在P▄π下取期望，然后yieldsEP▄πheRTLαs-（Vs，|πs）dsie-易-λT≤ EP▄πe-YαTTETZ·（Zαs-s） trdWP￠πsET公司Xk，k′∈我埃克斯-Yk’s公司- 1.χ{αs-=k′}dNk′ks.确定概率测量QπasdQπdPπ：=ETZ·（Zαs-s） trdWP￠πsET公司Z·Xk，k′∈我埃克斯-Yk’s公司- 1.χ{αs-=k′}dNk′ks.然后，根据YiT=yi（VT）的线性增长条件（3.8）和V thatC的假设3得出≤ 等式▄πe-YαTT≤ C、 对于一些独立于T的常数C（见（B.6））。因此，Tln EP∏heRTLαs-（Vs，|πs）dsi≤ λ+YiT+Tln等式∧πe-YαTT.发送T→ ∞, 我们得到，对于任何∧π∈\'AG，λ≥ lim支持↑∞Tln EPπheRTLαs-（Vs，|πs）dsi，等式选择|πs=π*s、 带π*sas in（4.9）。24 Ying Hu，Gechun Liang和Shanjian Tang为了证明λ也解（4.17），我们观察到π∈\'AG，我们有（XπT）Δδ=XδδEeRTLαs-（Vs，πs）数据集Z·ΔπtrsdWsT=xδδEPπheRTLαs-（Vs，πs）dsi，其余参数如下。应用于具有二次增长哈密顿量的PDE系统的大时间行为。作为第二个应用，我们使用遍历BSDE系统（3.7）研究了具有二次增长哈密顿量的偏微分方程系统的大时间行为-tyi（t，v）+微量元素（κtrκvyi（t，v））+η（v）trvyi（t，v）+fi（v，κtrvyi（t，v））+Xk∈Iqike（yk-yi）（t，v）- 1.= 0，（5.1），初始条件yi（0，v）=hi（v），对于（t，v）∈ R+×Rd和i∈ 一、 假设PDE系统的数据κ、η（·）、fi（·、·）和qikof满足假设1-4，并且初始条件hi（·）有界且Lipschitz连续。根据假设1（ii），哈密顿ns-fi（·，·）在梯度上有四次增长vyi（t，v）。因此，（5.1）被称为具有二次增长哈密顿量的偏微分方程系统。

[3]和[4]考虑了上述PDE系统（5.1）的一个特例，以研究区域切换市场中金融衍生品的效用差异价格。（5.1）的标量情况及其大时间行为已在[27]中使用遍历BSDE方法进行了研究。我们将它们的结果从scala r情形推广到方程组。首先，我们提供了PDEsystem（5.1）的概率表示。对于T>0，让（Yi，v（T），Zi，v（T））i∈Ibe有限水平系统的解决方案I，vt（T）=hi（VvT）+ZTt“fi（Vvs，Zi，vs（T））+Xk∈Iqik（eYk，vs（T）-Yi，vs（T）- 1） #ds-ZTt（Zi，vs（T））trdWs。（5.2）根据用于求解有限层位BSDE系统（2.8）的类似参数（见第2.3节，ρ=0），我们推断（Yi，v（T），Zi，v（T））i∈实际上是（5.2）的唯一有界解，其中（5.3）| Zi，vt（T）|≤CvCη- Cv+Ch。注意Yi的界，v（T）可能取决于T。此外，根据[1，定理3.4和3.5]，我们推断yi（·，·）定义了s yi（T- t、 Vvt）：=Yi，vt（t），是PDE系统的统一解决方案（5.1）。由于（5.1）的最后一个非线性项ykin的单调条件成立，类似于引理2.2的比较结果也适用于（5.1）（见[1]中的备注3.9]）。定理5.1。假设假设1-4成立，并且hi（·），i∈ 一、 被一个常数Khand-Lipschitz连续与其Lipschitz常数Ch所包围。遍历BSDEs 25Let系统（一、五、子、五）一∈一、 λ是遍历BSD系统（3.7）的唯一马尔可夫解，其中Yi，vt=Yi（Vvt）和Zi，vt=Zi（Vvt）满足（3.8）、（3.9）和（3.10）。让yi（·，·）成为PDE系统（5.1）的唯一粘度解决方案。

