无NFLVR的对数最优投资组合：存在，完整

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收藏 2022-06-10

英文标题：
《Log-optimal portfolio without NFLVR: existence, complete
characterization, and duality》
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作者：
Tahir Choulli and Sina Yansori
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
This paper addresses the log-optimal portfolio for a general semimartingale model. The most advanced literature on the topic elaborates existence and characterization of this portfolio under no-free-lunch-with-vanishing-risk assumption (NFLVR). There are many financial models violating NFLVR, while admitting the log-optimal portfolio on the one hand. On the other hand, for financial markets under progressively enlargement of filtration, NFLVR remains completely an open issue, and hence the literature can be applied to these models. Herein, we provide a complete characterization of log-optimal portfolio and its associated optimal deflator, necessary and sufficient conditions for their existence, and we elaborate their duality as well without NFLVR.
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中文摘要：
本文讨论了一般半鞅模型的对数最优投资组合。关于这一主题的最先进文献阐述了在无免费午餐和消失风险假设（NFLVR）下该投资组合的存在和特征。一方面，有许多金融模型违反NFLVR，同时承认对数最优投资组合。另一方面，对于过滤不断扩大的金融市场而言，非金融衍生工具收益率仍然是一个完全悬而未决的问题，因此文献可以应用于这些模型。在此，我们提供了对数最优投资组合及其相关的最优平减指数的完整特征，它们存在的充要条件，并阐述了它们在无NFLVR的情况下的对偶性。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Mathematical Finance 数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Portfolio Management 项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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mingdashike22

2022-6-10 07:14:53

无NFLVR的对数最优投资组合：存在性、完全特征化和对偶性*Tahir Choulli和Sina YansoriDepartment of Mathematic and Statistical Sciences，University of Alberta，Edmonton，Canada 2018年7月18日摘要本文讨论了一般半鞅模型的对数最优投资组合。关于这一主题的最先进文献阐述了在无免费午餐和消失风险假设（NFLVR）情况下该投资组合的存在和特征。有许多金融模型违反了NFLVR，同时一方面承认对数最优投资组合。另一方面，对于金融市场而言，在金融规模不断扩大的情况下，NFLVR仍然是一个悬而未决的问题，因此文献可以应用于这些模型。在此，我们提供了对数最优投资组合及其相关最优定义的完整特征，以及它们存在的必要条件和充分条件，并在没有NFLVR的情况下证明了它们的对偶性。1简介自默顿的开创性论文【26，27】以来，效用最大化和最优组合理论已在多个方向和不同的框架中成功发展。这些成就可以在[20，21，9，19]中找到，其中引用的文献很少。除了马科维茨的投资组合外，由于对数效用的优良性质，对数最优投资组合自一段时间以来引起了极大的关注。这导致了大量关于这一主题的文献出现了不同程度的概括性。本文献的最高级部分，在无风险午餐消失风险假设（NFLVR h er efater）的假设下，为一般半鞅市场模型的这种最优投资组合提供了明确的特征，见[8，13，14]，其中引用的参考文献很少。

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kedemingshi

2022-6-10 07:14:56

然而，有许多金融模型违反了NFLVR，尽管它们可能承认对数最优投资组合，见[6、22、24]，因此这些模型以某种方式断言，NFLVR可能太强，金融市场模型“不可接受和有价值”。对于逐步扩大过滤的市场模型，包括信贷风险和人寿保险这两个重要设置，NFLVR仍然是一个开放的问题，因此现有文献一方面不适用于这些模型。另一方面，对于后一类市场模型，无无界利润和有界风险受到了充分关注，因为这是市场模型在财务和数量上“可接受”且可行的最低无套利条件，请参见[1，2]及其参考文献。此外，最近有人有兴趣在没有NFLVR的情况下扩展最优投资组合和效用最大化的现有结果，参见[5]。*本研究由加拿大自然科学和工程研究委员会通过Grantres0020459资助。本论文包括多个章节，包括当前章节。第2节介绍了我们使用的数学模型和符号，并提供了其初步分析。第3节阐述了本文的主要结果并讨论了其与文献的关系，而第4节证明了主要定理。本文包含一个附录，其中对一些证明进行了降级，并给出了一些有用的现有结果。2数学模型、符号和初步研究在本文中，我们考虑了一个过滤概率空间(Ohm, F、 H：=（Ht）t≥满足右连续性和完全性的一般条件。

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nandehutu2022

2022-6-10 07:15:00

在此随机基础上，我们假设给定一个d维半鞅X，它表示d风险资产的贴现价格过程。在整篇论文中，集合M（Q）表示Q下所有鞅的集合，而A（Q）（分别是A+（Q））表示Q下所有可选过程的可积变差集合（分别是不增和可积）。当Q=P时，为了简单的表示，我们只需省略概率f。对于半鞅Y，我们用L（Y）表示在半鞅意义下可积的可预测过程集。对于^1∈ L（Y）中，相对于X的结果积分由Д·Y表示。对于任何局部鞅M，我们用Lloc（M）证明了集H-可预测过程Д是Y-可积的，重积分Д·M是局部鞅。如果C是一组进程，则Clocis是一组进程Y，其中存在一系列停止时间，（Tn）n≥1，每n增加到单位，Y长度增加到C≥ 1、对于E（L）的任何半马氏体，L，wedenote，Doleans-Dade（随机）指数，它是s-tochasticdi微分方程dy=Y的唯一解-dL，X=1，d由Et（L）=exp（Lt）给出-hLcit）Y0<s≤t（1+Ls）e-Ls。在下文中，我们回顾了X的可预测特征，这些特征将在结果的陈述和证明中发挥重要作用。这需要我们开始制作一些定义和符号。在…上Ohm × [0, +∞) ×Rd，我们考虑O（H）：=O（H） B（Rd），eP（H）：=P（H） B（Rd），其中B（Rd）是Rd上的Borelσ场，分别是可选和可预测的σ场。

