局部波动模型中的短期亚洲期权

2022-5-25 16:58:45

我们定义并研究了短期到期限制下亚洲期权的隐含效用。假设股票价格遵循局部波动模型：（1）dSt=（r-q） Stdt+σ（St）StdWt，S>0，其中wt是标准布朗运动，r≥ 0是无风险利率，q≥ 0是连续股息收益率，σ（·）是局部波动率，对数股价过程Xt=对数满足度dxt=r- q-σ（外部）dt+σ（eXt）dWt。日期：2016年9月19日。2010年数学学科分类。91G20,91G80,60F10。关键词和短语。亚式期权、短期到期、局部波动、大偏差、变量问题。DAN PIRJOL和LINGJIONG ZHUWe假设局部波动函数σ（·）满足0<σ≤ σ（·）≤ σ<∞,（2） |σ（ex）- σ（ey）|≤ M | x- y |α，（3）对于某些固定的M，对于任何x，y，α>0，并且0<σ<σ<∞ 是一些固定常数。到期日为T且行使价为K的亚洲看涨期权和看跌期权的价格由C（T）：=e给出-rTE“TZTStdt- K+#,（4） P（T）：=e-rTE“K-TZTStdt+#,（5）其中，C（T）和P（T）强调对成熟度T的依赖性。当S<K时，看涨期权不存在，C（T）→ 0作为T→ 0，当>K时，看跌期权不在货币范围内，P（T）→ 0作为T→ 当S=K，即按货币计算时，C（T）和P（T）都趋向于0→ 我们有兴趣研究看涨期权的一阶近似值，并将价格作为T→ 结果表明，缺钱情况下的渐近性受罕见事件（大偏差）的影响，而在缺钱情况下的渐近性受典型事件（高斯波动）的影响。数学金融文献中有许多研究亚式期权定价的著作。[31，7，14，39]研究了Black-Scholes模型下的定价，使用了几何布朗运动时间积分的分布性质与贝塞尔过程之间的关系。

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可人4

2022-5-25 16:58:48

参见【16】了解概述，参见【27】了解与其他模拟方法（包括蒙特卡罗方法）的比较。一种流行的方法，其优点是对其他模型具有更广泛的适用性，这就是DE方法[37、42、49、50]。所得的偏微分方程可以用数值方法求解[49，50]，也可以用渐近展开法推导解析近似公式。在[26]的局部波动率模型和[11]的CEV模型中都得到了这样的结果。本文[26]使用了热核展开方法，并发展了用初等函数表示的亚洲式路径相关期权的密度、价格和希腊式近似公式。文[45，32]中还使用Malliavin演算得到了导致亚式期权具有误差界的解析近似的渐近展开式。Black-Scholes模型中关于亚式期权的大多数文献，即σ（·）≡ σ、 [31,7,39]利用了众所周知的结果[16,13]，即几何布朗运动（r-q-σ） t+σWtdt与Xt具有相同的分布，其中（6）dXt=（r）- q） +文本Xtdt+σXtdBt，X=0，其中bt是标准布朗运动。亚洲看涨期权和看跌期权的价格计算为（7）C（T）=e-rTTE[（SXT- T K）+]，P（T）=e-rTTE[（T K- SXT）+]。对于熟悉小时间离散过程的大偏差的读者来说，人们可能会天真地认为XTas的小时间渐近性→ 0是短期亚洲期权3，与无漂移项的SDE相比，即dXt=σXtdBt，因此Black-Scholes模型的短期亚洲期权的渐近性与欧洲同行相同。我们将在本文中表明，事实并非如此。直观地说，当▄XT在时间0开始于0时，则▄XT在任何时间t保持为0。

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2022-5-25 16:58:51

即使XT也在时间零点从零开始，但它在时间零点后立即变为正值。在这方面，这两个过程彼此之间并不是绝对连续的。因此，不能使用Girsanov定理来消除漂移项，并声称Xtprocess与几何布朗运动具有相同的小时间渐近性。此外，公式（6）、（7）仅对Black-Scholes模型有效，这种方法对更一般的局部波动率情况没有太多洞察。在本文中，我们将使用大偏差理论来研究小时间扩散过程。关键的观察结果是，我们可以应用收缩原理来获得离散过程的小时间算术平均值的相应大偏差，进而严格获得货币外亚洲看涨期权和看跌期权的渐近行为。大偏差原理本身是一个复杂而不太明显的变分问题，其渐近指数是以速率函数形式给出的。我们将设法完全解决这个变分问题，并最终给出一个半解析解。货币情况下的渐近性很容易遵循看跌期权平价。我们还将获得货币短期亚洲期权的渐近解。与货币外情况不同，货币短期到期的渐近曲线具有高斯函数。大多数现有的亚式期权定价方法在期限短、波动性小的情况下，在数值上效率较低。对于Black-Scholes模型下的亚洲期权，Geman-Yor方法【31，7】中已经指出了这一点，其中拉普拉斯变换的反演需要特别注意小到期日【44，27，14】。光谱法中也出现了类似的问题【39】。

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大多数88

2022-5-25 16:58:55

这个问题在基于渐近展开的方法中并不存在，这些方法在小期限和波动性条件下表现良好。本文中提出的小时间扩展具有实际意义，因为它补充了在数字性能较差的地区的一些替代方法。本文的组织结构如下。在第2节中，我们给出了短期局部波动模型中货币外（OTM）、货币内（ITM）和货币内（ATM）亚式期权的渐近解。OTM亚式期权的渐近性涉及一个非常平凡的变分问题，其解将在第3节中给出，该问题在Black-Scholes模型中有更明确的表达式。隐含波动率和数值测试将在第4节中讨论。第5节将提供短期到期FLOAtingStrike亚洲期权的渐近性。最后，第6.2节将给出证明。短期亚洲期权的渐近性让我们回顾一下，股票价格遵循一个局部波动模型：（8）dSt=（r- q） Stdt+σ（St）StdWt，S>0，其中wt是标准布朗运动，r≥ 0是无风险利率，q≥ 0是连续股息收益率，σ（·）是满足（2）和（3）的局部波动率。我们对短期到期限制感兴趣，即T→ 0.4 DAN PIRJOL和LINGJIONG ZHU2.1。货币外和货币内亚洲期权。我们将风险中性度量中的平均资产价格预期表示为（9）A（T）：=TZTE[St]dt=S（r- q） T（e（r-q） T型- 1），对于r- q 6=0和A（T）：=稳定部队- q=0，当K>A（T）时，亚式看涨期权不含货币和C（T）→ 0作为T→ 当A（T）>K时，看跌期权不含货币和P（T）→ 0作为T→ 0、备注1。

