随机切换博弈 - 外文文献专区

2022-6-10 06:39:45

随机切换博弈Liangchen Li和Mike Ludkovski*加利福尼亚大学统计与应用概率系，加利福尼亚州圣巴巴拉市圣巴巴拉，邮编：93106-3110{li，ludkovski}@pstat。ucsb。eduAbstractWe研究nonz e ro-sum随机切换对策。两个参与者通过控制（通过时间选择）离散的国家市场区域来竞争市场主导地位。切换决策由一个连续的随机因子X驱动，该因子调节固定收益率和切换成本。这在X带来的短期波动和基于onM的中期优势之间产生了竞争反馈。我们构造了描述长期动态均衡市场组织的平稳策略的阈值型反馈纳什均衡。两种顺序近似方案将切换平衡连接到（i）约束最优切换；（ii）多阶段计时游戏。我们用Ornstein-UhlenbeckX提供了幻觉，它导致了一个循环平衡M*还有一个几何布朗运动X，它使M*最终“吸收”成为一个玩家，最终获得个人优势。还提供了关于紧急宏观市场均衡的显式计算和比较静态。引言不确定性下的动态竞争激发了运营研究和行业组织中持续不断的文献流。它提供了经典单代理优化问题的自然泛化，并且适用于各种应用环境。在典型的情况下，企业的目标是最大限度地提高其利润，同时受到外部随机冲击和竞争效应的影响。后一种竞争通常是直接的，例如通过价格，因此导致非零和博弈公式，与对抗性零和案例相反。

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2022-6-10 06:39:48

一些例子包括：（i）扩容[6]；（二）技术创新与采用[21]；（iii）市场进入【20】。在本文中，我们关注一类特殊的切换游戏，这类游戏的灵感来自于许多市场的双时间尺度特征。事实上，动态竞争往往由微小的冲击驱动，这些冲击决定了快速波动的短期市场条件。这些变化为玩家带来了“本地”优势。反过来，企业通过市场优势将这种短期影响转化为更持久的收益。例如，目前有利的投资成本可以转化为长期的产能收益，从而产生*Ludkovski得到了NSF-CDSE 1521743的部分支持。更大的市场份额。同样，可以通过technologicaledge锁定较低的研发成本。然后，整体模型将外部随机冲击与内生企业的决策联系起来，以获得市场组织的动态均衡。通过考虑驱动市场条件的“微观经济”随机因素（Xt）和决定市场力量和企业相对利润的“宏观经济”市场状态（Mt），将这种叙述形式化。然后，我们的目标是解决从X的进化中确定（Mt）的竞争性问题。具体来说，（Mt）是由玩家通过离散/块状动作完全控制的。反过来，这些动作被解释为玩家可用的控制，并受到（Xt）捕获的局部波动的影响。因此，我们考虑一个微观/宏观结构的动态随机博弈：在短期内，企业对待MTA固定并优化其下一步行动，就像一个定时抢占博弈。

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2022-6-10 06:39:51

从长期来看，（Mt）是一种具有内生市场动态的固定市场制度。这两个时间尺度将Xt和长期经营的市场组织Mt确定的即时竞争优势联系起来。后者“跟踪”Xt：经过一段持续的有利市场条件后，我们预计各自的公司将占据主导地位。由于产生机会成本的固定投资成本，自然会引入滞后。我们设置的新颖之处在于将这一众所周知的想法完全集成到非合作博弈模型中。因此，参与者持续竞争市场主导地位，其影响力受到短期激励和战略激励/竞争效应的影响。我们关注的是一种双寡头垄断，它自然反映了由一维X所代表的上升/下降市场条件的两面性，并明确了应对竞争行为的竞争效应。我们对该模型的方法学兴趣来自三个不同的方向。首先，它扩展了我们之前在多阶段计时游戏上的工作。在该版本中，玩家可以使用的控件数量是先验限制的；在这里，我们考虑一个完全重复的游戏的更合理的情况。一个经济动机是在不断增长的随机环境（如需求）下的产能扩张问题。这会产生一个非平稳模型，但总投资的最终数量是无界的，必须通过切换博弈来建模。其次，我们感兴趣的是一个平稳的切换博弈，在这个博弈中，市场会经历周期性冲击（在X是一个复发的马尔可夫过程的意义上）。我们希望通过战略性调整的市场机制，找到内生动态平衡，以缓解这种周期性。

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2022-6-10 06:39:54

描述这样一种重复出现的随机投资时机竞争，自然与切换双寡头博弈有关。第三，我们的模型是基于对可处理性的渴望，同时考虑到竞争和随机冲击的动态交叉效应。竞争的重复平稳性要求去除时间变量，但仍保持随机动态。因此，平衡结构是直观的（通过切换阈值总结），但也带来了新的见解。我们所考虑的切换博弈自然地融合了单agent切换模型[7、17、9、4、24、27、22]和非零和停止博弈[18、15、3、25、29]。最优切换出现在许多重要的应用中，它捕获了与受控制度过程（Mt）相关联的随机过程（Xt）的市场结构。最相关的是多模式模型[26、27、19]。特别是，我们利用了关于变分不等式的相关分析结果，这些变分不等式由值函数和reshold型策略的构造所满足。我们还广泛使用有限控制近似[4]，这为建立动态规划原理提供了一种直观的方法。从博弈论的角度来看，切换控制最好被视为多阶段停止，使各自的分析成为一个基本的构建块。反过来，非零和停止博弈需要处理具有退出约束的最优停止问题的解[23，25，2]。

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2022-6-10 06:39:57

以上两条线索共同为切换博弈的动力学提供了主要直觉：o作为非零和停止博弈的多阶段序列；o作为相关最佳响应（约束）最优切换问题的固定点。通过这些镜头，我们可以通过修改玩家可用的控件类型来考虑更多版本：路径依赖的ent非马尔可夫策略（通过BSDE查看）；脉冲控制（见[1]）；奇异控制（参见[11]中关于奇异控制的最佳切换）等。2问题形式我们考虑两个公司，称为球员i，j∈ {1，2}，i 6=j，在同一市场上竞争。宏观市场状态由离散状态过程（Mt）描述，代表每个参与者的相对市场支配地位。（Mt）的域是一个有限集M；为了简单起见，我们考虑整数值Mtand M={M，M+1，…，M}。玩家通过切换类型控制来增强其市场优势；因此，玩家1可以增加Mtby+1，而玩家2可以减少Mtby-1。要进行切换，玩家我必须支付一个代价Ki（Xt，Mt）。请注意，玩家1的切换，然后是玩家2的切换，会完全相互抵消，并将市场带入其原始状态。将MTA解释为相对优势可以通过采用Mt=Mt来推动- Mt，其中Mit∈ N代表企业i的生产能力或技术水平。

