竞争激烈的经销商市场的流动性

2022-6-10 07:35:50

Juni 136，10623 Berlin，Germany，电子邮件bank@math.tu-柏林。de.佛罗里达州立大学数学系，1017 Academic Way，Tallahassee，FL 32306，emailiekren@fsu.edu.§伦敦帝国理工学院数学系，伦敦SW71NE，英国，电子邮件j.muhle-karbe@imperial.ac.uk.CFM帝国定量金融研究所支持的研究。这篇论文的部分内容是作者在访问位于埃斯图里希的福尔松数学研究所（ForschungsInstitute f¨ur Mathematik）时撰写的。继Almgren和Chris之后的最优执行文献[1]。在第二个细分市场（经销商市场），代理商进行有竞争力的资产交易。一些代理（我们称之为客户）已经对外提供了交易需求，因此愿意为其他代理（我们称之为经销商）提供的即时性支付溢价。正如Garleanu、Pedersen和Pothesman的模型所示，第二个市场清算的均衡价格反过来又由代理人的总需求驱动。本研究分析了进入这两个市场的代理如何在这两个市场之间动态地进行中介。这将格罗斯曼（Grossman）和米勒（Miller）[19]的经典一次性中介模型扩展到了连续时间，在连续时间中，库存管理和均衡价格反映了过去、现在和（预期）未来订单流量之间的相互影响。我们的论文还通过分析一个模型对细分市场的文献进行了贡献【17、33、18】，该模型不仅限制了中介机构在“外围”交易商市场的头寸，而且对“中央”公开市场的头寸调整也很昂贵。我们的风格化模型是由场外市场中具有竞争力的经销商提供的流动性驱动的。

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2022-6-10 07:35:53

正如[7]在外汇市场的背景下简要总结的那样，“场外金融市场中的交易商以本金为基础向客户提供流动性，并通过以下两种方式之一管理由此活动产生的风险头寸。他们可以通过将风险存储在未来外汇流量的预期中，将客户的交易内部化，也可以通过在开放市场中对冲，将交易外部化。[..]当然，经销商要么是完美的内部化者，要么是完美的外部化者的概念过于局限，在实践中，他们将在不同程度上利用两者的amix来管理其风险。”在我们的模型中，纯粹的内部化者只在经销商市场进行交易，而外部化则对应于公开市场中的定力交易。我们的动态模型反过来允许研究两种风险管理策略之间的最佳权衡。为了分析客户、经销商和公开市场之间的复杂互动，我们简化了一些假设。首先，所有代理商在经销商市场中充当价格接受者，如【14】所示。这意味着均衡价格是“竞争性的”，这对于大量小型流动性提供者来说是合理的，他们的个人行为对整体市场均衡只有可忽略的影响。其次，代理人的二次库存成本比凹效用函数建模的偏好更高。例如，在[34、35、12、29、31]中也使用了这种二次持有成本，因为这种简化的模型与[22、25]中的“做市商”和许多最近的研究类似，这些流动性提供者不能吸收任何订单流，而是可以自由交易。

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2022-6-10 07:35:56

相比之下，为外汇市场提供流动性的投资银行就是一个典型的例子。例如，这指的是经销商间经纪人平台或公共电子交叉网络。显然，进一步研究的一个非常重要但具有挑战性的方向是研究agame理论背景的扩展，即经销商动态调整其报价，以说明其库存，同时相互竞争客户的订单流量。对于清算问题，这一方向的第一步是在[8]中进行的，经销商战略性地为随机到达的客户（具有外生需求曲线）和需要清算大量头寸的战略客户提供买卖价差报价。然而，一般而言，非竞争性均衡价格可以通过许多不同的方式正式确定，并将支持许多不同的价格动态（参见，例如，[35，12]）。“库存厌恶”远比风险厌恶更容易处理，但仍然会惩罚大量累积的风险头寸。第三，开放市场中的外生价格具有鞅动力学，由总订单流量和单个订单流量上的二次交易成本补充。同样在[19，16]中提出的鞅假设确保代理不在公开市场进行投机，而只专注于中介，这与“专家是优秀的短期交易者，但不是与众不同的长期投机者”的经验观察一致[20]。如[1，16]中所述，交易利率的二次成本会惩罚交易速度，建模表明头寸只能在公开市场中逐渐平仓。个人交易成本可以区分不同代理进入开放市场的容易程度；基准示例是，经销商的访问成本较低或没有访问成本，而零售客户根本没有直接访问权限。

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2022-6-10 07:35:59

总订单流量的交易成本反映出，当其他人试图在公开市场平仓时，平仓变得更加困难。对于绝大多数代理而言，这引入了负外部性，代理将其交易对自身执行价格的影响内部化，而不是对其他人的影响。为了确保与竞争激烈的经销商市场保持一致，我们因此确定了大量相同的小型经销商的结果的限制情况。我们发现，极限模型与具有适当聚合参数的代表性经销商的模型相似。在上述情况下，我们的主要结果定理3.4将交易商市场中的唯一均衡价格确定为线性正反向随机微分方程（FBSDE）的解。其双曲线函数的显式解和代理人交易目标的条件期望反过来揭示了如何缓解交易商市场和公开市场之间的流动性，以及这如何影响价格和最佳交易策略。对于经销商市场中非弹性客户订单流的最简单情况（即，只有“noisetrades”），我们有均衡价格=基本价格+持有成本×预期未来库存。（1.1）该调整与【24，23】中【14】模型获得的小风险规避限额一致。然而，尽管价格影响在这些模型中是永久性的，没有进入公开市场，但在我们的模型中却是暂时的，价格动态的一个特征也记录在实证文献中（参考文献[20]）。其原因是，客户订单流量可以逐渐传递到这里的公开市场，因此[23]公式中的预期未来需求被上述最优控制库存所取代。

