0，则S“Rp'Rd'pism多项式上的随机连续过程X。

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2022-6-10 03:28:51

（36）事实上，根据Filipovi\'c（2005）中的定理2.13，我们知道强正则过程是一个Feller半鞅，具有极小生成元，由以下公式给出：H f pxq“d"yk，l”1Aklpt，xqDk，lfpxq\'xBpt，xq，f pxqy'Cpt，xqf pxq'zEztupfpx'ξq'fpxq'xf pxq，χpξqyq Mpt，x，dξq，式中，xq“aptq\'m"yi”1αiptqxi，aptq，αiptq P Rd^d，Bpt，xq“bptq\'n"yi”1βiptqxi，bptq，βiptq P Rd，Cpt，xq“cptq\'m"yi”1γiptqxi，cptq，γiptq P R\'，Mpt，x，dξq“λpt，dξP"yi“1νipt，dξqxi，其中λpt，¨q是Ez t0u上的Borel度量。特别是，差异特征在X中起作用。系数的性质由所谓的可容许条件和连续性来表征。有关详细信息，请参阅Filipovi\'c（2005）。注意，这里我们还假设了连续的差异性。（时间不均匀）Keller-Reselet等人（2018年）研究了没有随机连续性假设的a ffeneprocesses。时间非齐次多项式过程216.4。非m-多项式的时间非均匀过程示例。具有二次漂移的过程。让SAR关闭。设X为SDE（直到爆炸）dXt“paptq ` bptqXt ` Xtqdt ` dWt，X”X的解，其中aptq和bptq是连续且有界的函数。过程的生成器可以很容易地获得，并由下一个表达式Htfpxq“paptq ` bptqx ` xqdfpxqdx给出。但此运算符将m阶多项式映射为m ` 1阶多项式。即，如果我们取fmpxq“xmP Pm并应用操作符Ht，然后应用htfmpxq”maptqxm'1'mbptqxm'mxm'1'mpm'1qxm'2。我们可以看到该HtfmP Pm'1。因此我们得出结论，HtpPmqAPm'1，因此过程X不是m'多项式。柯西过程。

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2022-6-10 03:28:54

根据Gulisashvili和van Casteren（2006）的示例1.12.2，如果转移密度为byps，tpx，yq“Γ710; d\'1˙t\'s”π'pt'sq'y'x'pd'1q，0dsat，x P Rd，y P Rd.为了在下一次计算中简单起见，我们只考虑情况d“1，x”0和s”0。首先，我们将取fpxq“x P PpRq，并计算ta0P0，tfp0q“ErXt | x“0s”tπzR ` yt ` ydy”tπlnpt ` yqˇ8。对于每个fpxq P Pk，k，都会得到相同的结果“0，…，m和对于每个m P N，因为已知Cauchy分布具有每个阶的有限矩。特别是，Cauchy过程提供了一个马尔可夫过程的进一步示例，该马尔可夫过程对于任何m P N都不是m多项式。6.5.一个m多项式过程，它不是一个函数。我们再次考虑方程（51），Xt给出的一维tochastic过程“ztsapuqdu ` wt我们还考虑了，对于一些常数A，A，A，processYt”A ` AXt ` AXt。我们现在将证明过程pX，Y q是一个二维多项式过程，它不是一个有效的过程。从它的^o引理中，我们知道Ytis的动力学由dyt“pA\'A\'2axqaptqdt\'pA\'2axqdwt”给出，从而得到了^dXtdYt˙“^aptqpA ` Aqaptq˙` 2aptqxt˙dt ` A ` 2xt˙dWt.22 M.AGOITIA和T.Schmidt正如我们在第6.1节中讨论的那样，这是多项式微分的动力学。让我们计算它的第二个特征：由于^A ` 2xt˙是标准偏差，方差由^A ` 2xt˙` 1 A ` 2xt”“^1 A\'2AXtA\'2AXtpA\'2AXtq˙。它可以表示为：^1 AAA˙^0 2A2A4AA˙Xt^0 0 4A˙Xt。第二个特征是：Ct”tz1 AAA˙^0 2A2A4AA˙Xu^0 4A˙Xu”du，因为第二个特征是二次函数，所以它不是一个有效过程。6.6. 具有跳跃的雅可比过程。能源市场有一些有趣的程式化事实：它们抑制了强烈的季节性影响，有向上和向下的跳跃/峰值。

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mingdashike22

2022-6-10 03:28:57

最重要的是，电力现货价格有上下限。正如我们现在所展示的，时间非齐次多项式过程非常适合捕捉所有这些影响。Agoitia Hurtado（2017）提供了更详细的应用程序。事实上根据以上结果，我们可以使用雅可比过程的一个变量，其中包含跳跃（此处为非季节性）dSt“κpθ'Stqdt'aStp1'StqdWt'dJtwhere（向下跳跃，'1daaba0）Kpt、dξq”1rax、bxspξq'1loga{bξ1dξ或（αp p0，1q）Kpt、dξq“1r1'x、αp1'xqspξqlog{αξ'1dξ的线性组合这些）. Cuchiero等人（2017年）提供了更多此类过程的示例和详细研究。多项式过程：计算m-多项式过程的一个重要性质是它们的动量，xrXkts“Ps，tfkpxq，fkpxq”xk，k P Nd可以用相当简单的方式计算，因为Kolmogorov方程将此问题简化为普通线性微分方程解的计算。在本节中，我们将展示时间非齐次多项式过程。时间非齐次多项式过程237.1。表示矩阵。遵循Kreyszig（1989）第2.9节我们回顾了为线性算子表示矩阵的众所周知的概念。在这方面，考虑一个有限维R向量空间V，其基为pv，设L是V上的线性算子。由于每个u P V都有一个唯一的表示u“rNj”1ujvju，…，uNP R，通过线性Lv“rNj”1ujvj。由此我们推断，L由Lvj，j“1，…，N唯一确定。自LvjP V以来，存在唯一的系数lij，使得Lvj“N"yi”1lijvi（37）和矩阵L“plijqNi，j“1P RN^称为L相对于V的给定基的表示矩阵。对于任何矩阵A P RN^，我们定义谱范数}A}：“max | x |”1 | Ax |。请注意，L的谱范数确实取决于所选的基。

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