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kedemingshi

2022-5-25 16:59:00

看涨期权和看跌亚式期权的价格与看跌期权平价asC（K，T）相关- P（K，T）=e-rT（A（T）- K）。（10）注意，作为T→ 0，A（T）=S+O（T）。因此，对于小到期制度，当且仅当K>Setc时，亚式看涨期权就不存在了。对于本文的其余部分，如果K>S（分别K<S），则称看涨亚式期权为货币外期权（分别货币内期权），如果K<S（分别K>S），则称看跌亚式期权为货币外期权（分别货币内期权），最后称其为货币内期权（分别K=S.2）。短期无本金亚洲期权。我们将使用大偏差理论计算T→ 0表示货币外亚洲期权的价格。定理2。假设（2）和（3）都成立。（i）对于无本金亚洲看涨期权，即K>S，（11）C（T）=e-TI（K，S）+o（T），as T→ 0.（ii）对于货币外看跌亚洲期权，即K<S，（12）P（T）=e-TI（K，S）+o（T），as T→ 0.其中，对于任何S，K>0，（13）I（K，S）：=信息（t）dt=Kg（0）=对数S，g∈交流[0,1]Zg（t）σ（eg（t））dt，其中AC[0，1]是[0，1]上绝对连续函数的空间。命题8将完全解决（13）中的变分问题。备注3。定理2和利率函数i（K，S）给出的小到期渐近与利率r和股息收益率q无关。这些数量仅对T→ 0扩展。这类似于当地波动率模型[4]中小到期欧洲期权的众所周知的BBF结果，该结果也独立于r，q。备注4。对于货币情况，即K=S，通过g（t）≡ 在（13）中，我们看到i（K，S）=0。

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大多数88

2022-5-25 16:59:03

事实上，定理6将给出货币短期亚洲期权更精确的渐近解。货币亚洲看涨期权和看跌期权短期到期的渐近性可以通过简单应用看跌期权平价，作为定理2中货币外情况结果的推论。短期亚洲期权5 Corrollary 5。假设（2）和（3）都成立。（i）对于货币内看涨期权，即K<S，（14）C（T）=S- K-（r+q）ST+KrT+O（T），作为T→ 0.（ii）对于货币内看跌期权，即K>S，（15）P（T）=K- S+（r+q）ST- KrT+O（T），作为T→ 0.2.3。在货币亚洲期权。当K=S时，亚洲看涨期权和看跌期权就是货币。我们得到以下结果：定理6。假设函数σ（s）s和σ（s）一致为Lipschitz，即存在α，β>0，因此对于任何x，y≥ 0，（16）|σ（x）x- σ（y）y |≤ α| x- y |，|σ（x）- σ（y）|≤ β| x- y |。（i）当K=S时，作为T→ 0，（17）C（T）=σ（S）S√T√6π+O（T）。（ii）当K=S时，作为T→ 0，（18）P（T）=σ（S）S√T√6π+O（T）。备注7。将定理6与定理2进行比较，我们发现货币外短期亚洲期权的渐近性受罕见事件（大偏差）的影响，而货币内短期亚洲期权的渐近性受典型事件（高斯波动）的影响。3、亚式期权的短时渐近变分问题我们在这一节中给出了定理2给出的缺钱亚式期权的短时渐近变分问题的解。下面的结果给出了解决方案。提案8。定理2中出现的速率函数I（K，S）由（19）I（K，S）=（F（+）（h）G（+）（h）K给出≤ S、 F级(-)（f） G级(-)（f） K级≥ S、这两种情况如下：（i）K≤ S

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2022-5-25 16:59:07

h类≥ 0是方程（20）KS的解- e-h=G（+）（h）F（+）（h），其中G（+）（h）=Zhσ（Se-y） pe公司-y- e-hdy，（21）F（+）（h）=Zhσ（Se-y）√e-y- e-hdy。（22）6 DAN PIRJOL和LINGJIONG ZHU（ii）K≥ S、 f级≥ 0由方程（23）ef的解给出-KS=克(-)（f） f级(-)（f），带G(-)（f） =Zfσ（Sey）pef- 艾迪，（24）F(-)（f） =Zfσ（Sey）√ef公司- 艾迪。（25）我们想进一步研究速率函数I（K，S）的性质。特别是，我们将表明，对于一般的局部波动率模型，速率函数I（K，S）在K中是连续的，当K>时，它在K中增加，当K<S时，它在K中减少。这是基于速率函数的另一种表示形式。提案9。（i）对于K>S，速率函数i（K，S）由（26）i（K，S）=infИ>K/S（G）给出(-)（Д））Д-KS，其中表示（27）G(-)（Д）=ZД√^1- zzσ（Sz）dz，Д≥ 1.（ii）对于K<S，速率函数I（K，S）由（28）I（K，S）=inf0<χ<K/S（G（+）（χ））KS给出- χ、其中，我们表示（29）G（+）（χ）=Zχ√z- χzσ（Sz）dz，0<χ≤ 1.备注10。在命题9的公式中，我们可以看到（26）和（28）中给出的速率函数在参数K中确实是连续的。利用命题9的结果，我们还可以证明：命题11。速率函数I（K，S）是K>K的单调递增函数，K<S的单调递减函数。布莱克-斯科尔斯模型。在Black-Scholes模型中，波动率为常数σ（S）=σ。速率函数I（K，S）的表达式很简单，由以下结果给出。提案12。Black-Scholes模型中亚式期权小到期渐近的比率函数为（30）IBS（K，S）=σJBS（K/S），短到期亚式期权70.2 0.4 0.6 0.810.050.10.150.20.250χ1.21.41.6 1.8 20.050.10.150.21.0Д图1。