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2022-6-10 07:36:03

换言之，【14、23、24】中的经销商对应于【7】术语中的“纯内部化者”，而我们的经销商以最佳方式使用内部化和外部化。在高流动性开放市场的情况下，可以最好地理解这些均衡动态所隐含的流动性成本。也就是说，我们表明，当开放市场中的交易成本趋于零时，经销商市场中的价格收敛到与开放市场中相同的鞅价格。与此基准相比，客户的流动性成本又接受了简单直观的表达，这取决于客户需求的变化。如果后者是平稳的，则通过经销商市场的交易大约相当于以更高的成本直接在公开市场进行交易，这取决于经销商的数量，并反映出吸引经销商提供必要流动性所需的溢价。这种加价在许多小型经销商的限制下消失，因此平滑的客户流交易价格与公开市场价格大致相同。无论经销商的风险承受能力如何，这都是成立的，因为在公开市场中可以有效地对冲平流。对于不同的噪音交易来说，情况有所不同。这种不规则的订单流更难转移到流动性较差的公开市场。相应地，相应的流动性成本与公开市场交易成本的平方根乘以交易商持有成本的平方根近似成比例。手头的订单流通过其二次变化进入，类似于[11]的简化模型。然而，在这里，这种“粗略”策略的交易成本无法通过用平滑策略近似来避免，如[11，2]所述。更一般地说，我们的模型隐含的流动性成本在客户需求中是持续的。

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2022-6-10 07:36:06

因此，各种形式的策略的定价是一致的，并且具有有限但不平凡的流动性成本，这反映了策略的规律性。迄今为止所述的结果与【14】中所述的固定给定客户需求的情况有关。然而，我们的模型足够容易处理，也可以内生化（部分或全部）订单流。更具体地说，我们可以研究客户如何最佳地跟踪他们的目标头寸，以便他们的需求对价格作出反应。在这种情况下，公式（1.1）仍然有效，前提是未来库存量被总需求减去公开市场中的固定头寸所取代。如果demandis非弹性，目标和实际位置重合，我们恢复前面的公式。相反，价格敏感的客户接受与目标头寸的一些偏差，但均衡价格仍然由所有单个目标头寸的总和（预期）决定。为了说明这个结果的含义和相应的最优交易策略，我们考虑了两个例子。首先，客户的交易目标是恒定的，如[12]。这导致了最优清算问题，类似于[5，1，32]和许多最近的论文中研究的问题。随后，我们以不同的交易目标为例，这些目标对应于[26，35]中考虑的“高频交易需求”。对于恒定的交易目标，客户的最优交易策略与具有瞬时价格影响的最优清算模型类似【32】：孤立的大宗交易与其他平稳的订单流相结合。相比之下，如[26，35]中所述的不同交易目标会带来具有非平凡二次变化的最佳客户需求。

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2022-6-10 07:36:09

因此，我们的模型始终结合了标准模型的定性特性，以实现最佳清算，同时考虑到库存的快速波动，例如，与[9]中记录的经验证据相一致。有限流动性对均衡价格的影响也取决于客户订单流量的性质。在最佳清算示例中（更一般地说，对于确定性目标），流动性不足仅影响价格水平和预期回报，而不影响波动性。相反，不同的交易目标等随机需求通常也会改变波动性。这里，这种变化的迹象是由交易目标和基本价值之间的相关性决定的，类似于[21]。本文的组织结构如下。第2节介绍了我们的经销商和开放市场模型。第3节又包含了我们在此背景下对均衡价格和交易策略的描述，以及对这些结果的影响的详细讨论。为了更好的可读性，所有的校样都委托给了附录。表示法A可预测进程X=（Xt）t∈[0，T]属于Lif E[RTXtdt]<∞ 和toSif E[支持∈[0，T]Xt]<∞. 平方可积鞅集用M表示，对于局部鞅部分属于Mand且有限变分部分具有平方可积全变分的半鞅，我们给出了h。对于动态CdXT=utdt+σdWt的It^o过程，如果E[（RT |ut | dt）+RTσtdt]<∞.2模型2.1代理我们认为有很多代理通过∈ A 6=. 药剂a的质量为m（a）∈ (0, ∞),所有代理共享过滤概率空间描述的相同信念和信息流(Ohm, F、（Ft），P）满足右连续性和完全性的一般条件。2.2金融市场代理人投资于两种资产。

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2022-6-10 07:36:12

第一种是无风险的，没有利息（为简单起见）。第二项资产支付外部清算股息DT∈ 时间T>0时的L（FT），可在两个市场进行交易。经销商市场在第一个市场中，代理商∈ A以均衡价格竞争性交易资产∈ Hwhich清除该市场并匹配终端支付=DT。在我们的主要结果定理3.4中，我们明确地确定了这个价格。如果一些代理有外部交易需求，而其他代理没有，则该市场可以被解释为一个竞争性的经销商市场，其中来自第二组的“经销商”（或“中间人”或“做市商”）为第一组“客户”（或“外部客户”[19]或“最终用户”[14]）提供流动性而赚取溢价。通常，如果代理a∈ A遵循交易策略Ka∈ S（指定所持风险资产的数量），然后生成预期损益ZTKatdSt公司= EZTKatdAt公司. （2.1）此处，A表示S的“漂移”，即其DoobMeyer分解中的可预测有界变化部分。公开市场上述经销商市场是“纯粹内部化者”提供流动性的模型，他们吸收客户的订单流，直到它被未来的收入订单所影响。在真实的经销商市场中，这一点得到了“外部化”的补充，即积极“对冲公开市场中的交易”[7]。在格罗斯曼（Grossman）和米勒（Miller）[19]的经典模型中（或Garleanu和Pedersen（16，第3.2节）]的最新研究中，这种中介过程中固有的风险与定位交易对手所需的固定搜索时间相关联，该交易对手允许交易商提供头寸。

