我们将证明速率函数为（147）I（K，S）=F（+）（h）G（+）（h），其中h=-f（1）>0由方程（148）KS的解给出- e-h=G（+）（h）F（+）（h），其中G（+）（h）=Zh∑(-y） pe公司-y- e-hdy，（149）F（+）（h）=Zh∑(-y）√e-y- e-hdy。（150）短期亚洲期权27Proof。证明遵循与前一种情况相同的方法，使用关系式（139）来消除f（t）。速率函数isI（K，S）=Zf（t）σ（Sef（t））dt（151）=Zff（t）f（t）σ（Sef（t））df=-rλZf∑（y）pey- efdy=rλZh∑(-y） pe公司-y- e-hdy公司≡rλG（+）（h）。以与（146）类似的方式推导第二个方程，并且reads1=Zdt=Zff（t）df=-√2λZf∑（y）√ey公司- efdy（152）=√2λZh∑(-y）√e-y- e-hdy公司≡√2λF（+）（h）。消除这些方程之间的λ，我们得到结果（147）。方程式（148）通过写入i（K，S）=λ从（137）推导而来堪萨斯州- e-h类=F（+）（h）G（+）（h），（153）并使用λ=（F（+）（h））。命题9的证明。（i） K>S。（26）中函数最小值的条件为（154）ddД（G(-)（Д））Д-KS=2G(-)（Д）F(-)（Д）Д-堪萨斯州- （G）(-)（Д））（Д）-KS）=0，其中我们引入了（155）ddДG(-)（Д）=F(-)（Д），带（156）F(-)（Д）=ZДZσ（Sz）√^1- zdz，^1≥ 1.方程（154）给出了函数具有极值（157）的值ν-KS=克(-)（Д）F(-)（^1）。这与等式（23）相同，标识为Д=ef，和G(-)（Д）=G(-)（f） ，f(-)（Д）=F(-)（f） 。28 DAN PIRJOL和LINGJIONG Zhu将方程（157）代入（26），我们得到了速率函数（158）I（K，S）=G(-)（Д）F(-)（^1）。这与K的速率函数的结果（19）一致≥ S、 （ii）K<S。（28）中函数极值的条件为（159）KS- χ=G（+）（χ）F（+）（χ），其中我们定义了（160）ddχG（+）（χ）=-F（+）（χ），其中（161）F（+）（χ）=ZχZσ（Sz）√z- χdz，0<χ≤ 1.方程式（159）与方程式（20）相同，标识χ=e-h、 G（+）（χ）=G（+）（h），F（+）（χ）=F（+）（h）。

将该方程代入（28），我们得到的速率函数为（162）I（K，S）=G（+）（χ）F（+）（χ），这与（19）中K的结果一致≤ S命题11的证明。证明基于引理30和引理31。i） K>S。我们将使用表示（26）证明速率函数i（K，S）是K>S时K的单调递增函数。首先，我们证明函数（G(-)（Д））满足引理30中出现的f（x）所需的技术条件：为正值，且在Д>1时增加，并且在ДasД中具有超线性增长→ ∞. 正性条件来自定义，递增性来自积分F的正性(-)（^1）由（156）定义。我们接下来证明超线性增长条件为→ ∞. 在Black-Scholes模型中，函数G(-)（Д）可精确计算，由（163）G给出(-)BS（~n）=σZ~nZ√^1- zdz=σ√νarctanhr^1- 1^1-p^1- 1..对于^1→ ∞ 这有渐近表达式（164）G(-)BS（Д）=σ(√Дlog（4Д）- 2.√Д+O（1）），Д→ ∞.这里我们使用了大变元arctanh函数的渐近展开式（165）arctanh（1- x） =-对数（x/2）+O（1），x→ 0+。渐近展开式（164）表明（G(-)BS（Д））比线性增长快→ ∞.这确保了有限解x的存在*BS模型中的方程式（173）。这些结果也适用于具有局部波动函数σ（S）的一般局部波动模型≤ σ从上面有界，因为这意味着函数（G）的下界(-)（Д））具有与Д相同的生长特性→ ∞ 与上述BS模型中获得的结果相同。短期亚式期权29ii）K<S。使用利率函数的表示（28），我们从引理31中得出，I（K，S）是K的递减函数，0<K<S。