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2022-6-10 06:40:00

因此，参与者反复进行竞争性投资以提高其能力；玩家1的投资会提高MTA，而玩家2的投资会降低MTA。假设（Mt）仅在相邻政权之间移动M=±1可轻松调整，见备注4。为了捕捉当地的波动市场状况，我们引入了一种外生差异过程（Xt）t≥概率空间上的0(Ohm, F、 P），满足随机微分方程（SDE）dXt=u（Xt）dt+σ（Xt）dWt，（1）其中（Wt）t≥0是P下的标准布朗运动。用D表示：=（D，(R)D），带-∞ ≤d<d≤ + ∞ , （Xt）和F的域：=（Ft）t≥0（Xt）产生的自然过滤。系数u：D→ R和σ：D→ 假设R+可确保（1）的唯一强大解决方案。此外，我们假设D的边界是自然的，X在D中是正则的。非正式地说，这意味着从任何X开始∈ D、 X将到达任意y∈ D为正概率，且D，’D不能在限定时间内到达；详细说明见【5】第2章。备注1。更一般地，可以将系数u、σin（1）视为取决于mt，而mt不存在重符号以外的技术困难。我们将在第7节中重新讨论此扩展。玩家的目标是在[0，∞) 通过（Xt，Mt）驱动的收入率πi确定。综合总利润由R给出∞e-rsπi（Xs，Ms）ds减去转换成本的净现值，见下文定义2.4。为了符合（Mt）角色的直觉，我们假设：（i）当Mt>0（Mt<0）时，玩家1（P2）占主导地位；（ii）玩家1（分别为P2）更喜欢较高（分别为较低）的Xt。

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2022-6-10 06:40:03

最后一个假设在X和m之间产生了积极的反馈效应：当X上升时，玩家1会更有动力提升其m市场的主导地位，最终迫使她采取行动并使Mthigher；当X落下时，玩家2获得短期优势，并朝着她喜欢的消极方向移动。通过说明，我们考虑以下两个代表性示例：示例2.1（均值回复优势）。当地市场波动为均值回复，由Ornstein-Uhlenbeck过程建模，dxt=u（θ- Xt）dt+σdWt，D=R，u，σ>0和θ∈ R、因此，长期市场是静止的，当X在θ附近随机振荡时，市场组织预计将经历周期性行为。玩家可根据与XT无关的确定性利润阶梯πim获得恒定的利润率，其中πm<πm+1和πm>πm+1m、因此，当MTI高时，玩家1的收入最大化，当MTI低时，玩家2的收入最大化。不完整的是，当前的市场条件影响了转换或投资成本。因此，当XT为高/低时，Kis为低/高（Kis为高/低）。从经济上讲，这可以解释为X代表汇率，以美元计价的国内企业P1和国外企业P 2的投资成本。具体而言，我们假设转换成本在Xt中是指数的：Ki（x，m）=ci（m）+αi（m）eβi（m）·x，i=1，2，其中ci（m），αi（m）>0，β（m）<0，β（m）>0。示例2.2（长期优势）。在第二个例子中，我们假设从长远来看，一个玩家将拥有竞争优势并成为主导。然而，在主题项中，X会产生M的不确定性。这可以通过使用几何布朗运动（GBM）来捕捉，XdXt=uXtdt+σXtdWt，（2），D=（0+∞), u ∈ R和σ>0。

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2022-6-10 06:40:07

玩家根据预定的利润阶梯πimas well获得利润率；为了多样性，我们使用线性切换成本Ki（x，m）=ci（m）+βi（m）·x+, i=1，2在β（m）<0和β（m）>0.2.1可接受的策略被解释的情况下，我们将X视为一个外生随机风险因素，而m则视为一个完全内生的宏观市场机制，通过两个参与者的联合策略文件进行控制。由于这会影响玩家的利益，并产生负外部性——随着玩家1利益的增加，玩家2收入的下降，我们使用非合作游戏范式，玩家进行投资，同时考虑到对手将在未来切换回不利状态。根据M的离散性质，我们假设玩家采用计时策略。因此，他们之间的战略互动导致了非零和随机切换博弈。为了确定博弈策略，我们需要引入一些必要的技术结构，以实现闭合lo-op均衡。通常，闭环策略基于（Xt）的历史和过去开关的历史。由于可以使用多个交换机，因此（Mt）本身无法达到这一目的。我们用αi表示游戏者i的策略：={τi（n）：n≥ 1} 其中τi是特定的停止时间。τi（n）的容许性根据初始状态（x，m）递归定义。Let（Ft）t≥0是（Xt）生成的自然过滤。设置σ=0，X=X，~M=M。对于n≥ 1，我们要求τi（n）是F（n）自适应的，并设置F（n）t=Ft\\uσ（σk，Pk，~Mk），k<n, （3a）σn=τ（n）∧ τ（n），（3b）Pn=1·1{τ（n）<τ（n）}+2·1{τ（n）>τ（n）}+Hn·1{τ（n）=τ（n）}，（3c）~Mn=~Mn-1+1·1{Pn=1}- 1·1{Pn=2}。（3d）n=1的含义。

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2022-6-10 06:40:10

，是切换游戏整体“roun d”的计数器，其中σn记录相应的第n次切换时间，pn记录进行第n次切换的玩家的身份，以及mn执行n次总切换后的宏观市场状态。在（3c）中，我们通过设置hn表示结果领导者的身份来解决两个参与者打算同时切换的场景。作为一个简单的例子，Hn≡ 如果Player1具有切换的瞬时优先级，则为1。一般来说，解决HN需要考虑辅助离散阶段博弈[16，29]，该博弈在τmon事件{τ（n）=τ（n）}上同时发生；后者可能涉及混合策略，即有一个额外的rand omvariableωt决定Hn的值。这就是为什么我们必须在（3a）中将PK的历史明确地添加到（Xt）的历史中的另一个原因。定义2.3。（容许策略）容许闭环策略A的集合是αi：={τi（n）：n≥ 1} 式中，τi（n）适用于（~F（n）t），σn，Pn，~mn在（3）中构造，并满足（Mt）的o有界域：τ（n）=+∞ 如果▄Mn=m，τ（n）=+∞ 如果▄Mn=m；o按时间排序：τi（n）≥ σn-1，我∈ {1, 2}, n≥ 1;o 始终定义：limn→∞σn=+∞.请注意，A中的策略属于闭环完美状态（CLPS）类型，请参见[8，Ch.3]中的详细说明。三个可接受条件规定，当（Mt）处于其最小/最大值时，只有一个玩家可以行动，并且还排除了在限定时间内聚集女巫的可能性。后一限制限制限制→∞σn=+∞ 是温和的，因为一旦有一些切换成本，制造有限的交换机将是次优的。请注意，定义2.3是连接到文件（α，α）上的，也取决于初始条件。在续集中，我们支持这种对更轻符号的依赖。让我们用（α，α）d来重新讨论这些p层策略的构造（3）。

