多少收入不平等是公平的？纳什讨价还价解及其应用

2022-6-10 03:48:20

多少收入不平等是公平的？纳什谈判解决方案及其与entropyVenkat Venkatasubramaniana的联系，*, Yu Luobad纽约哥伦比亚大学化学工程系，纽约10027特拉华大学化学与生物分子工程系，特拉华大学，纽瓦克，DE 19716摘要关于收入不平等的问题在两个多世纪以来一直是经济学和政治哲学中一个重要的开放性问题，只有定性的答案，如罗尔斯、诺齐克、，还有德沃金。最近，我们为理想的自由市场社会提供了一个定量答案，通过发展一个博弈论框架，证明了理想的不平等是均衡收入的对数正态分布。在本文中，我们发展了另一种方法，使用纳什谈判解决方案（NBS）框架，这也得出了相同的结论。尽管结论是一样的，但新方法揭示了国家统计局的真实性质，这几十年来一直备受关注。经济学家们一直想知道国家统计局的经济意义或目的。虽然有人提到了它的公平性，但我们可以得出结论，这一切都是关于公平的。由于熵的重要性也是公平的，我们看到了大量理性经济主体的灰积和熵之间有趣的联系。*相应的authorEmail地址：venkat@columbia.edu（文卡特·文卡塔苏布拉曼尼亚），yuluo@udel.edu（于洛）提交给Physica A的预印本：统计力学及其应用2018年7月24日。引言极端经济不平等被广泛视为对稳定和充满活力的资本主义民主国家未来的严重关切。2015年，达沃斯世界经济论坛（World EconomicForum）将深化收入不平等视为我们这个时代的头号挑战。

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nandehutu2022

2022-6-10 03:48:23

正如许多政治观察家所言，极端经济不平等和繁荣分享不均的社会和政治后果似乎对2016年美国总统选举的结果起到了一定作用。美国的许多人认为，国家目前的经济不平等水平是不公平的，资本主义对90%的人口不起作用。然而，对于一个成功的资本主义社会来说，一些收入不平等是不可避免的，甚至是可取的和必要的。由于不同的人拥有不同的才能和技能，以及不同的工作能力，他们在社会中做出了不同的贡献，有的多，有的少。因此，贡献更多的人挣得更多才是公平的。但还有多少？换句话说，什么是最公平的收入不平等？这一关键问题是不平等辩论的核心。《道德宣言》与其说是关于不平等本身，不如说是关于公平。考虑一个简单的例子来说明这一点。约翰被聘为临时工，工作一小时，收入100美元。礼来也做同样的工作，质量也一样，但工作两个小时，收入200美元。他们的收入是否存在不平等？当然有。但这种不平等公平吗？当然是这样。莉莉挣得更多是因为她贡献了更多。他们的收入不平等，但公平。他们都是以相同的每小时工作率工作的，这是这里公平的基础。在这种简单的情况下，很容易确保公平，但总体而言，在一个由数百万不同程度的人才、技能和工作能力的工人组成的自由市场社会中，我们如何做到这一点？是否有一种公平的衡量标准可以指导我们实现这一目标？是否有确保公平的收入分配？考虑到问题的复杂性，人们可能会认为这两个问题的答案都是否定的。

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大多数88

2022-6-10 03:48:26

但令人惊讶的是，在某些条件下，答案是肯定的。第一位作者在一系列论文【4、5、6】和一本书【7】中指出，我们所寻求的公平性衡量标准是熵，在理想的自由市场中，均衡时的公平收入分配是对数正态的。这些结果是通过从两个不同但相关的角度分析问题得出的：统计力学和潜在博弈论。在本文中，我们展示了另一种方法，即纳什谈判解决方案（NBS）形式主义[8，9]。我们认为这篇论文在两个方面很有价值。第一，这是第一次针对收入分配问题提出国家统计局的形式。尽管国家统计局的形式主义已广为人知近70年，并在许多公平分配问题中得到广泛应用（例如，见[9]），但我们发现，它没有被用来解决自由市场经济中收入公平分配的核心问题，这一点非常令人惊讶。因此，我们认为国家统计局对这一问题的表述是对经济文献的重要贡献。其次，虽然我们分析的最终结果本身并不新鲜，但这种新方法揭示了一些出乎意料的事情，即纳什乘积的真正含义及其与熵的关系。在国家统计局（NBS）的形式主义中，通过最大化效用的乘积，即纳什乘积（更多信息，请参见第4节）得出解决方案。多年来，经济学家一直想知道纳什产品的真正含义，即经济内容。

