表示通过给定重建方法a获得的单个网络，对于每个节点对，可能有四种不同的备选方案：a）^aij=aij=1：在这种情况下，已正确预测观察到的链路（我们有一个真正的正值）；b） ^aij=1，但aij=0：在这种情况下，观察到的链接被错误预测为缺失（我们有一个假阴性）；c） ^aij=aij=0：在这种情况下，一个缺失的链接已被正确预测（我们有一个真正的负面）；d） ^aij=0但aij=1：在这种情况下，丢失的链接被错误地预测为存在（我们有一个假阳性）。这四个类别中的一个类别内的事件总数可以直接计算如下：T P=1（^AoA） 1T，（96）F N=1（^Ao（一）-A） 1T，（97）图5:2003年观察到的eMID网络邻接矩阵（顶部面板）与根据第3.5.6节（底部面板）中描述的最小密度法重建的eMID网络邻接矩阵之间的比较。左侧面板表示二进制邻接矩阵，黑色/白色表示存在/不存在连接，而右侧面板表示加权邻接矩阵，颜色强度表示连接的权重。T N=1（（I-^A）o（一）-A） ）1T，（98）F P=1（（I-^A）oA） 1T（99），其中符号o 表示两个矩阵的元素乘积，1=（1，1…1）是第N维行向量，其条目均为1，I是N×N矩阵，其通用条目为Iij=1-δi，j。例如，真正读数的总数T P=PiPj（6=i）^aijaij。请注意，由于这四个索引总计为节点总数N，因此其中只有三个是独立的。特别是，后三个可以用tp紧凑地重写。

我们有F N=PiPj（6=i）^aij（1-aij）=^L- T P，T N=PiPj（6=i）（1- ^aij）（1- aij）=N（N- 1) - L-^L+T P和f P=PiPj（6=i）（1-^aij）aij=L-T P，其中^L和L分别是观察到的和重建的网络中的链路总数。上述四个指数提供的绝对数本身是有限的。这就是为什么将T P、F N、T N和F P isoften提供的信息结合起来定义“相对”指数的原因。第一个是灵敏度（或真阳性率）[122]，定义了ASTP R=T PT P+F N=T P^L（100），并量化了正确恢复的观察链接的百分比。请注意，对于性能而言，重建方法被认为是令人满意的，P R值接近1的条件是必要的，但不是有效的。事实上，高估链路数量的方法通过构造实现了较高的T P R值（对于完全连接的重建网络，定义为T P R=1），但也缺乏识别缺失连接的能力。后者由特定城市（或真实负利率）[122]量化，定义为C=T NF P+T N=T NN（N- 1) -^L（101），即观察到的正确恢复的缺失链接的百分比。假阳性率F P R=1- SP C是SP C的补充指数【122】。因此，直观地说，任何“好的”重建算法的特点都应该是T P R值大而F P R值低（即，其性能越好，T P R指数越接近1，F P R指数越接近0）。这一观察结果导致了经典的“图形”方式，通过将其表示为坐标（0，0），（0，1），（1，1），（1，0）单位平方内的坐标点（F P R，T P R），来可视化分类器的性能。

因此，任何完美的分类都可以在正方形的左上角找到，而随机分类（预测相同数量的现有链接和缺失链接）位于其主对角线上。给定重建算法的性能可以量化为曲线下面积（AUC）[122]，由三个坐标点（0，0），（F P R，T P R），（1，1）确定。然后，完美分类的特征是anAUC为1，随机分类的AUC为1/2，一般而言，非随机分类的AUC为1/2≤ 1、评估重建方法性能的另一种方法是绘制其T P R与第四个指数、其精度（或正预测值）[122]P P V=T PT P+F P=T PL（102），其测量正确放置的链接相对于预测链接总数的百分比。换句话说，P-P-V指数量化了给定类别的“能力”，即仅预测真正的积极因素。因此，与T P R相反，通过密集重建方法无法获得大P P V。最后，我们考虑一个指数来衡量分类师在正确放置1和0方面的总体表现：准确度[123]，定义为acc=T P+T NT P+T N+F P+F N=T P+T NN（N- 1). （103）每当重建方法确定候选矩阵的整个集合时，上述数量必须作为该集合的平均值进行评估。这可以用等式表示。（96-99），平均数量haiji=pijand hAi=P，而不是对应于单个实现aijand a的数量：hT P i=1（^aoP） 1T，（104）hF Ni=1（^Ao（一）-P） ）1T，（105）hT Ni=1（（I-^A）o（一）-P） ）1T，（106）hF P i=1（（i-^A）oP） 1吨。（107）使用集合平均值，可以更好地定量讨论密集和稀疏重建方法之间的差异。

