多元套期保值价格上限的博弈推导

2022-6-10 04:59:39

多元未定权益和子模块化套期保值价格上限的博弈推导Takeru Matsuda*和Akimichi Takemura+摘要我们从博弈论概率和子模块的角度研究了多元或有索赔的上下套期保值价格。通过考虑离散时间内“市场”和“投资者”之间的博弈，将定价问题归结为单纯形上优化的反向归纳。对于支付函数满足组合属性（称为亚模块性或超模块性）的欧式期权，该优化通过使用Lov'asz扩展以闭合形式解决，并且可以高效地计算套期保值价格的上限和下限。此类包括多个资产的最大或最小选项。我们还研究了当游戏轮数趋于完整时的渐近行为。欧式期权的上下套期保值价格收敛于Black-Scholes-Barenblatt方程的解。对于具有子模或超模Payoff函数的欧洲期权，BlackScholes-Barenblatt方程简化为线性Black Scholes方程，并以闭合形式求解。数值结果表明了理论结果的有效性。1简介未定权益的定价是数学金融中的一个核心问题（Karatzasand Shreve，1998）。金融市场的基本模型分别是二元模型（Shreve，2003）和几何布朗运动模型（Shreve，2005），不区分时间和连续时间设置。这些模型描述了完整的市场，因此，任何未定权益的价格都是通过arbitrageargument获得的。

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2022-6-10 04:59:42

具体而言，考克斯-罗斯-鲁宾斯坦公式（Cox et al.，1979）和布莱克-斯科尔斯公式（Black and Scholes，1973）分别提供了二项模型和几何布朗运动模型中的精确价格。这些公式是通过为卖方构建一个对冲组合来复制或有目标而得出的。一般来说，市场是不完整的，上述公式不适用。即使在不完整的市场中，我们也可以通过考虑超级复制来确定一项权益的上下对冲价格（Karatzas和Shreve，1998）。Musiela（1997）和El Karoui和Quenez（1995）提供了上*东京大学信息科学与技术研究生院+志贺大学数据科学学院分别在离散时间模型和连续时间模型方面提高价格。作为特例，对于具有有界鞅差的离散时间模型，Ruschendorf（2002）指出凸未定权益的套期保值价格上限是由极值二项模型得到的。尽管上述研究侧重于依赖于单一资产的或有权益，但也有一些或有权益的支付取决于两项或多项资产（Stapleton，1984），这些或有权益被称为多元或有权益。例如，Stulz（1982）和Johnson（1987）研究了几种资产的最大或最小期权的定价。Boyle等人（1989年）开发了一种离散时间模型中多变量未定权益定价的数值方法。虽然他们的方法基于一个最初不完整的晶格二项模型，但他们通过指定所有资产对之间的相关系数来更改模型以使其完整。因此，他们的方法不计算套期保值价格上限。

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2022-6-10 04:59:45

另一方面，Romagnoli和Vargiolu（2000）考虑了连续时间模型中的超复制，并基于Black-Scholes-Barenblatt方程推导了定价公式。他们还提供了将Black-Scholes-Barenblatt方程简化为线性Black-Scholes方程的Payoff函数的一些充分条件。尽管现有的对冲价格上限和下限研究是基于金融市场的随机模型，但Nakajima et al.（2012）从博弈论概率的角度研究了这个问题（Shafer和Vovk，2001），其中只有“投资者”和“市场”之间的博弈协议是在没有明确概率度量的情况下制定的。他们表明，离散时间多项式模型中的上限套期保值价格是通过线性规划的反向归纳获得的，并且随着相同轮数的增加，欧式期权的上限套期保值价格收敛于一维Black-Scholes-Barenblatt方程的解。在本文中，我们通过扩展Nakajima et al.（2012）的博弈论概率方法，研究了多元偶然目标的上限套期保值价格。我们考虑了一个具有多个资产的离散时间多项式模型，并证明了多元未定权益的上套期保值价格是由一个最大化问题的反向归纳得出的，该问题的域是一组单纯形，通常随着资产数量的增加，该问题变得可收缩。然而，我们发现，如果未定权益满足称为子模块性或超模块性的组合属性，则该最大化以闭合形式解决（Fujishige，2005）。

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2022-6-10 04:59:49

具体而言，最大单纯形是通过使用Lov'asz扩展（Lov'asz，1983）来确定的，该扩展适用于两种或更多资产上具有超模支付函数的欧洲期权，以及两种资产上具有子模支付函数的欧洲期权。作为现实的例子，我们证明了多个资产的最大值和最小值上的期权分别是次模和超模的。然后，通过考虑博弈轮数的渐近性，我们证明了欧式期权的上套期保值价格收敛于Black-Scholes-Barenblatt方程的解。特别是，对于两种或两种以上资产上具有超模支付函数的欧洲期权和两种资产上具有子模支付函数的欧洲期权，Black-ScholesBarenblatt方程简化为线性Black-Scholes方程，以封闭形式求解。最后，我们通过数值实验验证了理论结果的有效性。正如Nakajima等人（2012）所述，我们认为价格过程是一种相加形式，第4节中的Black-Scholes-Barenblatt方程实际上是标准金融文献中Black-Scholes-Barenblatt方程的相加形式。同样，线性Black-Scholes方程以热方程的形式给出。然而，本文的结果适用于通常具有简单指数变换的乘法模型。除少数地方外，我们没有明确指出我们的方程式是加法形式。在第2节中，我们提供了一个基于博弈论概率的上限套期保值价格公式。在第3节中，我们推导了具有子模或超模支付函数的欧式期权的特例的结果，其中包括最大或最小期权。在第4节中，我们推导了渐近上限对冲价格的偏微分方程。在第5节中，我们通过数值实验证实了理论结果。

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可人4

2022-6-10 04:59:52

在第6节中，我们给出了一些总结，并讨论了未来的工作。2多变量或有索赔上限套期保值价格的博弈论推导在本节中，我们提出了基于博弈论概率的上限套期保值价格公式（Shafer和Vovk，2001）。将定价问题归结为线性规划的反向归纳。作为特例，我们考虑凸或可分离的Payoff函数。2.1定义和符号letχ={a，···，al} Rd，l≥ d+1，是一个有限集，我们称之为移动集。Letconvχ表示χ的凸包。我们假设convχ的维数为d，并且convχ的内部包含原点。具有d资产的N轮多项式的协议定义如下：K：=α，对于N=1，2，···，Ninvester宣布Mn∈ RdMarket宣布xn∈ χKn：=Kn-1+M>nxnEND在这里，α表示投资者的初始资本，mn对应于投资者购买资产的金额向量，xn对应于资产价格变化向量，kn对应于第n轮结束时投资者的资本。当d=1时，该博弈简化为Nakajima等人（2012）分析的博弈。χ的一个自然候选项是乘积集χ={a（1），······，a（1）n}×·························································。晶格二项式模型采用了n=···=nd=2的χ（Boyle等人，1989）。我们称之为χn样本空间，ξ=x···xN∈ χNa市场走势路径。对于n=1，··，n，ξn=x···xn∈ χ是部分路径。初始空路径ξ表示为. 我们称S:x···xn-17→ Mna战略。当投资者采用策略S时，其在第n轮结束时的资本为α+KSn（ξn），其中KSn（ξn）=nXi=1S（ξi-1） >xi。我们称函数f为：χN→ R支付函数或未定权益。如果f仅依赖于SN=x+····+xN，则f称为欧式期权。

