我们只显示δ+的阶值从0到4，因为δ+>4的阶值几乎为零（因为阶数概率非常小），而阶值接近-δ+<0时为0.5（因为当到达订单簿时，ask订单将以很高的概率立即填写）。我们可以从表2中得出两个观察结果。首先，对于表2中的两种情况，都存在δ+，因此阶值为正值。这与定理4.1的（c）部分一致，即λ+=λ-> λ/2，见表2。其次，在δ+=0时达到最大阶值τ=0.2秒，即1.48×10-3，且δ+=1时τ=0.8秒，即4.58×10-从定理4.1来看，这并不奇怪。一方面，当τ=0，根据定理4.1的（a）部分，阶数值等于一个常数乘以阶数概率，因此当δ+=0时达到最大值。然后直观地预测100 200 300 400 500 600次（秒）-15-10-5051015报价-5-4-3-2-1012345库存（百股）询问行动出价行动库存图2：做市商的最佳报价和一次模拟中的库存过程。模型参数为：q=-4，q=4，τ=0.02秒，t=1秒，t=600秒，λ=λGEandλ+=λ-= 0.7λ+GE。这也适用于小型τ的连续性。另一方面，当τ变大时，由于后期窗口中可能存在的价格变动，当在订单簿上驱动时，以δ+=0报价的ask订单立即完成（“反向填充”）的概率增加。因此，δ+=0时的阶值可能变为负值，因此最大值可能在δ+较大时达到。表2：新ask订单的价值（以美元计）H+(τ, t型- τ、 δ+，用于不同的δ+和延迟τ .

其余模型参数为：t=4秒，λ=λGE，λ+=λ-= 0.7λ+GE>0.5λGE。δ+0阶值(τ=0.2秒）1.48×10-37.36 × 10-51.31 × 10-61.91 × 10-81.27 × 10-9订单价值(τ=0.8秒）-2.79 × 10-34.58 × 10-51.20 × 10-61.76 × 10-86.49 × 10-10图3显示了ask未决订单的值H+（0，τ、 r+（见（3.1）和（4.3）），r+=0，1，作为延迟的函数τ，在不利情况下：λ+=λ-< 0.5λ.注意，顺序值均为负值，这与定理4.1的（a）部分一致。未完成订单的完成概率随着延迟的增加而增加，因此增加0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10延迟（秒）-0.02-0.018-0.016-0.014-0.012-0.01-0.008-0.006-0.004-0.0020订单价值（美元）r+=0 r+=1图3：未完成订单的价值H+（0，τ、 r+，作为不同r+的τ（以秒为单位）。其余模型参数为：λ=λGe和λ+=λ-= 0.4λ+GE<0.5λGE。定理4.1的（a）部分，阶值减小。注：未完成订单的价值在价值函数中扮演着重要角色（见（4.3））。因此，这个实验显示了做市商延迟的另一个缺点：如果做市商由于延迟而不能及时取消其过期订单，那么当市场条件不利时，它将降低其利润。5.4造市和延迟的预期收益在本节中，我们在第4.3节对造市的可行性和延迟的影响进行了数值说明。我们在图4中使用了两个λ+=λ的代表性示例-= 0.7λ+GE>0.5λGE且λ+=λ-= 0.5λGE，做市商的预期利润P作为最近期的函数τ. 图4中有两个即时观察结果。首先，我们发现当λ+=λ-= 0.5λGE，P对于任何τ. 这也符合定理4.3的第（1）部分。

其次，与其他参数相比，P是τ .特别是当延迟τ较大，则P变为零。这是因为本例中引号的数量N=599是固定的，而从数字上讲，定理4.3中的非盈利正利润阈值随着τ. 因此，当延迟较大时，0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5（秒）00.511.522.5预期利润（美元）10-3+=->0.5 GE+=-=0.5 GE图4：做市商的净利润P与τ表示不同的λ+（=λ-).其余模型参数为：q=-2，q=2，t=0.5秒，t=90秒，λ=λGE。根据第4.3.6条结论和未来研究的第（2）部分，我们认为做市商的预期利润为零。在本文中，我们提出了一个风格化的离散时间MDP模型，以研究存在延迟情况下大型固定资产的最优做市策略。我们提供了序值的明确表征，以及值函数的结构。我们利用这些特征来研究做市策略的可行性和延迟效应。我们的分析表明，延迟可能是做市商的另一个风险源，做市过程中的一个关键任务是根据市场原语预测订单值，参见Moallemi和Yuan（2017），以了解这一领域的最新发展。为了进一步研究扩展本文中的模型，可以考虑各种真实特征。例如，做市商在实践中经历的延迟是随机的，并且可能随着市场条件的变化而变化，例如由于报价和取消请求的大幅增加。此外，高频资产价格在实际市场中通常表现出自相关。