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nandehutu2022

2022-6-10 06:40:13

在给定策略文件（α，α）的情况下，（Mt）的演化被认为是asMt：=~Mη（t），η（t）=max{n≥ 0：σn≤ t} 。（4）一个参与者立即行动是完全可能和可行的，τi（n）=σn-1，其中σn=σn-1，因此（Mt）正式同时理解多个更改。此外，我们描述了每个玩家实现的切换时间序列，用σik表示，i∈ {1，2}，k≥ 1表示σik：=ση（i，k），其中η（i，k）=min{n≥ 1:nXl=1{Pl=i}=k}。（5） 2.2游戏报酬这些玩家收到的游戏报酬是未来利润的总净现值（NPV），即折现的预期未来现金流，以折现的转换成本为单位。定义2.4。（游戏报酬）给定一个战略利润（α，α），玩家i收到的未来利润NPV为Jim（x；α，α）：=E“Z∞e-rtπiXt，~Mη（t）dt公司-∞Xn=1{Pn=i}e-rσn·KiXσn，~Mn-1.X=X，M=M#，=E“Z∞e-rtπiXt，Mtdt公司-Xke公司-rσikKiXσik，~Mη（i，k）-1.X=X，M=M#（6），其中r>0是恒定贴现率。让我们介绍静态贴现未来现金流Dim（x）：=EZ∞e-rtπi（Xt，m）dtX=X, （7）假设满足生长条件Dim（x）≤ C（1+| x |）表示i∈ {1，2}和allm∈ M、由于转换成本是非负的，博弈报酬也是线性增长的，因为它们由Di主导，特别是Jm（x）≤ Dm（x）而Jm（x）≤ Dm（x）。2.3纳什均衡：最佳响应的不动点在这个非零和博弈中，我们利用马尔可夫纳什均衡（MNE）来描述玩家的行为。定义2.5。（纳什均衡）让Jim（x，·）表示玩家i在x=x，M=M的情况下收到的游戏报酬。策略利润（α1，*, α2,*) ∈ 如果对于任何x，A被认为是切换博弈的纳什均衡∈ D、 m级∈ M和游戏者i的策略αi（x），使得（αi（x），αj，*) 是可容许的Jim（x；αi（x），αj，*) ≤ Jim（x；αi，*, αj，*).

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2022-6-10 06:40:16

（8）相应的Vim（x）：=Jim（x；αi，*, αj，*) 然后被命名为playeri的平衡支付。纳什均衡标准（8）将均衡策略描述为每个玩家对其对手策略的最佳反应的固定点。具体而言，给定任意竞争对手的策略αjd，确定玩家ieVim（x；αj）的最佳响应结果：=sup{αi：（αi，αj）∈A} Jim（x；αi，αj），x∈ D、 m级∈ M、（9）因为（以玩家1为例）游戏支付满足Dm（x）≥eVm（x；α）≥ Jm（x；(R)α，α）≥Dm（x），这样的最佳响应值总是很明确的。平衡支付满足：Vim（x）=eVim（x；αj，*), 我∈ {1，2}，j 6=i.（10）3构造平衡我们现在关注一类特殊的策略，它是平稳的，是阈值类型，并允许我们显式构造MNE。为此，需要两个关键属性。首先，必须证明这类策略在最佳反应图（9）下是封闭的。其次，需要使用平均定理来证明（10）的最终固定点（通过方程系统定义）确实是游戏的一个MNE。该计划从第3.1节开始，我们定义了阈值型策略，然后描述了对此类策略的最佳响应，作为耦合最优停止问题系统的解决方案。接下来，在第3.3节中，我们陈述了验证定理，该定理为平衡阈值向量s1提供了一个非线性方程组，*, s2，*. 最后，在第3.4节中，我们研究了新兴的平衡宏观状态M*.3.1平稳和阈值型策略【8，第3章】中定义的时间平稳马尔可夫策略，也称为反馈完美状态（FPS），仅取决于当前的XT和Mη（t）。根据[1]中类似结构的id ea，我们定义了参与者i的结构∈ {1，2}通过αi：=Γimm级∈M、其中，Γim\'s是D的固定子集。

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2022-6-10 06:40:19

给定一个策略文件（α，α），一系列开关被唯一确定如下：-当en Mt=m时，玩家i采用（反馈）开关区域Γim：玩家i在第一次命中时间τimof（Xt）到Γim（假设空集的命中时间为∞);— 如果两个玩家都想切换，则玩家1具有优先权。定义2.3中战略文件（α，α）的可接受性现在降低到-Γm=Γm= （公吨∈ M） -ΓM∩Γm+1= 对于m<m和dΓm-1.∩Γm= 对于m>m。这排除了simu ltaneousswitching循环；例如，如果有一个x∈ Γm∩Γm+1当在区域m中启动时，我们会让P1切换到m+1，但P2会立即切换回m，从而生成一个有限的瞬时切换序列。根据由此产生的阈值型策略的马尔可夫结构，我们重新审视了正式的博弈演化，现在可以使用独立的辅助副本X（n），n=1，在下面的强马尔可夫X中，XX表示在X=X时开始的X过程。让X∈ D、 m级∈ M、和战略文件（α，α）∈ A、为n设置σ=0、X=X和▄M=M≥ 0，定义X（n）t=Xxσn+t，对于t≥ 0，（11a）～τi，n=inf{s≥ 0：￠X（n）s∈ ΓiMn}，i∈ {1，2}，（11b）σn+1=σn+τ1，n∧ τ2，n，（11c）Pn+1=1·1{τ1，n<τ2，n}+2·1{τ1，n>τ2，n}+Hn+1{τ1，n=～τ2，n}，（11d）Mn+1=～Mn+1·1{Pn+1=1}- 1·1{Pn+1=2}。（11e）然后是（Mt）的演变和每个玩家的切换时间序列（σik）k≥1按照（4）和（5）中的规定重新获得。X的强马尔可夫性质意味着每个▄X（n）可以被视为X的一个新的（独立的）拷贝，从▄X（n）=Xxσn开始。

