事实上，如果z保持有界，那么s趋于零，那么分母多项式趋于-[字- A] ，因此n个特征值趋向于矩阵A的特征值。但如果^A具有非零特征值，则分母多项式具有n个以上的精确值：为了使阶数下降到=0，其中一些精确特征值必须“逃逸”到精确。实际上，假设^A具有m>0个非零特征值。要捕获像1/一样随趋于零而变化的IGENVALUES行为，请执行变量z=λ/的更改。矩阵多项式- zI+A]变成[λ^A-λI+A]=-1[λ^A- λI+A]。在本例中，通过Scilab命令tf2ss。在双精度浮点运算中，只需要1±10阶的乘法摄动-9破坏零极点抵消。当趋于零时，λ中矩阵多项式的m个特征值接近A的非零特征值的倒数。因此，z=λ/中矩阵多项式的m个特征值的模趋于一致。另一方面，如果^A是非奇异的，且应用于期望的权重非常大，则z中矩阵多项式的特征值将是稳定的：推论5.1小期望增益：在上述等式（1）中，将系数矩阵^A替换为A，其中是实的正标量。假设^A h是某个非零特征值。然后，对于非常小的>0，分母矩阵多项式[z^A- zI+A]具有不稳定的特征值；因此，除非零极点取消，否则整个模型（1-4）在模型一致性预期下是动态不稳定的。大期望增益：另一方面，假设^A i是非奇异的。然后是任意特征值o的模f[z^A- zI+A]处于most1+q1+4k^A-1公里-1kAk2k^A-1公里-1.其中k。k表示任何从属矩阵范数。证明：“小增益”结果来自Akian等人的推论1。

（2004），将综合理论纳入（Akian等人，2014）。非奇异^A的上界来自Higham和Tisseur（2003）的引理3.1。上述分析表明，在“积极”政策下，消除新凯恩斯模型（第4节）的不稳定特征值所需的不稳定零极点消除会消除尤其与期望项相关的动力学特征。实际上，[z^A]的特征值-zI+A]随参数连续变化，并且让的范围从1到0，数值计算表明，正是在积极政策下不稳定的两个特征值随着趋向于零（沿实轴向右移动）而趋于一致，而其他特征值则趋向于A的特征值。现在考虑反转过程，从=0开始，因此模型中没有期望项，然后逐渐将增加到1以恢复期望。A的初始值为0、0和0.417；当从0增加到1时，两个特征值在理论上保持不变，而第三个特征值从0.417移动到0.334。因此，期望的一个影响是在a的非零特征值中产生适度的偏移。因此，期望的更重要的动态影响是形成与有限特征值1.045和1.04相对应的两个附加模式。

然而，这些正是在传统的理性预期方法下，为了选择一种独特的模型一致性预测机制而被抑制的适度性。因此，这种传统的理性预期方法破坏了由预期产生的非常动态的特征。内部特征值使有限特征值上边界的建立复杂化（Higham和Tisseur，2003）。这种抑制还取消了模型的“零动态”，这可以解释诸如“价格谜题”之类的行为（Thistle和Miller，2016）。下一节将介绍一种确定唯一模型一致性预测机制的方法，而无需求助于零极点对消。事实上，无论动力学稳定性或不稳定性如何，它都会产生唯一的解。6最小平方误差解决方案本节提出了一个独特的模型一致性解决方案，至少在超级层面上，它是理性预期的自然延伸。它适用于所有情况（无论动态稳定性或不稳定性），并且通常不需要零极点对消。除了要求预测误差为零均值外，它还要求所有预测误差在最小二乘意义上最小化：该方法的关键是唯一的f^af值将实现这种最小化。具体而言，让Et表示（^AF+B）wt，即在时间t时，在模型一致性预期下实现的预测误差。然后，假设^AFis使得，给定wt序列，每个平方误差项e′tet最小化。这一标准并不是灵丹妙药。相反，它具有一些可能不受欢迎的特性，至少在某些情况下是如此。因为G=^AF+B，误差最小化是xtto冲击中内生变量即时反应的最小化（在最小二乘意义上）。

这意味着^af的“选择”方式是，模型通过预期^x1，tat对冲击的即时响应至少会抵消其通过外部变量ut对冲击的即时响应。期望项对冲击效应的部分“阻断”是传统理性期望模型解决方案中采用的零极点抵消的一种情况，但这并不意味着它是现实的。如果^A的列跨度包含B的列跨度，那么可以选择^AF，使^AF+B为零，并且冲击的直接影响被完全阻断：然后模型将表现出“完美的预见”或“自我满足的期望”，最小平方误差项当然将全部为贝塞罗。尤其是，当^A是非奇异的时，上述内容将适用——例如，在标度情况下必须如此。^AF+B变化的另一个结果是，G，整个模型的脉冲响应的初始值消失，并且G[z]是严格正确的。但是，虽然这一新假设明显加强了通常的理性预期假设，但它也具有类似的精神；与通常结合理性预期假设的不稳定零极点对消的有限精度相比，可以说相对温和。如果如第4节所示，政策参数反映在模型的矩阵系数中，则它保留了期望依赖于政策的关键特征。但它不需要模型的特定稳定性属性，并且通常避免了由于零极点对消，唯一解具有降阶动力学的特性。要确定唯一的解决方案，请注意矩阵b的每列b都可以唯一分解为bk+b⊥, 式中，Bk是其在^A和b柱跨度上的投影⊥与向量空间正交。