我们希望我们的模型能够促进进一步的研究，以解决这些实际问题。致谢感谢塞巴斯蒂安·贾蒙格尔、史蒂夫·寇和两位匿名评论员的建议和评论。本研究由香港研资局资助24207015和14201117。参考Sahalia，Y.和Saglam。M、 高频做市：最佳报价，2017年。工作文件，可查阅SSRN 2331613。AFM，《高频交易：先进交易技术在欧洲市场的应用》，2010年。可在线访问：https://www.afm.nl/en/nieuws/rapporten/2010/hft-rapport.Avellaneda，M.和Stoikov，S.，《限额指令簿中的高频交易》，QuantitativeFinance，2008，8（3），217–224。Bouchaud，J.P.、Bonart，J.、Donier，J.和Gould，M.，《交易、报价和价格：显微镜下的金融市场》，2018年（剑桥大学出版社：剑桥）。Baron，M.、Brogaard，J.、Hagstrmer，B.和Kirilenko，A.《高频交易中的风险和回报》。《金融与定量分析杂志》，2018年，即将出版。Buerle，N.和Rieder，U.，《马尔可夫决策过程与金融应用》，2011年（斯普林格科学与商业媒体：纽约）。Cartea，'A.和Jaimungal，S.，《高频交易策略的风险度量和微调》，数学金融，2015，25（3），576–611。Cartea，'A.、Jaimungal，S.和Penalva，J.，《算法与高频交易》，2015年（剑桥大学出版社：剑桥）。Cartea，A.，Jaimungal，S.和S\'anchez Betancourt，L.，延迟和流动性风险，2019年。SSRN 3433739提供。Cartea，'A.和S'anchez Betancourt，L.，《延迟的影子价格：改善外汇市场的日内融资比率》，2018年。SSRN 3190961提供。Chakraborty，T.和Kearns，M.，做市和均值回归。2011年在加利福尼亚州圣何塞举行的第12届ACM电子商务会议上提交的论文。Dayri，K。

和Rosenbaum，M.，大型蜱虫资产：隐性利差和最优蜱虫大小。市场微观结构和流动性，2015，1（01），1550003。Eisler，Z.、Bouchaud，J.P.和Kockelkoren，J.，《订单簿事件的价格影响：市场订单、限价订单和取消》。量化金融，2012，12（9），1395–1419。Fodra，P.和Pham，H.，马尔可夫更新模型中小风险规避的高频交易和渐近性。《暹罗金融数学杂志》，2015年，6（1），656–684。Gomber，P.和Haferkorn，M.，高频交易。《信息科学与技术百科全书》，第三版，2015年，1-9，IGI Global。Gu’eant，O.、Lehalle，C.A.和Fernandez Tapia，J.，《处理库存风险：做市商问题的解决方案》。数学与金融经济学，2013,7（4），477–507。Guilbaud，F.和Pham，H.，《带限额和市场订单的最优高频交易》，量化金融，2013年，13（1），79–94。郭，X.、德·拉拉德，A.和阮，Z.，《限额订单簿中的最优布局：分析方法》。数学与金融经济学，2017，11（2），189–213。Hasbrouck，J.和Saar，G.，低延迟交易。《金融市场杂志》，2013,16（4），646–679。Ho Off mann，P.，一个有快速和慢速交易者的动态限价订单市场。《金融经济学杂志》，2014，113（1），156–169。Katsikopoulos，K.V.和Engelbrecht，S.E.，具有延迟和同步成本收集的马尔可夫决策过程。IEEE自动控制交易，2003，48（4），568–574。Kirilenko，A.和Lamacie，G.，延迟和资产价格，2015年。工作文件，可查阅SSRN 2546567。莱哈勒。C、 A.和Mounjid，O.，《限制订单策略安排与逆向选择风险和延迟的作用》。市场微观结构和流动性，2017年，3（01），1750009。《高频交易经济学：盘点》。

《金融经济学年鉴》，2016年8月1日至24日。Moallemi，C.和Saglam，M.，《高频交易中的延迟成本》，OperationsResearch，2013，61（5），1070–1086。Moallemi，C.和Yuan，K.，《限额订单簿中队列位置估值模型》，2017年。工作文件，可查阅SSRN 2996221。C.A.帕洛尔和D.J.塞皮，《限价订单市场：一项调查》。《金融中介与银行手册》，2008年，第5期，第63-95页。O\'Hara，M.、Saar，G.和Zhong，Z.（2018年）。相对刻度大小和交易环境。资产定价研究回顾，即将出版。Sandas，P.，逆向选择和竞争性做市：来自alimit订单市场的经验证据。《金融研究回顾》，2001年，14（3），705–734。Stoikov，S.和Waeber，R.，使用低延迟交易算法降低交易成本。量化金融，2016，16（9），1445–1451。Yao，C.和Ye，M.，《为什么交易速度很重要：价格控制下排队配给的故事》。《金融研究回顾》，2018，31（6），2157–2183。有关模型的更多详细信息，请参见第2A节。1容许作用空间的数学表达式我们采用以下与±运算相关的约定∞: (1) -∞ < x<∞ forany x公司∈ Z(2) ∞ + x=∞ 对于任何x∈ Z∪ {∞}; (3) -∞ + x=-∞ 对于任何x∈ Z∪ {-∞};和（4）对于任何x∈ Z∪ {±∞}, ±∞ ×x=∞ 如果x>0；±∞ ×x=-∞ 如果x<0；±∞ 如果x=0，则x=0。我们现在给出做市商的容许作用空间的表达式，即状态=（w，p，q，r+，r-) ∈ S、 我们首先定义了制造商库存可能达到界限的两个子集。S：=（{（w，p，q，r+，r-) ∈ S:q=q}，τ=0，{（w，p，q，r+，r-) ∈ S：q=q或q=q+1，r+<∞}, τ > 0.（A1）集合S包含做市商库存已达到下界q或将达到下界的状态，如果未完成的询价订单已完成，而未完成的报价订单未完成。

