Beta、基准和击败市场

2022-6-10 07:57:37

其中一些问题可以通过使用（总体归一化因子）Cijas的第一个主成分权重（以及beta）来规避。然而，负权重和样本外不稳定性（后者可能程度较低）的问题仍然存在。在第二种情况下，假设我们可以预测单个股票的非随机预期回报率EI。我们可以尝试构建一个只有长时间的投资组合，使其优于基准portfo lio。平均方差优化【Markowitz，1952年】将给出∝NXj=1C-杰伊（2）几十年来，人们一直认为贝塔高度不稳定【Fabozzi和Francis，1978年】。实际上，由于Cij中的反对角线元素，排除在外的股票与wi中的股票并不完全相同≤ 0英寸（1）。例如，见【Avellaneda和Lee，2010】【Connor和Korajczyk，1993】【Geweke和Zhou，1996】【Trzcinka，1986】。这与（1）中的大多数问题有关。解决这一问题的一种方法是：i）首先建立一个基准的只做多的投资组合（这对Ei来说是无关紧要的）；a和ii）然后根据组合投资组合仍为多头且多样化的情况，在此基础上构建多空美元中性投资组合。可以使用标准研发优化技术，通过使用构建良好、稳定的多因素风险模型，而不是样本协方差矩阵Cij，构建美元中性投资组合。我们强调，这种建设不仅仅是一种“趋势跟踪”或“市场时机”策略。相反，这是一种系统化的方法，将只做多的“被动”基准和“主动管理的”美元中性投资组合（例如，基于统计套利）相结合，构建只做多的投资组合，后者预计会自行产生正回报。

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mingdashike22

2022-6-10 07:57:40

然而，在仅多头对账单的情况下，这种美元中性策略受到更多限制，因为净头寸必须全部多头。因此，这是一种产生高于“被动”基准的超额回报的方法，价格是与美元中性策略（没有免费午餐）相关的风险。本文讨论了上述“程序”的系统方法。首先，我们给出了一个明确的公式化算法，用于构造一个给定一组beta的基准投资组合，该beta可以选择具有各种期望属性。通过构造，结果Benchmar k权重为正。这是通过构建多因素风险模型Γij来实现的，并使用它来代替样本协方差矩阵cijs，特别是用于构建一个长期基准。这是基于二元多层次行业分类（或其他一些聚类方案）精心构建的。它不涉及任何主成分，也不需要迭代（例如，由于下限）来获得wi。事实上，它们是由一个简单但不平凡（且有争议的优雅）的公式给出的，这是本文的主要结果之一。在回顾了第2节中与beta相关的一些一般性之后，我们给出了第3节中Γij和基准权重的详细构造。在anutshell中，权重wi通过简单代数量的乘积表示，这些代数量是根据行业分类（clusteringscheme）中每个级别的特定方差构建的。这些具体差异包含有关潜在股票回报的重要信息。

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2022-6-10 07:57:43

附录A中给出了计算Γijand Wii的源代码。在第4节中，我们讨论了基于“被动”基准之上的“主动管理”美元中性策略的超越策略。给定预期收益Ei，可以使用有界的标准优化技术构造do-llar中性投资组合。然而，重要的一点是，该优化中使用的多因素风险模型Γ′i与构建基准时使用的Γij不同。此外，该策略类似于标准普尔500指数的跑赢大市策略，标准普尔500指数股票的多头头寸（动态权重）由标准普尔期货的空头头寸决定。第5节简要总结。这种“被动”基准可以看作是一种指数。有关概述，请参见【Lo，2016年】。本文附录A中给出的源代码不是为了“花哨”或为了速度而优化或以任何其他方式编写的。其唯一目的是以简单易懂的方式说明正文中描述的算法。一些重要的法律术语被归入附录B。这里：i）我们没有期货，ii）基准不是以标准普尔500指数为基础的（尽管可以）。2 BetasConsider a universe of N stocks label by i=1，N、让风险成为股票回报的时间序列（例如，每日、每周、每月等，接近收盘回报）。这里的指数s=1，T标记计算这些回报的交易日（s=1标记最近的日期）。让Fsbe成为另一个回报时间序列，它可以但不需要对应于股票组合，例如指数。先验地，它可以是任何时间序列的回报（例如，商品、债券、货币等）。出于我们的目的，我们可以将FSA视为基准k投资组合的回报（见下文）。股票betasβ可以用来衡量每个股票“跟随”基准运动的程度。