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2022-6-10 06:40:22

因此，根据这些球员的策略，这对搭档（Xt，Mt）是马尔可夫的。回想一下，玩家1喜欢高XT和大Mt，而玩家2喜欢相反的结果；因此，很自然地假设，当X变得足够高时，P1向上切换，当X变得足够低时，p2向下切换。定义3.1。（Thre shold类型策略）让si：=（sim）m∈Mbe一个向量，用于刻画游戏者i的切换区域Γimo的D子集∈ {1，2}根据Γm≡ Γm（s）：=[sm，d），和Γm≡ Γm（s）：=（d，sm）。（12）与（Γim）m相关的策略∈阈值类型的错误调用，由si表示。在图1中，我们根据与我们的一个案例研究相关的阈值型策略勾勒出了正在出现的均衡。每当进程（Xt）到达th ethreshold s1时，玩家会进行切换，*mfrom低于或s2，*m在m阶段时，从上面看，请参见底部图中的虚线。切换时间σi通过各自的命中时间来描述。顶部p和el显示生成的宏观阶段（M*t）由σik沿当地市场波动（Xt）的一条已实现轨迹驱动。这些球员一开始“实力相当”，M*= 0; 当（Xt）下降时，它首先进入玩家2的切换区域（τ（1）<τ（1）），引导她进行切换并改变M*σ= -然后，玩家递归地等待（Xt）达到阈值s1，*-1或2，*-1(τ(2) ∧ τ（2）），以进行进一步的切换。请注意，在上述定义中，我们要求Γim连接，以便它们通过其边界sim来进一步表征。反过来，阈值型策略允许从查看由GeneralΓim定义的非结构化（在优化意义上）切换策略转移到搜索由| M |向量s，s参数化的平衡。特别是，这将MNE的搜索减少到2 | M |维设置，从而可以进行数值解析。

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2022-6-10 06:40:25

为了实现这一目标，本节的主要目的是建设性地找到这种阈值平衡。备注2。（边界阶段）回想一下，定义2.3隐含层1（分别为玩家2）中定义的可接受策略无法在阶段（尤其是m阶段）进行任何切换。就阈值型策略而言，这相当于简单地将sm=d和sm=d视为对可能的容许控制的约束。给定阈值型策略αj≡ 对于参与者j，我们期望参与者i的最佳响应策略始终是阈值类型（见推论3.5）。动态编程原理（DPP）意味着（9）中定义的相应值函数eVi（·；sj）可以解决耦合停车问题（见[4]）。即让τm：=τm∧ τm（带τjm-2.-1012阶段0 5 10 15 20 25 30-4.-2024tStateFigure 1:X和平衡M的轨迹*从X=0开始，M*= 这里是Ornstein-Uhlenbeck过程，M={-2.-1, 0, 1, 2}. 均衡策略为门限型；底图中的虚线表示相应的switchingthresholds sim。因此，切换次数σn等于上述的命中次数。根据sj），我们预计EVIM（x；sj）=supτim∈TEx“Zτme-rtπim（Xt）dt+e-rτm{τm>τm}埃维姆-1（Xτm；sj）- 1{i=2}Kim（Xτm）+ e-rτm{τm<τm}eVim+1（Xτm；sj）- 1{i=1}Kim（Xτm）+ e-rτm{τm=τm}eVim+1（Xτim；sj）- 1{i=1}Kim（Xτim）#, （13）对于i∈ {1，2}，j 6=i，x个∈ D和所有m∈ M、 T以上表示所有F停止时间，但预计最佳值τimis与阈值sim相关。我们使用速记符号Ex[·]：=E[·| X=X]，下标ineVimto表示M=M上的条件。直觉上，在M区域，玩家i实施计时策略以在τim处行使控制权，实现这两个停止时间会产生一个“领导者”，首先行动，然后切换MτM。

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2022-6-10 06:40:28

注意，在{τ=τ}的情况下，播放器1具有切换的优先级。为了接近耦合系统（13），我们首先考虑相应的通用局部约束最优停止问题（该问题通过remov Ingeim解耦（13-1，eVim+1来自右侧），然后是以对sj的最佳响应为特征的博弈均衡，*. 有关无约束最优切换问题的相关分析，请参见[4]。3.2构建块为了找到参与者i的最佳响应，我们考虑了一个局部最优停止问题f形式vi（x；τj）=supτi∈TExh{τi<τj}e-rτihi（Xτi）+1{τi>τj}e-rτjli（Xτj）+1{τi=τj}e-rτigi（Xτi）i，（14）其中τjis是给定的停止时间，hi（·）是在τj之前切换的领先者支付，li（·）是在τj之后切换的跟随者支付。gi（·）表示两个玩家想要同时切换时，玩家i的支付。在OUR设置中，g=h，而g=L取决于播放器1的优先级。为了获得阈值类型的平衡，我们期望优化器（14），？τito为阈值类型，给定τjis为thr-eshold类型。然而，正如在[2]中详细讨论的那样，这并不总是正确的。如果玩家j表现得咄咄逼人，则玩家i会试图抢先一步，导致缺乏最佳τi假设3.2。（i）阈值类型的外部停止时间τjis，τj：=inf{t≥ 0:Xt∈ Γj}，j∈ {1，2}，其中Γ：=[s，d）和Γ：=（d，s）]。（ii）附录A中定义了两个函数类，即h∈ Hincand h∈ Hdec。（iii）球员i没有动机在sj抢先，即hi（sj）<li（sj）。在上述假设下，已知（14）的解是阈值型的。具体而言，这可以使用最小凹主方法建立，参见例如[2,14,15]。让我们注意到，假设3.2（iii）对于这一结果至关重要，并且很难在续集中验证。