请注意，如果延迟，当发送新的ask订单时，未完成的ask订单将立即取消τ = 0. 在这些情况下，做市商不应引用新的询价单，或应使用买入市场订单，以使投资保持在限制范围内，即δ+∈ {∞, o} 或δ-= -∞. 同样，我们将库存上限q的集合定义如下。S：=（{（w，p，q，r+，r-) ∈ S:q=q}，τ=0，{（w，p，q，r+，r-) ∈ S：q=q或q=q- 1，r-< ∞}, τ > 0.（A2）然后，状态s的容许作用空间由下式给出：={∞, o} ×Zo∪ Zo×{-∞}, s∈ S{-∞} ×Zo∪ Zo×{∞, o} ，s∈ S、 Zo×Zo，否则。（A3）A.2系统动力学对于我们的MDP模型，我们现在描述MDP离散系统状态的动力学，即si，i=0，1，2。。。，N、 N+。对于i=0，1。。。，N- 1，表示决策者的第i个行动/决策（δ+i，δ-i） 。对于周期i=0，1。。。，N、 我们使用两个指示器函数1fill+I和1fill-ito指定在时间ti时，询问和出价是否未完成订单（如有）- 分别在时间ti+之前填充（如果未填充，则为0）。注：如果做市商在第i次行动中发出取消指令，这些未完成订单将在时间ti+时取消。类似地，对于i=0，1，2。。。N-1，我们使用两个指示器函数1fill+i+和1fill-i+指定制造商在时间间隔【ti+，ti+1】内是否有任何询价和投标订单。如果制造商在时间间隔【ti+，ti+1】发出新订单和取消指令-,然后1加注+i+和1加注-i+指定是否在时间ti发送订单- 填写在【ti+，ti+1】中。否则，如果制造商没有在ti发送任何新订单或取消指示-,i、 e，δ+，δ-= o、 然后，这两个指标函数指定是否在[ti+，ti+1]中填写未完成订单（如果有）。

如果制造商在没有新订单的情况下发送取消指令，即δ+=∞, δ-= ∞, 则制造商不会在[ti+，ti+1）和Fill+i+=1中发出订单-i+=0。我们现在描述系统状态的动力学（w，p，q，r+，r-) 来自ti- 至ti+1- 对于i=0，1。。，N- 1、首先，我们确定价格变化pi:=p（ti+）- p（ti）=N（ti+）Pj=N（ti）+1Xjandpi+：=p（ti+1）- p（ti+）=N（ti+1）Pj=N（ti+）+1Xj。然后我们可以很容易地得到wi+1=wi+（pi+0.5+r+i）1fill+i- （pi- 0.5- r-i） 1加注-i+P填充+i+填充+i+- pfill公司-i+填充-i+，（A4）pi+1=pi+pi+pi+，（A5）qi+1=qi- 1加注+i+1加注-我- 1加注+i++1加注-i+，（A6）r±i+1=（1- 1超出±i+1）·∞ + 1输出±i+1输出±i+1，（A7），其中pFill±i+：=（pi±max{0.5+δ+i，-0.5 ± pi}，δ±i∈ Z、 pi±（0.5+r±i），δ±i=o，out±i+1：=1.- 1填充±i+，δ±∈ Z、 1个- 1填充±i- 1fill±i+，δ±=o，rout±i+1：=（δ±i (pi+pi+，δ±∈ Z、 r±i (pi+pi+，δ±=o，我们简单地解释了财富和未完成订单的动态，其他人很容易看到。在财富动态中，做市商在完成询价单的情况下赚取的金额等于执行价格，在完成报价单的情况下支付的金额等于执行价格。对于第i个周期，pfill+i+是在时间间隔【ti+，ti+1）（如果有）内填写的制造商的询价单的价格。如果δ+∈ Z、 然后，将在时间ti+取消ask outstandingorder。因此，[ti+，ti+1）中填写的ask订单是在第i个动作中发送的新订单。其执行价格是其自身价格pi+0.5+δ+和ti+时的市场最佳出价中的较大者，即pi- 0.5 + 圆周率。否则，如果δ+=o，则未完成订单将不会在第i个期间取消，[ti+，ti+1）中的执行价格是未完成订单的价格。

投标方也是如此。对于未完成订单，以询价方为例，1 out+i+1说明在时间ti+1是否存在未完成订单- （如果存在，则为1；如果不存在，则为0），rout+i+1将相对价格与ti+1时的最佳要价进行比较-. 如果δ+∈ Z、 如果且仅当在时间ti发送的新ask订单- 未填入[ti+，ti+1）。否则，如果δ+=o，则订单存在，如果且仅存在i-the期间的未完成订单（存在于时间ti-) 未填入[ti，ti+1）。如果δ+∈ Z、 相对价格基于时间ti发送的新订单的价格-; 否则，将以第i期未完成订单的价格为基础。接下来，我们将描述tN的动态- 至tN+-. 我们有wN+=wN+（pN+0.5+r+N）1填充+N- （请注意- 0.5- r-N） 1加注-N、 （A8）pN+=pN+pN，（A9）qN+=q- 1加注+N+1加注-N、 （A10）r±N+=1填充±N·∞ + (1 - 1加注±N）（r±N pN）。（A11）与tito ti+1动力学相比的主要差异，i=0，1。。，N- 1是做市商仅在时间tn解除其库存头寸，而不发布新报价。要查看（A11），请注意，如果第N个期间的未完成订单已填写，则在时间tN时不会有未完成订单-. 否则，将有一个askoutstanding订单，相对价格为pN+0.5+r+N- （pN+0.5+pN）=r+N- Pn与时间tN的最佳要价进行比较+-. 投标方也是如此。B第4B节中主要结果的证明。1定理4.1的证明。我们只为提问方证明结果。投标方类似。[第（a）部分的证明]。对于任何δ+<0的情况，发送的ask命令将立即执行，直到δ+0，t，δ+≡ 1.