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2022-6-10 07:57:46

beta可以通过一系列回归来正式定义，其中回归的截距（和单位权重）为Risover Fs:Ris=αiIs+βiFs+is（3）。这里：αiIs，内部接受的回归系数为≡ 1.βi是系数off；是回归残差。回归系数由αi=Ri给出- βiF（4）βi=PTs=1eRiseFsPTs=1eFs（5），其中对于时间序列，AsAs=TTXs=1As（6）eAs=As-如（7）所示，βi=Cov（Ris，Fs）Cov（Fs，Fs）（8），其中Cov（·，·）表示序列共变。如果Fs是我们宇宙中权重为wi的股票投资组合的回报，即ifFs=NXi=1wiRis（9），那么我们有（这里Cijis是股票回报率Ris的样本协方差矩阵）βi=σFNXj=1Cijwj（10）σF=NXi，j=1Cijwj（11）Cij=Cov（Ris，Rjs）（12）这里Ris可以是原始回报率或超额回报率w.r.t。无风险利率取决于上下文。3基准假设我们现在旋转表格，尝试构建基准投资组合，即确定权重wi，给定betasβi。这可以通过形式求解（10）通过（在定义中，我们假设所有βi6=0）：wi=σFNXj=1C来完成-1ijβj=σFβiNXj=1eC-1ij（13）σF=“NXi，j=1C-1ijβiβj#-1=“NXi，j=1eC-1ij#-1（14）eCij=βiβjCij（15），其中C-1是与Cij相反的矩阵。然而，在实践中，这种形式化解决方案存在一些问题。首先，如果T<N+1，则样本协方差矩阵是奇异的（即不可逆的）。第二，除非T>> N、这在实践中很少（如果有的话）发生，有效对角线元素（在一定程度上，相关性——对角线元素相对稳定）在样本外非常不稳定，这使得Cijess毫无用处（样本外不可预测）。第三，即使所有βi呈阳性（例如，βi≡ 1），假设Cijis可逆，由于股票之间的非平凡相关性，由（13）给出的权重不一定是正的。

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2022-6-10 07:57:50

在许多应用中，基准k是一个仅长期投资组合，它要求权重为非负。3.1主要成分暂时，让我们忽略样本协方差矩阵Cijan的afor esaid问题，并假设它在某种程度上（神奇地）在样本外是可逆和稳定的。然后有一个简单的“解决方案”来构建基准投资组合。因此，很容易采用βi=γV（1）i，其中γ>0是整体归一化系数，V（1）ii是Cij的第一个主成分：NXj=1CijV（a）j=λ（a）V（a）i，a=1，N（16）NXi=1V（a）iV（b）i=δab（17）NXa=1V（a）iV（a）j=δij（18）严格来说，这里不需要可逆性，但这并不重要。然而，正如我们稍后讨论的那样，这种“解决方案”在本质上是令人敬畏的。这里，V（a）ide表示cij的第a个主分量对应于特征值λ（a），其中特征值按降序排列：λ（1）>λ（2）>·····>λ（N）。然后投资组合权重由wi=V（1）i/γ（19）给出。更一般地，我们可以取βi=γiU（1）i（20）wi=U（1）i/γi（21）NXj=1DijU（a）j=eλ（a）U（a）i，a=1，N（22）Dij=γiγjCij（23），这里γi>0是一些N向量，U（a）是矩阵Dij的主成分。让我们从（19）开始。这种“解决方案”的一个直接问题是，该投资组合是高度倾斜的，也就是说，它与高度波动的股票权重过高。这是因为：i）股票波动率σi=√对于σi的更高值，Cii有一个带长尾的偏斜（大致对数正态）分布；和ii）第一个主成分的元素大致按V（1）i缩放∝ σi.要看到这一点，考虑一个简单的模型，其中所有股票都具有一致的成对相关性，等于ρ：Cij=σiσj[（1-ρ） δij+ρνiνj]（24），其中νi≡ 1是单位N向量。简单的代数得出以下特征值方程：ρNXi=1σiλ-( 1 - ρ） σi=1（25），其N个解为特征值λ=λ（a），a=1，N