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nandehutu2022

2022-5-25 16:59:12

对于K/S=0.7、0.8、0.9（左）和K/S=1.1、1.2、1.3（右），Black-Scholes模型（26）、（28）中σ=1的函数图。函数的上限给出了BS模型中的速率函数。式中，JBS（K/S）仅取决于K/Sand的比率，由（31）JBS（K/S）=（β）给出- βtanhβK≥ S2ξ（tanξ- ξ） K级≤ S、对于K≥ S、 β是方程（32）的解βsinhβ=KS，对于K≤ S、 ξ是方程（33）2ξsin（2ξ）=KS的区间[0，π]内的解。我们注意到，这两个方程（32）和（33）可以用一种共同的形式来表示，即z=2ξ=iβ。使用此表示法，速率函数为jbs（K/S）=z tan（z）-z、我们对函数JBS（K/S）进行了数值计算，该函数的图如图2所示。我们想找到Black-Scholes速率函数JBS（K/S）在ATM点K/S=1附近的级数展开式。β，ξ方程的解可以通过对k：=KS中的级数求逆得到-（32）和（33）为1。代入（31），我们得到了速率函数（34）JBS的展开式堪萨斯州=k-k+k-k+O（k）。类似的展开式可以从log strike x的幂中导出：=log（K/S）（35）JBS堪萨斯州=x个-x+x-x+O（x）。图2（右图）显示了通过保留级数展开式（35）中的前几项得到的速率函数JBS（K/S）的近似值。保持展开式（35）中的前四项与速率函数的精确结果相匹配，精度优于x=log（K/S）的1.2%∈ (-1.6、1.5）。8 DAN PIRJOL和LINGJIONG ZHU12 3450.511.522.53J（K/S）0BS0 K/S 0-2-101212345J（K/S）x=对数（K/S）BS00图2。Black-Scholes模型中亚式期权的利率函数JBS（K/S）。这与（30）中的IBS（K，S）有关。左：JBS（K/S）与K/S。右：功能JBS（K/S）与。

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2022-5-25 16:59:15

x=对数（K/S）（黑色）和泰勒级数，通过在（35）中将项保持在O（x）（红色虚线）和O（x）（蓝色虚线）以下获得。接下来，我们考虑速率函数JBS（K/S）的大/小罢工渐近性。这是由以下结果得出的。提案13。我们有JBS堪萨斯州=x+x对数（2x）- x+3对数（2x）- 2对数（2x）+O（x-1），K→ ∞2e类-x个- 2.-π+O（ex），K→ 0（36），x=对数（K/S）对数走向。3.2。一般局部波动模型。命题8给出了一般局部波动率函数σ（S）的速率函数I（K，S）。接下来，我们给出了I（K，S）级数展开式中前三项的明确结果，即对数走向x=对数（K/S）的幂。提案14。由命题8给出的速率函数I（K，S）级数展开式的前三项，对数走向的幂x=对数（K/S）areI（K，S）=bx个+--bb型x（37）++bb+bb-bb型x+O（x）.系数取决于局部波动率函数σ（S），由（38）Y（z）=z给出-1（z）=∞Xi=1bizi，这是函数（39）Z（y）=Zydwσ（Sew）的幂级数的反演=∞Xi=1aiyi，其中我们假设局部波动率函数σ（S）是充分正则的，因此所有必需的衍生工具都存在且是有限的。尤其是，展开式（37）要求σ（S）是可二次微分的。短期亚洲期权9备注15。对于Black-Scholes模型，我们有σ（S）=σ，它给出Z（y）=σy，而y（Z）=σZ。当j>1时，这给出b=σ，bj=0。这恢复了方程（35）中给出的Black-Scholes模型中速率函数的展开式。推论16。假设σ（·）是二次可微的。

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2022-5-25 16:59:19

局部波动率函数σ（S）的局部波动率模型（1）中亚洲期权的利率函数I（K，S）的展开式（37）以更明确的形式asI（K，S）=σ（S）给出x个+--Sσ（S）σ（S）x（40）+-Sσ（S）σ（S）+Sσ（S）σ（S）-Sσ（S）σ（S）！x+O（x））。这是通过注意系数Ai可以通过在y=0时取（39）y的导数来获得的。我们得到a=σ（S），（41）a=-Sσ（S）σ（S），（42）a=-Sσ（S）σ（S）+S[σ（S）]σ（S）-Sσ（S）σ（S）。（43）反转泰勒级数（39）我们发现系数bi:b=a=σ（S），（44）b=-aa=Sσ（S）σ（S），（45）b=2aa-aa=S[σ（S）]σ（S）+Sσ（S）σ（S）+Sσ（S）σ（S）。（46）代入（37），我们得到了LV模型中亚洲期权的利率函数的结果（40）为O（x），仅用ATM局部波动率及其衍生物表示。4、数学金融文献广泛研究了欧式期权的隐含波动率和数值测试简单波动率。由于缺乏一个简单的封闭式公式，如Black-Scholesmodel中的欧式期权，亚洲期权的隐含波动率研究较少。我们对本地波动率模型的亚式期权价格的短期期限渐近性的研究可以为亚式期权的短期期限隐含波动率提供一些线索。4.1。隐含波动率。隐含波动率σ被定义为恒定波动率，必须在Black-Scholes模型中用于亚洲期权，以使其价格与本地波动率模型中的亚洲期权价格相匹配。

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2022-5-25 16:59:24

也就是说，我们必须有（47）CBS（K，S，σ隐含，T）=C（K，S，T），10 DAN PIRJOL和LINGJIONG Zhu，其中C（K，S，T）=e-rTE[（TRTStdt- K） +]，其中用局部波动率σ（·）和CBS（K，S，σ隐含，T）=e来满足动力学（1）-rtE[（TRTStdt- K） +]，其中用σ（·）表示动力学（1）≡ σ隐含。亚式期权的隐含波动率定义得很好，这不是一个微不足道的事实。这源于这样一个事实，即Black-Scholesmodel中的亚洲期权的织女星总是正的，这在Carr等人[6]中得到了证明，因此，如果将其价格视为波动率的函数，则存在该函数的逆函数。当波动率参数σ从零增加到整数时，货币外亚洲期权的价格从CBS（K，S，0，T）=e-rT公司TRTSe（右-q） tdt公司- K+总有机碳（K、S、，∞, T）=e-rTTRTSe（右-q） tdt。因此，隐含波动率σ含义明确。注意，看到CBS（K，S，0，T）=e并不重要-rT公司TRTSe（右-q） tdt公司- K+但是CBS（K，S，∞, T）=e-rTTRTSe（右-q） tdt不那么琐碎，我们将在附录中的命题32中对此陈述给出严格的证明。根据定理2，对于货币外亚洲期权，我们可以得到隐含波动率σ隐含的短期期限限制。为了简单起见，我们只给出了caser=q=0的一个证明。我们预计，对于一般的r，q命题17，也会有同样的结果。假设r=q=0且（2）和（3）保持不变。（i） T→ 0本地波动率模型（1）中货币外亚洲期权的隐含波动率限值由（48）limT给出→0σ隐含（K，S，T）=JBS（K/S）I（K，S），其中I（K，S）在命题8中给出，JBS（K/S）在命题12中给出。（ii）在与定理6相同的σ（·）假设下，T→ 0本地波动率模型（1）中货币亚洲期权的隐含波动率限值由（49）limT给出→0σ隐含（K，S，T）=σ（S）。4.2。