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2022-6-10 07:36:15

在本研究中，我们模拟并解决了经销商库存管理问题的动态版本，即风险资产可以在公开市场上随时交易，但交易摩擦会对大额头寸的快速清算造成处罚。也就是说，除了交易商市场之外，我们还考虑了风险资产的第二个市场，其中其未受影响的价格过程由其预期股息Dt得出：=Et[Dt]，0≤ t型≤ T、为了简单起见，假设该鞅价格，因为它消除了开放市场中的投机行为。相应的执行价格依次由交易方ua的Dt+λ′u+λAUA给出∈ Lof代理a∈ A、也就是说，她目前在公开市场的位置Uat=RTUASDS的调整速度。（位置Uathen自动属于S。）此处，’u：=Pa∈Am（a）ua和常数λ≥ 0描述了总订单流量对市场价格的影响。相比之下，参数λamodels表示代理a的特殊交易摩擦，例如搜索成本，它不依赖于其他代理的交易活动。如果公开市场模拟交易商之间的交易，那么个人摩擦自然会对交易商产生影响，但对其客户而言则是有限的。总之，代理a在公开市场的交易产生了预期的损益ofEDTUaT公司-ZT（Dt+λ′ut）uatdt-ZTλa（uat）dt= -EZT公司λu-atuat公司+λm（a）+λa（uat）dt公司. （2.2）此处，\'u-a： =(R)u- m（a）ua表示其他代理的总交易率。2.3目标函数我们现在制定代理的目标函数。

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2022-6-10 07:36:18

与【15、16、35、6、12】类似，这些被选择为线性二次型，以实现最大可跟踪性。交易目标和库存成本由于外部风险敞口，代理商有进行交易的动机。对此建模的一种特别方便的方法是确定目标位置ξA∈ 各代理人的稳定部队a∈ A、然后依次惩罚代理人总风险头寸的均方距离（从经销商处或在公开市场中累积）：EZT（ξat- 凯特- Uat）dt. （2.3）库存罚款（2.3）相对于预期交易损益（2.1）、（2.2）的重要性由代理人的风险容忍度ρa>0，a∈ A、这将导致线性二次目标函数ja（Ka，ua；’u-a、 S）：=EZTKatdAt公司-ZT公司λu-atuat公司+λm（a）+λa（uat）dt公司(2.4)- EZT2ρa（ξat- 凯特- Uat）dt.这在精神上类似于允许代理支付二次成本以缩短其搜索时间。[28]研究了由于对基本面的异质信念而导致的流动性不足对交易的影响。考虑到其他代理的合计交易-a公开市场和价格过程∈ 在经销商市场中，代理商a将此最大化超过Ka∈ 砂ua∈ 五十、我们现在的目标是确定经销商市场结算的均衡价格。3均衡代理商通过经销商市场的均衡价格和他们在公开市场的共同价格影响相互作用。有额外的外部需求kN∈ 从经销商市场的噪声交易者那里，这导致了以下平衡概念：定义3.1。

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2022-6-10 07:36:21

A价格过程S∈ Hin经销商市场和交易策略（Ka）a∈a和（ua）a∈如果（i）交易商市场在KN+Pa的情况下清空，则交易商和公开市场分别形成均衡∈Am（a）Ka=0；（ii）交易策略形成（开环）纳什均衡，即策略（Ka、ua）最大化代理a的目标功能Ja（·，·；’u-a、 S）超过S×L。备注3.2。正如【14】中所述，我们研究了经销商市场中的竞争均衡，这也是因为连续时间内的非竞争均衡价格必然会引入额外的自由度（参见【35，12】）。竞争均衡中的价格接受假设对于大量的小代理人来说是合理的。然而，在这种制度下，以一致和非平凡的方式对公开市场中的贸易摩擦进行建模是一个挑战。例如，如果每个（小型）代理机构都忽略了自己对执行价格的贡献，这将导致线性交易成本，进而导致即使是小型代理机构也无法忽略的大交易率。为了解决这个问题，我们从众多代理之间的纳什竞争开始，然后在第二步确定许多小代理的竞争极限，参见定理3.4之后的讨论。现在我们给出了关于经销商市场均衡价格存在唯一性的主要结果。为了简洁地表述这一点，可以方便地回忆一下[6][定理A.4]的以下结果：引理3.3。修复X∈ 土地 > 0

