我们明确希望调查对经典假设的依赖信息是否是超额收益的重要决定因素，因此CAPM模型是否正确并不重要。该规范还与文献中最近提出的模型有关。Bandi和Tamoni的类似模型（2017年）；Bandi等人（2021）专注于consumptionCAPM模型，因此将消费作为风险的代理。与这些尝试不同的是，我们详细考虑了地平线特定风险。从TR的角度来看，拟议模型还与Bollerslevet等人（2020年）的模型相关，Bollerslevet等人研究了市场和资产回报率下行事件同时发生的定价影响。与我们的模型相反，Bollerslev et al.（2020）没有考虑这些风险的范围。在此，我们简要地注意到，我们将指标相关性度量之间的协方差中的阈值设置为市场回报的τ分位数。在TRβ的情况下，市场和资产回报的阈值是相同的，由市场回报的τ分位数给出。在EVRβ的情况下，市场波动率增量的阈值由市场波动率增量系列的τ分位数给出，资产回报的阈值由市场回报的τ分位数给出。请注意，可以根据我们的数据集的最佳模型，灵活地选择阈值。例如，我们可以通过对应于资产回报的τ分位数来选择特定于资产的阈值。我们不遵循这种方法，因为我们不明确关心横截面中分位数之间的依赖关系。

相反，我们关心极端市场情况下的依赖性。请注意，本文中的所有风险度量（与文献一致）都是使用超额收益计算的。在附录D中，我们通过使用1.5年作为阈值来确定水平来进行稳健性检查，结果在质量上没有差异。可根据要求提供不同的规格。Barun'ik和Kley（2019）也以资产回报估计的TR风险为例，但他们没有调查估计风险的任何资产定价影响。4.2极端波动性风险对总波动性创新高度敏感的资产的平均回报率较低（Ang等人，2006年）。我们进一步关注波动性中的极端事件，并研究极端市场波动性和资产尾部事件之间的依赖性是否是跨资产的价格。由于经济体内的高波动时间被视为具有高不确定性的时间，投资者愿意为在这些动荡时期产生高回报的资产支付更多的钱，从而与市场波动性的创新产生积极的协同作用。这推动了这些资产的价格上涨，并降低了预期回报。这一概念正式植根于跨期定价模型，如默顿（1973）或坎贝尔（1993）的跨期定价模型。根据这些模型，市场波动是随机的，通过改变预期的市场回报或通过改变风险回报交易效应，导致投资机会的变化。市场波动性决定系统风险，并应决定单个资产或投资组合的预期回报。

此外，我们假设市场波动中的极端事件在系统风险感知中起着重要作用，并且暴露于这些事件会影响资产的风险溢价。此外，在确定资产溢价时，将波动性分解为短期和长期被证明是有用的（Adrian和Rosenberg，2008）。此外，Bollerslev等人（2020年）将下行风险的概念纳入波动性风险的概念，并表明具有高负实现半方差的股票具有更高的回报。Farago和T'edongap（2018）在他们的五因素模型中研究了下行波动风险，并获得了一个波动下行因素风险价格为负值的模型，在令人失望的事件中，产生了与市场波动创新正相关的资产低回报。因此，我们想研究市场波动性和资产回报的联合分布的哪个范围和部分产生这些结果。我们假设，在大规模波动性创新期间，产生高度负回报的资产对投资者来说不太理想，因此，持有这些资产应该得到更高的风险溢价的保护。此外，我们假设此类风险将是特定于水平的。为了衡量极端波动性风险，我们定义了贝塔系数，该系数将反映负资产回报率和跨水平市场波动性极端增加的共同概率。由于指标函数之间协方差的性质，我们使用负市场波动性创新-σt=-（σt- σt-1） ，其中我们使用一个流行的GARCH（1,1）估计σt。然后，高波动率增量将响应负差异分布的低分位数。如果资产与市场波动性增量正相关，极端波动性风险将很小，反之亦然。

这与相似分析中采用的大多数测量方法形成对比。我们定义了贝塔系数，该系数可捕获整个水平的极端波动风险σ(Ohm; τ) ≡十、Ohm≡[ω,ω)P∞k级=-∞Cov公司我{-σt+k≤ q-σt（τ）}，I{ri，t≤ qrm（τ）}e-ikωP∞k级=-∞Cov公司我{-σt+k≤ q-σt（τ），I{-σt≤ q-σt（τ）}e-ikω（21）资产回报的阈值是以与尾部市场风险相同的方式获得的，并且是从市场回报的分布中得出的，这意味着qrm（τ）被用作资产阈值。例如，对于τ=0.05的模型，在计算极端市场波动率β时，我们使用其分布的5%分位数（对应于原始分布的95%分位数）作为市场平方波动性负创新的阈值，资产回报的阈值设置为市场回报分布的5%分位数。我们的第二个模型，极端波动率风险（EVR）模型，将测试EVRβ的显著性，定义为[rei，t+1]=Xj=1βriσ(Ohmjτ） λEV(Ohmjτ） +βriCAPMλCAPM，（22），其中，与TR模型一样，我们包括CAPMβ，以控制相应的风险溢价。根据当前文献的结果（如Boonsand Tamoni（2015）、Boguth和Kuehn（2013）或Adrian和Rosenberg（2008）），我们预计EVR Beta对应的风险价格为正。这是因为EVR衡量的是市场波动性极高增量（即市场波动性负创新的低值）与资产回报率低值之间的依赖性。因此，如果一项资产在市场波动性较大的时候收益率较低，投资者将需要较高的溢价来持有它。