然后从（3.1）得出，对于任何δ+<0的情况，我们有H+（0，t，δ+）=E[-0.5- p[0，t]=-p（·）的鞅性质为0.5。对于δ+≥ 0，从（3.1）我们推断，为了建立（4.1），必须显示[δ++1- p[0，t]| 1填充+0，t，δ+=1]=λ+λ++λ/2。（B1）为此，我们构造了一个适当的马尔可夫链。用τ，τ，…表示两个独立泊松过程N（·）和N+（·）的跳跃时间。。。和τ+，τ+。。。分别地定义（t）：=（1，如果{n∈ N：τN（t）<τ+N≤ t} 6=,0，否则，UAsk（t）：=（p（t），U A（t））。这里，如果存在任何“未知情”的买方市场订单（N+（·）），则UA（t）规范已达到自时间t的市场价格τN（t）最近一次跳跃以来的最佳ask。可以很容易地证明，U ask（t）是一个状态空间为Z×{0，1}的连续时间马尔可夫链，并且对于任何p∈ Z： （p，0）-→（p+1，0），速率λ/2，（p- 1，0），速率λ/2，（p，1），速率λ+，（p，1）-→（p+1，0），速率λ/2，（p- 1，0），速率λ/2，（p，1），速率λ+，还定义：τ填充：=inf{t≥ 0:UAsk（t）=（p（0）+δ+，1）}，τ填充：=inf{t≥ 0:UAsk（t）=（p（0）+δ++1，0）}，τfill：=最小{τfill，τfill，t}。如果τfill<min{τfill，t}，则在时间0发送的具有相对价格δ+且无延迟的ask订单将在时间t之前由“未信息”订单填充；另一方面，如果τfill<min{τfill，t}，则中间价格将在时间t之前与询价单的价格交叉。询价单将在时间tif之前完成，并且只有当τfill<t。然后，我们可以从方程（B1）中推导出e[δ++1- p[0，t]| 1填充+0，t，δ+=1]=E[p（0）+δ++1- p（τfill）|τfill<t]- E[p（t）- p（τfill）|τfill<t]，（B2），其中通过对鞅（·）应用可选采样定理，第二项为零。此外，我们注意到，如果τfill=τfill，那么p（τfill）=p（0）+δ+；如果τfill=τfill，则p（τfill）=p（0）+δ++1。

因此，我们推断e[p（0）+δ++1- p（τfill）|τfill<t]=p（τfill=τfill |τfill<t）。（B3）为了证明（B1），还需要显示p（τfill=τfill |τfill<t）=λ+λ++λ。（B4）为此，我们考虑UAsk（t）的嵌入式离散时间马尔可夫链（DTMC）。嵌入式DTMC，表示为{U Askn:n≥ 0}具有U Askn的属性∈{（p（0）+δ+，1），（p（0）+δ++1，0）}仅当UAskn-1.∈ {（p（0）+δ+，0），（p（0）+δ+，1）}。此外，从连续时间马尔可夫链U Ask（t）的转移率可以清楚地看出，对于每个n，P（UAskn=（P（0）+δ+，1）| U Askn-1=（p（0）+δ+，0）p（UAskn∈ {（p（0）+δ+，1），（p（0）+δ++1，0）}| UAskn-1=（p（0）+δ+，0））=λ+λ++λ/2。结合连续时间马尔可夫链的马尔可夫性质、保持时间的独立性和跳变，我们可以很容易地验证（B4）是成立的。[第（b）部分的证明]。根据方程式（3.1），对于任何t≥ 0，t>0和δ+∈ Z、 H+（t，t，δ+）=E[（最大值{0.5+δ+- p[0，t]，-0.5} - p[t，t+t]）1填充+t，t，δ+]，其中指标函数1填充+t，t，x指定相对价格x（进入订单簿或在时间t执行）的询价订单是否在时间t+t之前完成。请注意{（p（t），N+（t））：t≥ 0}是一个具有平稳和独立增量的二维过程。然后给出p[0，t]=k，对于任何k∈ Z、 我们可以很容易地推断E[（max{0.5+δ+- k-0.5} - p[t，t+t]）1填充+t，t，δ+|p[0，t]=k]=E[（最大值{0.5+δ+- k-0.5} - p[0，t]）1填充+0，t，δ+-k] =H+（0，t，δ+- k） 。因此，我们从条件期望的tower性质中得到了期望的结果。[第（c）部分的证明]。首先，假设λ+≤ λ/2. 当t=0时，根据定理4.1的（a）部分，很明显，对于任何δ+∈Z、 我们有H+（0，t，δ+）≤ 因此，对于任何t，t≥ 0，根据定理4.1第（b）部分，对于任何δ+∈ Z、 H+（t，t，δ+）=E[H+（0，t，δ+- p[0，t]）]≤ 接下来，假设λ+>λ/2。

