混合随机波动模型下期权价格的计算

2022-6-10 04:09:00

现代随机：理论与应用5（2）（2018）145–165https://doi.org/10.15559/18-VMSTA100Computation通过Malliavin calculusBilgi YilmazMETU，中东技术大学应用数学研究所，6800安卡拉，在混合随机波动率模型下的希腊期权，Turkeyybilgi@metu.edu.tr（B.Yilmaz）收到日期：2017年5月2日，修订日期：2018年2月26日，接受日期：2018年3月30日，在线发布日期：2018年4月24日摘要本研究介绍了在假设基础资产和利率分别从随机波动率模型和随机利率模型演变而来的情况下，使用Malliavin演算计算期权敏感性（希腊）。因此，它整合了马利雅文微积分在希腊计算中的最新发展：Delta、Vega和Rho，并略微扩展了该方法。主要结果表明，Malliavincalculus允许运行的蒙特卡罗（MC）算法呈现数值实现并说明其有效性。这种方法的主要优点是，一旦构造了算法，它们就可以用于多种类型的期权，即使它们的支付函数是不可微的。Malliavin微积分、Bisit–Elworthy–Li公式、希腊人的计算、混合随机波动率模型1介绍金融、期权定价是交易管理的主要问题。然而，一旦期权结算，其价格就不会保持不变。相反，它在生存期间遵循动态路径。因此，市场参与者应通过控制期权价格的变化来保护自己免受意外价格变化的影响。价格风险及其管理总是与希腊不可分割地联系在一起，希腊是期权价格的衍生产品，其对应的是某些不稳定的参数。

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2022-6-10 04:09:04

希腊人收集的信息用于衡量基于特定风险因素的意外期权价格变化。从这一点出发，提交给VTeX/现代随机：理论和应用<2018年6月18日>www.vmsta。org146 B.Yilmazview，希腊人通常用来构建一个适用的投资组合，以保护主要投资组合免受与某些风险因素相关的一些可能变化的影响。因此，Gre e ks的计算比获得期权的价格更为重要[13]，它已成为数学金融的一个基础研究领域。在此，值得强调的是，基础资产价格的变化是一个非常重要的风险因素，实际上会影响期权价格。因此，在其他希腊人中，Delta是确定基础资产和期权余额的一个重要指标，它衡量了基础资产价格单位变化的期权价格变化，这是一个收益率。在过去二十年中，人们越来越关注混合动力产品的准确定价，这种定价是基于不同类别的混合动力资产的组合。鉴于杂交产品的最新发展，很难忽视基础资产演变的希腊人的计算。因此，本研究考虑了随机波动率模型的扩展，即混合随机波动率（HSV）模型。在这些模型中，利率从一个随机过程演变而来，而不是从一个恒常变量演变而来——一个确定性函数，从而形成一个更灵活的多因素随机波动率（SV）模型。然而，在这些假设下，格力ks的计算变得很复杂。

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2022-6-10 04:09:07

这是因为这些建议的模型没有明确的分布，或者因为在大多数情况下，期权收益是不可微的。因此，在希腊人计算这类基础资产时，似然法和路径法并不合适。另一方面，可以使用有限差分法，因为它依赖于导数的近似值，作为自变量小区间内因变量的变化，并且可以使用一组小的差分运算符来编写。然而，对于不连续的期权支付函数来说，这是计算上的昂贵和问题。在这方面，希腊人在混合产品中的共同计算不像在Black-Scholes mod e l（BSM）中那样简单。继开创性的研究[11，12]之后，在Malliavin微积分的背景下，分部积分公式已被视为希腊人计算的主要工具之一。从那时起，在这个研究领域发表了大量的文献，包括一些数字应用。在这些研究中，大多数都假设市场动态遵循BSM假设。然而，最近，在SV模型[3、9、15]和跳跃扩散型模型[2、5、6]的假设下，人们对希腊人的计算越来越感兴趣。Malliavin微积分理论在理论家和实践者中都很有吸引力，主要有三个原因。首先，它允许研究人员推导出明确的权值来设计有效的MC算法。其次，它要求p a yoff函数没有任何可微性条件（与路径法不同），也不要求标的资产的概率密度函数（与似然法不同）。

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2022-6-10 04:09:10

第三，与其他方法相比，它更灵活，因为布朗运动的不同扰动产生不同的权重，这导致了对挑选方差较小的权重的先验兴趣。因此，它可以用于所有类型的期权，无论它们具有连续或不连续的支付函数。本研究的主要目标是在HSV模型动力学下引入一个通过Malliavin演算计算希腊人的表达式，然后通过Malliavin演算147和M C算法计算混合随机波动率模型下的期权希腊人，以获得与希腊人对应的期望值及其差分。该研究通过在所有变量中将结果与有限差分法进行比较，显示了其准确性。本研究的创新之处在于，在eMalliavin微积分的背景下，使用技术和理论结果提供适用的公式。为了推导出希腊人的一般公式，首先，HSV模型的定义使研究人员能够使用Malliavin微积分中的基本工具，即部分积分和高斯空间上的Bisit-Elworthy-Li公式，获得所有类型混合模型的广义希腊人。主要结果表明，Malliavin演算将希腊人作为期权支付函数和称为Malliavinweight的独立权重函数的产物。此外，数值示例表明，在所有变量中，Malliavin微积分方法的计算成本小于有限差分方法的共同计算成本。本文由四个部分组成。第二节介绍了HSV模型和扰动价格过程的一般公式。然后，它给出了扩展现有理论的主要结果。