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2022-6-10 03:48:30

不同代理的效用之和具有经济意义，因为它为我们提供了系统的总效用，但为什么是效用的产物呢？它代表什么？正如特罗克尔（Trockel）[10]所观察到的：虽然所有其他的特征，通过公理或通过非合作博弈均衡的支持，似乎反映了这个解决方案的不同方面，并打开了新的解释方式，但其最简单的描述v是纳什积，似乎迄今为止还没有一个有意义的解释。然而，关于其直接解释，奥斯伯恩·鲁宾斯坦（Osborneand Rubinstein）[11]（1994年，第303页）的引用最能描述这种情况：“虽然效用产品的最大化是一个简单的数学运算，但它缺乏向前的解释；我们只将其视为一种技术手段。”大多数人把它当作一种方便的数学工具，但它到底是什么？有趣的是，势的意义（P*) 在博弈论中，波塞达也遇到了蒙德里尔和夏普利[12]指出的类似难题：这就提出了一个自然问题，即P的经济内容（或解释）*: 这些公司试图联合最大化什么？我们对这个问题没有答案。这再次与塞缪尔森（Samuelson）几十年前在其诺贝尔演讲中提出的一个类似的基本问题有关：亚当·斯密的“看不见的手”被支持最大化是什么？我们在早期的研究中表明，萨缪尔森、蒙德里尔和夏普利认为，我们对经济理论的理解中缺少了一些有趣而深刻的东西，这是正确的，缺少的是对公平概念如何与所有这些紧密联系的理解。

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2022-6-10 03:48:33

我们证明了势能和熵都代表着分布中的公平性概念，这就是“看不见的手”正在最大化的。基于这一观点，我们在本文中对灰分产品及其与熵和公平性的关系进行了全新的解释。我们展示了如何使用相同的数学工具来实现相同的目标。我们早期的工作通过熵的概念揭示了潜在博弈与统计力学之间的深层联系。在本文中，我们展示了这两个框架如何通过熵和纳什积之间的联系与NBS框架紧密联系。因此，这三个谜题“看不见的地带”、潜力和纳什积以一种深刻而有趣的方式相互关联，并与熵关联，所有这些都与相同的关键经济概念，即公平有关。潜在博弈论框架：总结过去的工作在继续之前，我们需要回顾早期工作的中心思想和结果[6，7]，因此，为了读者的利益，我们将其总结在这里。让我们首先回顾一下我们为公司中使用的理性代理的效用推导的表达式。我们是通过回答人们为什么要找工作这一基本问题而得出这一结论的。从最根本的生存层面来说，就是现在能够支付账单，这样他们就可以谋生，并希望目前的工作能带来更美好的未来。人们希望现在的工作能带来更好的下一份工作，根据当前工作的经验获得d，并在未来找到一系列更好的工作，从而过上更好的生活。因此，从工作中获得的效用由两个部分组成：谋生的即时收益（即“现在”效用）和对美好未来生活的展望（即“未来”效用）。

