然后，通过, 我们有*≥ ] ≤ lim公司→∞P“支持∈[0，T]Mt型≥ #≤ lim公司→∞E[米T]= 这里，最后一个等式是（B.7）的结果，这是单调收敛定理和（B.8）中右侧可积性的另一个应用。因此，0≤ lim sup公司→∞支持∈[0，T]| w（t） |≤ M*= 0 a.s.根据（B.6），可以得出断言的收敛（B.3）在几乎确定的意义上成立。为了显示L中的收敛性，因此需要建立（B.2）的一致可积性。根据（B.6）和（B.8），ZT |（uNt）- \'utuNt | dt≤ sups公司∈[0，T]|uNs | ZT |uNt- \'ut | dt≤ T支持∈[0，T]| ws |+（T+√) sups公司∈[0，T]|uNs|≤ T支持∈[0，T]| Ms |+（T+√) sups公司∈[0，T]|uNs |。观察右侧是否在减小, 和可积的，例如。， = 1通过Doob\'s最大不等式：E“T supt∈[0，T]| Mt |+（T+4）支持∈[0，T]|uNt|#≤ E“2T | MT |+（T+4）支持∈[0，T]|uNt |#<∞.因此，族{RT |（uNt）- utuNt | ds， ≥ 1} 是一致可积的。自|（uNt）起- utuNt | ds≤ sups公司∈[0，T]|uNs | ZT |uNs- us | ds，这意味着我们为（B.3）建立的几乎确定的收敛也适用于inL。引理3.7的证明。与（B.2）类似，客户的流动性成本可以写为ZTKNTDDT-ZTKNtdSt=-λM+1MZTKNtd？ut=λM+1Mh？u，KNiT+λM+1MZT？ut（uNtdt+σNtdWt），（B.9）和？ut=？KNt-F（t） “Ut，其中”KNis定义为“KNt=EthRTtk”（t，s）KNsdsi。这意味着“u”的协变量与“KN”的协变量相同。请注意，通过定义“KN”，cosh(√（T- t） ）’KNt- Ztcosh公司(√（T- s） ）KNsds=Et公司ZTcosh公司(√（T- s） ）KNsds（B.10）是平方可积鞅。根据鞅表示定理，它可以写成关于生成潜在过滤的布朗运动的随机积分。此表示中的被积函数可以使用克拉克-奥肯公式计算。

实际上，设置Φ=ZTcosh公司(√（T- s） ）KNSDS并使用我们在下面证明的Φ的Malliavin可微性，Clark-Ocone公式【30，命题1.3.14】得出Φ=E【Φ】+ZTEt【DtΦ】dWt。通过将其插入（B.10）并按部分积分，我们依次得到h'u，KNiT=ZTEt[DtΦ]cosh(√（T- t） ）σNtdt。（B.11）我们现在表明，我们确实有Φ∈ D1,2，因此可以应用Clark-Ocone公式。假设其Malliavin导数的上确界的平方可积性，KN∈ L1、2、f，参见【30，第45页】。因此，根据[30，p.45]，Φ是Malliavin可区分的，它遵循乘积规则，即dtΦ=ZTtcosh公司(√（T- s） ）DtKNsds。（B.12）我们现在展开λ的DtΦ和Et【DtΦ】→ 0或等效值， → ∞. 首先请注意，根据（B.12）和双曲余弦的定义，√-1DtΦcosh(√（T- t） （）=√中兴通讯√（t-s） +e-√（2吨-（s+t））1+e-2.√（T-t） DtKNsds。（B.13）第7节的连续性→ Dt（KNs）在[t，t]上，一些初等积分表明上述表达式收敛于DtKNtas → ∞. 根据[30，命题1.3.8]，我们有dt（RtσNsdWs）=σNt。此外，Dt（RtuNsds）=0，因此√-1DtΦcosh(√（T- t） （）→ σNt，P-a.s.as → ∞.接下来，观察每t∈ [0，T]，由（B.13）得出>1.√-1DtΦcosh(√（T- t） （）≤ 2个SUP∈[t，t]| DtKNs | sup>1.√中兴通讯√（t-s） ds公司≤ 2支持≤s≤T | DtKNs |。（B.14）由于右手边可以通过假设进行积分，因此支配收敛定理将显示“√-1DtΦcosh(√（T- t） （）#→ σNt，dP×dt-a.s.as → ∞.我们现在表明，DtΦ的这种扩展是由其条件期望继承的，并嵌入了协变量（B.11）。