函数（G（+）（χ））满足引理31中f（x）的技术条件：正性来自其定义，0<χ<1的递减性来自（161）中定义的积分f（+）（χ）的正性。引理31的适用性还要求在下边界处未达到in（161）的上限。我们首先考虑Black-Scholes模型，其中函数G（+）（χ）可以精确计算，由（166）G（+）BS（χ）=σZχZ给出√z- χdz=σp1级- χ-√χarctanrχ- 1..函数F（+）BS（χ）由（167）F（+）BS（χ）=-2ddχG（+）BS（χ）=σ√χarctanrχ- 1.其渐近表达式为χ→ 0（168）F（+）BS（χ）=πσ√χ+O（1），χ→ 0。因此我们有（169）limχ→0ddχ（G（+）BS（χ））=-∞,我们使用limχ的地方→0G（+）BS（χ）=σ<∞.这意味着函数（G（+）BS（χ））满足引理31中f（x）所需的条件（182），这有助于确保在下二元a处不达到最大值。我们得出结论，引理31的陈述适用于BS模型。这些结果也适用于具有局部波动函数σ的一般局部波动模型≤ σ（S）≤ σ从下方和上方界定。σ（S）的上界表示F（+）（χ）的下界，σ（S）的下界表示G（+）（0）的上界。这些条件共同确保结果（169）也适用于一般波动率模型。引理30。设f（x）为正增函数f（x）>0，f（x）>0，定义（170）f（z）=infx>zf（x）x- z.此外，假设f（x）的增长速度比x快→ ∞. 那么F（z）是一个正的递增函数（171）F（z）>0，F（z）>0。证据F（z）定义中出现的函数极值条件为（172）F（x）x- z-f（x）（x）- z） =0。30 DAN PIRJOL和LINGJIONG Zhu表示方程x的解*.

明确表示为（173）x*- z=f（x*)f（x*).该方程将有一个z<x的解*< ∞ 如果f（x）的增长速度快于线性asx→ ∞. 这确保了在x处不会达到in（170）的上限→ ∞.代入（170）我们得到（174）F（z）=F（x*) > 0，我们使用f（x*) > 为了证明F（z）>0的性质，我们计算了关于z（175）F（z）=F（x）的导数*)dx公司*dz=f（x*)（f（x*))f（x*)f（x*)> 0。第二个等式是通过对zdx取（173）的导数得到的*dz公司- 1=ddzf（x*)f（x*)=ddx公司f（x*)f（x*)dx公司*dz（176）=（f（x*))- f（x*)f（x*)（f（x*))dx公司*DZ给出（177）dx*dz=（f（x*))f（x*)f（x*).不等式（175）证明了F（z）是单调递增函数。注意，我们不需要f（x）上的凸性条件来获得单调性ofF（z）。如果f（x）>0，那么我们得到额外的dx*dz>0，但这不是F（z）的单调性所必需的。引理31。设f（x）：[a，b]→ R为正递减函数f（x）>0，f（x）<0，定义（178）f（z）=infx<zf（x）z- x个.假设在x=a的边界上未达到最大值，则F（z）为正函数，递减函数（179）F（z）>0，F（z）<0，a<z≤ b证据F（z）定义中出现函数极值的条件是（180）F（x）z- x+f（x）（z- x） =0。表示方程x的解*. 明确表示为（181）x*- z=f（x*)f（x*).短期亚洲期权31我们假设该方程有a<x的解*< z、 确保a未达到最大值的一种可能方法是要求（182）limx→af（x）<∞, 林克斯→af（x）=-∞.代入（178）我们得到（183）F（z）=-f（x*)让我们证明F（z）<0性质。