请注意，我们的EVR模型与Farago和T’edongap（2018）的模型密切相关，后者引入了下行波动率β，而没有风险的频率方面。与TR模型不同，EVR模型不考虑数据的高斯性。EVR的估计价格将直接衡量市场波动增量与资产回报之间的极端依赖性的定价含义。4.3完整模型最后，为了显示两个水平特定尾部风险的独立性，我们还将其结合到第三个模型中，该模型包括短期和长期水平的尾部市场风险和极端市场波动风险，再次控制传统的CAPMbeta。该模型具有以下形式[rei，t+1]=Xj=1βrm，rirel(Ohmjτ） λTR(Ohmjτ） +Xj=1βriσ(Ohmjτ） λEV(Ohmjτ） +βrm，riCAPMλCAPM。（23）我们将此模型表示为完整模型。假设TR和EVR是定价的，使用该模型，我们将研究这些风险是否相互包含，或者它们是否描述了定价风险的独立维度。在本文中，我们重点讨论τ等于1%、5%、10%、15%、20%和25%的结果。1%、5%和10%分位数的选择是很自然的，在许多经济和金融应用中都会出现。最有可能的，最突出的例子是风险价值，这是一种在实践中广泛使用并在学术界进行研究的风险基准度量。τ的剩余值，即15%、20%和25%，反映了总体下行风险和更多可能的负面联合事件。4.4估计为了检验我们的模型，我们使用标准的Fama和MacBeth（1973）横截面回归。在第一阶段，我们估计所有资产所需的QSβ、相对QSβ和资本。我们定义了两个不重叠的视界：短视界和长视界。水平由相应的频带指定。

我们通过相应周期为3年及以上的频率指定长周期，而短周期表示相应周期低于3年的频率。。这些视界的QSβ通过在相应频带上平均QSβ获得。在第二阶段，我们使用这些beta作为解释变量，回归其平均资产回报率，并获得模型。我们通过相应估计价格的显著性来评估给定风险的显著性。在全模型的情况下，我们通过在每个时间点重复横截面回归，即在每个月t=1，…，获得对风险估计价格的统计推断，T，我们估计以下形式的模型：rei，T=Xj=1bβrm，rirel(Ohmjτ） λt，TR(Ohmjτ） +Xj=1bβriσ(Ohmjτ） λt，EV(Ohmjτ） +bβrm，riCAPMλt，CAPM。（24）我们获得了每个相应β的lambdas的T横截面估计。然后，我们通过lambdas在整个周期λk上的时间序列平均值来估计风险价格(Ohmjτ） =TTXt=1bλt，k(Ohmjτ） ，j=1，2，k=TR，EVR。（25）根据σ计算标准误差和相应的t统计量bλk(Ohmjτ)=TPTt=1λt，kOhmjτ)-bλk(Ohmjτ)对于水平面j={1，2}和风险k={TR，EVR}。同样的估计逻辑也适用于其他研究模型。为了考虑多重假设检验，我们遵循Harvey et al.（2016），并报告估计参数的t统计（低于实际估计）。该模型的总体拟合度是通过资产在beta上的平均回报的OLS回归来衡量的。通过本文，我们使用均方根定价误差（RMSPE）指标来评估整个模型的性能，均方根定价误差是资产定价文献中广泛使用的评估模型的指标。如前所述，我们估计了由市场回报的τ分位数给出的各种阈值的模型。

此外，在附录C.2中，我们将新提出的措施与i）Ang et al.（2006）（DR1）的经典CAPM ii）下行风险模型，iii）Lettau et al.（2014）（DR2）的下行风险模型，iv）Ama和French（1993）的三因素模型，v）Farago和T’edongap（2018）的GDA3和GDA5模型，以及vi）Coskowness和cokurtosis措施进行了比较。关于使用1.5年作为阈值的稳健性检查估计的详细信息，请参见Shanken（1992）中的附录DAs，若beta是在整个时期内估计的，则第二阶段回归是T一致的。附录E总结了竞争模型的风险度量。所有模型都是为比较目的而估算的，不受两个阶段的限制，与我们的三因素和五因素模型类似。因此，尽管GDA3和GDA5有其理论背景，但它们是在不限制其系数的情况下进行估计的，并且也分两个阶段进行估计。4.5两阶段估计程序的规模从本质上讲，存在一个问题，即我们在财务中遇到的典型（小）样本中，频率带估计的两阶段程序如何执行。为了让读者了解这些属性的概念，我们提供了一个模拟练习来研究我们测试方法的统计大小。在每次运行中，我们模拟300或30项资产的回报，以反映我们对个别股票和投资组合回报的实证调查设置。每个资产拥有720个观测值，使用经典CAPM模型或白噪声作为数据生成过程。首先，我们从正态分布N（u，σ）模拟市场回报的时间序列，u=0.06/12，σ=0.2/√12

