这当然给特权球员带来了最终的优势，他们将最终“赢得”比赛。例如，在运行示例中，取（M，N，N）=（0，4，2）意味着P2只有2个开关，而P1有4个开关，因此她最终将成功驾驶到可能的最佳状态限制→∞Mt=+2，任何时候都不会需要超过4个开关（回想一下M=+2）。因此，这个设置类似于第4.1节讨论的辅助游戏，只是两个玩家现在都在动态优化他们的阈值。5案例研究：均值回复市场优势继续实施例2.1，我们通过OrnsteinUhlenbeck（OU）过程描述当地市场波动（Xt），均值回复θ=0：dXt=-uXtdt+σdWt，（36），其中u=0.15，σ=1.5，D=R（即自然边界D=-∞ 和d=+∞). 这表明X的平稳分布为高斯分布，N（0，7.5）。对于折扣率，我们取10%。表1中列出的利润率πi为常数和d。注意，πi是单调的，但在制度m方面是凹的。一个激励性的经济环境是两家公司之间的广告竞争。他们可以通过支付Ki来制作广告，费用取决于汇率（Xt）。广告的效果（即在M中进行改变）是增强ce one公司在市场上的主导地位，为其带来更高的利润。由于规模收益递减，随着企业占据越来越多的市场份额，利润率的提高也会下降，因此πimis在m中呈凹形。在表1中，我们的目的是利润阶梯永远向右和向左延伸，但上述凹形使得达到极端的优势水平是不经济的。因此，我们逐步扩大了所考虑的市场制度的数量：Mt∈ {-1，0，1}（案例一），Mt∈ {-2.-1、0、1、2}（案例II）和Mt∈ {-3.3} （案例三）。

下面我们还考虑了Mt的不对称情况∈ {-1, 0, 1, 2}.切换成本Ki受Xt:Kim（x）：=ci·（1+e）影响(-1） iβix），i∈ {1，2}，（37），其中ci=0.5，βi=0.5，i∈ {1, 2}. 因此，当x>> 0和玩家2在x<< 0.对于简化，Ki\'s不受（Mt）的直接影响。通过构造，收益率和所有其他参数都是对称的（大约为零），因此在平衡状态下，我们期望玩家在X函数从正变为负时对称行动，反之亦然。与此案例相关的最佳反应归纳研究y，M={-1，0，1}是图2所示，并在第4.1节中进行了解释。我们还实现了平衡诱导-3.-2.-1 0+1+2+3πm0.0 1.5 2.8 4.0 5.1 5.9 6.0πm6.0 5.9 5.1 4.0 2.8 1.5 0.0表1：第5节的利润率阶梯πim。（参见第4.2节）对于第一和第二种情况以及ob发球，当球员在最终控制场景中比对手拥有更多控制时，他们会表现出攻击性。如图4所示，玩家2将拥有“最后一句话”和限制→∞M*t=-因此，她可以表现得更积极，更频繁地成为领导者，并在中期内获得更高的回报。5.1平衡阈值稳定2列出了三种情况下计算的平衡阈值。回想一下，如果IM被限制在{-1，0，1}，因此当Mt=+1（Mt=-1），当没有s1时，*或s2，*-因此，需要计算4个总阈值，系统中有12个方程（44）。由于对称参数的设置，玩家1的阈值与玩家2的阈值在0左右对称，原则上，平衡的特征是s1对，*, s1，*-1.

类似地，在案例II中有8个阈值（4个唯一的阈值）和24个方程，在案例III中有12个阈值和36个方程。一个主要的发现是，在所有情况下，玩家在每个内部区域执行相同的阈值。例如，s1，*= 在所有三种情况下均为0.94681 I/II/III。因此，当处于状态时-20-10 0 10 20 30 401020030405060X游戏值SD-21天-11D01D+11D+21案例II案例I（a）参与者1的均衡支付V（x）-1.5-1-0.5 0.0 0.5 1.0 1.5303234363840X游戏值S02，*s01，*（b）放大V（x）视图图5：案例I和案例II中玩家1的均衡支付V（x）。左面板：虚线表示Dm；D±1是案例I中VMS的渐近线，D±2是案例II中VMS的渐近线。该框表示与放大的右侧面板相对应的区域。右：虚线表示引线V+1（x）- K（x）和跟随者payoff s V-每种情况1（x）。相同的结果阈值si，*, 我∈ 在这两种情况下都采用{1，2}。制度πmπmCase I案例II案例II第1层玩家2玩家1玩家2玩家1玩家2+3 6.0 0.0- 3.47853+2 5.9 1.5 - 0.25184 13.16216 0.25184+1 5.1 2.8 - -0.56688 1.90352 -0.56688 1.90352 -0.566884.0 4.0 0.94861 -0.94861 0.94861 -0.94861 0.94861 -0.94861-12.8 5.1 0.56688 - 0.56688-1.90352 0.56688 -1.90352-2 1.5 5.9 -0.25184- -0.25184-13.16216-3 0.0 6.0 -3.47853-表2：平衡阈值si，*M对于第5.0节中的案例I、II和III，参与者1“看不到”是否可以达到阶段+2，并且仅根据πI±1做出决策。这种现象在以下两个方面是不直观的。一方面，玩家1具有相同的平衡阈值s1，*= 0.94861，尽管在第二和第三种情况下，她可以进一步进行转换，以增强她在+1状态下的主导地位。后一种情况预计会使从0到+1的转换更有价值，从而使P1在0状态下更具侵略性。

正如我们所看到的，这种直觉虽然在单一主体环境中有效，但在构建的平衡中却失败了。另一方面，玩家也对来自其他玩家开关的多步威胁目光短浅。例如，P2实现相同的阈值s2，*+1= -0.56688，但在第二和第三种情况下，她面临的威胁是，P1可能会将市场转向更加不利的制度。图5（a）绘制了参与者1 x 7的均衡收益-→ V（x）（构造为（21）），当情况I和II的强度M=0时。正如所料，Vm是连续的、递增的和有界的：V1，（I）以D为界-1和D+1，而V1，（II）以D为界-2和D+2。请注意，当这些参与者在局部实力相等时（即X=0），在案例II中，参与者1的回报率较低，这可以解释为他们之间更激烈竞争的影响。图5（b）的右面板说明了Vm变分不等式的性质。虚线表示引线V+1（x）-K从切换（Mt）到（+1）和以下PAYO FF V-1（x）。我们得到V（x）与V重合-1（x）表示x<s2，*m（P2的停止区域），并平滑粘贴到V+1（x）- K（x）在切换阈值s1处，*P1的。如前所述，即使所有游戏支付（特别是Vand V±1）发生变化，这种切换阈值在案例I和II中也是相同的。5.2均衡的宏观市场结构由于（36）中O U过程的均值回复特性，得出的M*是经常性的。特别是，在极端情况下，保证M向零移动。表3显示了时间M的长期比例*每个制度的支出，ρm除以（24）。该表还列出了扩展跳链ˇM的转移矩阵P，以及情况I的平均逗留时间ξ，其中ˇM取{-1.-, 0-, 0+, +1+}. 注意，由于区域数量有限，M的不变分布是均匀的，即。