MaxEnt是密集重建算法的代表，它满足了haMEiji=pij=p’1的关系 6=j，导致HT PMEi’L和hF PMEi’N（N- 1) -因此，hP P VMEi’L/N（N- 1） ，即该方法的功效与网络密度一致。为了充分理解这一结果的重要性，我们现在考虑有向随机图模型（DRGM），该模型由规定Pij=p=^L/N（N- 1) i 6=j。我们有hT P RDRGMi=hF P RDRGMi=P，最重要的是hP P VDRGMi=P。换句话说，“随机”分类器不一定是以1/2的概率猜测每个条目的（二进制）值的算法：更一般而言，它是由DRGM配方定义的重建方法，其P V代表任何重建算法的下限。请注意，MaxEnt方法达到了该值，因此确认了其性能的弱点，除非考虑到非常密集的配置，因为hACCMEi=p。其他广泛用于衡量重建算法优劣的指标有汉明距离H、Jaccard相似性J、余弦相似性θ、Jensen-Shannon散度JS，在^A和A之间【124】。值得注意的是，每当处理二元矩阵时，这些指数都可以用四个基本量T P，F N，T N，F P重写：H=F N+F P，（109）J=T PF N+T N+F P，（110）θ=T P^L，（111）JS=F N^Lln（2^L）+F P2Lln（2L）-T P^L+L^LL！ln^L+L^LL！-ln（^LL）（112）（每当必须考虑整个配置集合时，必须相应地对上述表达式进行平均）。进一步说，为了测试给定算法在重建权重方面的有效性，一种诱人的可能性是简单地将二进制情况中定义的一些度量扩展到加权情况。

然而，entries的非二进制性质使得很难设计出最佳选择。然而，最常用的度量是余弦相似性的加权对应项[80124]，读数为θw=1（^woW） 1T | |^W | | | | | | W | |（113）带| | |……| |表示透镜方向的矩阵范数。换言之，这两个矩阵被视为实数向量，其重叠由一个有效角近似，其值范围为-1表示最大不相似性到+1表示精确相似性，0表示不存在相关性。其他指数为透镜方向矩阵距离[93]，分别定义为| | W-W | |=NXi=1NXj（6=i）=1 | wij- wij |，（114）| | W-W | |=VuTunxi=1NXj（6=i）=1（^wij- wij）（115）和所谓的“误差测量”【115】读数 =PNi=1PNj=1 |^wij- wij | PNi=1PNj=1wij。（116）当考虑系综方法时，在用hWi代替W后，仍然可以使用等式（113）-（116）。然而，请注意，类范数数量的主要缺点在于它们是无界的，这使得很难使用它们来比较不同的候选矩阵。4.2. 拓扑指标第二组指标由拓扑性质的数量表示，提供所考虑网络的“粗粒度”描述，如度度关联和中尺度群落结构。4.2.1. 测试权重重建将观察到的权重与其对应的ImageMate进行比较最直接的方法是散点图。然而，为了始终只比较实现的连接，最好分散（实现）观察到的权重与条件权重shwij | aij=1i=hwijipij（117），这在某种程度上编码了（可用的）结构信息。

这一规定对于比较生成相同预期权重但预测不同拓扑结构的算法特别有用（例如MaxEnt和一种精确的密度方法）[80]。4.2.2. 测试高阶模式重建除了重建链接权重外，还期望一种良好的重建方法能够产生表征观测网络^G的高阶趋势。为此，通常将一般感兴趣量X（^G）的观测值与重建算法获得的相应预测进行比较。重要的是，无论何时处理集成方法，都必须考虑整个配置集，因此需要找到简洁地描述所有可能（替代）结果的统计指标。最基本和最有用的选择是X的集合平均值和标准差[58]，即hxi=XG∈GX（G）P（G），（118）σX=sXG∈G（X（G）- hXi）P（G）。（119）等式的评估。（118）和（119）原则上要求了解整个集合G。由于列出属于集合的所有配置根本不可行，因此可以使用分析或数值技术来解决此问题。在第一种情况下，基于变量预期值周围观察值X（G）的泰勒展开，δ法提供了一种简单的补救方法。它取决于：X（G）=X（hGi）+NXi=1NXj（6=i）=1（gij- hgiji）十、gij公司G=hGi+。（120）方程（120）是“张量”泰勒展开式，因为邻接矩阵g的每个条目都是独立的随机变量。通过取等式（120）两侧的期望值，可以恢复增量法公式，以计算数量X的期望值，即hXi’X（hGi）。（121）然后通过插入等式估计标准偏差σXis。（120-121）转化为等式。

（119）：σX\'vuutNXi=1NXj（6=i）=1NXt=1NXs（6=t）=1Cov[gij，gts]十、gij公司十、gts公司G=hGi。（122）值得注意的是，eqs。（121）和（122）在由度和强度表示的线性约束的情况下是精确的。其他拓扑量的例子，其集合平均值和标准偏差可以精确计算，即所谓的并矢运动，由表达式n定义<->=NXi=1NXj（6=i）=1aijaji，（123）N→=NXi=1NXj（6=i）=1aij（1-aji，（124）N==NXi=1NXj（6=i）=1（1-aij）（1-aji）。（125）考虑到不同的二元数是独立的，上述表达式的期望值和标准偏差为<->i=NXi=1NXj（6=i）=1pijpji，（126）hN→i=NXi=1NXj（6=i）=1pij（1-pji，（127）hN=i=NXi=1NXj（6=i）=1（1-pij）（1-pji）（128）σN<->=NXi=1NXj（6=i）=12pijpji（1-pijpji），（129）σN→=NXi=1NXj（6=i）=1pij（1-pji）[1-pij（1-pji）-pji（1-pij）]，（130）σN==NXi=1NXj（6=i）=12（1-pij）（1-pji）[1-(1 -pij）（1-（131）然而，其他数量的问题处理起来就不那么容易了。作为最后手段，可以通过显式采样G进行数值计算。一旦获得（正确采样的）子集G，集合平均值hXi可以通过算术平均值hXi’X=XG来近似∈GX（G）F（G），（132），其中P（G）被采样频率F（G）=NG |G |代替，ngi是样本中邻接矩阵等于G的网络数量。类似地，标准偏差σX等于σX\'sXG∈G（X（G）- 十） F（G）。（133）最后，一旦获得了X的估计值（以及关于其不确定性的一些度量值），就可以通过检查观测值X（^G）是否位于hXi±zσX所界定的区域内来进行X（^G）和hXi之间的比较，设置z以确定所需的统计显著性水平。更简洁地说，这表示为z-scorezX=X（G）- hXiσX（134），以标准偏差为单位测量观测值和期望值之间的差异。