当t=0时，根据定理4.1的（a）部分，当δ+=0时，H+（0，t，0）=λ+λ++ λ/2- 0.5· E填充+0，t，0> 现在考虑t>0。根据定理4.1的（a）和（b）部分，对于任何δ+∈ Z、 我们有h+（t，t，δ+）=∞Xk公司=-∞H+（0，t，δ+- k） P(p[0，t]=k）=- 0.5便士(p[0，t]≥ δ++ 1) +λ+λ++ λ/2- 0.5δ+Xk=-∞E[1填充+0，t，δ+-k] P(p【0，t】=k）≥ - 0.5便士(p[0，t]≥ δ++ 1) +λ+λ++ λ/2- 0.5· E[1填充+0，t，0]·P(p[0，t]=δ+。我们声称Limδ+→∞P(p[0，t]≥ δ++P(p[0，t]=δ+- 1） =0，（B5），因此，如果δ+足够大，则H+（t，t，δ+）大于0。为了证明方程（B5），我们首先注意到，我们只需要证明mδ+→∞P(p[0，t]=δ+，p(p[0，t]=δ+- 1)= 0. （B6）这是因为，如果方程（B6）成立，则存在常数c∈ （0，1），因此对于δ+足够大的，P(p[0，t]=δ+，p(p[0，t]=δ+-1） <c.因此，作为δ+→ ∞,P(p[0，t]≥ δ++P(p[0，t]=δ+- 1)≤（1+c+c+…）P(p[0，t]=δ+，p(p[0，t]=δ+- 1)=1-cP公司(p[0，t]=δ+，p(p[0，t]=δ+- 1)→ 接下来，我们证明方程（B6）。对于任何0≤ δ+∈ Z、 我们有(p[0，t]=δ+，p(p[0，t]=δ+- 1)=∞Pk=δ+P(p[0，t]=δ+| N（t）=k）p（N（t）=k）∞Pk=δ+P(p[0，t]=δ+- 1 | N（t）=k- 1） P（N（t）=k- 1） ，（B7）注意到如果k<δ+，则P(p[0，t]=δ+| N（t）=k）=0。对于任何0≤ δ+≤ k、 wehaveP公司(p[0，t]=δ+| N（t）=k）=kk+δ+k、 如果k和δ+具有相同的奇偶性，则0，如果k和δ+具有相反的奇偶性。因此，对于任何0≤ δ+≤ k、 如果δ+和k具有相同的奇偶性，则p(p[0，t]=δ+| N（t）=k）p（N（t）=k）p(p[0，t]=δ+- 1 | N（t）=k- 1） P（N（t）=k- 1)=kk+δ+ke公司-λt（λt）k/k！k-1公里-1+δ+-1.k-1e级-λt（λt）k-1/（千）- 1)!=λtk+δ+≤λt2δ+。因此，通过方程（B7），我们得到(p[0，t]=δ+，p(p[0，t]=δ+-1)≤λt2δ+→ 0，作为δ+→ ∞.因此，方程式（B6）成立，ask端的第（c）部分证明已完成。投标部分的顶部类似，因此省略。B、 2定理4.2的证明。

我们用反向归纳法和Bellman方程（2.7）证明了定理4.2。回想一下1fill+i、1fill+i+、1fill的定义-i、 1加注-i+，圆周率，pi+，pfill+i+，pfill-i+见第A.2节。对于i=N，根据Bellman方程（2.7），对于任何s=（w，p，q，r+，r-) ∈ S、 我们有Vn（S）=E[w+（p+0.5+r+）1填充+N- （p- 0.5- r-)1加注-N+（p+pN）（q- 1加注+N+1加注-N）- 0.5 | q- 1加注+N+1加注-N个|sN=s]=w+pq+H+（0，τ、 r++H-(0, τ、 r-) - 0.5E[| q- 1加注++1加注-|（r+，r-) = （r+，r-)],=w+pq+gN（q，r+，r-),其中，我们使用了MDP的平稳性以及H±和gN的定义。对于i=0，1。。。，N-1，假设vi+1（s）=w+pq+gi+1（q，r+，r-) 对于任何s=（w，p，q，r+，r-) ∈S、 然后对于任何S=（w，p，q，r+，r-) ∈ S、 我们可以计算出vi（S）=max（δ+，δ-)∈AsE[vi+1（s）| s=s，（δ+，δ-) = (δ+, δ-)]= 最大值（δ+，δ-)∈AsE[w+（p+0.5+r+）1注入+- （p- 0.5- r-)1加注-+ P填充+0+填充+0+- pfill公司-0+填充-0++（p+p+p0+（q- 1加注++1加注-- 1加注+0++1加注-0++gi+1（q，r+，r-) | s=s，（δ+，δ-) = (δ+, δ-)],其中，我们使用了Bellman方程（2.7）、vi+1假设和方程（A4）-（A6）中的系统动力学。重新组织术语并使用以下事实：p0+独立于1个fill+和1个fill-, 我们得到VI（s）=w+pq+H+（0，τ、 r++H-(0, τ、 r-)+ 最大值（δ+，δ-)∈AsnE[（pfill+0+- p- p- p0++1填充+0+]+E[（p+p+p0+- pfill公司-0++1加注-0+]+E[gi+1（q，r+，r-) | （q，r+，r-) = （q，r+，r-), (δ+, δ-) = (δ+, δ-)]o、 通过对函数Gi的定义，仍需证明，对于任何可能的（r+，r-, δ+, δ-),H+（0，τ、 r++E[（pfill+0+- p- p- p0++1填充+0+|（r+，δ+=（r+，δ+）=H+作用（r+，δ+，H-(0, τ、 r-) + E[（p+p+p0+- pfill公司-0++1加注-0+|（r-, δ-) = （r）-, δ-)] = H-act（r-, δ-).（B8）我们证明了（B8）中的第一个方程（即ask侧）。对于δ+∈ Z、 它直接来自pfill+0+（方程式（A7）后给出）和H+act（r+，δ+）的定义。