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2022-6-10 04:59:55

f的上hedgingprice（或简单的上price）定义为“Eχ（f）=inf{α|S、 α+KSN（ξ）≥ f（ξ），ξ ∈ χN}（2），较低的套期保值价格定义为χ（f）=-(R)Eχ(-f）。达到（2）中上限的策略称为f的超级复制策略。如果任何支付函数的上套期保值价格和下套期保值价格一致，则称市场为完全市场。例如，对应于d=1和|χ|=2的二项式模型是完整的（Shreve，2003）。正如在第1节中所讨论的，我们考虑了一种游戏的加法形式，其中价格变化xn是相加的，而不是在SN=x+·····+xn中相乘。2.2线性规划公式根据Nakajima et al.（2012），我们将定价问题表述为递归线性规划。首先，我们考虑单轮博弈（N=1）。请注意，payoff函数为f:χ→ R、设Γ={eχ χ| | eχ|=d+1，0∈ conv eχ，dim conv eχ=d}是包含原点的维数为d的单体集。对于每个eχ={ai，···，aid}∈ Γ，definei（eχ，f）=dXj=0peχjf（aij），其中概率向量peχ=（peχ，···，peχd）定义为线性方程的唯一解dXj=0peχj=1，dXj=0peχjaij，k=0（k=1，··，d）。（3）通过扩展Nakajima et al.（2012）的命题2.1，我们得出以下结论。提案2.1。对于单轮博弈，支付函数f的上限套期保值价格由'Eχ（f）=maxeχ给出∈ΓI（eχ，f）。（4）证明。

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nandehutu2022

2022-6-10 04:59:58

从（2）中，f的上套期保值价格Eχ（f）是以下线性规划的最优值：minα，M1 0 ··· 0αM。。。Md公司s、 t。1 a1,1···a1，d1 a2,1···a2，d。。。1 al，1···al，dαM。。。Md公司≥f（a）。。。f（铝）.该线性规划的对偶ismaxpf（a）···f（al）ps.t。1···1a1,1···al，1。。。a1，d···al，dp=..., p≥ 从互补条件（Boyd和Vandenberghe，2004）来看，存在一个非最优解p*最多有d+1个非零变量的对偶问题。然后，从对偶问题的约束出发，我们得到了p*= peχ表示一些eχ。因此，我们获得（4）。同样，单轮博弈中f的较低套期保值价格isEχ（f）=mineχ∈ΓI（eχ，f）。关系（4）解释如下。如果p下的期望为零，则概率向量p=（p，···，pl）称为χ上的风险中性度量：lXj=1pjaj，k=0（k=1，··，d）。设P（χ）为χ上的风险中性测度集。注意，P（χ）是闭合的和凸的。然后，集合{peχ| eχ∈ Γ}与P（χ）的极值点集（顶点）重合。由于闭凸集上线性函数的最大值是在极值点上获得的，因此（4）中的最大值被解释为在所有风险中性度量上搜索：(R)Eχ（f）=maxp∈P（χ）Ep（f），其中Ep表示对P的期望。当d=2且χ={a（1），a（1）}×{a（2），a（2）}时，（4）中的最大化涉及eχ的两个候选者。具体而言，图1中可能的eχ为ABC或ABD。图1：d=2时的单轮游戏。移动集χ对应于四个点A-D。原点是以红色绘制的矩形内的点。d≥ 当χ={a（1），a（1）}×···×{a（d），a（d）}时，（4）中的最大化变得更加困难，因为可能的eχ的数量变大了。例如，当d=3时，可能的eχ数可以大到14，如附录A所示。

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可人4

2022-6-10 05:00:01

通常，可能的eχ数至少为2d-2，如附录B所示。在下一节中，我们将提供一些关于f的充分条件，以便（4）中的最大值能够被有效求解。现在，我们考虑N轮游戏。正如Nakajima et al.（2012）ford=1所述，通过递归求解线性规划来计算套期保值价格上限。具体而言，让f（·，N- n）：χn→ R、 n=n，n- 1，··，0由f（ξn，n）给出- n） =最大χ∈ΓI（eχ，’f（ξn·，n- n- 1）），（5）对于ξ，初始条件为“f（ξ，0）=f（ξ）∈ χN.此处，\'f（ξN·，N- n- 1）表示a函数χ→ 由ai7定义→\'f（ξnai，N- n- 1). 然后，我们得到以下结果。提案2.2。f的上套期保值价格：χN→ R由Eχ（f）=f给出(, N）。因此，套期保值价格上限Eχ（f）是通过反向归纳法f（5）计算得出的。特别是，对于欧式期权，’f（ξn，n- n）仅取决于Sn=x+····+xnand，因此所需的计算次数（5）仅随n多项式增长。较低的套期保值价格Eχ（f）也通过反向归纳法计算。总的来说，|χ|=d+1的市场是完全的，因为|χ|=1，无论f.2.3凸Payoff函数如何，我们考虑Payoff函数f是凸函数f的欧式期权f（ξ）=f（SN）。当d=1时，凸Payoff函数的上hedgingprice的计算被简化为二项模型（Ruschendorf，2002），因为（4）中的最大值总是通过极值对eχ={minχ，maxχ}唯一实现的。对于一般d，我们得到以下结果。提案2.3。假设f是具有凸函数f的欧式期权f（ξ）=f（SN）。设χ为convχ的顶点集。然后，带移动集χ的fw的上套期保值价格与带移动集χ的fw的上套期保值价格一致：(R)Eχ（f）=Eχ（f）。（6）证明。我们为单轮博弈提供了一个证明。