原始跳跃链M在区域0花费s一半的时间，在区域±1花费25%的时间。当然，相应的逗留时间并不相等，因此M的长期分布*更为复杂。模式πmπmCase I案例II C ase III+3 6.0 0 0.0 0 0.00002+2 5.9 1.5 0.34476 0.34474+1 5.1 2.8 0.47186 0.12711 0.127114.0 4.0 0 0 0.05628 0.05628-12.8 5.1 0.47186 0.12711 0.12711-2 1.5 5.9 0.34476 0.34474-3 0.0 6.0 0.00002P=(-1)-(0)+(0)-(+1)+(-1)-0 1 0 0(0)+0.205 0 0 0.795(0)-0.795 0 0 0.205(+1)+0 0 1 0,~ξ =(-1)-(0)+(0)-(+1)+ 4.431 0.264 0.264 4.431.表3：平衡平稳分布ρmof M*对于案例I、II和III。右侧：DynamicsofˇM*在案例I中，从表2中，我们观察到阈值si，*都很低，所以*不会在制度0中花费太多时间，市场通常不会处于“同等强度”。在案例I中，只有一个级别的市场优势是可能的，因此我们观察到从“同等实力”到“P1优势”或“P2优势”的快速转换，每一个都发生在ρ（I）±1=47%的时间内。在第二种情况下，因为si，*保持不变，我们有相同的ρ（II），因此市场继续被一个参与者主导（但现在不同程度），大约47%的时间。因此，案例II中制度{+1，+2}的长期分布可被视为案例I中制度+1的47%的“分裂”。此外，当一个参与者主导市场时，他将在大部分时间内最大化其主导地位（ρ（II）±2=47%中的34%）。第二个发现是，可以有效地内生化M的域M。回想一下，如果游戏阶段已经有利，则M的收益率πimin的凹度会降低玩家进行进一步转换的动机。相反，对手更有动力将M切换回0。在本例中，当从+2到+3时，我们使利润的边际收益最小（玩家2分别为-2到-3）。

因此，在案例III中，P1从+2切换到+3的动机很小，反映在非常高的平衡阈值s2中，*+2= 13.1621594. 由于该阈值远高于均值回复水平θ=0，因此，这些参与者不太可能将其优势提升到最大水平，并且±3 w的制度很少发生；根据表3，M*在这些极端政权中花费的时间不到0.001%。因此，从财务角度来看，可以简单地限制M{-2.-1，0，+1，2}，因为有效ρ（III）m ρ（II）mF对于所有m.5.3利润阶梯的影响为了分离利润率πim的影响，我们构建了阈值ty pe平衡，mR限制为m（IV）={-1、0、+1、+2}，并在第2阶段改变玩家1的收益率π（分配收益率仍如表1所示）。在图6中，这些参与者的最终平衡阈值由实线确定。正如所料，当π+2增加时，在制度+2中有更多的好处，因此，参与者1更愿意从+1转换。因此，她实现了较低的切换阈值和s1，*+1在π+2中减少。相反，她没有改变阈值s1，*在制度0下，确认前一节讨论的平衡阈值的近视性质。然而，最终π+2-π+1足够大（或者s1，*+1足够低）以触发同时开关（s1，*> s1，*+1） ，因此P1将直接从区域0传递到区域2（回想一下，我们假设这会导致两个切换成本，线性增加）。在后一种情况下，她很快就在注册表0中切换，参见图6（a）中的极右图，其中s1，*一旦s1开始改变，*+1<s1，*.将注意力转向播放器2，她的sw瘙痒阈值s2，*在区域0中，π+2永远不会影响0。

此外，虽然她在制度+2中的得失率受到影响，但P1更频繁地切换到Mt=+2的更具攻击性的行为会导致她通过降低s2来做出反应，*+2、此外，在P1从0直行到+2（π+2）的情况下≥ 6.25），P2增加2，*+1，调整他的策略，以响应P1更积极的策略，该策略降低了他从+1切换到0的预期收益。这些观察结果说明了不同市场状态下阈值之间的复杂反馈效应以及潜在的πim。5.4切换成本的影响另一个重要参数是切换成本K。为了研究K的影响，我们改变了切换成本的总体水平，单位为Ki（x）=ci·（1+e(-1） iβi）。具体而言，我们尝试ci∈ [0.1，1]，即相对于之前设置中使用的基线ci=0.5，从20%到200%，所有其他参数不变。对于案例I，玩家1及其在“同等强度”V（0）下的平衡阈值如图7所示，其中M={-1, 0, +1}.观察到，随着CIDECREAES（图7中从右到左），P1采用较低的阈值，而P2采用较高的对称阈值，这意味着他们更频繁地切换宏观市场环境。例如，预计停留时间M*在制度（+1）+5.9 6.0 6.1 6.2 6.3-1-0.50.00.51.01.52.0π+21s1，*S-11、*S01、*S+11、*（a）播放器15.9 6.0 6.1 6.2 6.3的阈值-1-0.50.00.51.01.52.0π+21s2，*S02，*S+12，*S+22，*（b）玩家2的阈值图6：平衡切换阈值si，*m（P1在左边，P2在右边），因为P1的π+2在情况IV中有所不同。我们对两个p面上的每个区域m使用相同的线类型。在ci=1.0时从6.522下降到ci=0.1时的1.887，而在状态（0）+下的预期停留时间从ci=1.0时的0.422下降到ci=0.1时的0.105。

假设Ki（x）是x的函数，因此降低阈值等于支付更多。虽然较低的（单一）切换成本会导致更频繁的切换，但切换的总成本会下降，因此均衡收益会随着cideclines的增加而增加。5.5多阈值类型均衡如上所述，很可能存在多阈值类型均衡。根据定理3.4，任何适用于非线性方程组的解都是切换博弈的MNE。这种情况出现在上述情况II中，并通过在第4.2节的平衡诱导过程中选择不同的局部平衡来“检测”。具体而言，在某些子阶段，局部停止博弈中存在两种不同的阈值类型均衡，这可以解释为“更快”（玩家行为更具攻击性，一旦（Xt）从零变为零，就会快速切换）和“更晚”（玩家更放松，绝对值也更大）。在[2]中，这种现象已经被记录下来用于停止游戏。然后，在平衡过程中，我们始终选择（i）以后的平衡（这是上面表2-3中所做和报告的）；（ii）er平衡也是如此。这会产生两种不同的si序列，*m、 这最终产生了非线性系统的两种不同的解决方案，如表4所述。我们注意到，在前面描述的“更快”平衡中，球员有效地跳过了±1的区域作为s1，*> s1，*+1和2，*< s2，*-1、例如，s从M开始*= 0且X=0，P1在Xt=1.389=s1之前不会向上切换，*,S、 然后直接转到M*= +2由于1.389>1.029=s1，*,S+1。因此，交替平稳分布ρSofMS，*仅在上受支持{-2，0，2}（有趣的是，在积极均衡中，ρS>ρLso市场通常处于“同等强度”）。

