线性有理函数非齐次性的由来及解决方法

2022-6-10 04:17:53

线性有理期望中非齐次性的由来及解决方法*摘要对理性预期的非一致性进行了解释：在随机、离散时间、线性、常数系数的情况下，相关的自由参数是决定公众对冲击的最直接反应的系数。模型一致性的要求可能会使这些参数完全自由，但当它们的值被适当指定时，就会确定唯一的解决方案。在广泛的模型中，最小二乘预测误差的要求决定了参数值，因此确定了唯一的解决方案。这种方法独立于动态稳定性，通常不会抑制模型动力学。对一个标准的新凯恩斯主义例子的应用表明，传统的解决方案恰恰抑制了理性预期产生的动态。这些动力学的揭示揭示了它们与新的I-S方程和预期的菲利普斯曲线的不相容性。JEL分类：E17，C53关键词s：理性预期；模型一致性；非均匀性；不确定性，新凯恩斯主义模型。1导言理性预期假说在宏观经济学中起着核心作用，但长期以来，人们认识到它不需要唯一地确定预期，结果的不确定性在哲学、数学和实践方面都提出了反对意见。本文从预期形成动力学的角度，追溯了非一致性的经济根源。人们普遍认为，非一致性评估问题的核心在于有限回归（如果有可能对未来说“回归”）：如果*加拿大安大略省滑铁卢市滑铁卢大学电气和计算机工程系2L 3G1jthistle@uwaterloo.ca.

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大多数88

2022-6-10 04:17:56

本文件是arXiv:1806.06657【q-fin.EC】的修订版，也是作者学术部2018-01（2018年4月）技术报告的修订版。很高兴感谢安德鲁·赫尼斯和克里斯托弗·尼尔森进行了一些富有启发性的讨论；克里斯托弗·尼尔森（ChristopherNielsen）还对手稿的早期草稿发表了评论。内生变量的值取决于其未来值的当代预测，那么未来值的预测取决于未来预测，而未来预测又取决于更晚的预测；等等。这种明显的回归表明需要一个终端边界条件，并希望这种条件可能有助于确定唯一的解决方案。但本文表明，不确定性的根源不在于遥远的未来，而在于眼前：在随机、线性、离散时间、常数系数的情况下，相关的自由参数决定了预期对冲击的即时响应。合理性要求——或模型一致性要求——通常使这些参数不受约束；然而，当它们的价值得到适当的规定时，就会确定一个独特的解决方案。特别是，如果模型一致性要求得到加强，而预测误差在最小二乘意义上被最小化，那么，对于广泛的模型，自由参数被确定，解决方案是唯一的。Blanchard（2018）表达了理性预期“惯性不足”的观点：这里表明，传统的理性预期方法在产生标准新凯恩斯模型的独特解决方案时，恰恰抑制了理性预期产生的特征值。

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2022-6-10 04:17:59

相比之下，本文的方法不预先假定任何稳定性或不稳定性，也不通常抑制任何模型动力学。新凯恩斯模型中理性预期动态的揭示揭示了与新的I-S方程和预期菲利普斯曲线的不相容性。1.1 Taylor的例子Taylor（1977）的一个早期例子说明了非均匀性背后的自由参数的性质。考虑以下等式，^p2，t-1=^p1，t-1+δpt+ut其中δ是一个非零实常数，UTI是一系列独立、同分布、零均值的随机变量，具有有限的方差，PTI是一个内生变量（具体而言，与产出价格的对数成比例），并且，对于i=1，2，^pi，tdenotes a for ecastof pt+i，在时间t制定（即，根据uτ进行计算，对于τ≤ t）。寻求formpt的解决方案=∞Xi=0πiut-i、泰勒通过设定^p1，t来实现理性预期-1=∞Xi=1πiut-i、和^p2，t-1=∞Xi=2πiut+1-i、泰勒方程的这个版本已经通过坐标的变化进行了线性化：这里，ptinderespt- 泰勒坐标中的δ/δ。将这些表达式代入模型方程，他发现：π=-δ-1，πi+1=（1+δ）πi，我≥ 1.系数π是确定的，但π是fr-ee，其值决定了所有其他系数。Taylor然后转向施加有限方差条件（动态稳定性）和最小方差条件，以限制π的可能值。但数量π的经济意义是什么？根据^p1的参数化，t-1，^p1，t-1=πut-1+πut-2+ . . . ;因此，系数π决定了ut的影响-1为此。换句话说，这一系数决定了冲击的直接影响；它对新信息集成到预测中进行建模。

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2022-6-10 04:18:02

不可否认，这是“预期机制”的一个重要参数然而，在比率期望的假设下，π是完全自由的。尽管理性预期是一种强烈的假设，但它并不能全部或部分地决定将新信息集成到预测中。本文的结果概括了这一发现；他们表明，解释比率预测不均匀性的自由变量正是控制冲击对预测的直接影响的系数。因此，当且仅当这些直接影响通过其他方式明确表达时，非一致性才得以解决。目前流行的方法是间接限制这种影响，主要是通过要求动态稳定性的重要终端条件。稳定性标准的使用是任意的，因为它与非均匀性的原因没有特殊关系。这也是不现实的，因为它依赖于不稳定动力学的有限精度抵消。Taylor证明，如果δ为正，那么他的模型是稳定的当且仅当π正好为零。他推导出以下递归：pt- （1+δ）pt-1= -δ-1ut+（π+（1+δ）δ-1） ut公司-如果π=0，则pT和uT中的移动平均值等于m，从而导致所谓的“零极点对消”，从而抑制1+δ处的不稳定特征值。通过引入“左移”操作符z，可以更明确地显示取消操作，因此ZXT代表xt+1，z-1xT用于xt-1（so z-1是“右移”或“滞后”操作员）。