其次，在CAPM模型的情况下，我们通过从正态分布n（(R)β，σβ）中随机抽取CAPMβ来生成资产回报的时间序列，其中β=1，σβ=0.5，然后创建回报asRit=βiRmt+它，i=1，N、 t=1，T、 （26）在白噪声模型的情况下，我们将所有CAPM beta设置为0。在第三阶段，对于每只股票，我们使用模拟数据估计其CAPMbetas和QS Beta（TR和EVR），并使用TR模型、EVR模型和全模型的规格回归其平均回报。我们确定了错误拒绝零假设的案例数量，即给定模型中的给定QSβ是平均回报的重要决定因素。我们将显著性水平设定为α=0.05。理想情况下，我们希望观察到约5%的排斥率。表1总结了结果，表明拒绝率通常与所选的显著水平α相对应。这表明了我们方法的有效性；即使τ和长视野值较低，拒收率也没有明显偏差。5分位数谱风险和预期回报的横截面。我们讨论了极端风险如何在跨层资产回报的横截面中定价。我们重点关注三个主要模型的标准Fama和MacBeth（1973）横截面预测回归的结果，并使用资产回报的各种横截面。我们表明，分位数谱风险在不同资产类别上的定价是不均匀的。这为那些喜欢规避某些风险的投资者提供了一个很好的机会。通过选择特定风险与风险溢价无关的特定资产类别（即，高风险敞口资产不会产生额外的表1：两阶段估计程序的规模）。

在这里，我们报告了使用CAPM模型或白噪声生成资产时，两阶段估计程序的拒绝率。显著性水平设置为α=0.05。模拟的数量为500。DGP#资产τ尾部市场风险极端波动性风险全模型λTRlongλTRshortλEVlongλEVshortλTRlongλTRshortλEVlongλEVshortCAPMN=3000.01 0.052 0.046 0.062 0.072 0.060 0 0.048 0.070 0 0.0800.05 0.066 0.062 0.072 0.058 0.066 0.062 0.072 0.0580.10 0.056 0.046 0.048 0.068 0.048 0.048 0 8 0.066 0.0880.15 0.056 0.046 0.050 0.042 0.048 0.046 0.048 0.0380.25 0.046 0.054 0.068 0.032 0.056 0.0540.064 0.030N=300.010 0.054 0.040 0 0.056 0.066 0.074 0.052 0.062 0.0600.05 0.028 0.060 0 0.042 0.048 0.026 0.054 0.042 0.0600.10 0.044 0.058 0.048 0.058 0.058 0.058 0.044 0.0520.15 0.044 0.044 0.048 0.058 0.044 0.038 0.0480.25 0.062 0.054 0.068 0.044 0.056 0.060 0.058 0.054白噪声=3000.01 0.058 0.050 0.064 0.058 0.054 0.056 0.062 0.0560.05 0.040 0 0.064 0.068 0.040 0 0.036 0.064 0.0640.0420.10 0.044 0.044 0.054 0.046 0.042 0.042 0.066 0.0540.15 0.044 0.042 0.060 0.054 0.046 0.046 0.072 0.0500.25 0.066 0.040 0.040 0 0.068 0.062 0.038 0.050 0 0.064N=300.01 0.054 0.038 0.074 0.060 0 0.040 0 0 0 0.040 0 0 0.066 0.0580.05 0 0.060 0.036 0.038 0.048 0.064 0.038 0.0400.10 0.046 0.048 0.032 0.048 0.048 0.040 0 0.034 0.0480.15 0.052 0.048 0.042 0.060 0.048 0.040 0 0.038 0.0520.25 0.044 0.072 0.0520.050 0.036 0.066 0.060 0.036溢价，反之亦然），投资者无需支付额外费用即可避免此风险。首先，我们调查了美国市场的个股回报率。接下来，我们使用Fama French标准投资组合，根据各种特征进行分类。更具体地说，我们使用了30个行业投资组合，25个按规模和价值排序的投资组合，以及按运营利润、投资或账面市值排序的十分之一的投资组合。

最后，我们使用文献中之前介绍的三个数据集来说明一些特定现象。首先，我们分析了Lettau et al.（2014）的数据集，其中包含从各种资产类别构建的投资组合。其次，我们分析了韦伯（2018）按现金流持续时间排序的股票投资组合。第三，我们调查了Ilmanen等人（2021）在不同资产类别上构建的投资策略数据。我们报告了由市场回报的τ分位数给出的各种阈值的估计模型。我们报告了1%、5%、10%、15%、20%和25%分位数的估计模型。在本文中，市场回报率是使用所有CRSP股票的价值加权平均回报率计算的。作为无风险利率，我们使用Ibbotson Associates的国库券利率。我们不得不重新调整Lettau等人（2014）和Weber（2018）的数据，以与市场回报率相比较。所有数据均来自肯尼思·弗伦奇的在线数据库。5.1个股我们每月从证券价格研究中心（CRSP）数据库收集数据。样本跨度为1926年7月至2015年12月；我们选择历史悠久的股票，以获得对风险度量的精确估计。虽然主要结果是以具有60年可用历史的股票样本呈现的，但为了研究我们的结果在更大横截面数据上的稳健性，我们还报告了基于50年较短历史股票的结果。另一方面，有人可以辩称，风险估计指标的精度取决于尾部可用观测的数量；因此，我们还报告了基于有70年历史的股票的结果。我们在表2中报告了估算结果。模型估计τ市场分位数给出的阈值的不同值，以捕获事件共同发生的不同概率。