对于δ+=o，我们需要toshowH+（0，τ、 r++E[（r+- p- p0++1填充+0+|（r+，δ+=（r+，o）]=H+（0，t、 r+（B9）这也可以通过使用（3.1）中H+的定义以及价格过程p（·）是鞅这一事实来验证。因此，证明是完整的。B、 3定理4.3的证明为了证明定理4.3，我们需要一个引理，表明当其他参数固定时，做市商P的预期收益是报价周期数N的非递减函数。引理B.1。修复延迟τ ≥ 0和其他参数λ、λ+、λ-, t、 我们有P是N的非递减函数。引理B.1的证明。主要思想如下。比较分别具有N个周期和N+1个周期的两个MDP问题，后者时间点的值函数与前者时间点的值函数（即初始值函数）相同，因为它们可以通过相同的终端值函数的相同向后递归（Bellman方程）计算。对于s=（w，p，0，∞, ∞), 由于制造商可以选择在初始操作中不发布订单，因此N+1周期问题的价值函数大于或等于相同问题的价值函数。因此，有N+1个周期的P大于或等于有N个周期的P。数学上，根据定理4.2和方程（4.7），P=g（0，∞, ∞) 是n的函数。用fP（N）表示此函数。显然，我们有fP（0）=0。对于N=N的两个MDP问题≥ 1和N=N+1，表示值函数和相应的g函数，由vni（s），gni（s），i=0，1。。。，n和vn+1i（s），gn+1i（s），i=0，1。。。，分别为n+1。根据定理4.2，函数vn（s）和vn+1（s）由相同的向后递归过程计算，从相同的函数Vnn（s）=vn+1n+1（s）=w+pq+H+（0，τ、 r++H-(0, τ、 r-)- 0.5E[| q- 1加注++1加注-|（r+，r-) = （r+，r-)],对于任何s=（w，p，q，r+，r-) ∈ S、 因此，对于任何∈ S、 vn（S）=vn+1（S）。

根据定理4.2，对于任何w，p∈ Zvn+1（w，p，0，∞, ∞) =w+p·0+最大值（δ+，δ-)∈AsnH+act(∞, δ++H-act公司(∞, δ-) + E[gn+1（q，r+，r-)| （q，r+，r-) = (0, ∞, ∞), (δ+, δ-) = (δ+, δ-)]o≥w+H+act(∞, ∞) + H-act公司(∞, ∞)+ E[gn+1（q，r+，r-) | （q，r+，r-) = (0, ∞, ∞), (δ+, δ-) = (∞, ∞)]=w+gn+1（0，∞, ∞) = vn+1（w，p，0，∞, ∞).因此，我们得到fp（n+1）=vn+1（w，p，0，∞, ∞) - w≥ vn+1（w，p，0，∞, ∞) - w=vn（w，p，0，∞, ∞) - w=fP（n）。因此，证明是完整的。定理4.3的证明。我们首先证明第（1）部分。根据定理4.1的（c）部分，如果λ+≤ λ/2和λ-≤ λ/2，函数H+，H-总是非正面的，因此根据H+act的定义，H-act，针对任何可能的（r+，r-, δ+, δ-), H+作用（r+，δ+，H-act（r-, δ-) 都是非正面的。我们证明了gi（q，r+，r-) ≤ 0，对于i=0，1。。。，N和任何可容许的（q，r+，r-) 通过定理4.2中的向后递归。对于i=N，它直接适用于方程式（4.5）。假设对于某些i（1≤ 我≤ N），gi（q，r+，r-) ≤ 0表示任何容许值（q，r+，r-). 然后从方程（4.5）和（4.6）中，我们得到-1（q，r+，r-) = 最大值（δ+，δ-)∈AsnH+act（r+，δ+）+H-act（r-, δ-) + E[gi（q，r+，r-)| （q，r+，r-) = （q，r+，r-), (δ+, δ-) = (δ+, δ-)]o≤ 因此，gi（q，r+，r-) ≤ 0，对于i=0，1。。。，N和任何可容许的（q，r+，r-). 根据方程式（4.7），P=g（0，∞, ∞) ≤ 因为P的下界为0，所以我们得到P=0。接下来，我们证明第（2）部分。假设λ+>λ/2和λ-> λ/2. 根据定理4.1的（c）部分，存在一个引号对，用（δ+，M，δ）表示-,M）∈ Z、 使H+(τ, t、 δ+，M）>0和H-(τ, t、 δ-,M） >0。显然，我们有δ+，M，δ-,M∈ Z和ifτ=0，然后δ+，M，δ-,M≥ 0，否则其顺序值将为0或-0.5. 其主要思想是利用这个引号对（δ+，M，δ）构造一个可容许策略-,M） ，如果N是一个非常大的偶数，则预期的结果为正。