然后，存在一个常数L，与v无关∈ Rd和i∈ 一、 使（5.4）极限→∞（yi（T，v）- λT- yi（v））=L，此外，存在常数C和Kv，与T无关，因此（5.5）| yi（T，v）- λT- 易（五）- L |≤ C（1+| v |）e-KvT。证据该证明改编自[27，第4.2节]（另见[28]）。在下文中，我们仅强调与他们的证明的关键区别。我们首先将BSDE系统（5.2）转换为由布朗运动W和马尔可夫链α驱动的标度r值BSDE。为此，类似于附录B，对于t∈ [0，T]a和v∈ Rd，我们引入yvt（T）：=YαT，vt（T）=YαT（T- t、 Vvt），Zvt（t）：=Zαt-,vt（T）=zαT-（T- t、 Vvt），对于k′，k∈ 一、 Uvt（k′，k；T）：=Yk，vt（T）- Yk′，vt（T）=（Yk- yk′）（T- t、 Vvt）。然后，在引理3.1的证明中，经过长时间的类似论证，我们推导出（5.6）| Uvt（k′，k；T）|≤qminKf+CvCηCz（Cη- Cv）+ Kh。反过来，利用引理4.3，我们推导出（Yv（T），Zv（T），（Uv（k′，k；T））k′，k∈一） 满足由W和α驱动的标量值B SDE，即t∈ [0，T]，Yvt（T）=hαT（VvT）+ZTtfαs-（Vvs，Zvs（T））dt-ZTt（Zvs（T））trdWs+ZTtXk∈Iqαs-kheUvs（αs-,kT）- 1.- UV（αs-, kT）ID-ZTtXk，k′∈IUV（k′，k；T）χ{αs-=k′}dNk′ks。（5.7）接下来，我们定义δYvt（T）：=yαT（T- t、 Vvt）- yαt（Vvt）- λ（T- t） 对于t∈ [0，T]。然后，我们有以下关键估计。引理5.2。函数δYv（T）=yi（T，v）- 易（五）- λT，v∈ Rd承认以下性质：存在常数C和Kv，与T无关，例如对于轨道v，v∈ Rd，（i）|δYv（T）|≤ C（1+| v |）；（ii）|δYv（T）- δYv（T）|≤ C | v- v |；（iii）|δYv（T）- δYv（T）|≤ C（1+| v |+| v |）e-KvT。26胡英、梁葛春、唐山健证明。首先，我们证明了断言（ii）。

当η和f是具有有界导数的连续可微函数时，注意κtrvyi（T-t、 Vvt）=Zi、vt（t）和κtrvyi（Vvt）=Zi，vt，期望的断言来自Zi，vt（T）和Zi，vt（参见（5.3）和（3.9））的有界性以及关于κ的假设3。对于我们的一般η和f，Ass e rtion（ii）可以通过标准的软化参数来证明。接下来，我们证明断言（i）和（iii）。为此，对于t∈ [0，T]，定义δZvt（T）：=Zvt（T）- Zvt和δUvt（k′，k；T）：=Uvt（k′，k；T）- Uvt（k′，k）和k′，k∈ 一、 然后，我们从（5.7）和（B.1）中推导出（δYv（T），δZv（T），（δUv（k′，k；T））k′，k∈一） 满足度δYv（T）=hαT（VvT）- yαT（VvT）+ZT[fαs-（Vvs、Zvs（T））- fαs-（Vvs、Zvs）]ds-ZT（δZvs（T））trdWs+ZTXk∈Iqαs-k[g（Uvs（αs-, kT））- g（UV（αs-, k） ）]ds-ZTXk，k′δUvs（k′，k；T）χ{αs-=k′}dNk′ks，（5.8），其中g（·）在（B.3）中给出。由于Zv（T），Zv，Uv（k′，k；T）和Uv（k′，k）是均匀有界的（参见（5.3），（3.9），（5.6）和（3.10）），类似于附录B，我们可以引入一个等效的概率度量Q，在该度量下，我们有（5.9）δYv（T）=等式[hαT（VvT）- yαT（VvT）]。因为hi（·）和yi（·）都和我∈ 一、 我们根据（B.6）中的估计推断出断言（I）。为了证明（5.9）中的断言（iii），我们有，对于v，\'v∈ Rd，δYv（T）- δY'v（T）=等式（hαT（VvT）- yαT（VvT））- （hαT（V’vT）- yαT（V'vT））.然后根据i的hi（·）和yi（·）的线性增长得出结论∈ 一、 以及（B.7）中的估计值。让我们回到定理5.1的证明上来。使用引理5.2中的第一个估计（i），通过标准对角线程序，我们可以构造一个序列{Tk}，这样limtk→∞（彝语（Tk，v）- 易（五）- λTk）=某些极限函数L（v）的L（v）。

