附录A处理了不适用的情况。这本质上是【Kakushadze a and Yu，20 16a】的杂合帽M结构，与【Kakushadz e，2015c】的杂合帽M结构相似，只是后者的因子载荷基于主成分，而主成分不一定都是积极的（见上文）。建立了一个稳定且正的有限因子协方差矩阵。我们可以问的问题是，我们是否可以采用更一般的风险模型构建？基本上，这里有两个独立的问题。第一个问题独立于我们正在处理的是一个只做多的投资组合这一事实，并且与以下事实有关：i）与第一个主成分相比，更高的主成分在样本外是内在不稳定的；ii）标准样式因子（见上文）不能很好地代表成对相关性的建模，因此，与商业风险模型效果中的常见做法相反，将其用作因子加载是极不理想的（详情参见【Kakushadze和Yu，2016a】）；Andii）由于公司很少跳转行业（更不用说部门），结构良好的基础行业分类在样本外相当稳定。这正是上述结构所需要的，除了因子载荷的选择，在这种情况下，因子载荷只是beta。而我们构建的后一部分是由这样一个事实决定的，即这种选择是唯一有效地消除“市场模式”的选择。因子载荷的其他选择通常会导致不需要的负权重wi。在本研究中，如果我们对Γij采用一个通用的多因素风险模型，该模型包括，例如，风格因素和/或主成分，对于任何给定的beta选择，一些权重通常都是有利的。让我们强调一下，我们可以始终计算后向ds，选取一些正权重wi，并计算相应的betasβi。

然而，尚不清楚任何此类奥利奥港代表着什么。相比之下，在上述构造中，最终基准组合的含义是明确的。因此，假设（120）中括号中的第二项在各个级别上占主导地位l （通常，这对于大型集群来说是一个很好的近似值）wehavewi≈ ηβiξi∧（1）G（0）（i）PYl=1.hζ(l)F级(l)（G（0）（i））ie∧(l+1） F级(l+1） （G（0）（i））-1（150）∧（1）A（1）=Xj∈J（0）（A（1））βJξJ（151）e∧(l+1） A(l+1)≈XA公司(l)∈J(l)（A）(l+1） ）hζ(l)A(l)我-2.l = 1.P（152）η-1.≈K（1）XA（1）=1PYl=1.hζ(l)F级(l)（A（1））ie∧(l+1） F级(l+1） （A（1））-1（153）对这些权重的解释（类似于我们上面讨论的示例）很清楚：我们通过在每个级别上的特定方差的乘积来抑制权重，并进行适当的归一化（例如，在每个级别上，集群beta为1，直至不实质总体归一化因子）。请注意，我们可以使用总方差来代替具体方差，总方差会“高估”“市场模式”风险，而具体方差的数量有限，无法与普遍存在的行业（集群）事实进行竞争。统计行业分类不如基本行业分类稳定，但基于主成分的utper模型仍相当可观【Kakushadze和Yu，2016b】。差异不包括该因素风险。这也是一样的：整体市场暴露风险（即“市场模式”风险）本质上存在于只做多的portf olios中，不应对冲。我们的建设巧妙地消除了“市场模式”。最后，让我们先提一下，对于给定的一组beta，我们可以获得一个长期的投资组合，如下所示。根据（6 0）和下限wi，我们可以最大化夏普比（58）（其中ei通过（57）与beta相关）≥ wmini，其中wmini≥ 在这里，我们可以使用通用的多因素模型协方差矩阵Γij代替样本协方差矩阵Cij。