THTR模型的结果表明，对于较低的τ值，短层位的相对TRβ更为显著，对应于0.01、0.05和0.10，而对于τ≥ 0.15，相对TR betabe对长期而言非常重要。在所有三个样本中都观察到了这种模式，但在有50年历史的股票中，这种模式较弱，尤其是在与长期相对TRβ相对应的风险价格方面。这一结果可能是由于与短TRβ相比，长相对TRβ需要更长的数据历史才能获得精确估计。风险估计价格的迹象是直观的。正如我们可能预期的那样，在两个层面上，市场和资产回报之间的极度依赖会导致更高的风险溢价。如果一项资产在市场低迷时可能表现不佳，从投资者的角度来看，这项资产是不可取的，而要决定持有这项资产，她将需要巨大的风险溢价。根据系数的大小，我们推断投资者在短期内对尾部风险的定价高于长期。此外，重要的是要注意，这些特性不包含在CAPM beta中，因为我们在模型中明确控制它，并报告相对于CAPM beta的TR beta，如上所述。EVR模型的估计结果见表2的中间部分。在这种情况下，参数对于τ的低值并不重要，而是从τ开始≥ 0.1，longEVR在横截面中的定价显著。另一方面，短期EVR风险对于τ的任何值都没有显著的定价。与τ的长期EVRβ相对应的重大风险价格≥ 0.10所有格推理积极信号，正如我们所预期的。

EVR Beta捕捉了市场波动性极高增量与极低资产回报之间的依赖关系，其结果与当前文献一致（Boons和Tamoni，2015；Boguthand Kuehn，2013；Adrian和Rosenberg，2008）。此外，这些结果与长期风险模型的结论是一致的。我们观察到的风险价格非直观负性的例子很少，但这些系数并不显著，主要是针对τ的低值观察到的，这可能是由相应beta的测量误差引起的。我们可以得出结论，EVR测试版，尤其是其长期组成部分，提供了有关风险的价格信息，而且与CAPM测试版中的信息是正交的。请注意，当我们估计QSβ时，我们使用市场波动的负增量。就RMSPE而言，对于较低的τ值，TR模型比EVR模型提供了更好的结果，因为较短的TRβ值对这些τ值有显著的定价。另一方面，对于较高的τ值，EVR模型提供了改进的RMSPE值，因为这些τ值的长EVRβ提供了横截面中定价的风险的重要维度，而TRβ对较低的τ值具有较高的解释力。此外，我们发现，在横截面中定价的联合分布的水平和部分之间存在复杂的相互作用。极端TR主要是短期现象，与更可能的联合事件（τ值更高）相关的TR根据市场和资产之间的长期依赖性进行定价。另一方面，在极端联合事件的情况下，EVR的定价并不显著，但如果出现不良事件的可能性更大，长期来看，市场波动率增量和资产回报率之间的联合依赖性成为风险溢价的重要决定因素。

在附录D的表8中，我们给出了1.5年的结果，即长期定义的阈值。结果在质量上非常相似，三年期的所有结果都适用于这种情况。从以上结果中，我们可以得出结论，尾部市场和极端市场波动风险是在不同时期的股票回报横截面中定价的。一个自然的问题是，这些风险是否捕获了不同的信息，或者一个度量是否可以包含另一个。为此，我们测试了完整模型，该模型同时包含给定τ水平的两种风险。估计参数见表2右面板。我们观察到的结果与独立TR和EVR模型的结果基本一致。风险的重要定价决定因素是τ值较低的短期TR和τ值较高的长期EVR，这两种价格都是具有预期积极迹象的交叉资产。τ值越低，尾部风险越大，这意味着极端负面事件期间市场回报和资产回报之间的依赖性是风险溢价的重要决定因素。另一方面，长期极端波动性风险对于τ-约为0.2的较高值而言非常重要。这一发现表明，投资者对资产回报和市场波动之间的下行依赖性定价，但关注更可能的市场情况。我们可以推断，Bansal和Yaron（2004）提到的长期风险价格隐藏在这个系数中。与TR模型得出的结论相比，完整模型与单独TR和EVR模型的结果的主要偏差是，τ值越高，长TRβ值越小。

对这一结果的一种可能解释是，与短期成分相比，市场回报率只有一小部分是由于其长期成分造成的，因此，该风险的风险溢价很小。另一种解释是，市场尾部风险的长期方面可能完全被极端波动性风险所捕获，即长期TRβ被长期EVRβ所包含。这是有道理的，因为方差比市场回报更持久（由于长期成分，方差的高部分），因此投资者担心长期方差的波动远大于短期方差。在附录C中，我们使用了该数据样本，并展示了估计的dqsβ的各种特征。我们给出了估计的QSβ的分布，以给出其估计值的概念。接下来，我们研究QSβ与文献中先前提出的其他风险度量之间的关系。尽管QS指标与之前文献中讨论的一些其他变量相关，但它们并不能排除QS风险指标。此外，在大多数情况下，这些变量都包含在完整模型的变量中。我们的结果与Bollerslev等人（2020年）的最新结果一致，这表明负资产和负市场回报共同发生的依赖性在所有分类常规贝塔规范中对资产回报的形成具有最高的解释力。重要的是，我们明确表明，这种风险的溢价是由最左尾的依赖性及其短期成分产生的。