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mingdashike22

2022-6-10 07:15:03

对于X，我们将u（dt，dx）定义的可选随机测量u关联起来：=Xu>0I{Xu6=0}δ（u，Xu）（dt，dx）。对于产品可测量的功能W≥ 0开Ohm ×R+×Rd，我们表示W u（或有时滥用符号，W（x） u）工艺（W u）t：=ZtZRd \\{0}W（u，x）u（du，dx）=X0<u≤tW（u，Xu）我{Xu6=0}。我们定义，在Ohm ×R+×Rd，测量值MPu：=P ubyMPu（W）：=ZW dMPu：=E[（W u)∞] ,（当预期明确时）。产品可测泛函W的条件期望giveneP（H），用MPu（W | eP（H））表示，是唯一的p（H）-可测泛函fw满足[（W I∑] u)∞] = Eh（fW I∑） u)∞ifor all∑∈eP（H）。为了读者的方便，我们回顾了X的正则分解（有关更多相关细节，请读者参阅[16，定理2.34，第二节2]）X=X+Xc+h (u - ν） +b·A+（x- h） u，（2.1），其中h，定义为h（x）：=xI{| x|≤1} ，是截断函数，h (u - ν）是唯一的purejump H-局部鞅，其跳跃由H给出(十）我{X6=0}。对于条目为Cij：=hXc，i，Xc，ji和ν的矩阵C，我们可以找到满足C=C·a，ν（dt，dx）=dAtFt（dx），Ft（{0}）=0，Z（| x）的版本|∧ 1）英尺（dx）≤ 这里，由于X、b和c是可预测过程的准左连续性，A是递增和连续的，Ft（dx）是可预测核，bt（ω）是ird中的向量，ct（ω）是对称的d×d矩阵，对于所有（ω，t）∈ Ohm ×R+。四元组（b、c、F、A）是X的可预测特征。有关这些可预测特征和其他相关问题的更多详细信息，请参阅[16，SectionII.2]。为了简单起见，我们将考虑我们称之为σ-特殊的模型，定义如下。定义2.1。如果存在实值和H-可预测过程，则模型（X，H）被称为σ-特殊，使得0<Д≤ 1和x^1|X | I{|X |>1}∈ A+loc（H）。

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大多数88

2022-6-10 07:15:05

（2.2）很明显，（2.2）相当于toR（| x |>1）| x | F（dx）<+∞ P A-A.e.，或toД·X为特殊半鞅（即sup0<s≤·|φXs |∈ A+loc），或等效。如果X是局部有界的，那么它是σ-特殊的。3主要结果本节阐述了本文的主要定理，并讨论了其与文献的关系。为此，我们回顾了一组可接受的投资组合和定义。在本文中，我们将Θ（X，H）表示为以下集合Θ（X，H）：=nθ∈ L（X，H）E[最大值（0，- ln（1+（θ·X）T）]<+∞o、（3.1）定义3.1。让Z是一个过程。如果Z>0，则Z i称为（X，H）的衰减因子，并且对于任何∈ L（X，H）使得十、≥ -1、在整张纸上，（X，H）的所有偏差将用D（X，H）表示。定理3.2。假设（X，H）是σ-特殊的拟左连续的，具有可预测的特征（b，c，F，A）。那么以下断言是等效的。（a）设置Dlog（X，H），由Dlog（X，H）给定：=Z∈ D（X，H）E类[- ln（ZT）]<+∞, （3.2）不为空（即Dlog（X，H）6=).（b）存在一个H-可预测的过程e^1∈ L（X，H），对于属于L（X，H）的任何一个Д，以下保持eVT+（eИtrc eД·A）T+（Z(- eхtrx1+eхtrx+ln（1+eхtrx））F（dx）·A）T< +∞, （3.3）电动汽车：=eхtr（b- c eИ）+Zeхtrx1+eхtrx- eхtrh（x）F（dx）· A、（3.4）（Д）- e^1）tr（b- c eИ）+Z(φ - eх）trx1+eхtrx- (φ - eх）trh（x）F（dx）≤ 0.（3.5）（c）存在唯一性∈ D（X，H）使得infz∈D（X，H）E[- ln（ZT）]=E[- ln（eZT）]<+∞. （3.6）（d）存在唯一θ∈ Θ（X，H）使得SUPθ∈Θ（X，H）E[ln（1+（θ·X）T）]=E[ln（1+（Eθ·X）T）]<+∞. （3.7）此外，当这些断言成立时，以下断言成立。e^1∈ L（Xc，H）∩ L（X，H），p（（1+eДtrx）-1.- 1) u ∈ A+loc（H），（3.8）eZ=E（EД·X），eZ：=E（K-eV），K：=eД·Xc+- eхtrx1+eхtrx (u - ν). （3.9）eД=eθ（1+（eθ·X）-)-1andeθ=eДe-（eД·X）P A.-a、 e。。