设BK由B和B各自列的投影BK组成⊥特殊正交分量b的⊥. 那么，对于任何t≥ 0，e′tet=w′t（^AF+B）′（^AF+B）wt=w′t（^AF）+Bk+B⊥)′（^AF+Bk+B⊥)wt=w′t（^AF+Bk）′（^AF+Bk）wt+w′tB′⊥B⊥因为这是一个非负量之和，所以它在所有可能的^af上的最小值必须至少为w′tB′⊥B⊥wt.现在，对于b中的任何列b，可以选择相应的列fof Fc（不一定唯一），以便^Af=-bk.让Fbe由这些柱组成。然后^AF=-Bk，和；对于任何t≥ 0，e′tet=w′tB′⊥B⊥重量。该唯一值^AF=-因此，对于任何给定的nwt，bk达到最小平方误差。上述讨论建立了以下推论6.1，假设模型（1,2）是正则的。设^AF=-Bk.假设得到的F[z]是正确的，并且初始条件是一致的。那么，定理3.5给出的预测机制就是唯一的模型一致性预测机制，它会导致最小二乘预测误差。根据定理3.6，较弱的条件是模型适定且初始条件弱一致。可以肯定的是，上述方法要求公众总体上校准对冲击的即时反应，以满足最小二乘预测误差的要求。

但在这里，唯一的解决方案并不像零极点对消法那样病态或“脆弱”：^af值中的一个小误差通常意味着只需要稍微大一点的误差；而在零极点对消的情况下，最小的误差意味着模型将动态不稳定。新凯恩斯主义的例子第4节的例子中，我们发现，-黑色=-0.833-0.155 0.322-0.417 0.469 -0.209-0.333 0.239 -0.075.设置^AF=-Bk，为得到的矩阵F【z】找到一个最小状态空间实现，我们得到了唯一的、最小平方误差、模型一致的表示。事实上，在实例w中，最小平方误差标准要求极点对消，产生较少病态解的一种实用方法可能只是简单地应用“小、，\'rando m摄动^AF值。预测机制：ξt+1=1.574-0.937-0.835-0.0942 0.978 0.2850.271 0.109 0.273ξt+-0.288-1.153 0.3701.003 0 -零点三零八零零-0.671ut，（28）^x1，t=0.488-1.171-0.528-0.592 0.334 0.437-0.349-0.049-0.0059ξt+-1.-0.311 0.4710 0.552 -0.374-0.125 0.130 0.23 3美国犹他州。（29）第二个方程的第二个矩阵系数是系统simpulse响应的初始值，它等于F；将其乘以^A得出上述结果-黑色。

根据定理3.6，该模型已建立良好，因此该预测机制可作为反馈/前馈预测器。将预测机制与模型方程（26）耦合产生一个系统，该系统可以用以下状态空间模型的形式表示（作为相应有理矩阵G[z]的实现而获得）：ζt+1=1.574-0.937 0.835-0.094 0.978 -0.287-0.271-0.109 0.273ζt+-0.290-1.161 0.3731.011 0 -0.3100 0 0.676ut，（30）xt=0.275-0.911 0.128-0.444-0.127-0.366-0.169-0.172 0.358ζt+0 0.0118 -0.0950 0.0522 -0.4170-0.0948 0.759美国犹他州。（31）确定预测误差的系数^AF+B与G相同，因此等于方程（31）的第二矩阵系数。与传统的解决方案相比，这种解决方案没有简化的动态顺序，而模型动力学的保留结果表明，新凯恩斯模型的制定存在困难。事实上，上述状态空间方程与关键模型方程的标准解释不符。例如，新的I-S方程（21）通常被认为是断言实际利率rt越高- ^π1，t，低输出yt；同样，gt越大，输出yt越高。但状态空间方程并不一致。请注意，GT是向量ut的第一个组成部分，YIT是xt的第一个组成部分。根据（31），GT对xt的任何组成部分没有直接影响；到（29）为止，它对利息成本的唯一影响是负影响，但它不仅是与新凯恩斯模型的通常解释不一致的最小二乘误差解。

