平滑粘贴原理的失败和平衡的不存在

2022-6-10 05:49:16

时间不一致下光滑粘贴原理的失效和平衡停止规则的不存在*Ken Seng Tan Wei Wei Xun Yu Zhou+2019年9月5日摘要本文考虑时间不一致停止问题，其中不一致源于一类称为加权折扣函数的非指数折扣函数。我们证明了光滑粘贴原理，即用于构造经典时间一致性最优停止问题显式解的主要方法，在时间不一致的情况下可能会失败。具体地说，我们证明了在个人内部博弈论框架下，当且仅当模型基元上的某些不等式满足时，光滑预测解决了一个时间不一致的问题，具有一般非线性成本泛函和几何布朗运动。在实物期权问题的特殊情况下，我们证明，即使对于非常简单的非指数折扣函数，也可能发生违反这些不等式的情况。此外，我们还表明，当平滑粘贴方法失败时，实物期权问题实际上不允许任何均衡。本文的n个负性结果提醒我们，要盲目地将时间一致性停止问题的经典方法扩展到时间不一致的问题。*周感谢哥伦比亚大学和Nie智能资产管理中心通过启动拨款提供的财政支持。作者感谢副主编和两位匿名推荐人的详细和建设性意见，这些意见导致了版本的大幅改进。+谭：加拿大安大略省西滑铁卢大学统计与精算系滑铁卢数学3，200 UniversityAvenue West Waterloo，N2L 3G1。电子邮件：kstan@uwaterloo.ca.

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2022-6-10 05:49:19

魏：滑铁卢大学统计与精算学系，200 University Avenue West，Waterloo，N2L 3G1，ON，Canada。电子邮箱：wei。wei@uwaterloo.ca.周：美国纽约哥伦比亚大学IE OR系，邮编：10027。电子邮件：xz2574@columbia.edu.Key关键词：最优停止、加权折扣函数、时间不一致性、均衡停止、个人内部博弈、平滑粘贴、实物期权。1简介：经典最优停止模型的一个重要假设是，一个代理具有恒定的时间偏好率，因此会以指数方式折扣其未来的支付。当违反此假设时，最优停止问题通常会变得时间不一致，因为从未来日期的角度来看，今天获得的任何最优停止规则可能不再是最优的。这个问题在很大程度上是描述性的，而不是规范性的，因为通常没有可以用来指导代理决策的动态最优解决方案。不同的代理可能会对同一时间不一致的问题做出不同的反应，本研究的目标是描述不同的行为。Strotz（1955）是第一个观察到非恒定时间偏好率会导致时间不一致性的人，并将面临这种时间不一致性的人分为三类。其中一种类型被称为“未承诺、成熟的员工”，她在任何给定的时间都会以未来自己选择的停止决策为约束，优化潜在目标。这类问题是在个人内部博弈论框架下提出的，并用相应的均衡来描述这类代理人的行为；例如，见菲尔普斯和波拉克（1968）；Laibson（1997）；O\'Donoghue和Rabin（2001）；Krussell和Smith（2003）以及Luttmer和Mariotti（2003）。

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2022-6-10 05:49:22

Ekeland和Lazrak（2006）推导了连续时间确定性平衡控制的扩展动态规划方程，随后Jork和Murgoci（2010）推导了随机版本，并应用于Bj¨ork等人（2014）的均值-方差portfo-lio模型。本文在内部博弈框架下研究了连续时间内的时间不一致停止问题，其中时间不一致的来源是所谓的加权贴现函数（WDF），这是一类非常普遍的非指数贴现函数。我们作出了两项主要贡献。首先，我们证明了平滑粘贴（SP）原则，这几乎是解决经典最优停止问题的唯一方法，当Eb-ert等人（2016）提出的WDF是一组指数折扣函数的加权平均值时，可能会失败。Ebert et al.（2016）表明，它可以用来建模一组个体以及行为主体的时间偏好，最常用的非指数折扣函数是WDF。时间一致性丢失。其次，对于一个时间一致的停止模型，其对应物是研究得很好的实物期权问题，我们建立了一个不存在均衡停止规则的条件。这些结果是有建设性的，它们警告盲目地将SP原则扩展到时间不一致的停止问题。现在，让我们来谈谈第一个贡献。回想一下，SP用于导出（通常是明确的）常规、时间一致的最佳停止问题的解决方案。它根据自由边界周围的C光滑粘贴，推测基本Bellman方程（或变分不等式）的候选解，这是一个自由边界PDE，然后检查它在一些标准正则性/凸性条件下在模型基元上求解PDE。

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2022-6-10 05:49:25

最后，使用标准验证技术验证了自由边界的首次击中时间确实解决了最佳停止问题。最近，Glandier和Wang（2007）以及Hsiaw（201 3）等人将SP原则的应用扩展到解决时间不一致的停止问题。虽然SP碰巧在这些论文的特定环境下工作，但它更多的是一个例外而非规则。事实上，在本文中，我们表明，对于具有非线性成本泛函的几何布朗运动，虽然SP始终是一个候选解，但当且仅当模型原语上的确定性不等式满足时，后者实际上会产生一个平衡停止规则。这些不等式对于时间一致的指数折扣情况来说并不重要，但一般来说，即使所有其他参数和假设（状态动力学、运行成本等）都是相同的，也不适用于其时间不一致的非指数对应项。事实上，即使在非常简单的情况下，违反这种不平等也并不罕见。例如，我们表明，在实物期权问题的特殊情况下，一些WDF包括伪指数贴现函数（Ekeland和Lazrak 2006；Karp 2 007；Harris和Laibson 2013），不等式不适用于所选贴现函数的合理参数值集。底线是，当存在时间不一致性时，不能盲目地将SP应用于任何停止模型，即使SP确实适用于其时间一致性对应模型。第二个贡献是个人内部平衡的不存在。对于时间一致性停止问题，当成本函数和基础过程满足一些温和的规律性条件时，存在最优停止规则（参见Peskir和Shiryaev 2006）。然而，对于时间不一致的对手来说，情况已不再如此。