为此，我们首先使用（B.14）和杨氏不等式来获得>1 |σNt|Et“√-1DtΦcosh(√（T- t） （）#≤支持∈[0，T]|σNt |+sup>1.Et“√-1DtΦcosh(√（T- t） （）#3/2≤支持∈[0，T]|σNt|+√Et公司支持≤s≤T | DtKNs | 3/2.Jensen不等式与KNyieldE的Malliavin导数上确界的可积性假设ZTEt公司支持≤s≤T | DtKNs | 3/24/3dt≤ EZTsupt公司≤s≤T | DtKNs | dt< ∞.此外，（支持∈[0，T]|σNt |）4/3=支持∈[0，T]|σNt |也可以通过假设进行积分。这两个估计加在一起表明ZTsup公司>1 |σNt|Et“√-1DtΦcosh(√（T- t） （）#!4/3dt< ∞. （B.15）由于该期望中的项是有限的，支配收敛定理意味着，作为λ→ 0，依次为 → ∞,√-1h？u，针织=ZT√-1Et【DtΦ】cosh(√（T- t） ）σNtdt→ZT公司σNt最后，（B.15）也表明了√-1Et【DtΦ】cosh(√（T-t） ）σNtdt有界，对所有 > 因此，该族索引为 > 1是一致可积的，几乎可以确定 → ∞ 同样适用于L。为了完成证明，我们现在证明（B.9）中的其他术语不符合引导顺序O(√λ） 即λZT？ut（uNtdt+σNtdWt）=o(√λ） ，单位：Lasλ→ 0.自 =Mλρd（M+1），这由-1/2英国。为此，请观察Jensen和Burkholder Davis Gundy showE的特质（KNt- KNs）≤ CE“ZtsuNrdr#+ E“ZtsσNrdWr#!≤ 总工程师sup0≤u≤T|uNu |+|σNu|（t- s） ，对于某些常数C，C>0，这可能只取决于T。对于α<，写Rα表示α-H的模，即KN的older连续性。该数量定义明确，满足E【Rα】<∞根据【13，定理3.1】。作为KN∈ 通过假设，我们可以定义平方可积随机变量α：=sups∈[0，T]Es[Rα]1+Z∞2e类-u | u |αds+ sups公司∈[0，T]KNs公司< ∞.这个定理需要对过程KN的迭代积分进行额外的假设。

然而，对证明的阿卡里尔检验表明，这个额外的假设只需要建立迭代积分的额外路径正则性，而不需要建立过程刀本身的路径正则性。然后，我们可以估计-1/2英寸KNt- KNt公司≤ Et公司RαZTt-1/2公里（t，s）| t- s |αds+1.-ZTt公司-1/2公里（t，s）dsKNt公司≤ Et[Rα](1-α） /2ZTt2e√（T-s） e类√（T-t）|√（t- s） |αds+1.- tanh公司√（T- t）|KNt公司|≤ Et[Rα]-α/2Z∞2e类-u | u |αds+2e-2.√（T-t）KNt公司≤-α/2+2e-2.√（T-t）Mα=Ct，T，α，λ。以及“u”、“u”的公式和函数F的定义和（3.2），该估计收益率-1/2英寸ut=--1/2楼（t） “”Ut+-1/2英寸KNt=-√Ztsinh公司(√（T- t） ）cosh(√（T- s） （）-1/2英寸KNsds+-1/2英寸KNt≤√Ztsinh公司(√（T- t） ）cosh(√（T- s） ）KNsds- KNt公司+ Ct，T，α，λ+√Ztsinh公司(√（T- t） ）cosh(√（T- s） ）Cs，T，α，λds≤√Ztsinh公司(√（T- t） ）cosh(√（T- s） ）（Rα| t- s |α+Cs，T，α，λ）ds+Ct，T，α，λ+1.-√Ztsinh公司(√（T- t） ）cosh(√（T- s） ）dsKNt公司≤ Ct，T，α，λ+-α/2RαZ∞e-u | u |αdu+√中兴通讯-√（t-s） Cs，T，α，λds+1.-√Ztsinh公司(√（T- t） ）cosh(√（T- s） ）dsKNt公司. （B.16）回顾添加公式arctan（x）-arctan（y）=arctanx个-y1+xy对于x，y≥ 0，观察| arctan（x）|≤ |x |。