此外，我们将分析扩展到极端波动性风险，并表明投资者关注的是在长期范围内更可能出现的联合负面结果。5.2其他投资组合最后，我们调查了多个数据集的定价含义，包括按各种特征排序的popularFama法国投资组合。我们使用了Lettau等人（2014）的30个行业投资组合、25个按规模和价值排序的投资组合以及按经营利润、投资或账面市值排序的十分之一投资组合，这些投资组合由各种资产类别构成，股票投资组合由Weber（2018）的现金流持续时间排序，最终投资策略由Ilmanne等人（2021）的各种资产类别构成。图2总结了所有这些数据的估计结果。我们报告t- 所有投资组合和尾部QR风险估计价格的统计数据，对尾部和地平线特定风险如何在大量投资组合中定价进行了概述。然后，附录F提供了所有结果的详细摘要以及数据描述。我们的结论是，在大多数数据集中，短期尾部风险（TR）的现象是普遍定价的（尽管幅度不同）。EVR的结果稍有不同。就单个股票而言，主要是EVR的长期部分在预期回报的横截面中定价。Lettau等人（2014）的聚合数据集也是如此。另一方面，对于按规模和价值排序的25个投资组合，EVR的短期部分进行定价。还有一些数据集对EVR风险的两个组成部分进行了定价。这些包括根据Weber（2018）的现金流持续时间排序的股权投资组合，以及使用Ilmanen等人（2021）的各种资产类别构建的投资策略。

这种异质性使投资者有机会根据其在给定范围内对特定风险的分散程度，遵循特定的投资策略。6结论我们引入了一种新的方法来隔离各种风险维度对预期回报形成的影响。到目前为止，研究的重点要么是探索风险的下行特征，要么是调查其特定的地平线特性。我们定义了估计特定地区联合分布特定部分风险的度量，并表明极端风险在不同地区的资产回报横截面中进行了非均匀定价。此外，我们认为区分尾部市场风险和极端波动性风险很重要。尾部市场风险的特征是高度负市场和资产事件之间的依赖性。极端波动性风险定义为市场波动性极高增长和资产回报率极为负的同时发生。负事件来自市场收益的分布，它们各自的分位数用于确定计算分位数谱β的阈值。为了一致地估计模型，必须使用具有足够长历史的数据。然而，如果这些数据可用，我们的风险度量能够跑赢其他度量，并且它们的表现在低阈值时最好，这表明投资者需要风险溢价来持有易受极端风险影响的资产。此外，我们还表明，最先进的下行风险度量并没有捕获我们新提出的度量中包含的信息。我们的结果对资产定价模型有重要的启示。

我们表明，在衡量风险敞口时，仅考虑整个分布的平均同期依赖性会导致忽略有关风险的重要信息。参考Adrian，T.和M.K.Brunnermeier（2016）。科瓦尔。《美国经济评论》106（7），1705-41。Adrian，T.和J.Rosenberg（2008）。股票回报和波动性：对市场风险的短期和长期组成部分进行定价。《金融杂志》63（6），2997–3030。Ang，A.、J.Chen和Y.Xing（2006）。下行风险。金融研究回顾19（4），1191–1239。Ang，A.、R.J.Hodrick、Y.Xing和X.Zhang（2006）。波动性和预期收益的横截面。《金融杂志》61（1），259–299。Backus，D.、B.Routledge和S.Zin（2010年）。美国资产回报的周期性因素。未发表的工作文件。纽约大学和卡内基梅隆大学。Bandi、F.M.、S.E.Chaudhuri、A.W.Lo和A.Tamoni（2021）。光谱因子模型。《金融经济学杂志》142（1），214–238。Bandi、F.M.和A.Tamoni（2017年）。系统风险的地平线：一种新的贝塔表示法。SSRN 2337973提供。Bansal，R.和A.Yaron（2004年）。长期风险：资产定价难题的潜在解决方案。《金融杂志》59（4），1481–1509。Barndor Off-Nielsen、O.E.、S.Kinnebrock和N.Shephard（2008）。衡量下行风险实现的半方差。Barro，R.J.（2006年）。二十世纪罕见的灾难和资产市场。《经济学季刊》121（3），823–866。Barro，R.J.和T.Jin（2021）。罕见事件和长期风险。经济动力学回顾39，1–25。Barunik，J.和T.Kley（2019年）。分位数相关性：衡量周期性经济变量之间依赖性的一般指标。《计量经济学杂志》22（2），131–152。Bassett Jr、G.W.、R.Koenker和G.Kordas（2004年）。悲观的投资组合分配和choquet预期效用。