当（Xt）向其首选方向移动时，此类多个瞬时开关表示其攻击性，玩家s0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.20.40.60.81.01.2cis1，*S-11、*S01、*（a）参与者10.2 0.4 0.6 0.8 1.037.0 37.5 38.0均衡收益的g阈值切换（b）参与者1的均衡收益图7：左：P1采用的均衡阈值在[0.1，1]中有所变化。P2的阈值是反对称的，大约为0。右图：“等强度”下的平衡支付，即V（0）=V（0），由于对称性。尝试通过切换到制度±2来提取最大优势。与之前的分析一致，短期er均衡带来较低的均衡收益，因为参与者因积极干预而受到惩罚，导致“浪费”收益，例如Vi，s（0）=33.65<Vi，L（0）=33.98。备注6。在案例I中，似乎存在一个独特的均衡，我们猜测这是由于只有一个内部机制，其中玩家同时竞争。因此，withM={-1，0，1}在任何一个有限控制诱导期间，我们总是观察到一个唯一的局部阈值型平衡。在有限控制切换博弈中，建立更精确的均衡唯一性条件仍然是一个悬而未决的问题。

类似地，我们没有机制来检查案例II中是否存在进一步的阈值型平衡。-2.-1 0+1+2 Vi（0）侧1，*,Lm公司-0.25184 0.56688 0.95861 1.90352 -33.98s2，*,Lm公司- - 1.90352-0.94861-0.56688 0.25184ρLm0.34476 0.12711 0.05628 0.12711 0.34476Sooners1，*,Sm0.17983-0.19139 1.38933 1.02891 -33.65s2，*,sm- - 1.02891-1.38933 0.19139 -0.17983ρSm0.41143 0.17714 0.41143表4：平衡阈值si，*曼德长期分布~ρof（M*t） 与案例II6案例研究中的两个不同均衡相关：长期优势转向案例2.2，我们现在考虑当地市场波动X遵循几何下降运动（2），漂移u=0.08，波动率σ=0.25，贴现率r=10%。因为-σ> 0，极限→∞Xt=+∞ a、 因此，从长远来看，玩家1将主导市场，因为她最终将在X方面拥有优势。收益率πi为常数，由π给出-1= 0; π= 3; π+1= 5;π-1= 5; π= 3; π+1= 0.Kim的转换成本再次独立于m，由X:K（X）：=（10）驱动- x） +，K（x）：=(-2+x）+。（38）本案例研究可以解释为使用可再生资源的能源生产者（参与者1）和使用可耗竭资源的生产者（参与者2）之间的竞争。竞争是指发电量，mt表示相对生产能力。这里，Xt表示呼气能力的边际成本，它与呼气能力的相对成本相关。我们预计Xt→ +∞ （“峰值油”）；随着不可再生资源的取消，P2变得不具竞争力。因此，从长期来看，P1将占据主导地位，但对于新产能的竞争性投资将发生多少次，没有上限。

因此，市场将首先经历一个短暂的阶段，在这一阶段中，两个生产者将展开竞争，然后将最终进入高X区域，在该区域中，可再生能源P1将占据主导地位，并且（内生）永远不会放弃其优势。扩建阈值simAve工厂建成-1 0+1玩家1 5.9796 8.9594-3.8151玩家2-4.1296 5.9574 2.8151表5：第6节GBM案例研究中的平衡。建造的平均工厂是指玩家i从X=5，M=0开始的预期交换机数量。表5显示了产生的平衡阈值，图8（a）绘制了（Xt）和（M）的轨迹*t） 从X=5开始，M*= 右面板图8（b）显示了M的分布情况*通过t 7→ P（M*t=m）。我们观察到，玩家2可能会进行第一次扩展（P（m*t=-1） 低t时增加），而在中期，玩家1越来越可能成为不利因素。与Xt一致→ +∞ （由于u-σ/2>0）我们有P（M*t=+1）→ 1随着时间的增长。71m的吸收概率*从状态（0）向上移动时，±is（见附录D.1）P（+1）a=limu↑∞（s1，*)1.-2uσ- （s2，*)1.-2uσu1-2uσ- （s2，*+1)1-2uσ= 1 -s1，*s2，*1.-2uσ=0.4709，M-1 0+10 5 10 15 20 25 301020340TX（a）样本轨迹0 10 20 30 40 500.00.20.40.60.81.0 M的分布*+10-1（b）M的分布*图8：左：轨迹（Xt，M*t） 对于第6节的GBM示例，从x=5开始，M*= 0、右：M的分布*t型∈ {-1，0，1}作为t的函数，导致转移概率矩阵P为71m*asP=(-1)-(0)+(0)-（+1）+（+1）a(-1)-0 1 0 0 0(0)+0.374 0 0 0.331 0.295(0)-0.379 0 0 0.329 0.292（+1）+0 0 1 0（+1）a0 0 0 1。（39）注意，在图8（a）中绘制的场景中，M*t=15后的t=+1，可解释为“吸收”。吸收前的理论平均时间（定义见（26））为T（5）=30.775。在图中，我们还注意到P1向上切换了5个开关，P2向下切换了4个开关。

回想一下，在有限的时间范围内，P1总是会在此后再进行一次切换*最终t=+1。表5的最后一列显示了各生产商实施的平均扩张数量，Ni（5）定义在（25）中。6.1漂移u和波动率σ的影响我们研究了（2）中漂移u和波动率σ对均衡策略和宏观市场机制的影响*. 为此，我们在M=0，N（5）（始终满足N（5）=N（5）的条件下，评估玩家2执行的预期扩展次数- 1).此外，我们还计算了M*每种制度的开支m∈{-1，0，1}在接下来的30年内，ρm（\'T）：ρm（\'T）：=E“TZ”T{m*t=m}dtM*= 0#. （40）图9显示了我们在0.05到0.15之间变化的结果，固定σ=0.25，或互补σ∈ [0.20，0.25]，固定u=0.08。正如预期的那样，u越高，（Xt）越倾向于+∞ 从而强制执行玩家1的统治权；因此，玩家2无法展开。σ下降也会产生类似的影响——波动越小，P2的机会就越少。因此，开关的总数量（可观察到的竞争）随着u的增加或σ的减少而减少。在图9（b）中观察到相关影响：P1的优势度，ρ+1（(R)T），随着u上升或σ下降而增加。对于ulow（σhigh），向长期优势的转化速度较慢，因此参与者s在[0，\'T]的中期条件下更加公平。请注意，更高的波动性会伤害参与者1，加剧中期竞争，并导致两个参与者在重复扩张上花费大量资本。最后，我们注意到，时间M的比例*对于u和σ的不同组合，0区的支出ρ（(R)T）相当稳定。7结论上述实验说明了我们在重复计时游戏中实现动态平衡的建设性方法。