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2022-5-25 16:59:28

亚洲期权的等价Black-Scholes和Bachelier波动率。我们可以定义亚洲期权的等价Black-Scholes波动率，即具有到期时间T和基础价值A（T）的欧洲（香草）期权的Black-Scholes价格复制具有相同到期时间T的亚洲期权价格的波动率值。我们将该波动率表示为∑LN（K，S，T）。我们有thusC（K，S，T）=e-rT[A（T）Φ（d）- KΦ（d）]（50）P（K，S，T）=e-rT[KΦ(-d）- A（T）Φ(-d） ]其中A（T）在（9）中给出，d1,2=∑LN√T（对数（A（T）/K）±∑LNT）。我们注意到，这是一个自然的定义，因为a（T）是亚洲期权E（TRTStdt）基础的远期价格。使用（50）确保亚洲期权（10）的看跌期权平价成立；例如，如果使用sin代替A（T），这将不成立。该关系式（50）还可以正确地得出零敲打K=0的亚洲看涨期权的价格：C（0，S，T）=e-rTE【TRTStdt】=e-rTA（T）。根据Bachelier期权定价公式，可以定义anAsian期权的类似等价正态波动率∑N（K，S，T）。短期亚洲期权11任何亚洲看涨期权价格C（K，S，T）满足边界（A（T））的情况下，存在（50）中定义的等效对数正态波动率∑ln- K）+≤ erTC（K、S、T）≤ A（T）[43]。在局部波动模型（1）下，亚洲期权的这些界限确实是满足的。下限由Payoff（x）的凸性满足- K） +，上界从（x）开始- K）+≤ x、虽然亚式期权在实践中是按价格报价的，而非隐含波动率，但这种等价波动率是亚式期权价格短期到期渐近性的一种方便表示。此外，他们还给出了命题8中亚式期权的小到期渐近性的自然公式，这相当于这些波动性的小到期限制。

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2022-5-25 16:59:32

根据隐含波动率的BBF公式，这一结果在某种程度上类似于局部波动率模型中欧洲期权的小到期渐近表示。定理2中给出的货币外亚式期权的短期渐近性为局部波动率模型（1）中亚式期权的等效波动率提供了以下短期渐近性。为了简单起见，我们只证明了r=q=0的情况。我们预计，对于一般的r，q命题18，也会有同样的结果。假设r=q=0且（2）和（3）保持不变。（i）短时限T→ 货币外亚洲期权的Black-Scholes等价波动率的0由（51）limT给出→0∑LN（K，S，T）=对数堪萨斯州I（K，S），Bachelier等效波动率的相应结果为（52）limT→0∑N（K，S，T）=堪萨斯州- 1.I（K，S），其中I（K，S）在命题8中给出。（ii）在定理6关于σ（·）的假设下，短时限T→ 货币价值亚洲期权的BlackScholes等价波动率的0由（53）limT给出→0∑LN（K，S，T）=√σ（S），Bachelier等效波动率的相应结果为（54）limT→0∑N（K，S，T）=√σ（S）S。在Black-Scholes模型中，我们可以使用命题12中导出的速率函数JBS（K/S）的结果，得到等效波动率的明确结果。表示相应的等效挥发度∑（BS）LN和∑（BS）N。它们关于对数走向x=对数（K/S）幂的ATMpoint展开式为（55）∑（BS）LN（K/S）=√σ1+x-x+x+O（x）,k=k/S的幂- 1，分别为（56）∑（BS）N（K/S）=√σS1+k-k+k+O（k）.12 DAN PIRJOL和LINGJIONG Zhu使用方程（40），我们可以得出更一般的局部波动函数σ（S）的类似结果。

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2022-5-25 16:59:35

从对数打击幂的比率函数泰勒展开式的前三项中，我们可以得到ATM等效波动率、ATM点的倾斜和微笑凸性的明确结果。我们用∑LN（N）（K，S）表示limt→0∑LN（N）（K，S，T）。提案19。假设σ（·）是二次微分。小额到期限额T→ 在局部波动率模型（1）中，亚洲期权的对数正态等效波动率的0在ATM点∑LN（K，S）附近具有x=对数（K/S）的扩展=√σ（S）1个++Sσ（S）σ（S）x（57）+-+Sσ（S）σ（S）-Sσ（S）σ（S）+Sσ（S）σ（S）！x+O（x））。亚式期权的正常等价波动率的相应展开式具有k=KS的展开式- ATM点周围1∑N（K，S）=√Sσ（S）1个++Sσ（S）σ（S）k（58）+-+Sσ（S）σ（S）-Sσ（S）σ（S）+Sσ（S）σ（S）！k+O（k））。命题19的结果类似于vanillaEuropean期权隐含波动率的不相关局部随机波动率模型[24]中隐含波动率的扩展，参见[24]中的定理4.1，给出了小时间隐含波动率的水平、斜率和凸性。事实上，这一结果允许直接从可观察到的欧洲波动率偏斜中定价亚洲期权，假设局部波动率动态，但不假设特定形式的局部波动率函数！结合命题19的结果和当地波动率模型中欧洲期权ATM倾斜的著名结果，参见例[24]，我们得到：备注20。短期到期限额中，ATM亚洲卷=√· ATM欧洲卷，（59）ATM亚洲斜斜率=√·· ATM European vol+·ATM European skew,（60）坡度与原木货币有关。4.3。数值试验。