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2022-6-10 07:36:24

然后，唯一的解决方案（u，u）∈ L×Hof下列线性正倒向随机微分方程（FBSDE）dut= （Ut- Xt）dt+dMt，uT=0，U=0，dUt=utdt，（3.1）由U给出t（X）：=EtZTtk公司（t，s）Xsds- F（t） U型t（X），0≤ t型≤ T、（3.2）Ut（X）：=Ztk公司（s，t）EsZTsk公司（s，r）Xrdrds，0≤ t型≤ T、这里，平方可积鞅M是解的一部分。对于内核和函数k（t，s）= cosh公司(√（T- s））cosh(√（T- t）），F（t）=√ tanh公司√（T- t）, 0≤ s、 t型≤ T、为了排除公开市场中的无摩擦交易，我们假设λ+λa>0，a∈ A、这允许我们引入价格弹性ηA=1/（m（A）λ+λA），(R)η=Xa∈Am（a）ηa，η=1/λ。（在λ=0的情况下，让η=+∞ 和 = η/ρ.) 我们还确定了代理人的总风险承受能力和目标头寸：(R)ρ=Xa∈Am（a）ρa，’ξ=Xa∈Am（a）ξa。利用这些成分，我们现在可以得出我们的主要结果，它表征了经销商市场中的非均衡价格以及代理商在经销商市场和公开市场中的最优交易策略。定理3.4。（i）存在唯一平衡（S，（Ka，ua）a∈（A）∈ H×（S×L）A.（ii）代理人的总头寸'U=Pa∈公开市场中的Am（a）UAU为“Ut=U”t型KN+’ξ, 0≤ t型≤ T、（3.3）对于U引理3.3 =ρηηη + η.代理人a的“Utis Uat”份额=ηa“η”Ut。（iii）交易商市场中风险资产的均衡价格isSt=EtDT公司-ZTtusds, 其中ut=(R)ρ“”Ut- KNt公司-ξt, 0≤ t型≤ T、（3.4）代理商a在经销商市场的最佳位置isKat=ξat-ηa？η？Ut+ρa？ρ“”Ut- KNt公司-ξt, 0≤ t型≤ T、（3.5）证明。

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2022-6-10 07:36:27

参见附录A。因此，经销商市场的风险溢价ut由代理商的总敞口KN+(R)ξ确定-“U在任何时候，以其总风险承受能力的单位来衡量”。鉴于（3.5），风险溢价激励代理人a按照其个人风险承受能力ρa的比例接受其在该风险敞口中的份额，按照其有效弹性ηa的比例，促成了向公开市场的总风险转移。交易商市场的资产价格波动（即资产价格（3.4）的鞅部分）反过来取决于清算股息dt和未来风险溢价的不确定性随着时间的推移而呈现的程度。或者，公开市场中最优交易率的一阶条件表明，定理3.4中的均衡价格允许以下简明表述：St=Dt+η+η“”ut。这意味着，与预期股息相比，均衡价格的调整是由代理人在公开市场上的总交易率决定的，以总价格弹性1/（η）为单位计量-1+ η-1）这是由于代理人的特质和他们对公开市场价格的共同影响的结合。也就是说，假设代理在公开市场上进行总购买（\'ut>0），因为他们想增加他们的互联网头寸。然后，他们还将愿意以溢价在交易市场上购买更多的风险资产。

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2022-6-10 07:36:30

尽管有这种看似简单的解释，但均衡价格对模型参数的依赖通常相当复杂，因为它通常依赖于过去、现在和（预期的）未来需求。3.1噪音交易的大流动性渐近为了更好地理解均衡价格（3.4）及其影响，我们首先考虑最简单的经销商市场，其中M∈ N“经销商”（即没有特殊交易目标的代理商，ξd=0），普通质量m（a）=1/m，风险容忍度ρa=ρd>0，个人交易成本λa=0吸收需求KN∈ Sofnoise交易员。我们的第一个结果表明，随着λ的公开市场流动性越来越强，均衡价格（3.4）接近预期分割→ 0：提案3.5。对于任何噪音交易者需求KN∈ S、定理3.4中的均衡价格S收敛到预期股息Dt=Et【Dt】，具有特别强的敏感性-1.≤H≤1可预测“sup0≤t型≤TZtHsd（Ds- Ss）#→ 0，为λ→ 特别是S在Emery拓扑中收敛为λ→ 此外，噪声交易者需求满足度zttkntdst=ZTKNtdDt+o（1）产生的相应财富过程，单位为Lasλ→ 提案3.5声称，随着公开市场的流动性越来越强，较低的价格接近风险资产的预期收益。这是很直观的，因为随着公开市场上交易摩擦的消失，经销商可以立即以这个价格出售他们的存货。考虑到噪声交易者需求的其他结构，我们还可以确定噪声交易者财富过程的引导顺序修正项，即交易者非平凡但有限的风险承受能力所隐含的流动性成本。这个领先的订单修正术语的形式取决于客户需求的可变性。

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2022-6-10 07:36:33

为了说明这一点，我们讨论了应用中经常出现的两个示例：平滑需求KNt=RtuNSD和与It的差异需求^o dynamics KNt=RtuNSD+RtσNsdWs。平滑需求我们首先讨论以固定、绝对连续的速度累积的需求。在这种情况下，交易商可以通过将其头寸立即转移到公开市场，并根据相应交易利率施加的二次成本λ，完美对冲其风险敞口。因此，交易商可以使用此策略实现盈亏平衡，执行价格等于基本价值加上公开市场的交易成本。然而，由于交易成本的二次性，在这种情况下，他们可以通过只吸收客户需求的一小部分来实现严格的正利润。因此，在与众多经销商的均衡中，需要向经销商支付额外溢价，但后者在许多小型经销商的限制下消失。更具体地说，随后的结果明确确定了流动性成本的主要订单期限为（M+1）/公开市场交易成本的M倍。这一术语与经销商的库存成本无关，因为在公开市场交易可以有效地对冲客户的平稳需求。引理3.6。假设连续过程uN的KNt=RtuNsds∈ S、那么，K产生的流动性成本是-ZTKNtdSt=λM+1MZTuNtdt+o（λ），单位为Lasλ→ 0。（3.6）特别是，引理3.6意味着，与许多小型交易商竞争的交易市场中的均衡交易成本与公开市场中的交易成本大致相同。分歧需求下一步，我们转向具有非平凡布朗函数的交易策略。这些不能直接在公开市场上实施，但可以通过经销商以固定成本进行交易。