我们有（184）F（z）=-f（x*)dx公司*dz=-f（x*)（f（x*))f（x*)f（x*)< 0。第二个等式是通过取（181）对z的导数得到的，这与引理30（185）dx的证明中给出的结果相同*dz=（f（x*))f（x*)f（x*).不等式（184）证明了F（z）是单调递减函数。命题12的证明。命题8中的变分问题适用于与Black-Scholes模型相对应的常数局部波动率函数σ（S）=σ的情况。速率函数由（186）JBS（K/S）=σIBS（K，S）=Z[f（t）]dt给出，其中f（t）是欧拉-拉格朗日方程的解（常数a与命题8（187）f（t）=aef（t）的证明中出现的滞后乘数有关），边界条件（188）f（0）=0，f（1）=0。未知常数a由条件（189）Zdtef（t）=KS确定。可以精确地找到微分方程（187）的解。该方程的两个独立解aref（x）=βx- 2个日志eβx+γ1+γ,（190）f（x）=-2 log | cos（ξx+η）|+2 log | cosη|。（191）方程（187）的解f（x）在[33]中给出，其中相同的方程出现在Black-Scholes模型中连续时间亚式期权的最优重要性抽样问题中。这些函数中的参数由边界条件（188）和要求函数满足Euler-Lagrange方程（187）确定。通过将（190），（191）直接替换为（187），很容易验证这些函数是Euler-Lagrange方程的解。x=0时的边界条件自动满足32 DAN PIRJOL和LINGJIONG Zhu。

匹配Euler-Lagrange方程中的常数因子，并要求满足x=1的边界条件，给出以下约束条件。对于f（x），我们有方程2γβ=-a（1+γ），（192）γ=eβ，（193），根据β确定a，γ。对于f（x），我们有2ξ=a cos |η|，（194）2ξtan |ξ+η|=0，（195），其中η=-ξ+kπ，带k∈ Z、 根据ξ确定a。η的多重解给出了与cos（ξ（x）相同的解f（x- 1） +kπ）=(-1） kcos（ξ（x- 1） ）。常数ξ、β可根据约束条件（189）确定。对于溶液（190），这是（196）Zef（x）dx=1+γeβ+γeβ- 1β=βsinhβ=KS，其繁殖（32）。这是一个只有K>S的解的β方程。对于解（191），我们得到（197）Zef（x）dx=Zcosξcos（ξ（x- 1） ）dx=ξcosξtanξ=KS，0≤ ξ<π。对于|ξ|≥π积分是发散的。这复制了（33），并给出了ξ的方程，该方程只有K<S的解。该解必须满足ξ∈ (-π、 π）。注意如果ξ*是（33）in（0，π）的解，那么-ξ*∈ (-π、 0）也是（33）的一个解，其中包含相同的J（K/S）值。因此，在不丧失一般性的情况下，我们可以假设ξ∈ （0，π），它对（33）有唯一的解。总之，带边界条件（188）和约束（189）的Euler-Lagrange方程（187）的解为（198）f（x）=βx- 2个日志eβx+eβ1+eβK≥ 苦干cosξcos（ξ（x-1） （）K≤ S、 式中，β和ξ分别是方程（32）和（33）的解。最后，通过将f（x）的解（198）代入方程（186）并进行积分，找到速率函数JBS（K/S）。这复制了结果（31），从而得出命题12的证明。命题13的证明。（1） K级≥ S、 对于K/S→ ∞, 方程（32）的解接近β→ ∞.