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2022-5-25 16:59:38

在这一节中，我们对本文中得到的亚式期权的短期到期渐近结果进行了一些数值检验。对于ATM亚式期权，我们有定理6的结果，它可以直接用于获得价格。对于货币外的亚式期权，我们得到了定理2的渐近结果。在实践中，我们发现使用该结果可以方便地获得亚洲期权的短期到期等价对数正态波动率∑LN（K，S）（或正态波动率∑N（K，S）），如命题18所示。短期亚洲期权13表1。通过BS模型中的MCsimulation（括号内为1个stdev）获得的到期日为T=0.5、1、2年的亚洲看涨期权（上限）和看跌期权（下限）的数值结果和参数（61），并与（50）给出的综合结果Cas（K）、Pas（K）进行比较。

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2022-5-25 16:59:41

最后一列给出了亚式期权∑（BS）LN的渐近等价对数正态波动率。T=0.5 T=1 T=2K MC（n=800）Cas（K）MC（n=800）Cas（K）MC（n=800）Cas（K）MC（n=800）Cas（K）∑（BS）LN100 4.8871（0.0078）4.8830 6.9037（0.0115）6.9013 9.7417（0.0155）9.7477 17.32%105 2.9205（0.0062）2.9188 4.8848（0.0098）4.8847 7.7268（0.0155）7.7382 17.41%110 1.6372（0.0046）1.6388 3.3689（0.0083）3.3715 6.0737（0.0139）6.0826 17.48%115 0.8650（0.0033）0.8671 2.2698（0.0068）2.2745 4.7370（0.0124）4.7505 17.56%120 0.4336（0.0023）0.4351 1.4980（0.0055）1.5033 3.6692（0.0110）3.6835 17.63%125 0.2075（0.0016）0.2081 0.9715（0.0045）0.9758 2.8254（0.0098）2.8414 17.70%130 0.0949（0.0011）0.0953 0.6201（0.0036）0.6234 2.1657（0.0086）2.1790 17.76%K MC（n=800）Pas（K）MC（0 n=800）Pas（K）MC（n=800）Pas（K）∑（BS）LN70 0.0034（0.0001）0.0035 0.0810（0.0007）0.0809 0.5580（0.0024）0.5596 16.68%75 0.0264（0.0004）0.0263 0.2579（0.0014）0.2580 1.1220（0.0036）1.1250 16.81%80 0.1296（0.0009）0.1295 0.6608（0.0025）0.6609 2.0100（0.0050）2.0167 16.92%85 0.4548（0.0018）0.4543 1.4221（0.0038）1.4237 3.2880（0.0067）3.2984 17.03%90 1.2187（0.0031）1.2190 2.6671（0.0054）2.6711 4.9963（0.0085）5.0095 17.14%95 2.6475（0.0048）2.6494 4.4820（0.0072）4.4877 7.1464（0.0103）7.1628 17.23%100 4.8789（0.0066）4.8830 6.8928（0.0090）6.9013 9.7280（0.0121）9.7477 17.32%命题18给出的等效对数正态波动率∑ln可用于（50）中的Black-Scholes定价公式中，以计算亚洲期权价格。虽然这种方法在期权价格中引入了不受定理2渐近结果约束的次级条款，但我们将证明它给出的预测与亚式期权价格的数值模拟非常一致。接下来，我们以Black-Scholes模型中的亚式期权为例，考虑渐近定价公式的一些数值检验。

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2022-5-25 16:59:44

第一个测试假设模型参数（61）r=q=0，S=100，σ=30%。在表1中，我们显示了期限为T=0.5、1、2年的无本金看涨期权和看跌期权的价格，并将蒙特卡罗计算结果与（50）中给出的综合结果Cas和Pas进行了比较。蒙特卡罗模拟在N=10条路径下进行，时间线离散化为N=800个时间步。短期成熟度渐近结果和Monte Carlo计算结果非常吻合。对于T=0.5，1，渐近结果始终在MC结果的一个标准偏差（68%CL）内，对于T=2，渐近结果始终在两个标准偏差（95%CL）内。我们还将其与[27]中提出的基准情景进行了比较，这些情景在亚洲期权定价的文献中普遍使用[11、14、39、26、50]。我们在14中展示了DAN PIRJOL和LINGJIONG ZHUTable 2。[27，39]中考虑的基准情景下Black Scholes模型中亚洲看涨期权的数值结果。最后4列显示：a）本文渐近展开（50）的结果（PZ），b）Foschi等人[26]（FPP3）提出的三阶近似，c）Levy近似[38]，d）使用[39]中的光谱展开进行精确评估。r T SKσPZ FPP3 Levy Linetsky0.02 1 2 2 0.1 0.055923 0.055986 0.056054 0.0559860.18 1 2 0.3 0.217054 0.218387 0.219829 0.2183870.0125 2 2 0.25 0.1721636 0.172267 0.173490.1722690.05 1 1 1.9 2 0.5 0.192895 0.193164 0.195379 0.1931740.05 1 2 0.5 2 0.5 0.246406 0.249791 0.2464160.05 1 2.1 2 0.5 0.305927 0.306210 0.310646 0.3062200.05 2 2 0.5 0.349314 0.350040 0.359204 0.350095表2对于[27]中提出的情形，从（50）中获得的亚式期权渐近近似的数值结果。

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大多数88

2022-5-25 16:59:47

将其与使用光谱展开得到的[39]的非常精确的结果以及简单的Levyapproximation[38]进行比较。渐近结果在所有情况下都优于Levyapproximation，并且在所有情况下与[39]结果的一致性都优于0.7%。数值试验表明，本文的短期限渐近结果可以很好地逼近具有实际应用相关期限的亚式期权价格。5.浮动行使亚式期权的渐近性在金融文献中，标准亚式期权有许多变体，其中最常用的是所谓的浮动行使亚式期权。FloatingStrike亚洲看涨期权/看跌期权的价格由cf（T）：=e给出-rTE“κST-TZTStdt+#,（62）Pf（T）：=e-rTE“TZTStdt- κST+#,（63）其中κ>0是走向，参见例如[38、41、2、9、42、35]。与固定履约情况相比，浮动履约亚洲期权的定价更加困难，因为需要标准的联合法则，以及在数量变化后浮动履约亚洲价格满足的一维偏微分方程，因为Dirac delta函数似乎是一个系数，所以很难进行数值解算，参见[42，2]。当k<1时，看涨期权为OTM，看跌期权为ITM；当κ>1时，看涨期权为ITM，看跌期权为OTM；当k=1时，买入/卖出期权为ATM。我们对短期到期感兴趣，即。