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kedemingshi

2022-6-10 07:15:08

（3.10）重要的是要注意，对于任何Z∈ D（X，H），我们总是有E ln+（ZT）≤ ln（2）。此外，我们可以很容易地证明以下两个断言是等价的：（a）Z∈ Dlog（X，H）（即。- ln（ZT）是可积的或等价的（ln（ZT））-是可积的，（b）{- ln（Zt），0≤ t型≤ T}，或等效{（ln（Zt））-, 0≤ t型≤ T}，是一致可积的子鞅。除此之外，对于正局部鞅Z，条件E[- ln（ZT）]<+∞ 不能保证这个Z是鞅，但它意味着K：=Z-1.-· Z是满足[sup0]的鞅≤t型≤T | Kt |]<+∞ 相反，关于后一个事实，请参见引理A.1。作为讨论的结果，我们得出结论，定理3.2通过在模型上放弃风险为零的无免费午餐条件，深入扩展了对数最优投资组合的现有文献。这个假设实际上是对[13]分析的一个总体假设。这一成就是由于我们的方法与[13]的方法有着根本的不同，而它的灵感来自于[7]的方法，有着重大的不同。这种差异在于放弃了[7]中考虑的模型（X，H）的所有假设，这保证了泛函的极小值属于其有效域的内部。我们回顾我们前面的主张，（X，H）的“σ-特殊假设”纯粹是技术性的，与这个泛函的极小值无关。总之，我们的定理在基本无假设的情况下，除了描述尽可能明确存在的最优对偶解外，还建立了性质。此外，这证明了一般情况下，该最优解可能不是局部鞅解。备注3.3。很明显，流程V已明确定义。

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nandehutu2022

2022-6-10 07:15:11

这是由于z[eИtrx1+eДtrx- e^1trh（x）]F（dx）=-Z（| x|≤1）（eхtrx）1+eхtrxF（dx）-Z（| x |>1）1+e|trxF（dx）+F（| x |>1），这是一个定义良好的积分，其值为[-∞, +∞).类似地，对于（3.5）的LHS项，对于任何ν，都可以很好地定义积分项∈ L（X，H）。的确，duetoOhm × [0, +∞) = ∪n≥0(|φ| ≤ n），适用于任何过程∈ L（X，H），足以证明积分项对于有界ν定义良好∈ L（X，H）。为此，一方面Дtrx1+eДtrx- ^1trh（x）F（dx）=-Z（| x|≤1）（Дtrx）（eДtrx）1+eДtrxF（dx）- F（| x |>1）+Z（| x |>1）Дtrx+11+e|trxF（dx）+Z（| x |>1）e|trx1+e|trxF（dx）。另一方面，由于Д是X-可积的（因为它是有界的），两个过程I{|X个|≤ 1} ·【K，Д·X】和【PI】{|X |>1}，K]具有局部可积变化，其补偿器为-Z（| x|≤1）（Дtrx）（eДtrx）1+eДtrxF（dx）·A和-Z（| x |>1）e|trx1+e|trxF（dx）·分别为。这证明积分与中的值很好地定义(-∞, +∞].4证明3.2可靠性。定理3.2。很明显，（c）==>（a）是显而易见的，因此定理的证明是redu cesto证明（a）==>（b）==> （c），（b）==>（d），（d）==>（a），只要断言（b）保持（3.8）-（3.9）中的属性也保持不变，则为d。因此，此证明的其余部分分为三个步骤。第一步证明断言（b）同时包含断言（c）和断言（d）以及断言（3.8）-（3.9）。第二步涉及（d）==>（a），而第三个s tep地址为（a）==> （b）。第1步。这里，我们假设断言（b）成立，并重点证明断言（c）和（d）以及（3.8）-（3.9）。

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可人4

2022-6-10 07:15:16

然后due到（3.3）和（1+y）ln（1+y）- y≥1.- δy1+yI{| y|≤δ} 任何δ的+δ2（1+δ）| y | I{| y |>δ}∈ （0，1）和任何y≥ -1，我们推导出δ∈ （0，1）以下参数eхtrx1+eхtrxI{| eИtrx|≤δ} F（dx）·A和zrd{0}| etrx | 1+etrxI{| etrx |>δ}F（dx）·A是可积过程，因此e∈ L（Xc，H）和P（（1+eДtrx）-1.- 1) u ∈ 由于LemmaA，A+locdue。2（见附录A）。因此，在（3.9）中定义的K是一个定义良好的局部鞅K+1=（1+eИtr）X）-1> 0. 此外，由于Yor公式和A的连续性，我们得出结论，对于任何有界的Д∈ L（X，H），E（Д·X）eZ=EД·X+[Д·X，K]+K-电动汽车.很容易检查（3.4）和（3.5）是否暗示th atД·X+[Д·X，K]是一个特殊的半鞅及其补偿器（Д·X+[Д·X，K]）p，由ev控制。这证明了过程Д·X+[Д·X，K]+K-eV是当地的超级大风。因此，E（Д·X）eZ是一个正的超鞅，而henceeZ∈ 一方面是D（X，H）。另一方面，由于I t^o，我们得出- ln（eZ）=局部鞅+eV+eДtrc eД·A+-eхtrx1+eхtrx+ln（1+eхtrx） u.通过将其与（3.3）相结合，我们可以得出∈ Dlog（X，H）。这证明了断言（a）成立。此外，由于eZ是一个正的超鞅，eZ-1是正半鞅，andeZ-I{| e||≤n} ·（eZ）-1=eДI{| eД|≤n} ·X.自LHS项起，上述等式的∈ （0，T）），我们得出∈ L（X，H）（即它在半鞅意义下是X-可积的）和（eZ）-1=E（EД·X）。因此，一方面，这结束了性质（3.8）-（3.9）的证明。