在下一节中，除非对[z^A]的特征值进行抵消- zI+A]，任何模型一致预测系统下的模型特征值分析与I-Sequeation和预期Phillips曲线的通常解释相冲突。7新凯恩斯模型的稳定性通过将理性预期与动态稳定性分离，本文的方法可以更清楚地描述宏观经济模型的动态。为新凯恩斯模型制定稳定利率政策就是一个例证。如果R矩阵是稳定的，那么在没有零极点对消的情况下，整个模型的稳定性只取决于矩阵多项式的特征值[z^A- zI+A]。因此，人们可以通过改变泰勒规则参数，使所有矩阵多项式的特征值变得稳定，来玩弄中央银行的玩具版。冲洗度，ψ=1.10，ψ=-1.50，特征值为0.81±0。045i和0.76（通过降低ρr值，可以进一步降低模量）。这表明这是一个稳定的模型，其响应只有轻微的振荡。在传统的理性预期方法下，这些泰勒规则参数不会产生“确定性”模型，动态稳定性与确定性不相容。但总的来说，并没有这样的困难：例如，这种稳定程序可以结合使用上述最小二乘误差准则来执行。请注意，应用于产出的上述泰勒规则系数ψ的值为负值，这意味着产出水平越高，政策利率越低。这一惊人特征的原因在于新的I-S方程的特殊性。

该方程是从微观基础推导出来的，特别是从不同经济部门成员的最优规划问题的解决方案推导出来的。例如，假设家庭根据利率和其他变量的非线性函数的预期值来安排其在所有时间内的消费。在这种情况下，时间t的预期实际利率越高，同时的消费量就越低，而且，消费量越低，时间越早，从更高的利率中获利就越好。然后，通过将与最优性相关的一阶条件“对数线性化”来获得线性模型方程，这是一个信息近似过程，通常假设非线性函数的预期值可以近似为这些函数近似的预期值。新的I-S方程是通过在生成的方程组中识别输出和消耗来推导的。与消费计划问题的解决方案不同，这个方程当然并不意味着当前实际利率越高，早期的消费水平就越低。事实上，与通常的解释不同，很难辩称它甚至与当前的产出水平也存在负相关关系：对于当前实际利率的任何变化，几乎肯定会对下一期产出的预测1产生相应的变化，因此对今年的影响是不言而喻的。

最好按如下方式重新排列方程式，^y1，t- yt=τ（rt- ^π1，t）- gt，（32）可以看出，τ>0，这意味着实际利率越高，下一时期的预期产出增长越大。但是在整个模型的上下文中可以说更多：注意分母矩阵多项式[z^A- 零输入响应（第3.2节）与零状态响应（3.1）的情况完全相同。为了研究模型特征值，因此需要（在没有零极点对消的情况下）考虑零输入响应。但如果序列r、t、g、t、z等于零，则根据第3.2节的分析，I-S方程和预期的菲利普斯曲线有效地变为，yt+1=yt+τ（rt- πt+1）- gt，（33）πt+1=β-1πt- β-1κ（yt- zt）。（34）结果是新凯恩斯模型的完美预见版本，它产生了与一般版本相同的特征值。对于任何给定的初始条件，它都有唯一的解，根据该解，πt+1和yt+1的值由它们以前的值以及rt、GT和zt确定。因此，rt越大，yt+1越大。因此，兴趣越大，下一时刻的输出就越大。类似地，当β必要性和κ>0时，预期菲利普斯曲线（22）有效地表明，产出水平越高，下一个时期的预期通货膨胀增长率越低。对于与模型一致的期望，这两个方程都是如此。在确定整个模型中的通货膨胀时，这两个反转基本上相互抵消，因为从利率到通货膨胀的唯一传输渠道是通过输出。这就解释了为什么上述稳定政策规则中ψ的符号符合经济直觉，而ψ的符号则不符合。

另一方面，如果仅仅通过改变τ和κ的符号来粗略地“纠正”两个关键方程，那么正如预期的那样，在稳定政策规则方面，ψ和ψ都是正的。事实上，为了稳定，对通货膨胀和产出缺口的政策反应应该是“积极的”：ψ=1。5、提供的模型是稳定的1。03≤ ψ≤ 1.49; 当ψ=1.03时，模型稳定，提供1.04≤ ψ≤ 1.50. 在央行的玩具游戏中，可以选择政策收益ψ=1.10和ψ=1.50：这将给出0.812±0.0453i和0.763的特征值；这两个策略参数与单位圆的距离尽可能远，它们产生的响应只是轻微的振荡。在最近一次对DSGE模型的建设性批评中，Blanchard（2018）声称，newI-S方程（21）和预期菲利普斯曲线（22）是“令人震惊的”本节的结果支持了这一说法，但并非出于布兰查德所列举的所有理由。他将理性预期描述为不够“惯性”这一主张的根本原因可能是抑制了相关的动态，这是理性预期传统应用的一部分。然而，这种抑制并不是理性预期的一般特征，而只是哈希德在过去几十年中所主导的非常特殊的方法。8相关工作在寻找DSGE模型的前进方向时，Blanchard（2018）问道：“我们如何才能偏离国家期望，同时保持人们和企业关心未来的观念？”这篇论文指出，问题不在于理性预期被尝试并发现不足，而在于它们从未被尝试过（当然要道歉）。