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nandehutu2022

2022-6-10 05:00:04

通过将其应用于每个归纳步骤，得到了多轮博弈的证明。自P（χ） P（χ），我们得到Eχ（f）=maxp∈P（χ）Ep（f）≥ 最大值∈P（χ）Ep（f）=Eχ（f）。（7）设χ={b，···，bm}。来自Caratheodory定理（Rockafeller，1997），对于eachai∈ χ convχ，存在χ的子集{bj（i），·····，bjd（i）}和概率向量（qi，····，qid），使得ai=dXk=0qikbjk（i）。因此，从f的凸性，f（ai）≤dXk=0qikf（bjk（i））。因此，Ep（f）=lXi=1pif（ai）≤lXi=1dXk=0piqikf（bjk（i））对于任何p∈ P（χ）。通过对每个点bjofχ的右侧求和，weobtainEp（f）≤mXj=1rjf（bj），其中r∈ P（χ）sincemXj=1rj=lXi=1dXk=0piqik=lXi=1pi=1，mxj=1rjbj=lXi=1dXk=0piqikbjk（i）=lXi=1piai=0。因此，对于每个p∈ P（χ），存在r∈ P（χ）使得EP（f）≤ Er（f）≤(R)Eχ（f）。通过在左侧取最大值，我们得到'Eχ（f）≤(R)Eχ（f）。（8）从（7）和（8）中，我们得到（6）。假设d≥ 2，移动集χ是乘积集（1）。然后，命题2.3意味着我们可以重新定义χ={a（1），a（1）n}×···×{a（d），a（d）nd}作为移动集。然而，与d=1的情况不同，即使减少到χ，在（4）中最大化的eχ通常也不是唯一的。一个例子是带有d的最大值选项≥ 3，我们将在下一节中看到。2.4可分离支付函数如果可以分解为f（ξ）=f（SN）=KXk=1fk（（SN）（k）），（9）其中{（SN）（1），··，（SN）（k）}是{（SN），··，（SN）d}：（SN）（k）=（（SN）i）i的一个分区，我们称之为欧洲期权f可分离∈Ak，K[K=1Ak={1，···，d}，Ak∩ Al= （k 6=l）。我们假设移动集χ是每个子序列的移动集χ（k）的直积。例如，当K=d且Ak={K}时，移动集χ是（3）中的乘积集χ=χ×····×χdas。然后，将可分离欧式期权的上限套期保值价格的计算简化为每个组成部分欧式期权的上限套期保值价格的计算，如下所示。提案2.4。

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2022-6-10 05:00:07

假设f是可分的（9），对于每个子集Ak，χ是移动集χ（k）的直积。然后，f的上套期保值价格与f的上套期保值价格之和···，fK：’Eχ（f）=KXk=1’Eχ（k）（fK）。（10）证明。我们为单轮博弈提供了一个证明。通过将其应用于每一轮，得到了多步对策的证明。为了表示法的简单性，我们考虑了K=d和Ak={K}的情况，但没有本质上的一般性损失。然后，移动集χ是乘积集χ=χ×····×χ，payoff函数写为f（ξ）=dXk=1fk（（SN）k）。（11）设p为χ上的任意风险中性测度，p、····、Pd为其边缘。然后，每个PKI都是χk的风险中性度量。通过采用（11）中的期望值，Ep（f）=dXk=1Epk（fk）。自Epk（fk）起≤(R)Eχk（fk），Ep（f）≤dXk=1？Eχk（fk）。因此，\'Eχ（f）=maxp∈P（χ）Ep（f）≤dXk=1？Eχk（fk）。（12）相反，设p、···、pdbe分别是χ、···、χd上的任意风险中性测度。定义p=p×···×pd。那么，p是χ的风险中性度量，它满足dxk=1Epk（fk）=Ep（f）。自Ep（f）起≤(R)Eχ（f），dXk=1Epk（fk）≤(R)Eχ（f）。因此，dXk=1'Eχk（fk）=maxp，···，pddXk=1Epk（fk）≤(R)Eχ（f）。（13）从（12）和（13）中，我们得到（10）。3子模块和超模块支付函数我们已经看到，上限对冲价格的计算减少到最大化的后向引导（4）。在本节中，我们将证明，如果Payoff函数满足称为亚模块性或超模块性的组合属性，则此最大化以闭合形式解决。作为特例，我们讨论了最大值或最小值上的选项。在本节中，我们假设移动集χ是n=····=nd=2的乘积集（1），即晶格二项模型。

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2022-6-10 05:00:11

注意a（k）<0<a（k），对于k=1，···，d，因为我们假设convχ在其内部包含theorigin。3.1子模和超模函数子模的概念是组合优化理论的基础（Fujishige，2005）。定义3.1.o设置函数f:2X→ 如果R满足F（U），则称其为子模∩ V）+f（U∪ 五）≤ f（U）+f（V），对于每个U，V 十、 o设置功能f:2X→ 如果R满足F（U），则称其为超模∩ V）+f（U∪ 五）≥ f（U）+f（V），对于每个U，V 十、众所周知（Schrijver（2003）的定理44.1），在定义3.1中，我们只需要考虑U和V，使得| U\\V |=| V\\U |=1。（14）我们可以将子模性和超模性的定义扩展到超立方体[0，1]和Rd上的函数。对于向量u，v∈ Rd，我们用u表示分量最小值和最大值的向量∧v∈ RDA和u∨ v∈ Rd，分别为：（u∧ v） i=最小值（ui，vi），（u∨ v） i=最大值（ui，vi）。然后，超立方体[0，1]上的子模和超模函数定义如下。定义3.2.oA函数^f：[0，1]d→ R或R→ 如果满足f（u），则称R为子模块∧ v） +华氏度（u∨ 五）≤^f（u）+^f（v），（15）对于每个u，v∈ 【0，1】多尔路oA函数^f:【0，1】d→ R或Rd→ 如果R满足f（u），则称为超模∧ v） +华氏度（u∨ 五）≥^f（u）+^f（v），对于每个u，v∈ [0，1]dor Rd.我们注意到，多元全正性（MTP2）的概念与子模块化密切相关（Karlin，1968；Fallat et al.，2017）。即，正函数isMTP2当且仅当其对数为超模。当^f：[0，1]d→ R或Rd→ R是两次连续可微的，^f的子模性和超模性以混合二阶导数的符号为特征，如下所示。引理3.1。