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2022-6-10 07:36:36

由于经销商对这些更不规则的订单流进行对冲的效率低于上述平滑的订单流，因此相应的交易成本为更高的渐近订单，即(√λ）将O（λ）替换为λ→ 此外，经销商的库存成本现在在主要订单项中可见。客户需求的渐进性本质特征是其二次变化，这也出现在[11]的简化模型中，例如：如果在交易率具有二次成本的市场中以最佳方式跟踪此类不同的目标头寸，则也会出现相同的标度和目标策略的二次变化，参见[27]及其参考文献。引理3.7。假设基础过滤是由布朗运动棒生成的，假设噪声交易者的需求具有动态性，KNt=ZtuNsds+ZtσNsdWs，0≤ t型≤ T、此处，| KN |，|uN |，|σN|∈ 这些过程在[30，第27页]：KNt、uNt、σNt的意义上是Malliavin可区分的∈ D1,2，连续Malliavin导数为7→Dt公司KNs公司, Dt公司uNs, Dt公司σNs, 0≤ t型≤ s≤ T、最后，假设sup0≤t型≤TE[支持≤s≤T（|（Dt（KNs））|+（Dt（uNs））|）]]∞. 然后，需求KNareZTKNtdDt产生的流动性成本-ZTKNtdSt=sλρdM+1MZT（σNt）dt+o(√λ），单位：Lasλ→ 0、备注3.8。命题3.7的正则性条件得到满足，特别是当需求是标量随机微分方程的解时，该方程的漂移和扩散系数是连续两次可微分的，且有界导数为0、1、2阶。在这种情况下，Malliavin导数的所需边界来自【30，定理2.2.1】。3.2竞争性经销商市场下一步，我们应用定理3.4研究由大量小型同质经销商和客户建模的竞争性经销商市场的流动性。

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2022-6-10 07:36:39

为了简单起见，假设没有噪声交易者（KN=0），但有mdM∈ N个具有共同风险承受能力ρ的经销商和具有共同风险承受能力ρc>0的mcM客户，所有客户的质量均为1/（（md+mc）M）。也就是说，经销商和客户构成了代理商总数（md+mc）M的分数SQD=mdmd+MCA和qc=mcmc+MDM。这使我们能够研究均衡价格和交易策略的限制行为，因为M→ ∞,而经销商和客户的比例保持不变。客户有一个共同的交易目标ξc∈ S、然而，交易商没有交易目标（ξd=0），因此只有交易才能获得提供流动性的溢价。对于描述交易商间交易的公开市场来说，这是很自然的，我们假设所有交易商的个别交易摩擦为零（λa=0），客户的个别交易摩擦为零（λa=∞). 总之，我们得到了ρ=qcρc+qdρd，η=mdMλ，ξ=qcξc， =（qcρc+qdρd）λ（1+mdM）。我们非常感谢一位匿名仲裁人，他促使我们与同等比例的经销商和客户一起进行延期。随着M的经销商和客户数量越来越多→ ∞ （经销商和客户的QD和QCO比例保持不变），因此会收敛到非零且不确定的极限，∞=（qcρc+qdρd）λ。现在让我们将其与具有相同比例的QCO客户和QDOF经销商的市场进行比较，但mdM小型经销商被具有相同总质量QD和风险承受能力ρd的单一经销商所取代。

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2022-6-10 07:36:42

那么上述的ρ，ξ表达式保持不变，但η=1/λ，反过来=（qcρc+qdρd）2λ。由于定理3.4中的均衡价格仅取决于总交易目标ξ（在两种情况下都相同）和参数, 我们看到，如果将竞争市场中的流动性成本重新调整为两倍，那么由许多小经销商组成的市场相当于一个只有一个代表性经销商的市场。因此，竞争（对客户）的积极影响（降低每个经销商的利润）超过了公开市场中不协调交易的负面影响（这导致了过度交易，因为代理商不会将其对其他人造成的价格影响成本内部化）。为了说明这些结果对最优交易策略和均衡价格的影响，我们现在专门讨论两个具体例子：如[5，1，32]中的最优执行和如[26，35，12]中的不同交易目标。示例3.9（最佳清算）。我们首先考虑一个最简单的例子，客户的目标是出售一定数量的股份，即ξct≡ ξc<0，0≤ t型≤ T在这种情况下，两个初等积分表明'Ut=Ut（(R)ξ）=Ztk公司（s，t）ZTsk（s，r）qcξcdrds=√ cosh公司√（T- t）Ztsinh公司(√（T- s））cosh(√（T- s））ds qcξc=1-cosh公司(√（T- t））cosh(√T）！qcξc。因此，（3.5）中的最佳客户位置是kct=ξc+ρcqcρc+qdρd“”Ut- qcξc= ξc1-qcρcqcρc+qdρdcosh(√（T- t））cosh(√T）！。如【5、1、32】所述的完全清算可以使用如【10、4】所述的二次清算罚款来促进，或通过如【3】所述的硬终端约束来强制执行。

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2022-6-10 07:36:45

为了便于记法，我们在这里不讨论这个问题。0.2 0.4 0.6 0.8 1.0t-1.0-0.8-0.6-0.4-0.2位置0.2 0.4 0.6 0.8 1.0t-1.0-0.8-0.6-0.4-0.2价格变化图1：单个经销商（虚线）和众多经销商（实线）的最优清算策略（左图）和价格变化（右图）。参数为λ=0.1，ρc=ρd=0.1，T=1，ξc=-1，并且经销商在每种情况下都有一半的总风险承受能力。这意味着客户在时间t=0时进行大宗交易，以出售其交易目标的一部分，该部分等于其股份qcρcof总持有成本qcρc+qdρd。在开放的交易商间市场中，随着交易商逐渐转移头寸，他们随后继续以绝对连续的速度出售。因此，客户的最优交易路径类似于Obizhaeva和Wang模型中的theone，具有短暂的价格影响。绝对连续交易率由公开市场中的交易成本λ、交易商和客户在总风险承受能力中的份额以及通过常数, 由于交易成本低、风险承受能力低，以及大量的经销商，交易速度更快。图1的左面板对此进行了说明。现在让我们转向经销商市场的均衡价格。根据定理3.4（iii），St=Et【DT】-(R)ρEtZTt（美国）-ξs）ds= Dt+qcξcqcρc+qdρdZTtcosh(√（T- s））cosh(√T）ds=Dt+qcξcqcρc+qdρdsinh(√（T- t）（）√ cosh公司(√T）。对于希望清算交易商市场头寸（ξc<0）的客户，riskyasset的交易价格低于其预期股息。当客户清算其头寸时，交易商为向客户提供流动性而获得的相应正风险溢价。与客户的最佳头寸一样，价格偏离资产预期收益的短暂性由常数调节.