数值接近于零的z分数表示所选重建算法生成的X期望值与观测值足够接近：更一般而言，只要| z |≤ zth（zthu通常为1、2或3），这两个值之间的差异不能被认为是显著的（置信区间分别为0.683、0.954和0.997）。无论何时处理ERG形式主义中定义的模型，这进一步意味着实际网络^G的结构（由数量X代理）完全由（编码到中的拓扑信息）施加的约束来解释。相反，如果| z |>z，则观测值X（^G）位于所选置信区间之外：确定X的观测网络的结构不能完全由施加的规范约束解释，应使用进一步的模型规范（即附加或更复杂的约束）[58126]。4.2.3. 什么可以重建，什么不可以重建即使给定的方法不能很好地重建观测网络，了解它能提供什么样的信息也是有用的。为此，让我们再次考虑z分数。当zXis显著为正时，表示Xis在^G中的代表性过高，这意味着所分析的网络显示出正向趋势。例如，链状基序在食物网中非常丰富（即，它们比预期的更常见）。类似地，每当z分数假定所考虑的随机变量为高斯分布时。如果预计偏离该假设，则应采用不同的统计检验。z得分显著为负，X表示不足。

同样，在食物网的情况下，环状图案明显缺失（即，发现的频率低于预期）。z分数（以及一般的统计测试）还提供了有关给定网络持续结构变化的信息。一个特别有趣的问题是检测即将发生的关键事件的早期警告信号。如【127】所示，这可以通过计算所考虑系统的每个时间快照的zx来实现，然后绘制zx（t）与t。只要观察值和预期值之间的差异“平稳”地从失衡状态演变为平衡状态（反之亦然），就可能检测到早期警告信号【128，129】，毫无疑问，要测试网络统计重要性的一个重要方面是将其中尺度组织成模块或社区。类似于前一小节所述的方法如下所示【130】。假设我们知道网络的社区组织，其特征是∧总社区内链接和∏社区内节点对。具有N个节点和L个链路的随机网络至少具有∧和∏这些值的概率源自urnmodel，无需重新插入，因此由逆累积超几何分布∑=LXl=∧给出∏lN（N-1)-∏L-lN（N-1） L. （135）因此，∑的值越小（称为惊喜），所考虑网络的中尺度组织就越重要【130】。随机块体模型（SBM）[131]及其度校正版本（dcSBM）[132]为中尺度结构提供了更多重新定义的基准。【133】研究了这些模型在经济和金融网络中再现区块结构的有效性。特别是，这些模型允许在两种可选的分区结构之间进行插值：核心-外围和二分体。

在银行间网络的背景下，核心-外围结构表示存在一组核心银行作为外围银行之间的中介机构，而双边结构则表示中介机构自由市场，银行根据其对交易对手的偏好进行（独家）交易【134】。以m块结构为特征的网络配置可以用m×m对称矩阵表示，称为单位矩阵，其条目表示模块内和模块之间的链接密度：a=ρggρgg。ρggmρggρgg。ρggm。。。。。。。。。。。。ρggmρggm。ρgmgm.使用这种表示法，SBM和dcSBM分别假设任意两个节点i和j之间的连接概率为psbmij=ρgigj，pdcSBMij=ρgigjxixj，（136）在【127】中，监测数量正是二元基序的丰度，X=N<->, N→, N=。其中xi是控制泛型节点i度的参数。改变模型参数后，可以生成一系列不同的拓扑。在只有两个块和g的dcSBM的简单情况下，【133】的作者施加了一种“背景”二部结构，ρgg>ρgg=ρgg，同时逐步提高属于gand的节点的异质性程度。在运行abelief传播（BP）算法[135136]时，网络L（A | ~ x）=ln的可能性NYi=1NYj（<i）=1paijij（1-pij）1-aij公司（137）强调了从纯二分结构到纯核心-外围结构的过渡。通过比较似然函数lbpw的数值与lsbm和LdcSBM的数值来进行一致性检查。如果生成模型已知，这种转变并不奇怪。然而，在研究现实世界的网络时，必须采取一些谨慎措施。