切斯特顿）。通过降低ρrth的值，可以进一步降低特征值的模，从而平滑政策利率的变化。主要原因是，之前从未了解非均匀性的原因，因为早期的工作没有包括预测机制的任何明确参数化。Taylor（19 77）将Muth（1961）的早期方法改编为动态宏观经济模型，方法是以Wold分解的形式对整体模型进行参数化（见第1.1小节）。虽然泰勒公式在某些方面与目前的公式相似，但它假定了动态稳定性，这是一个不必要的限制。更重要的是，Taylordid没有显式地将预测机制参数化。Shiller（1978）认识到，解决理性预期模型的关键是解决预测机制，但他也没有包括这样一个明确的参数化。以前的方法也是如此；最近的例子见（Tan和Walker，2015）和（Al-Sadoon，2017）。然而，解决方案非一致性背后的自由参数是铸造机制本身的基本参数。如果不了解非均匀性的真正原因，也许是因为人们普遍认为需要终端边界条件，稳定性很快成为试图选择唯一解决方案的主要手段。

Taylor（1977）和Blanchard（1979）考虑了替代方案，但Blanchard（1981）称其应用已经成为“一个标准，如果不是完全令人信服的实践”，他只是在不久后才援引稳定性约束几十年来，它一直如此，尽管远未普遍适用，尽管人们认识到它会抹杀模型动力学并改变稳定性（Lubik和Schorfeide，2004）。因此，计算理性预期解的标准方法不必要地与稳定性问题联系在一起。通常假设以下公式成立：Γyt=Γyt-1+ψvt+πηt。向量ytis由内生变量组成，包括预测，vt是一个外生随机驱动变量，η是一个平均预测误差为零的向量，它被确定为解过程的一部分。应用矩阵分解，以允许单独考虑各自的特征值，并且在涉及不稳定特征值的情况下，安排（如果可能的话）vt和η中的相应项相互抵消，给出抵消不稳定特征值的零点。如果相应的计算唯一地确定了预测误差，那么就有一个唯一的理性预期解决方案——在那些服从稳定性约束的情况下。

正如本文所证明的那样，这仅仅是一种任意和间接的手段，在不知不觉中模拟公众对冲击的即时反应。但该方法与理性预期模型的解决方案非常接近，因此应该强调的是，与稳定性的联系是完全没有必要的，因为不稳定特征值的不现实、精确的取消，以及随之而来的动力学抑制。Taylor（1977）认为，作为确保唯一性的另一种方法，要求内生变量的方差最小化。但Basar（1989）似乎是第一个明确研究预测误差方差最小化的人。Basar被认为是一个单变量模型，具有单个预测项^x2，t-1，以安西为例（Blanchard和Kahn，1980；Binder和Pesaran，1997；Klein，2000；Sims，2002；Lubik和Schorfeide，2004）。具有有限方差的独立零均值序列，并假设信息集基础预测由xt或-1，或该尺度变量的噪声测量值，在后一种情况下，所有随机变量均为高斯变量。他指出，最小方差理性预期解可以作为有限期问题解的极限情况进行计算，前提是假设相当于整个模型的两个特征值的真实性。具体而言，在有限的时间间隔内，在终端边界条件的约束下，称为预测误差平方和折现的形式化的有限地平线问题。除了对信息集的限制外，Basar没有对预测机制的形式做出任何假设，但他的解决方案满足常数系数的线性复发。

附录A的结果给出了泰勒模型和巴亚尔模型的一般解，以及预测误差公式。在这两种情况下，模型一致性解的空间都可以用两个参数来表征，第一个参数是确定的（因为模型包含名词化的期望项），第二个参数是完全自由的（因为模型满足适定性条件的适当推广）。预测误差方差为正，并通过设置▄G=0最小化–这相当于将无标记一步预测的脉冲响应初始值置零。9结论本文表明，线性理性预期模型解的非一致性背后的自由参数是捕捉经济行为体对冲击的即时反应的系数。它提供了一个通用解决方案，该解决方案有一个独特的实例，可以非常适当地指定这些自由参数。如果模型是适定的，且初始条件弱一致，那么对于每种可能的参数，都存在一个（唯一的）解。此外，如果模型一致性要求增加了最小平方预测误差的要求，那么对于广泛的模型类别，自由参数的唯一值将被确定，因此，唯一的解决方案也是如此。这一结果被视为确保独特性的一种具体手段。

它在保留其优点的同时，避免了通用方法最严重的缺点，但应根据论文的主要结果及其产生的相应解的形式，严格考虑其对给定应用的适用性。事实上，这篇论文的基本目标是解释理性预期的无意义性的本质，从而避免武断的临时解决方案。在这方面，主要的结论是，模型一致性并不像可能被支持的假设那么强：它通常并不意味着预测对冲击的最直接反应的经济影响。换言之，没有任何经济主体的最短期反应模型存在系统性预测错误的根本原因。用Kahneman（2011）的术语，一个粗略的解释表明了这一点：理性预期是分析性“缓慢”思维的例证，因此无法捕捉到经济冲击最直接反应背后的“快速”思维——但很明显，任何经过深思熟虑和推理的预期形成过程都必须考虑到更即时、更具反射性的行动的经济影响。与大多数松散的段落短语一样，类比可能不应该太过夸张，但应该强调的是，“初步思维”不一定意味着即兴创作，可能包括自动应用预处理响应，如此处确定的自由参数所代表的预处理响应。通过取消不稳定动力学，本文的结果消除了应用和研究理性预期的实质性障碍。它们极大地扩展了可以应用理性预期的模型范围，并且避免了对模型动力学的抑制。

