事实上，以总强度较大为特征的节点倾向于聚集成紧密连接的组，而以总强度较小为特征的节点倾向于聚集成松散连接的组。因此，文献[80]中的分析表明，基于采样的重建过程应基于节点集的“平衡”采样，既不偏向“核心”节点，也不偏向“外围”节点。为了进一步说明拓扑信息在提供精确的结构量估计中所起的作用的相关性，让我们比较MECAPM（两部分版本）和度校正重力模型（后一种称为“增强型”CAPM）输出的权重估计的统计结果【100】。前提是（σwiα）MECAPM=wMEiα（1+wMEiα）（161）和（σwiα）dcGMwiα=（wMEiα）piα- 1.（162）发现（σwiα）dcGM（σwiα）MECAPM\'rpiα- 1，（163）当piα>1/2时，（严格）小于1的比率。换句话说，如果MaxEnt方法能够令人满意地估计观察到的权重，那么添加拓扑信息有助于通过“缩小”必须估计高阶属性的集合来减少影响这些估计的误差。因此，后面的错误也会减少。上述示例还有助于澄清纯加权信息在整个重建过程中所起的作用。粗略地说，我们可以说，相对于编码为链接密度（或节点度）的信息而言，编码为节点强度的信息本身并不“低质量”。由此得出的结论是，它不应用于直接重建给定的网络，而应首先估计节点度，然后作为补充约束加以实施。6.3.

政策制定影响：如引言中所述，OTC市场的情况下，关于形成特定经济或金融网络的相互联系的信息越多，每当系统中检测到系统性事件时，监管干预就越有效。因此，发现哪种信息在重建特定的经济或金融网络中起着重要作用，不仅从学术角度来看很有趣，而且对监管机构和决策者也至关重要，并具有深远的社会影响。因此，目前争论的一个话题是金融机构应披露何种信息。以OTC市场为例。为了提高这一市场的透明度，在危机之后引入了新的报告规则[89]，规定除了边缘之外，还必须提供邻接矩阵中一定数量的条目（即超出给定阈值的条目）。这是一个挑战，可以通过使用（一些）本工作中回顾的算法来解决。例如，约束邻接矩阵的单个条目既可以在ERG形式中轻松实现，也可以通过稍微修改IPF算法轻松实现。

虽然在第二种情况下，从边缘减去已知条目并重新分配未受约束条目上的剩余内容就足够了，但在第一种情况下，可以通过将相应的拉格朗日乘数保持为张量形式来处理附加约束（后者将通过求解每个已知条目的方程^wij=hwiji来估计）。在任何情况下，无论选择何种算法，现有重建方法对新披露信息的适应性不仅对确定新报告规则的有效性很重要，而且还可以导致设计更好的数据共享协议。附录A.香农熵的组合推导香农熵是当前工作中回顾的许多方法的基础量，在接下来的工作中，我们给出了一个非常直观的推导。让我们首先考虑长度为n的二进制符号（0，1）序列集（即01001001…）。我们可以问需要多少位来传输这种特殊类型的信息。考虑到有| M |=2条消息满足上述属性，答案是simplyn=log | M |，即消息本身的长度。现在让我们考虑一种不那么琐碎的情况，允许我们的消息由多个大于两个的符号（例如，R，R…RN）组成，并根据概率系数P，P…由一个源依次发出。PN（后者满足规范化条件pipi=1）。在这种情况下，可接受消息集的基数为| M |=Nn，其泛型元素由Rikind的nisymbols组成。由于每个符号都是独立于其他符号发出的，因此当n→ ∞我们可以应用大数定律，并说观察到结果Ri的次数ni满足极限ni/n→ 圆周率。