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2022-6-10 06:40:31

尽管如此，如果假设3.2的其余部分已完成，则存在先发制人的最佳响应，请参见【2】。提案3.3。假设假设3.2的所有条件都满足。让F，G为（L）的解- r） u=0，其中L是X的最小值。SetW（X，X）：=F′（X）G（X）- F（x）G′（x）（15）W（x，x）：=F（x）G（x）- F（x）G（x）。（16）然后（14）的值函数被接受为asevi（x；τj）=hi（x），对于x∈ Γi，li（x），对于x∈ Γj，eωiF（x）+eνiG（x），对于x∈ D\\Γi∪ Γj,其中，最佳停止区域Γi=Γ（Γsi）为阈值类型，并通过阈值Γsi：=Γsi（sj）（其中Γs>砂Γs<s）唯一定义，以满足eshi（Γsi）W（Γsi，sj）- li（sj）W（▄si，▄si）- （hi）′（~si）W（~si，sj）=0。（17）系数eωi：=eωi（～si，sj）和eνi：=eνi（～si，sj）定义为ωi=高（～si）G（sj）- li（sj）G（～si）W（～si，sj），eνi=li（sj）F（～si）- 高（▄si）F（sj）W（▄si，sj）。（18）备注3。上述命题包含了只有一个玩家能够行动的情况。在这种情况下，我们可以简单地取s=d或s=d，然后，作为（14）的特例，播放器i有效地解决了标准最优停止问题。参见【2，Sec4.1】中的相关讨论。这些情况出现在与（13）相关的边界级m、m中。3.3最佳响应验证理论通过在定义2.5中构建跨国公司，与均衡相关的博弈支付和阈值型策略必然解决（13）中所述的局部优化问题。此外，它们必然是每个模式m中以下一对优化问题的固定点：Vm（x）=supτm∈TEx“Zτme-rtπm（Xt）dt+e-rτm{τm>τ2，*m}虚拟机-1（Xτ2，*m）+e-rτm{τm≤τ2,*m}Vm+1（Xτm）- Km（Xτm）#,Vm（x）=supτm∈TEx“Zτme-rtπm（Xt）dt+e-rτm{τ1，*m> τm}虚拟机-1（Xτm）- Km（Xτm）+e-rτm{τ1，*m级≤τm}Vm+1（Xτ1，*m）#,（19）式中，τ1，*m、 τ2，*记录与阈值s1相关的停止时间，*m、 s2，*m。

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2022-6-10 06:40:34

与（14）中的一般问题进行比较，并减去Dim（x）=ExR∞e-rtπim（Xs）dt, 然后我们希望设置（hm（x）：=Vm+1（x）- Dm（x）- Km（x），lm（x）：=Vm-1（x）- Dm（x），（hm（x）：=Vm-1（x）- Dm（x）- Km（x），lm（x）：=Vm+1（x）- Dm（x）。（20）将上述公式插入（17）和（18）中，对所有m进行组合，我们得到了sim中的耦合非线性系统ωim，νim，其解有望成为交换博弈的MNE。Wenow提出了一个验证定理，证实了事实确实如此。我们在附录B中的证明遵循了[1]中的方法，这些方法考虑了具有imp-ulsecontrols的非零和对策。定理3.4（验证定理）。让Γ1，*m： =[s1，*m、 d），Γ2，*m： =（d，s2，*m] ，s1，*m> s2，*mandωm≥ 0，ωm≤ 0，νm≤ 0，νm≥ 0、定义（x）=Vm+1（x）- Km（x），对于x∈ Γ1,*m、虚拟机-1（x），对于x∈ Γ2,*m、 Dm（x）+ωmF（x）+νmG（x），对于x∈ D\\Γ1,*m级∪ Γ2,*m级,（21a）Vm（x）=Vm+1（x），对于x∈ Γ1,*m、虚拟机-1（x）- Km（x），对于x∈ Γ2,*m、 Dm（x）+ωmF（x）+νmG（x），对于x∈ D\\Γ1,*m级∪ Γ2,*m级.（21b）假设（参见假设3.2）–Dm+1-Dm公司-公里数∈ HINCF对于m<m和Dm-1.- Dm公司- 公里数∈ HDEC对于m>m；–虚拟机-1（s2，*) ≥ Vm+1（s2，*m）- Km（s2，*m），对于m>m和Vm+1（s1，*) ≥ 虚拟机-1（s1，*m）-公里（s1，*m），对于m<m；–阈值si，*指令系数ωim，νim，i∈ {1，2}，m∈ M满足（44）-（45）中所述的非线性要求系统。然后s1，*, s2，*:=Γ1,*m、 Γ2，*m级m级∈Mis是一个马尔可夫-纳什均衡，而（21）中的Vi是相应的均衡收益。我们稍微滥用（21）中的符号，因为Vm+1和Vm+1不存在。然而，自s1事件以来，*m=d和s2，*m=d，因此Γ1，*m=Γ2，*m=, （44）-（45）中的各个方程确实定义得很好。可以重复定理3.4的证明，以获得与（13）中定义的任何阈值类型竞争策略sj：推论3.5的最佳响应值函数im（x；sj）相对应的方程组的一个近似验证理论。

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2022-6-10 06:40:37

让sbe将P2和V·（·；s）的固定切换阈值构造为asin（21a）。假设-Dm+1-Dm公司-公里数∈ HINCF对于m<m-eVm公司-1（sm；s）≥eVm+1（sm；s）- Km（sm），对于m>m；-（▄s，s，▄ω，▄ν）是（44a）&（45a）的解。然后▄s≡s（s）是最佳响应阈值，而vm（x）是P1的相应最佳响应值函数。定理3.4提供了一种通过求解通过ωiandνi定义的阈值向量和均衡支付的方程组来找到切换博弈MNE的直接方法。不幸的是，因为这是一个大型方程组s（即有6 | M-1 |方程），后者甚至在数值上都是非平凡的。特别是，大多数标准的根查找算法需要合理的初始猜测。根据我们的经验，提供这样的猜测并不容易，因此高维优化算法经常不收敛。因此，在第4节中，我们提出了两种方法来获得接近均衡的阈值向量和博弈支付。备注4。在更一般的情况下，允许玩家以多种方式对MTS进行操作。因此，对于每个模式m，都有一个关联的动作集Cim 这决定了我可以将M转换为的潜在新体制。这一代实现了上面的表示，其中Cm={m+1}和Cm={m- 1} 都是单身。类似地，可以考虑其他过渡图（例如，玩家1通过直接“重置”到基线regimem，Cm={m}表示allm）。当CIM有多个元素时，相应的玩家必须选择如何切换，而不仅仅是何时切换。在后一种情况下，我们需要指定各自的转换成本，即考虑ki（m，m′），它定义了从m转换到m′的成本。