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nandehutu2022

2022-6-10 04:09:13

在第3节中，推导了具有随机利率的赫斯顿随机波动率模型的公式，即Vasicek模型。此外，在本节中，还提供了欧洲所有选项的Delta、Rho和Vega的数字插图，以验证效率，并与有限差分法在所有变量中的结果进行比较。最后，第四部分是结论。2广义Greek的计算考虑固定过滤概率空间(Ohm, F、英尺∈[0，T]，Q），为便于计算，它足够容纳三维布朗运动。注意，在该表示中，由三个独立的标准布朗运动（i=1、2、3和Q）生成的FTI过滤是风险中性概率度量。通过研究，假设标的资产价格来自SDE系统DST=rtStdt+Stσ（Vt）dZt，（1）dVt=u（Vt）dt+v（Vt）dZt，（2）drt=f（rt）dt+g（rt）dZt，（3）其中（Zt）它∈[0，T]\'s是相关系数ρij的相关布朗运动∈ (-1，1）对于i，j=1，2，3。这些相关布朗运动也可以由三个独立布朗运动（Wt）的组合来表示∈[0，T]如dZt=dWt，dZt=ρdWt+udWt，dZt=ρdWt+udWt+udWt，其中参数为148 B。Yilmazu=q1- ρ, u=ρ- ρρu，u=p1- ρ- ρ- ρ+ 2ρρρu.通过研究，假设相关系数ρij的选择方式为u为实数。解决方案St、Vt和RT分别代表初始值S、V和r的基础资产、波动性和利率过程。这里，假设σ、u、v、f和g是连续可微函数，其有界导数至少为二阶。

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2022-6-10 04:09:16

此外，σ、v和g被认为是自适应的，并且在域中的任何地方都不等于零。现在，假设等式（1）、（2）和（3）中给出的SDE可以合并到三维SDE系统中，它表示为dxt=β（Xt）dt+a（Xt）dWt，（4）X=X，其中，Xt=StVtrt公司, β（Xt）=rtStu（Vt）f（rt）,安达（Xt）=Stσ（Vt）0ρv（Vt）uv（Vt）0ρg（rt）ug（rt）ug（rt）,x个=SVr公司, Wt公司=WTWTWTWT.注意，Xt是一个马尔可夫过程，而（Wt）t∈[0，T]是一个三维标准布朗运动。在这种表示中，可以方便地假设β和a都是至少两个具有有界导数的连续可微函数，并且适合于进行计算。此外，为了确保方程（4）存在唯一的强解，假设β和a都满足Lipschitz和多项式增长条件。在这些假设下，该研究还保证了Xtisa-Markov过程，该解的轨迹几乎可以肯定地连续可微于爆炸时间之前的所有t。此外，为了得到合适的解，还应确保扩散矩阵a满足均匀椭圆条件[15]，a（x）ζa（x）ζ≥ kζk，对于任何x，ζ∈ R、（5）在此，值得强调的是，如果满足ui、jan和函数σ、v、g的条件，则扩散矩阵a满足均匀椭圆条件。通过Malliavin演算149计算混合随机波动率模型下的期权价格这意味着a是一个正定义矩阵，其特征值大于一个小的正整数∈ R、因此，a是可逆矩阵，其逆矩阵是有界的。

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2022-6-10 04:09:19

这个条件还意味着对于任何有界函数γ：[0，T]×R7→R、 a-1γ是有界的，此外，（a-1γ）（Xt）位于希尔伯特空间L（[0，T]×中Ohm) [11].（Xt）t的第一个变化过程∈[0，T]，它是（Xt）T的导数∈[0，T]相对于其初始值x，在计算气体中起着重要作用。因此，这项研究提醒了人们对第一个变化过程的定义。定义2.1（第一次变更过程）。设Xt为等式（4）给出的过程。然后，该过程的第一个变量由dyt=β′（Xt）Ytdt+Xi=1a′i（Xt）YtdWit，（6）Y=13×3定义，其中β′和a′i分别是β的雅可比矩阵和矩阵a相对于x的第i列向量。这里，13×3是R的单位矩阵，Yt=DxXt。注意，假设βa和a是至少两次连续可微的有界导数函数。此外，扩散矩阵a满足均匀椭圆度条件（5），并且X具有连续的变换。现在，为了研究的完整性，是时候引入下面的引理了。引理2.2。If（年初至今-1sa）∈ L（[0，T]×Ohm) 对于所有s，t∈ [0，T]，那么Xtis Malliavin可微性和Xt的Malliavin导数可以写为如下DsXt=YtY-1sa（Xs）1s≤t、 s≥ 0，a.s.（7）可以按照以下命题计算第一个变化过程的成分。提案2.3。让第X和第t个变量处理YT∈ [0，T]分别由方程（4）和（6）定义。然后，Yijt=0，Yt=0 a.s.如果i>j fori，j=1，2，3。此外，Yt、Yt和Y对t有以下解决方案∈ [0，T]Yt=expZt卢比-σ（Vs）ds+Ztσ（Vs）dZs！，（8） Yt=expZtu′（Vs）-v′（Vs）ds+Ztv′（Vs）dZs！，（9） Yt=expZtf′（rs）-g′（rs）ds+Ztg′（rs）dZs！。（10）此外，yt和YtsatisfydYt=rtYtdt+σ（Vt）Yt+Stσ′（Vt）YtdWt，dYt=rtYt+StYtdt+σ（Vt）YtdWt，初始值Y=Y=0.150 B。YilmazProof。