因此，它们允许审查稳定和稳定的基本问题。他们还应该简化以理性预期假设的相关性为中心的问题，例如模型估计和经济主体对模型的“学习”（Shiller，1978；Rondina和Walker，2016）。更广泛地说，这些新结果提供了宏观经济模型动态的更丰富图片，并允许使用更合理和现实的方法“将其关注的变量未来价值行为的某些观点归因于个人”（Lucas，1976）。参考Sakian，M.，R.Bapat，a和S.Ga ubert（2004），“矩阵铅笔特征值的扰动和最优分配问题”，摘自Rendus Mathiques Acad。Sci。巴黎，塞里一世，第339卷，第103-108页。Akian、Marianne、Stéphane Gaubert和Andrea Marchesini（20 14）“矩阵的奇异值的热带边界”，《线性代数及其应用》，第446卷，第281-303页。Al Sadoon，Majid M.（2017）“线性系统方法与线性理性预期模型”，计量经济学理论，第1-31页。阿罗、肯尼斯·J·a和马克·内洛夫（1958）“关于期望和稳定性的说明”，《经济计量学》，第26卷，第297-305页。Basar，T.（1989）“关于理性预期模型和替代公式的一些想法”，《计算机与数学与应用》，第18卷，第591-604页。Binder、Michael和M.Hashem Pesaran（1997）“多元线性理性预期模型”，《计量经济学理论》，第13卷，第877-888页。Black，Fischer（1974），“理性预期下货币增长模型中价格水平的唯一性”，《经济理论杂志》，第7卷，第53-6-5页。Blanchard，Olivier（1981）“产出、股市和利率”，《美国经济评论》，第71卷，pp。

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直接分析有助于深入了解本文的核心问题，即解的非唯一性和相关的自由参数，当然也允许直接解更广泛的一类模型。要概述一种通用方法，请采用以下模型：hXi=0lXj=0Aij^xi，t-j=但是，A=I；（35）ut=车辙-1+重量（36）这里，Aij∈Rn×nare常数矩阵系数，如B∈Rn×mandR∈Rm×m。序列wt如本文主体所示，向量utagain表示wt驱动的外部输入。向量^x0，t∈Rn是内生变量的向量Xt，对于0<j≤ l、 ^x0，t-j=xt-jis xt的“滞后”版本。对于正i，0<i≤ h、 ^xi，Tre给出了在时间t时公式化的xt+i值的预测。为简洁起见，本附录重点介绍了当前方法的新部分，零状态响应的公式和解决方案：因此，所有初始条件都假设为零值，预测将仅取决于随机变量uτ，对于0≤ τ ≤ t、 形式上，预测机制采用形式为^xi，t的方程组形式-j=t-jXτ=0Fij，t-τuτ， 0<i≤ h，0≤ j≤ l，t≥ j，（37），其中Fij，t∈Rn×m。卷积和的上限反映了预测^xi，t-J必须完全基于时间t时的可用信息- j、 关于仲裁条款的形式可能会有更多的问题，但额外的结构很快就会显现出来。如前所述，考虑由wt，^xi，t直接驱动的预测机制也很方便-j=t-jXτ=0Fij，t-τwτ，i、 j 0<i≤ h，0≤ j≤ l t≥ j（38）如果y是定义在wt公共概率空间上的平方可积随机变量，则Et（y）表示y的期望值，以wτ为条件，对于0≤ τ ≤ t。

如果生成的完整模型满足以下所有条件，则预测机制是模型一致的≥ j- 1, 0 ≤ 我≤ h、 0个≤ j≤ l、 Et公司-j（xt+i-j- ^xi，t-j） =0<==> ^xi，t-j=Et-j（xt+i-j） 。需要注意的是，预期值不仅受模型方程（35,36）的影响，而且还受预测机制的影响。在其他方面，上述模型类似于Broze等人（1995）的“一般模型”。WTI不仅通过期望条件，而且通过外源输入对X产生因果影响。因此，xt必须构成WT与脉冲响应的卷积，其形式如下：xt=tXτ=0Gt-τwτ。（39）对于与▄GT和▄Fij，t相关的方程式，调用模型一致性，对于0<i≤ h、 andt公司≥ 0:tXτ=0Fij，t-τwτ=^xi，t-j=Et-j（xt+i-j） =Et-jt+i-jXτ=0Gt+i-j-τwτ=t型-jXτ=0Gt+i-j-τwτ。取左侧和右侧的期望值，条件为w，Fij，tw=t-jGt+i-jw，t型≥ 0 .这里，tdenotes是单位步长函数，对于负变元，它会消失，但另一方面，它是统一的。因为wis是任意的，~Fij，t=t-jGt+i-j、 0<i≤ h，t≥ 0 .给定▄Fij，t的上述形式，删除索引j，改为写入▄Fi，t=t▄Gt+i，0<i≤ h，t≥ 0，（40）和^xi，t-j=t-jXτ=0Fi，t-j-τwτ。（41）将上述卷积代入（35）后，纸张主体的方法yieldlXj=0A0jt-j▄Gt-j+hXi=1lXj=0AijFi，t-j=BRt，t型≥ 0 . （42）方程式（40）的应用导致Gt中的以下差异方程式：hXi=0lXj=0Aijt-jGt+i-j=BRt，t型≥ 0 . （43）为了确保差异方程的唯一解，无论理性预期如何，我们应假设相应的mat r ix多项式d【z】：=hXi=0lXj=0zi+l-jAijis常规。