然后，Nminexists sinceP是引理B.1给出的N的非增函数。我们还给出了Nmin的上界。首先，我们定义了可接受的政策。用vπi（s）表示任何容许策略π{fi：i=0，1，…N}后的预期W，从时间Ti开始，初始状态=（W，p，q，r+，r-) ∈ S、 在偶数N的MDP问题中，我们考虑了一个可容许策略∧π={fi:i=0，1，…N}≥ 4，即，对于某些2，N=2K≤ K∈ N、 从时间0开始，初始状态（w、p、0、，∞, ∞) 对于任何w，p∈ Z、 π定义如下。对于i=1，3，5。。。，N- 1，即i是奇数，对于任何w，p∈ Z、 r+，r-∈ Z、 q∈ {-1，0，1}这样（w，p，q，r+，r-) ∈ S、 确定fi（w、p、q、r+、r-) := (∞, ∞).对于i=2，4，6。。。，N- 2，即，对于任何w，p，除0和N外，i是偶数∈ Z、 q∈ {-1，0，1}，定义fi（w，p，q，∞, ∞) :=（δ+，M，∞), q=1(∞, ∞), q=0(∞, δ-,M） ，q=-1、对于任何w、p∈ Z、 定义f（w，p，0，∞, ∞) := （δ+，M，δ-,M） 。对于状态s，if（δ+，δ-) =fi（s），我们也写δ+=~f+i（s），δ-=f-i（s），i=0，1。。。，N- 1、根据本政策，在时间ti，i=2，4，6。。。。，N- 2、如果制造商的库存为0，以相对价格δ+卖出一台，如果制造商的库存为1，以δ购买一台，则制造商不会发布订单-,Mif他的库存为-1。在时间ti，i=1，3，5。。。。，N- 1、制造商取消旧订单（如有），不发布任何新订单。在tN时，制造商将其库存（如有）展开。时间t=0时，没有库存，也没有未完成的订单，制造商的报价为（δ+，M，δ-,M） 。因此，时间ti，i=0，2，4，6。。。，N- 2、无未完成订单。此外，制造商的库存始终属于{-1, 0, 1}.然后，我们给出了该策略的向后递归。

MDP理论中的标准参数得出，对于i=0，2，4。。。，N- 2，对于任何w，p∈ Z、 q∈ {-1，0，1}，v∏i（w，p，q，∞, ∞) =E[v∏i+2（wi+2，pi+2，qi+2，∞, ∞) | （wi、pi、qi、r+i、r-i） =（w、p、q、，∞, ∞),（δ+i，δ-i） =▄fi（w、p、q、，∞, ∞), （δ+i+1，δ-i+1）=(∞, ∞)].使用与定理4.2中的证明类似的论点，我们得到v|πi（w，p，q，∞, ∞) =w+pq+g∏i（q），对于i=2，4，6。。。，N和任意w，p∈ Z、 q∈ {-1, 0, 1}. 这里g∏N（q）=-0.5 | q |，and g|πi（q）=H+(τ, t、 f+i（w，p，q，∞, ∞)) + H-(τ, t、 f-i（w，p，q，∞, ∞))+ E[g∏i+2（q）|（q，r+，r-) = （q，∞, ∞),(δ+, δ-) =fi（w、p、q、，∞, ∞), (δ+, δ-) = (∞, ∞)], 对于i=2，4，6。。。，N- 2.（B10）要理解方程式B10，请注意，对于在时间ti发送的每个订单，i=2，4，6。。。N- 2、寿命为t由于下一期间的取消指令，并且在时间ti，i=2，4，6，…，没有未发出的订单。。。N- 2、类似地，对于任何w，p∈ Z、 我们有vπ（w，p，0，∞, ∞) = w+p·0+g▄π（0）=w+g▄π（0），其中g▄π（0）=H+(τ, t、 δ+，M）+H-(τ, t、 δ-,M） +E[g|π（q）|（q，r+，r-) = (0, ∞, ∞),(δ+, δ-) = （δ+，M，δ-,M） ，（δ+，δ-) = (∞, ∞)].（B11）接下来，我们证明，如果N足够大，那么gπ（0）>0。为了证明这一点，我们只需要通过方程（B11）证明g￠π（q）≥ q=0-1，0，1，自H起+(τ, t、 δ+，M）+H-(τ, t、 δ-,M） >0。首先，我们证明了g∧π（0）=0。通过方程式（B10），我们得到，对于i=2，4，6。。。，N- 2，g∏i（0）=H+(τ, t，∞) + H-(τ, t，∞)+ E[g∏i+2（q）|（q，r+，r-) = (0, ∞, ∞), (δ+, δ-) = (∞, ∞), (δ+, δ-) = (∞, ∞)]=g∏i+2（0）。因此，对于i=2，4，6。。。，N- 2，g▄πi（0）=g▄πN（0）=0。然后，我们证明了如果N是suficientlylarge，那么g|π（±1）>0。回想一下1插图+τ,t、 δ+，m说明询问订单是否在时间0发送，以及相对价格δ+，m和延迟τ在时间间隔内填充[τ, τ +t） 。