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2022-6-10 03:48:36

当然，也要考虑到工作或贡献的成本或重要性。因此，我们提出，工作的有效效用由以下三个主要因素决定：（i）工资效用，（ii）工作或贡献的非效用，以及（iii）未来前景的公平机会的效用。再见，我们的意思不仅仅是身体的力量，即使它是身体力量的一部分。因此，代理的有效效用由以下公式得出：hi（Si，Ni）=ui- vi+wi（1），其中HI是指通过支出拨款获得工资的员工的有效效用，同时与（Ni）竞争-1）其他从事同一工作的代理人也将面临更美好的未来。u（·）是从工资中获得的效用，v（·）是从福利中获得的无用性，w（·）是从创造更美好未来的机会中获得的效用。每个代理都试图通过选择适当的工作类别i.2.1来最大化其有效效用。前两个要素很容易理解，但第三个要素需要一些讨论。考虑以下场景。一群刚毕业的法学院毕业生（共计Ni）刚刚被一家庞大的法律公司聘用为合伙人。他们被告知其中一人将在八年内晋升为合伙人，这取决于她或他的表现。让我们假设合伙企业价值Q美元。因此，任何合伙人进入梦寐以求的合伙企业的机会都是1/Ni，其中Ni是她所在的本地竞争对手peergroup i中的合伙人数量。因此，该奖项的预期值为Q/Ni，由于边际效用递减，由此得出的效用为ln（Q/Ni）。

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2022-6-10 03:48:39

边际效用递减是一个众所周知的经济学概念，它指出，当一个人消耗越来越多的资源时，通过消耗额外单位的资源而获得的增量收益会减少。这一性质通常由对数函数建模。重要的是要认识到，利益（ln Q）在于未来，但其成本或无用性（ln（1/Ni））是在目前，在与同龄人的日常竞争中支付给合作伙伴的。这类似于买彩票。提货的成本（比如说1美元）在购买时立即产生，但赢得一大笔奖金的潜在好处在于未来。就目前而言，1美元是1美元——这一不可用性将立即得到说明。因此，在竞争环境中，为获得公平的职业发展机会而产生的无用性为：wi（Ni）=-γln Ni（2），其中γ是常数。该方程模拟了代理之间竞争互动的影响。考虑到整个社会，这一等式抓住了这样一个概念，即在一个公平的社会中，一个具有必要教育、经验和技能的合格代理人应该能够公平地获得增长机会，而不考虑她的种族、肤色、性别和其他此类因素，也就是说，这是一个公平的竞争环境。这是为了获得更好的生活、向上流动的机会或平等机会而产生的成本或效用。我的类别与她在社会中的资格类别相对应。这一类的其他代理商是她将与之竞争的增长机会。2.2. 为从sala ry导出的效用建模作业的非效用，我们再次使用常用的对数效用函数：ui（Si）=αln Si（3），其中α是另一个常量参数。

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2022-6-10 03:48:42

至于福利部分，每个工作都有与其相关的某些无用性。这种无用性取决于一系列因素，如使自己符合工作条件所需的教育投资、获得的经验、工作时间和时间表、工作质量、工作环境、公司文化、搬迁焦虑等。要对此进行建模，可以将u和v结合到ComputeNet=au- bv（a和b为正常数参数）（4）是在计算成本后从工作中获得的净效用（即净效用或收益）。通常，净效用会随着u的增加而增加（例如，因为工资增加）。然而，一般来说，在一个点之后，由于加班、失去与家人相处的优质时间、放弃爱好、工作压力导致身心健康不佳等个人的牺牲，成本增加了很多，达到最大值后，成本还会下降。这种常见的倒U型曲线的最简单模型是二次函数，如inunet=au- 日分。（5）自，u~ ln（工资），我们得到方程（6）：vi（Si）=β（ln-Si）。(6)2.3. 工作的有效效用将这三者结合起来，我们有hi（Si，Ni）=αln Si- β（ln-Si）- γln Ni（7），其中α，β，γ>0。一般来说，α、β和γ可以根据代理的不同而变化，它们是代理分配给这三个元素的相对重要性的模型。然而，我们考察了所有年龄段的NT都有相同偏好的理想情况，因此将其视为常数。2.4. 均衡收入分配然后，我们使用势博弈论框架证明[6，7]，具有此效用函数的大量代理人将达到纳什均衡。在势博弈[14、15、16]中，存在一个称为势的标量值全局函数，它捕获有关实用程序的必要信息。电势的梯度就是效用。