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kedemingshi

2022-6-10 04:18:05

然后，假设正态代数运算可应用于算子，则上述方程可重写为，pt=-δ-1z- （πδ+（1+δ））z- （1+δ）ut。附录A的分析表明，π是确定的，因为模型方程包含名词性预测。为了本文其余部分的目的，使用z变换将此运算符符号形式化。因此，如果π=0，pt=-δ-1z- （1+δ）z- （1+δ）ut=-δ-1吨。仅当π=0时，z中有理函数的零点与（并取消）不稳定极点（分母多项式的根，它与特征多项式重合）重合。在这种情况下，生成的模型具有降阶动力学，因此根本没有动力学。这种确保唯一解的方法取决于模型是否具有适当的不稳定特征值。它还需要公众的agg r ega t eforecast^p1立即响应，将输入utt精确地等于零。在泰勒的例子中，为π指定相同唯一值的另一种方法是要求将预测误差的方差最小化。本文表明，在国外的一类模型中，该需求决定了一个唯一的解，而不考虑稳定性，并且通常不需要零极点对消。1.2背景理性预期模型非一致性的来源首先在于对预期建模的原因：预测对经济变量的行为有影响；此外，它们可能会影响预测的数量。对这种自指现象的研究至少可以追溯到廷伯根（1933年），他研究了预测水平对商品价格变动的影响。

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2022-6-10 04:18:08

Grunberg和Modigliani（1954）关于社会事件的公共预测的工作，明确了问题的循环性，将基于模型的期望作为固定点。希勒（1978）后来将这一特性总结为“在[模型]中‘自我复制’的期望机制”定点表征立即提高了不存在和非均匀的可能性。Muth（1961）将类似的观点应用于市场动力学，假设市场参与者的预测与经济理论的预测之间不存在系统性差异。他称这种预测为理性预期。Lucas（1972，19 76）将理性预期假设应用于宏观经济模型，以说明预期政策的变化如何引起经济主体行为的变化。国家期望的提高通常被描述为宏观经济学的一场革命，这种方法已经被许多不同学派的经济学家开发出来。但一旦将其应用于具有重大动态的模型，并相应预测这些动态的未来结果，就发现预期并不是唯一确定的（Taylor，1977；Shiller，1978）；Grunbergand Modigliani的定点表征中固有的非均匀性的可能性已经实现。在缺乏对这种非均匀性来源的解释的情况下，主要的反应是施加一个终端边界条件，限制增长率o fKeuzenkamp（1991）比较了Muth对Tinbergen的贡献。Black（1974）侧重于非均匀性，但在相对严格的要求下，初始条件与持续的经济平衡相一致，并且有界的通货膨胀率是唯一的。轨迹，希望有一个独特的解决方案来满足它。

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2022-6-10 04:18:11

事实上，“解决方案”一词几乎是指“稳定的解决方案”（Funovits，2017）。如果基础模型具有适当的不稳定特征结构，则其不稳定性可能足以将稳定解空间缩小到一个单态。这种方法以某种方式或非某种方式消除不稳定的动态，这有效地要求公众在有限的精度范围内采取行动。取消的效果是删除模型的动力学特征。这些实践的结果是，支持者和批评者都将他们对理性预期的研究归结为病理学上的特殊情况。此外，这些a dhoc方法可能仍然不足以解决非均匀性：对于这种情况，还提出了各种其他想法，如最小方差解或最小状态变量实现（Taylor，1977；Basar，1989；McCallum，1999；Evans和Honkapohja，2001）。然而，像动态稳定性一样，这些标准无法触及问题的核心。1.3概述这篇文章的主要观点是通过识别相关的自由参数来解释非一致性，这些自由参数是期望机制本身的参数。就一般性而言，该分析仅从简单、最小的假设出发，这些假设由传统的理性预期方法所满足。除了一个标准的、技术性的假设之外，预测只与初始条件和模型驱动变量呈线性关系，它们对驱动变量的依赖性可以通过系数为常数的线性微分方程来表示。这个温和的假设与Muth（1961）的假设3相呼应；它被传统的理性预期解决方案所满足；这对于保持模型方程的线性常数系数结构是必要的。

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2022-6-10 04:18:15

本文将其形式化为方程形式，称为forecastingmechanisms。导出一般理性预期解决方案的问题在于解决受模型一致性约束的预测机制，也就是说，受预测机制在模型中自行产生的约束这个问题反过来又归结为一些描述模型参数相互关系的一般奇异、确定性矩阵微分方程的解。由于这些方程在时间上不适合进行简单的前向或后向递归，因此可以通过z变换（且不损失一般性）在频域中求解它们。唯一性只要求适当规定预测机制的参数，该机制控制预测对冲击的即时反应；这是因为参数t ha t将预测机制的一个固定点与另一个固定点区分开来。换句话说，正是这个参数区分了不同的理性预期解决方案。确定任何模型一致性预测机制的必要形式（第3.1节和第3.2节）将导致存在必要且有效的条件，并根据上述参数表征一般解（第3.3节）。这一结果解释了随机期望模型的非一致性的性质，并参考了期望形成的动力学。因为极简主义，例如萨金特和华莱士（19 73）；Shiller（1978）；Minford等人。