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2022-6-10 04:09:22

为了找到满足Y的SDEs系统条目，首先计算i=1、2、3时扩散矩阵a的β雅可比矩阵和第i列向量ai。这些是β′（x，x，x）=x0 x0 u′（x）00 0 f′（x）,a′（x，x，x）=σ（x）xσ′（x）00ρv′（x）00 0ρg′（x）,a′（x，x，x）=0 0 0 0 0uv′（x）0 0ug′（x）,a′（x，x，x）=0 0 0 0 0 0 0 0ug′（x）.通过将这些方程插入方程（6），可以得到第一个变化过程动态动态动态动态动态动态动态动态动态动态动态动态动态=rtYt+StYtrtYt+StYtrtYt+StYtu′（Vt）Ytu′（Vt）Ytu′（Vt）Ytf′（rt）Ytf′（rt）Ytf′（rt）Ytdt公司+σ（Vt）Yt+Stσ′（Vt）Ytσ（Vt）Yt+Stσ′（Vt）Ytσ′（Vt）Yt+Stσ′（Vt）Ytρv′（Vt）Ytρv′（Vt）Ytρv′（Vt）Ytρg′（rt）Ytρg′（rt）Yt g′（rt）Ytρg′（rt）Yt载重吨+0 0 0 0uv′（Vt）Ytuv′（Vt）Ytuv′（Vt）Ytug′（rt）Ytug′（rt）Ytug′（rt）Yt载重吨+0 0 0 0 0ug′（rt）Ytug′（rt）Ytug′（rt）YtdWt，单位矩阵的初始值在R中。然后，通过应用It^o演算，可以很容易地推断出，如果i的i>j，j=1，2，3，则Yijt=0 a.s。此外，对于t∈ [0，T]dYt=rtYtdt+σ（Vt）YtdZt，通过Malliavin演算计算混合随机波动率模型下的期权希腊，151dYt=u′（Vt）Ytdt+v′（Vt）YtdZt，dYt=f′（rt）Ytdt+g′（rt）YtdZt，初始值Y=Y=Y=1。备注2.4。作为等式（8）的直接结论，Yt可以用资产价格来表示，即Yt=SSt，a.s。对于计算曲线，考虑具有有限时间范围的连续时间贸易经济体是很方便的∈ [0，T]。假设该经济体中的不确定性由固定的过滤概率空间理想化(Ohm, F、英尺∈[0，T]，Q），并且信息根据过滤（Ft）T演变∈[0，T]由（Wt）T生成∈[0，T]。此外，考虑这个市场中的一个期权，它有一个平方可积的p支付函数，用Φ=Φ（Xt，…）表示。

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2022-6-10 04:09:25

，Xtn），其中Φ是与有界导数连续可微的支付函数。换句话说，由于E[Φ（Xt，…，Xtn）]<∞ [8].现在，根据研究【5，9】，期权价格p在时间t=0，到期日t<∞ 传统上，根据σ-代数描述的现有信息，有条件地计算为到期贴现收益的预期值。现在，可以在以下定义中定义价格过程。定义2.5。具有基础x和支付函数Φ的期权的价格p（x）由p（x）=E定义e-RTrtdtΦ（Xt，…，Xtn）| F, （11）式中，0=t，tn=T是有限时间范围的划分[0，T]，p（x）表示今天期权的公平价格。即，在本研究中，E[.]是风险中性概率下的期望值。请注意，Gre eks计算的目的是区分与模式l参数相关的期权价格p。备注2.6。在Gree ks的计算中，基本假设期权支付函数Φ与有界导数可连续微分。然而，在真正的市场中，它们通常并不顺利。在这种情况下，如果标的资产的法则是绝对连续的，并且期权支付函数Φ，isLipschitz，则可以通过命题A推导出希腊人的显式Malliavin权重。在希腊人通过Malliavin ca lc ulus进行的计算中，得到了一个独立于期权支付函数的权重函数。为了获得有效的计算结果，必须保证Malliavin权重不会以概率1退化。因此，[11]证明了平方可积函数集Γn=（α∈ L[0，T];Ztiα（t）dt=1，i=1，n），在R中，以避免简并。这里，ti是[0，T]中给定的时间值。公元前152年。