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能者818

2022-6-10 07:57:53

特征向量由以下公式给出：V（a）i=η（a）σiλ（a）- (1 - ρ） σi（26），其中η（a）是总体归一化因子（通过（17）固定）。我们可以通过λ=ρNXi=1σi1迭代求解（25）-(1 -ρ） σi/λ（27）在理论上，一些特征值可以退化，但在实践中，正特征值不是（这里我们假设没有零特征值）。这在这里并不重要，因为我们对第一个主成分感兴趣，可以安全地假设其eig值为非退化。一、 e.样本相关矩阵ψij=Cij/σIσjis被一个单因子模型所取代（见下文），其中ρ可以被视为平均成对相关ρ=PNi，j=1；i6=jψij/N（N- 1). 这是一个全新的简化模型，但（正如我们下面讨论的）它正确地抓住了我们在这里提出的观点。假设λ>> ρσi对于所有i.在第0近似中，我们有λ（1）≈ ρNXi=1σi（28）V（1）i≈σiqPNi=1σi（29）现在很明显，权重（19）给出的投资组合确实是倾斜的，并且含有大量高波动性股票。即使我们没有假设（24）中的一致相关性，这个结论仍然存在。因此，直截了当的代数将使读者相信，以下模型就是这样：Cij=σiσjeψij（30）eψij=eξiδij+eλ（1）U（1）iU（1）j（31）eξi=1-eλ（1）[U（1）i]（32），其中U（1）i是样本相关性矩阵的第一个主分量ψij=Cij/σiσj，而λ（1）是相应的特征值。注：t 0<eξi<1。现在我们不再有一致的相关性，并且（在第零近似下）我们有v（1）i∝ σiU（1）i，so V（1）i对于较大的σi是倾斜的（因为U（1）i独立于σi，且不倾斜；在第0近似下U（1）i≈ 1/√N）。因此，问题依然存在。一个简单的“fix”是从倾斜的beta开始，例如，如果我们取γi=σiin（20），那么我们有wi=U（1）i/σi，其中U（1）ii是样本相关矩阵ψij的第一个主成分。

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2022-6-10 07:57:56

现在WI是倾斜的，但方向相反——波动性股票的权重被抑制，这是一个受欢迎的特征。这似乎解决了构建一个可接受基准的问题。然而，还有其他一些问题我们一直推迟处理。首先，一般来说，U（1）的某些元素是负的。因为长期以来，我们只希望实际的λ（1）更高，而实际的V（1）对于大的σi更加倾斜，这进一步帮助了我们在这里提出的观点。无论如何，在实践中，第零近似值是很好的。例如，对于[Kakushadz E和Yu，2018]第2.6小节中讨论的数据集，该数据集基于3810只美国股票的每日收盘收益率，考虑了21天的历史波动率，我们有以下比率σi/PNj=1σj:Min=1.70×10的统计数据-7，第一个四分位数=3.48×10-5，中值=7.79×10-5，平均值=2.63×10-4，第三个四分位数=2.00×10-4，最大值=4.39×10-2、因此，假设ρ不太小，则第零近似值（28）是正确的，考虑到上述数据集ρ=0.10的21天历史平均成对相关性，这种情况下。如果我们设置ρ=ρ，那么对于κi=（1- ρ） σi/ρPNj=1σj我们有最大值（κi）≈ 0.4对于大多数股票κi<< 此外，与上述零次近似值相比，κiis不小的相对较少的股票对λ（1）和V（1）的贡献更大，这进一步加剧了V（1）i（和wi）对于大σi的偏斜度（见下文）。在（30）中，样本相关矩阵ψij由基于第一主成分U（1）iofψij的单因素统计风险模型ψij替代。Se e【Kakushadze和Yu，2017】了解详情。E、 g.，在fn中提到的数据集中。15，在3810个元素中，575个（或超过15%）的U（1）和668个V（1）元素为阴性。这是一个相当大的数字。wi>0，这会引发问题。