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2022-6-10 03:48:44

对于这类博弈，当势能最大化时，就会达到纳什均衡。因此，使用势博弈形式，我们将员工的效用作为势φ（x）的梯度，即hi（x）≡φ（x）xi（8），其中xi=Ni/N表示i类种群的分数，x是种群向量。因此，通过积分（我们将偏导数替换为总导数，因为hi（x）可以将d减少为hi（xi），如（1）–（6）），φ（x）=nXi=1Zhi（x）dxi。（9）我们观察到，使用（7），我们的对策是一个势函数φ（x）=φu+φv+φw+常数（10）的势对策，其中φu=αnXi=1xilin Si（11）φv=-βnXi=1xi（ln Si）（12）φw=γNlnN！Qni=1（Nxi）！（13）我们在方程（13）中使用了斯特林近似。可以看出φ（x）是严格凹的：φ（x）xi=-γxi<0（14）因此，该博弈存在唯一的纳什均衡，其中φ（x）最大化，根据势games中的著名定理[15，p.60]。因此，自组织的自由市场动态，即员工跳槽，公司跳槽，以寻求更好的公用事业或福利，最终达到平衡状态，收入分配达到平衡。当电势φ（x）最大时，就会发生这种情况。均衡收入分配为以下对数正态分布：xi=SiDexp-ln Si公司-α+γ2βγ/β（15）其中D=N expλ/γ - (α + γ)/4βγλ是在Pni=1xi=1的约束条件下，用于最大化φ（x）的拉格朗日乘数。我们还证明了有效效用h*, 式中，uilibrium由以下公式得出：h*= γln Z- γln N（16），其中Z=Pnj=1exp[αln Sj- β（ln-Sj）]/γ类似于统计力学中的配分函数（很容易证明λ=h*). 在均衡状态下，所有代理人享有相同的效用或有效福利，h*. 当然，每个人的薪水都不一样，但他们都享有同样的效用。

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2022-6-10 03:48:47

这是一个重要的结果，因为它证明了所有药物在经济结果（即有效效用）方面都得到了平等的对待。这证明了理想的自由市场具有结果公平性。我们还证明了这种分布是社会最优的。社会最优分布是指整个人口的有效效用（即社会总有效效用H）最大化的分布。这是杰里米·边沁（JeremyBentham）和约翰·斯图亚特·密尔（JohnStuartMill）等功利主义者所期望的结果。最大总效用（H*) 由H给出*=nXi=1Nih*i=NXj=1h*j=Nh*（17）（自h起*i=h*j=h*平衡时），受约束nXi=1NiSi=M（18）nXi=1Ni=N（19）。请注意，指数i涵盖N个不同的工资水平Si，而j涵盖N个员工。M是总工资预算，N是公司员工总数。现在，我们已经完成了必要的背景工作，我们准备继续开发纳什谈判解决方案框架及其与最大熵的联系。为此，让我们首先提供最大熵原理的直观解释。熵作为公平的衡量标准：对s=-我们知道，熵在统计平衡时是最大的。我们还知道，统计平衡的等效定义标准是所有可访问相空间单元的相等，这实际上是统计力学的基本假设。换句话说，在任何给定的时间，给定的分子在任何一个可访问的相空间单元中都同样可能被发现。例如，考虑封闭在一个腔室中的大量相同气体分子。

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大多数88

2022-6-10 03:48:51

如果说从长远来看，气体分子更可能出现在燃烧室的左半部分而不是右半部分，并赋予它更高的概率（例如，p（左）=0.6，p（右）=0.4），那么这将是一种有偏的概率分配，也是一种不公平的概率分配。本作业假定某些信息尚未提供。人们对分子或其周围空间了解多少，从而使人们更喜欢左室而不是右室？这种偏好没有依据。概率的不平等分配是如此罕见和毫无根据。因此，最公平的概率分配就是结果的平等，即。，p（左）=0.5，p（右）=0.5。让我们进一步阐述这个例子。让我们假设这个腔室被划分为n个等体积的假想分区，这样分子就可以自由地将一个物体从一个分区移动到另一个分区。如前所述，统计平衡的本质是所有可访问相空间单元的相等。但这与S=-Pni=1磅pi（不要与工资混淆）？从这个等式来看，这种联系并不明显。然而，与熵的真实本质以及纳什积的重要含义有着令人着迷的联系。现在，在我们的腔室示例中，平衡的标准isp=p=…=pn=p（20），其中Pi是在第i部分中找到给定分子的可能性。但我们如何在实践中认识和实施该标准？这很容易做到，例如，如果phasespace中只有几个部分，例如，两个部分，左侧和右侧，就像我们上面所做的那样。如果p（左）=0.6，p（右）=0.4，我们会立即认识到非平衡状态。