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2022-6-10 04:18:18

(1979);布兰查德和卡恩（1980）；Binder和Pesaran（1997）；金和沃森（1998）；Sims（2002）；Lubik和Schorfeide（2004年）。它所基于的一组假设，所有这些分析都是一般性的：它包括在线性、常数系数模型下对理性预期的任何合理方法。通过假设一个简单的结构条件，即适定性，可以整理出这一总体情况。适定性确保了模型一致性预测机制的存在，并允许以包含反馈的相对稳健的预测器形式实现该预测机制（第3.4节）。传统的稳定性标准，作为在一般解中消耗不需要的自由度的特殊手段，与本文的精神背道而驰，但为了进行比较（第4节），本文的框架可以再现关于小型新凯恩斯模型“确定性”的众所周知的观察结果。Blanchard（2018）表示，比率na l期望值是不够的。事实证明，稳定所需的零极点消除精确地抑制了新凯恩斯模型中由期望值产生的动态（第5节）。对于一大类模型，只要进一步假设理性预期或无偏预测，并假设预测误差不仅是零均值，而且在最小二乘意义上是最小化的，就可以消除非均匀性（第6节）。强化假设可以说比不稳定极点零对消的假设更温和，并且不需要模型的任何特定稳定性或不稳定性。

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2022-6-10 04:18:20

通常也不会导致动力学的取消。由于本文的方法与动态稳定性考虑无关，因此可以通过策略研究稳定性。这一点在第7节中得到了说明，新凯恩斯模型的标准公式与理性预期的动态不兼容。第8节简要回顾了大量相关文献，并提出了一些研究建议。附录显示了论文的主要结果如何扩展到更一般的模型，给出了论文主体中省略的一些证明的细节，并概述了相关的数学背景，以供必要时参考。2问题公式本次展览基于Cho和McCallum（20-15）的一个简单抽象模型，虽然原则是概括的（见附录a）。对于所有t∈ Z、 xt=Axt-1+^A^x1，t+但（1）ut=车辙-1+重量。（2）矩阵A，^A∈ Rn×n（^A 6=0），B∈ Rn×mare常数。变量包括自变量t∈ Z、表示离散时间瞬间，内生变量xt的向量∈ Rn×1，向量^x1，t∈ Rn×1表示xt值的一个时间步“预测”，以及外部输入ut向量∈ Rm×1，由序列wt驱动∈ 实值、独立、零均值随机变量的Rm×1，具有独立性，定义在公共概率空间上。预测^x1，t可能取决于协方差（或方差）矩阵的所有条目都是有限的。初始条件x-1，^x1，-1和u-1，被正式视为常数，在随机变量u，u，…，的序列上，ut–或等效顺序w，w，wt.假设多项式矩阵[z^A- z+z]是正则的–意味着它的行列式不会在所有z上消失∈ C、在这种情况下，该模型也将被称为正则模型。

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2022-6-10 04:18:24

这是一个常见的假设，在这种情况下，它可以排除和期望无关的无意义的来源。当然，在没有其他方程的情况下，随机变量^x1、tand x是未定义的。为通用性起见，仅假设预测^x1，t与初始条件和驱动变量wt–a呈线性关系，此外，其对驱动变量的依赖性可由线性、常数系数、随机差异方程表示。这本质上是Muth（1961）假设3的一个版本，并通过其他理性预期方法得到满足。然后，线性恒常微分方程理论告诉我们，期望值必须遵循以下形式的方程：^x1，t=tXτ=0Ft-τwτ+xt+1，（3），其中Ft∈负t的Rn×mvanishes和Xt+1线性依赖于初始条件，但不依赖于wt。这种方程将被称为预测机制m。卷积核确定预测机制的脉冲响应矩阵，卷积和的限制确保预测基于适当的信息集。变量WT本质上只是定义ut随机结构的一种方便手段，因此考虑由经济外生变量ut驱动的预测机制也很有意义：^x1，t=tXτ=0Ft-τИuτ+xt+1，t型≥ 0，（4）每t≥ 0，英尺∈Rn×m.序列▄ut：=Ptτ=0Rt-τwτ=ut- Rt+1u-1决定仅取决于WT而非初始条件的内生变量序列的组成部分。下一节中进行的所有分析均基于上述预测形式的温和假设，以及上述规律性。