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能者818

2022-6-10 07:57:59

避免这种情况的一种方法是不使用（20）（γi=σi），而是按照以下步骤进行。首先，我们不是使用样本协方差矩阵Cij，而是通过单因素统计风险模型（30）对其进行建模（见fn.16）。C给出的Cijis的逆-1ij=σiσjeψ-1ij（33）eψ-1ij=eξiδij- qU（1）ieξiU（1）jeξj（34）q=“1/eλ（1）+NXk=1[U（1）k]/eξk#-1（35）LetH+={i | U（1）i≥ 0}和H+={i | U（1）i<0}。然后我们可以设置（这里γ是一个新的归一化常数，而κ是一个要固定的参数）βi=γσiU（1）i，i∈ H+（36）βi=κγσiU（1）i，i∈ H-（37）wi=等式U（1）iγσieξih1/eλ（1）+（1- κ） G级-i、我∈ H+（38）wi=等式U（1）iγσieξihκ/eλ（1）- (1 - κ） G+i，i∈ H-（39）eq=h（G++κG-)/eλ（1）+（1- κ） G+G-我-1（40）克+=Xk∈H+[U（1）k]/eξk（41）G-=Xk公司∈H-[U（1）k]/eξk（42）然后，对于i∈ H-对于κ，我们有：wi<0*< κ ≤ 1.对于κ=κ，wi=0*;对于κ<κ，wi>0*. 这里是κ*=G+1/eλ（1）+G+（43）现在：i）N+=| H+|大大大于N-= |H-| （so G+~>1); 和ii）1/eλ（1）<< 1，那么相应的对κ的贡献*（43）中为转载。因此，κ*≈1.-1/G+eλ（1）非常接近1。此外，G+>> G-. 奇怪的是，假设G+/G-~ N+/N-. 然而，通常情况下，G+/G-比N+/N大得多-. 额外的偏差是由于平均负对相关的绝对值大大低于平均正对相关的绝对值。通常，U（1）II中的任何元素都不会精确为0。成对相关，这意味着i的平均值[U（1）i]∈ H-比平均值[U（1）i]低很多∈ H+，这反过来意味着i的平均ξi接近于1∈ H-比我∈ H+。那么，让κ=1-ζ/G+eλ（1）。对于ζ=1，我们有κ≈ κ*（直至转载更正）。对于ζ>1，i的wi>0∈ H-. 然而，如果我们取ζ>> 1，则i的平均权重wi∈ H-会比我高很多∈ H+。这意味着ζ~ 1.

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2022-6-10 07:58:02

然后我们有（至转帐更正）wi≈U（1）iγσieξiG+，i∈ H+（44）wi≈ -U（1）iγσieξiG+[ζ- 1] ，我∈ H-（45）因此，我们可以确定ζ=ζ的值*这样Wii的平均值（或中位数）在H+和H中是相同的-. 这样，这两组股票在基准中的平均权重或多或少相等，所有wi>0（且H中的βi<0-).这里有人可能会认为，ζ=2的解，其中wi≈ |U（1）i |/γσieξiG+，更自然（尽管平均重量wi，i∈ H-, 比重量还小∈ H+。然而，这里并没有定义ζ的灵丹妙药。在f act中，使用单个参数ζ进行参数化只是无数其他参数中的一种可能性。现在，关于ζ，它可以选择在（略高于）1和（略高于）ζ之间*如上所述。那么，问题解决了吗？嗯，不完全是。βi的微小变化（相对而言为1阶/G+eλ（1））导致基准权重的1阶变化，这一事实应该敲响警钟。罪魁祸首是，如前所述，在零近似中，我们有U（1）i≈ 1/√N、这就是所谓的“市场模式”——ψij的第一个主成分对应于广义市场的整体运动（参见，例如，【Bouchaud和Potters，2011年】）。与U（1）i的偏差≈ 1/√n与具有不同βi/σi的不同股票相关。然而，在简单的1因素模型（30）中，非常不同的基准具有几乎相同的beta。为此，考虑权重wi=ωi/σi，其中0<ωi~ 考虑到eξiωi+eλ（1）U（1）iNXj=1U（1）jωj#（46），我们得到了βi=σiσF“eξiωi+eλ（1）U（1）iNXj=1U（1）jωj#（46）~ 1和λ（1）>> 1、对于fn中提到的数据集，由于特定风险而产生的第一项风险为。15，H+的中位数（平均值）相关性为0.214（0.239），而H-它是-0.136 (-0.165). H+中的中位数（平均值）[U（1）i]为2.40×10-4(2.99 × 10-4），而在H-为2.22×10-5(5.82 × 10-5).