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2022-6-10 03:48:54

我们也同样容易地认识到平衡状态，p（左）=0.5，p（右）=0.5。但当在相空间中有大量的分区或单元时，这就变得更加棘手了。例如，如果有1000个分区，而不是只有两个，并且我们得到了以下两种情况来评估，该怎么办？p=0.0015，p=0.001，p=0.0009。，p=0.0011p=0.0011，p=0.0008，p=0.0012。，p=0.0009由于所有隔板的体积相等，在平衡状态下，p=p=…=p=0.001我们如何比较这两种配置并确定哪一种更接近平衡？一般来说，我们如何在数十亿的此类替代配置之间进行比较？我们如何执行这一平等标准？人们可以计算平方残差之和进行比较，或者采用其他类似的方法，但当分子的数量和构型的数量达到数十亿时，就像典型的不稳定力学一样，这将变得非常乏味和混乱。有没有一种更简单、更优雅的方法来完成这项任务？事实证明，有一种方法利用了一个关于一组正数的乘积的奇妙结果，这些正数之和等于一个整数。这是熵方程的核心，也是我们后面展示的纳什积。虽然我们通过最大熵准则来识别平衡状态，但在其数学形式中隐藏着等式（20）给出的所有可访问单元的相等准则。为了看到这一点，我们首先观察到-Pni=1磅pi与最大化相同- lnQni=1ppii. 这和最小化是一样的lnQni=1ppii, 这与最小化相同Qni=1ppii.现在，根据两个著名的结果（相关的），算术平均几何平均不等式定理（AM–GM定理）[17]，以及Jensen的线性性质，当且仅当p=p=…，该乘积最小。。。。

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nandehutu2022

2022-6-10 03:48:57

=Pn，其中0<pi<1，Pni=1pi=1（也可以使用拉格朗日乘数法来证明这一点，但我们认为，使用AM-GM定理或Jensen不等式，几何直觉更为透明）。当然，这种平等是政治平衡的基本标准。因此，当我们最大化熵时，我们真正做的是迫使这个等式约束埋藏在其中。这是一个巧妙的数学技巧，通过利用乘积和一组正数之和之间的重要关系来实现等式。因此，提高质量，进而实现公平，是实现产品最大化的数学诀窍的目标，Qni=1ppii, 这与s最小化相同Qni=1ppii. 在下一节中，我们将看到如何在Na-sh产品中使用同样聪明的数学方法，即最大化产品以测试和强制实现相等。我们现在可以清楚地看到熵最大化与EnforcingQuality之间的关系，这与强制公平对待平等的事物是一样的。直到第一位作者在2009-2010年的论文中讨论了熵的重要性，熵才在统计力学、信息理论或经济学文献中得到明确的认识，即熵确实是分布公平性的衡量标准。熵的概念是在热力学的背景下首次发现的，这是一个历史性的偶然，因此，它通常被认为是随机性或无序性的度量。然而，熵的真正本质是公平，它在不同的背景下以不同的面具出现（关于这一点的详细讨论，请参见[7]）。4、纳什谈判解决方案我们现在推导出问题的纳什谈判解决方案。