特别是，宏观区域M的离散性允许高度的分析可处理性，包括其平衡行为的精确量化。以上是我们依赖于阈值ty pe均衡的强大动力，这使得我们能够从结构上深入了解参与者之间的战略互动、X的短期波动以及新兴的M*.自然的扩展是考虑其他控制设置，例如M上的脉冲控制（允许连续的状态）或单一控制。处理这种紧张局势必须从精确分析“积木”局部问题开始，而在我们的情况下，这是受约束的最优停车（14）。虽然后者已被广泛用于最优停车，但现有的替代控制设置理论，如约束奇异控制，仍不完整。虽然我们的工作植根于具体的经济应用，但我们认识到，该模型的许多现实方面都被忽略了。更为复杂的支付率和转换成本形式（例如捕捉即时供需竞争）将被纳入其中。另一个可能的扩展是允许X的动态，0.06 0.08 0.10 0.12 0.140246810u控制数量（a）σ=0.25，u∈ （0.05，0.15）0.06 0.08 0.10 0.12 0.140.00.20.40.60.81.0u时间比例+10-1（b）σ=0.25，u∈ （0.05，0.15）0.20 0.22 0.24 0.26 0.28 0.30 0.32 0.34024681012σ对照品数量（c）u=0.08，σ∈ （0.20，0.35）0.20 0.22 0.24 0.26 0.28 0.30 0.32 0.340.00.20.40.60.81.0σ时间比例+10-1（d）u=0.08，σ∈ （0.20，0.35）图9：左：P2执行的开关的平均总数。右侧：估计的时间比例（M*t） 在未来30年内，在m制度下的支出，从（40）开始，每m∈ M、 在所有情况下，我们取X=5，M*= 0.即。

（1）中的系数u（Xt）和σ（Xt）取决于区域m，这意味着生成器L需要重新索引为Lm。模技术和符号模型，我们的构造，尤其是方程组（44）-（45）和第4节中的有限控制近似，应直接遵循。一个更具挑战性的扩展是考虑M中的噪声，其数量考虑了二维（或一般的多维）随机状态过程。主要的挑战是，关于多维度约束最优停车的理论非常有限——现在控制将s映射到一整条曲线si（m）中，对于这种sj（m）的最佳响应应该是什么样子还很不清楚。抽象地说，在切换博弈中寻找其他可行的均衡仍然是一个悬而未决的问题。我们强烈怀疑普遍缺乏均衡的唯一性，因此更富有成效的问题是构建其他易于处理的均衡。约束最优停止问题的一个解，其中F（·）和A G（·）是常微分方程（L）的基本增/减解- r） u（x）=0，x∈ D、 （41）式中，L=b（x）ddx+σ（x）ddxis是x的最小生成元。

这些lin早期独立解是正的、连续的、严格单调的和凸的，并且允许表示（参见[30，vol.II，p.292]）e-rτa{τa<∞}=（F（x）F（a），如果x≤ a、 G（x）G（a），如果x≥ a、 （42）我们回顾了OU过程的基本解：FOU（x）：=Z∞uru-1eq2uσ（x-θ）u-udu和GOU（x）：=Z∞uru-1e级-q2uσ（x-θ）u-对于几何布朗运动，它们是：FGBM（x）：=xη+，和GGBM（x）：=xη-,其中η+和η-是二次方程ση（η）的正根和负根-1) +uη - r=0。众所周知，约束最优停止问题（14）的解是变形领导者payofff^H（y）：=^hG的最小凹主解oFG公司-1（y）和^H（z）：=^hFoGF公司-1（z），（43），其中^hi（sj）=max{li，gi}（sj），否则^hi（x）=hi（x）。具体而言，{VG}（F（x）/G（x））（分别为{VF}（G（x）/F（x）））是^Hi（·）的凹包络。为确保该凹面包络为阈值类型，我们引用以下定义，参见de Angelis等人【15】：定义A.1。设H为实值函数类H∈ C（D）使lim supx→dh（x）G（x）=lim supx公司→\'\'dh（x）F（x）= 0和ExR∞e-rt |（L- r） h（Xt）| dt< ∞ 对于所有x∈ D、 用Hinc（分别为Hdec）表示所有h的集合∈ H使得x 7→ （L）-r） 对于某些xh，h（x）在（d，xh）上严格为正（re sp.negative），在（xh，’d）上严格为负（resp.negative）∈ D、 当领导者payoff h（resp.h）属于Hinc类（resp.Hdec）且假设3.2（iii）成立时，可以得出变换后的^hi是凸的，然后是凹的。因此，它的最小凹面主角是一条直线，该直线在唯一点与^hia相切，然后硬币与^Hi相交。这种构造简化为确定^Hi的切点，对应于变换阈值si（sj）。

此外，命题3.3中的系数eωiin对应于上方直线段的斜率，eνi对应于y截距。从在Li处作为跟随者被假定为次优的事实出发，可以得出eω，eν≥ 0和ν，eω≤ 0.我们请读者参考[2]了解更多详细信息。违反假设3.2（iii）的情况会导致一个独特的先发制人均衡（14），详细讨论见【2，第3节】。B定理3.4的证明我们首先陈述了表征阈值si的整个非线性方程组，*和系数ωi，νiin（21）。每米第一个/∈ {m，m}有6个方程式：Vm+1- Dm公司- 公里数（s1，*m） ·W（s1，*m、 s2，*m）-虚拟机-1.- Dm公司（s2，*m） ·W（s1，*m、 s1，*m）-Vm+1- Dm公司- 公里数′（s1，*m） ·W（s1，*m、 s2，*m） =0，Vm+1- Dm公司- 公里数（s1，*m） ·G（s2，*m）-虚拟机-1.- Dm公司（s2，*m） ·G（s1，*m）- ωm·W（s1，*m、 s2，*m） =0，虚拟机-1.- Dm公司（s2，*m） ·F（s1，*m）-Vm+1- Dm公司- 公里数（s1，*m） ·F（s2，*m）- νm·W（s1，*m、 s2，*m） =0，（44a）虚拟机-1.- Dm公司- 公里数（s2，*m） ·W（s2，*m、 s1，*m）-Vm+1- Dm公司（s1，*m） ·W（s2，*m、 s2，*m）-虚拟机-1.- Dm公司- 公里数′（s2，*m） ·W（s1，*m、 s2，*m） =0，虚拟机-1.- Dm公司- 公里数（s2，*m） ·G（s1，*m）-Vm+1- Dm公司（s1，*m） ·G（s2，*m）- ωm·W（s2，*m、 s1，*m） =0，Vm+1- Dm公司（s1，*m） ·F（s2，*m）-虚拟机-1.- Dm公司- 公里数（s2，*m） ·F（s1，*m）- νm·W（s2，*m、 s1，*m） =0，（44b），其中F和G是ODE（41）的解，W（·，·），W（·，·）来自（15）。在边界区域m=m和m=m中，我们有以下3个方程组：s1，*m=d，ωm=0，νm=0，虚拟机-1.- Dm公司（s2，*m）- νm·G（s2，*m） =0，nVm+1-Dm公司-Kmo（s1，*m） ·F′（s1，*m）-nVm+1- Dm公司- Kmo′（s1，*m） ·F（s1，*m） =0，nVm+1-Dm公司-Kmo（s1，*m）- ωm·F（s1，*m） =0，（45a）s2，*m=d，ωm=0，νm=0，虚拟机-1.- Dm公司- 公里数（s2，*m） ·G′（s2，*m）-Vm+1- Dm公司- 公里数′（s2，*m） ·G（s2，*m） =0，虚拟机-1.- Dm公司- 公里数（s2，*m）- νm·G（s2，*m） =0，nVm+1-Dmo（s1，*m）- ωm·F（s1，*m） =0。（45b）定理3.4的证明。