事实上，对于[133]中考虑的经验银行间网络，新兴中尺度组织的类型“取决于”使用的基准。特别是，虽然SBM诱导的信念传播在日常数据聚合尺度上显示为无分结构（ρgg>ρgg>ρgg），在较长时间尺度上显示为核心-外围结构（ρgg>ρgg>ρgg），但dcSBM诱导的信念传播始终显示为二分结构。正如其他地方所注意到的【137】，这种行为可能是由于SBM倾向于检测同质模块（例如，节点块的度数大，节点块的度数低【131】）。因此，当程度不均匀性较强时，应首选dcSBM。在稀疏网络的情况下，它是ispdcSBMij\'^Lgigj^ki^Kgi！^kj^Kgj！，（138）用^lgigji表示（观察到的）块gi和gj之间的链路总数，用^kgii表示（观察到的）属于块gi的节点总数。还值得一提的是，配置模型的分块扩展可以通过限制块特定度序列的哈密顿量直接定义【132】。这导致链路概率系数取决于所施加的块结构。也就是说，属于块r的节点i和属于块s的节点j之间的连接概率rPSij=xrixrsj1+xrixrsj，（139），其中拉格朗日乘数现在以张量形式表示，并且必须通过求解块特定的似然条件来计算。这种估计可以通过最大化稀疏情形似然函数L（^A | ~λ）\'PiPj（<i）（aijln pij- pij）且pij=ρgigjλiλj【131】。4.3. 动态指标第三类指标包括反映网络差异过程结果的指标。

在此，我们特别讨论了危机在整个金融网络中的传播以及系统性风险的相关问题，即局部事件通过级联效应引发全球不稳定的可能性。这一问题备受关注，尤其是在2007/2008年全球金融危机之后。从那时起，人们认识到金融机构之间复杂的相互联系模式使整个系统内在脆弱：这些联系构成了金融危机可以传播的渠道，最终导致类似违约级联的放大效应【60、138、139、140、141、142、143、144】。事实上，虽然互联性意味着多样化，因此有助于降低个人风险，但它也使整个系统更加脆弱[145146147]。因此，研究人员和监管机构都开始关注金融系统的结构特征[148、119、40、149、150]，目的是正确估计各银行的系统性（或影响）和脆弱性。前者表示该银行的困境对系统造成的总损失，后者是该银行在整个系统处于困境时所经历的损失【140151】。需要个人风险数据才能获得这些指标的缺点，正是使用有效网络重建技术的动机所在。特别是，重建方法可以生成与可用信息兼容的场景，因此可以用来测试单个机构和整个系统的弹性。显然，任何动力学（金融）指标的有效定义取决于假设的冲击传播的基本模型。

虽然关于这个主题的文献非常广泛，但在这里，我们仅概述基本概念，并提供一些我们认为物理学家很容易熟悉的示例。为了深入分析基于网络的系统性风险模型，我们回顾了最近的评论和书籍【152、153、154】。4.3.1. 资产负债表和金融网络给定银行i的财务状况由其资产负债表汇总，其中报告了给定日期的总资产和负债。资产是具有正经济价值的资源（如贷款、衍生品、股票、债券、期权、房地产等），而负债具有负经济价值（债务、借项、客户存款、应计费用等）。资产和负债之间的净差额银行股本i=ai- 据说，只要该银行的股本为正，该银行就有偿付能力。事实上，负股本意味着资不抵债，因为即使出售所有资产，银行也无法偿还债务。在专门文献[77、141、119]中，破产通常被视为违约的代理人，而当银行实际未能履行法定义务时，则会发生违约。现在让我们考虑N银行和Q证券（股票、债券、期权等）。i的资产负债表的详细组成可以如下示意性地描述。在资产方面，我们发现向其他银行发放的贷款{wij}Nj=1，构成投资组合的证券{ωiα}Qj=1，以及其他（即固定和无形）资产：ai=NXj（6=i）=1wij+QXα=1ωiα+aoi。（141）在负债方面，有从其他银行发放的贷款{wji}Nj=1，以及对外部方的债务loi:li=NXj（6=i）=1wji+loi。（142）因此，银行资产负债表之间的相互连接自然形成了金融网络。

特别是，银行间借贷市场由银行间贷款的单方网络表示，而股票市场由银行与自有证券之间的双边网络表示。金融冲击根据以下三种主要机制在这些网络中传播。4.3.2. 交易对手风险和信贷冲击银行间的横向风险暴露于最直观的金融传染渠道：交易对手风险。假设i银行遭受重大损失和违约，未能履行其合同义务：这导致i的债权人遭受实际损失，通常被称为信贷冲击[140，149]。特别是，j银行遭受的损失等于Дwju，其中Д表示违约造成的损失金额。反过来，如果损失超过股本ej，j银行可能违约，从而引发新一波信贷冲击。文献中对信贷冲击进行了广泛的研究（例如，参见[155156157]），这里我们简要地描述了债务等级模型[158159160]，其特点在于允许信贷冲击在没有违约的情况下传播，前提是资产负债表恶化。事实上，金融机构因信贷冲击而蒙受的损失不仅是由于交易对手的实际违约，而且是由于交易对手信誉恶化后债务的市值重估（接近违约的交易对手不太可能在到期时偿还其订单）。特别是，债务排名假设股本的相对变化线性转化为资产价值的相对变化，从而导致银行I对银行j的影响等于^1wji/ej。