然而，对于一般的Γijalarge部分wi（在许多情况下，约50%）可以使低Bounds wmini饱和。这类投资组合通常会出现偏差，远离“最优”。4击败市场既然我们有了构建基准投资组合的方法，我们可以提出不同的问题。假设我们有一个“alpha模型”，它预测预期回报Ei。我们能否基于这些回报构建一个只做多的投资组合？如果所有预期收益均为正，则我们可以将其视为β，即如（57）所示，设置βi=Ei/γ（其中γ是非实质性的归一化因子），并通过（119）计算权重。这种方法有两个独立的问题。首先，即使是所有Ei≥ 0时，Ei/σi的分布可能太宽，因此使用方法（140）可能会有问题。其次，在实践中，大多数阿尔法模型不会有所有非负的Ei，事实上，许多Ei（在许多情况下，大约50%）可能是负的。那么，我们该如何应对呢？我们可以遵循不同的两步方法，而不是从头开始构建一个基于EI的长门户。由于我们正在建立一个只做多的投资组合，无论我们做什么，我们都面临着市场风险。因此，我们不妨确定一个我们愿意接受其市场敞口的基准投资组合。然后，我们可以尝试构建一个只做多的投资组合，该投资组合基于样本回溯测试，可以合理预期（尽管与任何前瞻性声明一样，不能保证）会跑赢这一基准投资组合。构建该投资组合的一种方法是将基准投资组合与美元中性投资组合相结合（这样，最终的投资组合仍然只有多头），其中美元中性投资组合具有正的预期回报，并且与基准k投资组合的相关性较低。

因此，对于我们的长期投资组合的权重wi，我们有wi=w*i+w′i（154）NXi=1w′i=0（155）注意，在股票水平上（即上述术语中的0级），我们总是可以发现βisuch存在（140）。因此，我们可以取βi=σi，sobβi≡ 1、然后*=N（N-1） PNi，j=1；i6=jψij，其中ψij是样本关联矩阵。也就是说，θ*在这种情况下，平均成对相关性通常为正，并且在合理设定的界限内，对于构建良好的行业分类，agiven clus ter（例如，子行业、行业、部门）。该基准投资组合可以（但无需）按照第3节的规定构建（见下文）。其中，美元中性投资组合的权重为：≤ w′i≤ wmaxi（156）wmini≥ -w*i（157）和w*i> 0表示基准权重。先验地，我们可以将上界最大值（Maxi）>0取为完整值。我们还可以设置更严格的界限，例如，使widono偏离基准k投资组合的某个百分比：wmini=-z宽*i、 Wmax=z w*i、 其中，例如，0<z<1。可以进行其他自定义/更改。权重可以通过多种标准方式确定，例如通过夏普比率（或均值-方差-见上文）优化，这是我们将假设的不确定性（尽管这在这里并不重要）。然后，忽略边界（156）和美元中性约束（155），我们得到w′i=γ′NXj=1Γ′-1ijEj（158）这里γ′是一个归一化系数（待定），而Γ′-1ijis是Γ′ij的逆，ij是一个N×N（通常是多因素）模型协方差矩阵。注意，Γ′ij不必与Γ相同*ij，表示用于构建基准权重w的多因素模型协方差矩阵*i、 这是因为w’是一个长短（美元中性）投资组合，所以我们对Γ’ijas onΓ没有相同的限制*ij。

事实上，一般来说，我们预计，使用异质结构构建的Γ′ijbuild【Kakushadze，2015 c】、【Kakushadze and Yu，2016a】（利用与聚类相对应的样本相关矩阵块的FirstPrincipal组件）将比Γ更好地工作*ij。那么，给定一些Γ′ij，γ′应该是什么？考虑到Γ′ij是我们用于建模一般投资组合风险的多因素模型协方差矩阵，我们可以计算组合投资组合的预期风险比，如下所示：S=PNi=1EiwiqPNi，j=1Γ′ijwiwj（159）。此外，港口投资组合与*由ρ=σ给出的iand w′iis*σ′NXi，j=1Γ′ijw*iw′j=γ′E*σ*σ′=E*σ*e′（160）A泛型Γ′-1包括“市场模式”，因此，除非收益率进行了精心调整，权重w′i虽然不完全是美元中性的，但通常不会向多头或空头头寸高度倾斜。因此，忽视美元中立条件并不有害。无美元中立性，假设货币指数=1w*i=1，我们不再有pni=1wi=1。然而，这可以通过简单地重新调整wi来解决（尽管这可能会使wi偏离“最佳状态”）。忽略环边界带来了一个大问题。然而，我们将在片刻内纳入美元中立和边界。现在忽略它们有助于培养直觉理解。其中E*是基准portfo lio的预期回报，σ*σ′是w*I和w’iportfolios：E*=NXi=1Eiw*i（161）（σ*)=NXi，j=1Γ′ijw*iw公司*j（162）（σ′）=NXi，j=1Γ′ijw′iw′j=（γ′）（e′）（163）（e′）=NXi，j=1Γ′-1ijEiEj（164）那么，对于夏普比S作为γ′的函数，我们得到：S（γ′）=E*+ γ′（e′）σ（γ′）=σ(γ′)γ′σ（γ′）=p（σ*)+ 2γ′E*+ （γ′）（e′）（165）当γ′时，夏普比最大→ ∞.然而，在这个限度内，我们没有一个只做多的投资组合。