在这种情况下，模型（35,36）也将被称为常规。方程（43）的系数随时间而变化，但最迟只能达到t=l。因此，时不变正则广义系统理论表明，任何解都是指数级的，因此都具有z变换。假设（43）和（40），因此（42）可以同时求解。对（40）的两侧进行z变换，得到任何0<i≤ h、 Fi【z】=Znt▄Gt+io=Zn▄Gt+io=zi”▄G【z】-我-1Xk=0z-kGk#。（44）然后取（43）中的转换，并根据（44）替换，hXi=0lXj=0Aijzi-j“~G[z]-我-1Xk=0z-kGk#=B[I- Rz公司-1]-1.（45）根据规律，~G[z]因此必须满足~G[z]=D[z]-1zl“hXi=1lXj=0i-1Xk=0Aijzi-j-kGk+B[I- Rz公司-1]-1#. （46）确定唯一解决方案需要规定初始值Gi，0≤i<h。这些值必须通过方程G=B与▄Fi，t，fo的初始值0<i<h，以及与aH0▄Fh，0的初始值相关-Phi=1Ai0Fi，0（by（42）和（4 0）），和Gi=Fi，0，0<i<h（by（40））。满足这些初始值的任何两个解GT都必须具有此z变换，并且对于负t为零。从z-t变换反演得出，这两个解实际上是相等的。命题A.1假设模型（35,36）是正则的。对于任何可能的值▄F1,0，▄F2,0，Fh-1,0和Ah0Fh，0，定义G：=B-对于所有0<i<h，φ=1Ai0Fi，0和Gi：=Fi，0。

设N[z]：=“hXi=1lXj=0i-1Xk=0Aijzi+l-j-kGk+zlB【I】- Rz公司-1]-1#.然后，存在一个（40，42）的解，该解与上述初始值Fi，0,0<i<h和Ah，0Fh，0一致，并且当且仅当以下有理矩阵正确时，负t的Fi，tandgt消失：Fh[z]=zh“D[z]-1N【z】-h类-1Xk=0z-kGk#。在这种情况下，唯一的此类解决方案由▄Fi，t=Z给出-1（zi“D[z]-1N【z】-我-1Xk=0z-kGk#），0<i≤ h，▄Gt=Z-第1[z]-当且仅当满足上述条件时，才存在模型一致性预测机制（38）。任何此类预测机制必须具有▄Fij，t=▄Fi，t-j、 对于所有0<i≤ h、 0个≤ j≤ l、 如果所有初始条件均为零值，且^xi，t-j=Pt-jτ=0Fi，t-j-τwτ，对于所有t≥ j、 对于所有i，j，0<i≤ h、 0个≤ j≤ l、 然后模型（35,36）满足xt=Ptτ=0Gt-τwτ，t型≥ 对于任何i，j，0<i≤ h、 0个≤ j≤ l、 和任何t≥ j- i、 预测误差由：xt+i给出-j- ^xi，t-j=t+i-jXτ=t-j+1Gt+i-j-τwτ。（47）证明：如果存在（4 0,42）的解，那么，通过上述讨论，Fi，tand，gt的单边z变换必须具有命题陈述中给出的形式，并且必须是适当的。这就建立了生存的必要条件。为了提高效率，请注意▄G【z】=h-1Xk=0z-kGk+z-hFh【z】；因此，如果▄Fh【z】是合适的，那么▄G【z】也是合适的。因此，这两个矩阵都是单边z变换：它们的逆变换对于负t为零。此外，逆变换的第一个h值为▄G【z】，分别为▄Gi，0≤ i<h。因此，所有的Fi[z]都是正确的。通过定义，G[z]满足（46），并且转换到时域表明其逆变换满足（43）。