然后，通过迭代分布各银行的困境水平，并通过受影响的潜在财富进行加权，得出各银行的损失。形式上，该模型的动力学由几轮冲击传播组成，之后以t为指数。每个t处银行i的状态可以用权益的相对变化hi（t）=1来简洁地描述- ei（t）/ei（0），范围在0到1之间。根据定义，当银行未发生股权损失时，hi（t）=0；当银行违约时，hi（t）=1；对于中等困境水平，hi（t）=0。对于无抵押市场（主要在文献中研究），从t=0开始，Д=1。相反，如果任何中央对手方对银行间贷款的担保，Д=0，原则上，银行不会面临任何损失，那么风险将转移到对手方。hi（0）=0， i、 t=1时的首轮损失包括减少部分银行股权的外部冲击：0≤ hi（1）≤ 1. i、 随后信贷冲击的后一轮损失计算为：hi（t+1）=min1，hi（t）+Xj∈A（t）Дwijei[hj（t）-hj（t-1)]（143）其中A（t）={j:hj（t- 1） <1}是截至t时未违约的银行集合- 因此，仍然可以传播他们的财务困境。这种动态在趋同时停止（比如说t），也就是说，当没有更多的银行可以传播他们的困境时，A（~t）=.然后，在动力学初始条件的适当集合上计算各个银行指标。

特别是，当初始条件是银行i的单一违约时，将j的最终相对权益变化表示为hj（~t | i）（即hi（1）=1，hj（1）=0j 6=i），其相对系统重要性为νi=ei（0）/Pjej（0）：o银行i的影响是系统因初始违约iIi=PNj（6=i）=1hj（￠t | i）νj1而经历的相对权益损失-νi；（144）oj的脆弱性是该银行在所有其他银行初始违约期间的平均相对权益损失V i=PNj（6=i）=1hi（≈t | j）N- 1.（145）在这两种情况下，明确排除由外部冲击造成的首轮损失，以仅考虑网络效应。4.3.3. 展期风险和流动性冲击涉及更多的金融传染渠道与银行面临的展期风险有关，这些银行需要为即将以新债务到期的债务重新融资【140161162163】。在金融危机期间，对未来损失和交易对手信用价值的担忧会导致银行通过从市场中撤出流动性，采取微观审慎的流动性囤积政策【164、165、166】。在这种情况下，缺乏流动性的银行可能无法从市场上借入所需的全部资金，并被迫出售其非流动资产。然而，当资产销售普遍存在时，市场需求无法弥补供应：非流动资产的市场价格下降（这种情况称为再销售），导致被称为流动性冲击的银行遭受有效损失【140，149】。请注意，零售溢出效应也可能源于银行采取的杠杆目标政策【104、151、167】（即，银行可能通过出售资产来应对外部冲击，以保持预期的债务过度股本水平），并因共同资产持有导致的银行间间接风险敞口而加剧（见下文）。

无论如何，流动性冲击确实代表了系统性风险的一个重要维度，与信贷冲击相当[147]，但方向相反。假设银行承担重大损失和违约，从而停止向市场提供流动性。j银行本应将其债务展期至j，补充了违约金（1-ψ） 以其流动资产或其他来源损失的资金，并通过出售其非流动资产保留部分ψ。然而，后者是折价交易，因此j必须出售价值（1+χ）ψwijin账面价值的资产，对应于χψwij的总体损失，其中参数χ设置资产价格的变化。然后，如果损失超过股本ej，j银行也会违约，从而引发新一波的流动性冲击。至于信贷冲击，在没有违约的情况下，流动性冲击也会传播：银行经历的股本损失不仅意味着其债务价值下降，还意味着向市场放贷的能力和意愿下降。因此，当银行间风险敞口的网络被退火时（即，当冲击传播的动力学在合同期限的相同时间尺度上时），流动性冲击可以顺利地纳入DebtRank形式主义中【169】。通过假设银行放贷的能力与其股票成比例下降，银行i对银行J的影响为ψχwij/ej，这等于公式（143）中的术语νwji/ejin，具有一个包含信贷和融资冲击的动态方程。然后可以如前一节所示计算财务指标。4.3.4. 重叠的投资组合和金融销售溢出除了直接风险外，金融传染可以通过对共同拥有证券的间接风险在银行间传播，即投资组合重叠[129、151、161170、171、172]。

事实上，当金融危机的发生触发了房地产销售，价格开始下跌时，持有重叠资产的银行的损失会自我加强，并触发进一步的同时卖出订单，最终导致资产价格螺旋式下降。在这里，我们讨论了一个简单的线性模型，该模型由银行的目标杠杆效应和投资组合重叠驱动的零售溢出效应[151]。定义时Ohmi=PQβ=1ωiβ作为银行i的总投资组合规模，而|ωiα=ωiα/Ohm作为i的投资组合中安全性α的权重，模型动力学由两个时间步组成。当t=1时，每家银行i获得其投资回报：Ri（1）=QXα=1|Ωiαfα（1）（146），其中fα（1）表示证券的净回报α。为了模拟外部冲击，将fα（1）取为负数，使Ri（1）<0。因为我的权益现在已经改变了OhmiRi（1），为了回到杠杆目标bi=ai/EI，银行必须分配biOhmiRi（1）资产负债表上的资产。为此，假设银行按现有持股比例分配资产，因此，银行离子证券的净购买量α为：φiα=△ωiαbiOhmiRi（1）。（147）在严重困难时期，通常会实施特殊的货币政策，中央银行成为最后贷款人，对应于ψ=0的情况。为了计算χ，通常假设资产再出售对价格产生线性影响[119151168]，因此相对资产价格变化与需要清算的资产总额成比例。然而，资产出售会产生价格影响（为了简单起见，根据线性模型），因此证券回报率α现在是：fα（2）=QXβ=1LαβNXj=1φjβ，（148），其中Lαβ是价格影响比矩阵的通用条目。请注意，如果所有证券都是完全流动的（意味着矩阵的所有元素都为零），那么价格影响就会消失。