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2022-6-10 05:00:14

o两次连续可微分函数f:[0，1]d→ R或D→ R是子模当且仅当^f硅sj公司≤ 0（16）对于每i 6=j.o一个两次连续可微函数^f:[0，1]d→ R或Rd→ R是超模的当且仅当^f硅sj公司≥ 0对于每个i 6=j.Proof。我们仅证明第一个陈述。考虑到第二个语句的证明是相似的-^f。假设^f是子模，并设ε>0和ε>0。设ei为单位向量，i坐标为1，其他坐标为零。替换u=s+εeiandv=s+εejito（15），^f（s）+^f（s+εei+εej）≤^f（s+εei）+^f（s+εej）。因此，^f（s+εei+εej）-^f（s+εej）ε≤^f（s+εei）-^f（s）ε。放置ε→ 0，我们获得^fsi（s+εej）≤^fsi（s）。因此，我们得到（16）。相反，假设（16）。为了证明^f的子模性，有必要考虑u和v仅在两个元素中不同的情况，如（14）所示。在不丧失一般性的情况下，设u=（a，b，c，···，cd）和v=（b，a，c，···，cd），a<b，a<b。然后，（f（u∨ 五）-^f（v））-（^f（u）-^f（u∧ v））=ZbaZba^fss（s、s、c、····、cd）DSD≤ 因此，^f是子模。3.2凸闭包和Lov'asz扩张在考虑最大化（4）时，凸闭包和Lov'asz扩张的概念是有用的。Dughmi（2009）简要介绍了这些主题。设X={X，···，xd}为有限集。对于X的子集a，其特征向量a∈ RDI定义为（1A）k=（1（xk∈ A） 0（xk6∈ A）。在下面，我们通过双射A 7将2x标识为{0，1}d→ 1A。对于setfunction f：2X→ R、 a函数^f：[0，1]d→ R或Rd→ 如果满足^f（1A）=f（A），则称R为其延伸。定义3.3。

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2022-6-10 05:00:17

对于集合函数f:2X→ R、其凸闭包f-: [0，1]d→ Rand凹闭合f+：[0，1]d→ R是定义asf的扩展-（s） =最大{g（s）| g（1A）≤ f（A），A. 十、 g：凸}，f+（s）=最小{g（s）| g（1A）≥ f（A），A. 十、 g：凹面}。从定义来看，f-和f+分别是凸的和凹的。引理3.2。对于集合函数f:2X→ R、它的凸闭包和凹闭包由f给出-（s） =最小α（XAXαAf（A）XA公司XαAA=s，XAXαA=1，αA≥ 0），f+（s）=最大α（XAXαAf（A）XA公司XαAA=s，XAXαA=1，αA≥ 0). （17）证明。见Dughmi（2009）第3.1.1节。Lov\'asz（1983）引入了另一种扩展，它在子模函数优化中起着重要作用（Fujishige，2005）。定义3.4。（Lov\'asz，1983）对于集合函数f:2X→ R、其Lov'asz扩展FL:[0，1]d→ R定义为FL（s）=dXj=0pj（s）f（Aj（s）），其中p（s），p（s），···，pd（s）≥ 0和 = A（s） A（s） ··· Ad（s）=X是给定的Nbys=dXj=0pj（s）1Aj（s），dXj=0pj（s）=1，| Aj（s）|=j。请注意，Lov'asz扩展可以视为在（17）中取α的特殊值。Lov'asz（1983）表明，集函数f的子模性等价于其Lov'asz扩展fL的凸性。事实上，有一个更强的结果如下。引理3.3.o子模函数f的凸闭包等于f:f的theLov'asz扩张-= f.o超模函数f的凹闭包等于f的Lov'asz扩展：f+=fL.Proof。见Dughmi（2009）第3.1.3节。3.3上套期保值价格与凹closureLet g的关系：[0，1]d→ [a（1），a（1）]×···×[a（d），a（d）]是由g（s）=（（1- s） a（1）+sa（1），···，（1- sd）a（d）+sda（d））和g：{0，1}d→ χ是它对{0，1}d的限制。通过使用g，我们可以识别payoff函数f:χ→ 具有集合函数f=f的单轮博弈的Rog： {0，1}d→ R

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2022-6-10 05:00:20

然后，其凹面闭包与最大化（4）密切相关，如下所示。提案3.1。对于单轮博弈，套期保值价格上限由Eχ（f）=f+（g）给出-1(0)).证据引理3.2，f+（g-1（0））=最大α（XAXαAf（1A）XA公司XαAA=g-1（0），XAXαA=1，αA≥ 0).（18）由于g是一个双射映射，因此（18）中α的第一个约束等价于toXAXαAg（1A）=0。（19）这里，为了十、 g（1A）的每个条目∈ Rdisg（1A）k=（a（k）（xk∈ A），A（k）（xk6∈ A）。因此，（19）被重写为asXA十： xk公司∈AαAa（k）+XA十： xk6型∈AαAa（k）=0，（k=1，···，d）。因此，将满足（18）中约束条件的每个α=（αA）视为χ的风险中性度量。由于Eχ（f）是所有风险中性度量中的最大值，因此我们得到了Eχ（f）≥ f+（g-1(0)).相反，对于每个eχ={ai，···，aid}∈ 设α（A）=（peχj（g（1A）=aij）0（否则），其中peχ定义为（3）。然后，XAXαAg（1A）=dXj=0peχjaij，k=0，XAXαA=dXj=0peχj=1，和xaXαAf（A）=dXj=0peχjf=I（eχ，f）。因此，从（18），f+（g-1(0)) ≥ I（eχ，f）。由于eχ是任意的，通过命题2.1我们得到f+（g-1(0)) ≥ 最大χ∈ΓI（eχ，f）=eχ（f）。3.4两种资产情况假设d=2，χ={a（1），a（1）}×{a（2），a（2）}，其中a（1）<a（1），a（2）<a（2）。对于单轮博弈，（4）中的最大化涉及两个eχ的候选者。其中一个（eχ+）与另一个（eχ+）呈正相关-) 具有负相关。例如，在图1中，ABD和BCD具有正相关，而ABC和CD具有负相关。与第3.3节类似，Payoff函数f：χ→ 用集合函数f=f识别的Riso g： {0，1}→ R、如果fis为子模或超模，则（4）中的最大值确定如下。提案3.2.o如果是fis子模，则（4）中的最大化子是负相关eχ的最大化子-:I（eχ-, f） =最大χ∈ΓI（eχ，f）。o如果fis为超模，则（4）中的最大化子是正相关的eχ+：I（eχ+，f）=maxeχ∈ΓI（eχ，f）。证据