首先，我们认为，通过构建（21）中的Vi，我们有：1。Vim公司∈ CD \\（si∪ sj）∩ CD\\sj∩ C（D），用于m级∈ M、 我∈ {1，2}，i 6=j；2、Vimis最多线性增长th，即| Vim（x）|≤ C（1+| x |），用于x个∈ D(46)3. Vi满足m<m:Vm+1的后续变分不等式组（VIs）- 公里数- 虚拟机≤ 0，在D中，（47a）Vm-1.- Vm=0，inΓ2，*m、 （47b）Vm+1- Vm=0，inΓ1，*m、 （47c）最大值（L）- r） Vm+πm，Vm+1- 公里数- 虚拟机= 0，在DΓ2中，*m、 （47d）对于m>m，Vm-1.- 公里数- 虚拟机≤ 0，在D中，（48a）Vm-1.- Vm=0，inΓ2，*m、 （48b）Vm+1- Vm=0，inΓ1，*m、 （48c）最大值（L）- r） Vm+πm，Vm-1.- 公里数- 虚拟机= 0，在DΓ1中，*m、 （48d）Vi的光滑性直接来自F（·）和G（·）的正则性以及分段构造。第二种说法来自（7）中的线性增长假设，以及系数ωi，νi的信号。请注意，这是正确均衡支付的自然属性，因为参与者的最佳反应博弈支付∈MDim（x）≤eVim（x；αj）≤ 最大值∈MDim（x），（49）和MNE被描述为最佳响应的固定点。关键是最后的断言；我们显示（47），然后使用（48）进行类似操作。将系统（44）与（17）和（18）进行比较，可以看到Vm-Dmis确实是HM（x）：=Vm+1（x）的最优停止问题（14）的解决方案- Dm（x）- Km（x），lm（x）：=Vm-1（x）- Dm（x），它反过来b环化了对ωi，νi符号的限制。以P1为例，ωmc对应于其变换的最小凹主线段的直线段的斜率，该直线段对于m<m应为正，对于m=m应为零。同样，νmc对应于该直线段的y截距，对于m>m应为负，对于m=m应为零。此外，F（·）、G（·）导数的符号表示Vm-Dmisincreasing。

assum Option虚拟机-1（s2，*) ≥ Vm+1（s2，*m）-Km（s2，*m） ，对于m>mplus，sm等凹主特征，然后yieldsVm- Dm=lm≥ hm=Vm+1- Dm公司-Km，inΓ2，*m、 虚拟机- Dm=hm=Vm+1- Dm公司- Km，inΓ1，*m、 虚拟机- Dm公司≥ hm=Vm+1- Dm公司- Km，in D\\Γ1,*m级∪ Γ2,*m级,显示s（47a）。（47b）和（47c）直接从Vi的构建中获得，反映了竞争对手立即切换的x状态下的支付效果。最后，检查（47d），回想一下（7）中的贴现现金流满足（L-r） 尺寸=-πim，根据其定义（L- r） F=（L- r） G=0。对于x∈ D \\（2），*m级∪Γ1,*m） （“n o作用区”）我们通过（21）得到，Vm（x）=Dm（x）+ωmF（x）+νmG（x），所以应用算子（L- r） 我们得到（L- r） Vm+πm=（L- r） Dm+πm=-πm+πm=0，x∈ D \\（2），*m级∪ Γ1,*m） 。对于x∈ Γ1,*mΓ1，*m+1，我们有Vm（x）=Vm+1（x）-Km（x）=Dm+1（x）+ωm+1F（x）+νm+1G（x）-Km以便（L- r） Vm+πm=（L- r）Vm+1- 公里数+ πm=（L- r） Dm+1+（L- r）-公里数+ πm（50）=（L- r）Dm+1- Dm公司- 公里数< 0，（51），其中最后一个不等式（51）由Dm+1决定- Dm公司- 公里数∈ Hinc。类似参数适用于x∈ Γ1,*m+1Γ1，*m+2，其中P1将同时发生两次sw瘙痒；根据推断，我们得出以下结论（L- r） x的Vm+πm<0∈ Γ1,*m、 建立（47d）。我们现在证明s1，*, s2，*是纳什均衡。

为此，我们首先考虑P1的观点，让α={τ（n）：n≥ 1} 她的任意策略是否令人满意（α，s2，*) ∈ A、 和（σn）n≥0是（3）中定义的结果切换时间序列，X=X，~M=M。作为第一步，我们使用归纳法确定atVm（X）≥ EhZσne-rtπ（Xxt，~Mη（t））dt-nXk=1{Pk=1}e-rσk·kXσk，~Mk-1.+ e-rσnVMn（Xxσn）in≥ 1.（52）对于n=1，因为σ=τ（1）∧τ2,*m、 It^o公式在过程e中的应用-区间[0，σ]上的rtVm（Xxt）和期望值yieldsVm（x）=Eh-Zσe-rt（L- r） Vm（Xxt）dt+e-rσVm（Xxσ）i≥ EhZσe-rtπ（Xxt，~M）dt+e-rσVm（Xxσ）i（53a）≥ EhZσe-rtπ（Xxt，~M）dt+e-rσ{-K（Xxσ，~M）·1{σ=τ（1）}+VM（Xxσ）}i，（53b），其中不等式（53a）来自（47d），σ≤ τ2,*m、 不等式（53b）是由于（47a）和（47b）：EhVm（Xxσ）i≥ Eh{σ=τ（1）}nVm+1（Xxσ）- K（Xxσ，~M）o+1{σ=τ2，*m} 虚拟机-1（Xxσ）i.（54）接下来，我们显示n=2的（52）。通过构造，我们得到σ=τ（2）∧(σ+ τ2,*M）。考虑到第二个round子对策开始于初始状态Xxσ；将It^o公式应用于过程-rtVm+1XXxσt区间[0，σ]- σ] 将期望条件设为F（2）σ，cf.（3a），我们得到vm+1（Xxσ）≥ EhZσ-σe-rtπXXxσt，m+1dt+e-r（σ-σ） VMXxσ-1{σ=τ（2）}e-r（σ-σ） ·K（Xxσ，m+1）F（2）σi，类似于（53b）并替换XXxσ-σ乘以Xxσ，基于（Xt）的强马尔可夫性质。