这建议将该方程写成（199）eβ=（2β）KS1- e-2β，或（200）β=x+对数（2β）- 日志（1- e-2β）=x+对数（2β）+O（e-2β），短期亚洲期权33，x=对数（K/S）。这意味着β=x+O（对数x）为x→ ∞, 我们可以通过（200）的迭代来改进这个估计，从一阶近似（201）β（0）=x+o（x）开始。通过代入（200），我们得到连续迭代β（1）=x+log（2x）+O（e-2x），（202）β（2）=x+log（2x）+log[2（x+log（2x））]+O（e-2x）（203）=x+对数（2x）+对数（2x）+对数1+对数（2x）x+ O（e-2x）=x+2对数（2x）+对数（2x）x+O（x-2） 。通过代入（31）并展开到所示的阶数，可以得到速率函数的渐近展开式。这给出了结果（36）。（2） K级≤ S、 通过求解方程（33）获得参数ξ。很明显，作为K/S→ 0，我们有ξ→ π/2。可以方便地引入定义为ξ=π的ζ-ζ与ζ→ K/S中的0→ 0限制。这由方程（204）sin（2ζ）=KS（π）的解给出- 2ζ）。该方程可通过从ζ（0）=0开始的迭代再次求解。前两次迭代为ζ（1）=πKS，（205）ζ（2）=πKS1.-堪萨斯州+ O（（K/S））。（206）最后，代入（31）我们得到（36）。命题14的证明。我们给出了案例K的证明≥ S、 案例K以类似的方式处理，并得出相同的最终结果（37）。对于给定的对数打击x=对数（K/S）≥ 0时，必须通过求解方程（23）找到fB，用该值代替finto（19）得到速率函数。我们注意到，作为x↓ 0，我们有f↓ 因此，在ATM点x=0附近寻找一种在x中进行FBY扩展的解决方案是合理的。可以方便地引入辅助变量zsuch，其中f=Y（z），Y（z）：=z-1（z）函数z（y）=Rydwσ（Sew）的逆函数。从定义可以看出，对于x小，zi也很小，并且它们都同时为零。

引入zis吸收F中σ（S）依赖性的理论(-)（f） ，G(-)（f） INTO积分变量的更改。证明的策略是：步骤1。将fas的方程式（23）表示为z的方程式，并在z中展开为给定值。步骤2。反转步骤1中获得的展开式，并将对数走向x的zin powers展开式导出到给定阶数。34 DAN PIRJOL和LINGJIONG ZHUStep 3。表示K的速率函数I（K，S）的结果（19）≥ Sas a系列inz。此外，这里使用步骤2中得到的x的zin幂展开式。第1步。我们首先导出函数G的展开式(-)（f） 和f(-)（f） z=z（f）的幂。首先，我们将定义这些函数时对局部波动函数σ（S）的依赖性吸收到一个新的积分变量z中，如dz=dy/σ（Sey）。此givesG(-)（f） =Zfσ（Sey）pef- eydy=ZzpeY（z）- eY（z）dz，（207）F(-)（f） =Zfσ（Sey）√ef公司- eydy=ZzdzpeY（z）- eY（z），（208），其中Y（z）是函数z（Y）=Rydwσ（Sew），z=z（f）的逆函数。将Y（z）的泰勒级数代入（38），在z，zt上展开到一个给定的阶，然后计算积分，得到(-)（f） =pbz3/2+30b（b+2b）z（209）+1680b（81b+628bb- 284b+912bb）z+O（z）,F级(-)（f）=√b√z2.-6b（b+2b）z（210）+240b（41b- 12bb+516b- 528bb）z+O（z）.接下来，我们将方程（23）表示为对数走向的鳍项x=对数（K/S），作为z的展开式。这是（211）x=logef-G级(-)（f） f级(-)（f） ！，回顾f=Y（z）=bz+bz+····························································································································································································································································································-G级(-)（f） f级(-)（f） 哦！（212）=bz+（b+22b）z+2835b（b+150bb+48b+1026bb）z+O（z）。第2步。接下来，我们反转序列（212），得到zas在xz=2bx中的展开式+-40亿-33b20bx（213）+1400b（8b+87bb+4962b- 2565bb）x+O（x）。短期亚洲期权35步骤3。