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2022-6-10 05:49:28

为了证明这一点，我们再次考虑了WDF的实物期权问题。对于这样一个问题，我们证明了只要违反上述不等式，就不存在任何平衡停止规则，因此SP原理失效。因此，我们的结果表明，个人内部博弈论框架内的均衡停止规则可能不存在，也不知道对基础模型施加了什么样的规则条件。文献中有关于时间不一致停止的研究，包括不存在的结果，尽管在相当不同的环境中，尤其是在时间不一致的来源和平衡的定义方面。Bayraktar等人（20-18）考虑了一个具有离散时间马尔可夫链的停止问题，而时间不一致性来自平均方差目标函数。马尔可夫链在一组有限的数字中取值，这使得他们可以通过枚举来讨论平衡停止规则的不存在性。Christensen和Lindensj¨o（2018a）以及Christensen和Lindensj"o（2018b）研究连续时间停止问题，其中时间不一致性源于支付函数的类型（均值方差或内生沙比特形成）。Christensen和Lindensj¨o（2018a）特别指出，从SP导出的候选解可能不会导致某些参数范围内的平衡停止。然而，这些论文中对平衡的定义与基于“一阶”尖峰变化的定义完全不同；后者似乎被包括本论文在内的许多论文广泛采用（例如，见O\'Donoghue and Rabin 2001；Bjork and Murgoci 2010；Ekeland et al.2012；Bj¨ork et al.2014）。Huang和Nguyen Huu（2018）研究了一个具有非指数折扣函数的连续timestopping问题。

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2022-6-10 05:49:31

他们通过映射的一个执行点来定义平衡，该点基本上基于零阶条件，因此与我们的定义不同。在他们的背景下，立即停止总是一个（琐碎的）平衡Christensen和Lindensj¨o（2018a）也认为混合策略与我们的论文和许多其他论文中研究的纯策略相反。使用混合策略的时间不一致性问题很有趣，在混合策略类中也可能找不到均衡。然而，本文的主要观点是表明，贴现因子从指数到非指数的变化可能会导致一个均衡到非均衡的停止问题，即使两者都使用纯策略。（因此不存在不存在的问题），根据我们的定义，情况并非如此。论文的其余部分组织如下。在第2节中，我们回顾了Ebert等人（2016）提出的WDF的定义和一些重要性质，在个人内部博弈论框架内提出了一个一般的时间不一致停止问题，并通过Bellman系统描述了均衡停止规则，并提供了验证。在第3节中，我们考虑了当状态过程是几何布朗运动时，应用SP原理导出候选解，并为导出的候选解建立一定的等价条件，以实际求解Bellman系统。然后，我们提出了一个实物期权问题，在该问题中，上述等价条件简化为一个单不等式，否则根本就没有均衡。最后，第四部分对本文进行了总结。附录A包含一些结果的证明。2模型2.1时间偏好在本文中，我们考虑加权折扣函数，定义如下。定义1（Ebert等人。

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2022-6-10 05:49:34

2016）让h：[0，∞) → （0，1）随h（0）=1严格递减。如果存在一个集中于[0]的分布函数F，我们称h为加权折扣函数（WDF），∞) 使得H（t）=Z∞e-rtdF（右）。（1）此外，我们称F为h的加权分布。许多常用的贴现函数可以用加权形式表示。例如，指数函数h（t）=e-rt，r>0（Samuelson 1937）和伪指数函数h（t）=δe-rt+（1-δ） e类-（r+λ）t，0<δ<1，r>0，λ>0（Ekeland和La zrak 2006；Karp 2007）是分别具有退化和二元分布的WDF。一个更复杂的例子是参数γ>0、β>0的广义双曲贴现函数（Loewenstein和Prelec 1992），它可以表示为ash（t）=（1+γt）βγ≡Z∞e-rtf公司rβγ, γdr（2），其中f（r；k，θ）=rk-1e级-rθθkΓ（k）是γ分布的密度函数，参数为kθ，且Γ（k）=r∞xk公司-1e级-xdx在k处计算的伽马函数。有关加权形式折扣函数类型的更多示例和讨论，请参见Ebert et al.（201 6）。下面的结果是对著名的伯恩斯坦定理在WDF方面的重述，它实际上提供了后者的特征。定理1（Bernstein 1928）折扣函数h是WDF当且仅当它是continuouson[0，∞), 在（0，∞), 和满意度(-1） nh（n）（t）≥ 0，对于所有非负整数n和所有t>0。Bernstein定理可用于检验给定函数是否为WDF，而无需以（1）的形式表示它。