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nandehutu2022

2022-6-10 07:15:19

另一方面，我们注意到ln（E（Eν·X）T）=- ln（eZT）是一个可积随机变量，对于任何∈ L（X，H）∩ L（X，H）满足条件E ln-（E（Д·X）T）<+∞, 我们得到[ln（E（Д·X）T/E（EД·X）T）]=E[ln（E（Д·X）T）- E ln（E（EД·X）T）]≤ 因此，接下来是断言（d）和（3.10），本步骤的其余部分将证明断言（c）。让Z∈ Dlog（X，H），并通过应用定理B.2，我们推导出（β，f，V）的存在性，使得νtrxf（X）≥ - [f（x）- 1.- ln（f（x））]+ln（1+Дtrx），对于任何Д∈ L（X，H），VДtrb+Дtrcβ+Z^1trxf（x）- ^1trh（x）F（dx）· A、 E类[- ln（ZT）]≥ EVT+βtrcβ·AT+Z[f（x）- 1.- ln（f（x））]f（dx）·AT.然后通过将这些性质（取φ=eφ）与（3.3）-（3.4）-（3.5）相结合，以及在（3.5）下我们有eφtr（b）这一事实- c eД）+Z[eДtrx1+eДtrx- e^1trh（x）]F（dx）≥ 0，我们deriveE[- ln（eZT）]=EeVT+（eДtrc eД·A）T+(-eхtrx1+eхtrx+ln（1+（eхtrx）） u）T= EeVT公司+eДtrc eД+Z(-eхtrx1+eхtrx+ln（1+（eхtrx））F（dx）· 在= E（e^1trb-eДtrc eД）·在+Z（ln（1+eДtrx）- eхtrh（x））F（dx）·AT≤ E（e^1trb-eхtrc eх）·在+Z（eхtrxf（x）- eхtrh（x））F（dx）·AT++EZ[f（x）- 1.- ln（f（x））]f（dx）· 在≤ E- eхtrcβ-eДtrc eД+Z[f（x）- 1.- ln（f（x））]f（dx）· AT+VT≤ EVT+βtrcβ·AT+Z[f（x）- 1.- ln（f（x））]f（dx）·AT≤ E类[- ln（ZT）]。这超过了断言（c），第一步就完成了。第2步。此步骤证明（d）==> （a）。因此，我们假设断言（d）成立。存在子叶θ时∈ Θ（X，H），使（3.7）保持不变。由于[6，定理2.8]（另见[8]和[14，定理2.3]），我们得出D（X，H）6=. 通过将其与1+（eθ·X）T>0相结合，我们得出了过程1+eθ·X和1+（eθ·X）的正性-, 因此，e的存在∈ L（X，H）∩L（X，H），一方面，1+eθ·X=e（eД·X）。

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大多数88

2022-6-10 07:15:22

另一方面，条件D（X，H）6= 相当于num'eraire投资组合的存在，我们用b^1表示（见[6、17、18]，其中的参考文献引用很少）。这意味着存在bД∈ L（X，H），使得E（bД·X）>0且E（Д·X）/E（bД·X）是任何∈ L（X，H）带1+Д十、≥ 特别是，过程m：=E（EД·X）E（bД·X）- 1，是一个SuperMartingale。由于ln（x）≤ x个- 1，我们得到- ln（E（bД·X））≤ - ln（E（EД·X））+E（EД·X）E（bД·X）- 1，（4.1）并推导出ln-（ET（bД·X））是可积的。结果，bθ：=bДE（bД·X）-∈ Θ（X，H），且以下保持体E[ln（ET（b·X））]=E[ln（1+（bθ·X）T]≤ E[ln（1+（Eθ·X）T）]=E[ln（ET（EД·X））]。（4.2）特别地，这意味着ln（ET（bх·X））是一个可积随机变量，或等效于ln（ET（eх·X）/ET（bх·X）=ln（ET（eх·X））- ln（ET（bД·X）是可积的。当使用Jensen不等式时，我们推导出e[ln（ET（e·X）/ET（b·X）]≤ ln（E[ET（EД·X）/ET（bД·X）]）≤ 0。这与（4.2）相结合意味着E[ln（ET（b·X））]=E[ln（ET（E·X））]。（4.3）这与（4.1）的结合导致E[ET（E·X）/ET（b·X）]=1，因此过程M+1实际上是一个马丁盖尔（一个具有常数期望的正上鞅是一个鞅）。很明显，f（x）：=x- ln（1+x），x>-1是一个仅在x=0时消失的非负严格凸函数。自E[f（MT）]<+∞, 我们得出结论，f（M）是一个满足0=E[f（M）]的非负次鞅≤ E【f（Mt）】≤ E[f（MT）]=0，其中最后一个等式来自于（4.3）与M是鞅这一事实的结合。因此，我们得出结论，M≡ 0，因此E（bД·X）≡ E（EД·X）。因此，过程Z：=1/E（EД·X）属于D（X，H）。

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mingdashike22

2022-6-10 07:15:24

因此，断言（a）紧随此andE之后[- ln（ZT）]=E[ln（ET（Eν·X））]=E[1+（Eθ·X）T]<+∞,以及（d）的证明==> （a）已完成。第3步。此步骤证明了含义（a）==> （b）。因此，我们假设断言（a）适用于该证明的其余部分。根据定理B.2，它保证了（β，f，V）的存在，如β∈ L（Xc，H），f iseP（H）-可测量，正和P（f- 1) u ∈ A+loc，V是一个可预测且不递减的过程，并且对任何有界θ都成立∈ L（X，H）。EVT+（βtrcβ·A）T+Z（f（x）- 1.- ln（f（x）））f（dx）· 在≤ E类[- ln（ZT）]<+∞, (4.4)Z | f（x）θtrx- θtrh（x）| F（dx）· 在<+∞ P-a.s.和（4.5）θtrb+θtrcβ+Z[f（x）θtrx- θtrh（x）]F（dx）· A. 五、（4.6）此证明的其余部分分为两个子步骤，并使用这些属性。第一个子步骤证明，我们将在下面定义的函数L达到其最小值，而第二个子步骤证明，该最小值满足（3.3）-（3.4）-（3.5）。第3步。a、在其余的证明中，我们用L（ω，t）–P表示A-几乎所有（ω，t）∈ Ohm×[0, +∞)–由l（ω，t）（λ）给出的函数：=-λtrb（ω，t）+λtrc（ω，t）λ+Zλtrh（x）- ln（（1+λtrx）+）F（ω，t）（dx），（4.7）对于任何λ∈ Rd与约定ln（0+）=-∞. 这一子步骤证明了可预测过程eΒ的存在，从而P A-几乎所有（ω，t）∈ Ohm × [0, +∞)eД（ω，t）∈ L（ω，t）（X，H）和L（ω，t）（eД（ω，t））=最小λ∈L（ω，t）（X，H）L（ω，t）（λ）。（4.8）为此，我们首先注意到，根据备注3.3的组合（这意味着该函数在(-∞, +∞]), 引理C.1和[12，命题1]（当存在极小值时，保证存在可预测的选择），这个证明归结为证明L（ω，t）实际上达到了所有（ω，t）的最小值∈ Ohm × [0, +∞). 这是本子步骤其余部分的目标。