定义的Fi[z]满足（44），0<i≤ h、 变换到时域表明，它们各自的逆变换满足（40）。因此，（42）是满足的。在（40）中设置t=0意味着0<i<h的逆变换的初始值Fi[z]确实是赋值，在（42）中设置t=0表明Ah0Fh，t在t=0时为单位赋值。这建立了（40,42）的适当解存在的条件的有效性。从上述讨论中可以看出其独特性。^xi，t的零态响应的各自独特形式-jand Xtender提出了一种模型一致性预测机制，然后按照前面的讨论，通过直接减去卷积和来表示误差。（与之前一样，预测机制可以很容易地用ut表示。）参数▄F1,0，▄F2,0。Fh-1,0和Ah0Fh，0因此确定Gvia（35-37）；给定这些值和模型方程，然后模型一致性确定0<i的▄Fi，t≤ h、 和▄Gt，对于所有t>0。解存在的充分“适定性”条件概括如下：推论A.2假设模式l（35,36）是正则的，并且D[z]-1zh+l-1正确。然后，对于任意可能值▄F1,0，▄F2,0，Fh-1,0和Ah0Fh，0，存在一个（唯一的）模型一致性预测机制。证明：根据命题A.1，定义G：=B-对于所有0<i<h，φ=1Ai0Fi，0和Gi：=Fi，0。注意N[z]：=“hXi=1lXj=0i-1Xk=0Aijzi+l-j-kGk+zlB【I】- Rz公司-1]-1#=“hXi=0lXj=0h-1Xk=0Aijzi+l-j-kGk-hXi=0lXj=0h-1Xk=iAijzi+l-j-kGk+zlB【I】- Rz公司-1]-1#=D[z]h-1Xk=0z-kGk- zl“hXi=0lXj=0h-1Xk=iAijzi-j-kGk（1-δjδk-（一）-BRz公司-1[我-Rz公司-1]-1#其中δ是Kronecker delta函数，当t=0时，其值为单位，但在其他情况下消失。

因此，Fh【z】=D【z】-1zh+l×”BRz-1[我- Rz公司-1]-1.-hXi=0lXj=0h-1Xk=iAijzi-j-kGk（1- δjδk-i） #。方括号中的术语是严格正确的，因此，如果D[z]-1zh+l-1是正确的，那么▄Fh【z】必须是正确的。B第3.4节的证明下面的简单引理列出了适定性的一些含义。引理B.1假设^A为非零且[z^A- zI+A]是规则的。则以下为等效值：[z^A- zI+A]-1完全正确<==> [z^A- zI+A]-1zI合适<==> [z^A- zI+A]-1[字- A] 是适当的<==> [z^A- zI+A]-1z^A合适<==> [z^A- zI+A]-1z^A严格正确<==> [z^A- I]-1正确<==> z^A[z^A- I]-1正确。证明：前四个等价物和最终一个都很简单。第五，请注意[z^A- I]-1可通过【z^A】实现- I+Az-1]-1，反之亦然，通过HAZ反馈-1： 这意味着一个是正确的，当且仅当另一个是正确的。正如所声称的那样，适定性确保了模型一致性预测机制的存在：命题B.2假设模型（1,2）是正则且适定性的，并且初始条件是弱一致的。那么对于任意给定的^AF值，（1,2）存在一个（唯一的）模型一致性预测机制。证明：假设x[z]是[z^a- zI+A]-1[z^A^x1，-1.- 扎克斯-1.- zBR【I】- Rz公司-1]-1u-1] =^x1，-1+[z^A- zI+A]-1[[字- A] ^x1，-1.- 扎克斯-1.- zBR【I】- Rz公司-1]-1u-1] =^x1，-1+[z^A- zI+A]-1[z（^x1，-1.- Ax-1.- 布鲁-1)- A^x1，-1.- BR[我- Rz公司-1]-1u-1] .初始条件的弱一致性意味着括号中的术语位于^A的图像中；此外，如果[z^A- zI+A]-1是严格正确的，然后由引理B.1，X[z]- ^x1，-1也严格正确。现在writeF[z]=[z^A- zI+A]-1[[字- A] （^AF+B）[zI- R]- zB）=[z^A- zI+A]-1hz^AF-[字- A] （AF+B）R+zA（AF+B）i、 如果[z^A- zI+A]-1是严格正确的，那么通过引理B.1，这是正确的有理矩阵的和，所以F[z]是正确的。

因此，根据定理3.5，无论^aF的值如何，都存在一种独特的模型一致性预测机制。这种存在模型一致性预测机制的简单有效条件也确保了包含反馈的实现的存在。考虑到第3.1节中▄F【z】和▄G【z】的推导可以从以下方程组开始，相当于（8,9）：▄Ft=A▄Gt+^A▄Ft+1+BRt+1，t型≥ 0，▄Gt=A▄Gt-1英尺+快速公交系统，t型≥ 0 .这就得到了变换后的方程我-[我-z^A]-1A级-[我-亚利桑那州-1]-1^A IF[z]G[z]=“[我-z^A]-1hBR【I】-Rz公司-1]-1.-z^AFi【I】-亚利桑那州-1]-1B[一-Rz公司-1]-（48）左侧表示反馈互连，右侧表示作为反馈回路输入的外部信号矢量。左手系数的反比存在：-[z^A-zI+A]-1z 00-[z^A-zI+A]-1z我-亚利桑那州-1A^A I-z^A我-z^A 00 I-亚利桑那州-1.– 根据引理B.1，如果[z^A]，则逆是正确的- zI+A]-1是严格正确的（如果A是非奇异的，则相反）；在这种情况下，逆函数与方程右侧的乘积也是合适的。因此，上述方程式描述了在反馈回路中，esfta和gta是唯一的，并且是从彼此之间以及从反馈回路外部信号中因果衍生而来的。通过线性和时间不变性，^x1，tand x的零态响应从它们的卷积核继承了这种关系。更明确地说，零状态响应的前馈/反馈实现可以通过将（48）的第一个方程转换为时域，并使用WT序列进行卷积：^x1，t=tXτ=0Φt-τ[Axτ+BRuτ]-tXτ=0ψt-τ^AFwτ，t型≥ 0 .此处，Φt：=Z-1{[I- z^A]-1} 和ψt：=Z-1{[I- z^A]-1z}。