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2022-6-10 04:09:28

YilmazNow，是时候提醒读者注意在[4，7]中介绍的著名的Birit-Elworthy-Liformu la了。提案2.7。假设方程（4）中的函数β和a在有界条件下连续可微，扩散矩阵a满足一致椭圆度条件（5）。此外，期权支付函数Φ是平方可积的，并且与有界导数连续可微。现在，考虑定义2.5中给出的价格过程，到期日T<∞, 然后p（x）= Ee-RTrtdtΦ（Xt，…，Xtn）π, （12）在哪里, 和π分别表示梯度和Malliavin权重。这里，π=ZTα（t）一-1（Xt）YtdWt，（13），其中α∈ Γn和Ytis是第一个变化过程。2.1期权DeltaDelta的计算是对其价格相对于初始标的资产价格变化的衡量，它确定了套期保值比率。它可以使用命题2.8进行计算。提案2.8。补充函数β和a均如方程（4）所示。此外，它们是具有有界导数的连续可微函数，扩散矩阵是一致椭圆条件（5）。现在，考虑一个具有支付Φ的选项，这是一个具有有界导数的连续可微函数。然后，具有价格函数（11）的期权的Delta为 = EΦ（Xt，…，Xtn）兆瓦, （14）在哪里Mw是Delta的Maliavin重量MW=e-RTrtdtSTZTσ（Vt）dWt-ρuZTσ（Vt）dWt+ρu- ρuuZTσ（Vt）dWt！。证据

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2022-6-10 04:09:31

使用扩散矩阵aa的逆-1（Xt）=Stσ（Vt）0 0-ρuStσ（Vt）uv（Vt）ρu-ρuuStσ（Vt）-uuv（Vt）ug（rt）,一个obta ins一-1（Xt）Yt=年初至今σ（Vt）-ρYtuStσ（Vt）（ρu-ρu）Ytuσ（Vt）StYtStσ（Vt）-ρYtuStσ（Vt）+Ytuv（Vt）（ρu-ρu）YtStσ（Vt）u-uYtuv（Vt）YtStσ（Vt）-ρYtuStσ（Vt）（ρu-ρu）YtuStσ（Vt）+Ytug（rt）.基于Malliavin演算的混合随机波动率模型下期权价格的计算153命题2.7的immed ia te结论，特别选择α（t）=t，由下式给出MW=e-RTrtdtTZTYtStσ（Vt）dWt-ZTρYtuStσ（Vt）dWt+ZT（ρu- ρu）YtuStσ（Vt）dWt！。在这里，人们可以选择α（t）=中欧，期权在到期时的价格为d，因此ti=t。然后，使用Remark2.4，可以轻松获得最终结果。正如上面的公式所示，期权价格的梯度表示为p（x）=(pSp五、pr）, 哪里表示转置。解决方案的第一行对应于期权的增量。其余两行分别对应初始波动率和初始利率的价格变化。因此，根据这一结果，我们可以提出以下两点意见。备注2.9（VegaVt）。n选项对其初始可用性的敏感性为vegavt=EΦ（Xt，…，Xtn）VegaVtMW,其中VEGAVTMW=e-RTrtdtZTYtStσ（Vt）dWt+ZT-ρYtuStσ（Vt）+Ytuv（Vt）dWt+ZT（ρu- ρu）Ytuσ（Vt）-uYtuv（Vt）dWt！。备注2.10（Rhort）。n期权对初始利率的敏感性为短=EΦ（Xt，…，Xtn）RhortMW,其中RhortMW=e-RTrtdtZTYtStσ（Vt）dWt-ZTρYtuStσ（Vt）dWt+ZT（ρu- ρu）YtuStσ（Vt）+Ytug（rt）dWt！。2.2 Rho的计算Rho的计算不像Deltas的计算那样简单，因为利率既不是常数，也不是确定性的。

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2022-6-10 04:09:35

因此，与其直接区分期权价格与利率的关系，不如考虑在漂移项中加入扰动项，然后尝试观察扰动对期权的影响。在这里，有必要澄清什么是经过调整的价格，以观察价格相对于提货期变化的变化。154 B.YilmazAs在【11，5】中，研究引入了扰动过程ss（Xt）t∈[0，T]如下：dXT=βXt+ γXtdt+aXtdWt，X=X，（15），其中是一个小标量，γ：[0，T]×R7→ 这是一种无限的乐趣。此外，β和a满足上述正则性条件。要解释dr ift和价格中结构性变化的影响，应按照以下定义扰乱价格过程。定义2.11。假设X是（15）fort中给出的SDE系统的解∈ [0，T]和Φ是具有有界导数的二阶连续可微函数。然后，扰动价格过程p（x）由p（x）=E给出e-RTrtdtΦXt，Xtn|F. （16）现在可以方便地提出以下命题，以显示选项对点=0中参数的敏感性。提案2.12。假设β，a是具有有界导数的连续可微函数，且a满足一致椭圆性条件（5）。对于具有有界导数Φ，7的任意平方可积连续可微函数-→ p（x）在任何x上都是可微的∈ 兰德公司p（x）|=0=EΦXt，Xtne-RTrtdt |=0+ E“E-RTrtdtΦ（Xt，…，Xtn）ZTα（t）一-1（Xt）γ（Xt）dWt |=0#。证据参见[11]中的证明。提案2.13。假设β和a是具有有界导数的连续可微函数。