因此：√Ztsinh公司(√（T- t） ）cosh(√（T- s） ）ds=信安(√（T- t） （）阿尔茨坦新罕布什尔州(√T）- 阿尔茨坦新罕布什尔州(√（T- t） （）= 新罕布什尔州(√（T- t） ）arctansinh(√T）- 新罕布什尔州(√（T- t） ）1+新罕布什尔州(√T）新罕布什尔州(√（T- t） ）！≤ 新罕布什尔州(√（T- t） ）arctansinh(√T）1+新罕布什尔州(√T）新罕布什尔州(√（T- t） ）！≤新罕布什尔州(√（T- t） ）新罕布什尔州(√T）1+新罕布什尔州(√T）新罕布什尔州(√（T- t） （）≤ 1，以及√Ztsinh公司(√（T- t） ）cosh(√（T- s） ）ds=√中兴通讯-√（t-s）- e-√（2吨-s-t） 1+e-2.√（T-s） ds公司≥√Zt公司e-√（t-s）- e-√（2吨-s-t）1.- e-2.√（T-s）ds公司≥√中兴通讯-√（t-s）- e-√（2吨-2t+（t-s） （）- e-√（2吨-2t+3（t-s） ）ds≥ 1.- e-√t型- 2e类-2.√（T-t） 。鉴于这两个估计，（B.16）收益率-1/2英寸ut≤ Ct，T，α，λ+-α/2RαZ∞e-u | u |αdu+√中兴通讯-√（t-s） Cs，T，α，λds+e-√t+2e-2.√（T-t）sups公司∈[0，T]| KNs|≤ 4.e-√t+-α/2+e-2.√（T-t）Mα。（B.17）（这里，最后一个不等式来自C·，T，α，λ的定义。）特别是，存在一个常数CT>0，仅取决于T，因此ZT公司-1/2英寸utuNtdt≤ CTMα支持∈[0，T]|uNt|(-α/2+ -1/2)≤CT | Mα|+支持∈[0，T]|uNt |！(-α/2+ -1/2) → 0，为λ→ 0，依次为 → ∞. 根据支配收敛定理，这种逐点收敛也适用于L，因为在我们的假设下，该估计的上界是可积的。这表明（B.9）中的勒贝格积分确实是o阶的(√λ） asclaimed。（B.9）中的随机积分的论点类似。根据Burkholder-DavidGundy不等式，如果必要，选择CT>0，我们得到ZT公司-1/2英寸utσNtdWt≤ CTE“ZT公司|-1/2’utσNt | dt1/2#≤ 4CTE“| Mα|支持∈[0，T]|σNt|中兴通讯-√t+-α/2+e-2.√（T-t） dt公司1/2#≤ 2CT(-α/2+ -1/2）1/2E“| Mα|+支撑∈[0，T]|σNt|#→ 0，为λ→ 0，依次为 → ∞. 这里，我们用（B.17）表示第二个不等式。因此，（B.9）中的随机积分也是o阶的(√λ） 在L中，为λ→ 0，则屋顶已完成。参考文献【1】R.F.Almgren和N.Chriss。投资组合交易的最佳执行。J、 风险，3:5–402001。[2] P.Bank和D.Baum。

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