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2022-6-10 07:36:48

没有公开市场（λ=∞因此 = 0），价格影响是永久性的；随着公开市场的流动性越来越强，随着交易商迅速平仓，初始大宗交易的价格影响消失得越来越快。此外，如图1右侧面板所示，当经销商在经济体总风险承受能力中的比例固定时，经销商数量的价格影响正在减少。在本例中，由于客户的需求具有确定性，因此经销商市场中资产价格的波动仍然没有受到影响。在随后的随机需求示例中，这将有所不同。示例3.10（不同的交易目标）。探索潜在目标策略的另一端，如【26、35、12】所述，假设客户有“高频0.2 0.4 0.6 0.8 1t-0.4-0.20.20.40.60.81定位0.2 0.4 0.6 0.8 1t-0.4-0.20.4价格变化图2：左面板：模拟目标位置（蓝色）和相应的最佳位置指数化市场，其中有许多小经销商（橙色）和一个经销商（绿色），每种情况下的风险承受能力都是总风险承受能力的一半。右图：在众多小经销商（橙色）和单一经销商（绿色）之间进行均衡价格调整。参数为λ=0.1、ρc=ρd=0.1、T=1和σξ=1。交易需求”。这是由目标位置ξcfollowing Brownian motion with volatilityσξ模拟的。对于这样的鞅，我们有\'Ut=Ut（(R)ξ）=Ztk公司（s，t）ZTsk（s，r）qcξcsdrds=qc√ cosh公司√（T- t）Ztsinh公司(√（T- s））cosh(√（T- s））ξcs！ds。（3.7）因此，（3.5）中客户的最佳位置是一个凸面组合，凸面组合为一个光滑分量，Kct=qdρdqcρc+qdρdξct+qcρcqcρc+qdρd√ cosh公司√（T- t）Ztsinh公司(√（T- s））cosh(√（T- s））ξCSD。也就是说，客户直接执行其交易目标的一小部分，相当于经销商在总风险承受能力中的份额。

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2022-6-10 07:36:51

为了降低剩余风险，他们还以绝对连续的方式进行交易。这会逐渐将其与交易目标的剩余偏差拉向零，如动态Cdkct=F所示（t）（ξct- Kct）dt+qdρdqcρc+qdρddξct。这些交易策略如图2的左面板所示，该图显示，相对于其目标头寸，交易商的数量对客户的最佳头寸只有适度的影响。现在让我们来看看经销商市场中相应的均衡价格。根据上文3.4（iii），我们得到st=Dt+(R)ρEtZTt（(R)ξs-美国）ds.回顾（3.7）后，差异显示过程ξt-\'Uthas Ornstein-Uhlenbecktype动力学，d（\'ξt-\'\'Ut）=-F（t）（(R)ξt-\'Ut）dt+qcdξct。因此，价格调整-与预期终端股息相关的dt为ρEtZTt（(R)ξs-美国）ds=（(R)ξt-\'Ut）\'ρZTte-RstF公司（r） drds=（(R)ξt-\'Ut）\'ρZTtcosh(√（T- s））cosh(√（T- t））ds=F（t）（(R)ξt-“”Ut）ρ.差异反过来表明价格调整的动态是- Dt）=ρddtF公司（t）- F（t）（(R)ξt-Ut）dt+F（t）ρqcdξct=-ρ（ξt）-Ut）dt+F（t）ρqcdξct=-F（t）（St- Dt）Dt+F（t）ρqcdξct。价格偏差被拉向零，波动由客户交易目标驱动。远未到期（或在较大的流动性限额内），F（t）≈√ 因此，价格修正约为Ornstein-Uhlenbeck动力学：d（St- Dt）≈ -√（St- Dt）Dt+√qcqcρc+qdρddξc根据这一点，如果对于流动性开放市场（小λ）以及许多或更多风险容忍剂而言，都是大的。

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2022-6-10 07:36:54

接近成熟期时，价格影响趋于零/F（t）随着价格被拉向基本面，交易市场中的均衡价格将接近风险资产的外部终端收益，如图2右面板所示。随着客户需求的随机波动，不仅预期回报率，而且均衡价格的波动性也会相对于预期股息发生变化。上述计算表明，这种影响的大小取决于≈ σξqc/√ρ; 其标志又由预期股息与客户需求之间的相关性决定。如果这种相关性为正，即当预期的基本面上升时，客户的需求往往会增加，那么流动性不足（由流动性不足的公开市场和少数或风险规避者造成）会增加波动性。如果相关性为负，则符号反转。其解释是，需求压力和基本面冲击在第二种情况下部分起作用，而在第一种情况下，它们放大了价格波动。对于具有外生二次自重costson交易的市场，在Radner均衡中也出现了类似的比较静态[21]。3.3细分的影响我们现在讨论经销商和开放市场之间的细分影响。为此，我们考虑当客户进入公开市场时，他们的最优地位和福利是如何变化的。与前一节的讨论相比，这意味着他们在公开市场上的个人交易成本现在是有限的；为了简化标记，我们将重点放在它们消失的情况下，就像对于经销商一样（λa=0）。