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2022-6-10 04:18:27

因此，它代表了在线性、恒定效率、随机差异方程的背景下对理性预期的一般分析。特别感兴趣的是无偏见的预测机制。设y为wt公共概率空间上定义的任意平方可积随机变量。对于t≥ -1，Cho和McCallum打算利用该模型来获取动态、随机、一般均衡（DSGE）模型的局部线性近似值。有关具体的数值实例，请参见第4节。在传统的理性预期范式下，Cho-McCallum模型已被用于捕捉具有任意数量的预期项的方程，具有任意的预期Alleads和lags（Broze et a l.，1995；Binder and Pesaran，19 97；McCallum，2007）；参见附录A，了解本文结果对此类一般模型的直接扩展。Et（y）表示y的期望值，条件是驱动变量w，w，wt–并受完整模型的约束，包括预测机制及其初始条件。给定一致的初始条件，如果完整模型（1–3）（分别，（1,2,4））满足（xt+1），则预测机制（3）（分别，（4））是模型一致的- ^x1，t）=0，或等效地，^x1，t=Et（xt+1），t型≥ -1.这种预测机制体现了“强”理性预期假设，即经济主体的行为，就像他们能够获得有关经济的所有相关信息一样，并在此基础上形成不包含任何系统性错误的预期。应该强调的是，适当的条件预期取决于预测机制，即使模型或分析师最初不知道该预测机制。

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大多数88

2022-6-10 04:18:30

这是一个关键点，作者认为这一点在逻辑上是隐含的，并且完全符合强烈理性预期假设的精神。在经济学术语中，它提出了这样一种假设，即经济行为体（总体上）的行为，即他们不仅知道经济如何应对冲击和行为体的预期，而且还知道行为体自己的预期是如何形成的，以及如何对冲击作出反应。本文的主要结果包括模型一致性预测机制的一般存在性和唯一性结果（定理3.5，第15页），以及确保存在的简单结构条件的识别，以及以组合前馈/反馈实现形式的可实现性（定理3.6，第16页）。最后，它表明，对于一大类模型，不仅要求预测误差为零均值，而且要求它们在最小二乘意义上最小化，就可以确保唯一性（推论6.1，第22页）。3一般模型一致性解为了导出模型一致性预测机制的一般表示，我们分别考虑了初始条件为零值和驱动变量为零值的情况；通过线性，我们随后叠加得到的解。在第一种情况下，非均匀性的原因变得很明显。3.1零状态响应支持初始条件x-1，^x1，-1和u-1为零。在线性时不变系统的终结论中，产生的响应称为零状态响应。根据定义，预测机制的零状态响应必须具有卷积形式。在第一种情况下，根据驱动变量wt：^x1，t=tXτ=0Ft查找描述是很方便的-τwτ，t型≥ 0 .

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2022-6-10 04:18:33

（5）由于模型（1,2）实际上是一个线性常数方程组，内生变量向量的序列必须具有类似的卷积形式：xt=tXτ=0Gt-τwτ，t型≥ 0 . （6）自然地，▄gt取决于▄Ft，反之亦然。模型和模型一致性条件将提供两个描述其关系的方程。将卷积和（5,6）代入方程（1），并使用（2）消除ut：tXτ=0Gt-τwτ=At-1Xτ=0Gt-1.-τwτ+^AtXτ=0Ft-τwτ+BtXτ=0Rt-τwτt型∈ Z（7）应用条件期望运算符E，~Gtw=A ~Gt-1w+^AFtw+BRtw，t型≥ 0 .但是在这里，w∈ Rm×1是任意的，所以它必须是▄Gt=A▄Gt-1英尺+快速公交系统，t型≥ 0 . （8）对于与两个脉冲响应相关的第二个方程，引入t的模型一致性条件≥ 0：^x1，t=Et（xt+1）<==>tXτ=0Ft-τwτ=Et（t+1Xτ=0Gt+1-τwτ），<==>tXτ=0Ft-τwτ=tXτ=0Gt+1-τwτ。再次以w为条件取期望值，并进行因子分解，从而获得了结果方程对任意y w必须成立的基础，~Ft=~Gt+1，t型≥ 0 . （9）零态响应的计算相当于求解系统（8,9），因此有效地简化为通过将▄Gt+1替换为▄Ftin（8）：▄Gt=A▄Gt获得的方程的解-1+AGt+1+BRt，t≥ 0 . （10）为此，假设矩阵多项式[z^A- zI+A]是正则的–它的行列式不是相同的零。这是一个标准假设，对此有充分的理由。例如，见（King和Watson，1998；McCallum，1998）。特别是，无论预期如何，都有必要确保解决方案的唯一性。在这种正则性假设下，任何存在的解都是唯一的。

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kedemingshi

2022-6-10 04:18:36

此外，它是指数级的，因此具有单边z变换：考虑到（10）可以通过上述矩阵多项式的线性化重写为一个初始矩阵微分方程（Lancaster，2008）；例如，参见Brüll（2009）的结果。将单边z变换及其左移和右移特性应用于（8,9），并记住▄GT必须为负t消失，一个结果▄G【z】=Az-1G[z]+^AF[z]+B[I- Rz公司-1]-1，（11）~F[z]=z[~G[z]-G]。（12）方程式的出现反映了对附加边界条件的需要；不均匀性的结果是，仅当条件G-应用1=0。但是，给定模型（1,2）的形式，这种非均匀性只能由模型一致性预测机制产生。因此，额外的边界条件应以▄Ft表示：设置t=0 in（10）和（9），▄G=^A▄G+B=^A▄f+B。（13）用^AF+B代替G，然后根据F求解变换F[z]和G[z]：~F[z]=[z^A- zI+A]-1h【zI- A] （^AF+B）[zI- R]- zBi[我]- Rz公司-1]-1，~G[z]=[z^A- zI+A]-1hz^A（^AF+B）[zI- R]- zBi[我]- Rz公司-1]-这证明，如果（8，9）存在合适的解，它们必须具有上述形式的变换，因此必须是唯一的。但是▄F【z】的形式也决定了存在：命题3.1假设【z^A】- 我很正常。