相反，我们有一个多空投资组合，事实上，如果我们加入美元中性约束，这将是美元中性的。如果不准确，我们必须设定界限（156）。那么，在极限γ′内→ 0，我们只有长投资组合w*i、 随着γ′的增加，越来越多的边界将被饱和。边界使w′iportfolio偏离了“最优”。高于某个值γ′opt时，夏普比开始下降：当γ′>γ′opt时，夏普比开始下降：S（γ′）<S（γ′opt）。我们可以定义γ′optvia，例如黄金分割搜索[Kiefer，1953]，并将其用作γ′的“最优值”。4.1包括边界和约束在实践中，在存在边界（156）的情况下，实现均值方差优化比最大化Sha rpe比率更容易。在均值方差优化中，我们最大化目标函数w.r.t.w′i（对于γ′的固定值）g（w′i，γ′）=NXi=1Eiw′i-γ′NXi，j=1Γ′ijw′iw′j（166），受边界（156）和美元中性约束（155）。这种优化可以以标准的方式进行（例如，参见[Kakushadze，201 5a]，对于aThus，我们有S（0）=e*/σ*= ρe′，和S（γ′）→ ∞) = e′>S（0）。而且S（γ′）/γ′=(σ*)（e′）1.- ρ/σ(γ′) > 0.一旦包括了边界、成本等，这两种成本就不相等，除非仅在一个以线性成本建立交易的特殊案例中【Kakushadze，2015a】。详细的算法和[Kakushadze，2 015c]的源代码）。事实上，我们可能希望包含额外的线性约束。因此，预期相关性ρ通常为非零。因此，与基准投资组合相比，美元中性投资组合的预期值为非零。我们可能希望ρ消失。

这可以通过对w′i的以下线性齐次约束实现：NXi=1qiw′i=0（167）qi=NXj=1Γ′ijw*j（168）或者，我们可以将w′iportfolio简单地与w′iportfolio正交*iportfolio，通过以下约束实现：NXi=1w*iw′i=0（169）更一般地，我们可以有p约束nxi=1Qiaw′i=0，a=1，p（170）这里是一个N×p矩阵，具有线性独立的列，其中一列是对应于美元中性约束的单位N向量。如果需要的话，我们还可以包括中立的w.r.t.部门、行业等，或一些风格因素。Etc.4.1.1注释我们可以以不同的方式获得近似为空的预期相关性ρ。Forgeneric“原始”预期收益Eiwe具有非零E*因此ρ非零。然而，给定N向量Ei，我们可以构造E′iorthogonal到w*i、 例如，通过将Ei（单位重量，无截距）回归到w上*并计算残差（即e′i=i）：i=Ei- w*iPNj=1Ejw*jPNj=1（w*j） （171）更一般地说，我们可以使用权重为vi（无截距）的加权回归：i=viEi- w*iPNj=1vjEjw*jPNj=1vj（w*j） 哦！（172）如果在（166）中，我们用iIIn代替Ei，那么我们大约达到（167）。那么问题是，重量应该是什么？基于波动率σi（或相应的特定风险）将其建立在基础上是没有意义的，因为i）我们已经在优化w′iPortfolio，ii）Ei和w*i与σi呈线性关系。因此，我们可以简单地取单位重量vi≡ 1，或基于独立于σior的量，其依赖性较小（例如ln（σi））。如果不是因为边界（156），（167）造成的扭曲，我们会非常满意。5结论性评论让我们简单地总结一下。