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2022-6-10 05:49:37

例如，根据这个定理，恒常灵敏度折扣函数h（t）=e-atk，a，k>0，常数绝对递减不耐烦折扣函数h（t）=ee-计算机断层扫描-1，c>0，都是WDF。2.2完全过滤概率空间上的停止规则和平衡(Ohm, F、 F={Ft}t≥0，P）存在一个一维布朗运动W，以及一系列由初始状态X=X参数化的马尔可夫扩散过程X=XX∈ 由以下随机微分方程（SDE）控制，dXt=b（Xt）dt+σ（Xt）Wt，X=X，（3）其中b，σ是Lipschitz连续函数，即，存在一个L>0，使得任何X 6=y | b（X）- b（y）|+|σ（x）- σ（y）|≤ L | x- y |。（4）我们假设F是X产生的自然过滤的P-增强。为了避免不可预测的情况，我们还假设|σ（X）|≥ c>0x个∈ 所以X是非退化的。对于任何固定x∈ R、代理监控过程X=xxx，旨在最小化以下成本函数j（X；τ）=EZτh（s）f（Xs）ds+h（τ）g（Xτ）X=X（5）通过选择τ∈ T，所有F停止时间的集合。这里h是一个加权分布为f的WDF，g是连续且有界的，f是连续且多项式增长的，即存在≥ 1和C>0，使得| f（x）|≤ C（| x | m+1）。（6）此外，我们假设存在n≥ 1，C（r）>0满足r∞C（r）dF（r）+r∞rC（r）dF（r）<∞ 这样SUPτ∈TE公司Zτe-rs | f（Xs）| ds+e-rτ| g（Xτ）|X=X≤ C（r）（| x | n+1）， r∈ 补充（F）。（7）这是一个（弱）假设，以确保停止问题的最佳值是有限的，因此问题是正确的。我们现在定义了基本上是二进制反馈控制的停止规则。

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2022-6-10 05:49:40

对于任何给定的马尔可夫过程，这些停止规则都会产生马尔可夫停止时间。定义2（停止规则）停止规则是一个可测量的函数u:R→ {0，1}这里我们假设布朗运动是一维的，只是为了符号简单。对于多维布朗运动来说，这并不重要。0表示“继续”，1表示“停止”。对于任意giv-en-Markov过程X={Xt}t≥0，重叠规则定义了马尔可夫停止时间τu=inf{t≥ 0，u（Xt）=1}。（8）给定停止规则u，我们可以确定停止区域Su={x∈ (0 , ∞) : u（x）=1}。Forany x公司∈‘Su，由于基本过程X是非退化的，标准结果（如Ito和McKean Jr 1965的第3章）得出P（τu=0 | X=X）=1，因此J（X；τu）=g（X）。这意味着一旦过程到达“Su”中的任何一点，代理立即停止。因此，在本文的设置中，连续区域为Cu=(R)Suc。如前所述，成本函数（5）中的非指数折扣函数h通常会导致潜在的最优停止问题时间不一致。在这篇文章中，我们考虑了一个老练而不坚定的人，她意识到时间的不一致性，但无法控制自己未来的行动。

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2022-6-10 05:49:44

在这种情况下，她试图在个人内部博弈论框架下找到所谓的均衡策略，其中个人在不同日期由不同的参与者代表。我们现在给出了均衡停止规则^u的精确定义，它本质上是一个游戏的解决方案，在这个游戏中，任何时候（或者，在当前设置中，在任何状态下）都没有人愿意偏离均衡停止规则^u。定义3（均衡停止规则）停止规则^u是一个均衡停止规则iflim sup→0+J（x；τ^u）- J（x；τ，a）≤ 0, x个∈ R一∈ {0，1}，（9）给定时间范围的不确定性、过程X的平稳性以及运行目标函数f的时间同质性，任何给定时间t的每个自我都与其他自我完全相同，它只取决于当前的s状态Xt=X，而不直接取决于时间t。因此，我们可以通过当前状态Xt=x来识别自我t。这就是为什么我们只需要考虑静态停止规则u，它只是状态变量x的函数。关于这项公约的详细情况，见《掷弹兵》和《王》（2007年）；Ekeland等人（2012年）；Harris和Laibson（2013），尤其是Ebert等人（2016）的第3.2节。式中，τ，a=inf{t≥ ，^u（Xt）=1}如果a=0，如果a=1（10），则为0，且{Xt}t≥0是（3）的解决方案。当停止规则被解释为二进制控制时，这种平衡的定义与文献中对时间不一致控制问题的大多数定义一致（参见，例如，Bjork和Murgoci 2010；Ekeland et al.2012；和Bj¨ork et al.2014）。

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2022-6-10 05:49:46

实际上，τ，Ai是一个仅在非常小的初始时间间隔[0，]内可能与τu不同的停止时间；因此它是后者的“干扰”。2.3平衡表征以下结果，即定理2，正式建立了Bellman系统，并提供了验证平衡停止的验证定理。定理2（平衡表征）考虑WDFh（t）=Z的成本函数（22）∞e-rtdF（r），停止规则^u，由（3）定义的基础过程X，函数w（X；r）=EZτ^ue-rtf（Xt）dt+e-rτ^ug（Xτ^u）X=XV（x）=Z∞w（x；r）dF（r）。假设w在x上是连续的，V是连续可微的，其一阶导数是绝对连续的。If（V，w，^u）solv esminσ（x）Vxx（x）+b（x）Vx（x）+f（x）-Z∞rw（x；r）dF（r），g（x）-V（x）= 0，x∈ R、（11）^u（x）=如果V（x）=g（x），则为1，否则为0，x∈ R、（12）则^u是一个相等的停止规则，V是问题的值函数，即V（x）=J（x；τu）x个∈ R、上述命题的证明被归入附录。Ebert等人（2016年）提供了不同环境下这一结果的证明。这里我们为读者提供一个方便的证明。3 SP失效和平衡点不存在在（时间一致性）停止的经典文献中，通常由SP获得最优解，因为从SP获得的候选解必须在一些温和的条件下解决Bellman系统（以及由此产生的最优停止问题），如成本函数的光滑性和凹凸性。从经济学角度来看，SP原则是指停止状态下边际成本的匹配；因此，一些经济学家甚至在没有明确引入贝尔曼系统的情况下应用了SP原则。