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2022-6-10 04:18:39

然后对于乘积^AF的任何给定值∈Rn×m，系统（8,9）存在一个解，使得▄Ftand▄gtVanish为负t，且▄a▄fh为规定值，仅当有理矩阵▄f[z]=[z^a- zI+A]-1h【zI- A] （^AF+B）[zI- R]- zBi[我]- Rz公司-1]-1正确。在这种情况下，逆z变换≈Ft:=z-1n[z^A-zI+A]-1h【zI-A] （^AF+B）[zI-R]- zBi[我]-Rz公司-1]-1o▄Gt：=Z-1n[z^A-zI+A]-1hz^A（^AF+B）[zI- R]- zBi[我]-Rz公司-1]-1包含独特的此类解决方案。证明：假设系统存在适当的解决方案。然后，对于负t，分别使用▄fta和▄gtvanish。它们各自的z变换就是适当的有理矩阵；通过逐步讨论，~F[z]和~G[z]具有命题陈述中给出的形式，其中▄Fis是▄Ft的初始值。这建立了唯一性（通过z变换反演）和存在的必要条件。相反，对于^AF的任何特定值，如果给定的矩阵F[z]是正确的，那么G[z]=[z^A也是正确的- zI+A]-1[z^A（^AF+B）- zB[I- Rz公司-1]-1] =（^AF+B）+[z^A- zI+A]-1[[字-A] （^AF+B）- zB[I-Rz公司-1]-1] =（^AF+B）+z-1F【z】。因此，F[z]和G[z]都是单边z变换。因为z-1F【z】是严格正确的，那么G【z】的逆变换的初始值必须等于AF+B。接下来（11）和（12）是满足的。然后再变换回时域，则表明（8）和（9）以及（10）是满足的。在t=0时应用（10）得到G=AG+B，因此A等于AF的规定值。但是，通过（9），Ft所有t=Gt+1≥ 因此，产品^AFtindeed的设定值att=0。这证明了存在的充分条件。上述结果引出了模型一致性预测机制（3）形式的必要条件：推论3.2让模型（1,2）是正则的。

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2022-6-10 04:18:42

对于乘积^AF的任何给定值∈Rn×m，任何模型一致性预测机制（3）必须满足▄Ft=Z-1n[z^A-zI+A]-1h【zI-A] （^AF+B）[zI- R]- zBi[我]-Rz公司-1]-1o。在▄F【z】适当的情况下。如果x-1，^x1，-1和u-1为零，且^x1，t=Ptτ=0Ft-τwτ，则模型（1,2）满足xt=tXτ=0Gt-τwτ，其中▄Gt：=Z-1n[z^A- zI+A]-1hz^A（^AF+B）[zI- R]- zBi[我]- Rz公司-1]-1o。预测误差在时间t实现≥ 0是xt- ^x1，t-1=（^AF+B）wt证明：关于模型一致性预测机制形式的必要条件，以及关于结果模型的解决方案，是命题3.1的直接结果，在前面的讨论中。为了满足模型方程，我们再次通过命题3.1，方程（8）通过线性得到满足，并且事实上，对于负t，<<GT消失，因此是（7）。因此，推论中的^x1、tand和xtin可解模型方程（1,2）。对于日期为t=-1，那么，x- ^x1，-1=x=~Gw=（^AF+B）w；根据方程式（9），对于≥ 0，xt+1- ^x1，t=t+1Xτ=0Gt+1-τwτ-tXτ=0Ft-τwτ=▄Gwt+1=（^A▄F+B）wt+1。（14）这些预测误差均为零，证实了模型的一致性。该解决方案可以用外部输入utrather表示，而不是驱动变量wt，只需将▄F【z】和▄G【z】乘以【I】- Rz公司-1] ：F[z]=[z^A- zI+A]-1[[字- A] （^AF+B）[zI- R]- zB]，G[z]=[z^A- zI+A]-1z【^A（^AF+B）】zI- R]- B] ，右乘以[I]的时域计数erpart- Rz公司-1]-1恢复▄F【z】和▄G【z】是与Rt的卷积。由此可知，F=▄F。同样，Ft（分别为Gt）与UTI的卷积相当于▄Ft（分别为Gt）与wt（通过卷积关联度）的卷积。