因此，证券α的非流动性定义为∧α=PβLαβ。最后，在t=2时，组i的返回变为：Ri（2）=QXα=1|Ωiαfα（2）（149），原则上这个过程可以重复多次。使用该框架，单个银行指标可以计算如下（另请参见[80，84]）：oi的影响（或系统性）是该银行对因初始冲击II而被银行“去杠杆化”抵消的系统资产的贡献=QXα=1NXj=1ωjα∧αωiαbiRi（1）Pjej；（150）oi的（间接）脆弱性是初始冲击通过其他银行的去杠杆作用对其股本的影响i=1+biOhmiQXα=1∧αωiαNXj=1ωjαbjRj（1）。（151）请注意，除了资产负债表数量和个别头寸外，上述表达式取决于难以估计的证券非流动性参数。然而，通过假设一种证券的再出售不会直接影响其他证券的价格，价格影响比矩阵变成对角线，所有非流动性参数变得相等。在这种特殊情况下，重构指标和经验指标之间的比率呈现一种特别简单的形式，例如[80]，hIii^Ii=PNj=1PQα=1hωiαωjαiPNj=1PQα=1^ωiα^ωjα。(152)5. 模型选择标准当然，前一节中描述的每个指标只能用于评估给定重建算法性能的特定方面。在这里，我们介绍了更多基于信息的通用标准，能够捕获areconstruction方法的总体性能。5.1. 似然比测试比较不同重建算法的最基本标准是比较它们的似然函数。

由于似然表示所选模型再现观测网络的概率，其值越接近1，模型越好。然而，由于增加模型参数的数量也会导致似然函数增加，因此该基本标准完全忽略了过度拟合问题，即引入不必要参数的风险，该参数不提供任何相关信息，但会削弱模型的整体预测能力。事实上，任何模型都有一个可取的特点，即可以将其推广/应用于不同的系统。通过在单个特定系统上调整过多的参数，可能会产生一个模型，该模型能够再现系统本身的每一个细节，而不会捕获类似系统可能共享的更多一般和基本特征。因此，需要一个更明确的标准，可能会忽略进入模型定义的参数数量。最简单的选择是似然比检验（LRT），旨在比较成对的嵌套模型。这意味着1）一次只能比较两个模型，2）一个模型的参数空间必须是另一个模型参数的子空间。第二个要求阐明了测试本身的意义，旨在验证是否需要扩大参数空间，即采用更复杂的模型来描述观测结果。DECM和DWCM对提供了一个具体示例，由等式的哈密顿量定义。（36）和（16）。通过切换DECM-Lagrange乘数控制度数（即设置xouti=xini=1i） ，DECM的似然函数减少为DWCM的似然函数：pDECMij=xoutixinjyoutiyinj1+xoutixinjyoutiyinj- youtiyinj公司-→ pDWCMij=youtiyinj，（153）hwijiDECM=pDECMij1-youtiyinj公司-→ hwijiDWCM=youtiyinj1-youtiyinj。

（154）如果ris是参数数量较少的模型（即DWCM）和ris是参数数量较多的模型（即DECM），则LRT比较数量D=2Lr（^G | ~^λ（r））-2Lr（^G | ~^λ（r））（155）到一些适当定义的阈值Dth。后者由威尔克斯定理[173]确定，指出D的概率分布近似为一个平方分布，自由度数等于| ~λ（r）|- |~λ（r）|，即模型和模型r的参数数量之间的差异。相反，当考虑对数似然函数时，最佳算法的特点是最接近零的值。5.2. Akaike信息标准为了能够比较两个以上的模型，可以使用更明确的Akaike信息标准（AIC）[174175176]。在一组竞赛模型中，表现最好的r的特点是最大值为AICR=2Mr- 2Lr（^G | ~^λ（r））。（156）因此，AIC是一种模型特定指数，与模型参数数量mr与其最大对数似然之间的差异（成比例）。将参数数量添加到对数似然函数可以消除过度设置问题，AIC代表着在解释能力和简单性之间找到最佳权衡的尝试。方程式（156）提供了随后确定的其他类似标准的基线。例如，当经验观测的数量n相对于参数的数量变得太小时（经验法则是n/Mr<40[174175]），修改后的数量aiccr=AICr+2Mr（Mr+1）n-先生- 应使用1（157）。AICc惩罚参数过多的模型，甚至比AIC更严重；始终，无论何时n Mr，AICc收敛到AIC，等式（156）恢复。5.3.