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2022-6-10 07:36:57

然后，我们得到了η=（mc+md）M/λ，在综合市场中决定交易和均衡价格的相应参数大于第3.2节中考虑的细分市场，int=（qcρc+qdρd）λ（1+（mc+md）M）>（qcρc+qdρd）λ（1+mdM）=.现在让我们讨论一下这对我们的具体例子意味着什么。对于最优清算，定理3.4（i）和（iii）表明，客户在公开市场中的总最优头寸为kc，intt=qdρdqcρc+qdρdξc+qdρc- ρdqcρc+qdρd'Uintt，其中'Uintt=1-cosh公司(√int（T- t））cosh(√intT）！qcξc。因此，与细分市场相比，初始大宗交易保持不变。然而，客户随后通过参数在综合市场中建立了更大的头寸内部大于. 同样，可以证明，具有不同交易目标的客户也与经销商分享相同比例的布朗冲击，但如果他们自己可以直接进入公开市场，则会增加对公开市场的冲击。在相应的均衡价格动态中，清算模型中的初始价格影响消失得更快；对于不同的交易目标，价格影响更小，消失更快。最后，让我们讨论细分对客户福利的影响，通过他们的目标函数来衡量”（2.4）。

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何人来此

2022-6-10 07:37:00

根据定理3.4（i，ii，iii），我们有jc，int=E“ZT”ρ（\'Uintt-ξt）Kc，intt-2ρc（ξct-\'\'Uintt- Kc、intt）- λ滴滴涕!dt#。类似地，我们还可以在客户无法进入公开市场的情况下计算目标函数的值，Jc=EZT公司ρ（Ut）-ξt）Kct-2ρc（Kct- ξct）dt公司.对于最优清算示例，我们有jc，int=- （ξc）ZTqcqd′ρcosh(√int（T- t））cosh(√intT）1+qc（ρd- ρc）(R)ρcosh(√int（T- t））cosh(√intT）+qcρc2′ρcosh(√int（T- t））cosh(√intT）！+λqcintsinh公司(√int（T- t））cosh(√intT）！dt。5 10 15 20M-0.7-0.6-0.5-0.4J图3：细分客户的福利（虚线）和整合市场中的客户福利（实线），有M个经销商和M个客户（qc=qd=1/2）。其他参数为λ=0.1，ρc=ρd=0.1，T=1，ξc=-1、初等积分依次给出jc，int=-（ξc）qc′ρtanh(√intT）√intqd公司+ρ -ρcqc4′ρ√intsinh（2√intT）+2√intTcosh公司(√intT）！- （ξc）λqc√intsinh（2√intT）- 2.√intTcosh公司(√intT）类似地，Jc=-（ξc）qc′ρZTcosh(√（T- t））cosh(√T）1-qcρc2′ρcosh(√（T- t））cosh(√T）！dt=-（ξc）qc′ρtanh(√T）√-qcρc2′ρsinh（2√T）+2√T√ cosh公司(√T）！。现在假设客户和经销商的数量很大（M→ ∞), 然而，各组在总人口中的比例保持不变（固定mc、MD，依次为qc、qd、ρ）。然后, 内景→ ∞= 1/(R)ρλ和in turnJcJc，int→tanh公司(√∞T）-qcρc2′ρsinh（2√∞T）+2√∞T4 cosh(√∞T）tanh(√∞T）qd+ρ -ρcqc4？ρsinh（2√∞T）+2√∞t现金(√∞T）+qcsinh（2√∞T）-2.√∞t现金(√∞T）=tanh(√∞T）-qcρc2′ρsinh（2√∞T）+2√∞T4 cosh(√∞T）tanh(√∞T）qd-qcρc2′ρsinh（2√∞T）+2√∞T4 cosh(√∞T）+qcsinh（2√∞T）cosh(√∞T）=1，单位为M→ ∞.（这里，我们在最后一步中使用了sinh（2x）=2 sinh（x）cosh（x），tanh（x）=sinh（x）/cosh（x），qc+qd=1。）这表明，在许多小客户和经销商的竞争极限下，细分造成的福利损失消失了，如图3所示。

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2022-6-10 07:37:03

也许令人惊讶的是，这表明，只要代理商中没有一家拥有强大的市场力量，市场细分就可以接近最优。定理3.4的证明定理3.4的证明。让我们∈ H、（Ka，ua）∈ S×L，a∈ A、保持任何平衡。很容易看到每个代理的目标功能Ja（K，u；\'u-a、 S）在（K，u）中是严格凹的∈S×L，因此其最大化子（Ka，ua）由所有方向导数消失的一阶条件唯一确定。特别是对于任何K∈ Swe必须有0=KJa（Ka，ua；u-a、 S）=EZTKtdAt+ZTρa（ξat- 凯特- Uat）Ktdt.只有当A与密度datdt=ut=ρA（Uat+Kat）绝对连续时，这才成立- ξat），0≤ t型≤ T、 a∈ A、（A.1）求解Ka，我们发现Ka=ξA- Ua+ρau。（A.2）因此，在将∈ A、市场清算条件KN+Pa∈Am（a）Ka=0意味着-KN=(R)ξ-‘U+’ρu，依次为（3.4）。个体最优的一阶条件还要求∈ 五十、 0个=uJ（Ka，ua；u-a、 S）=- EZUT公司λ′u-at+（2m（a）λ+λa）uat+EtZTtρa（Kas+Uas- ξas）dsdt公司.因为这个等式需要对任何扰动u保持不变∈ 五十、相当于λ′u-at+（2m（a）λ+λa）uat+EtZTtρa（Kas+Uas- ξas）ds= 0, 0 ≤ t型≤ T、回顾ηa=1/（m（a）λ+λa），u和（a.1）的定义，这意味着-ηaλ′ut+EtZTtusds, 0≤ t型≤ T、（A.3）现在，我们在∈ A获得“ut=-ηλ′ut+EtZTtusds, 0≤ t型≤ T、求解“u”，并使用已建立的关系（3.4）以及 = η/（(R)ρ（1+(R)ηλ）），我们发现ut=-Et公司ZTt公司\'美国- KNs公司-\'ξsds公司, 0≤ t型≤ T、（A.4）因此，对（u，u）：=（\'u，u）求解X=KN+\'ξ的线性FBSDE（3.1）。Asthis FBSDE的唯一解为（u（十），U（十））从（3.2）中，这将“U”固定在（3.3）中，密度“U”如（A.4）中所示。从（A.3）中，我们推断每个个体代理人的策略ua∈ A、是相同普适过程的倍数ηA=1/（m（A）λ+λA）。