最后，我们将此展开式插入速率函数（19）的表达式中，该表达式给出了速率函数的xI（K，S）=F的幂展开式(-)（f） G级(-)（f） =2倍-10b（b+12b）x（214）+1400b（109b+936B+14976b- 6480bb）x+O（x）。这再现了结果（37）。提案32。对于任何固定的K、S、T，Black-Scholes模型中的亚洲期权价格接近有限波动率极限值σ中的以下值→∞CBS（K，S，σ，T）=e-rTTZTSe（右-q） tdt。证据对于任何 > 0，CBS（K，S，σ，T）- e-rTE“坦桑尼亚先令Se（r-q） t+σWt-σtdt- K+#≤ e-rTE公司TZ公司Se（r-q） t+σWt-σtdt= e-rTTZ公司Se（r-q） tdt，其中最后一项与σ无关，它变为0 → 另一方面，对于几乎每个样本路径，布朗运动在t上是连续的，因此为0≤t型≤行波管<∞. 它遵循thatTZTSe（r-q） t+σWt-σtdt≤ eσsup0≤t型≤行波管-σ坦桑尼亚先令Se（r-q） tdt公司→ 0，a.s.为σ→ ∞. 根据有界收敛定理，limσ→∞E“K-坦桑尼亚先令Se（r-q） t+σWt-σtdt+#= K、 ？来自put调用奇偶校验（备注1），limσ→∞E“坦桑尼亚先令Se（r-q） t+σWt-σtdt- K+#=坦桑尼亚先令Se（r-q） tdt。最后，我们让 → 0以完成证明。命题17的证明。（i） 对于r=q=0的Black-Scholes模型，股票价格遵循几何布朗运动，即St=SeσWt-σt.Black-Scholes模型中亚洲看涨期权的价格isC（BS）A（S，K，σ，t）=E“SZeσWtT-σtTdt- K+#.？根据布朗标度性质，C（BS）A（S，K，σ，T）=E“SZeσ√T（WtT/√T）-（σT）tdt- K+#:=~C（BS）A（S，K，σT）36 DAN PIRJOL和LINGJIONG Zhu可以视为σT的函数。此外，Carr等人[6]的结果表明▄C（BS）A（S，K，σT）随着σT的增加而增加。首先考虑本地波动率模型（1）中的货币外亚洲看涨期权K>，并表示其价格CA（S、K、T）。对于任何σT>0的情况，我们有▄C（BS）A（S，K，0）=0和▄C（BS）A（S，K，σT）>0。我们有CA（S，K，T）=C（BS）A（S，K，σimpliedT）→0作为T→ 0

因此，limT→0σ意味着（S，K，T）T=0。因此，根据定理2和命题12，limT→0（σ隐含（S，K，T）logC（BS）A（S，K，σ隐含（S，K，T）T）=-JBS（K/S），有限→0T对数CA（S、K、T）=-I（K，S）。这意味着限制→0σ隐含（S，K，T）=极限→0σ隐含（S，K，T）T logC（BS）A（S，K，σ隐含（S，K，T）T log CA（S，K，T）=JBS（K/S）I（K，S）。对于货币外的亚洲看跌期权K<S，也得到了相同的结果。争论以完全类似的方式进行。（ii）接下来，让我们考虑at货币亚洲看涨期权。根据定理6，我们得到了极限→0√TCA（K、S、T）=√6πσ（S）S。请注意，C（BS）A（K，S，σ隐含（K，S，T）T）=CA（K，S，T）和C（BS）A（K，S，σ，T）=C（BS）A（K，S，σT）可以视为σT的函数。因此，limT→0C（BS）A（K，S，σ隐含（K，S，T）T）√6π√Tσ隐含（K，S，T）=S。因此，limT→0σ隐含（K，S，T）=σ（S）。对于at货币亚洲看跌期权，也得到了相同的结果。命题18的证明。（i） 注意，当r=q=0，A（T）=Sand时，由于布朗标度性质，Black-Scholes模型中的欧式期权价格▄C（BS）E（K，S，σT）：=ESeσWT-σT- K+可以看作是σT的函数。这是这个参数的严格递增函数。我们通过定义等价对数正态波动率CA（S，K，T）=C（BS）E（S，K，∑LNT），其中CA（S，K，T）表示局部波动率模型（1）中亚洲看涨期权的价格。我们继续类似于命题17的证明。首先考虑一个货币外亚洲看涨期权K>S，我们有CA（S，K，T）=C（BS）E（S，K，∑LNT）→0作为T→ 因此，limT→0∑LN（S，K，T）T=0。