此外，引理5.2中的第二个估计（ii）意味着极限函数L（v）可以扩展为Lipschitz连续函数，而引理5.2中的第三个估计（iii）进一步意味着极限实际上满足L（v）=L，L为常数。这确定了限值（5.4）。为了说明收敛速度（5.5），我们从（5.4）和（5.9）中推导出，forT′>T，|δYv（T）- L |=极限\'→∞|δYv（T）- δYv（T′）|=极限→∞δYv（T）- 均衡器hαm（T′）T′（VvT′）- yαm（T′）T′（VvT′）,遍历BSDE系统，其中m（T′）：=2i-αiT′-T、 在这里，我们使用αito强调马尔可夫链α=i的初始数据。然后，根据条件期望的塔特性，等式hαm（T′）T′（VvT′）- yαm（T′）T′（VvT′）= 均衡器均衡器hαm（T′）T′（VvT′）- yαm（T′）T′（VvT′）| GT′-T= 均衡器yαm（T′）T′-T（T，VvT′）-T）- yαm（T′）T′-T（VvT′）-T）- λT= 均衡器yi（T，VvT′）-T）- yi（VvT′）-T）- λT其中我们还使用了αm（T′）T′的关系式-T=αi-（αiT′）-T-i） T′型-T=最后一个等式中的i。内部，使用定义δYv（T）=yi（T，v）- 易（五）- λT，我们得到|δYv（T）- L |=极限\'→∞δYv（T）- 均衡器hαm（T′）T′（VvT′）- yαm（T′）T′（VvT′）= 极限\'→∞均衡器yi（T，v）- 易（五）- （yi（T，VvT′）-T）- yi（VvT′）-T） ),≤ 极限\'→∞C1+| v |+当量|VvT′型-T型|e-KvT，其中引理5.2中的a ssertion（iii）用于最后一个不等式。然后，从矩估计（B.6）得出收敛速率。定理5.1的证明是完整的。6、结论。在本文中，我们引入并求解了一类在有限时间范围内的新型二次BSDE系统，然后将其渐近极限定义为er go dic B SDE系统。利用遍历BSDE系统刻画马尔可夫状态切换性能过程及其相关的最优投资组合策略。

我们还通过相应遍历BSDE系统中的常数λ，展示了马尔可夫区域切换前向性能过程与其经典预期效用过程之间的联系。最后，我们利用遍历BSDE系统研究了一类具有二次增长哈密顿量的PDE系统的大时间b行为。附录A.引理证明2.2。证明的思想改编自[29]中使用的论证。对于t∈ [0，T]，设δYit：=Yit-(R)Yit，δZit：=Zit-\'ZitandΔξi：=ξi-ξi.将It^o公式应用于（δYi+t）得到（δYi+t）=（δξi++ZTt2δYi+s[Fis（Zis）-\'Fis（\'Zis）]ds+ZTt2δYi+s[Gis（Yis，Y-is）-\'Gis（\'Yis，\'Y-is）]ds-ZTtχ{δYis>0}|δZis | ds-ZTt2δYi+s（δZis）trdWs。使用（2.9）和（2.11），我们得到了FIS（Zis）-\'Fis（\'Zis）=Fis（Zis）- 金融机构（Zis）+金融机构（Zis）-金融机构（Zis）≤ Cf |δZis |。28应虎、葛春亮和唐善建利用（2.10）和（2.12），结合Gis的单调条件，进一步得到Gis（Yis，Y-is）-\'Gis（\'Yis，\'Y-is）=Gis（Yis，Y-is）- Gis（\'Yis，\'Y-is）+Gis（\'Yis，\'Y-is）-\'Gis（\'Yis，\'Y-is）≤ Cg公司|δYis |+Xk6=iδYk+s.反过来，由于δξi+=0，我们有e[（δYi+t）]≤ EZTt公司2CfδYi+s |δZis |+2CgδYi+s（|δYis |+Xk6=iδYk+s）- χ{δYis>0}δZis|ds公司≤ E“ZTtχ{δYis>0}-|δZis |+2CfδYis |δZis |- Cf（δYis）ds#+EZTt公司（2Cg+Cf）（δYi+s）+Cg（δYi+s）+Xk6=i（δYk+s）ds公司.因此，存在一个常数C，即xi∈IE[（δYi+t）]≤ CZTtXi∈IE[（δYi+s）]ds。然后根据Gronwall不等式得出，对于t，E[（δYit）]=0∈ [0，T]和i∈ 一、 苏伊特≤“是的，我们得出结论。附录B.物权证明3.2。设α为第4节中介绍的满足假设2和4的马尔可夫链。