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何人来此

2022-6-10 07:15:27

为了简单起见，在本证明的其余部分，我们用L表示L（ω，t）（·）。为了证明L达到它的最小值，我们首先证明函数L是凸的、适当的和闭的。首先，让我们回顾一下凸分析中的一些定义。考虑一个凸函数f。f的有效域由dom（f）表示，是所有x的集合∈ rdf（x）<+∞. f函数被认为是适当的，如果，对于任何x∈ Rd，f（x）>-∞ 如果其有效域dom（f）不为空。对于凸分析中所有未定义或未解释的概念，我们请读者参考Rockafellar【28】。设θ是L（X，H）的有界元，due到ln（1+（θtrx）+）≤ （θtrx）+≤ |θ| x | andR（| x |>1）| x | F（dx）<+∞ （因为X是σ-特殊的），我们得到P A-A.e.Z（| x |>1）ln（1+（θtrx）+）F（dx）≤Z（| x |>1）（θtrx）+F（dx）≤ |θ| Z（| x |>1）| x | F（dx）<+∞. （4.9）然后将其与Z结合λtrh（x）- ln（1+λtrx）F（dx）≥ -Z（| x |>1）ln（1+（λtrx）+）F（dx）>-∞,L（0）=0<+∞ （即0∈ dom（L） L（X，H）），我们推导出L是一个凸的真函数。现在我们证明了L是闭的或等价的L是s的下半连续。让θnbe是一个收敛到θ的序列，使得L（θn）收敛。很明显，θtrnb+θtrncβ收敛到θtrb+θtrcβandR（| x |>1）ln（1+（θtrnx）+）F（dx）收敛到toR（| x |>1）ln（1+（θtrx）+）F（dx）。后者是ln（1+（θtrnx）+）的组合≤ （θtrnx）+≤ （supn |θn |）| x |，（4.9），和支配收敛定理。现在考虑假设θ∈ L（X，H）和其他存在n，对于所有n≥ nθn∈ L（X，H）。（4.10）在（4.10）下，结合Fatou引理和上述备注，我们得到L（θ）=-θtrb+θtrcθ+Zθtrh（x）- ln（1+θtrx）F（dx）=-θtrb+θtrcθ-Z | x |>1ln（1+（θtrx）+）F（dx）-Z | x |>1ln（1- （θtrx）-)F（dx）+Z | x|≤1（θtrx- ln（1+θtrx））F（dx）≤ 画-→+∞L（θn）。这一方面证明L在（4.10）下关闭。

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大多数88

2022-6-10 07:15:30

另一方面，很明显，当违反（4.10）时，存在一个子序列（θk（n））nsuchθk（n）6∈ L（X，H）表示所有n≥ 因此，由于L（θn）收敛，我们得出结论：L（θ）≤ 画-→+∞L（θn）=limn-→+∞L（θk（n））=+∞.这证明了L是闭的、凸的和真的。因此，我们可以应用[28，定理27.1（b）]，该定理指出，为了使L达到其最小值，有必要证明包含在L为常数的方向集中的Lis的回归集。为了检查最后一个条件，我们计算了L的接收函数。对于λ∈ dom（L）和y∈ Rd，L的衰退函数定义为0+（y）：=limα-→+∞L（λ+αy）- L（λ）α。考虑以下集合Γ+（λ）：={x∈ 研发部λtrx>0}，Γ-（λ）：={x∈ 研发部λtrx<0}，并说明我们有（λ+αy）- L（λ）α=-ytrb+αytrcy+ytrcλ+Zytrh（x）-αln（1+αytrx1+λtrx）F（dx）=-ytrb+αytrcy+ytrcλ+ZΓ+（y）ytrh（x）-αln（1+αytrx1+λtrx）F（dx）+ZΓ-（y）ytrh（x）-αln（1+αytrx1+λtrx）F（dx）。然后，一方面，我们计算衰退函数L0+（y），如下所示。L0+（y）=+∞ 如果F（Γ-（y））>0或ytrcy>0，-ytrb+RΓ+（y）ytrh（x）F（dx）另一方面，我们有α{y∈ Rd：cy=0和F（Γ-（y））=0} L（X，H）表示任意α∈ (0, +∞),-α{y∈ Rd：cy=0，F（Γ+（y））=0} L（X，H）表示任意α∈ (0, +∞).因此，通过将这些与（4.6）相结合，我们可以推断-ytrb+ZΓ+（y）ytrh（x）F（dx）>0如果F（Γ-（y））=0<F（Γ+（y）），cy=0，ytrb-ZΓ-（y）如果F（Γ+（y））=0<F（Γ），则ytrh（x）F（dx）>0-（y）），cy=0。因此，由于这些备注，L的衰退锥和L为常数的方向集（分别为RC和CD）定义和计算如下：∈ 研发部L0+（y）≤ 0}={y∈ 研发部cy=ytrb=F（Γ-（y））=F（Γ+（y））=0}CD：={y∈ 研发部L0+（y）≤ 0，L0+(-y）≤ 0}={y∈ 研发部ytrb=cy=F（Γ-（y））=F（Γ+（y））=0}。这证明了两个集合（RC和CD）的th相等。