因此，limT→0（∑LN（S，K，T）logC（BS）E（S，K，∑LN（S，K，T）T）=-对数（K/S），极限→0T对数CA（S、K、T）=-I（K，S）。短期亚洲期权37这意味着→0∑LN（S，K，T）=limT→0∑LN（S，K，T）T logC（BS）E（S，K，∑LN（S，K，T）T log CA（S，K，T）=log（K/S）2I（K，S）。对于货币外亚洲看跌期权K<S，也得到了相同的结果。亚洲期权的等效正常波动率的相应结果来自Black-Scholes和Bachelier隐含波动率之间的短期到期关系，参见参考文献[34]中的推论2。（ii）我们再次使用Black-Scholes模型中的欧式期权价格仅取决于σ的事实√T，并如前所述表示▄C（BS）E（K，S，σT）。因为在moneycase S=K时，我们有极限→0C（BS）E（K，S，σT）σ√2π√T=S。因此，我们有（215）limT→0∑LN（K，S，T）=limT→0CA（K、S、T）√TC（BS）E（K，S，∑LN（K，S，T）T）∑LN（K，S，T）√T型=√6πσ（S）S√2πS=√σ（S）。对于K=S，E[（S+σWT）的Bachelier模型- K） +]仅取决于σ√T、andlimT→0σ√TE[（S+σWT- K） +]=√2π。因此，（216）极限→0∑N（K，S，T）=极限→0CA（K、S、T）√TE[（S+∑N（K，S，T）WT-K） +]∑N（K，S，T）√T型=√6πσ（S）S√2π=√σ（S）S。我们注意到，这些结果也可以从[43]的定理5.1中提取出来。6.4。第5节中结果的证明。命题21的证明。（i） 通过一个类似于定理2证明中使用的论点，（217）limT→0T对数Cf（T）=极限→0T日志PκST≥ZStTdt.然后，从样本路径P（St）的大偏差得出结果·∈ ·) 在L上∞[0，1]和收缩原理。P（T）的渐近结果来自put调用奇偶性。（ii）类似于（i）。（iii）遵循定理6证明中的相同论点，我们可以证明，对于κ=1，我们有权利要求1。作为T→ 0，E“e（r-q） TXT文件-TZTe（右-q） tXtdt公司+#- E“XT公司-TZTXtdt+#= O（T）。权利要求2。作为T→ 0，E最大值0≤t型≤T | Xt-^Xt|= O（T）。38 DAN PIRJOL和LINGJIONG Zhu声称3。

作为T→ 0，E“XT公司-TZTXtdt+#- E“^XT-TZT^Xtdt+#= O（T）。权利要求1、权利要求2和权利要求3暗示，对于κ=1，（218）Cf（T）- E“κ^XT-TZT^Xtdt+#= O（T），作为T→ 0，其中我们回忆起^Xt=S+σ（S）SWt。由于κ=1，κ^XT-TRT^Xtdt是一个平均值为零且方差为e”的阿高斯随机变量^XT-TZT^Xtdt#（219）=σ（S）SE“WT公司-TZTWtdt#= σ（S）S“E【WT】+TE”ZTWtdt公司#-TZTE[WTWt]dt#=σ（S）ST+T-TT= σ（S）ST。因此，我们证明了Cf（T）的预期结果。Pf（T）的结果类似。命题22的证明。定义一个新的优化函数g（t）=f（t）+log S，满足边界条件f（0）=0和约束条件trdtef（t）=κef（1）。以类似于命题8证明的方式进行，通过引入拉格朗日乘子λ并考虑与辅助泛函（220）∧【f】=Z相关的变分问题来考虑约束f（t）σ（Sef（t））dt+λZef（t）dt- κef（1）.通过引理28，该变分问题的解在t=1时满足Euler-Lagrange方程（73）和横截性条件（75）。为了证明（72），我们注意到引理29中有（221）f（t）σ（Sef（t））- λef（t）=λκe2f（1）σ（Sef（1））- λef（1）。我们在右侧替换了横向条件（75）。将此关系与t（0，1）积分得到结果（72）。最后，我们可以借助关系式（74）消除λ。这是通过比较f（0）的两个可选表达式获得的。首先，通过对t：（0，1）上的欧拉-拉格朗日方程（73）积分，得到（222）f（0）σ（S）=λnκef（1）σ（Sef（1））- 通过在（221）中取t=0，可以得到替代关系。消除这两个方程中的f（0），得到（74）。短期亚洲期权39提案23的证明。