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2022-6-10 05:49:49

然而，正如我们将在本节中展示的那样，存在时间不一致性的SP方法可能不会产生Bellman系统的解决方案（因此也不会产生博弈论框架内的停止问题），无论成本函数可能多么平滑和凸凹。3.1时间一致性基准让我们从时间一致性最优停止问题开始，我们将其用作比较基准，并概述在构造显式解决方案时使用SP原则的方法。考虑以下经典最优停止问题infτ∈TE公司Zτe-rsf（Xs）ds+e-rτKX=X, （13）其中，基本过程X是几何布朗运动dxt=bXtdt+σXtdWt，X>0，（14），T是关于F的所有停止时间的集合。在下文中，我们假设运行成本F是连续可微、递增和凹的。此外，为了排除“无关紧要的情况”，即对于这个时间一致的基准而言，立即停止或永远停止都是最佳的，我们假设f（0）<rK，b<r，在这个公式中，最终成本被假定为一个恒定的包干价K，而不失一般性。事实上，通过适当修改运行成本，我们能够将最终成本函数GT的停止问题减少到最终成本t为任何给定常数K>0的停止问题。要看到这一点，将伊藤公式应用于e-rt（g（Xt）- K），和limx→∞fx（x）x=∞.定义L（x；r）=E[r∞e-rsf（Xs）ds | X=X]。注意到X是一个几何布朗运动，经过简单的操作l（X；r）=Z∞Z∞f（yx）e-rsG（y，s）dyds，（15），其中G（y，s）=√2πσy√东南方-（年）-（b）-σ） s）2σs。为了确保L和Lx得到很好的定义，我们进一步假设f具有线性增长和fx（0+）<∞.我们现在将最优停止规则描述如下。命题1存在xB>0，因此停止规则uB（x）=1x≥xB（x）解决了最优停止问题（13）。

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2022-6-10 05:49:53

此外，xb是y中下列代数方程的唯一解：α（r）[K- L（y；r）]+Lx（y；r）y=0（16），其中α（r）=-（b）-σ） +q（b-σ） +2σrσ。（17）证明这个定理的关键是使我们了解SP；见附录A.2。我们找到了Zτe-rsf（Xs）ds+e-rτg（Xτ）X=X=EZτe-rsf（Xs）ds+e-rτK+e-rτ（g（Xτ）- K）X=X=EZτe-rsf（Xs）ds+e-rτK+Zτe-卢比σxgxx（Xs）+bxgx（Xs）- r（g（Xs）- K）ds公司X=X.设▄f（x）：=f（x）+σxgxx（x）+bxgx（x）-r（g（x）-K），成本函数现在成为问题（13）中的一个，运行成本f.3.2时间不一致下的等效条件。我们现在考虑与上述时间一致性基准完全相同的停止问题，但指数折扣函数被WDF替代，即成本函数改为j（x；τ）=EZτh（s）f（Xs）ds+h（τ）KX=X, （18）其中h是加权分布为F的WDF。与指数贴现一样，我们需要对问题的参数施加以下正则条件：b<r， r∈ supp（F）；和maxZ∞r- bdF（r），Z∞rdF（r），Z∞rdF（r）< ∞.当贴现函数退化为指数函数时，这些条件要么自动成立，要么退化为相应的条件。另一方面，它们适用于许多精确的WDF，包括γ<β时的广义双曲贴现函数（2）和伪指数贴现函数。我们现在尝试使用SP原理，用成本泛函（18）求解定理2中的Bellman系统。我们首先猜测平衡停止区域是[x*, ∞) 对于某些x*> 0。（与时间一致的情况一样，x*称为触发边界或停止阈值。）根据Feynman–Kac公式，Bellman系统中的w由w（x；r）给出=（K）- L（x*; r）（）xx号*α（r）+L（x；r），x<x*,K、 x个≥ x个*,其中，L（x；r）由（15）定义，α（r）由（17）定义。

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2022-6-10 05:49:55

回想一下，我们定义了V和^u byV（x）=Z∞w（x；r）dF（r）=R∞（（K- L（x*; r））（xx*)α（r）+L（x；r））dF（r），x<x*,K、 x个≥ x个*和^u（x）=0 x<x*,1否则。应用于V（而非w）的SP产生Vx（x*) = 0，表示x*是yZ中以下代数方程的解∞[α（r）（K- L（y；r））+Lx（y；r）y]dF（r）=0。（19）显然，这个方程是其时间一致对应项（16）的推广。以下命题规定它有一个独特的解决方案。命题2等式（19）承认（0，∞).证据根据第1条属性证明（附录A.2），我们得到了Q（x）：=R∞（α（r）（K- L（x；r））+Lx（x；r）x）dF（r）在x>0时严格递减，Q（0）>0和Q(∞) < 0。这就完成了证明。命题2表明，即使在时间不一致的情况下，遵循传统的SP论证路线确实会给Bellman系统带来一个可行的解决方案。在时间一致的情况下，我们可以理所当然地宣称，这个候选解解决了定理2中的Bellman系统，因此相应的停止规则^u解决了平衡停止问题。不幸的是，情况并非总是如此，如以下结果所示。定理3假设α（r）[α（r）- 1] [K]- L（x*; r） ]在r中增加∈ supp（F），让x*bethe（19）的唯一解决方案。然后，三元组（V，w，^u）在定理m 2中求解Bellman系统，尤其是^u是一个平衡停止规则，当且仅当（x*) ≥Z∞rdF（r）K、（20）和Z∞α（r）[α（r）- 1][K- L（x*; r） ]dF（r）+Z∞x个*Lxx（x*; r） dF（r）≤ 0.（21）由于证据冗长，我们将其推迟到附录a.3。上述定理给出了SPto停止一般WDF问题的特征条件（在模型原语上）。