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nandehutu2022

2022-6-10 07:15:34

因此，由于[28，定理27.1（b）]，我们得出结论，L（ω，t）在Д（ω，t）处达到其最小值，满足1+xtrД（ω，t）>0 F（ω，t）（dx）a.e.自L（ω，t）（Д（ω，t））≤ L（ω，t）（0）=0<+∞. 这就结束了第三步的第一部分。第3步。b、本子步骤证明，在上一子步骤中证明的L的最小值eД完全符合断言（b）的条件（即属性（3.3）-（3.4）-（3.5））。自L（eД）起≤ L（Д）表示任何Д∈ L（X，H）。Let^1∈ L（X，H）和α∈ （0，1），然后使用如上所述的类似计算，我们得到L（eν）- L（eИ+α（Д- eх））α=（х）- e^1）trb-α(φ - eД）trc（Д）- e^1）- (φ - eИ）trc eИ++Zαln（1+α（ν- eх）trx1+eхtrx）- (φ - eх）trh（x）F（dx）。很明显，作为α的函数，α-1ln（1+α（Д- eх）trx1+eхtrx）正在减少，henceln（1+хtrx）- ln（1+eИtrx）≤αln（1+α（ν- eх）trx1+eхtrx）≤(φ - eх）trx1+eхtrx。因此，结合收敛单调定理，我们推导出th atZαln（1+α（ν- eх）trx1+eхtrx）- (φ - eх）trh（x）F（dx）收敛于toR[（ν）- eх）trx1+eхtrx- (φ - eД）trh（x）]F（dx），当α变为零时，h ence（3.5）得到批准。通过使用（3.5）表示Д=0和L（eД）≤ L（0）=0，我们得到0≤ e^1trb- eДtrc eД+Z- eхtrh（x）+eхtrx1+eхtrxF（dx）（4.11）0≤ e^1trb-eДtrc eД+Zln（1+eИtrx）- eхtrh（x）F（dx）。

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可人4

2022-6-10 07:15:37

（4.12）因此，通过将这两个不等式与-e^1trc eД-βtrcβ≤ e~ntrcβ和f（x）- 1.-ln（f（x））≥ ln（1+eИtrx）- f（x）eνtrx（杨氏不等式），我们定义了νtrb-e^1trc eД-βtrcβ+Z[ln（1+eДtrx）- e^1trh（x）]F（dx）+-Z[f（x）- 1.- ln（f（x））]f（dx）≤ e^1trb-e^1trc eД-βtrcβ+Z[f（x）eДtrx- e^1trh（x）]F（dx）≤ eИtrb+eИtrcβ+Z[f（x）eИtrx- e^1trh（x）]F（dx）。因此，由于后一个不等式和（4.6），我们得出0e^1trb-eДtrc eД+Z[ln（1+eДtrx）- e^1trh（x）]F（dx）· A.Z[f（x）- 1.- ln（f（x））]f（dx）+βtrcβ· A+V。通过结合这一点，（4.4），EДtrb-eДtrc eД+Z[ln（1+eДtrx）- e^1trh（x）]F（dx）=eДtrc eД+Zln（1+eИtrx）-eхtrx1+eхtrxF（dx）+e^1trb- eДtrc eД+Z- eхtrh（x）+eхtrx1+eхtrxF（dx）,若RHS的两个项均为非负项，且该RHS的第二项与DEVDA一致，则我们得出以下结论：eVT公司+eДtrc eД+Zln（1+eИtrx）-eхtrx1+eхtrxF（dx）· 在< +∞.本条超过（3.3），断言（b）如下。这就结束了定理的证明。A一些有用的可积性性质本节的结果是新的，是一般性的，完全不是技术性的，非常有用，尤其是第一引理和命题。引理A.1。考虑K∈ M0，loc（H），带1+K>0。IfE[hKciT+X0<s≤T型(堪萨斯州- ln（1+Ks））]<+∞, （A.1）然后E[p[K，K]T]<+∞ 或相当于E[sup0≤t型≤T | Kt |]<+∞.证据让K∈ M0，loc（H），使1+K>0且（A.1）保持不变。那么，对于δ，只需注意∈ （0，1），我们有K- ln（1+K）≥δ|K |最大值（2（1- δ），1+δ）I{|K |>δ}+(K） 1+δI{|K级|≤δ}.利用这个不等式和（A.1），我们一方面推导出hKciT+X0<t≤T型|Kt | I{|Kt |>δ}+X0<t≤T型(K）我{|K级|≤δ}≤ CδEhKciT+X0<s≤T型(堪萨斯州- ln（1+Ks））< +∞,式中，Cδ：=1+δ+最大值（2（1- δ), 1 + δ)/δ. 另一方面，很明显，[K，K]1/2T≤phKci+X0<t≤T型|Kt | I{|Kt |>δ}+sX0<t≤T型(K）我{|K级|≤δ}.这就结束了引理的证明。引理A.2。