此外，使用rσσe-rtπ（Xxt，m+1）dt=e-rσrσ-σe-rtπXXxσs，m+1ds-wehaveh{σ=τ（1）}e-rσVm+1（Xxσ）i≥E{σ=τ（1）}·hZσσE-rtπXxt，m+1dt+e-rσVMXxσ我- 1{σ=τ（2）}{σ=τ（1）}e-rσ·K（Xxσ，m+1）#。（55）同样，我们有eh{σ=τ2，*m} e类-rσVm-1（Xxσ）i≥ E{σ=τ2，*m} ·hZσe-rtπXxt，米- 1.dt+e-rσVMXxσ我- 1{σ=τ(2)}{σ=τ2,*m} e类-rσ·K（Xxσ，m- 1)#.（56）将（55）-（56）代入（53b），得到vm（x）≥ EhZσe-rtπ（Xxt，~M）dt+Zσe-rtπ（Xxt，m+1）dt+e-rσVM（Xxσ）- 1{σ=τ（1）}e-rσK（Xxσ，~M）- 1{σ=τ（2）}{σ=τ（1）}e-rσ·K（Xxσ，m+1）- 1{σ=τ(2)}{σ=τ2,*m} e类-rσ·K（Xxσ，m-1） =EhZσe-rtπ（Xxt，~Mη（t））dt-Xk=1{Pk=1}e-rσk·kXσk，~Mk-1.+ e-rσVM（Xxσ）i.将此参数迭代n=3，建立（52）。让我们注意到，上述工作在边界制度m中没有任何修改∈ {m，m}，其中τ（n）或τ2，*这匹母马注定要死去。由于VMI最多从（46）线性增长，且（α，s2，*) 需要limn→∞σn=+∞, 支配收敛定理impliesVm（x）≥ EhZ公司∞e-rtπ（Xxt，~Mη（t））dt-Xk=1{Pk=1}e-rσk·kXσk，~Mk-1.i=Jm（x；α，s2，*).（57）同样，对于P2，我们得到了thatVm（x）≥ Jm（x；s1，*, α） ，用于（s1，*, α) ∈ A、 最后但并非最不重要的一点是，可以验证用s1替换α，*在上述论证中，σ=τ1，*m级∧τ2,*mso该（L- r） Vm（Xxt）=-π（Xxt，~M）（在[0，σ）上）和Vm（Xxt）=Vm+1（Xxt）-σ=τ1时的Km（Xxt），*mand Vm（Xxt）=Vm-σ=τ2时为1（Xxt），*m、 这些将（53a）和（53b）中的不等式转化为等式，归纳屈服值Vm（x）=Jm（x；s1，*, s2，*),结合（57）完成了证明。命题4.1集X=X的证明∈ D，M=M∈ M、 和Fix sj。

球员i与Ni的最佳反应≥ 1控制iseVi，（Ni）m（x；sj）=su pαi，（Ni）∈Ai，（Ni）Jim（x；αi，（Ni），sj），（58）其中，（Ni）：=（αi，sj）∈ A：τi（n）=+∞, n>η（i，Ni）, （59）（5）中定义的η（i，Ni）表示玩家i执行第Ni次切换的回合。自Ai起，（Ni） Ai，（Ni+1）我们有Ni7→eVi，（Ni）m（x；sj）是非递减的。此外，由于（Ni）m（x；sj）由maxmDim（x），limn从ab ove开始限定→∞eVi，（Ni）m（x；sj）定义良好。仍需说明该极限iseVim（x；sj）。因为Ai，（Ni） {αi：（αi，sj）∈ A} ，我们获得了利姆尼→∞eVi，（Ni）m（x；sj）≤eVim（x；sj）。（60）为了得到相反的不等式，对于任何ε>0，设αiε：={τiε（n）：n≥ 1} （依赖于x）是满足（αiε，sj）的ε-最优策略∈ A和jim（x；αiε，sj）≥eVim（x；sj）- ε. （61）现在对于固定Ni≥ 1我们定义了各自的固定策略αi，（Ni）ε：={τi，（Ni）ε（n）：n≥ 1} asτi，（Ni）ε（n）=（τiε（n），n≤ η（i，Ni）+∞, o、 w.（62）因此，截断策略在第一次NISWITCH后完全停止切换。用M（Ni）t表示所得宏观状态，用（σi，（Ni）k）k表示≤n基于（αi，（Ni）ε，sj）的层i的开关时间序列，cf.（5），我们将其与相应的d M进行比较(∞)tand（σi(∞)k） k级≥1基于非拉伸（αiε，sj）。通过构造截断，σi，（Ni）k=σik，对于k≤ Ni，M（Ni）t=Mt，对于t≤ σiNi，两个现金流完全匹配σi(∞)镍。在被截断的版本中，只有另一个播放器我应用了她的控件。自σi起(∞)镍→ ∞ 作为Ni→ ∞ 从αiε的可容许性可以看出，对于N>NεEx，m“Z∞σiNe-rt |πiXt，M(∞)t型|dt#<ε；（63a）Ex，m“Z∞σiNe-rt |πi（Xt，M（N）t）| dt#<ε；（63b）Ex，m“∞Xk=N+1e-rσi(∞)kKi公司Xσi(∞)k、 ~M(∞)η（i，k）-1.·#< ε.

（63c）对于第二个界，我们利用M有一个有限的状态空间的事实，使得|πi（Xt，M（N）t）|≤maxm |πi（Xt，m）|仍然满足生长条件。利用（63）和（6），我们得到了N>NεJim（x；αi，（N）ε，sj）- Jim（x；αiε，sj）≤ Ex，mhZ∞σi，∞氖-rt公司|πiXt，M(∞)t型| + |πi（Xt，M（N）t）|dt公司+∞Xk=N+1e-rσi(∞)kKi公司Xσi(∞)k、 ~M(∞)η（i，k）-1.我≤ 3ε. （64）通过Fatou引理和（64）我们得到了→∞Jim（x；αi，（N）ε，sj）=lim infN→∞Ex，m“Z∞e-rtπi（Xt，M（N）t）dt-NXk=1KiXσi，（N）k，~M（N）η（i，k）-1.· e-rσi，（N）k#≥ Jim（x；αiε，sj）- 3ε. （65）反过来，从（61）中，我们得到了LIM infN→∞eVi，（N）m（x；sj）≥ lim信息→∞Jim（x；αi，（N）ε，sj）≥eVim（x；sj）- 4ε，（66）与（60）和↓ 0完成证明。D￠M的动力学*在本附录中，我们提供了与第3.4节所述宏观市场均衡相关的计算细节。虽然计算基本上是经典的，但为了完整性和读者的方便，我们陈述了它们。为了便于演示，我们考虑以下情况：，*m严格按照m的升序/降序排列，因此m的所有转换*为±1。D、 1转移概率71m*在内部状态下，条件为\'M*n-1.∈ {m-, m+}和m/∈ M、 我们在（11a）中定义了X（n））M*n=（（m+1）+，如果X（n）thits s1，*mbefore s2，*m、 （m）- 1)-, 如果X（n）小于s2，*mbefore s1，*m、 （67）起始位置▄X（n）=s1，*m级-1ifˇM*n=m+和▄X（n）=s2，*m+1ifˇm*n=m-.