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2022-6-10 04:09:39

此外，a满足一致椭圆条件（5），平方可积期权支付函数Φ是一个具有有界导数的连续可微函数。那么，选项的ρisRho=EΦ（Xt，…，Xtn）RhoMW, （17）式中，rhOMW=e-RTrtdtTZTdWtσ（Vt）-ρuZTdWtσ（Vt）+ρu- ρuuZTdWtσ（Vt）- T证据Rho衡量利率变化对期权价格的影响。在Proposition2.12中，扰动主要有三个来源：风险漂移项、波动率和利率过程。函数γ（Xt）可以选择为这三种酸的任意组合。由于这项研究是在调查利率对期权价格的影响，它应该通过Malliavin演算155（St，0，0）在混合随机波动率模型下计算期权价格的γ（Xt）=扰动原始漂移. 在这种情况下，γ是有界函数，因为t∈ [0，T]是一个持续时间有限的贸易经济体。请注意，动力学是在风险中性概率测度和扰动下给出的。因此，折扣过程变为e-RT（RT+）dt。第一个应该找到一-1（Xt）γ（Xt）=σ（Vt），-ρuσ（Vt），ρu- ρuuuσ（Vt）.然后，通过将上述方程插入期望项中，得到Ho=E“E-RTrtdtΦ（Xt，…，Xtn）TZTdWtσ（Vt）-ρuZTdWtσ（Vt）+ρu- ρuuZTdWtσ（Vt）#- ET e公司-RTrtdtΦ（Xt，…，Xtn）.也可以通过γ的特殊选择来计算其他参数对期权的影响。例如，作为命题2.13的直接结果，可以给出以下两个重新标记。备注2.14。假设命题2.13中的假设s成立，股票价格从具有随机利率的赫斯顿模型演变而来。那么，如果γ（Xt）=（0，κ，0）, 一个是期权价格对κ的敏感性。备注2.15。

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能者818

2022-6-10 04:09:42

假设命题2.13中的假设成立，利率假设遵循Vasicek利率模型。那么，如果γ（Xt）=（0，0，a）,一是得到了“反转速度”参数对期权价格的影响。2.3织女星的计算对于织女星的计算，要定义一个新的扰动过程，如在计算Rho，bu t时，在这种情况下，扰动将发生在扩散项中。然而，最后，有必要计算Skorohod积分。因此，命题A的结果。将使用6。本节中的批准基于【5，11】中使用的方法。首先，假设受干扰的资产价格过程dxt=βXtdt公司+一Xt+ γXtdWt，X=X，（18）其中，是一个小标量，γ是一个具有有界导数的3×3矩阵值连续可微函数。此外，βa和（a+γ）满足上述正则性条件。这里有必要引入一个关于的变化过程，它是Xtwi对参数，Zt的导数=Xt，dZt=β′XtZtdt+Xi=1a′iXt+ γ′iXtZtdWit+γXtdWt，（19）Z=03×3。这里，γ′ide表示第i列的导数。156 B.Yilmaz为了避免退化，R中平方可积函数的集合Γn=（Γα∈ L[0，T]:Ztiti公司-1α（t）dt=1，i=1，n），定义见【11】。下面的命题说明了在点=0时，期权价格对点的敏感性。提案2.16。假设a满足非形椭圆度条件（5），对于Bti=Y-1tiZti=Y-1tiZ=0ti，i=1，n、重新存在a-1（X）Y B∈ Dom（δ）。然后，对于任意平方可积期权支付函数Φ，具有连续可微且有界导数，p（x）|=0=Ee-RTrtdtΦ（Xt，…，Xtn）δ一-1（X.）Y.～B。持有。式中，▄Bt=nXi=1▄α（t）（Bti- Bti公司-1） 1{t∈[技术信息-1，ti）}，对于t=0和▄α∈Γn。

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能者818

2022-6-10 04:09:44

此外，如果B是Malliavin可微的，则根据RemarkA计算Skoroho二积分。10，它是δ一-1（X.）Y.～B。=nXi=1（B提兹提提-1α（t）一-1（Xt）Yt载重吨-Ztiti公司-1α（t）t r（DtBti）a-1（Xt）Ytdt公司-Ztiti公司-1α（t）一-1（Xt）YtBti-1.dWt）。证据可以在[5]中找到证据。提案2.17。考虑三维SDE（4）及其扰动过程ss（18）。假设β和a是具有有界导数的连续可微函数，并且a满足一致椭圆度条件（5）。然后，具有平方可积支付函数Φ的期权的Vegao，其连续可微于有界导数，isVegaP=EΦ（Xt，…，Xtn）VegaMW, （20）式中，VegaMWis是Vega的马利维蛋白重量，VEGAMw=e-RTrsdsnXi=1ti- ti公司-1(Wti公司- Wti公司-1.-Ztiti公司-1σ（Vt）dt！×Ztiti-1σ（Vt）dWt-ρuZtiti-1σ（Vt）dWt+ρu- ρuuZtiti-1σ（Vt）dWt！-Ztiti公司-1σ（Vt）dt）。通过Malliavin演算157Proof计算混合随机波动率模型下的期权希腊。首先，通过用γ扰动原始扩散矩阵X获得扰动过程，其中选择γ（Xt）=St0 00 0 00 0 0.然后，利用vt和rtt不依赖于St的事实，可以推断变化过程Zthas为消失分量；因此，在Z=0时，组件zt和zt几乎肯定为零。然后，如命题2.16所示，确定向量Bti=Y-1tiZti=Y-1tiZ=0ti，i=1，n表示ti∈ [0，T]。给你，Y-1吨=Yti公司-YtiYtiYti-ytiytiyti0 0Yti,andZti公司=Zti公司.然后，将这两个方程代入Bti，得到一个Bti=ZtiYti公司. （21）另一方面，从方程式（19）可知，Ztisatis具有以下动力学dZtdZtdZt=rt0 St0 u′（Vt）00 0 f′（rt）Zt公司dt公司+σ（Vt）Stσ′（Vt）00ρv′（Vt）00 0ρg′（rt）Zt公司载重吨+0 0 0 0 0uv′（Vt）0 0ug′（rt）Zt公司载重吨+0 0 0 0 0 0 0 0ug′（rt）Zt公司载重吨+St0 00 0 00 0 0dWt，158 B。