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然后，对于每个固定ω6=0 mod 2π，Im，rn，R（ω；τm，τR）（τm，τr）∈[0,1]=>2πDm（ω；τm）Dr(-ω; τr）（τm，τr）∈[0,1]，（28），其中Dm（ω；τm）和Dr（ω；τr），τ∈ [0, 1], ω ∈ R是中心的C值高斯过程，协方差结构为以下formCov（Dm（ω；τm），Dr（ω；τR））=2πfm，R（ω；τm，τR）。此外，族{Dm（ω；·），Dr（ω；·）：ω∈ [0，π]}是独立进程的集合。特别是，对于频率ω的任何有限集合，弱收敛（28）共同成立。对于ω=0 mod 2π，基于秩的copula交叉周期图的渐近行为如下：我们有djn，R（0；τ）=nτ+op（n1/2），其中余项的精确形式取决于过程中的联系数。因此，在命题1的假设下，我们有Im，rn，R（0；τm，τR）=n（2π）-1τmτr+op（1），其中1：=（1，1）∈ R、 A.1定理2Proof的证明。通过泰勒展开，我们得到，对于每个y，y>0，y-y=-y（y- y） +2ξ-3y，y（y- y） ，式中ξy，yis在y和y之间。设Rn（y，y）：=2ξ-3y，y（y- y） ，然后是XY-xy=xy-xy+xy-xy=y（y- y）-xy（x- x） +rn，（29），其中rn=xRn（y，y）+（x- x） /yWrite fa，bforfa，b（ω；τa，τb），Ga，bforbGa，bn，R（ω；τa，τb），Ba，bforba，b，（k）n（ω；τa，τb）和letx：=Ga，by：=Ga，ax：=fa，b+Ba，by：=fa，a+Ba，aBy定理1差异x-X和y-运营中的yare（（nbn）-1/2），关于τm，τr一致。假设nbn→ ∞, 作为n→ ∞, 这需要Ga，a-Ba，a→ fa，a，概率。对于ε≤ τ, τ≤ 1.- ε、 我们有fa，a>0，这样，根据连续映射定理，我们有（Ga，a- Ba，a）-3.→ f-3a，a，概率。当Ba，a=o（1），我们有y-3.- y-3=op（1）。

最后，由于ξ-3y，y≤ y-3个∨ y-3.≤ （y）-3个- y-3) ∨ 0+y-3=op（1）+O（1）=op（1），我们有Rn（y，y）=op（（nbn）-1).我们已经证明了bβm，rn，R（ω；τm，τR）-fa，b+Ba，bfa，a+Ba，a=fm，m[总经理，m-fm，m-Bm，m]-fm、rfm、m【总经理、总经理】-fm，r-Bm，r]+Op公司1/（nbn）,此外，注意设置x：=fa，b+Ba，by：=fa，a+Ba，ax：=fa，by：=fa，awe havefa，b+Ba，bfa，a+Ba，a-fa，bfa，a=fa，aBa，a-fa、bfa、aBa、b+ O（| Ba，a |+| Ba，b |）。通过引理1，我们得到了supτm，τr∈[ε,1-ε]d\'dω\'fm，r（ω；τm，τr）≤ Cε，`。因此，Bm，rsatis fi essupτm，τr∈[ε,1-ε]kX`=2b`n`！Zπ-πv`W（v）dvd`dω`fm，r（ω；τm，τr）= o（nbn）-1/4,这意味着| Ba，a |+| Ba，b |=o（nbn）-1/2.因此，pnbnbβm，rn，R（ω；τm，τR）-fa，bfa，a |{z}=：βm，r（ω；τm，τr）-fa，aBa，a-fa、bfa、aBa、b| {z}=：Bm，r，（k）n（ω；τm，τr）！和PNBNFM，m[总经理，r- fm，r- Bm，r]-fm，rfm，m[总经理，m- fm，m- Bm，m]在这个意义上是渐近等价的，如果其中一个弱收敛，那么另一个也弱收敛。接着是定理1、Slutzky引理和连续映射定理。A、 2定量光谱Beta点态置信带的构造根据Barun'k和Kley（2019）和定理2，我们构造了点态渐近（1-α） βm，rn，R（ω；τm，τR）实部和虚部的水平置信带如下：C（2）R，n（ωkn；τm，τR）：=<bβm，rn，R（ωkn；τm，τR）±<σm，R（2）（ωkn；τm，τR）Φ-1(1 - α/2），对于实部，andC（2）i，n（ωkn；τ，τr）：==bβm，rn，r（ωkn；τm，τr）±=σm，r（2）（ωkn；τm，τr）Φ-1(1 - α/2），分位数谱β的虚部。这里Φ代表标准正态分布的cdf，<σm，r（2）（ωkn；τm，τr）:= 0∨如果m=randτm=τr，则为0，Cov（Lm，r，Lm，r）+<Cov（Lm，r，Lr，m）否则，以及=σm，r（2）（ωkn；τm，τr）:= 0∨如果m=randτm=τr，则为0，Cov（Lm，r，Lm，r）- <Cov（Lm、r、Lr、m）否则式中，La，b=fa，a哈，a-fa、bfa、aHa、b.