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2022-6-10 05:00:23

根据Lov\'asz扩展的定义，fL（g-1（0））=I（eχ+，f）。当fis是子模时，我们有f-（g）-1（0））=fL（g-1（0））来自提案3.3。然后，从引理3.2，fL（g-1（0））=I（eχ+，f）≤ I（eχ-, f）（4）中的最大值是eχ-.当f是超模时，我们有f+（g-1（0））=fL（g-1（0））来自提案3.3。然后，从引理3.2，fL（g-1（0））=I（eχ+，f）≥ I（eχ-, f）（4）中的最大值是eχ+。现在，考虑N轮博弈，假设payoff函数是一个欧式选项f（ξ）=f（SN），其中ξ=x···xNand SN=x+···+xN。回想一下，f（ξn，n-n）对于欧式期权，仅取决于Sn=x+····+x。Payoff函数的子模性或超模性在（5）的后导中保持如下。引理3.4.o假设F:R→ R是子模。那么，对于n=n- 1，···，0，f（ξn·，n）的复合函数-n-1）和每ξn的gis子模∈ χn.o假设F:R→ R是超模的。那么，对于n=n-1，···，0，’f（ξn·，n）的复合函数- n- 1）和每ξn的gis超模∈ χn.证明。我们通过归纳法证明了第一个陈述。第二个陈述的证明是相似的。案例n=n- 1从f（ξN，0）=f（SN），\'f（ξN）开始是平凡的-1·，0）=f（ξN-1·）=F（SN-1+·）和定义3.2。现在，假设f（ξn·，n）的复合函数- n- 1）每ξn和gf∈ χnis子模作为集函数。自'f（ξn，n- n）仅取决于Sn=x+····+xn，我们写出'f（ξn+1，n- n- 1） =(R)F（序号+1，N- n- 1). 然后，对于每ξn-1.∈ χn-1和A 十、根据（5）和定理3.1，’f（ξn-1g（A），N- （n）- 1) - 1） =(R)f（ξn-1g（A），N- n） =最大χ∈ΓI（eχ，(R)f（ξn-1g（A）·，N- n- 1））=I（eχ-,\'f（ξn-1g（A）·，N- n- 1））=dXj=0peχ-j′f（ξn）-1g（A）aij，N- n- 1） =dXj=0peχ-j'F（序号-1+g（A）+aij，N- n- 1），其中eχ-= {ai，···，aid}。

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2022-6-10 05:00:26

因此，’f（ξn-1g（A），N- （n）- 1) - 1） =dXj=0peχ-j'F（序号-1+aij+g（A），N- n- 1).对于每个j，函数A 7→\'\'F（序号-1+aij+g（A），N- n- 1）是f（ξn）的组成-1aij·，N- n- 1）所以它是假设的子模。然后，由于子模性在凸组合下保持不变，因此'f（ξn）的复合函数-1·，N- （n）- 1) - 1） gis也是子模块。将引理3.4与命题3.2相结合，将（5）中的每个最大化问题用封闭形式求解如下。定理3.1.o如果F：R→ R是子模，则每个步骤（5）中的最大化子是负相关eχ的最大化子-.o 如果F：R→ R为超模，则每一步（5）中的最大值为eχ+正相关的最大值。3.5资产较多的情况假设d≥ 3和χ={a（1），a（1）}×·············································。考虑一个单回合游戏。与第3.3节类似，Payoff函数f：χ→R由一个集合函数f=f确定o g： {0，1}d→ R、如果fis是超模的，那么如命题3.2的第二部分所示，（4）中的最大化子确定如下。提案3.3。如果是超模，则（4）中的最大化子iseχL={g（1A（s）），g（1A（s）），····，g（1Ad（s））}，s=g-1（0），（20），其中 = A（s） A（s） ··· Ad（s）=X由s=dXj=0pjAj（s），dXj=0pj=1，| Aj（s）|=j给出。现在，考虑N轮博弈，并假设Payoff函数是一个欧式选项f（ξ）=f（SN），其中ξ=X··xNand SN=X+···+xN。引理3.4通过如下相同的证明推广到一般d。引理3.5。假设F:Rd→ R是超模的。那么，对于n=n- 1，···，0，’f（ξn·，n）的复合函数- n- 1）和gis超模作为每ξn的集函数∈ χn.结合引理3.5和命题3.3，将（5）中的每一个最大化问题用封闭形式求解如下。定理3.2。

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2022-6-10 05:00:29

如果F：Rd→ R是超模的，那么每一步（5）中的最大值就是eχLin（20）。因此，当F是超模时，可以有效地计算出套期保值价格的上限。另一方面，当F是子模时，（4）中的最大值不能以闭合形式求解（Calinescu et al.，2007）。因为可能的eχ增长速度至少和2d一样快-2（见附录B），具有子模块支付函数的欧式期权的套期保值价格上限的计算在规模较大时变得很困难。3.6最大或最小期权多元未定权益的典型和现实例子是多个资产的最大或最小期权（Stulz，1982；Johnson，1987）。最大值上的期权是一种欧式期权，其支付函数FM（ξ）=FM（SN）=（maxi（SN）i- K） +，其中x+=最大值（x，0）。类似地，最小的期权是欧洲期权，其支付函数Fm（ξ）=Fm（SN）=（mini（SN）i- K） +。提案3.4.o功能FMis子模块。o函数Fmis超模。证据假设FM（s）≤ FM（t），不丧失一般性。然后FM（s∨ t） =自maxi（s）起的FM（t）∨ t） i=最大值。此外，FM（s∧ t）≤ 自maxi（s）起的FM（s）∧ t）我≤ 马克西西。因此，我们获得FM（s∧ t） +FM（s）∨ t）≤ FM（s）+FM（t）。假设Fm（s）≤ Fm（t），不丧失一般性。然后Fm（s∧ t） =Fm（s）sincemini（s）∧t） i=minisi。此外，Fm（s∨t）≥ Fm（t）自mini（s）起∨t）我≥ minisi。因此，我们获得Fm（s∧ t） +调频∨ t）≥ Fm（s）+Fm（t）。结合命题3.4、定理3.1和定理3.2，我们得到如下结果。推论3.1。假设d=2，χ={a（1），a（1）}×{a（2），a（2）}对于最大值选项，每个步骤（5）中的最大值是负相关eχ的最大值-.o 对于最小值的选项，每个步骤（5）中的最大值是具有正相关eχ+。推论3.2。假设d≥ 3和χ={a（1），a（1）}×····×{a（d），a（d）}。

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2022-6-10 05:00:32

对于最小选项，每个步骤（5）中的最大值为eχLin（20）。4欧式期权上限套期保值价格的限制行为在本节中，我们表明，随着博弈轮次数的增加，欧式期权的上限套期保值价格收敛于Black-Scholes-Barenblatt方程的解。我们还表明，当Payoff函数为次模或超模时，Black-Scholes-Barenblatt方程退化为线性Black-Scholesequation，并以闭合形式求解。4.1 Black-Scholes-Barenblatt方程的推导考虑具有欧式期权F（ξN）=F的N轮多项式对策序号√N, SN=x+···+xN。（21）回忆Γ={eχ χ| | eχ|=d+1，0∈ conv eχ，dim conv eχ=d}。对于每个χ={al，···，ald}∈ Γ，将风险中性度量peχ=（peχ，···，peχd）定义为线性方程（3）的解。设∑（eχ）∈ Rd×dbe peχ的协方差矩阵：∑（eχ））ij=dXk=0peχkalk，ialk，j（i，j=1，··，d）。对于两次连续可微F，我们表示其Hessian矩阵sF（s）∈ Rd×dassF（s）ij公司=硅sjF（s）（i，j=1，···，d）然后，通过扩展Nakajima et al.（2012）的定理4.1，我们得到以下结果。定理4.1。考虑一个具有欧式期权（21）的N轮多项式博弈，其中F有一个紧支集，并且两次连续可微。