贝叶斯信息准则AICc的一个替代准则是贝叶斯信息准则（BIC）[174175176]。二者之间的差异在于将术语的功能形式添加到最大可能性。BIC不仅折扣了参数数量，还折扣了观测数量：BICr=Mrln n- 2Lr（^G | ~^λ（r））。（158）额外项ln被认为使BIC比AIC更具限制性，因为前者倾向于选择参数数量低于后者的模型【174175】。然而，哪种标准表现最好，在什么条件下，仍然是一个有争议的问题。最后，我们要强调上述标准的普遍适用性。事实上，所有这些都可以扩展到量子熵测量[108]。此外，尽管所有这些标准都是基于可能性的（即，它们只能用于比较通过似然函数定义的模型），但它们也可以用于一致地比较概率算法和确定性算法（足以将这些算法的似然函数设置为零）。在任何情况下，尽管存在形式上的差异，所有描述的基于信息的标准都传达了相同的信息：“良好”的重建算法不仅需要准确地记录观察到的数据，还需要避免过度拟合，从而在准确性和节约性之间达成良好的权衡。5.4. 快速查看多模式平均值除了在一篮子备选方案中个性化最佳模型外，AIC、AICc和BIC还可以量化每个模型带来的相对改进。

这是通过计算Akaike（或等效的贝叶斯）权重来实现的，读取WR=e-r/2PR=1e-序号2，（159），其中r=AICr- min{AICs}Rs=1（或者，在BIC情况下，r=BICr- min{BICs}Rs=1），其中R是竞争模型的总数。某个模型的Akaike（或贝叶斯）权重通常被解释为相应模型是最合适的模型的可能性。尤其是具有 ≤ 2有大量的统计支持；带有4个≤  ≤ 7支持较少，型号 > 10基本上没有支持（值得注意的是，也可以定义密集区间）[174175176]。最后，为了量化给定模型ris相对于竞争对手模型r的优劣程度，可以计算wr/wr的比率。在表2中，我们为（无向）ECM和WCMon几个经验网络提供了此类样本测试。我们发现，除了前两个社交网络，ECM总是优于WCM，实现单位概率（在机器精度范围内）。对网络进行更仔细的检查（结果正好相反），可以发现这些网络（几乎）是完全连接的。在这些情况下，degreesequence表示冗余约束，因此可以引用参数较少的模型。

这些结果提供了额外的证据，表明为了重建具有非平凡拓扑的网络，度传递的信息不可还原为强度信息。网络wAICWCMwAICECMO办公室社交网络1 0研究小组社交网络1 0兄弟会社交网络0 1马斯帕洛马斯泻湖食物0 1切萨皮克湾食物网0 1水晶河（对照）食物网0 1水晶河食物网0 1米奇根湖食物网0 1蒙得哥河口食物网0 1沼泽地食物网0 1意大利银行间网络（1999年）0 1世界贸易网（2000年）0 1表2:Akaike用于重建第一列中所列经验网络的WCM和ECM权重【94】。除了前两个基本上完全连接的网络外，学位信息的包含是非冗余的，ECM的性能大大优于WCM。最后，每当这些测试中没有成功的模型出现时，Akaike（或贝叶斯）权重仍然可以用来解释同一参数的多个估计值，例如{u}。保留提供这些估计值的模型的解释力的一种方法是：根据模型的“相关性”（例如，Akaike权重）对估计值进行平均（160）。等式（160）说明了多模态平均的概念：因此，用于重建网络的估计为^u。结论和展望网络在我们的生活中越来越普遍，因此网络模型和方法在科学和社会中变得越来越重要。无论这个世界的发展和技术水平如何，我们都将努力（可能会越来越多）获取描述它所需的信息。

现在，对于像WWW这样大的系统，除了部分信息之外，基本上不可能收集任何信息。因此，我们相信，未来将越来越需要处理部分信息所需的基本仪器知识，为在现代统计物理中新使用集合方法铺平道路。到目前为止，最先进的技术清楚地表明，重建方法的性能在很大程度上取决于几个因素。为了找出解决当前问题的最佳方法，最近人们致力于在大量经验网络上比较不同的算法。此类“赛马”旨在量化各种算法相对于第4节中介绍的指标系列的性能，特别注意拓扑算法。下面，我们简要总结了上述艺术的现状以及对未来作品的展望。6.1. 比较现实世界网络上的不同重建算法，尽管MaxEnt方法的基本原理植根于对金融系统的经验观察（银行倾向于最大限度地扩大其多样性，因为在压力传播的情况下，完整市场被认为比不完整市场更稳健[138]），人们普遍认为，MaxEnt在再现给定网络的拓扑细节方面表现得很差。另一方面，MaxEnt和“copula”方法在再现观察到的权重方面表现出色，这是由（加权）余弦相似性所指示的【61】。然而，真正的金融市场非常稀少[177]。因此，MaxEnt方法必须辅之以能够再现给定网络结构拓扑细节的规定。

尽管密度修正的DWCM约束了边缘和链接密度（从而再现了两者），但它可能无法再现高阶拓扑量[81]。通过这些算法独立于权重（例如，以两步方式）估计拓扑细节，可以获得更好的性能。例如，等式（46）所述的能力诱导ERG模型不仅（在很大程度上）再现了经验系统的入度序列和出度序列[92]，而且还通过链接概率的函数形式来表征，以确保观察到的分离趋势得到正确复制[81]。此外，这种方法能够令人满意地再现相同网络的结构细节[80]，从而比其他将相同类型信息作为输入的方法更有效[81]。[61]中进行了更详细的分析，重点是统计指标，其中指数由等式定义。（103），（109），（110）和（111）已被用于不同的重建算法。结果是，“强调”金融机构之间的联系结构的措施有利于产生更稀疏网络的方法，而“强调”双边敞口规模的措施有利于尽可能均匀分配敞口的方法。更具体地说，根据准确度指数、汉明距离和雅卡距离，能力诱导模型和最小密度算法都表现出色。然而，前者“在集成方法中显然是胜利者[…]所有利益衡量标准“[61]。在【93】中进行了另一轮比较，将贝叶斯方法的性能与能力诱导ERG模型的性能进行了比较。