σm，r（2）（ωkn；τm，τr）的定义是通过注意到对于任何复值随机变量Z，具有复共轭Z，Var（<Z）=Var（Z）+<Cov（Z，(R)Z）; Var（=Z）=Var（Z）- <C ov（Z，’Z）, （30）我们有Lm，r=Lr，m。此外，注意bβm，rn，r（ωkn；τm，τr）=1，如果m=r，τm=τr。我们使用Cov（La，b，Lc，d）表示Cov的估计量La，b（ωkn；τa，τb, Lc，d（ωkn；τc，τd）.回顾定理2中极限过程的定义，我们得出以下表达式：Cov（La，b，Lc，d）=fa，afc，cCov哈，a-fa、bfa、aHa、b、Hc、c-fc、dfc、cHc、d=Cov（Ha、a、Hc、c）fa、afc、c-fc、dCov（Ha、a、Hc、d）fa、afc、c-fa，bCov（Ha，b，Hc，c）fa，afc，c+fa，bfc，dCov（Ha，b，Hc，d）fa，afc，c，其中我们已经为分位数谱密度fi，j（ωkn；τi，τj）写了fi，jj，为极限分布Hi，j（ωkn；τi，τj）写了Hi，jj对于任何i，j=a，b，c，d。因此，考虑到a=c=m和b=d=r的特殊情况，我们有cov（Lm，r，Lm，r）=fm，mCov（Hm，m，Hm，m）-fr、mfm、mCov（Hm、m、Hm、r）-fm，rfm，mCov（Hm，r，Hm，m）+fm，r | fm，mCov（Hm，r，Hm，r）。对于a=d=m，c=b=r的特殊情况，我们有cov（Lm，r，Lr，m）=fm，mfr，rCov（Hm，m，Hr，r）-fm、rfm、mfr、rCov（Hm、m、Hr、m）-fm、rfm、mfr、rCov（Hm、r、Hr、r）+fm、rfm、mfr、rCov（Hm、r、Hr、m）。最后，我们用一致估计代替未知量。为了做到这一点，weabuse表示法使用fa，bto表示Ga，bn，R（ωkn；τa，τb），并根据Brillinger（1975）中的定理7.4.3，我们使用2πn·Wkn×”n-1Xs=1Wn2π（k-s） /不适用西尼罗河2π（k-s） /不适用Ga，cn，R（τa，τc；2πs/n）~Gb，dn，R（τb，τd；-2π序列号）+n-1Xs=1Wn2π（k- s） /不适用西尼罗河2π（k+s）/nGa，dn，R（τa，τd；2πs/n）~Gb，cn，R（τb，τc；-2π序列号）#（31）以估计Cov（Ha、b、Hc、d）。B罕见灾害风险模型和QS-betas我们展示了QS-betas如何与Nakamura等人的资产定价模型相关。

(2013).他们对Rietz（1988）和Barro（2006）最初提出的灾害风险模型的扩展使灾害能够在多个时期内展开，并在灾害发生后部分恢复。我们认为，QS Beta可以捕捉消费增长和股票回报之间复杂的联合动态。为了做到这一点，我们模拟了消费增长，并从罕见灾害模型的三种规格中求出了公平回报：1）模型中，灾难在多个时期内展开，然后发生部分恢复。2） 模型包含多个时期的灾难，但灾难是永久性的。3） 具有永久性单周期灾难的模型。我们假设Epsteinand Zin（1989）和Weil（1990）的偏好，并遵循Nakamura et al.（2013）的估计过程，使用他们的数据集、求解过程和偏好参数值。即，我们设置CRRA，γ=6.5，IES，ψ=2和贴现因子，β=exp(-0.034).图3显示了主要结果。图的第一行包含与去趋势消费和权益回报（非杠杆消费索赔回报）相关的典型灾难过程。我们观察到，在灾难开始时（消费首次下降），股本回报率也出现了明显的同期下降。如果灾难正在发生，灾难期结束后，股票回报率会出现明显的正跳。图的下面板包含QSβ及其90%置信区间，这些置信区间是根据各个模型模拟得出的。

每个模型模拟100次，每个模拟产生一个长度为50000年的时间序列（我们模拟每年的观测值）。我们可以看到，中位数的依赖性（由对应于τ=0.50的直线给出）在各规范中没有显著差异，并且在整个范围内是恒定的。这意味着，使用简单的基于协方差的度量，我们无法区分不同规格之间的关联动态。节理结构最重要的部分包含特定层位上节理分布的尾部。我们可以将一个时期和永久规范视为基准规范。在这种情况下，平均而言，极端事件是同时发生的，因此贝塔系数会跨越水平面。如果我们看一看正在发生灾难的情况，由于灾难的持续性，左尾的QSβ在更长的时间内达到峰值。对于多周期和暂时性灾害，上尾的QSβ与下尾的QSβ非常相似，因为在灾害结束后，消耗在多个时期内部分恢复，这反映了灾害发生时的联合动力学。另一方面，在多期永久性灾难的情况下，在灾难结束时，股票回报率出现正跳，但消费没有恢复。这使得QS Beta在更长的时间内达到峰值，因为在灾难结束时，消费增长和公平回报通常不会同时出现积极的跳跃。补充Nakamura等人（2013）的代码可从以下网站下载：https://eml.berkeley.edu/~enakamura/文件。htmlFigure 3：消费增长和股本回报之间的QS Beta。。第一行描述了Nakamura等人规定的各种罕见灾害风险模型的典型灾害。