Black-Scholes模型中浮动罢工期权的短期到期渐近的比率函数由变分问题（223）给出，如果（κ）=inff2σZ[f（t）]dt，其中f（0）=0，f∈ AC[0，1]，受约束（224）Zef（t）dt=κef（1）。这可以通过引入拉格朗日乘子λ并考虑辅助变量问题（225）∧[f]=2σZ[f（t）]dt+λ来解决Zef（t）dt- κef（1）,对于满足f（0）=0的所有函数。变分问题（225）的解满足Euler-Lagrange方程（226）f（t）=λσef（t），必须用边界条件（BC1）：f（0）=0，（BC2）：f（1）=λσκef（1），（BC3）：f（0）=0来求解。边界条件（BC2）是一个横截性条件。条件（BC3）是新的，它源自∧[f]的变分问题与等价变分问题的关系，通过将新函数h定义为（227）f（t）=h（1- t） +f（1）。用h表示，速率函数If（κ）由（228）If（κ）=infh2σZ[h（t）]dt给出，其中h（0）=0，h∈ AC[0，1]，它受约束（229）Zeh（t）dt=κ。这与固定罢工期权（122）的利率函数I（κS，S）的变分问题相同，在常数波动率σ（S）=σ的限制下。命题12给出了该变分问题的解，并用BlackScholes速率函数JBS（κ）表示，如（76）所示。为了完备性，我们给出了变分问题（228）的完整解，并证明了附加边界条件（BC3）。再次引入拉格朗日乘子η，变分问题（228）可以转化为泛函（230）Ξ[h]=2σZ[h（t）]dt+η的无约束优化Zeh（t）dt- κ,40 DAN PIRJOL和LINGJIONG ZHUover所有满足h（0）=0的函数。

该变分问题的解满足Euler-Lagrange方程（231）h（t）=ησeh（t），边界条件（232）h（0）=0，h（1）=0。第二个边界条件是横截性条件。然而，f和h是相关的，因此h的Euler-Lagrange方程和边界条件也必须暗示f上的等效条件。比较f和h的Euler-Lagrange方程得出（233）η=λef（1）=λe-h（1）。使用f（t）=-h（1- t） ，横截性条件h（1）=0给出（234）f（0）=-h（1）=0。这证明了上述f（0）上的边界条件（BC3）。使用附加边界条件（BC3），可以给出拉格朗日乘子λ（235）λ=σκef（1）的简单表达式- 1e2f（1）。这是由量（236）2σ[f（t）]的守恒定律得出的- λσef（t）。由此得出（237）- λσ=λσκe2f（1）- λσef（1），其中我们使用f（0）和t=1时的边界条件（BC2）。这就是关系（235）的证明。可以明确地找到h（1）的解，如命题12的证明所示。这在方程（198）中给出，从中我们发现（238）eh（1）=（cosh（β）κ>1，cosλκ<1，β，λ分别为方程（32）和（33）的解（替换为sk/S7→ κ） 。致谢作者感谢编辑、一位副编辑和两位匿名推荐人的有益建议，这些建议大大提高了论文的质量。作者要感谢王大和（Tai Ho Wang）进行了有益的讨论，并让我们注意到在相关主题上正在进行的工作【51】。Lingjiong Zhu部分受NSFGrant DMS-1613164支持。短期亚洲期权41参考文献[1]Al\'os，E.，L\'eon，J.和J.Vives。（2007年）。关于随机波动率跳跃扩散模型隐含波动率的短期行为。金融与随机。11571-589。[2] Alziary，B.，Decamps，J.P.和P.F。

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