因此，当nn变得足够大时，以SYMBOLRi的出现为特征的序列发生的可能性比其他序列大得多（即，丢弃不满足ni/n’Pi的序列时，丢失的信息量可以忽略不计）。因此，我们可以限制自己考虑长度pini=n的消息集，其特征是概率系数readingP（RiRi…Rin）=PnPn。PnNN。（A.1）上述信息构成一组| M |=n！nnnN！（A.2）等概率元素：对于本附录开头考虑的二进制情况，传输其中一条消息所需的位数可以估计为I=log | M |，即isI-nXiPilogPi（A.3）（使用斯特林近似ln（x！）\'x ln x- x） 。因此，可以确定数量=-XiPilogPi\'In（A.4）作为香农熵。换言之，香农熵与典型（长）序列概率的对数除以构成序列本身的符号数成正比。否则，S量化传输典型序列（即属于M的序列之一）所需的（平均）比特数。通过调用大数定律，可以更精确地重述导致式（A.4）的推理，以深入了解i.i.d.变量的渐近行为，描述符号R、R。RN:nlogP（RiRi…Rin）=-nlogYiPi（Ri）=-nXilogPi（Ri）→ S、 （A.5）因此，所有可能的消息集被一分为二：很有可能，观察到的消息将属于“典型”子集，其成员由系数逼近GP（RiRi…Rin）2描述-nS（A.6），并在该集合上诱导均匀分布。

这个结果被称为渐近均分性质（渐近均分性质，AEP）。尽管香农熵的早期推导基于比特的概念，因此迫使对数的底为2，但从纯数值的角度来看，使用自然对数（本综述中采用）更为方便。这意味着测量nat中的信息（1 nat等于loge位）。附录B.绘制香农熵的原理推导。香农熵的可能推导来自香农-钦钦公理，如下所示（可在【71、72、73】中找到替代证明）。第四个公理意味着，每当考虑两个独立子系统的组合时，香农熵读取S（WAWB）=S（WA）+S（WB）。两次推导后，第一次与Wa相关，第二次与WB相关，得到表达式（WAWB）+WAWBS（WAWB）=0。摆出WAWB姿势后≡ 以上表达式可以重新排列为（W S（W））=0，（B.1）后一个导数是关于W的。因此，派生函数是恒定的。求解该微分方程可得到著名的对数函数形式S（W）=k ln W。现在让我们考虑相依子集的情况。假设WA+B=W，就足以考虑到要求S（WA+B）=S（WA）+S（WB | A）导致了条件熵的定义【181】，作为子系统B配置数量的（加权）平均值（例如V，V…），子系统A的结构细分所提供的权重（即w=VV，w=VV…）：S（WA+B）=S（WA）+wS（V）+wS（V）。（B.2）注意到S（WA+B）=k ln V，我们得到表达式（WA）=-k（wln w）-k（wln w）。（B.3）附录C。

香农熵的两个相关性质本研究中回顾的一些模型在ERG形式主义中定义。这些是指数分布，满足所谓的吉布斯性质，即对于缺失信息，最大程度上不具承诺性[73]。事实上，在替换P（G | ~λ）=e时-PmλmCm（G）Z（~λ）（C.1）在S=-PG公司∈GP（G）ln P（G），我们得到sp=XmλmhCmi+ln Z（~λ）。（C.2）现在让我们计算数量SP- SQ，即指数分布的沙农熵与一般分布的熵Q（G）之间的差异，Q（G）满足与P（G）相同的约束条件（即PG∈GQ（G）=1和pg∈GQ（G）Cm（G）=hCmim） ：SP- SQ=XmλmhCmi+ln Z（~λ）+XG∈GQ（G）ln Q（G）==XG∈GQ（G）“XmλmCm+ln Z（~λ）+ln Q（G）#==XG∈GQ（克）[-ln P（G）+ln Q（G）]==XG∈GQ（克）-自然对数P（G）Q（G）≥XG公司∈GQ（克）1.-P（G）Q（G）== 1.- 1 = 0. （C.3）上述结果表明，指数分布的熵大于满足相同约束条件的任何其他分布的熵（只有当两个分布的概率系数重合时，等式才有效）。无约束香农熵反而在均匀分布的对应关系中达到其最大值。事实上，苏- SP=-XG公司∈G | G | ln | G |+XG∈GP（G）ln P（G）=-XG公司∈GP（G）ln | G|-XG公司∈GP（G）lnP（G）==XG公司∈总成（G）-自然对数|G | P（G）≥XG公司∈总成（G）1.-|G | P（G）== 1.- 1 = 0. （C.4）这也可以通过计算函数ll[P]=S的驻点和Hessian矩阵来验证-λ“XG∈总成（G）- 1#，（C.5），其泛型条目分别读取L【P】P（G）=G；L【P】P（G）P（G）=-δGGP（G）ln 2，（C.6），并计算与均匀分布P（G）=| G |对应的二阶导数。