首先，在我们在第4节讨论的市场跑赢大市策略中，基准w*ia priori可以是任意长的纯投资组合（包括标准普尔500指数、罗素3000指数等），而不仅仅是使用第3节的方法构建的。然而，第3部分的市值加权投资组合和基准投资组合预计具有相当大的相关性。直觉上，这似乎是显而易见的，因为这些都是长期投资组合。然而，这超出了这种“零近似”的直觉。因此，权重w*在第3节比例尺的b enchmarks中∝ 1/σi，和-ln（σi）和ln（Mi）（Miis市值）高度相关。“魔鬼”则出现在第3节的构建细节中，该节旨在捕捉与多层次行业分类（聚类）相对应的股票回报中的子结构。一、 e.，w中有更多信息*密苏里州伊桑。在我们上面的构造中，βi虽然不是完全任意的，但不是固定的。回想第3节，在总体归一化因子下，bβi=βi/σiareof order 1，具有紧密分布，标准偏差也为or 1。那么，这些beta应该是什么呢？一个简单的答案是，这里没有什么特别的东西。我们可以简单地选择它们，从样本中回溯测试它们，并将结果与其他值的结果进行比较。或者，我们可以在一些兄弟市场指数上取“观察”值bβobsibased，计算其中值bβmedian=median（bβobsi），然后通过bβmax=bβmedian+κmaxMAD（bβobsi）和bβmin=bβmedian对“异常值”进行限制和调整- κminMAD（bβobsi），其中κmax~ 1和κmin~ 1（我们可以设置κmax=κmin）。修正BβI这种方法是一种“迂回”，因为它使用了另一个（资本加权）基准k。但同样，没有任何“第一原则”可以很好地修正BβI。让我们注意到，虽然我们可以取bβi≡ 1在第3段的施工中，我们不能采用βi≡ 1、然而，如上所述，βi≡ 一开始就没什么意义。

实际上，使用（8），我们得到了βi=σiρi/σF（173），其中，与之前一样，σFis是基准k投资组合波动率，ρiis是用i标记的股票与基准之间的样本相关性。设置βi≡ 1（同样，达到整体归一化因子）表示ρi∝ 1/σi。类似地，在第3节的因子模型续文中，我们会发现，在同一集群（部门、行业等）内，波动率高的股票几乎与波动率低的股票（以及彼此）不相关。这并不是我们在经验上观察到的（参见，例如，[卡库沙泽，2015c]，[卡库沙泽和余，2016a]）。我们必须有βi∝ σi.为了解决最终的“损失端”，可使用附录Cof中的有界优化代码【Kakushadze，2015 c】计算第4类分层中性投资组合的权重w′iot，即函数bopt。calc.opt（），其参数为：ret是预期收益Ei的N向量；载荷是约束Qia的矩阵；inv.cov是逆矩阵Γ′-1ij；上限、下限是wmaxi、wmini的边界。这种“采样”会很快让计算变得费力。MAD=平均绝对偏差。基准权重的资源代码在本附录中，我们给出了统计计算的R（R）包，http://www.r-project.org)基于第3节的算法计算基准权重的源代码。该代码本质上是自解释的，并且简单明了，因为它只遵循其中的公式。功能qrm。基准测试（ret、ind、beta、mkt.fac=T、z.min=0.1、z.max=0.9）返回（60）中的权重winormalizedas。

输入如下：ret是收益率Ris的N×T矩阵（例如，每日收盘至收盘收益率），其中N是股票的数量，T是时间序列中观察的数量（例如，交易天数），日期的顺序无关紧要；ii）ind是长度P的列表，其元素由二进制矩阵填充（行对应于代码，因此dim（ind[[·]]）[1]isN）对应于输入二进制行业分类中的级别，按粒度递减的顺序排列（对于BICS ind[[1]]是N×K（1）矩阵δG（i），a（1）（子行业），ind[[2]]是N×K（2）矩阵δG′（i），a（2）（行业），ind[[3]]是N×K（3）矩阵δG′（i），A（3）（部门），其中G=G（0）将股票代码映射到子行业，G′=G（0）G（1）将股票代码映射到行业，G′）=G（0）G（1）G（2）映射到部门）；iii）β是N-矢量βi；iv）市场。fac，其中在最后一步，对于TRUE，我们有一个单一的行业因素（“市场”），而对于FALSE，行业因素对应于行业分类中最小粒度的水平（BIC的部门）；和v）z.min和z.max在第3.7.1小节中定义为z最小值和z最大值。除了第3节中的内容外，源代码中还有两个小的调整。首先，如果1级（在第3节的命名法中）非常细粒，对于给定的股票宇宙，我们可以有一个或多个1级集群，每个集群只包含一个股票（例如，单一股票子行业可以并且确实出现在BIC中）。通常，对于长期投资组合来说，只有使用这种粒度的投资组合才是过火的。然而，为了以防万一，源代码在内部函数calc.theta（）中处理了这些情况。其次，有时，θmin>θmax（这些量在第3小节（135）和（136）中定义）可能会发生。7.1). 当存在方差太低或太高的异常值时，可能会发生这种情况。