允许（一、五、子、五）一∈一、 λ和（\'Yi，v，\'Zi，v）i∈一、 \'\'λ是遍历BSDE系统（3.7）的两个马尔可夫解，都满足（3.8）、（3.9）和（3.10）。对于t≥ 0和v∈ Rd，defineyvt：=Yαt，vt=Yαt（Vvt），Zvt：=Zαt-,vt=zαt-（Vvt），对于k′，k∈ 一、 Uvt（k′，k）：=Yk，vt- Yk′，vt=（Yk- yk′（Vvt）。我们还可以定义（\'Yv，\'Zv，（\'Uv（k′，k））k′，k∈一） 以类似的方式。此外，设δYvt：=Yvt-(R)Yvt，δZvt：=Zvt-\'Zvt，δUvt（k′，k）：=Uvt（k′，k）-\'Uvt（k′，k）和Δλ：=λ-λ.首先，利用引理4.3，我们推导出（Yv，Zv，（Uv（k′，k））k′，k∈一、 λ）满足标度值遍历BSDE由遍历BSDE 29α的布朗运动W和马尔科夫链系统所驱动，即对于≥ 0，dYvt=-fαt-（Vvt、Zvt）dt-Xk公司∈Iqαt-kheUvt（αt-,k）- 1.- Uvt（αt-, k） idt+λdt+（Zvt）trdWt+Xk，k′∈IUvt（k′，k）χ{αt-=k′}dNk′kt。（B.1）依次为，（δYv，δZv，（δUv（k′，k））k′，k∈一、 Δλ）sa tis fie sd（δYvt）=-fαt-（Vvt、Zvt）- fαt-（Vvt，(R)Zvt）dt+（δZvt）trdWt-Xk公司∈Iqαt-kg（Uvt（αt-, k） （）- g（(R)Uvt（αt-, k） （）dt+Xk，k′δUvt（k′，k）χ{αt-=k′}dNk′kt+Δλdt，（B.2），其中（B.3）g（x）：=ex- 1.- x、 带| x |≤qminKf+CvCηCz（Cη- Cv）.接下来，我们介绍δfαt-（Vvt）：=fαt-（Vvt、Zvt）- fαt-（Vvt，\'Zvt）|δZvt |δZvtχ{δZvt6=0}，对于k∈ 一、 δgαt-k（Vvt）：=g（Uvt（αt-, k） （）- g（(R)Uvt（αt-, k） ）δUvt（αt-, k） χ{δUvt（αt-,k） 6=0}。注意，假设1（ii）和（3.9）意味着δfαt-（Vvt），t≥ 0是统一边界。此外，中值定理（应用于函数g（·））和（3.10）意味着δgαt-k（Vvt），t≥ 0也是一致有界的。因此，对于任何T>0，定义等效概率测量Q asdQdP：=ETZ·（δfαs-（Vvs））trdWsET公司Z·Xk，k′∈Iδgk′k（Vvs）χ{αs-=k′}dNk′ks,所以在Q下，我们有（B.4）Δλ=EQ[δYvT- δYv]T=等式yαT（VvT）-\'yαT（VvT）]-易（五）-\'\'yi（五）T、 由于yk（·）和'yk（·），k∈ 一、 最多有线性增长（参见（3.8）），根据（B.6），通过发送T，Δλ=0→ ∞ 在（B.4）中。让我们来说明，对于i，yi（·）=yi（·）和zi（·）=zi（·）∈ 我