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kedemingshi

2022-6-10 04:18:46

因为[我- Rz公司-1] 它的有理矩阵逆都是正确的，因为它们的每个逆z变换的初始值都是恒等矩阵，所以它们中的任何一个相乘都不会改变正确性。推论3.2的以下对应项是直接的：推论3.3假设模型（1,2）是正则的。然后，对于任何指定的^AF值∈Rn×m，任意模型一致性预测机制（4）hasFt=Z-1{F[z]}=z-1{[z^A- zI+A]-1[[字-A] （^AF+B）[zI- R]- zB]}，其中F[z]是正确的。如果x-1、^x1、t和u-1均为零，且^x1，t=Ptτ=0Ft-τuτ，则得到的完整模型（14）满足文本=tXτ=0Gt-τuτ，其中gt=Z-1{G[z]}=z-1{[z^A- zI+A]-1z[^A（^AF+B）[zI- R]- B] }。预测误差在时间t实现≥ 0是xt- ^x1，t-1=（^AF+B）wt。如果F[z]和G[z]合适，则它们分别构成通常称为预测机制和相应模型的传递矩阵或传递函数矩阵。当转移材料合适时，它们具有状态空间实现。这种实现不是唯一的，它们的选择可能取决于有理矩阵结构的细节。但是，借助数值例程可以很容易地找到实现，例如MATLAB控制系统工具箱的命令tf2ss，orof Scilab（Scilab Enterprises，2012）。混凝土数值示例见第4节。特别警惕的读者会注意到，G[z]和G[z]的公式隐含了对术语[I]的精确取消- 亚利桑那州-1]-1，由模型方程（1）通过方程（12）产生，通过项[I-亚利桑那州-1] 产生于▄F【z】。

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2022-6-10 04:18:49

（若要查看取消，请将▄F【z】的解替换为方程式（12）。）然而，第3.4节中给出的F【z】的实施确保后一项也通过反馈从模型方程本身产生，在这种情况下，取消是代数的一种形式，不要求公众的总体行动具有有限的精确度。一个相关的问题是，整体模型可能对^A的值非常敏感：从数学上讲，该值的变化可能会引起标称矩阵多项式[z^A]的奇异摄动- zI+A]。彻底处理后一个鲁棒性问题超出了本文的范围；但解决方案的一个要素可能是将^合理地视为预测机制的一个参数，其输出将是^a^x1，t的乘积，即预测^x1，t的“经济影响”，而不是预测本身。3.2零输入响应为了充分描述模型一致性预测机制，必须考虑非零初始因素的影响。对于已分析的驱动项，现在（通过线性）可以考虑初始条件可能具有非零值，但所有驱动变量都消失的情况。从系统论的角度来看，模型的对应解称为“零输入响应”根据预测机制的定义，在这种情况下，^x1，t=xt+1，其中xt+1几乎依赖于初始条件，但根本不依赖于wt。对于任何t≥ 0，模型一致性因此要求xt+1=Et（^x1，t）=^x1，t。换句话说，^x1，t必须是xt+1的准确预测。因此，序列XT必须是以下“完美预见”模型的解决方案，该模型捕获驱动变量WT为零值f或所有t的情况≥ 0.xt=Axt-1+^A^x1，t+BRt+1u-1，（15）^x1，t-1=xt。

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2022-6-10 04:18:52

（16）替换^x1，tin第一个方程式，xt=Axt-1+^Axt+1+BRt+1u-1.t型≥ 0 . （17）进行单边z变换并求解X[z]，X[z]：=X[z]=[z^A- zI+A]-1[z^A^x1，-1.- 扎克斯-1.- zBR【I】- Rz公司-1]-1u-1] ; （18）这里，完美预见模型的第二个方程被用来用初始条件^x1代替x，-命题3.4假设模型（1,2）是正则的。LeText：=Z-1{X[z]}=z-1n[z^A- zI+A]-1[z^A^x1，-1.- 扎克斯-1.- zBR【I】- Rz公司-1]-1u-1] o.那么，当且仅当ifX[z]存在一个完美的预见解- ^x1，-1完全正确。在这种情况下，唯一的此类解决方案具有xt=xtand^x1，t-1=xt+1。证明：通过上述讨论，任何解xtof（17）都必须具有X[z]形式的单边z变换。作为单边z变换，X[z]必须是适当的。此外，因为x必须等于^x1，-1，矩阵X【z】- ^x1，-1必须严格正确。这就建立了存在完美预见解决方案的必要条件。现在，假设x[z]- ^x1，-1完全正确。这意味着X[z]是正确的，而^x1，-1是t=0时逆变换X的值。重新排列表达式forX[z]：X[z]=Az-1[X[z]+zx-1] +^Az[X[z]- ^x1，-1] +BR[我- Rz公司-1]-1u-1、转换到时域，可以看到逆变换XT满足（17）。该解的唯一性来自于变换X[z]的唯一性。此外，如果^x1，t-1=xt，对于所有t≥ 0，则（15,16）满足。如果wt=0，则完整模型（1-4）满足xt=xt，t型≥ 根据命题3.4，初始条件将被称为一致的ifX【z】- ^x1，-1严格正确；在这种情况下，模型一致性预测机制必须具有xt=Z-1{X[z]}。在命题的最后一部分，用系统论术语来说，XT可以表示在模型一致性预测下完整模型（1-4）的零输入响应。