现在，我们可以尝试做各种设计复杂的事情。但有一种简单的方法来处理这种情况。注意，通过定义，hθminandθmax为正。违反θmax，即θ>θmax，会导致不可接受的负特定方差（见第3.7.1小节）。另一方面，违反θmin，即θ<θmini在θ>0时不会产生不利影响。事实上，在这种情况下，我们只有小因素风险。因此，θmin>θmax可以简单地通过将θ设置为（140）而不是θ=max（min*, θmax），θmin）（174），相当于θmin时的（140）≤ θmax，但不是当θmin>θmax时。因此，源代码使用（140）；请参见functioncalc中的行t<-min（max（t，t.min），t.max）。θ（）。如果我们把βi设为≡ 1，或更一般地具有max（bβi）/min（bβi）≤p（1- zmin）/（1- zmax），那么我们保证有θmin≤ θmaxat 1级。

但由于因子方差中的异常值，θmin>θmax可能出现在粒度较小的级别。qrm。基准<-函数（ret，ind，beta，mkt.fac=T，z.min=0.1，z.max=0.9）{calc.load<-函数（load，load1）{x<-colSums（load1）load<-（T（load1）%*%load）/xreturn（load）}calc.theta<-函数（x，b，z.min，z.max）{if（length（x）==1）return（（1-z.max^2）*x/b^2）s<-sqrt（diag（x））x<-T（x/s）/sb<-b/st.min<-（1-z.max^2）/min（b^2）T.max<-（1-z.min^2）/max（b^2）x<-T（x*b）*bx<-sum（x）-sum（diag（x））b<-sum（b^2）^2-sum（b^4）t<-x/bt<-min（max（t，t.min），t.max）return（t）}ind[[长度（ind）+1]]<-矩阵（1，nrow（ind[[1]]），1）x<-cov（t（ret））y<-list（）v<-list（）w<-b<-betafor（lvl in 1：长度（ind））{if（lvl>1）{flm<-计算负荷（ind[[lvl]]，ind[[lvl-1]]）b<-rep（1，nrow（flm））}elseflm<-ind[[lvl]]G<-rep（0，k<-ncol（flm））y1<-rep（0，nrow（flm））v1<-rep（0，k）（a）在1中：k）{取<-flm[，a]==1if（lvl==长度（ind）&！mkt.fac）G[a]<-0elseG[a]<-计算θ（x[取，取]，b[取]，z.min=z.min，z.max=z.max）y1[取]<-诊断（x）[取]-b[取]^2*G[a]如果（lvl==1）v1[a]<-求和（b[取]^2/y1[取]）elsev1[a]<-求和（v[[lvl-1]][取]/（1+y1[取]*v[[lvl-1]][取]））y[[lvl]]<-y1v[[lvl]]<-v1x1<-t（flm）%*%x%*%flmu sqrt（G/诊断x1）x<-t（x1*u）*u}w<-w/y[[1]]for（lvl in 1：（length（ind）-1））{for（a in 1:ncol（ind[[lvl]]）{take<-ind[[lvl]][，a]==1w[take]<-w[take]/（1+y[[等级+1]][a]*v[[等级]][a]}w<-w/和（w*β）返回（w）}B免责声明无论上下文要求，阳性包括阴性和/或中性，单数形式包括复数，反之亦然。

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