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2022-6-10 04:09:47

Yilmazfor t公司∈ [0，T]。通过此设置，可以写入zti=rtiZtidt+σ（Vti）ZtidWti+StidWti。使用It^o公式，可以很容易地确定解决方案为Zti=StiWti-Ztiσ（Vs）ds！。因此，使用方程式（21）和Remar k 2.4，一个hasBti=Sti（Wti-Rtiσ（Vs）ds）Yti=SWti-Ztiσ（Vs）ds！，对于ti∈ [0，T]。根据命题2.16，Skorohod积分δ（a-1（X）YB）有待计算。因此，B·是Malliavin可微的，其Malliavin可微性为S（1，0，0）-ZtiDtσ（Vs）ds！，=S（1，0，0）-Ztiσ′（Vs）DtVsds！=S（1，0，0）-Ztiσ′（Vs）ρv（Vt）YsYt，uv（Vt）YsYt，0ds！。然后，获得traceT r（DtBti）a-1（Xt）Yt=σ（Vt）。因此，通过选择▄α=ti-ti公司-1,δ一-1（X）YB=nXi=1ti- ti公司-1(Wti公司- Wti公司-1.-Ztiti公司-1σ（Vt）dt！×Ztiti-1σ（Vt）dWt-ρuZtiti-1σ（Vt）dWt+ρu- ρuuZtiti-1σ（Vt）dWt！-Ztiti公司-1σ（Vt）dt）。备注2.18。如果期权收益仅取决于到期日T，则VEGAP=EΦ（XT）VegaMW,混合随机波动率模型下期权价格的Malliavin演算159，其中Vegamw=e-RTrsdsT（重量-ZTσ（Vt）dt！×ZTσ（Vt）dWt-ρuZTσ（Vt）dWt+ρu- ρuuZTσ（Vt）dWt！-ZTσ（Vt）dt）。3数字说明本节专门介绍希腊的欧洲看涨期权的数字说明，该看涨期权具有执行价格K和期权支付函数Φ=max{ST- K、 0}，其中Sti是在成熟度T<∞.还值得强调的是，欧洲看涨期权有一个Lipschitz支付函数，它属于用L表示的局部可积函数空间∞具有有界紧支撑的共有限可微函数，其中c是R的任意紧集，在L中是稠密的。因此，存在一系列函数Φn C∞C收敛到主支付函数Φ∈ 五十、 seeA。4.

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mingdashike22

2022-6-10 04:09:51

因此，可以将前一节中介绍的公式应用于欧式期权。第2节中介绍的公式适用于一般情况，因为SDEs（1）–（3）中的函数是用闭合形式给出的。因此，通过SDEs（1）–（3）中引入的函数s的特殊选择，可以找到所有随机波动率模型的希腊人。在本研究中，这些函数是根据著名的具有随机利率的赫斯顿随机波动率模型（即Vasicek模型）选择的，用于模拟目的。在这些特殊选择下，SDE（1）–（3）变为DST=rtSt+StpVtdWt，（22）dVt=κ（θ- Vt）dt+σpVtρdWt+udWt, （23）drt=a（b- rt）dt+kρdWt+udWt+udWt, （24）其中初始值分别为S、Vand r。这里，假设系数κ、θ、σ、a、b和k都是正数。在此设置下，（4）中的函数β和a是连续可微的，并且满足Lipschitz条件。此外，a满足均匀椭圆度条件（5）。这些假设足以计算BSM框架中的希腊人。然而，在赫斯顿随机波动率模型框架中需要更多的假设，因为平方根函数是不可微的，并且不是全局Lipschitz。Heston随机波动率模型的Novikov条件，κθ≥ σ、保证波动过程始终是积极的。因此，假设诺维科夫条件满足，初始波动率为正。此外，公元前160年，伊尔马兹菲格。1、采用Malliavin演算和全变量有限差分法的SHV模型中欧式看涨期权的Delta在[1，10]的研究中，证明了Heston随机波动率模型在Novikov条件下是Malliavin可微的。