(2013).第二行捕获这些规格的QSβ及其90%置信区间。对于每种规格，使用100个消费增长系列模拟和长度为50000的等长回归来估计QSβ。模型和参数值遵循Nakamura等人（2013）。5 10 150.0 0.5 1.0多期和过渡期典型灾害公平回报消耗5 10 150.0 0.5 1.0多期和永久性典型灾害公平回报消耗5 10 150.0 0 0.5 1.0一期和永久性典型灾害公平回报消耗0.0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50.4 0.6 0.8 1.0ω2πβ25Y 5Y0.050.500.950.0 0 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.6 0.0 8 1.0ω2πβ25Y 10Y5Y0.050.500.950.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50.4 0.6 0.8 1.0ω2πβ25Y 10Y 5Y0.050.500.95C QS BetasC的特征。1分位数光谱β的汇总统计表3：描述性统计。表总结了两种分位数水平选择的完整模型中所有beta的基本描述性统计和相关性结构。贝塔值是使用1926年7月至2015年12月期间采样的CRSP数据库计算的。Presentedresults是根据我们最大的样本计算的，即使用至少有50年历史的股票。长周期由对应于3年周期和更长周期的频率给出。τ=0.05τ=0.10βCAP MβrellongβrelshortβEV RlongβEV RshortβCAP MβrellongβrelshortβEV RlongβEV RshortMean 1.068 0.310 0.098 0.726 0.016 1.068 0.197 0.051 0.632 0.015中等1.084 0.324 0.096 0.715 0.016 1.084 0.191 0.048 0.634 0.016St。开发人员。

0.372 0.208 0.083 0.296 0.065 0.372 0.164 0.064 0.212 0.051βCAP M1.000 0.234-0.188 0.595 0.041 1 1.000-0.040-0.100 0.435 0.066βrellong 0.234 1.000 0.147 0.688 0.032-0.040 1.000 0.275 0.595 0.055βrelshort-0.188 0.147 1.000-0.062-0.053-0.100 0.275 1.000 0.104-0.073βevlong 0.595 0.688-0.062 1.000 0.025 0.435 0.595 0.104 1.000 0.112βEVshort0.041 0.032-0.053 0.025 1.000 0.066 0.055-0.0730.112 1.000我们有兴趣了解估计分位数光谱β的分布揭示了什么，因此我们显示了TR、EVR和完整模型中使用的估计β的无条件分布。表3总结了所有估计beta的描述性统计数据。我们关注τ-0.05和0.10这两个值，并在顶部面板中给出估计参数的横截面平均值、中值和标准偏差。我们观察到所有beta平均为阳性。这对于相对trbeta尤其有趣，这意味着，粗略地说，平均股票对市场的尾部依赖性比简单的基于协方差的度量所建议的更高。表3的底部显示了TR、EVR和CAPMβ的相关结构。我们观察到长期beta之间以及长期EVRand-CAPM beta之间的更高相关值。然而，所有这些相关性都远低于1，这表明所有变量都可能拥有与资产相关风险相关的不同且潜在重要的信息。另一个有趣的观察结果是，长期和短期的相对β与CAPMβ几乎不相关，这正是我们希望看到的定义。为了进一步可视化分布特征，图4显示了分位数水平四个不同阈值的β的无条件分布。

我们观察到β的最大离散度为τ的最小值，对应于mostextreme情况。当我们移动到较高的τ值时，分布显示出较小的变化。此外，对于各自的风险，长期beta的分布比短期beta的分布更广泛。图4:TR和EVRβ在不同尾部的分布。图显示了短期和长期TR和EVRβ的无条件分布的核密度估计。给出的结果是根据我们最大的横截面计算的，即使用至少有50年历史的股票。长周期由对应于3年周期和更长周期的频率给出。0.0 0.5 1.0 1.50 2 4 6 8 QSβ分布，τ=0.01β密度βTRSβTRLβEVRSβEVRL0.0 0.5 1.0 1.50 2 4 6 8 QSβ分布，τ=0.05β密度βTRSβTRLβEVRSβEVRL0.0 0 0.5 1.0 1.50 2 4 6 8 QSβ分布，τ=0.1β密度βTRSβTRLβEVRSβEVRL0.0 1.0 1.50 2 6 8 QSβ分布β，τ=0.25β密度βTRSβTRLβEVRSβEVRLC。2稳健性检查：横向尾部风险和其他风险因素大量其他风险因素和公司特征已被文献记录为股票回报横向变化的重要驱动因素（Harvey et al.，2016）。虽然我们不试图包括所有详尽的控制措施，但我们想看看我们新定义的风险因素是否不包含在一组显著变量中，以及与收益分布的尾部和时刻相关的变量中。因此，我们自然关注下行指标，并使用Ang et al.（2006）提出的下行风险、Lettauet al.（2014）提出的下行风险β规格以及Farago和T’edongap（2018）最近提出的五因素广义失望厌恶（GDA5）模型。