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2022-6-10 07:58:05

中位（平均）eξiin H+为0.838（0.799），而H-它是0.985（0.961）。此外，G+=1.637，G-= 0.03919，andeλ（1）=674.35。对于fn中提到的数据集。15，ζ的值*根据中位数（平均值）计算得出的结果为6.988（6.18 1）。这反映了H+和H中股票之间的不对称性-如上所述。次级项和第二项占主导地位，因此我们有βi=σiσFeλ（1）U（1）iNXj=1U（1）jωjh1+O（1/eλ（1））i（47），因此，直到小的O（1/eλ（1））修正，βi与σiU（1）i成正比，而与ωi的单个值无关。因此，所有建造大于0的体操只是一种幻觉和自欺欺人的练习。有办法解决这个问题吗？使βA与βi显著偏离∝ σiU（1）i，我们可以尝试通过K因子统计风险模型包含更高的主成分：Cij=σiσjeψij（48）eψij=eξiδij+KXa=1eλ（a）U（a）iU（a）j（49）eξi=1-KXa=1eλ（a）[U（a）i]（50）这里K>1可以使用[Roy和Vetterli，2007]的eRank（有效等级）或其他一些方法来确定-详情参见[Kakushadze和Yu，20 17]。这种方法的一个“技术”问题是，确保wi>0变得更加混乱。一个更重要的概念性问题是，较高的主成分在样本外本质上是不稳定的。然后，使用此类模型构建的基准权重wi和betasβi继承了这种不稳定性。这不是一个富有成效的方向。3.2回到单因素模型虽然我们可以而且将考虑统计风险模型之外的多因素模型，但我们还没有完全完成单因素模型。让我们考虑一个一般的单因子模型：Cij=σiσjeψij（51）eψij=eξiδij+Ohm我Ohmj（52）eξi=1- Ohm我（53）先验地，我们只能要求Ohmi<1和Ohm否则我是武断的。

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2022-6-10 07:58:08

如果wetakeOhmi=βi/σi，straig-htforward代数给出i=ηβiξi（54）ξi=σieξi（55）η-1=NXi=1βiξi（56），这里ξ是协方差矩阵ix Cij中的特定方差（与前ξi相反，前ξi在相关矩阵ψij中是相同的量）。因此，在总体归一化fa cto rη之前，wi与βi/ξi成正比，这与我们假设Cij=ξiδij（尽管这一点一开始看起来很奇怪）得到的结果相同。换言之，我们似乎忽略了风险因素，只考虑特定（特殊）风险。然而，这个结果实际上并没有什么问题。重要的是，如果所有的βi>0，那么所有的wi>0.3.3解释权重（13）都是最大化基准k投资组合的预期收益率的解决方案，如果我们将βias视为我们股票的预期回报Ei：Ei=γβi（57），其中γ是一个非实质性的（f或我们这里的目的）总体或最大化因子。经验夏普比由S=σFNXi=1Eiwi（58）σF=NXi，j=1Cijwiwj（59）给出，最大化S w.r.t.wi，我们得到（13）到整体归一化因子。可通过要求Nxi=1wiβi=1（60）来解决后者，这是（13）和（14）的结果。现在我们可以用“市场模式”来理解上述问题。最大限度地提高夏普比率套期保值可以抵御大盘的崩盘（即所有或大部分股票同时抛售）。虽然在构建美元中性投资组合时，这是很自然的事情，但在构建只做多的投资组合时，这样做毫无意义。事实上，长期投资组合因定义而面临市场风险。对冲特定风险是有意义的，这相当于从Cij（在a1因子模型中）中扣除因子风险，并简单地取Cij=ξiδij，即将其视为我们只有特定风险。