根据引理B.1，首先是真有理矩阵的逆变换（其与^a的乘积是严格正确的），其次是矩阵的逆变换，其与^Ais的乘积是正确的。或者，ψt可以定义为适当矩阵Z的逆变换-1{[I- z^A]-1z^A^Ag}，其中^agi是^A的广义逆（使得^A^Ag^A=^A）。通过为所有t设置wt=0≥ 0，并转换到z域，很容易检查定理3.6中的扩展定律是否导致（通常）情况下相同的零输入响应，其中A为非零。如第3.2节所述（前提是初始条件弱一致）。这就建立了定理。前馈/反馈预测器的结构如图1所示，其中为了简单起见，初始条件被抑制，卷积核Φtandψtar由其z变换表示。[我- z^A]-1h^AF【zI】- R]- BRi【I】- z^A]-1A^ABAz-1ut+xt-+^x1，t++图1：实现适定模型的模型一致性预测（使用xt≡ 0).C数学预备课程本课程简要介绍了与z变换和多项式及有理矩阵相关的一些数学预备课程。欲了解更多详情，请参阅Chen（1999）或Fuhrmann和Helmke（2015）。单边z变换利用频域方法解决离散时间初值问题，通常采用单边或单边z变换：Y[z]：=z{yt}：=∞Xt=0ytz-t、 z∈ C（49）这里，yt可以是标量值、向量值或矩阵值。单边z变换可以解释为因果系统的脉冲响应。

如果它是一个有理函数（或有理矩阵），那么它必须是正确的：分子（其任何元素）的度数不应大于分母的度数。变换明显是线性的；其他基本属性总结如下。收敛假设矩阵yt的每个元素（yt）ij满足（yt）ij≤ Kαt，对于某些正K，α∈ R、 然后yt的z变换在| z |>α的任何地方收敛。当它的所有元素都满足这样的不等式时，ytis被称为指数级。因此，多项式和指数是指数级的，指数级函数的和、积和卷积也是指数级的。反演积分时域函数yti由Y【z】通过以下轮廓积分确定：yt=2πiIY【z】zt-1dz，t型∈Z、 其中，积分沿Z变换收敛区域内闭合轮廓的逆时针方向进行。如果Y[z]是一个适当的有理函数（或一个适当的有理矩阵-见下文），则反变换为f或负t。在实践中，通常通过其他方法进行反演，而不是直接计算上述积分。请参见下一节。左移规则变换根据定义，对于t的负值，忽略Yt的任何非零值。因此，它总是产生一个变换，其逆（见下文）对于t的负值消失。

这一特性反映在时域函数左移的标准规则中：Z{yt+1}：=∞Xt=0yt+1z-t=z∞Xt=0yt+1z-（t+1）=z[Y[z]- y] （50）移位序列yt+1的变换是通过简单地将未移位序列yt的变换乘以z来获得的–在湮灭序列的第一个元素后，其左移版本因负指数而消失。更一般地，通过重复应用上述公式，我们得到了Z{yt+τ}=Zτ“Y[Z]-τ -1Xk=0z-kyk#，τ ≥ 1、我们通过找到序列的单侧z变换来说明定义和移位操作，对于非负t为Rt，否则为零。在对R=I进行细分后应用左移，这当然会产生与指数序列的每个项乘以R相同的结果。因此，原始序列的z变换R[z]满足：z[R[z]- 一] =RR[z]。（51）求解，我们发现[z]=[zI- R]-1zI=[I- Rz公司-1]-1.（因为矩阵多项式-R] 是常规的–请参阅下一节）。当且仅当| z |大于矩阵的谱半径（即任何特征值的最大模）时，求和收敛，z变换存在。应用（51），我们得到了一个在计算中隐式调用的等式：z[[I- Rz公司-1]-1.- 一] =R[I- Rz公司-1]-1右移规则基本右移规则如下。Z{yt-1} =∞Xt=0yt-1z-t=z-1[∞Xτ=0yτz-τ+zy-1] =z-1[Y[z]+zy-1] .通过反复应用，我们发现，更一般地，Z{yt-τ} =z-τ“Y[z]+τXk=1zky-k#，τ ≥ 1.时域卷积z{tXτ=0xt-τyτ}=X[z]y[z]。多项式与有理矩阵d次的n×m矩阵多项式是具有n×m矩阵系数的多项式：P[z]=zdAd+zd-1Ad公司-1+ . . .