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何人来此

2022-6-10 07:15:40

Letλ∈ L（X，H）和δ∈ （0，1）使得|λtrx | 1+λtrxI{|λtrx |>δ} u +λtrx1+λtrxI{|λtrx|≤δ} u ∈ A+loc（H）。（A.2）Thenp（（1+λtrx）-1.- 1) u ∈ A+loc（H）。证据使用Qpixi≤Pi | xi |，我们导出p（（1+λtrx）-1.- 1) u=sXλtrX1+λtr十、≤sX（λtr十）（1+λtr）十） I{|λtrX个|≤δ} +X |λtrX | 1+λtrXI{|λtrX |>δ}。因此，引理直接来自后一个不等式。B鞅和通过可预测特征的定义对于以下表示定理，我们参考[15，定理3.75]和[16，引理4.24]。定理B.1。假设X是准左连续的，并且设N∈ M0，位置（H）。然后，存在φ∈ L（Xc，H），N′∈ M0，loc（H），[N′，X]=0，泛函f∈eP（H）和g∈eO（F）使以下各项保持不变。（a）tXs=0（f（s，Ss）- 1）我{Ss6=0}1/2和tXs=0g（s，Ss）I{Ss6=0}1/2至A+位置。（b） MPu（g | eP）=0，P u-.a、 e.，过程N由N=φ·Xc+（f）给出- 1) (u - ν） +克 u+N′。（B.1）以下定理描述了如何使用可预测特性来描述一般的过滤器。可在[25]中找到该理论的一个版本。定理B.2。假设X是准左连续的。Z∈ Dlog（X，H）当且仅当存在一个完整的（β，f，V），使得β∈ L（Xc，H），f iseP（H）-可测量，正和P（f- 1) ubelongsto A+loc（H），V是一个H可预测且不递减的过程，对于任何有界过程θ，以下保持不变∈ L（X，H）。Z=Eβ·Xc+（f- 1) (u - ν)经验值(-五、（B.2）EVT公司+βtrcβ+Z（f（x）- 1.- ln（f（x）））f（dx）· 在≤ E类[- ln（ZT）]，（B.3）Z | f（x）θtrx- θtrh（x）| F（dx）· 在<+∞ P-a.s.（B.4）θtrb+θtrcβ+Z[f（x）θtrx- θtrh（x）]F（dx）· A. 五、（B.5）证明。让Z∈ Dlog（X，H），然后是Z-1.-· Z是一个局部上鞅（从Z开始∈ D（仅X，H）。因此，存在一个局部鞅N和一个不可减且可预测的过程V，例如Z=E（N）exp(-V）。

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能者818

2022-6-10 07:15:43

然后我们推导- ln（Z）=-N+V+hNci+X(N- ln（1+ N））。因此Z∈ Dlog（X，H）当且仅当V+hNci+P(N- ln（1+N））是可积的。存在一个正的和p（H）-可测泛函f，使得p（f- 1) u是局部可积的，β∈ L（Xc，H），使得N可以选择为N：=β·Xc+（f- 1) (u - ν） V=V·A，然后是Z∈ Dlog（X，H）当且仅当V+βtrcβ·A+（f- 1.- ln（f）） ν ∈ 对于任何局部有界的H-可预测过程θ，A+（H）和ZE（θ·X）是可预测的，使得1+θtrx>0 P A-A.e。。这里（b，c，ν：=F A）是（X，H）的可预测特征。一方面，我们有ZE（θ·X）=E（N-v·A+θ·X+[θ·X，N]）是正的上鞅，因此N- v·A＋θ·X＋[θ·X，N]是局部上鞅。这与条件（B.4）-（B.5）等效（简化和变换后）。这就结束了对eorem的证明。C A可测量性结果MMA C.1。考虑三元组(Ohm × [0, +∞), P（H），P A），和L（ω，t，λ）：=L（ω，t）（λ），对于任何λ，定义为（4.7）∈ Rd和any（ω，t）∈ Ohm × [0, +∞). 然后是泛函L，作为映射（ω，t，λ）-→L（ω，t，λ），是P（H）×B（Rd）-可测的。证据引理的证明将分两步完成。第一步定义一系列函数{Lδ（ω，t，·），δ∈ （0，1）}（ω，t）∈ Ohm × [0, +∞ ), 并证明了这些泛函确实是P（H）×B（Rd）-可测的（即在（ω，t）和λ中联合可测的）。然后，第二步证明了当任意（ω，t，λ）的δ变为1时，Lδ（ω，t，λ）收敛于L（ω，t，λ）∈ Ohm × [0, +∞ ) ×Rd.步骤1：Let（ω，t）∈ Ohm × [0, +∞) 和δ∈ (0, 1). 那么对于所有λ∈ Rd，putLδ（ω，t，λ）：=-λtrb（ω，t）+λtrc（ω，t）λ+ZRdfδ（λ，x）F（ω，t）（dx），Fδ（λ，x）：=Δλtrh（x）- ln（1- δ+δ（1+λtrx）+）。很明显，对于任何λ∈ Rd，Lδ（ω，t，λ）是可预测的。因此，为了证明Lδ是可联合测量的（即。