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2022-6-10 05:49:58

这些条件在经典的时间一致性情况下自动满足，但在一般的时间不一致性情况下不满足。在下一小节中，我们将用一个经典的实物期权问题来证明这一点。3.3实物期权问题：SP和n在平衡点存在时的失效本小节我们考虑了前一小节中研究的模型的一个特例，它是经过充分研究的（时间一致的）实物期权问题的时间不一致对应物。这样的问题可以用来建模，尤其是何时开始一个新项目或何时放弃一个正在进行的项目；参见Dixit（1993）对经典实物期权理论的系统描述。问题是最小化Zτh（s）Xsds+h（τ）KX=X（22）通过选择τ∈ T，其中X={Xt}T≥在这里，我们假设几何布朗运动是无漂移的，而不丧失一般性。dXt=σXtdWt。（23）我们现在将定理3应用于这个问题，看看等价条件（20）和（21）归结为什么。首先，L（x；r）=E[Z∞e-rtXtdtX=X]=xr。Hencew（x；r）=K-x个*rxx号*α（r）+xr，x<x*,K、 x个≥ x个*,V（x）=R∞K-x个*rxx号*α（r）dF（r）+r∞xrdF（r），x<x*,K、 x个≥ x个*,和^u（x）=0 x<x*,否则，其中α（r）=σ+qσ+2σrσ。（24）此外，从（19）可以得出x*是以下方程的y:Z解∞K-年α（r）dF（r）+Z∞yrdF（r）=0。Thusx公司*=Z∞α（r）dF（r）Z∞α（r）- 1rdF（r）K.（25）接下来，很容易验证α（r）[α（r）-1] [K]-L（x*; r） ]=σ（Kr-x个*); 因此，它在r中是一个递增函数≥ 此外，替换x的显式表示*在（25）到（20）和（21）中，我们发现后两个不等式都与以下单一不等式z相同∞α（r）dF（r）≥Z∞rdF（r）Z∞α（r）- 1rdF（右）。

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2022-6-10 05:50:01

（26）我们证明了以下命题3三元组（V，w，^u）解实物期权问题的Bellman系统当且仅当（26）成立。不等式（26）是模型原语上的一个关键条件，我们必须先验证，然后才能确定通过SP构造的解确实是时间不一致实物期权问题的均衡解。当分布函数F退化到指数折扣函数的经典时间一致情形时，立即可以看出（26）的严格不等式是平凡的。在这种情况下，x*（25）中的定义与第3.1小节中得出的停止阈值一致。这与时间一致性设置相一致。条件（26）可能适用于某些非指数折扣函数。考虑一个广义双曲折扣函数h（t）=（1+γt）βγ≡Z∞e-rtrβγ-1e级-rγγβγΓ（βγ）dr，γ>0，β>0。我们假设γ<β≤σ. 注意到α（r）-1 = -+√σ+2σrσ是r中的凹函数，wehaveα（r）- 1.≤ （α（r）- 1） ′r=0r+α（0）- 1=σr。此外，很容易看出z∞rdF（r）=β和α（r）≥ 1、因此，Z∞α（r）- 1rdF（r）Z∞rdF（r）≤ βσ≤ 1.≤Z∞α（r）dF（r），即（26）。因此，在这种情况下，SP工作，停止阈值x*是byx提供的*=Z∞α（r）rβγ-1e级-rγγβγΓ（βγ）drZ∞α（r）- 1rrβγ-1e级-rγγβγΓ（βγ）drK。然而，（26）也有可能失败，即使是最简单的非指数WDF——伪指数折扣函数，也是如此。要看到这一点，让h（t）=δe-rt+（1- δ） e类-（r+λ）t，0<δ<1，r>0，λ>0。

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2022-6-10 05:50:04

很容易得到thatZ∞α（r）dF（r）=Δα（r）+（1- δ） α（r+λ）和z∞rdF（r）Z∞α（r）- 1rdF（r）>（1- δ）（r+λ）δα（r）- 1r级.自（1）起- δ）（r+λ）δ（α（r）-1r）比Δα（r）+（1）增长快- δ） α（r+λ）当λ变大时，我们得出结论，当r、δ固定且λ足够大时，违反了（26）。到目前为止，我们讨论的结果表明，当不等式（26）失效时，通过SP构造的解并不能解决时间不一致的实物期权问题。在这种情况下，一个自然的问题是，是否可能存在平衡解，而这些平衡解是SP甚至Bellman系统都无法定义的。答案显然是否定的。命题4对于实物期权问题（22）–（23），如果（26）不成立，则不存在均衡停止规则。证据我们用矛盾来证明。假设^u是一个平衡停止规则。我们首先注意到C^u≡ {x>0：^u（x）=0}6=（0，∞); 否则^u≡ 0，导致J（x；τ^u）=R∞L（x；r）dF（r）=r∞xrdF（r），因此J（x；τ^u）→ ∞ 作为x→ ∞ 与附录A.2中的引理2相矛盾。定义x*= inf{x:x∈\'S^u}。它遵循附录A.2 t hat x中的引理3*∈ (0, ∞). 标准参数则导致j（x；τ^u）=Z∞K-x个*rxx号*α（r）dF（r）+Z∞xrdF（r），x∈ （0，x*].因为J（x；τ^u）≤ K和J（x*; τ^u）=K，我们有Jx（x*-; τ^u）≥ 0，即Z∞K-x个*rα（r）x*dF（r）+Z∞rdF（r）≥ 0，这依次给出x*≤R∞α（r）dF（r）r∞α（r）-1rdF（r）K。结合条件（26）的失效，我们导出*<Z∞rdF（r），它与引理3相矛盾。这就完成了证明。以上是一个更强的结果。它表明，要使问题有任何平衡停止规则（不一定是SP原理可以得到的规则），条件（26）必须成立。