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能者818

2022-6-10 03:49:00

继纳什关于两人讨价还价问题的原始公式【8】之后，已有大量关于这一主题的文献，并将其推广到了使用合作和非合作方法与许多应用程序的nplayer案例（我们在这里引用了一些精选论文【18、19、20、21、22、23、9、24、25、26、27】）。我们考虑N个标记为j=1的玩家，N（使用j而不是i表示单个参与者的指数），我们只考虑涉及所有N层的大联盟，因为所有N个参与者都是公司成功所必需的。这个联盟产生的收益是非负的。一旦这支球队成立，比赛就停止了。假设玩家1，N，有互补的sk-ills，它们可以组合起来产生某个总效用的可分割饼图。只有当所有参与者就各自的份额（h，h，…，hN）达成协议时，才会产生馅饼，并在N个参与者之间进行分配，其中hj是第j个参与者的份额或效用。以下对国家统计局的描述改编自【21】：考虑N个参与者（例如，公司员工）的合作博弈。让每个玩家j都有一个实用函数hj（x）：x→ 其中X是n的一个凸的、闭的和有界的集。例如，在通信网络中，X表示spa ceof吞吐量。设hd=[hd，1，hd，2，…，hd，N]其中，对于某些xd，hd，j=hj（xd）∈ X表示所有玩家都同意作为游戏起点的分歧点。一般来说，hd可以被认为是用户希望实现的单个默认实用程序的向量，至少在他们进入游戏时是这样。它也被称为吃点。设[H，hd]表示具有初始分歧点hd的博弈定义，其中H表示集合X在H（·）下的图像，即H（X）=H。设F[·，hd]：H→ H是一种仲裁策略。

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可人4

2022-6-10 03:49:03

如果n F满足以下四个公理，则称其为NBS。设ψ（h）=h′，其中h′j=ajhj+bj，对于j=1，2，N andaj>0，bj是任意常数。ThenF[ψ（H），ψ（hd）]=ψ（F[H，hd]）。（21）这表明策略空间中的操作点对于线性效用变换是不变的。解必须满足（F[H，hd]）j≥ hd，j（j=1，2，…，N）（22），而且不存在h∈ H使hj≥ （F【H，hd】）j对于所有j=1，2，N这就是解的帕累托最优的概念。3、设[H，hd]和[H，hd]是两个具有相同初始约定点的游戏，这样： H（23）F【H，hd】∈ H、（24）则F[H，hd]=F[H，hd]。这被称为无关选择的独立性公理。这表明，如果仲裁点是小游戏的有效点，则具有更大策略集的agame的NBS与小游戏的NBS相同。额外的策略非常丰富。设H与a s ubs et J的re spec t对称指数的{1，2，…，N}（即，设j，k∈ J和J<k），然后{h，h，…，hj-1，香港，hj+1，香港-1，hj，香港+1，hN}∈ H、（25）如果hd，j=hd，k，那么（F[H，hd]）j=（F[H，hd]）k对于j，k∈ J、这是对称公理，它指出，如果效用集是对称的，那么对于任何两个参与者，如果初始约定点对应于相等的性能，那么它们的ar比特值是相等的。Nash证明了满足四个公理的博弈的唯一解，即NBS，由表达式qnj=1（hj（x）最大化的点给出-hd，j），称为Nash产品。这可以写成asmaxNYj=1（hj（x）- hd，j）=maxNYj=1（hj- hd，j）（26），其中hj表示第j个玩家的效用函数及其效用。5.

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大多数88

2022-6-10 03:49:07

收入分配博弈的NBS在本节中，我们定义了收入博弈的可行效用集，并证明它是一个凸集。通过最大化该集合上效用的乘积，我们得到了收入博弈的NBS，这与我们之前报告的纳什均衡解是相同的[6]。回顾（7）中定义的效用函数hi（Si，Ni）。假设n个SalaryLevel是预先确定的。那么，每个工资水平的代理人效用完全取决于其占有率，即ishi（Ni）=h0，i- γln Ni（27），其中h0，i≡ αln-Si- β（ln Si）是第i个工资级别的唯一常数。我们现在定义了人口NN的集合≡ {镍∈ Z+：nXi=1Ni≤ N}（28），其中代理的总数不超过N。很容易证明n是凸的。接下来，我们通过以下映射构造实用程序集H:H≡ {hi=h0，i- γln Ni:nXi=1Ni≤ N}。（29）为了证明H也是凸的，设H=H-γln和h=h-γln nbe H中任意两个效用向量。它们对应于两个职业向量n∈ N和N∈ N、定义了h：h的凸组合≡ th+（1- t） h=h- γ[t ln N+（1- t） ln N]=小时- γln N（30），其中0≤ t型≤ 1是凸组合与N的比率≡ et ln N+（1-t） ln N.我们有nXi=1Ni，3=nXi=1et ln Ni，1+（1-t） ln Ni，2≤nXi=1teln Ni，1+（1- t） eln Ni，2=nXi=1[tNi，1+（1- t） Ni，2]=tnXi=1Ni，1+（1- t） nXi=1Ni，2≤ tN+（1- t） N=N（31），其中Ni，jis是矢量Nj的第i个分量。第一个不等式et ln Ni，1+（1-t） ln Ni，2≤ teln Ni，1+（1- t） eln Ni，2（32）遵循J ensen不等式，其中ftx+（1- t） x个≤ tf（x）+（1- t） f（x）（33），如果函数f（x）是凸x；第二个是N的定义。