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nandehutu2022

2022-6-10 07:15:47

P（H）×B（Rd）-可测的，足以证明该泛函在λ中是连续的（在这种情况下，我们的泛函Lδ属于Carath'eodory函数类），因此可以立即得出它是可联合测量的du e至[3，L emma 4.51]。因此，本步骤的其余部分重点是提供Lδ在λ中是连续的。为此，我们标记-λtrb（ω，t）+λtrc（ω，t）λ是连续的，我们推导了-δ|λ| | x|≤ fδ（λ，x）≤ 最大值（2（1- δ), -δ - ln（1- δ））|λ| | x |在{| x |上≤ 1}-δ|λ| | x |≤ fδ（λ，x）≤ - ln（1- δ）在{| x |>1}上。因此，与支配收敛定理和这些不等式相比，我们推断，实际上Lδ在λ中是连续的，并且第一步是完成的。步骤2：在此，我们证明了对于任何（ω，t）∈ Ohm × [0, +∞) 和任意λ∈ 当δ变为1时，Rd，Lδ（ω，t，λ）收敛于toL（ω，t，λ）。为此，我们首先写出δ（ω，t，λ）=δZ{λtrx≤-1} λtrh（x）F（dx）- δZ{λtrx≤-1} λtrxI{| x |>1}F（dx）- ln（1- δ） F级{λtrx≤ -1}+ZI{λtrx>-1}Δλtrx- ln（1+Δλtrx）F（dx）。备注R{λtrx≤-1} λtrh（x）F（dx）andR{λtrx≤-1} λtrxI{| x |>1}F（dx）定义良好并取单位值，而I{λtrx>-1}Δλtrx- ln（1+Δλtrx）为非负且δ递增。通过区分F{λtrx≤ -1}无论是否为空，由于收敛monotone定理，我们得出结论：Lδ（ω，t，λ）收敛于L（ω，t，λ）。这就结束了第二步和这个困境的证明。致谢：这项研究得到加拿大自然科学和工程研究委员会（Natural Sciences and Engineering research Council of Canad a）通过G121210818拨款的全力支持。au thors感谢萨法·阿尔舍亚布（Safa Alsheyab）、费尔杜·阿尔哈比（Ferdoos Alharbi）、琼·登（Jun Deng）、莫尼库·珍布兰科（Moniqu e Jeanblanc）、尤里卡巴诺夫（YouriKabanov）和米歇尔·范马莱尔（Michele Vanmalele）就这一主题发表的几点评论和富有成效的讨论，以及/或提供了重要而有用。参考文献【1】Aksamit，A.、Choulli，T.、Deng，J.、Jeanblanc，M.（2017）。

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能者818

2022-6-10 07:15:49

准左连续模型随机期内无套利，《金融随机》21:1103-1139。[2] Aksamit，A.、Choulli，T.、Deng，J.、Jeanblanc，M.（2018）。《诚实时代下的无套利》，《金融随机》22:127-159。[3] Aliprantis，Ch.D.和Border，K.C.（2006年）。《有限维分析：搭便车指南》，Springer，BerlinHeidelberg New York。[4] Becherer，D.（2001年）。无界半鞅的nume\'raire组合。金融与随机5（3）：327341。[5] Chau，H.N.、Cosso，A.、Fontana，C.和Mostovyi，O.（2017）。《有界风险无无界利润下的中间消费最优投资》，《应用概率杂志》，第54710-719卷。[6] Choulli，T.、Deng，J.和Ma，J.（2015）。无套利、生存能力和num’eraire投资组合之间的关系，Financeand St ochastics 19:719-741。[7] Choulli，T.、Stricker，C.和Li，J.（2007年）。q阶最小Hellinger鞅测度。金融与随机11（3），399-427。[8] Christensen，M.和Larsen，K。( 2007). 无套利与增长最优投资组合，随机分析与应用，25:1255-280。[9] Cvitanic，J.、Schachermayer，W.和Wang，H.（2001）。具有随机禀赋的不完全市场中的效用最大化。《金融与随机》5.2259-272。[10] Delbaen，F.，Schachermayer，W.（1994）。资产定价基本定理的一般版本，数学。安。300, 463-520.[11] Dellacherie，C.和Meyer，P-A.（1980）。鞅定理。第五章至第八章。赫尔曼。[12] Evstigneev，I.V.（1988年）。一般拓扑空间中的可测选择定理和概率控制模型。数学苏联斯博尼克，第59卷，第1期：25-37。[13] G¨oll，Th。，和Kallsen，J.（2003）。对数最优投资组合问题的完全显式解。《应用概率年鉴》13.2774-799。[14] H ulley，H.，Schweizer，M.：（2010年）。

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mingdashike22

2022-6-10 07:15:52

最小市场模型和最小鞅测度。《当代定量金融：纪念埃克哈德·普莱坦的论文》，35-51年。[15] Jacod，J.（1979）。计算随机性和鞅问题。数学课堂讲稿第714号。柏林斯普林格。[16] Jacod，J.和Shiryaev，A。(2002). 随机过程的极限定理，2ed edn。斯普林格。[17] Kabanov，Y.，Kardaras，C.，S on g，S.（2016）。无第一类套利和局部鞅数。Financeand St ochastics，20（4）。第1097-1108页。[18] Karatzas，I.和Kardaras，C.（2007年）。半鞅金融模型中的num'eraire投资组合。金融斯托赫（2007）11:447-493。[19] Karatzas，I.，和Zitkovic，G.（2003年）。完全半鞅市场中投资和随机捐赠的最优消费。《概率年鉴》第31.41821-1858页。[20] Karatzas，I.、Lehoczky，J.P.和Shreve，S.E.（1991）。有限期内“小投资者”的最优投资组合和消费决策，暹罗J.控制与优化，25 1557-1586。[21]Kramkov，D.，Schachermayer，W.（1999）。效用函数的渐近弹性和不完全市场中的最优投资，《应用概率年鉴》，9（3），904-950。【22】Loewenstein，M.，W illard，G.A.（2000年）。局部鞅、套利和无生存能力的sn ACK和廉价刺激。经济理论16（1），135-161。[23]Long，J.B.（1990）。num’eraire投资组合。《金融经济学杂志》26，29-69。【24】R uf，J.（2013）。套利套期保值，数学金融，23（2），297-317。[25]Ma，J.（2013）。最小Hellinger指数和HARA远期实用工具及其应用：VariableHorizon对冲，博士论文。在上可用https://doi.org/10.7939/R3CT29.[26]默顿，R.C.（1971）。《连续时间模型中的最优消费和投资组合规则》，经济理论杂志，Elsevier，3（4），373-413。[27]默顿，R.C。

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nandehutu2022

2022-6-10 07:15:55

(1973). 《理性期权定价理论》，贝尔经济与管理科学杂志，141-183。【28】R ockafellar，R.，T.（1970年）。凸分析。普林斯顿大学出版社。[29]Takaoka，K.，和Schweizer，M.（2014）。关于无无界利润和有界风险条件的注记。Financeand St ochastics 18（2），第393-405页。

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