两项风险资产的最小或最大期权。《金融经济学杂志》，10161-185。C（0,0,1）E（1,0,1）A（1,0,0）O（0,0,0）F（0,1,1）G（1,1,1）B（0,1,0）D（1,1,0）CEAOFGB DCEAOGG D类型1平面类型2平面图8：立方体和切割平面三维候选平面数Eχ这里，当D=3时，我们计算候选平面数Eχ。设int（A）是集合A的内部，Acbe是引理A.1的补。LetT=conv{（0，0，0），（0，1，1），（1，1，0），（1，0，1）}，T=conv{（0，0，1），（0，1，0），（1，1，1）}是立方体[0，1]中的正四面体。考虑点x∈ [0，1]设N（x）={{z，z，z，z}| zk∈ {0，1}，x∈ conv{z，z，z，z}，dim conv{z，z，z}=3}是包含x的四面体集。o如果x∈ int（T∩ T） ，则| N（x）|=14。o如果x∈ int（T∩ Tc）或x∈ int（Tc∩ T） ，则| N（x）|=11。o如果x∈ int（Tc∪ Tc），则| N（x）|=8。证据我们只给出了一个证明的草图，因为我们使用计算机计算了包含点x的四面体的数目。立方体[0，1]表示为图8的左图。有14个平面包含立方体的三个或四个顶点，这些顶点切入立方体。有6个类型1平面包含四个顶点，方程x=y，y=z，x=z，x+y=1，y+z=1，x+z=1，（38），还有8个类型2平面包含三个顶点，方程x+y+z=1，x+y+z=2，x- y+z=0，x- y+z=1，x+y-z=0，x+y- z=1，-x+y+z=1，-x+y+z=0。（39）有58个四面体（单面体），分为4种类型，如图9所示。有8个类型1四面体，它们是角单纯形。有2种类型2正四面体AOFGB DCEAOFGB D类型1四面体类型2四面体G B DCEAOFGB D类型4四面体类型3四面体图9：四种类型的四面体在引理中被称为T。有24个类型3四面体和24个类型4四面体。

我们将这58个四面体的列表保存在计算机程序中。另一方面，很容易通过fixingz将（38）和（39）中的14个平面可视化，并绘制立方体的截面，如图10所示。图10中，14个平面在单位正方形内显示为14条线。注意，我们只需要考虑z<1/2的对称性：z<-> 1.- z、 对于图10截面的每个区域，我们计算包含该区域的四面体的数量。然后我们得到引理。{{zzz<1/41/4<z<1/3 1/3<z<1/2图10：引理A.1仅适用于泛型x的立方形部分。对于非四面体边界上的x，数字| N（x）|可能更大。例如，x=（1/2，1/2，1/2）包含在| N（x）中|=50个2-4型四面体。B候选数eχ的下界这里，我们为一般d引理B.1提供了候选数eχ的下界。假设d≥ 2、考虑d维超立方体[0，1]中的点x，定义N（x）={{z，········，zd}| zk∈ {0，1}d，x∈ conv{z，··，zd}，dim conv{z，··，zd}=d}。那么，| N（x）|≥ 2维-2.证明。首先，我们考虑x是一个一般点而不丧失一般性的情况，我们假设0<x<x<····<xd<1/2。（40）Letc=最小{x，x- x、 x个- x、 ···，xd- 除息的-1} >0，而我*是达到最小值的指数：c=xi*- xi*-1.（41）注意，自d起，c<1/4≥ 在下面，我们将重点讨论以零向量为一个顶点的单纯形。注意，当且仅当其他d顶点y、····、Yd线性独立时，此类单纯形具有非空内部。让ei∈ {0，1}d，i=1，···，d+1是由（ei）j=（0（j<i）1（j）定义的0-1向量≥ i） 。（42）尤其是ed+1是零向量。然后，向量x被分解为x=d+1Xi=1（xi- xi-1） ei，（43），其中我们定义x=0，xd+1=1。因此，从（40），x∈ conv{e，···，ed+1}。（44）现在，我们通过改变顶点ei来构造包含x的单纯形*in（44）。

请注意，每0-1个向量z∈ {0，1}是唯一表示为z=dXi=1ciei的，其中ci∈ {-1，0，1}满意度xj=1cj∈ {0，1}（i=1，···，d）。在这种对应关系下，有2d-2矢量 使用ci*-1=0和ci*= 1、这些向量由下式给出 = ··· - ek+ei*- 对于某些k<i，el+···（45）*l>i*. 因此 - ··· + ek+el- ··· = 工程安装*, （46）左侧系数之和为1或2。将（46）代入（43），x=Xi6=i*（xi）- xi-1） ei+c( - ···+ ek+el- ···)=Xi6=i*biei+c,其中bi≥ 0和PI6=i*bi+c=1。因此，x∈ conv{e，···，ei*-1., 工程安装*+1，···，ed+1}。因为有2d-2选择, 我们有| N（x）|≥ 2维-接下来，我们考虑x不是一般点的情况。在不丧失一般性的情况下，我们假设≤ x个≤ x个≤ ··· ≤ 除息的≤ 1/2，其中至少有一个不等式成立。然后，我们可以得到一系列满足（40）且具有相同i*收敛到x。LetN=TN（yk）。然后，根据上述论点，| N（yk）|≥ 2维-2对于每个k和2d-2包含YK的简单是常见的。尤其是| N |≥ 2维-此外，由于单纯形是闭合的，x属于N:N中的每个单纯形 N（x）。因此，| N（x）|≥ 2维-2.