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2022-6-10 03:49:10

Hitherefore也在H中，因为N中的Nis。回想一下，NBS是通过最大化（26）中的Nash乘积获得的。通过将具有相同效用的参与者分组在一起（即，他们处于相同的收入水平），我们将原来的NBS问题转化为以下问题：maxx∈XNYj=1（hj（x）- hd，j）=最大值∈HnYi=1hNii（34），其中我们设置了第j个玩家的分歧点或威胁点，jto be ze ro（即，玩家同意进入游戏，只要其有效效用大于零）。请注意，第一个产品覆盖所有玩家（N），而第二个产品覆盖所有级别（N）。因此，（34）相当于求解max g（N）=nXi=1Niln his。t、 l（N）=nXi=1Ni- N≤ 0（35），因为对数是连续且单调的。（35）的Karush–K uhn–Tucker（KKT）必要条件如下：g（N*) = ul（N*) （36）l（N*) ≤ 0 (37)u ≥ 0（38）ul（N*) = 0（39），其中u是KKT乘数。扩展（36），我们有*我-γh*i=u（i=1，…，n）。（40）存在（40）的唯一解决方案，其中h*i=h*= γ/W（γe-u）和Wdenotes L ambert-W（产品日志）功能。因为W（x）随x单调增加≥ 0增加，h*u>0时最大化。根据（39）中的互补松弛度，我们得到了l（N*) = 从（27）中，我们得到了*= αln-Si- β（ln-Si）- γln N*i、（42）因此，收入游戏的国家统计局要求*i=NSiDexp-ln Si公司-α+γ2βγ/β（43）其中D=exph类*/γ - (α + γ)/4βγ. 方程（43）与纳什均衡解（15）相同，因为λ=h*. 这对应于所有享受相同效用的代理*在方程式（16）给出的平衡状态下。总结与结论我们为理想自由市场经济中的公平收入分配问题提出了一个纳什谈判解决方案。

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2022-6-10 03:49:13

如上所述，这是国家统计局首次针对这一问题提出形式主义，尽管形式主义本身已经广为人知了大约70年，公平不平等问题已经存在了两个多世纪。此外，由于国家统计局的结果是对数正态分布，我们在早期的工作中已经证明这是最公平的结果，因此我们看到了国家统计局和公平性之间的联系。通过最大化纳什积，我们将公平指数化。我们还表明，最大化熵本质上就是通过最大化乘积的数学装置来提高所有可访问单元的质量，从而最大化概率分布的公平性-lnQni=1ppii，即通过利用算术平均数-几何平均数不等式定理或Jensen不等式来最小化Qni=1ppii。以类似的方式，在NBS中，人们再次调用了使产品最大化的数学装置，这次是纳什产品。这两种技术都实现了相同的预期结果——平等的实施。在最大熵的情况下，我们实现了所有可访问相空间单元的概率质量-p=p=…=请注意。也就是说，我们在均衡状态下实现公平最大化。同样，对于国家统计局，我们实现了allagents有效效用的相等-h=h=…=hN=h*. 也就是说，我们实现了最大限度的公平和平衡。因此，纳什乘积最大化的真正经济目标是公平地对待所有受帕累托最优约束的代理人。由于公平性目标深深地埋藏在乘积最大化的数学装置中，就像它埋藏在最大熵原理的公式中一样，即使你探索它，公平性属性也不明显。因此，当人们在最终结果中发现公平结果时，自然会感到惊讶。