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2022-5-25 16:59:52

T→ 0这些选项的渐近性。对于Black-Scholes模型，Henderson和Wojakowski【35】表明，具有连续时间平均的浮动罢工亚式期权可以与固定罢工期限亚式期权15年期相关-rTE[（κST- AT）+]=e-qTE公司*[（κS- AT）+]，（64）e-rTE[（在- κST）+]=e-qTE公司*[（位于- κS）+]。右侧的期望值是针对不同的度量值Q得出的*,其中，资产价格STI由过程（65）dSt=（q）给出- r） Stdt+σStdW*t、带W*Q中的ta标准布朗运动*测量然而，在我们的局部波动率模型的一般设置中，等价关系（64）并不成立，因此，浮动行使亚洲期权的渐近性必须独立于固定行使亚洲期权的渐近性。但不难观察到，相同的技术，即大偏差、变分法、高斯逼近法，用于获得已执行的风险亚洲期权的短期成熟度渐近，只需对浮动走向期权稍加修改即可应用。为了简单起见，我们只在附录中提供一个证明的草图。提案21。（i）在与定理2相同的假设下，当κ<1时，Cf（T）=e-TIf（κ，S）+o（T），（66）Pf（T）=（1- κ） S-S（r+q）T+κSqT+O（T），（67）作为T→ 0，其中（68）If（κ，S）=infrag（t）dt=κeg（1）g（0）=log S，g∈交流[0,1]Zg（t）σ（eg（t））dt。（ii）在与定理2中相同的假设下，当κ>1时，Pf（T）=e-TIf（κ，S）+o（T），（69）Cf（T）=（κ- 1） S+S（r+q）T- κSqT+O（T），（70）作为T→ 0，其中（68）中定义了IFI。（iii）在与定理6相同的假设下，当κ=1，（71）limT→0√TCf（T）=极限→0√TPf（T）=√6πσ（S）S。对于一般的局部波动函数σ（S），速率函数If（κ，S）由以下结果给出：命题22。

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nandehutu2022

2022-5-25 16:59:56

如果（κ，S）=λ（κ），则浮式亚式期权的短到期渐近命题21中变分问题的解由（72）给出- 1） ef+λκe2fσ（Sef），其中f=f（1），f（t）由微分方程（73）ddt的解给出f（t）σ（Sef（t））= λef（t）σ（Sef（t）），16 DAN PIRJOL和LINGJIONG ZHUwith（74）λ=21- ef（1）是[f]{是[f]- 2κefσ（Sef）}，Is[f]=Zdsef（s）σ（Sef（s）），边界条件（75）f（0）=0，f（1）=λκefσ（Sef）。我们在下文简要概述了一种可能的数值方法，用于解决该计算问题，并确定给定局部波动函数σ（S）的利率函数If（κ，S）。这可以简化为求解变量λ的非线性方程。对于给定的λ值，可以用边界条件（75）数值求解Euler-Lagrange方程（73），并找到（非最优）函数f（t）。使用此函数，我们可以计算积分为[f]，并计算（74）中λ的表达式。要求（74）中λ的结果与输入值相同，确定该变量的值，从而确定最佳函数f（t）。λ的这个方程可以通过扫描λ来求解。对于Black-Scholes模型σ（S）=σ的极限情况，可以精确地找到速率函数If（κ，S），并且与命题12中给出的Black-Scholes速率函数JBS（K/S）有关。提案23。在Black-Scholes模型中，如果（κ）=infeh（t）dt=κh（0）=0，h，则浮动走向亚洲期权的利率函数由（76）给出∈AC[0,1]2σZ（h（t））dt=σJBS（κ），其中JBS（κ）是（31）中Black-Scholes模型中固定行使亚洲期权的利率函数。备注24。注意，对于Black-Scholes模型，If（κ，S）独立于Sand，因此我们在（76）中使用If（κ）表示法。备注25。关系（76）与等价关系（64）一致。

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2022-5-25 17:00:00

如前所述，亚式期权的短期到期渐近性与利率r和股息收益率q无关，因此在该极限下，关系（64）中的预期采用相同的度量。这意味着在短期到期期限内，固定和浮动行使亚洲期权彼此相等，直至替代K/S7→ κ。将Black-Scholes模型中的这一显式解与命题22的结果进行比较是有益的。对于常数波动率函数σ（S）=σ的情况，关系式（74）简化为（77）λBS（κ）=σκe-2f（1）（ef（1）- 1） =σκe2h（1）（e）-h（1）- 1）。式中，h（t）=f（1- t）- f（1）是（76）中等价变分问题的解。这与（235）中给出的辅助变量问题（76）的拉格朗日乘子λ的解一致。λBS（κ）（σ=σ（S））值可作为扫描一般局部波动模型变量问题数值解中λ值的起点。短期亚洲期权176。附录6.1。大偏差原则和收缩原则。我们首先给出大偏差原则的正式定义。我们参考Dembo和Zeitouni【12】或Varadhan【48】，了解大偏差的一般背景和应用。定义26（大偏差原则）。A序列（P)∈拓扑空间X上概率测度的R+满足率函数I:X的大偏差原理→ Rif I是非负的，下半连续的，对于任何可测集A，我们有（78）- infx公司∈AoI（x）≤ lim inf→0 日志P（A）≤ lim sup公司→0 日志P（A）≤ - infx公司∈AI（x）。这里，AO是A的内部，A是它的闭包。收缩原理在我们的证明中起着关键作用。为方便读者，我们将结果陈述如下：定理27（收缩原理，例如定理4.2.1[12]）。