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2022-6-10 05:50:08

因此，当涉及到非指数计数的时间不一致停止问题时，很可能不存在平衡停止规则，即使SP原则生成“解决方案”，或者，即使时间一致的对应项（其中除贴现函数外，其他一切都是独立的）确实可由SP求解。将这些结论应用于上述伪指数贴现函数，我们推断，当λ足够大时，不存在平衡点。话虽如此，命题3和命题4的一个逻辑结论是，当存在平衡时，其中一个必须是SP生成的解。一般来说，如果存在非平衡，则可能存在多个非平衡；例如，参见Krussell和Smith（2003）andEkeland和Pirvu（2008）f关于时间不一致控制问题中的多重平衡。在这种情况下，SP只能生成其中一个，但不一定生成所有。（即使对于经典的时间一致性停止问题，这种说法也是正确的。）因此，毕竟，对于时间不一致的问题，SP仍然是一种有用的、合适的方法；我们可以简单地应用它来生成候选解决方案。如果解决方案是一个平衡（我们必须验证），当我们找到一个平衡时（但不一定是其他平衡）；如果它不是一个平衡，那么我们知道根本没有平衡。4结论虽然SP原则已被广泛用于研究时间不一致停止问题，但我们的结果表明，在此类问题上使用此原则存在风险。我们已经证明，当且仅当满足某些不等式时，SPprinciple才能解决时间不一致性问题。通过经典真实期权问题的简单模型，我们发现，即使对于简单且常用的非指数折扣函数，也可能违反这些不等式。

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2022-6-10 05:50:11

当SP原则失效时，我们已经证明了个人内部的均衡并不存在。不存在的结果和SP原理的失败表明，当扩展到解决时间不一致的停止问题时，必须更加小心地使用常规最优停止问题的技术。A附录：证明A。1定理2关于停止时间τ，a的证明，如果a=1，则J（x；τ，a）=g（x）。Bellman方程（11）意味着g（x）≥ V（x）≡ J（x；τ^u）。这将产生（9）。如果a=0，则j（x；τ，a）=EZh（s）f（Xs）dsX=X+ EZτ，a（h（s））- h（s）- ）f（Xs）dsX=X+ E[（h（τ，a））- h（τ，a- g（Xτ，a）| Xt=X]+E[V（X）| X=X]=EZh（s）f（Xs）dsX=X+ EZτ，aZ∞e-r（s）-）（e）-r- 1） dF（r）f（Xs）dsX=X+ EZ∞e-r（τ，a）-）（e）-r- 1） dF（r）g（Xτ，a）X=X+ E[V（X）| X=X]=EZh（s）f（Xs）dsX=X+ EZ∞（e）-r- 1） w（X；r）dF（r）X=X+ E[V（X）| X=X]。（27）定义τn=inf{s≥ 0：σ（Xs）Vx（Xs）>n}∧ .

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2022-6-10 05:50:14

然后根据伊藤的公式得出E[V（Xτn）| X=X]=EZτn（σ（Xs）Vxx（Xs）+b（Xs）Vx（Xs））dsX=X+ V（x）。通过（11），我们得出[V（Xτn）| X=X]=EZτn（σ（Xs）Vxx（Xs）+b（Xs）Vx（Xs））dsX=X+ V（x）≥ EZτn(-f（Xs）+Z∞rw（Xs；r）dF（r））dsX=X+ V（x）。注意，条件（6）和（7）确保-f（x）+R∞rw（x；r）dF（r）具有多项式增长，即t存在C>0，m≥ 1因此- f（x）+Z∞rw（x；r）dF（r）≤ C（| x | m+1），导致SUP0≤t型≤- f（Xs）+Z∞rw（Xs；r）dF（r）≤ C（sup0≤t型≤| Xt | m+1）。此外，在条件（4）下，遵循标准SDE理论（例如，参见Yong和Zhou（1999）的第1章），方程（3）允许唯一的强解X满足[sup0≤t型≤| Xt | m | X=X]≤ K（| x | m+1），K>0。然后让n→ ∞, 我们通过支配收敛定理得出结论，即e[V（X）| X=X]≥ EZ(-f（Xs）+Z∞rw（Xs；r）dF（r））dsX=X+ V（x）。因此，lim inf→0+J（x；τ，a）- J（x；τ^u）≥ lim inf→0+EZh（s）f（Xs）dsX=X+ EZ∞（e）-r- 1） w（X；r）dF（r）X=X+ lim inf→0+EZZ∞（rw（Xt；r）dF（r）- f（Xt））dtX=X.f和w的连续性以及多项式增长条件（6）和（7）允许使用支配收敛定理，这将使Slim inf→0+J（x；τ，a）- J（x；τ^u）≥ 0。这就完成了证明。A、 2命题的证明1将VBbe设置为最优停止问题的值函数。根据标准论证（例如，见Krylov 2008年第6章），Vb是连续可微的，其一阶导数是绝对连续的。此外，vb解决了以下BellmanequationminσxVBxx（x）+bxVBx（x）+f（x）- rVB（x），K- VB（x）= 0。（28）确定连续区域CB={x>0:VB（x）<K}a和停止区域SB={x>0:VB（x）=K}。我们声称SB6=（0，∞). 如果不是，则VB≡ K、因此σxVBxx（x）+bxVBx（x）+f（x）-rVB（x）<0每当x∈ {x>0:f（x）- rK<0}。