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2022-6-10 07:37:06

因为“u=Pa”∈Am（a）ua，这意味着ua=ηa'η'u，因此，ua=ηa'η'u，如权利要求所述。此外，根据（A.2）和（3.4），我们观察到的Ua=ηA'η'U允许我们将每个代理商在经销商市场中的头寸写在表格（3.5）中。因此，平衡点的唯一候选点就是本定理中描述的平衡点。我们现在表明，上述战略和价格确实形成了一种均衡。为此，用（3.3）定义“U”，并且“U=ddt”U，以便（\'U，\'U）求解FBSDE（3.1）。Foreach公司a∈ A然后，候选均衡头寸由（3.5）给出，公开市场中的候选均衡交易率为ua=ηA？η？u。候选均衡价格为isS，风险溢价由（3.4）给出。很容易检查位置Ka、a∈ A、确保市场清算。此外，Kais0=E中的一阶条件ZTKtutdt+ZTρa（ξat- 凯特- Uat）Ktdt, 对于所有K∈ S、通过定义相应的漂移率u，候选人策略明显满足了这一点。使用Ka满足的一阶条件，通过与上述相同的推理，一阶条件等于（A.3）。后一种情况已经过验证，因为选择（\'u，\'u）作为FBSDE的解决方案（3.1）。目标函数的凹性确保了一阶条件的有效性，因此（Ka，ua）最大化了平衡所需的JAAS。B第3.1节的证明通过均衡的定义，每个经销商的优化标准isJa（Ka，ua；\'u，S）：=EZTKatdAt公司-ZTλ′utuat-2ρd（Kat+Uat）dt.与定理3.4的证明类似，在聚合所有代理后，UAI的一阶最优性条件为\'ut=-Mλρd（M+1）EtZTt公司\'美国- KNs公司ds公司, 0≤ t型≤ T、因此，“u”是辅助最小化问题“ZTλut+Mρd（M+1）”的优化器KNt公司-Ztusdsdt#。（B.1）命题3.5的证明。将Mt=EthRTusdsiso设置为d（Dt- St）=dMt- utdt。

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2022-6-10 07:37:09

通过ε-Young不等式、Cauchy-Schwarz不等式和Doob极大不等式，对于所有可预测的H有界于1，我们得到了“sup0≤t型≤TZtHsd（Ds- Ss）#≤ 8E机器翻译+ 2T EZT |us | ds.再加上等式MT=RTusds和Cauchy-Schwarzinequality的第二个应用，它遵循“sup0≤t型≤TZtHsd（Ds- Ss）#≤ 8E“ZTusds#+ 2T EZT |us | ds≤ 10吨EZT |us | ds≤10T′ρEZT公司KNs公司-\'美国ds公司.因此，为了证明这个命题，有必要证明最后一项收敛到0asλ→ 集合{U=R.usds:U∈ 五十} 在L中密集，因此存在sequenceun∈ Lsuch that“ZTZtunds- KNt公司dt公司#≤n、 n=1，2。由于最小条件（B.1），我们有ZTMρd（M+1）（\'Ut- KNt）dt≤ E“ZTλ（unt）+Mρd（M+1）Ztunds- KNt公司!dt公司#≤λEZT（unt）dt+2ρdn。因此，E[RT（(R)Ut-KNt）dt]→ 0为λ→ 0，验证命题3.5中断言的第一个收敛性。为了建立第二个收敛结果，我们将BurkholderDavis-Gundy和H¨older不等式应用于obtainEZTKNt（dSt- 滴滴涕）≤ Esup0≤t型≤TZtKNsdMs+ Esup0≤t型≤TZtKNsusds≤ CE“ZT（KN）sdhMis1/2#+EZT | KNs | | Us- KNs | ds!≤ CE“sups∈[0，T]| KNs|hMi1/2T+ZT | Us- KNs | ds#!≤ CE“sups∈[0，T]| KNs |#1/2EZT美国- KNs | ds1/2.这里，C>0是一个常数，它可能会随着线的变化而变化，但不取决于λ。Lconvergence现在紧随其后，因为我们已经在上面验证过，最后一项收敛为0，为λ→ 引理的证明3.6。根据（3.4），（A.4）和分部积分公式（使用KN=(R)uT），我们得到了ZTKNTDDT-ZTKNtdSt=-λM+1MZTKNtd？ut=λM+1MZTuNt？utdt。（B.2）为了确定（3.6），必须证明zt |uNt- \'ut | dt=o（1），单位为Lasλ→ 0

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