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kedemingshi

2022-5-25 17:00:04

如果P用速率函数I（X）和F:X满足X上的大偏差原理→ Y是连续映射，则概率度量Q:= PF-1用速率函数（79）J（Y）=infx:F（x）=yI（x）满足Y的大偏差原则。6.2。第2节中结果的证明。定理2的证明。（i）我们首先证明关系极限→0T对数C（T）=极限→0T日志PTZTStdt≥ K.（80）通过H¨older不等式，对于任意p+p=1，p，p>1，C（T）≤ e-rTE公司TZTStdt- KTRTStdt公司≥K（81）≤ e-rTE“TZTStdt- Kp#！聚丙烯TZTStdt≥ Kp、（82）假设p≥ 2、注意，对于p≥ 2，x 7→ xp是x的凸函数≥ 0和Jensen不等式，（x+y）p≤xp+yp对于任何x，y≥ 0、因此“TZTStdt- Kp#≤ E“TZTStdt+Kp#（83）≤ 2p级-1“E”TZTStdtp#+KP#。再看Jensen不等式，（84）E“TZTStdtp#≤ ETZTSptdt=TZTE【Spt】dt。18 DAN PIRJOL和LINGJIONG ZHUBy It^o公式，（85）d（Spt）=pSp-1t[（r- q） Stdt+σ（St）dWt]+p（p- 1） Sp公司-2tσ（St）Stdt。取方程（85）两侧的期望值，（86）dE【Spt】=p（r- q） E【Spt】dt+p（p- 1） E[标贯σ（St）]dt。自σ起≤ σ（·）≤ σ、我们得出结论，E【Spt】≤ m（t），其中m（t）是ODE的解：（87）dm（t）=p（r- q） m（t）dt+p（p- 1） σm（t）dt，m（0）=Sp，其解m（t）=Spe（p（r-q） +p（p-1） σ）t.因此，（88）TZTE【Spt】dt≤ 最大值0≤t型≤Tm（t）≤ Spe | p（r-q） +p（p-1） σ| T。因此，根据方程式（83）、（84）、（88），我们有（89）lim supT→0T日志C（T）≤ lim支持→0pT日志PTZTStdt≥ K.因为它适用于任何2>p>1，所以我们有上限。对于任何 > 0，C（T）≥ e-rTE公司TZTStdt- KTRTStdt公司≥K级+（90）≥ e-rT公司PTZTStdt≥ K+,这意味着（91）lim infT→0T日志C（T）≥ lim信息→0T日志PTZTStdt≥ K+.因为它适用于任何 > 0，我们得到下限。所以问题归结为计算极限（92）limT→0T日志PTZTStdt≥ K= 限制→0T日志PZStTdt≥ K.设Xt：=对数St。

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2022-5-25 17:00:07

这相当于计算极限（93）limT→0T日志PZeXtTdt公司≥ K,其中，由它^o引理，（94）dXt=r- q-σ（外部）dt+σ（eXt）dWt，X=log S。根据小时间差的大偏差理论，Varadhan[47]首次证明，在假设（2）、（3）下，P（X·T∈ ·) 满足L上的样本路径大偏差原理∞[0，1]，速率函数（95）I（g）=Zg（t）σ（eg（t））dt。短期亚洲期权19，g（0）=对数砂g∈ AC[0，1]，绝对连续函数空间andI（g）=+∞ 否则注意地图g 7→Reg（x）dx来自L∞[0，1]到R+是一个连续映射。因此，根据收缩原理（定理27），P（ReXtTdt∈ ·) 满足率函数（96）I（x，S）的大偏差原则：=infReg（t）dt=xg（0）=log S，g∈交流[0,1]Zg（t）σ（eg（t））dt。因此，对于现金买入期权，即S<K，（97）limT→0T日志PTZTStdt≥ K= - infx公司≥KI（x，S）=-I（K，S），其中最后一步是由于K>S时I（K，S）在K中增加，参见位置11。（ii）我们通过证明亚洲看跌期权与（80）的类似关系得出结论，即对于货币外看跌期权，S>K，我们将证明（98）limT→0T日志PK≥TZTStdt= -I（K，S）。根据H¨older不等式，对于任意p+p=1，p，p>1，p（T）=e-rTE“K-TZTStdt+K≥TRTStdt#（99）≤ e-rTE“K-TZTStdt+!p#！聚丙烯K≥TZTStdtp≤ e-rTKPK≥TZTStdtp、因此，lim支持→0T日志P（T）≤ -pI（K，S）。由于它适用于任何p>1，我们证明了上界。对于下限，对于任何足够小的 > 0，P（T）≥ e-rTE公司K-TZTStdtK≥TRTStdt公司+（100）≥ e-rT公司PK≥TZTStdt+,这意味着lim infT→0T日志P（T）≥ -I（K- , S）。通过出租 ↓ 0，并且速率函数I（K，S）在K中是连续的，参见命题9和备注10，我们证明了下界。20 DAN PIRJOL和LINGJIONG Zhu推论5的证明。

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2022-5-25 17:00:10

（i）来自put调用奇偶校验，C（T）- P（T）=e-rTE公司TZTStdt- K（101）=e-rT公司TZTe（右-q） tSdt- K=（e）-rT[秒- K] 如果r=qe-rThT（r-q） [e（r-q） T型- 1] S- Kiif r 6=q=（[S- K] （1）- r=qS时，rT）+O（T）- K-（r+q）ST+KrT+O（T），如果r 6=q，则为T→ 因此，对于货币看涨期权，即S>K，从定理2，我们得到C（T）=S- K-（r+q）ST+KrT+O（T）作为T→ 0.（ii）对于货币认沽期权，即S<K，根据（i）和定理2，我们得到P（T）=K- S+（r+q）ST- KrT+O（T）作为T→ 0定理6的证明。（i）对于货币买入期权，（102）C（T）=e-rTE“TZTe（右-q） tXtdt公司- S+#,其中Xt：=Ste（r-q）这是一个鞅，满足SDE：（103）dXt=σ（Xte（r-q） t）XtdWt，X=S。权利要求1。作为T→ 0，（104）E“TZTe（右-q） tXtdt公司- S+#- E“TZTXtdt- S+#= O（T）。让我们证明（104）。E“TZTe（右-q） tXtdt公司- S+#- E“TZTXtdt- S+#（105）≤ E“TZTe（右-q） tXtdt公司- S+-TZTXtdt- S+#≤ E坦桑尼亚先令e（r-q） t型- 1.Xtdt公司= STZT | e（r-q） t型- 1 | dt=STZT（e（r-q） t型- 1） dt公司= Se（r-q） T型- 1（右- q） T型- 1..短期亚洲期权21因此，我们证明了（104）。接下来，让我们定义满足SDE的^Xt：（106）d^Xt=σ（S）SdWt，^X=S。权利要求2。（107）E最大值0≤t型≤T | Xt-^Xt|= O（T），作为T→ 让我们证明（107）。注意（108）Xt-^Xt=Zthσ（Xse（r-q） s）Xs- σ（S）SidWs。根据It^o等距和统一Lipschitz假设，E[（Xt-^Xt）]（109）=中兴通讯σ（Xse（r-q） s）Xs- σ（S）Sds公司≤ 2ZtEh（σ（Xs）Xs）- σ（S）S）ids+2ZtEσ（Xse（r-q） s）Xs- σ（Xs）Xsds公司≤ 2α中兴通讯[（Xs- S） ]ds+2βZt（e（r-q） s- 1） E[Xs]ds≤ 4α中兴通讯[（Xs-^Xs）]ds+4α中兴通讯[（^Xs]- S） ]ds+2βZt（e（r-q） s- 1） E[Xs]ds。请注意，^Xs=S+σ（S），因此E[（^Xs- S） ]=σ（S）Ss。（110）|σ（x）x |=|σ（x）x- 0σ（0）|≤ α| x |因此σ（x）≤ α。自Xt起-Xis是从0开始的鞅，根据Burkholder-Davis-Gundy不等式，我们得到[（Xt- 十） ]≤ CE[（hXit）]，对于某些常数C>0，其中hXit=Rtσ（Xse（r-q） s）Xsds是Xt的二次变量。