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2022-6-10 05:00:35

假设0 6∈ χ.o 欧式期权套期保值价格上限（21）islimN→∞\'Eχ（f）=\'u（0，1），其中\'u:Rd×[0，1]→ R是偏微分方程的解t'u（s，t）=最大χ∈ΓTr∑（eχ）·s’u（s，t）, （22）初始条件“u（s，0）=F（s）。o欧式期权（21）套期保值价格下限为→∞Eχ（f）=u（0，1），其中u:Rd×[0，1]→ R是偏微分方程的解tu（s，t）=矿山χ∈ΓTr∑（eχ）·su（s，t）, （23）初始条件u（s，0）=F（s）。根据Pham（2009）的定理4.6.9，在定理4.1的假设下，存在（22）和（23）的光滑解。如果0，则需要粘度解的概念∈ χ或F仅连续。如Shafer和Vovk（2001）第6.3节所述，该定理的结果可以推广到F的三阶和四阶导数有界的情况。PDE（22）是BlackScholes-Barenblatt方程（Romagnoli和Vargiolu，2000）的加和形式。当d=1时，（22）中的最大值仅取决于u的二阶导数的符号，并且（22）减少到Nakajima et al.（2012）中的方程式（13）。Peng（2007年）和Romagnoli和Vargiolu（2000年）第5节也讨论了该案件。然而，当d≥ 2，（22）中的最大化变得更加复杂。Romagnoli和Vargiolu（2000）第4节从优化理论的角度讨论了这种最大化。Romagnoli和Vargiolu（2000）中的Black-Scholes-Barenblatt方程是t'u（s，t）=最大λ∈∧Trλλ>· s’u（s，t）, （24）初始条件为“u（s，0）=F（s）。这里，∧是n×n实矩阵空间中的闭有界集。PDE（22）被视为PDE（24）的特例，其中∧是一个有限集。换句话说，PDE（24）是PDE（22）的推广，以建立预测游戏。Nakajima等人。

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2022-6-10 05:00:38

（2012）也讨论了这一点。4.2线性Black-Scholes方程的简化Romagnoli和Vargiolu（2000）指出，Black-Scholes-Barenblatt方程（24）简化为普通线性Black-Scholes方程t’u（s，t）=Trλλ>· s’u（s，t）, （25）如果最大λ不依赖于s或t。请注意，该偏微分方程与具有各向异性电导率的热方程具有相同的形式。当payo off函数是子模或超模且移动集χ是n=····=nd=2的乘积集（1）时，就会发生这种缩减。具体而言，取N→ ∞ 在定理3.1和3.2中，我们得到以下结果。提案4.1。假设d=2，χ={a（1），a（1）}×{a（2），a（2）}和F:R→ 持续差异化如果F是子模块，则PDE（22）减少到t’u（s，t）=Tr∑（eχ-) · s’u（s，t）.o 如果F是超模的，则PDE（22）减小为t’u（s，t）=Tr∑（eχ+）s’u（s，t）.o 如果F是子模块，则PDE（23）减少到tu（s，t）=Tr∑（eχ+）su（s，t）.o 如果F是超模的，则PDE（23）减小为tu（s，t）=Tr∑（eχ-) · su（s，t）.提案4.2。假设d≥ 3，χ={a（1），a（1）}×···×{a（d），a（d）}和F:Rd→ Ris两次连续可区分。定义eχLby（20）。o如果F是超模的，则PDE（22）减小为t’u（s，t）=Tr∑（eχL）·s’u（s，t）.o 如果F是子模块，则PDE（23）减少到tu（s，t）=Tr∑（eχL）·su（s，t）.线性Black-Scholes方程（25）通过高斯密度的卷积以闭合形式求解。具体而言，如果u（s）是光滑的，并且其第三和第四导数有界，tu=TrΣ · 苏初始条件u（s，t=0）=u（s）由u（s，t）=Zφ（s）给出- st∑）u（s）ds，其中φ（x；∑）是协方差为∑的高斯密度：φ（x；∑）=（2π）d/2∑1/2exp-x> ∑-1台.因此，u（0，1）=ZF（s）φ（s；∑）ds，这是F（s）的期望值，其中s具有分布N（0，∑）。在wewrite s下方~ N（0，∑）。

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2022-6-10 05:00:41

基于此，套期保值价格的上限和下限明确如下。定理4.2。假设d=2，χ={a（1），a（1）}×{a（2），a（2）}和F:R→ R是光滑的，其三阶和四阶导数有界。o如果F是子模，则limN→∞(R)Eχ（f）=E[f（s）]，s~ N（0，∑（eχ-)).o 如果F是超模，limN→∞(R)Eχ（f）=E[f（s）]，s~ N（0，∑（eχ+）。o如果F是子模，则limN→∞Eχ（f）=E[f（s）]，s~ N（0，∑（eχ+）。o如果F是超模，limN→∞Eχ（f）=E[f（s）]，s~ N（0，∑（eχ-)).定理4.3。假设d≥ 3，χ={a（1），a（1）}×···×{a（d），a（d）}和F:Rd→ R是光滑的，其三阶和四阶导数有界。定义eχLby（20）。o如果F是超模lmn→∞(R)Eχ（f）=E[f（s）]，s~ N（0，∑（eχL））.o如果F是子模块limn→∞Eχ（f）=E[f（s）]，s~ N（0，∑（eχL））。在定理4.2和4.3中，我们假设F是光滑的，并且其第三和第四导数有界。然而，定理4.2和4.3适用于非光滑Payoff函数，例如最大或最小选项，因为这些Payoff函数可以由光滑Payoff函数统一近似。5数值结果在本节中，我们通过数值实验验证了理论结果的有效性。为了计算上下对冲价格的渐近值，我们求解Black-Scholes-Barenblatt方程tu（s，t）=最大χ∈ΓTr∑（eχ）·su（s，t）通过有限差分法（Smith，1985），初始条件u（s，0）=u（s）。我们将在下面解释d=2的方法。允许s和t=1/K分别是空间和时间上的步长。这里，我们使用相同的值为简单起见，每个空间维度中的步长为s，K>0是一个整数。我们将s的域限制为矩形D=[-Ms、 M级s] ×[-Ms、 M级s] ，其中M>0是一个非常大的整数。