让我们使用xxx来表示X的一般副本，从X=X开始，并考虑双侧passagetimesτ（X；a，b）：=inf{t≥ 0:Xxt≤ a或Xxt≥ b} ，（a、b） x、 因此，我们有：Pm+，（m+1）+=PXs1，*m级-1τ（s1，*m级-1.s2，*m、 s1，*m） =s1，*m级, Pm+，（m-1)-= PXs1，*m级-1τ（s1，*m级-1.s2，*m、 s1，*m） =s2，*m级,下午-,（m+1）+=PXs2，*m+1τ（s2，*m+1；s2，*m、 s1，*m） =s1，*m级, 下午-,（m）-1)- = PXs2，*m+1τ（s2，*m+1；s2，*m、 s1，*m） =s2，*m级.（68）反过来，我们记得（68）可以通过（Xt）的量表功能S（·）进行评估（见[28]第VII.3章）：PXxτ（x；a，b）=b=S（x）- S（a）S（b）- S（a），PXxτ（x；a，b）=a=S（b）- S（x）S（b）- S（a）。（69）回想一下，S是常微分方程L S=0的连续、递增的一般解，它以闭合形式可用于线性微分。Ornstein-Uhlenbeck过程。比例函数S（·）求解u（θ- x） S′（x）+σS′（x）=0，=> SOU（x）=Zx-∞euσ（z-θ） dz，x∈ R、 几何布朗运动。尺度函数S（·）解出uxS′（x）+σxS′（x）=0，=> SGBM（x）=x1-2u/σ，x∈ R+。D、 2转移概率71m*在边界区域，请记住，在区域m-,m+只有一个玩家可以切换。对于反复出现的X，她保证最终会这样做，我们只需要PM-,（m+1）+=Pm+，（m-1)-= 1.（70）当X是暂时的，从长远来看，一个玩家将永久占据主导地位，至少有一个玩家会吸收以下概率Pma：=PXs2，*米+1吨≤ s1，*m级t型= limd公司↓数据处理Xs2，*m+1τ（s2，*m+1；d、 s1，*m） =d,Pma：=limu↑数据处理Xs1，*m级-1τ（s1，*m级-1.s2，*m、 u）=u,（71）是绝对肯定的。即，wh en M*进入边界状态时，M*从此将保持不变。

为了解决这个问题，我们使用了扩展71m的状态{ma，ma}，这些状态是从与相应边界相邻的区域进入的。例如，可以从71m开始进行三次转换*n-1.∈ {（m- 1)-, （m）- 1） +}：ˇM*n个=上至toma，如果▄X（n）thits s1，*m级-1在s2之前，*m级-1和ˇM*吸收，向上tom+，如果▄X（n）thits s1，*m级-1在s2之前，*m级-1和ˇM*未被吸收，低至（m- 2)-, 如果X（n）小于s2，*m级-1在s1之前，*m级-1.（72）从概率上讲，我们可以将吸收解释为（m）转换时的独立“掷硬币”- 1） ±，以便使用（71）P（m-1） +，ma=PXs1，*m级-2τ（s1，*m级-2.s2，*m级-1，s1，*m级-1） =s1，*m级-1.×Pma，（73）P（m-1） +，m+=PXs1，*m级-2τ（s1，*m级-2.s2，*m级-1，s1，*m级-1） =s1，*m级-1.× (1 - Pma，（74）P（m）-1） +，（m-2)- = 1.- P（m-1） +，ma- P（m-1） +，m+。（75）P（m）采用类似计算-1)-,·, P（m+1）-,·, P（m-1)+,·.D、 3平均逗留时间为71m*M的期望逗留时间ξ*in（23），或相当于跳跃之间的预期到达时间间隔*对应于平均双侧出口时间，δab（x）：=eτ（x；a，b）, x个∈（a，b），即ξm-:= Eτ（s2，*m+1；s2，*m、 s1，*m）, ξm+：=Eτ（s1，*m级-1.s2，*m、 s1，*m）, （76）对于m/∈ M、 应用Dynkin公式，众所周知，在边界条件δab（a）=δab（b）=0的情况下，δab（·）求解模型δ+1=0。几何布朗运动。

预期退出时间δab（·）是uxδ′ab（x）+σxδ′ab（x）+1=0，x的解∈ （a，b），δab（a）=δab（b）=0。求解得到δab（x）=σ- u-1.自然对数xa公司+ ln（ab）x1-2u/σ- a1级-2u/σb1级-2u/σ- a1级-2u/σ, x个∈ （a、b）。D、 4边界区域的单侧出口时间和停留时间，以计算平均停留时间ξm-, ξm+我们利用单侧通过时间τ（x；s）：=inf{t≥ 0:Xxt=s}。如果相应的吸收概率（71）为零，我们有ξm-:= Eτ（s2，*m+1；s1，*m）, ξm+：=Eτ（s1，*m级-1.s2，*m）.否则，我们假设出口时间τ为有限，则δs（x）=e[τ（x；s）1{τ（x；s）<∞}].然后，例如ξm+=eτ（s1，*m级-1.s2，*m）τ（s1，*m级-1.s2，*m） <∞=1.- Pmaδs2，*m（s1，*m级-1). （77）计算δs（x）。我们重写δs（x）=-ρExhe-ρτ（x；s）{τ（x；s）<∞}我ρ=0，并使用关于τ（x；s）的拉普拉斯变换的著名结果[13]，Exhe-ρτ（x；s）{τ（x；s）<∞}i=（F（x；ρ）F（a；ρ），如果x≤ s、 G（x；ρ）G（a；ρ），如果x≥ s、 （78）其中F（·；ρ）和G（·；ρ）是（L）的解- ρ） u=0（回忆位置3.3），我们强调了它们对拉普拉斯参数ρ的依赖性。Ornstein-Uhlenbeck过程。从（78）开始，预计的首次通过时间δs（x）toa level s被视为δs（x）=√2πuZ（s）-θ） q2uσ（x-θ）q2uσΦ（z）ezdz{s≥x}+Z（θ-s） q2uσ（θ-x）q2uσΦ（z）ezdz{s<x},（79）其中Φ是标准高斯累积分布函数。间隔x的预期退出时间∈ （a，b），δab（x）可通过δab（x）=δa（x）δb（a）+δb（x）δa（b）获得- δa（b）δb（a）δb（a）+δa（b）。（80）几何布朗运动。GBM为非复发性；假设u-σ> 0，这就是吸收区。然后从（78）计算δs2，*m（s1，*m级-1） =Ehτ（s1，*m级-1.s2，*m） 1{τ（s1，*m级-1.s2，*m）<∞}i=u-σ·lns1，*m级-1s2，*m级·s1，*m级-1s2，*m级1.-2uσ.D、 5在不丧失一般性的情况下，在非周期性（Xt）吸收之前的预期开关数，假设M是ab吸收区，因此→∞M*t=m。