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2022-6-10 07:58:11

因此，这里的教训是，我们必须消除“市场模式”。在这里，我们没有交易成本、边界或约束，因此最大化夏普比率等同于均值-方差优化【Markowitz，1952年】。例如，参见【Kakushadze，2015a】。不确切，但大致如此。然而，当N较大时，对于单因素模型（例如，基于（30）中的第一个主成分U（1）ias），1/N会抑制“错误边缘”[Kakushadzeand Yu，2017]。3.4多因素模型下一步，让我们讨论一般的多因素模型协方差矩阵Γij：Γij=ξiδij+KXA，B=1OhmiAφABOhmjB（61）此处：ξiis特殊（又称特质）风险；OhmiA，A=1，K、是系数荷载矩阵；φAbi是因子协方差矩阵。就我们的目的而言，了解Γijis是如何构造的并不重要。这里重要的是：参与者的风险数量K<< N（K仍然可以是数百）；所有ξi＞0；φABispositive definite（然后so isΓij）；Γii=Cii（因此样本方差匹配）。使用ΓijΓ的逆-1ij=ξiδij-KXA，B=1OhmiAξiQ-1AB公司OhmjBξj（62）QAB=φ-1AB+NXi=1ξiOhmiA公司OhmiB（63）代替C-1ijin（13）和（14），我们有wi=σFξi[βi- Υi]（64）Υi=KXA，B=1Ohm室内空气品质-1AB∧B（65）∧A=NXj=1βjOhmjAξj（66）σF=“Θ”-KXA，B=1∧AQ-1AB∧B#-1（67）Θ=NXj=1βjξj（68）权重wi可重写如下。删除OhmiA=ξiOhmiA公司- βi∧AΘ（69）eΥi=KXA，B=1eOhm室内空气品质-1AB∧B（70）有关一般讨论，请参见，例如。，[格林诺德和卡恩，2000年]。关于基因ral多因子ris k模型的明确开源实施，请参见【Kakushadze和Yu，2016a】。简单代数的结果是wi的以下表达式：wi=βiΘξi- σFeΥi（71）注意（因此，我们有（60））NXi=1βieΥi=0（72），因此，假设所有βi>0，（71）中的第一项总是正的；然而，eΥ可以是负的（在这种情况下，Wii是正的）或正的，在这种情况下，wican是有益的。

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2022-6-10 07:58:14

一种看似“简单”的方法来确保所有wi>0都是Ohmi因此它们与βiNXj=1βj“正交”OhmjAξj≡ 0（73）在这种情况下，我们有∧A≡ 0安第斯≡ 然而，这是不可行的，因为先验（即在构建全风险模型之前）ξi未知，且依赖于OhmIAS高度非线性（详见[K akushadze and Yu，2016a]）。另一方面，推导确保wi>0（或至少wi）的条件也是不切实际的≥ 0）对于一般多因素模型。尽管如此，（73）有一个重要的解释：这只是要求风险因素与“市场模式”是“正交的”。事实上，我们可以反过来问：如果我们包括“市场模式”，会发生什么？对于单因素模型，我们已经知道了答案：如果我们将相应的因素负荷作为βi，那么因素风险不会影响权重wi。但对于一个多因素模型来说，情况更为棘手。那么，让我们假设Ohmi1=βi。然后我们可以始终旋转rOhmiA，A>1，使得∧A≡ 0表示>1。（并不是说这个旋转影响φAB。）我们有Ohmi1≡ 0，whileeOhmiA=OhmiA/ξIf或A>1。因此，我们有EΥi=ΘKXA=2eOhm室内空气品质-1A1（74）QA1=φ-1A1，A>1（75）So，如果φA1≡ 0表示A>1，那么对于A的这些值，我们还有φ-1A1≡ 0，QA1≡ 0和Q-1A1≡ 0，这意味着EΥi≡ 因此，正是“市场模式”和其他风险因素之间的非零相关性（即混合）使得eΥi6=0，这可能导致一些负wi。盘车设置φA1≡ 0对于大于1的特殊情况（与上述原因相同，这是不可行的），如果我们不排除“市场模式”，则没有简单的方法可以保证wi>0。可以肯定的是，正如前面所提到的，也没有切实可行的方法来证明这一点。然而，我们这里的观点是，不排除“市场模式”会进一步加剧这一问题。那么，我们在海上吗？不完全是。