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2022-6-10 05:00:45

设ui，j，kbe为u（i）的数值s、 js、 k级t） fori=-M-M+1，···，M-1，M，j=-M-M+1，···，M-1，M和k=0，1，···，k。从初始条件开始，我们设置ui，j，0=u（is、 js）。为了迭代计算k=1，2，···，k的ui，j，kf，我们采用显式Euler格式，并按照Nakajima et al.（2012）ford=1的方法，通过比较Γ中的所有元素，在每个步骤选择eχ。具体地说，该方案编写为asui，j，k+1=ui，j，k+maxeχ∈ΓTr∑（eχ）·酒后驾车，j，kt、（26）其中酒后驾车，j，k∈ R2×2是定义为酒后驾车，j，k=ui+1，j，k- 2ui、j、k+ui-1，j，k(s），则，酒后驾车，j，k=酒后驾车，j，k=ui+1，j+1，k- ui+1，j-1，k- 用户界面-1、j+1、k+ui-1，j-1，k4(s），则，酒后驾车，j，k=ui，j+1，k- 2ui，j，k+ui，j-1，k(s）。对于k=0，1，···，k，我们迭代求解（26）-1具有Dirichlet边界条件ui，j，k=u（is、 js）其中（is、 js）∈ D、然后，我们采用u0，0，K≈ u（0，0，1）作为套期保值价格上限的近似值。为了避免数值不稳定，步长必须满足t型(s）≤,这被称为Crank-Nicolson条件（Smith，1985）。5.1两项资产中最大值或最小值的期权在此，我们计算两项资产中最大值或最小值的期权的上下对冲价格（Stulz，1982）。具体而言，两项资产中的最大值的期权定义为FM（ξ）=FM（SN）=（max（（SN），（SN））- K） +（27）且至少两项资产的期权定义为Fm（ξ）=Fm（SN）=（min（SN），（SN））- K） +。（28）在我们的实验中，我们取K=1。假设移动集为χ={（1，1），（1，-1), (-1, 1), (-1.-1)} = {-1, 1}×{-1, 1}.图2绘制了通过对每个N递归求解（5）计算出的上下对冲价格。计算出的价格几乎在N=5附近收敛。

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2022-6-10 05:00:49

在这种情况下，根据定理4.2，对冲价格的上限和下限以闭合形式获得。注意∑（eχ+）=1 11 1, ∑（eχ-) =1.-1.-1 1.因此，s~ N（0，∑（eχ+）表示s=s~ N（0，1）而s~ N（0，∑（eχ-)) 表示s=-s~ N（0，1）。因此，套期保值价格上限为'Eχ（fM）=Z∞-∞（| z）|-1） +φ（z）dz=2Z∞（z）-1） +φ（z）dz=2（φ（1）-Φ(-1））=0.1666，\'Eχ（fm）=Z∞-∞（z）- 1） +φ（z）dz=z∞（z）- 1） +φ（z）dz=φ（1）-Φ(-1） =0.0833，套期保值价格下限为eχ（fM）=Z∞-∞（z）- 1） +φ（z）dz=0.0833，Eχ（fm）=z∞-∞(-|z |- 1） +φ（z）dz=0。这些值在图2中以水平线显示。它们与收敛值非常一致。移动集χ对应于Boyle等人考虑的晶格二项式模型。(1989). 基于该模型，Boyle et al.（1989）通过指定两项资产之间的相关系数，提出了一种多变量未定权益定价方法。具体而言，如果给出了风险中性测度p下两项资产之间的相关系数ρ，则p是唯一确定的=1 1 1 11 1 -1.-11-1 1 -11-1.-1 1-1.ρ.（a） 0 5 10 15 20N00.050.10.150.2（b）0 5 10 15 20N00.020.040.060.080.10.12图2：带移动集χ的上下对冲价格。（a）最大选项（27）。（b）最小选项（28）。水平线表示LimitValue。在（b）中，为每个N计算的较低套期保值价格几乎为零。然后，我们可以使用Cox-Ross-Rubinstein公式（Cox et al.，1979）来计算价格。即，我们取关于p的期望：Ep（f）=Xξ∈χNpx···pxNf（ξ），ξ=x···xN。（29）请注意，该方法通常不提供套期保值价格的上限或下限。图3绘制了由（29）计算得出的ρ各值的价格，其中N=20。对于最大值（27）的选项，ρ=-1和ρ=1分别与套期保值价格的上限和下限一致。

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2022-6-10 05:00:52

对于最小值（28）的选项，ρ=1和ρ=-1分别与套期保值价格的上限和下限一致。这些可以从推论3.1中理解，因为ρ=1意味着当ρ=-1表示eχ-总是被拿走。当d≥ 3，风险中性度量不是通过指定相关系数唯一确定的，因为1+d+d（d- 1） /2<2d。虽然Boyle et al.（1989）通过考虑对称性选择了一种风险中性度量，但似乎没有理论支持这种选择。现在，假设移动集是χ={（1，0）(-1, 0), (0, 1), (0, -1)}. 图4绘出了通过递归求解（5）为每个N计算的套期保值价格上限和下限。我们还通过数值求解BlackScholes-Barenblatt方程（22）计算了套期保值价格上限和下限。在有限差分法中，我们将步长设置为s=1/10和t=1/300，满足Crank-Nicolson条件，并将s的域限制为D=[-7, 7] × [-7, 7]. 计算值为Eχ（fM）≈ 0.1105，Eχ（fM）≈ 0.0084，(R)Eχ（fm）≈ 0.0028，Eχ（fm）≈ 0。（30）这些值在图4中通过水平线显示。（a） -1-0.5 0 0.5 10.080.10.120.140.160.18（b）-1-0.5 0 0.5 100.020.040.060.080.1图3：根据Boyle et al.（1989）的方法计算ρ的每个值的价格。（a）最大选项（27）。（b）最小选项（28）。（a） 0 5 10 15 20N00.020.040.060.080.10.12（b）0 5 10 15 20N00.511.522.533.5410-3图4：移动集χ的上下对冲价格。（a）最大选项（27）。（b）最小选项（28）。水平线表示LimitValue。在（b）中，每N计算的较低对冲价格几乎为零5 10 15 20 N0.030.0350.040.0450.050.0550.060.0650.07图5：移动集χ={-1, 2} × {-2, 1} × {-1, 1}.