由于Hessian矩阵是对角矩阵，其条目是严格负的（对于满足P（G）>0的分布，G） ，这样的矩阵是负定义的：香农熵的平稳点是最大值。附录D。到目前为止，这是一个值得注意的连续案例，我们只考虑了通过约束一阶矩获得的分布。现在让我们讨论一下二阶矩也受到约束的情况。为了做到这一点，让我们假设我们有一个一维实变量x∈ R由概率密度函数p（x）描述。在重写我们的约束as1=Z时+∞-∞p（x）dx，（D.1）u=Z+∞-∞x p（x）dx（D.2）和u=Z+∞-∞xp（x）dx（D.3）我们可能会问，包含x均值和方差信息的最小偏差pdf是什么。让我们通过定义函数ll[p]=-Z+∞-∞p（x）ln p（x）dx-λZ+∞-∞p（x）dx- 1.- λZ+∞-∞xp（x）dx- u-λZ+∞-∞xp（x）dx- u（D.4），其中λ、λ、λ是对应于三个条件（D.1）、（D.2）和（D.3）的拉格朗日乘数。最大化上述函数意味着寻找使函数导数δL[p]δp（x）消失的函数p（x），即δL[p]δp（x）=-ln p（x）- 1.- λ- λx-λx=0。（D.5）解isp（x）=e[-1.-λ-λx-λx]（D.6），这当然是高斯概率密度函数。可以使用归一化条件e1+λ=R找到拉格朗日乘数+∞-∞e-λx-λx=qπλeλ4λ以及等式。（D.2）和（D.3）。识别σ=u时- u1 getsp（x）=e-（十）-u)2σ√2πσ. （D.7）最后，为了验证高斯分布实际上是约束熵的最大值，有必要验证（与上述离散情况类似）二阶泛函导数也是负定义的。

这是独立的，因为δL[p]δp（x）δp（x）=-δ（x-x） p（x）。确认人、GC和GC确认欧盟项目CoeGSS（授权编号676547）和SoBigData（授权编号654024）以及FET项目DOLFINS（授权编号640772）的支持。DG感谢经济物理学基金会（荷兰莱顿StichtingEconophysics）的支持。AG感谢意大利PNR项目危机实验室的支持。参考文献[1]R.Albert，A.-L.Barab\'asi，《复杂网络的统计力学》，《现代物理学评论》74（1）（2002）47–97。内政部：10.1103/RevModPhys。74.47.[2] S.Boccaletti，V.Latora，Y.Moreno，M.Chavez，D.Hwang，《复杂网络：结构与动力学》，物理报告424（4-5）（2006）175–308。内政部：10.1016/j.physrep。2005.10.009.[3] G.Caldarelli，《无标度网络：自然与技术中的复杂网络》，牛津大学出版社，2007年。[4] S.C.Carlson，《柯尼斯堡桥问题》，大英百科全书。[5] N.L.Biggs、E.K.Lloyd、R.J.Wilson，《图论1736-1936》，克拉伦登出版社，牛津，1998年。[6] J.L.Moreno，H.H.Jennings，谁能活下来《人类相互关系问题的新途径》，神经和精神疾病专著系列，神经和精神疾病出版公司。，1934年【7】J.L.Moreno，《社会计量学的基础：导论》，社会计量学4（1）（1941）15–35。内政部：10.2307/2785363。[8] D.Lazer，A.Pentland，L.A.Adamic，S.Aral，A.-L.Barab\'asi，D.Brewer，N.Christakis，N.Contractor，J.Fowler，M.Gutmann，T.Jebara，G.King，M.Macy，D.Roy，M.Van Alstyne，计算社会科学，science 323（5915）（2009）721–723。内政部：10.1126/science。1167742。[9]P.Erd¨os，A.R'enyi，《关于随机图》，发表于Mathematicae Debrecent 6（1959）290–297。[10] P.Erdos，A.R\'enyi，《随机图的演变》，匈牙利科学院数学研究所出版物5（1960）17-61。[11] B。

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