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nandehutu2022

2022-6-10 03:49:16

这就是为什么我们的经济学家有些困惑，提出诸如“纳什产品似乎到目前为止还没有得到一个有意义的解释”，“虽然公用事业产品的最大化是一个简单的数学运算，但它缺乏一个明确的解释；我们认为它只是一种技术手段”，以及如前所述的“纳什福利最大化的不合理公平性”[28]。因此，我们的工作揭示了Nas产品、熵和公平性之间的深刻而令人信服的联系。实现最大公平性是最大熵原理以及最大纳什福利函数的目的。在给定的约束条件下，实现平等，从而实现公平，是埋藏在最大化乘积的数学装置中的目标。我们在熵和纳什乘积中看到了这一点。致谢哥伦比亚大学系统风险管理中心（CMSR）部分支持这项工作。作者感谢Resmi Suresh在本手稿准备过程中提供的有益建议和帮助。参考文献[1]T.Piketty，A.Goldhammer，《二十一世纪的资本》，BelknapPress，2014年。[2] J.E.Stiglitz，《大鸿沟：不平等的社会和我们可以对其采取的措施》，W.W.Norton&Company，2015年。[3] R.B.Reich，《拯救资本主义：为多数人而非少数人》，Knopf，2015年。[4] V.Venkatasubramanian，高管的公平薪酬是什么？《工资分布信息论分析》，熵11（4）（2009）766–781。[5] V.Venkatasubramanian，《公平是劳动力自由市场的新兴自组织属性》，熵12（6）（2010）1514–1531。[6] V.Venkatasubramanian，Y.Luo，J.Sethuraman，收入中有多少不平等是公平的？《微观经济博弈论》，P Physica a：统计力学及其应用435（2015）120–138。[7] 第五条。

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2022-6-10 03:49:19

文卡塔苏布拉马尼亚，多少不平等是公平的？《道德、最优和稳定资本主义社会的数学原理》，哥伦比亚大学出版社，2017年。[8] J.F.Nash，《谈判问题》，计量经济学18（2）（1950）155–162。[9] A.Muthoo，《谈判理论与应用》，剑桥大学出版社，英国，1999年。[10] W.Trockel，《关于nash产品的意义》，技术代表，Bielefed：IMW工作文件第354号（2003年）。[11] M.J.Osborne，A.Rubinstein，《博弈论课程》，麻省理工学院出版社，马萨诸塞州剑桥，1994年。[12] D.Monderer，L.S.Shapley，《潜在游戏，游戏与经济行为》14（1）（1996）124–143。[13] P.A.Samuelson，《分析经济学中的最大原则》，《美国经济评论》（1972）249–262。[14] R.W.Rosenthal，《一类具有纯策略纳什均衡的博弈》，国际博弈论杂志2（1）（1973）65–67。[15] W.H.Sandholm，《人口博弈与进化动力学》，麻省理工学院出版社，2010年。[16] D.Easley，J.Kleinberg，《网络、人群和市场：关于高度互联世界的推理》，剑桥大学出版社，2010年。[17] A.Lohwater，《不平等介绍》，技术代表，在线电子书（1982年）。[18] J.Harsanyi，一个n人合作博弈的简化谈判模型，国际电子商务。牧师。4 (1963) 194–220.[19] A.Rubinstein，《谈判模型中的完美均衡》，计量经济学50（1982）97–109。[20] A.R.K.G.Binmore，A.Wolinsky，《经济建模中的纳什讨价还价解决方案》，RAND Jo urnal of Economics 17（1986）176–188。[21]L.M.R.R.Mazumdar，C.Douligeris，《网络最优流量控制中的公平性：产品形式的优化》，IEEE Trans。公社。39 (1991)775–782.[22]D.R.K.Chatterjee，B.Dutta，K.Sengupta，《非合作的价格谈判理论》，经济研究评论60（1993）4 63–47 7。【23】V.Kr ishna，R。

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