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2022-6-10 04:18:55

它显示了当t的任何驱动项消失时，系统如何响应非零初始条件≥ 然而，在可能超出结果限制的潜在应用中，应牢记推导的性质。如果模型已在负时间瞬间演化，且模型参数≥ 0与t=-1，假设x的实际值-1和u-1重新验证t零输入响应的初始条件≥ 但不太清楚预测^x1的实现会带来什么影响，-1、“完美预见”无需在模型参数发生变化的情况下适用。与上一节推导的公式一样，上述X[z]的解隐含地表示一个项[I- 亚利桑那州-1]-1从模型中升起的部分被一个术语完全取消- 亚利桑那州-1]-1来自预测机制。但是，可以通过使用模型方程的反馈来实现预测机制来解决这一问题，如第3.4.3.3节“总响应”中所述。整个系统的总响应是其零状态响应和零输入响应之和。事实上，确定任何模型一致性预测机制；那么xtand^x1，t必须是随机变量wτ，0的线性函数≤ τ ≤ t、和初始条件x-1，^x1，-1和u-1、根据线性关系，它们必须通过对驱动变量和初始条件（即零状态和零输入响应）的单独响应求和来获得。与真有理矩阵F[z]和G[z]的状态空间实现一样，可以使用标准的软件工具对pro-permatrix[z]进行反演；它相当于用给定的适当传递矩阵计算系统的脉冲响应。定理3.5假设模型（1,2）是正则的。

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2022-6-10 04:18:58

对于任何^AF∈Rn×m，defift=Z-1{F[z]}=z-1{[z^A- zI+A]-1[[字-A] （^AF+B）[zI- R]- zB]}，Gt=Z-1{[z^A- zI+A]-1z[^A（^AF+B）[zI- R]- B] }，andxt=Z-1{X[z]}=z-1n[z^A- zI+A]-1[z^A^x1，-1.- 扎克斯-1.- zBR【I】-Rz公司-1]-1u-1] o.假设初始条件一致（X【z】- ^x1，-1严格正确）。（1,2）存在一个模型一致性预测机制（4），当且仅当F[z]是适当的。在这种情况下，根据上述逆变换，唯一的模型一致性预测机制（4）为^x1，t=tXτ=0Ft-τИuτ+xt+1，t型≥ 0 ; （19）得到的完整模型（1–4）满足性xt=tXτ=0Gt-τИuτ+xt，t型≥ 0。（20）预测误差在时间t实现≥ 0为（^AF+B）wt=（^AF+B）（ut- 车辙-1) .证明：如果初始条件一致，则模型一致性预测机制的必要形式，以及由该形式的预测机制产生的完整模型的唯一解，遵循推论3.3和命题3.4，通过模型和条件期望的线性。从零输入解决方案导出的术语对预测误差没有影响，因此（同样通过线性）在t时刻实现的总体预测误差为（^AF+B）wt，如第3.1节中导出的。

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2022-6-10 04:19:01

因此，特定的预测机制（19）确实与模型一致。应该强调的是，假设可以指定一个合适的^AF值，该值通过预期表示冲击对内生变量的即时经济影响，本节的结果解决了理性预期的不一致性：只要存在模型一致的预测机制，^AF就决定了G，然后，“合理性”确定所有t>0的fta和gta。在下一节中，将引入一个简单的假设，以确保^AF.3.4的任意值的存在适定性、存在性和反馈如果“特征矩阵”的逆，则称为正则模型（1,2）[-z^A+I- 亚利桑那州-1] 是适当的-或等效的，如果[z^A- zI+A]-1完全正确。例如，当^A是非奇异的时，情况就是这样，但当^A是幂零的时，情况就不是这样了。适定性为初始条件的一致性提供了一个简单的充分条件。如果^x1，-1.- Ax-1.- 布鲁-1.∈ 伊姆尼亚。实际上，如果（1,2）的解在wt=0且预测^x1时存在，则该条件显然是必要的，-1准确无误。合宜性和弱一致性意味着对任何可能的^AF值都存在一种模型一致性预测机制。从经济学角度来看，合宜性消除了经济行为体使用其对模型的预期聚合知识来“选择”存在解的参数值的任何假设。预测机制的理论定义是不现实的，从某种意义上说，如果没有反馈，直接实施将完全缺乏稳健性。

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2022-6-10 04:19:04

但事实证明，适定性还允许以前馈/反馈互连的形式实现与模型其余部分的模型一致性预测机制，如（1,2）所示。（该条件意味着这种互连的“适定性”，在特定意义上，该术语应用于反馈系统。）反馈的使用解决了模型参数A的关键鲁棒性问题，但对参数^A的敏感性仍然是一个n问题（在第3.1节末尾讨论）。为简洁起见，本节的证明被归入附录B。结果总结如下：定理3.6如果模型（1,2）是正则且适定的，且初始条件弱一致，则对于乘积αf的每个可能v值∈Rn×m，存在唯一的模型一致性预测机制。该预测机制可通过以下前馈/反馈定律实现：^x1，t=tXτ=0Φt-τ[Axτ+BRuτ]-tXτ=0ψt-τ^AFwτ- ψt（^x1，-1.- Ax-1.- 布鲁-1).此处，Φt：=Z-1{[I- z^A]-1} 和ψt：=Z-1{[I- z^A]-1z^A^Ag}，其中^agi是^A的广义逆（s.t.^A^Ag^A=^A）。4新凯恩斯模型的传统确定性本节仅为比较目的，展示了前一节的一般解如何有助于再现传统结果。例如，考虑Lubik a and Schorfeide（2004）的对数线性化新凯恩斯主义DSGE模型：yt=^y1，t- τ（rt- π1，t）+gt（21）πt=βπ1，t+κ（yt- zt）（22）rt=ρrrt-1+ (1 - ρr）（ψπt+ψ[yt- zt]）+r，t（23）gt=ρsgt-1+g，t（24）zt=ρzzt-1+z，t（25）标量变量yt、πt和Rt分别表示输出、波动和名义利率，表示为与趋势路径或稳态的百分比偏差；Gtandzt代表了前两个方程中外源位移的影响。