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2022-6-10 06:40:40

这种扩展可以通过将（20）中的引线payoff替换为hm（x）=maxm′来处理∈厘米[Vm′（x）-Dm（x）-K（x，m，m′）和跟随者lm（x）=Vm′（x）- Dm（x），其中m′=arg max{m′\'∈ Cm:Vm′（sm）-Dm公司-K（sm，m，m′）}。上述最大项类似于脉冲控制中的干预运算符。3.4均衡宏观动态宏观市场演变*在平衡点m中出现的是一个具有离散状态空间m的时间非齐次非马尔可夫过程。由于阈值型策略的静态性质，m的行为*非常容易处理，是本小节的主题。回想一下，在（11e）中，我们定义了政权M的序列*横向，即▄M*n≡ M*σn.根据（11e），M*nhas内存：M的下一个过渡*受上次过渡的影响。例如，如果▄M*n=+1，前一个区域为M*n-1=+2，这意味着最新的切换是由于玩家2，因此我们开始在区域+1中的s2位置逗留，*+2，即￠X（n）=Xxσn=s2，*+2，而如果之前的状态为▄M*n-1=0然后是玩家1最后切换，我们在s1开始逗留，*, i、 e.～X（n）=Xxσn=s1，*.为了捕获这一1步内存，我们定义了扩展状态的速度：={m-, （m+1）-, （m+1）+，···，m-, m+，···，（m- 1)-, （m）-1） +，m++∪ {ma，ma}，（22），其中上标“+”对应于玩家1所做的上一次转换（“M中的上移”）和“-” 对应于玩家2“向下移动M”。我们讨论了最后两个州ma，mabelow。而不是M*twe现在定义了其扩展的跳转链，该跳转链以E和E表示（~M*n-1，米*n）。请注意，ˇMis undefined，因为我们需要知道之前的转换到了解ˇM的状态。让我们使用图1来解释ˇM的行为。宏观市场从X=0和M开始*= 0，而ˇM*当（Xt）点击s2时开始，*带ˇM*= (-1)-.

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2022-6-10 06:40:43

第一次逗留从s2开始，*当（Xt）到达s2时结束，*-1，将我们引向*= (-2)-, 还有索福思。我们继续计算M的定性行为*viaˇMn。在X反复出现的情况下，阈值策略的性质意味着M*也会有周期性的动力。为了量化动态宏观平衡，我们计算了M的长期分布*关于M。后者通过71m的跃迁概率进行总结*和逗留时间ξmofˇM*n、当X为瞬态时，M*也应该是暂时的。具体地说，我们应该考虑以下情况：τ1，n∧τ2，n=+∞ （参见（11c）），这样就不会再发生开关，并且M*始终保持不变或“吸收”。在假设X是连续且规则的情况下，这种现象只能发生在M的边界状态，因此一个玩家先验地被限制切换。这会产生一个单侧开关区域，因此有可能出现以下情况：*t型≡m（或m），对于以m为条件的所有t*=m、也就是说，从sm开始，X从不击中sm-1（或sm从sm+1开始）。注意，给定Xt=x，M*t=m（回想一下这对（Xt，m*t）无法确定M*是否被吸收。这是通过禁忌概率来处理的【12，Ch.禁忌概率】，当从（m- 1） ±，通过抛出一个硬币来确定新的状态是“M ism+”还是“ma”，可以捕捉到潜在的吸收。回到递归X的情况，让∏表示71m的不变分布*, 从∏P＝∏求解，其中P是转移概率m矩阵*. 此外，设~ξbeth为每种状态下预计逗留时间的向量，定义为ξM-:= Eτ1，n∧ τ2，n | y M*n=m-, ξm+：=Eτ1，n∧ τ2，n | y M*n=m+, （23）其中（11b）中定义了阈值命中时间τi。

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2022-6-10 06:40:46

因此，M*在制度m上的支出（回想一下，m*t=m被m捕获*η（t）=m±）由以下公式得出：ρm=∏m+ξm+∏m-ξm-Pj公司∈M{∏j+ξj+∏j-ξj-}, 对于所有m∈ M、（24）现在让我们考虑er X是非周期性的，因此一个或两个边界制度区域吸收，例如w.l.o.gm+。从长远来看，我们的限制很小→∞M*t=M在这种情况下，感兴趣的数量是球员i在M之前进行的预期控制数量*被吸收，即Nim（x）：=limT→∞前任Xk{σik≤T}M*= m级, 我∈ {1，2}，（25）和预期吸收时间，Tm（x）：=Exhmint型≥ 0:1米*η（t）∈ {ma，ma}M*= 惯性矩。（26）附录D中给出了这些量的分析评估，该附录还提供了M的转移矩阵P的表达式*逗留时间~ξ。还讨论了特定于OU示例2.1和GBM示例2.2过程的计算。3.5 Stackelberg切换器我们强调，切换器的顺序从来都不是预先确定的，因此，切换器的身份Pn是基于博弈进化和（Xt）的实现内生解决的。切换游戏的一种变体是预先指定进行下一次切换的玩家的身份，但不指定其时间，类似于斯塔克伯格均衡，即领导者和追随者角色固定，但时间策略保持不变。如果我们限制机器翻译，后一种情况也会有机地发生∈ {-1，+1}这意味着玩家将在他们的动作中交替：。。。≤ σk≤ σk≤ σk+1≤ σk+1≤ ... 事实上，在任何给定的阶段，只有一个企业可以控制（Mt），因此不需要考虑同时竞争（见[6]）。在这种情况下，考虑一个固定阈值类型的平衡是有指导意义的，这就引出了两个阈值s1的特征，*-1和2，*+1.