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2022-6-10 05:00:55

横线代表三种资产中的最小值5.2期权。在此，我们计算三种资产中的最小值期权的套期保值价格上限（Johnson，1987），定义为Fm（ξ）=Fm（SN）=（min（（SN），（SN），（SN））- K） +。（31）在我们的实验中，我们取K=1。假设移动集为χ={-1, 2} × {-2, 1} × {-1, 1}. 然后，eχLin（20）和∑（eχL）得到aseχL={(-1.-2.-1), (-1, 1, -1), (-1，1，1），（2，1，1）}，（32）∑（eχL）=2 1 11 2 11 1 1. （33）图5绘制了通过递归求解（5）计算出的套期保值价格上限。它几乎在N=5附近收敛。另一方面，根据定理4.3，\'Eχ（fm）=E[fm（s）]，其中s∈ N（0，∑（eχL））。我们用10个样本的蒙特卡罗方法计算了这个期望值，并得到了[Fm（s）]≈ 0.0374. （34）图5中的水平线显示了该值。与收敛值吻合较好。5.3奶油型期权最后，我们考虑以奶油差价期权为动机的欧洲期权。Nakajima et al.（2012）计算了当d=1时，黄油价格展布期权的上下对冲价格：f（ξ）=f（SN）=max（0，SN+0.5）- 最大2（0，序号- 0.5）+最大值（0，SN- 1.5).（a） 0 5 10 15 20N00.050.10.150.20.25（b）0 5 10 15 20N00.050.10.150.20.250.30.35图6：带有移动集（a）χ和（b）χ的欧式期权（35）的上下对冲价格。水平线表示极限值，我们考虑d=2且移动集为χ={-1, 1} × {-1，1}或χ={（1，0）(-1, 0), (0, 1), (0, -1)}.

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2022-6-10 05:00:58

在通过有限差分法数值解Black-ScholesBarenblatt方程（22）时，我们将步长设置为s=1/10和t=1/300，满足Crank-Nicolson条件，并将s的域限制为D=[-7, 7] × [-7, 7].5.3.1不可分离情况考虑欧洲期权定义的asf（ξ）=F（SN）=0（（SN）<-0.5+|（SN）|）（SN）- (-0.5+|（SN）|）(-0.5+|（SN）|≤ （SN）<0.5）（1.5）- |（序号）|）- （SN）（0.5≤ （SN）<1.5- |（SN）|）0（1.5- |（SN）|≤ （序号））。（35）当（SN）固定时，该支付函数的行为类似于（SN）函数的黄油摊铺选项。图6绘制了通过递归求解（5）为每个N计算的套期保值价格的上限和下限。另一方面，通过数值求解Black-Scholes-Barenblatt方程（22）计算的极限值为'Eχ（f）≈ 0.1786，Eχ（f）≈ 0.0028，Eχ（f）≈ 0.3315，Eχ（f）≈ 0.0470.图6中的水平线显示了这些值。它们与收敛值非常一致。5.3.2可分离情况考虑欧洲期权定义的asf（ξ）=F（SN）=g（（SN））+g（（SN）），（36），其中g（s）=最大值（0，s+0.5）- 最大2（0，s- 0.5）+最大值（0，s- 1.5）（37）（a）0 5 10 15 20N0.540.560.580.60.620.640.660.680.7（b）0 5 10 15 20N0.50.60.70.80.911.11.2图7：带有移动集（a）χ和（b）χ的欧洲期权（36）的上下对冲价格。水平线表示极限值。在（a）中，上下对冲价格与Nakajima et al.（2012）中使用的黄油差价期权一致。此选项是可分离的。图7绘制了通过递归求解（5）为每个N计算的套期保值价格的上限和下限。另一方面，通过数值求解Black-Scholes-Barenblatt方程（22）计算的极限值为'Eχ（f）≈ 0.6609，Eχ（f）≈ 0.6609，Eχ（f）≈ 1.0938，Eχ（f）≈ 0.5640.这些值在图7中以水平线显示。它们与收敛值非常一致。

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2022-6-10 05:01:16

注意，χ的上下对冲价格一致，这说明了命题2.4.6结论我们从博弈论概率的角度研究了多元未定权益的上对冲价格。将定价问题归结为单纯形上的一个反向归纳优化问题。对于具有次模或超模支付函数的欧式期权，例如多个资产的最大值或最小值上的期权，该优化通过使用theLov'asz扩展以闭合形式求解。随着博弈轮次的增加，欧式期权的上hedgengprice收敛于Black-Scholes-Barenblatte方程的解。对于具有子模或超模Payoff函数的欧式期权，Black-Scholes-Barenblatt方程简化为线性Black-Scholes方程，并以闭合形式求解。数值实验表明了理论结果的有效性。我们主要将注意力限制在欧洲选项上。扩展路径相关支付函数（包括美式期权）是一个重要的未来问题。对于这种支付函数，子模块化或超模块化的定义似乎并不微不足道。此外，我们主要假设移动集是乘积集（1）。特别是，我们关于子模和超模Payoff函数的结果基于Lattice二项式模型。对一般移动集的扩展是另一个有趣的未来问题。Black-Scholes-Barenblatt方程是依赖时间的微分方程的特例（Hundsdorfer和Verwer，2003）。虽然我们使用了一种简单的有限差分方法进行数值求解，但研究更有效的数值方法将是一件有趣的事情。致谢我们感谢Naoki Marumo和Kengo Nakamura的有益评论。这项工作得到了JSPS KAKENHI赠款编号16K12399和17H06569的支持。参考Black，F.&Scholes，M。

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2022-6-10 05:01:19

(1973). 期权和公司负债的定价。《政治经济学杂志》，81637-654。Boyd，S.&Vandenberghe，L.（2004）。凸优化。剑桥大学出版社，剑桥。Boyle，P.P.，Evnine，J.&Gibbs，S.（1989）。多变量索赔的数值评估。《金融研究回顾》，2241–250。Calinescu，G.、Chekuri，C.、Pal，M.和Vondrak，J.（2007）。在拟阵约束下最大化asubmodular集函数。第12届国际整数规划和组合优化会议论文集，541–567。Cox，J.C.、Ross，S.A.和Rubinstein，M.（1979）。期权定价：一种简单的方法。《金融经济学杂志》，7229–263。Dughmi，S.（2009）。子模函数：扩展、分布和算法。调查。arXiv 0912:0322。El Karoui，N.&Quenez，M.C.（1995）。不完全市场中未定权益的动态规划与定价。《暹罗控制与优化杂志》，33，29–66。Fallat，S.、Lauritzen，S.、Sadeghi，K.、Uhler，C.、Wermuth，N.&Zwiernik，P.（2017）。马尔可夫结构中的总正性。《统计年鉴》，451152-1184年。Fleming，W.H.&Soner，H.M.（2006）。受控马尔可夫过程和粘性解。斯普林格，纽约。Fujishige，S.（2005）。子模块功能和优化。爱思唯尔，阿姆斯特丹。Hundsdorfer，W.&Verwer，J.G.（2003）。含时扩散反应方程的数值解。柏林斯普林格。Johnson，H.（1987）。多个资产的最大值或最小值的期权。《金融与定量分析杂志》，22，277–283。Karatzas，I.&Shreve，S.E.（1998）。数学金融方法。斯普林格，纽约。Karlin，S.（1968年）。总积极性。斯坦福大学出版社，斯坦福。Lov\'asz，L.（1983年）。子模函数与凸性。

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