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2022-6-10 04:19:07

根据我们常用的表示法，即^y1，tand^π1，t表示时间t时的yt+1和πt+1预测。我们应写出wt=[g，tz，tr，t]\'，并将所得向量值序列的不同值视为独立、同分布和零均值。标量系数如下：τ代表跨期替代弹性，β是家庭的贴现因子，κ是经验菲利普斯曲线的斜率；第三个方程描述了货币当局的行为，ψ和ψ是“泰勒规则”系数。让xt=[ytπtrt]\'，ut=[gtztr，t]\'，wt=[g，tz，tr，t]\'，很容易将方程转化为形式（1,2）。根据（Lubik and Schorfeide，2003），将系数设置为（Lubik and Schorfeide，2004）表1中给出的平均值，β=0.99=0 0 -零点二零八三三三三零零-0.10416670 0 0.4166667xt公司-1+0.8333333 0.1897917 00.4166667 1.0848958 00.3333333 0.6204167 0^x1，t+0.8333333 0.1666667 -0.41666670.4166667 -0.4166667-0.20833330.3333333 0.3333333 0.8333333ut，（26）ut=0.7 0 00 0.7 00 0 0美国犹他州-1+重量（27）（各自的矩阵系数为A、^A、B和R的值）。该模型令人满意，因为[z^A]的所有九个条目- zI+A]-1是严格正确的，因此对于每一个可能的^AF值都存在一个模型一致的预测机制。根据系数的选择值，ψ，利率政策“泰勒规则”中的波动系数的值为1.10。如果ψ>1，那么当通货膨胀上升时，货币当局政策将利率提高更大的百分比（所有其他因素都相等）：这种政策被称为积极的；如果ψ<1，则称为被动策略。

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2022-6-10 04:19:10

例如，当ψ=0.90时，一般解只有一个不稳定特征值，而当ψ=1.10时，一般解有两个不稳定特征值。在理性预期的传统方法中，发现模型在被动情况下是“不确定的”，但在主动情况下是“确定的”：只有当存在两个不稳定的特征值时，它们的抑制才会消耗足够的自由度来产生唯一解。具体而言，当ψ=1.10时，一般解在z=1.4461829和z=1.0446352时具有不稳定的特征值。分母多项式对应的左特征向量分别为，-0.5818587 0.6738827 -0.4553268&-0.0473748 0.6928388 0.7195346.在整个pap过程中，在Scilab（Mac OS X版本5.5.2）中进行了计算。这些和相关计算的结果显示为7或8个重要数字，以表明计算确实需要精确的精度。另一方面，如果ψ=0.9，并且策略是“被动的”，那么模型只有一个不稳定特征值。同样，这里施加稳定性严格是为了进行比较。继Lubik和Schorfeide（2004）之后，假设所有初始条件均为零值，因此f集中于零状态响应。因为矩阵R是稳定的，所以必须考虑矩阵多项式G[z]。

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大多数88

2022-6-10 04:19:13

自由参数^af仅出现在G[z]矩阵分数描述的数值中，因此选择其值以稳定其他不稳定模型的唯一方法是安排f或G[z]的不稳定“极点”被“零”抵消在多变量情况下，这意味着G[z]的分子matr IX多项式必须具有与分母矩阵多项式相同的不稳定特征值，具有相同的左特征向量。注意λi∈ C是G[z]的分子矩阵多项式的特征值，具有左特征向量ci，对于i=1和i=2，当且仅当复写的副本^A（^AF+B）=cB（λI- R）-1cB（λI- R）-1.上述方程的每一行代表三个方程，每一个方程都有一对不同的未知量（来自不同列o f^AF+B的前两行的条目）。因此，单极零对消并不能确定唯一的解决方案，而是两个同时进行的对消。

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2022-6-10 04:19:17

前两列复写的副本^Aare线性独立，为^AF+B的前两行产生唯一的解决方案；大概1.6999275 0.4900217 -0.61820741.85166 -0.5554980-0.4620143.这进而产生前两行F，0.8094723 0.4571583 -0.20667181.0118144 -0.3035443-0.1544551.前两行F的值确定了^AF的唯一值–大约，0.8665942 0.3233551 -0.20154081.4349934 -0.1388313-0.25368090.8975706 -0.0359379-0.1647171.因此，模型的动态稳定性要求决定了^AF的唯一值，因此，根据定理3.5，确定了唯一的模型一致性预测机制。得到的矩阵G[z]如下所示：（z- 0.3 34)-1.1.700z- 0.9 49 0.490z- 零点零四九七-0.618z1.852z- 零点九零三-0.555z+0.271-0.462z1.231z-0.369z 0.669z它可以以以下状态空间模型的形式实现：ζt+1=0.3343081ζt+0.8815320-0.2644596 0.4788405ut，xt=-0.4316088-0.32256070.4668023ζt+1.6999275 0.490 0217 -0.618 20741.85166 -0.5554980-0.46201431.230904 -0.3692712 0.6686162美国犹他州。而G[z]的最小状态空间实现通常是三阶的（参见第6节中的示例），在^AFit的参数空间中的这个孤立点是一阶的。

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