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2022-6-10 05:50:16

然而，由于f（0）<rK，f的连续性意味着{x>0:f（x）- rK<0}6=. 这与Bellman方程（28）相矛盾。我们现在证明Cb6=（0，∞). 如果为false，则表示VB（x）=L（x；r），L由（15）定义。因为f是递增的，并且从下面以0为界，所以我们有vb(∞) ≡ 林克斯→∞VB（x）=Z∞Z∞林克斯→∞f（yx）e-rsG（y，s）dyds。f的凹度产生f（x）≥ xfx（x）+f（0）。然后从limx开始→∞xfx（x）=∞ thatlimx公司→∞f（x）=∞, 这就产生了VB(∞) = ∞. 这与VB（x）的事实相矛盾≤ K、接下来，由于X是几何布朗运动，f在增加，很明显V在增加到o。现在，我们通过SP原理导出触发边界xB的值。具体而言，从（28）可以看出Vb（x）=（K- L（xB；r））（xxB）α（r）+L（x；r），x<xvb（x）=K，x≥ xB，其中α（r）由（17）定义。然后，SP表示VBx（xB）=0，经过一些计算，得出xB是方程（16）的解。为了证明（16）解的唯一存在性，定义Q（x）：=α（r）（K-L（x；r））+Lx（x；r）x。然后Qx（x）=(-α（r）+1）Lx（x；r）+Lxx（x；r）x。当L严格递增且凹且α（r）>1时，我们推断Q严格递减。它仍然显示Q（0）>0和Q(∞) < 很容易看出Q（0）=α（r）（K-L（0；r））=α（r）（K-f（0）r）>0且Q（x）=α（r）（K-L（0；r）-RxLx（s；r）ds）+Lx（x；r）x。因为L是凹的，所以我们有RxLx（s；r）ds≥ xLx（x；r）。因此Q（x）≤ α（r）（K- L（0；r））+(-α（r）+1）xLx（x；r）。回顾limx→∞xLx（x；r）=∞ α（r）>1，我们有Q(∞) = -∞.这就完成了证明。A、定理3的证明在给出定理3的证明之前，我们需要先给出一系列引理。引理1给出n个停止规则u和贴现率r>0，函数E（x；τu，r）：=E[rτue-rtf（Xt）dt+e-rτuK | X=X]在X中是连续的∈ (0, ∞).证据

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kedemingshi

2022-6-10 05:50:19

证明了E（·；τu，r）在给定x＞0时的右连续性；可以用同样的方法讨论左连续性。如果存在δ>0，则（x，x+δ）∈ Su，则立即得到了xis处E（·；τu，r）的右连续性。如果存在δ>0，则（x，x+δ）∈ Cu，则从Offeynman-Kac公式得出，E（·；τu，r）是微分方程σxExx+bxEx的解-rE+f=0开（x，x+δ）。这尤其意味着E（·；τu，r）∈ C（（x，x+δ））∩C（[x，x+δ]），由于f的正则性和微分方程的系数；因此，E（·；τu，r）在x处的右连续性。否则，我们首先假设f（x）≥ rK并考虑设置Cu∩ （十），∞). 因为它是开放式的，所以我们有Cu∩（十），∞) = ∪n≥1（an，bn），其中an，bn∈？苏，n≥ 那么很容易看出xis是{an}n的累积点≥1因此x∈？苏。定义I（x）：=E（x；τu，r）- K代表x∈ （安，bn）。很容易看出，我解出了以下微分方程σxIxx（x）+bxIx（x）- rI（x）+f（x）- rK=0。（29）边界条件si（an）=I（bn）=0。考虑一个辅助函数H，该函数解以下微分方程σxHxx（x）+bxHx（x）- rH（x）+f（x）- rK=0，边界条件SH（x）=H（b）=0。由于f（x）>rK on（x，∞), 比较原理表明H（x）≥ 0, x个∈ 【x，b】。将比较原则再次应用于任何（an，bn）∩（x，b），n∈ N+，我们有0≤ I（x）≤ H（x）。Notingthat H（x）→ H（x）=0作为x→ x+，我们得出结论，I（·）在x和so isE（·；τu，r）是右连续的。对于f（x）<rK的情况，类似的参数a适用。实际上，考虑一个辅助函数H满足（x，f）上的微分方程（29-1（rK）），边界条件H（x）=H（f-1（rK））=0。比较原理得出H（x）≤ I（x）≤ 0开（an，bn）∩ （x，f-1（rK）），n∈ N+。