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2022-6-10 07:58:17

我们只需要深入挖掘。3.5二元“集群”因子因此，在实践中，因子载荷不是任意的，而是相对受限的。因子加载s矩阵的列Ohm通常基于：i）行业分类（或其他聚类）；ii）风格因素（如规模、价值、流动性、波动性等）；和/或iii）主要成分。我们已经讨论了主要组件，稍后我们将再次讨论它们。我们还将回到风格因素。在此，我们重点关注基于“集群”的因素，这些因素可以基于基础行业分类或统计数据【Kakushadze和Yu，2016b】。首先，让σi=Ciibe为基于历史时间序列数据计算的总样本方差。我们有（见上文）Γii=σi。波动率σi具有一个倾斜的（大致对数正态）横截面分布，具有长尾f或更高的σi值。这就是为什么在实践中，与其通过因子模型直接建模CIJi，不如对样本相关矩阵ψij=Cij/σiσj进行建模，从中可以很好地计算出σi中存在的偏度。实际上，对角线元素ψii≡ 1，以及o f-对角线（即，沿方向的相关性）|ψij |<1（i 6=j）。就Γij的因子模型而言，这意味着Γij=σiσjbΓij（76）bΓij=bξiδij+KXA，b=1bOhmiAφABbOhmjB（77）bξi=ξi/σi（78）bOhmiA=OhmiA/σi（79）bξi+KXA，b=1bOhmiAφABbOhmiB公司≡ 1（80）材料r ixbOhmIa在σi中完全没有任何偏斜。这简化了很多事情。现在，让我们考虑一个模型，其中因子载荷bOhmi基于二进制行业分类：bOhmiA=OhmiδG（i），A（81）G：{1，…，N}7→ {1，…，K}（82）这里：N向量Ohmia先验是任意的；G将i（i=1，…，N）标记的股票映射到A（A=1，…）标记的“集群”。

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2022-6-10 07:58:21

，K）；每个集群包含且仅包含一个股票；J（A）={i | G（i）=A}是属于A标记的集群的股票集合；N（A）=| J（A）|是所述集群中的股票数量。集群可以是二元产业分类中的部门、行业或子行业。We有关详细信息，请参见【Kakushadze，2015c】、【Kakushadze和Yu，2016a】。例如GICS（全球行业分类标准）、BICS（彭博行业分类系统）、SIC（标准行业分类）等。在公共关系公司中，我们还可以将一些股票（企业集团，其数量通常相对较小）的准二元分类视为多个集群。我们不会这样做，也不会对我们的目的造成批评。那么havebξi=1- OhmiφG（i），G（i）（83），这意味着（通过定义，φabi是因子协方差矩阵，因此φAA>0）Ohmi<1/φG（i），G（i）（84）Ohmi、我们基本上有三个选择。我们可以Ohmi=1/pN（A），i∈ J（A），即簇内载荷均匀。另一个选择是Ohmi=[U（A）]i，i∈ J（A），其中N（A）-向量【U（A）】是N（A）×N（A）矩阵【ψ（A）】的第一主成分ij=ψij，i，J∈ J（A）。最后，我们可以Ohm这是一个风格因素。一旦Ohm根据规定，可以计算因子协方差矩阵φAb和特定风险bξ。因此，在我们讨论了单因素情况之后，让我们Ohmi=βi/σi。然后straig-htforward代数给出i=σFβiξiγG（i）（85）ξi=σibξi（86）γA=1-KXB=1Q-1AB∧B（87）∧A=Xj∈J（A）βiξi（88）QAB=φ-1AB+λAδAB（89）σ-2F=KXA=1∧AγA（90），这里ξi是因子模型协方差矩阵Γij中的特定方差（与tobξi相反，它在相关矩阵xbΓij中是相同的量）。因此，（85）中的重要一点是，每个集群内的权重计算方法与单因素模型中的方法相同（即忽略因素风险）。