定义νupe：=E#在@M之前向上移动*hitsma | |M*= e, e∈ E \\{ma}，νdne：=E#在米之前向下移动*hitsma | |M*= e, e∈ E \\{ma}，其中E是来自（22）的71m的状态空间，P是71m的转移矩阵*. LetP公司-删除相应行和列的子矩阵。定义上限：=[上限]-, ··· , νupm+]T，~νdn：=[Дdnm-, ··· , ^1dnm+]T，~ Pup：=[Pupm-, ··· , Pupm+]和Pdn：=[Pdnm-, ··· , Pdnm+]T，其中（Pupm±：=Pm±，（m+1）+，对于m<m- 1，Pupm+：=0，Pdnm±：=Pm±，（m-1)- , 对于m>m，Pdnm-:= 0和Pup（m-1） ±：=P（m-1） ±，m++P（m-1） ±，ma。然后我们得到~νup=（I- P-（a）-1～蛹～Дdn=（I- P-（a）-1～Pdn，（81），在考虑初始条件X=X（导致非标准的首次转换概率）后，获得（25）Nm（X）=Px，m中定义的预期开关数量ˇM*= （m+1）+×ν向上（m+1）++1+ Px，mˇM*= （m）- 1)-×Д以上（m-1)-,Nm（x）=Px，mˇM*= （m+1）+×νdn（m+1）+Px，mˇM*= （m）- 1)-×νdn（m-1)-+ 1.. （82）一般Px，mˇM*= （m+1）+= P（Xxτ（x；s2，*m、 s1，*m） =s1，*m） ；然而，我们还必须考虑以下情况：*=m级- 1，因此*=可能，也可能*=m、 在这种情况下，e上必须根据概率Pma（x）：=limu分配ˇm=maorˇm=m+↑数据处理Xxτ（x；s2，*m、 u）=u.D、 6非经常性（Xt）：在开始吸收之前的预期时间，我们需要每个非吸收制度的预期访问次数。定义，e：=e#访问ebeforeˇM*reachesma公司ˇM*= e, 对于所有e，e∈ E \\{ma}，让V表示Ve的矩阵，E有行~ Ve，·：=Ve，m-, . . . , Ve，m+, 对于e∈ E \\{ma}。然后，从标准马尔可夫链参数，V=（I- P-（a）-1，其中P-ais上一小节中定义的瞬态过渡子矩阵。乘以各自的停留时间ξm，即从无轨状态e开始的预期吸收时间∈ E \\{ma}iseTe：=~ Ve，···~ξ-a、 其中~ξ-ais是预期逗留时间的向量，不包括ξma。

最后，到M的预期时间*吸收，如（26）所述，被承认为（cf.（82））Tm（x）=Exτ（x；s2，*m、 s1，*m）+ Px，mˇM*= （m+1）+×eT（m+1）+Px，mˇM*= （m）- 1)-×eT（m-1)-.当M*=m级- 1或M*=m如前一小节所述。E推论的证明3.6证明。从（27b）和（27c）中，我们显式地为x写V+1（x）≥ 通过在各自的表达式中替换ν+1和ω-1： V+1（x）=D+1（x）+ν+1G（x）=D+1（x）+V-1(-ˇs）- D+1(-ˇs）G(-ˇs）G（x）=D+1（x）+D-1(-ˇs）+ω-1F层(-ˇs）- D+1(-ˇs）G(-ˇs）G（x）=D+1（x）+G（x）G(-ˇs）h（V+1- D-1.- K-1） （ˇs）F(-ˇs）F（ˇs）+D-1(-ˇs）- D+1(-ˇs）i.上面给出了一个与V+1（x）和V+1（ˇs）相关的方程；在此之前，如果一个定义：=D+1-G（s）G(-s） h类D-1（s）+K-1（s）F级(-s） F（s）+D+1(-s）- D-1(-s） i1-G（s）G(-s） F级(-s） F（s），（83），设ˇs是系统（27）的解，则它保持Q（ˇs）=V+1（ˇs）。类似地，在对x（由要求平滑度ofDm（·）和d Km（·）的推论3.6保证）进行区分后，可以定义q（s）：=d′+1（s）+G′（s）G(-s） h（Q（s）- D-1（s）- K-1（s））F(-s） F（s）+D-1(-s）- D+1(-s） i，（84）并得出q（ˇs）=V′+1（ˇs）。然后将（27a）中的V+1（x）替换为Q（x），并将（V+1）′（x）替换为Q（x），我们得出解系统（27）相当于求z（s）的根：=Q（s）- D-1（s）- K-1（s）F′（s）-q（s）- （D）-1） ′（s）- （K）-1） ′（s）F（s）=0，（85），因为ˇs>s2，*+1= -ˇs==> ˇs>0（否则开关区域会重叠），我们可以找到（85）的正解。

对于足够大的s，我们将证明Z（0）<0且Z（s）>0，这通过连续性（因为（85）中的每个项都是连续的）意味着根的存在。一方面，在s=0时，Q（s）的数量被接纳为asD+1（0）-G（0）G（0）hD-1（0）+K-1(0)F（0）F（0）+D+1（0）- D-1（0）i=-K-1（0）<0，而分母1-G（s）G(-s） F级(-s） F（s）=1-F级(-s） F（s）s>0时为严格正（F（·）增加），s时趋于零↓ 0，因此lims↓0Q（s）=-∞. 此外，lims↓0q（s）=（D+1）′（0）+G′（0）G（0）h（lims↓0Q（s）- D-1(0) - K-1（0））F（0）F（0）+D-1(0) - D+1（0）i=+∞,因为G（·）是正的，并且递减（G′（·）<0），而lims以外的所有其他项↓0Q是有限的。把一切都放在一起lims↓0Z（s）=lims公司↓0Q（s）- D-1(0) - K-1(0)F′（0）-lims公司↓0q（s）- （D）-1.- K-1)′(0)F（0）=-∞,因为F（·）是正的且在增加，所有其他项都是有限的。另一方面，对于足够大的s，使用[5，s ec.2]limx↓dF（x）=0，limx↓dG（x）=+∞, 林克斯↑\'dF（x）=+∞, 林克斯↑\'dG（x）=0，我们有Q（s）≈ D+1（s），q（s）≈ （D+1）′（s）渐近为s↑d和henceZ≈D+1（s）- D-1（s）- K-1（秒）F′（s）-D′+1（s）- D′-1（s）- K′-1（s）F（s），=h-D+1（s）- D-1（s）- K-1（s）F（s）′i·F（s）>0。最后一个不等式如下D：=D+1- D-1.- K-1.∈ Hinc（参见定义A.1），因此lim sups↑\'\'dD（s）F（s）=0，D（s）>0，对于s大==>D（s）F（s）′< 0作为s↑\'d.参考文献[1]R.Aid、M.Basei、G.Callegaro、L.Campi和T.Vargiolu，《具有脉冲控制的非零和随机微分对策：应用验证定理》。，技术报告，arXiv预印本arXiv:1605.000392016。[2] R.Aid、L.Li和M.Ludkovski，《发电投资应用竞争的资本扩张游戏》，经济动力与控制杂志，84（20 17），第1-31页。[3] N。

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