为此，作者采用了第3.5.2小节中讨论的“经验”方法，其中调整参数以匹配实际网络密度。“经验”贝叶斯方法和能力诱导模型在准确性、敏感性和特异性方面都表现良好。这证实，只要考虑到二进制网络拓扑，适应性诱导ERG模型似乎是迄今为止可用的最佳算法。就权重重建而言，适应度诱导ERG模型在陆地地形下得分最高，但在PTS指数下优于贝叶斯方法。后者量化了在数字生成的网络样本中发现重构权重的概率，重构权重的大小在观察值的10%以内。如【93】所述，Bayesianaproach成功的原因在于，它可以生成以不同权重范围为特征的配置，而能力诱导ERG模型通过简单的伯努利分布分配权重，因此找到满足上述要求的值的概率较小。然而，应该注意的是，通过使用加权随机图模型（其性能甚至优于贝叶斯方法）可以获得相同的成功结果，并指出任何有效的广义算法似乎都能够在PTS指数下获得高分。换言之，在该指数下令人满意地执行的要求似乎不适用于任何专门为重建设计的算法。

总的来说，贝叶斯方法的多功能性（即其产生大量不同拓扑结构和权重分布的能力）使其成为设计可行的神经网络（在其上运行压力测试）的好方法，而不是重建特定的网络结构。在[178]中，作者调整了前几节中描述的几种方法，以应对二分银行信贷网络的重建。这些算法的原始版本和修改版本之间的主要区别在于通过IPF算法实现的权重分配步骤。一般来说，作者观察到的是，最佳性能取决于特定指标和聚合水平。然而，除了MaxEnt和MinimumDensity方法分别获得最高灵敏度和最高特异性的微不足道结果之外，作者发现，所考虑的ERG模型变体（即方法inspiredName ME Type Category简要描述第2节参考文献MaxEnt 3稠密确定性通过限制边缘3.1.1【76，77】IPF 3可调确定性最小化与Maxent3.1.2【86】的KLDifference，最大化了网络中心上的ShannonentryMECAPM 3密集概率约束矩阵中心平均匹配最大值3.1.4【84】Drehmann&Tarashev 3可调概率随机扰动最大重构3.2.2【88】Mastromatteo等人。

3可调概率利用Message-Passingalgorith3.2.3[79]Moussa和Cont 3可调概率实现IPFon非平凡拓扑3.2.4[90]适应度诱导ERG 3精确概率使用fitnessansatz通知指数随机图模型3.3.4[98，92]Copula方法5稠密确定性通过边缘3.5.1【115】甘迪和维拉特5可调概率实现可调贝叶斯重建3.5.2【116】蒙塔尼亚和卢森堡5可调概率假设依赖于边缘的连接概率3.5.4【118】哈拉杰和科克5概率使用外部信息定义（地理）概率图3.5.5【120】最小密度5稀疏概率最小化网络密度，同时满足第3.5.6条[121]表3：本工作中审查的重建方法概述。根据【179】和【104】，“始终表现最佳”【178】和“能够相对较好地重建邻接矩阵和加权网络，并且能够在所有（数据）聚合级别上保留实际网络的统计特性”【178】。有趣的是，重建方法在再现动态（财务）指标方面的性能也得到了测试。正如作者所注意到的，即使是空模型preservingdegrees也无法准确再现系统性风险的实际水平（定义为银行违约概率[178]）。

然而，受[179]启发的模型（其次是受[104]和MaxEnt启发的模型）“与实际网络的整体行为最为接近，而最小密度则显示出不同聚合级别之间的不一致性能”[178]。一般来说，能力诱导ERG模型在复制二元拓扑结构方面表现良好，因为它提供了对网络中度的真实估计。一些研究表明，采用局部拓扑属性作为输入的方法可以优于采用更多非拓扑性质信息作为输入的模型（例如，WTW的地理距离）[180]。6.2. 是否真的需要链接密度？上述所有“赛马”都指出了算法的优越性能，该算法可以校准以再现观察到的链路密度，而不是无法再现的链路密度：换句话说，网络链路密度构成了必须考虑的一段信息，以便实现准确的重建。然而，正如作者在[93]中强调的那样，网络密度不能仅从边缘来推断。因此，必须从一开始就知道这一点。如果不是这样的话（就像经常发生的那样），那么处理估计链路密度的问题并不总是那么简单。尽管仅仅知道一个网络子图，事实上，通常可以确保准确估计实际的链接密度，但必须仔细选择此类条目。正如【103】中所建议的，应采用随机选择方案，以避免可能的偏差，当节点根据某种标准进行采样时，可能会出现这种偏差。正如【80】中的作者所示，如果（组）节点是根据其总强度来选择的，那么得到的密度估计值将最大程度地取决于特定子集值pi∈I^stoti。