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nandehutu2022

2022-6-10 06:40:48

此外，如果他们的利润率和转换成本取决于当地市场环境（Xt），对称性约为0，（Xt）是一个对称性约为0的过程（如OU过程），我们可以寻求与s1的对称平衡，*-1= -s2，*+1=：s和V.（x）=V(-x）对于任何x∈ D、反过来，这将有助于发现MNE，从而在s中求解一个非线性方程，从而对相应的结构提供一些见解。检查定理3.4，对于参与者1，方程组简化为V-1（x）=（V+1（x）- K-1（x），x≥ ˇs，D-1（x）+ω-1F（x），x<ˇs，V+1（x）=（D+1（x）+ν+1G（x），x>-ˇs，V-1（x），x≤ -ˇs，其中ˇs，ω-1，ν+1满足以下系统（与（45）相比）V+1- D-1.-K-1.（s）·F′（s）-V+1- D-1.- K-1.′（s）·F（s）=0，（27a）V+1- D-1.-K-1.（秒）- ω-1F（ˇs）=0，（27b）五、-1.- D+1(-ˇs）- ν+1G(-ˇs）=0。（27c）注意，最后两个等式指定ω-1，ν+1表示V±1（±ˇs）。现在我们可以知道这个系统至少支持一种解决方案。推论3.6。假设利润率和转换成本是连续的，并且依赖于当地市场环境（Xt），对称性约为0，（Xt）是一个对称性约为0的过程。那么，对于m={-1, +1}.证据参见附录E.4 MNE的序贯方法为了近似定理3.4中提出的非线性方程s（44）-（45）系统，我们提供了两种序贯方法。第一种方法是通过保持型策略之间的最佳响应迭代，而另一种方法是在有限切换策略中引入平衡。结果的阈值向量可以用作根查找算法中的初始猜测。4.1通过最佳响应迭代构建MNE考虑到竞争对手的策略，确定一个参与者的最佳响应类似于[4，10]中研究的单代理最优切换问题。

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2022-6-10 06:40:51

让我们假设Player2实现了定义3.1中的阈值类型策略sas。然后，预计Player1的最佳响应通过（13）来表征，这是一个耦合的最优停止问题系统。然后，我们将该系统解耦，尤其是应用命题3.3，一旦领导者/追随者的薪酬得到充分规定，该命题将为玩家1提供最佳的响应阈值和游戏薪酬。为此，我们考虑了辅助问题，其中玩家1可以使用的动作/切换数量是有限的。也就是说，玩家1最多只能使用N(≥ 1）控件。她的相应策略集定义为1，（N）：=（α，s）∈ A：τ（n）=+∞, n>η（1，n）, （28）式中，τ（n）是在游戏的第n“轮”停止规则玩家1，而（5）中定义的η（1，n）表示玩家1执行其第n次切换的轮。请注意，现在允许停止设置明确取决于剩余的控制数量（相当于已使用的开关数量加上初始约束）。然后，有Ncontrols的玩家1的最佳响应为aseV1，（N）m（x；s）：=supα1，（N）∈A1，（N）Jm（x；α1，（N），s），x个∈ D、（29）对于所有m∈ M、当玩家1没有控制权N=0时，其在任何阶段M的支付都由s完全决定，例如在状态M+1eV1，（0）M+1（x；s）=Ex“ZτM+1e-rtπm+1（Xt）dt#+Exhe-rτm+1i·Dm（sm+1），（30），其中最后一项是（7）中定义的固定市场状态现金流的NPV。提案4.1。给定玩家j的阈值类型策略SJ，具有有限控件的玩家i的最佳响应GamePayoff收敛为Ni→ ∞, 即x个∈ D、 eVi，（Ni）m（x；sj）eVim（x；sj），对于所有m∈ M为Ni∞.命题4.1的证明受[4]启发，并在附录C中说明。

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mingdashike22

2022-6-10 06:40:54

此外，X的stron-gMarkov性质和动态规划原理（DPP）意味着ev1，（N）m（X；s）=supτ（1）∈TEx“Zτme-rtπm（Xt）dt+e-rτm{τ（1）>τm}·eV1，（N）m-1（Xτm；s）+e-rτm{τ（1）≤τm}eV1，（N-1） m+1（Xτ（1）；s）- Km（Xτ（1））#,（31）对于所有m∈ Mx个∈ D、 τm第一次击中时间Γm=（D，sm），并且τ（1）依赖于为简洁起见指定的参数。我们参考了[4，10]，他们证明了民进党在这个问题上是站得住脚的，[2]他们分析了有限的控制阻止游戏。请注意，博弈支付（30）可以被视为实施反向动态规划方案的起点，以解决（31）中引入的有限控制最优停止问题。假设EV1，（N）m-1（·；sj）和V1，（N）-1）确定m+1（·；sj），假设3.2成立。我们表示eV1，N（x；τm）：=eV1，（N）m（x；sj）- Dm（x），h1，N（x）：=eV1，（N-1） m+1（x；sj）- Dm（x）- Km（x），l1，N（x）：=eV1，（N）m-1（x；sj）- Dm（x）并将命题3.3应用于领导者/追随者payoff s h1、N、l1，以获得最佳响应game payoff eV1、（N）m（x；s），其中ich由eω1、（N）m、eν1、（N）m、~s1、（N）m进行参数化。多亏了命题4.1，我们知道v1、（N）m（x；s）收敛，因此期望s1、（N）m→ Sm将收敛，以及N→ ∞. 因此，对于Nlarge，我们可以使用▄s1，（N）定义一个时间平稳策略，该策略是最佳响应的代表。在上述收敛结果的基础上，我们提出以下算法来确定阈值型马尔可夫纳什均衡。本质上，我们采用t^atonnementapproach，交替寻找两个参与者的最佳响应策略，期望收敛到相关的最佳响应固定点。这些交替的最佳响应通过“轮数”a=1、2、…、，A.

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mingdashike22

2022-6-10 06:40:57

在奇数轮中，玩家1求解以获得最佳响应（i=1，j=2）；在偶数回合中，玩家2解决了她的最佳反应（i=2，j=1）：①: 将参与者j的策略设置为阈值类型sj，a：–对于a=1，将s2,1a设置为P2的垄断阈值，即当P1不允许切换时（N=0情况）。然后，可以通过解决单个代理的最优切换问题来获得阈值s2,1对于>1集sj，a=esj，a-1.②: 为所有m求解前i、a和值函数vi、（N）m（·；sj、a）∈ M： –当玩家i最多允许n个开关，且玩家j应用sj时，根据命题3.3，解决最佳停止问题，迭代n=1，N、 –RecordeVi，（N）m（·）和近似最佳响应s trategyesi，a（sj，a-1) si，（N）③: 更改i和j的角色（交替哪个玩家解决f或最佳响应）④: 重复步骤① - ③ 当a=1时，直到| esi，（N），a的最大变化-esi，（N），a-2 |，i∈ {1，2}都小于预定公差水平T ol（或周围的模拟）。图2在我们的一个案例研究中说明了最佳反应归纳法。在每一次循环中，我们都会反复寻找最佳响应，假设玩家i最多有Niswitch。在奇数轮中，a=1，3。玩家2执行固定策略s2，A，其游戏值（灰色“+”）随着玩家1的控件数量N=1而减少，30增加。相反，在偶数迭代中，玩家2的游戏值v2，（N）mconverge向上为0 5 10 15 20 25 303234383840玩家2的游戏值（a）游戏值的近似值-2.-1 0 1 2 312345s2s1（b）阈值近似图2：通过M={-1, 0, +1}. 正方形表示轮数a=1，3。玩家的2个策略已确定。三角形表示偶数圆a=2，4。玩家的1策略已确定。