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nandehutu2022

2022-6-10 04:09:54

在本文的其余部分，假设Heston随机波动率模型满足Novikov条件，并且它是Alliavin可微的。3.1图在数值应用中，模型参数设置如下：ρ=-0.8，ρ=0.5，ρ=0.02，K=100，S=100，V=0.04，R=0.02，κ=2，θ=0.04，b=0.08，a=0.02 K=0.002 R=0.05σ=0.04 T=1。模拟的数量，即路径的数量，被设置为10000，尽管我们的近似收敛性很好，即使它被设置为仅250。最后，考虑到一年中的交易天数，分类步骤的数量设定为252。在成功完成前一节中的计算后，本研究使用上述给定值对欧洲看涨期权的Gre eks Delta、Rho和Vega进行了模拟。图1、2和3允许比较所有变量中的有限差分法和样本大小上的Malliavin演算。这两种方法的计算Delta、Rho和Vega值都非常稳定且相当好，即使对于少量MC模拟也是如此。此外，如果模拟次数增加，每种方法的希腊值会变得更稳定。因此，应该增加这两种方法的模拟次数，以便对希腊人有更准确的价值。4结论在本研究中，出于计算目的，方程（1）、（2）和（）中考虑了一个非常通用的模型框架，并通过Malliavin演算161Fig给出了混合随机波动率模型下期权希腊计算的公式和详细证明。2、采用Malliavin演算和全变量有限差分法的SHV模型中欧式看涨期权的Rho图。3.

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2022-6-10 04:09:57

在随机混合波动率模型的假设下，推导出了SHV模型中欧洲看涨期权的Vega以及所有变量中的Malliavin演算和有限差分法。与许多其他研究一样，希腊语是作为两项乘积的期望获得的：一个支付函数和一个称为Malliavin权重的权重，该权重独立于支付函数。该结果表明，Malliavin演算在计算希腊语时的效率并不取决于支付函数的类型。在计算中，假设支付函数是连续可微的。然而，在数学金融的情况下，支付函数不是全局可微的，因此最好提及本文给出的显式ex162 B.Yilmaz表达式很容易扩展到不连续可微的支付函数。因此，一旦获得了一个选项的公式，就可以通过只更改支付函数，对所有类型的选项使用相同的公式。此外，通过将必要的函数替换为希腊文公式，可以获得各种模型的希腊文，并且这些公式可以很容易地适应工程师在实际计算希腊文s时的特殊需要。作为结果的应用，本文还通过假设利率从Vasicek模型演化而来，检验了Heston随机波动率模型的一个特例。为了比较结果，在所有变量中，用有限差分法计算这些G值。据观察，使用Malliavin演算得到的公式产生的结果比Vega和Rho的有限差分法需要的模拟次数少。

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2022-6-10 04:10:00

此外，尽管有限差分法很容易实现，但计算效率高于Malliavin微积分。因为交易者需要贪婪来对冲，所以他们必须尽快计算出来。因此，在希腊人的计算中，使用Mallaivin演算优于有限差分法，因为一旦得到公式，它们就可以用于所有类型的期权，并且计算时间比有限差分法短。简要回顾Malliavin计算定义A.1。设F=F（W（h），W（hn））∈ S，H=L（[0，T]，B，u）。然后是竞争对手D:S 7→ L(Ohm F的×[0，T]）由df=nXi=1定义xif公司W（h），W（hn）嗨，哪里fxi是f对其第i个变量的偏导数。提案A.2（主要规则）。（16中的命题1.2.3）假设F=（F，…，Fn）是一个随机向量，其se分量属于S，D1,2和函数ν：Rn7的闭包→ R是一个具有有界部分导数的连续可微函数。然后Д（F）∈ D1,2和dtД（F）=nXi=1xiД（F）DtFi=Д（F），DF,几乎可以肯定t∈ [0，T]。证据如果函数Д是光滑的，则可以通过链式法则进行分类分析来获得证明。否则，必须对函数进行软化。为了软化ν，可以使用ρ（x）=ρnρ（x），其中ρ（x）=cex-1和c是一个选定的系数，使积分Rrnρ（x）dx=1，以获得平滑近似值Д* ρ.考虑到fnf的光滑近似，可以得到* ρ（Fn）7→ ^1（F）formin，n 7→ ∞ 在空间L中。

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能者818

2022-6-10 04:10:03

基于Malliavin演算的混合随机波动率模型下期权希腊的导数算子D计算DД（F）-nXi=1xiД（F）DFni≤DД（F）- D^1* ρ（F）+D^1* ρ（F）-nXi=1xiД* ρ（Fn）D Fni+nXi=1xiД* ρ（Fn）D Fni-nXi公司^1（F）DFi7.→ 引理A.3。假设序列Fn∈ D1,2在空间L中与F重合(Ohm, F、 P）令人满意的仰卧位[kDF kH]<∞. 然后，F∈ D1、2和DFN在L中与DF呈弱连接(Ohm ×[0，T]）。命题的推广。下面给出了不一定可微的函数。提案A.4。（16中的命题1.2.4）给定满足正常数K的函数∈ R^1（x）- ^1（y）≤ K | x- y |，x，y∈ Rnand F∈ D1,2。然后Д（F）∈ D1,2存在一个n维随机向量∈ Rn，| G |<K这样的^1（F）=nXi=1GiDFi。证据使用与命题证明A中定义的相同的molli fierρ。2，一个人可以获得* ρ收敛到Д。序列D（Д* ρ）（F）在空间L中有界(Ohm ×[0，T]）。这是因为|(φ * ρ)| ≤ K表示一些大型。来自Lemma。3，Д（F）∈ D1,2和Malliavin导数D（Д* ρ）（F）7→ D（Д（F））在弱意义上。另一方面(φ * ρ）（F）弱ly收敛于向量∈ Rn，| G |<K。因此，可以取弱极限inD（Д* ρ）（F）=nXi=1xiД（F）DFi（25）引导我们得出结果定义A.5（Skorohod积分）。考虑u∈ L（[0，T]×Ohm). 然后，u∈ Dom（δ）if对于所有F∈ D1,2和E“ZTDtF utdt#≤ ckF kL公司(Ohm),式中，c是取决于u的常数，δ（u）=ZTutδWt164 B。Yilmazis是L的一个元素(Ohm), 对偶公式为：E“ZTDtF utdt#=EFδ（u）, F∈ D1,2。命题A.6（按部件公式积分）。假设F∈ D1,2，F h∈ h的Dom（δ）∈ H、那么δ（F H）=F W（H）- hDF，hiH。此外，如果F=1 a.s.，δ（h）=W（h）。备注A.7。