为此，必须证明（B.5）δYv=Yv-(R)Yv=（yi-\'yi）（v）=0。其余的证明则来自于文献[17]中的定理3.11。为了证明（B.5），我们从（B.2）中得到δYv=EQ[δYvT]=EQ[yαT（VvT）-\'yαT（VvT）]。30 Ying Hu，Gechun Liang和Shanjian Tang使用（B.7）和yi（0）=yi（0）=0的fa c t，我们得到eq[yαt（VvT）-\'yαT（VvT）]≤ C（1+| v |）e-KvT。因此，（B.5）随后发送T→ ∞ 在上述不等式中。为了结束本文，我们回顾了以下矩估计和耦合估计，其证明方式与[17]（布朗运动情况下的命题2.3和定理2.4）、[15]（马尔可夫链情况下的第3节）和[13]（L'evy过程情况下的第3.2节）类似。提案B.1。固定T>0。Let Hi：Rd→ Rdand Gik：Rd→ R、 i，k∈ 一、 是可测的有界函数。在假设3下，假设过程（Vv，α）如下dvvt=[η（Vvt）+Hαt-（Vvt）]dt+κdWQt，dαt=Xk∈Iqαt-k（k- αt-)（1+Gαt-k（Vvt））dt+Xk，k′∈I（k- k′）χ{αt-=k′}dNQ，k′kt，其中Q是等效概率度量，定义为dqdp：=ETZ·（Hαs-（Vvs））trdWsET公司Z·Xk，k′∈IGk′k（Vvs）χ{αs-=k′}dNk′ks,带WQ：=W-R·Hαt-（Vvt）dt和▄NQ，k′k：=▄Nk′k-R·qk′kGk′k（Vvt）dt，k′，k∈ 一、 分别是q下相应的布朗运动和补偿泊松鞅。然后，存在一个常数C>0，对于任何可测函数φi:Rd→ R（i∈ 一） 多项式增长率u>0时，（B.6）EQ[φαT（VvT）]≤ C（1+| v |u），v∈ 此外，存在一个常数Kv>0，因此对于v，v∈ Rd，（B.7）EQ[φαT（VvT）- φαT（VvT）]≤ C（1+| v | 1+u+| v | 1+u）e-KvT。常数C和kv取决于函数Hi（·）和Gik（·），i，k∈ 一、 通过他们的最高准则。确认。作者感谢编辑、副编辑和两位推荐人的宝贵意见和建议。作者也表示感谢。

Zar iphopoulou，感谢他鼓励对未来绩效流程进行讨论，从而激励当前项目。参考文献【1】Barles，G.、Buckdahn，R.和Pardoux，E.（1997）。倒向随机微分方程和积分偏微分方程。随机6 0（1-2），57-83。[2] Barrieu，P.和El Karoui，N.（2013年）。二次半鞅的单调稳定性及其对无界一般二次BSDE的应用。安。概率。41(3) 1831-1863.[3] Becherer，D.（2004年）。通过反应差异系统进行效用差异对冲和估价。《皇家学会会刊》，A辑460 27–51。遍历BSDEs系统31【4】Becherr，D.和Schweizer，M.（2005）。具有相互作用的Ito和点过程的对冲问题的反应扩散系统的经典解。安。应用程序。概率。15(2)1111–1144.[5] Br'emaud，P.（2013年）。马尔可夫链：吉布斯场、蒙特卡罗模拟和队列。Springer Verlag，纽约。[6] Briand，P.和Confortola，F.（2008年）。具有随机终端时间的二次盲源分离和有限维椭圆盲源分离。概率论电子杂志13（54）1529–1561。[7] Briand，P.和Elie，R.（2013年）。具有或不具有延迟的二次BSDE的一种简单构造方法。随机过程。应用程序。123(8) 2921–2939.[8] Briand，P.和Hu，Y.（1998年）。具有随机终端时间的BSDE的稳定性和半线性椭圆偏微分方程的均匀化。J、 功能。肛门。155(2) 455–494.[9] Briand，P.和Hu，Y.（2006年）。具有二次增长和无界终值的BSDE。概率。理论相关领域136（4）604–618。[10] Briand，P.和Hu，Y.（2008）。具有凸生成器和无界终端条件的二次BSDE。概率。理论相关领域141（3-4）543–567。[11] Cheridito，P.和Nam，K.（2015）。具有特殊结构的多维二次和次二次BSDE。随机87（5）871–884。[12] Chong，W.F.，Hu，Y.，Liang，G。

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