可以很容易地验证，给定δ+=δ+，Mwe有1个填充+τ,t、 δ+，M=1填充+0++1填充+。直观地说，当且仅当在时间间隔内完成其中一项时，才会完成ask订单[τ, t） ，表示为1fill+0+=1，或在时间t=t、 并在时间间隔内填充[t，τ + t） ，表示为1填充+=1。表示该询价单以相对价格δ+，Mby p+，其中p+=p（1插图）报价的完全概率+τ,t、 δ+，M=1）。（B12）通过方程式（B10），对于i=2，4，6。。。，N- 2，我们有g∏i（1）=H+(τ, t、 δ+，M）+E[g∏i+2（1- 1加注+0+- 1填充+|（q，r+，r-) = (1, ∞, ∞),(δ+, δ-) = （δ+，M，∞), (δ+, δ-) = (∞, ∞)]=H类+(τ, t、 δ+，M）+（1- p+）g▄πi+2（1），其中我们使用了g▄πi+2（0）=0，并且随机变量1填充+τ,t、 δ+，mdo不依赖于q，r+，r-, δ+, δ-, δ+或δ-. 投标方也是如此。确定以δ报价的投标订单的完全概率-,Mby p公司-, 其中P-= P（1加注-τ,t、 δ-,M=1）。（B13）对于i=2，4，6。。。，N- 2，我们有g|πi(-1） =小时-(τ, t、 δ-,M） +（1- p-)g∏i+2(-1).召回N=2K。用g∧πN（1）=g∧πN求解上述g∧πi（±1）的递推方程(-1) =-0.5，我们得到thatg￠π（±1）=-0.5-H±(τ, t、 δ±，M）p±(1 - p±）K-1+小时±(τ, t、 δ±，M）p±。（B14）注意0<p±<1，因为δ±，M∈ Z和ifτ=0，我们有δ±，M≥ 0 . 除此之外，H±(τ, t、 δ±，M）>0。因此，如果N足够大，则g|π（±1）>0，因此g|π（0）>0。最后，由于∧π是一个可容许的策略，通过方程（4.7），我们得到了≥ v∧π（w，p，0，∞, ∞) - w=g|π（0）>0。注意，每个周期中值函数的向后递归取决于模型参数λ、λ+、λ-, τ, t、 q和q。根据fP（N）（LemmaB.1）的单调性以及当N为偶数且足够大时fP（N）>0的事实，存在一个恒定整数Nmin≥ 1取决于λ、λ+、λ-, τ, t、 q和q，使得fP（N）>0if且仅当N≥ N分钟。

对于Nmin的上限，最小值：=2最大值lnH公司+(τ,t、 δ+，M）H+(τ,t、 δ+，M）+0.5p+ln（1- p+）,lnH公司-(τ,t、 ，δ-,M） H类-(τ,t、 δ-,M） +0.5便士-ln（1- p-)+ 2，其中p±是（B12）和（B13）中给出的询价和投标订单的全部概率。可以很容易地验证，当N≥ Nmin，g|π（±1）>0，因此g|π（0）>0。因此，Nmin≥ N分钟。现在，第（2）部分的证明已经完成。λ+和λ的C估计-对于本节中的假设市场，我们将讨论如何估计λ+和λ-对于特定做市商。在我们的模型中，订单的执行有两种情况。第一种情况是订单已完成，中间价在执行时不会移动，称为I类事件。第二种情况是，订单是由于价格变动而完成的，称为类型II事件。使用定理4.1（a）部分证明中的类似参数，可以证明对于最佳二阶（δ-= 0）在时间0发送，延迟τ ≥ 0，我们有p[p（texe）=p（0）| p(τ） =p（0），texe<tfirstmove]=λ-λ-+ 0.5λ，（B1），其中texeis是投标订单的执行时间，tfirstmove：=inf{t≥ 0 | p（t）=p（0）+1}是市场价格第一次上涨1个百分点。在（B1）中，左侧是投标订单发生I类事件的可能性，前提是投标订单正确进入最佳投标水平，并且在市场价格上涨之前完成了投标订单。根据（B1）和实际订单提交和执行情况，做市商可以首先估计条件概率，然后使用λ的估计值计算λ的估计值-.我们使用基于纳斯达克TotalView瘙痒消息数据的人工订单模拟来说明这一估计过程。模拟程序与Moallemiand Yuan（2017）中的类似。

在不丧失一般性的情况下，我们将重点放在投标订单上进行说明。我们每天在账簿中以最佳出价水平随机插入500份人工订单（视延迟而定），并根据交易所的匹配规则在每个活动时间更新订单状态。假设艺术订单的规模很小，因此不会影响市场。给定固定的延迟水平，仅考虑市场价格在延迟窗口中不变动的订单。对于任何此类出价，假设订单在市场最佳出价上涨之前完成。如果在执行时，市场价格没有下降，则订单的执行被视为I类事件；否则视为II类事件。用nand表示I型事件的总数，用n表示II型事件的总数。用（B1）表示n+n≈λ-λ-+0.5λ，因此制造商估计λ-bynλ2n。速率λ+可以类似地估计。我们现在根据GE 2016年第四季度的数据报告估算结果。对于给定的λ，λ+和λ的估计值-本质上取决于I型事件数量与II型事件数量之间的比率，我们重点报告比率λ-/(0.5λ). 由于不同天数的结果不同，我们显示了不同潜伏期水平的季度平均比率。见表3。我们可以观察到比率从1.07>1下降，即λ-> 0.5λ至0.94<1，即λ-< 0.5λ，随着延迟的增加。原因是，考虑到市场环境，假设做市商的延迟较低，可以为其订单获得更好的排队位置，并减少平均逆向选择的影响。表3：λ-/（0.5λ）表示GE在2016年第四季度的不同潜伏期。τ（ms）0 10 50 100 500 1000 2000比值λ-/(0.5λ) 1.07 1.04 1.03 1.02 1.00 0.97 0.94