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mingdashike22

2022-6-10 04:10:06

请注意，特别是，如果H=L（[0，T]，B，u），其中u是可测Bo rel空间（[0，T]，B）上的无σ测度，则命题a。6 tu rnstoZTF htδWt=FZThtδWt-ZTDtF htdt。备注A.8。Skorohod积分的域也包含L（[0，T]×中的自适应随机过程Ohm). 当被积函数被调整时，则Skorohodintegral与It^ointegral一致（见【16】），即δ（h）=ZThtdWt，ztf htdWt=FZThtdWt-ZTDtF htdt，用于F∈ D1、2和E【RT（F ht）dt】<∞.提案A.9。（Pro位置1.3.8 in【16】）让u∈ L1,2=D1,2（L（T））是满足E[RTu（s，ω）ds]<∞ 对于所有0≤ s≤ T假设DTU∈ 所有0的Dom（δ）≤ t型≤ T和E[RT（δ（Dtu））dt]<∞. 那么，δ（u）∈ D1、2和DTδ（u）= u（t，ω）+ZTDtu（s，ω）dWs。此外，如果u（t，ω）是属于L（[0，t]×的适应过程Ohm), thenDtZTu（s，ω）dWs！=u（t，ω）+zttdttu（s，ω）dWs。备注A.10。假设F是一个d-d维随机列向量，utis ad×d矩阵过程。然后Remark2.4转化为δ（F h）=F*ZThtdWt公司-ZTT r（DtF）htdt，矩阵过程的It^o积分是列向量[5]。通过Malliavin演算计算混合随机波动率模型下的期权价格参考文献165【1】Alòs，E.，Ewald，C-O、：heston波动率的Malliavin可微性及其在期权定价中的应用。应用程序中的高级。概率。40（1），144–162（2008）MR2411818.10.1239/aap/1208358890【2】Bavouzet，M.P.，Messaoud，M.：使用泵型市场模型中的Malliavin微积分计算希腊人。电子J、概率。11，10–276300（2006）MR2217817【3】Benhamou，E.：智能蒙特卡罗：使用Malliavin演算的各种技巧。QuantitativeFinance 2（5），329–336（2002）MR1937315。10.1088/1469-7688/2/5/301【4】Bimit，J.M.：大偏差和Malliavin微积分。

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2022-6-10 04:10:09

数学进步。Birkh"auser（1984）MR0755001【5】Davis，M.H.A.，Johnsson，M.P.：Malliavin Monte Carlo希腊语跳跃扩散。随机过程及其应用116（1），101–129（2006）MR2186841.10.1016/j.spa。2005.08.002【6】El Khatib，Y.，Privault，N.：通过Malliavin微积分计算具有跳跃的市场中的希腊人。金融与随机8（2），161–179（2004）MR2048826.10.1007/s00780-003-0111-6【7】Elworthy，K.，Li，X.-M.：热半群导数的公式。《功能分析杂志》125（1），252–286（1994）MR1297021。10.1006/jfan。1994.1124[8]Etheridge，A.：金融微积分课程。剑桥大学出版社（2002）MR1930394。10.1017/CBO9780511810107【9】Ewald，C.-O.，Zhang，A.：校准随机体积模型的新技术：Malliavin梯度法。量化金融6（2），147–158（2006）MR2221626.10.1080/146976850531676【10】Ewald，C.-O.，Xiao，Y.，Zou，Y.，Siu，T.-K.：一类与金融相关的FellerDiffusion的Malliavin可微性。统计、概率和精算学进展（2012）MR2985432。10.1142/9789814383318\\U 0002【11】Fournié，E.，Lasry，J.-M.，Lebuchoux，J.，Lions，P.-L.，Touzi，N.：Malliavin微积分在蒙特卡罗金融方法中的应用。《金融与随机》3（4），391–412（1999）MR1842285。10.1007/s007800050068【12】Fournié，E.，Lasry，J.-M.，Lebuchoux，J.，Lions，P.-L.：Malliavin calculusto Monte Carlo方法在金融中的应用。二、《金融与随机》5（2），201–236（2001）MR1841717。10.1007/PL00013529【13】Glasserman，P.：金融工程中的蒙特卡罗方法。随机建模和应用概率。Springer（2013）MR1999614【14】Grzelak，L.，Oosterlee，C.W.，Van Weeren，S.：赫尔-怀特利率过程中随机波动率均衡模型的扩展。量化金融12（1），89–105（2012）MR2881608。

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