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2022-6-10 05:50:22

紧接着是I（·）和E（·；τu，r）的右连续性。引理2如果^u是平衡停止规则，则J（x；τ^u）≤ Kx个∈ (0, ∞).证据如果t存在x∈ (0, ∞) 使得J（x；τ^u）>K，那么我们有lim sup→0J（x；τ^u）- J（x；τ，1）=∞,式中，^u，1由（10）给出。这与平衡停止规则的定义相矛盾。引理3如果^u i是平衡停止规则，则{x>0：f（x）<R∞rdF（r）K} C^u.证明。假设存在x∈ {x>0:f（x）<R∞rdF（r）K}∩\'S^u，则从引理2得出E[J（Xt；τ^u）| X=X]≤ K、考虑停车时间τ，0。方程（27）和J（x；τ^u）=K的偏差给出J（x；τ，0）- J（x；τ^u）≤EZh（s）f（Xs）dsX=X+ E“Z∞e-r- 1!w（X；r）dF（r）X=X#。当w（·，r）是连续的（引理1）且w（x；r）=K时，我们有lim inf→0J（x；τ，0）- J（x；τ^u）≤ f（x）-Z∞rKdF（r）<0。这与平衡停止规则的定义相矛盾。现在我们来证明定理3。我们从效率开始。为此，必须显示V（x）≤ K、 x个∈ （0，x*) 和f（x）-R∞rdF（r）K≥ 0，x∈ （十）*, ∞).我们首先展示了Vxx≤ 0，x∈ （0，x*). 通过简单的代数，我们得到了vxx（x）=Z∞α（r）（α（r）- 1）（K）- L（x；r））（xx*)α（r）xdF（r）+Z∞Lxx（x；r）dF（r）。因为L是凹的，我们只需要校准∞α（r）（α（r）- 1）（K）- L（x；r））（xx*)α（r）dF（r）≤ 0、很容易看出（xx*)如果α（r）在r中增加且x<x，则α（r）在r中减少*. 然后再安排不等式（例如，Hardy et al.1952；Lehmann et al.196 6的第10章）yieldsZ∞α（r）（α（r）- 1）（K）- L（x；r））（xx*)α（r）dF（r）≤Z∞α（r）（α（r）- 1）（K）- L（x；r））dF（r）Z∞（二十）*)α（r）dF（r）。（30）因此，从（21）可以得出Vxx（x）≤ 0，x∈ （0，x*). 现在，Vx（x*) = 因此Vx（x）≥ 0，因此V（x）≤ Kx个∈ （0，x*), 由于V（x*) = K、接下来，不等式f（x）-R∞rdF（r）Kx个∈ （十）*, ∞) 从f b随不等式（20）而增加得出。

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2022-6-10 05:50:25

这就完成了效率证明。我们现在转到必要性部分。由于（20）是引理3的直接推论，我们只需要证明（21）。假设（21）不成立。然后通过一个简单的计算，我们得到了vxx（x*-) =Z∞α（r）（α（r）- 1）（K）- L（x*; r））x*dF（r）+Z∞Lxx（x*; r） dF（r）>0。然而，Vx（x*) = 0，表示存在x∈ （0，x*) 使x上的Vx（x）<0∈ （x，x*).然后从V（x）开始*) = 当x时，V（x）>K∈ （x，x*), 这与引理2相矛盾。参考Bayraktar，E.、J.Zhang和Z.Zhou（2018）：“平均标准偏差问题的时间一致性停止-离散时间情况”，可在SSRN 3128866上获得。Bernstein，S.（1928）：“绝对单调原则”，《数学学报》，第52期，第1-66页。Bjork，T.和A.Murgoci（2010）：“马尔可夫时间不一致随机控制问题的一般理论”，见SSRN 1694759。不等式（30）可读取为ascov（X，Y）≤ 0，X=α（R）（α（R）-1）（K）-L（x；R））（xx*)α（R）和Y=（xx*)α（R），其中R是具有分布函数F的随机变量。由于X的单调性，R中的Y，X和Y是反共单调的。然后，由于两个反共单调随机变量的共振度为非正，因此产生了不相等性（30）。Bj¨ork，T.、A.Murgoci和X.Zhou（2014）：“具有状态依赖性风险规避的均值-方差投资组合优化”，数学金融，24，1–2 4。Christensen，S.和K.Lindensj"o（2018b）：“寻找时间不一致马尔可夫问题的平衡停止时间”，暹罗控制与优化杂志，564228–4255。Christensen，S.和K.Lindensj–o（2018a）：“准时不一致的停车问题和混合策略停车时间”，可在rXiv 1804.0 7018上获得。Dixit，A.K.（1993）：平滑粘贴的艺术，第2卷，劳特利奇，伦敦和纽约。Ebert，S.，W.Wei和X。

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kedemingshi

2022-6-10 05:50:28

Zhou（2016）：“加权贴现——关于群体多样性、时间不一致性和投资后果”，见SSRN 2840240。Ekeland，I.和A.Lazrak（2006）：“认真对待不承诺：连续时间的子博弈完美均衡”，见arXiv 0604264。Ekeland，I.、O.Mbodji和T.A.Pirvu（2012）：“时间一致性投资组合管理”，《暹罗金融数学杂志》，3，1-32。Ekeland，I.和T.Pirvu（2 008）：“没有承诺的投资和消费”，《数学与金融经济学》，2，57-86。Glandier，S.和N.Wang（2007）：“不确定性和时间不一致偏好下的投资”，《金融经济学杂志》，84，2-39。Hardy，G.H.、J.E.Littlewood和G.P'olya（1952）：不平等，剑桥大学出版社，剑桥。Harris，C.和D.Laibson（2013）：“即时免费”，经济学季刊，128，2005-248。Hsiaw，A.（2013）：“目标设定和自我控制”，《经济理论杂志》，148601-626。Huang，Y.-J.和A.Nguyen-Huu（2018）：“减少不耐烦下的时间一致性停止”，《金融与统计》，22，69–95。伊藤，K.和P.McKean Jr（1965年）：《扩散过程es及其样本路径》，柏林海德堡斯普林格出版社。Karp，L.（2007）：“连续时间内的非恒定贴现”，《经济理论杂志》，132557–568。Krussell，P.和A.Smith（2003）：“准几何统计下的消费储蓄决策”，《计量经济学》，71，3 65–375。Krylov，N.V.（2008）：受控扩散过程，第14卷，柏林海德堡斯普林格。Laibson，D.（1997）：“金蛋和双曲线贴现”，《经济学季刊》，第112期，第443-378页。莱曼，E。五十、等人（1966）：“依赖的一些概念”，《数学统计手册》，371137-1153。Loewenstein，G.和D。

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