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kedemingshi

2022-5-25 17:00:14

利用Cauchy-Schwarz不等式，我们得到[（Xt- 十） ]≤ CE“Ztσ（Xse（r-q） s）XSD#≤ CE公司Ztσ（Xse（r-q） s）DSZTXSD.自σ（·）≤ α和E【Xt】≤ 8X+8E[（Xt-十） [（自（X+y）起）≤x+y对于任意x，y≥ 0）X=S，我们得到，对于任何足够小的t，比如t≤ 1，E[文本]≤ 8S+8CαZtE[Xs]ds，Gronwall不等式表明，如果β（·）是非负的，并且对于任何t≥ 0，u（t）≤ α（t）+Rtβ（s）u（s）ds，然后（111）u（t）≤ α（t）+Ztα（s）β（s）eRtsβ（r）drds。22 DAN PIRJOL和LINGJIONG Zhu因此，根据Gronwall不等式，我们可以得到任何非常小的t，E[Xt]≤ 因此，存在一个常数γ>0，因此（112）2βZt（e（r-q） s- 1） E[Xs]ds≤ 16βSe8CαtZt（e（r-q） s- 1） ds公司≤ γt，对于任何非常小的t>0。插入（109），我们得到（113）E[（Xt-^Xt）]≤ 4α中兴通讯[（Xs-通过Gronwall不等式，我们得到了[（Xt-^Xt）]≤ [2ασ（S）S+γ]t+4αZt[2ασ（S）S+γ]se4α（t-s） ds（114）≤ [2ασ（S）S+γ]t+αte4αt.因此，我们得出结论，存在一些普适常数M>0，因此对于任何非常小的T>0，（115）E[（XT-^XT）]≤ MT.最后注意到Xt-^Xtis是一个鞅，因为Xtand^Xtare都是鞅。根据Doob鞅不等式，对于非常小的T>0，（116）E最大值0≤t型≤T | Xt-^Xt|≤ 2.E[（XT-^XT）]≤ 2.√因此，我们证明了（107）。权利要求3。对于T→ 0，（117）E“TZTXtdt- S+#- E“TZT^Xtdt- S+#= O（T）。让我们证明一下（117）。E“TZTXtdt- S+#- E“TZT^Xtdt- S+#（118）≤ ETZTXtdt-TZT^Xtdt≤ E最大值0≤t型≤T | Xt-^Xt|.因此，（117）来自（107）。权利要求4。（119）E“TZT^Xtdt- S+#= σ（S）S√T√E[Z1Z>0]，短期亚洲期权23，其中Z~ N（0，1）。让我们证明一下（119）。注意，^Xt=S+σ（S）SWt。因此，（120）TZT^Xtdt- S=σ（S）STZTWtdt~ N0，σ（S）ST.因此，我们证明了（119）。实际上，我们可以计算出（121）E[Z1Z>0]=√2πZ∞xe公司-xdx公司=√2π。最后，将（104）、（107）、（117）、（119）和（121）放在一起，我们证明了desiredresult。（ii）对于货币认沽期权，证明类似于（i）且省略。6.3。

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2022-5-25 17:00:17

第3节中结果的证明。命题8的证明。这里我们给出变分问题（122）命题8中变分问题解的证明。通过引入定义为g（t）=log S+f（t）的函数f（t），可以简化该变分问题。用该函数表示，变分问题表示为：（122）I（K，S）=inffZf（t）σ（Sef（t））dt，其中f（t）∈ AC[0，1]满足f（0）=0和（123）Zef（t）dt=KS。通过引入拉格朗日乘子λ并考虑泛函（124）∧【f】=Z的变分问题，可以考虑约束（123）f（t）σ（Sef（t））dt+λZef（t）dt-堪萨斯州.边界条件f（0）=0。首先，我们回顾了变分法中一个众所周知的结果，见第。四、 [10]中的5，以代表本文所遇到的变分问题的形式陈述。引理28。考虑寻找泛函（125）∧[x]=ZT的极值的变分问题x（t）∑（x（t））dt公司-ZTV（x（t））dt- f（x（T）），其中∑（x），V（x）是满足约束条件（126）x（0）=x的函数集x（T）上的c函数。最优函数x（T）满足Euler-Lagrange方程（127）ddtx（t）∑（x（t））= -V（x（t））∑（x（t）），边界条件（126）在t=0，横截性条件（128）x（t）=f（x（t））∑（x（t））在t=t。24 DAN PIRJOL和LINGJIONG ZHUProof。定义x（t）作为最优函数x（t）（129）x的扰动（t） =x（t）+η（t），其中η（t）∈ Cis是一个在t=0时消失，但在t=t（130）η（0）=0时不受约束的函数。∧[x]在x（t）上有极值的一个必要条件是我们有dd∧[x]|=0=ZTx（t）∑（x（t））η（t）dt（131）-ZT公司[x（t）]∑（x（t））∑（x（t））+V（x（t））η（t）dt- f（x（T））η（T）=ZTη（T）-滴滴涕x（t）∑（x（t））-[x（t）]∑（x（t））∑（x（t））∑（x（t））∑（x（t））- V（x（t））dt+η（T）x（T）∑（x（T））- f（x（T））= 0对于满足约束（130）的任何η（t）。

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