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2022-6-10 06:41:00

（左）：玩家2的游戏值，M=0，X=0，根据▄V2，N（X；s1，a），N=1，2，30（右）：阈值si、aas是在m=0和N=30时a的函数。放大的正方形表示第一轮a=1，放大的三角形表示最后一轮a=30，这似乎接近一个固定点。N=1，30、右侧面板上显示相应的阈值si、amare sh。我们观察到，博弈值和阈值在Ni上经过30次Inner迭代后收敛，overA=30次外部连接回合（总共30×30×2个通过命题3.3解决的最优停止问题）。特别是，我们可以将si，（N），Amas作为最佳响应定点的近似值，从而得出si的等式，*m、 4.2通过均衡诱导构建MNE构建切换博弈的（近似）阈值型MNE的另一种方法是在有限的时间控制范围内进行限制。这链接到作者的早期作品中[2]。假设两个参与者都被限制为具有各自边界的、非总允许开关数的有限控制策略。具体而言，我们考虑αi（n，n）形式的策略：=Γi，（k，k）mk≤n、 k级≤纳米∈M、含Γi，（0，kj）M≡ , （32）其中ki≤ nidenotes玩家i剩余的控制数量，并将此游戏的各个阶段指数为（Mt，Nt，Nt）：={宏观市场机制，#P1剩余的控制，#P2剩余的控制}，Mt∈ M、 Nitis是N上的一个非递增分段常数过程，Ni=kifori∈ {1, 2}. 这种类型的双寡头博弈由[2]研究，他们通过反向动态规划确定每个博弈阶段的局部均衡，并修补它们以构造一个全局均衡。在子阶段（m、k、k），局部均衡被描述为基于命题3.3的这些参与者最佳反应的固定点。

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2022-6-10 06:41:03

再次以玩家1为例，她的领导者和追随者的报酬与她在相邻阶段的均衡博弈报酬相关，这在实施反向动态规划时是已知的：（h1，（k，k）m（x）：=V1，（k-1，k）m+1（x）- Dm（x）- Km（x），l1，（k，k）m（x）：=V1，（k，k-1） m级-1（x）- Dm（x），（33）及其平衡策略（τ1，（k，k），*m、 τ2，（k，k），*m）游戏支付解决了一对最优停止问题：V1，（k，k）m（x）- Dm（x）=supτ1，（k，k）m∈特克斯{τ1，（k，k）m<τ2，（k，k），*m} ·h1，（k，k）m（Xτ1，（k，k）m）+1{τ1，（k，k）m>τ2，（k，k），*m} ·l1，（k，k）m（Xτ2，（k，k），*m）,V2，（k，k）m（x）- Dm（x）=supτ2，（k，k）m∈特克斯{τ1，（k，k），*m<τ2，（k，k）m}·l2，（k，k）m（Xτ1，（k，k），*m） +1{τ1，（k，k），*m> τ2，（k，k）m}·h2，（k，k）m（Xτ2，（k，k）m）.（34）图3：说明第4.2节局部时间平衡归纳的示意图，从(-1，0，0）和m=-2和m=+2，这导致-2= -1.-1=0, . . . , +2=3英寸（35）。该图说明了可达到阶段（m，k，k）相对于（m，0，0），并使用“正向”动态规划方案。蓝色圆圈表示对应于最优停止问题的单代理优化子阶段，而红色圆圈表示根据（34）确定局部定时平衡的内部阶段。边界水位是指k=0或k=0或m的水位∈ {m，m}。无法从访问阶段(-1、0、0）省略。注意，可以排除同时切换，因为在事件{τi，（k，k）m=τj，（k，k），*m} ，由玩家1阻止严格由首先等待，然后作为跟随者进行最佳切换的策略控制。在文献[2]中，我们证明了在Di和Ki的某些正则条件下存在局部平衡，但不能保证唯一性。

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2022-6-10 06:41:06

此外，这种局部均衡并不总是阈值型的，因为可能会出现先发制人的均衡。在图3-4（b）所示的示例中，我们实施了一个正向方案，以生成从子阶段开始的平衡序列（m，k，k）=(-1，0，0），其中支付金额为（0，0）-1（x）=Di-1（x）。有了这个kn，我们可以求解（0，0，1）和（2）阶段的局部平衡(-2，1，0）利用（33）。通过迭代，我们找到图中所示的所有三元组（m，k，k）的局部平衡（自始至终，我们得出结论，局部平衡在任何子阶段（m，k，k）都是阈值类型）。这些tr iPlet可以表示为k=k+m、其中辅助参数在区域m处，管理层可用交换机数量之间的差异。例如-在图3中，1=0，因此，无论何时，当玩家处于状态Mt=-1，参见子阶段(- 1, 1, 1), (-1, 2, 2), . . . . 无法从中访问的子级（m、k、k）(-1，0，0），在这种情况下，我们不需要考虑特殊的局部平衡。使用终端游戏阶段(-1、0、0）并继续到k≤ N、上述转发方案迭代产生一系列平衡阈值si，（N，N+m） mand对策系数（ωi，（n，n+m） m，νi，（n，n+m））。产生的游戏报酬如图4（a）所示。如上所述，参数最小影响图3中的所有平衡。例如，在所提出的方案中，游戏最终将以Mt=-1对于足够大的t。然而，随着N的增加，我们预计这种影响会消失，因此限制与m：si，（n，n）+m） mωi，（n，n+m） mνi，（n，n+m）同n∞------→硅，*mωi，*mνi，*m级, 我∈ {1，2}，m∈ M、（35）在图4中可以观察到这种收敛，其中基本对称性意味着V1，（n，n+1）（0）=V2，（n+1，n）（0）。因此，我们可以对图中的顶部曲线进行解释。

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