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kedemingshi

2022-6-10 07:58:24

归一化因子γG（i）在每个簇内是均匀的，并且仅在簇之间变化。它们是通过优化K个集群的集群回报而产生的（见下文）。在这方面，它们不能保证是积极的。因此，如果我们假设不存在任何风险，那么二元风险模型的构建就是如此【Ka kushadze和Yu，2016a】。这是杂种优势结构【Kakushadze，2015c】【Kakushadze和Yu，2016a】。这就是杂种优势CAPM结构【Kakushadze和Yu，2016a】。“s型”因子可与βIIT自身相关（见下文）。更准确地说，取决于历史回溯，φAb可以通过因子回报的样本协方差矩阵来计算，或者其本身必须通过因子模型协方差矩阵来建模，因为样本因子协方差矩阵可能是奇异的或不稳定的。然而，对角线元素φaa始终与（适当定义和归一化）因子r的样本变量相同。参见【Kakushadze，2015c】【Kakus hadze和Yu，2016a】。团簇之间的混合，即pa ir因子相关性消失（φAB≡ 0，A 6=B），则γA=1/（1+φAA∧A）>0。在混合的情况下，我们可以得到一些负的γA。然而，相应簇中的所有γA也都是负的（假设所有βi>0）。这是优化clusterreturns的一个工件，它（大约）对冲了所有正在破产的集群。正如在单因素模型的情况下，对于仅长期投资组合来说，这样做是没有意义的。E、例如，如果集群是一个部门，而我们的广泛基准包含所有部门的股票（每个部门本身都有很好的多样性），那么对冲所有部门的破产是没有意义的——根据定义，基准是所有部门。

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2022-6-10 07:58:27

从数学上讲，这可以理解为包含其自身“市场模式”（对应于所有部门的整体变动）的因子协方差矩阵，在计算基准权重wi时，必须将其消除。这可以通过a1因子模型对φAb建模看出。故事与上文相同，集群取代了股票。3.5.1示例：1-因子φAB为了说明上述讨论，为了达到我们的目的，这里需要考虑因子协方差矩阵的a1因子模型：φAB=ζAδAB+χAχB（91）直接代数，然后yieldsQ-1AB=νAδAB+κχAνAζAχBνBζB（92）νA=ζA+λA（93）κ=1+KXA=1χA∧A1+ζA∧A（94），所以我们有γA=κ-11+ζA∧A1-KXB=1；B6=AχAχB- 1.χB∧B1+ζB∧B！（95）对于通用χA（即|χA/χB- 1| ~ 1，B 6=A），一些γAcan可以为负值。考虑因素A=A*, χA*= 最大值（χA）。如果K>> 1，避免负γA*, 我们必须假设χB∧B/（1+ζB∧B）<< 1对于大多数B 6=A*. 如果，对于此类B，ζB∧B~>1，那么我们有χB/ζB<< 1和大多数成对簇关联都很小。相反，如果ζB∧B<< 1，则χB∧B<< 1和ζBOhm我<< 1和|χB|Ohm我<< i为1∈ J（B），所以，无意义地，集群内成对股票相关性BΓij=Ohm我OhmjφBB<< 1，i 6=j，i，j∈ J（B）。此外，如果所有ζA∧A<< 1，群内和群间成对股票相关性bΓij=Ohm我OhmjφG（i），G（j）<< 1，i 6=j，除非所有|χA |>> ζA，即，除非所有簇几乎100%（反）相关，否则无意义。也就是说，在（不切实际的）ζA∧A中<< 1极限值Γijis almo st对角线。3.5.2聚类权重S，我们如何计算它们是否为非负？我们可以通过看（95）来获得视力。让我们，特别地，把所有的χA统一起来：χA≡ χ. 然后我们得到γA=κ-11+ζA∧A（96）和所有γA>0。所以，对于非实质性的整体归一化因子，这与我们假设φABis对角线得到的结果相同，在这种情况下，我们得到γA=1/（1+φAA∧A）。

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2022-6-10 07:58:30

然而，这里φAbi不是对角线，在（96）中，我们有分母的特殊方差ζAin，而不是总方差φAA。这是因为我们有效地放弃了φAB中的“市场模式”（即事实风险）。什么是特定风险。那么，问题是，（96）的解释是什么？让我们从其他集群中独立地查看每个集群。我们可以使用t he1因子模型方法构建每个集群对应的股票范围的基准。这些权重由（见（54））[w（A）]i=ηAβiξi，i给出∈ J（A）（97）η-1A=Xj∈J（A）βJξJ=∧A（98）现在我们可以构建集群回报，即K个基准投资组合对应于K个集群的回报，viaRA=Xi∈J（A）[w（A）]iRi（99）由于（达到整体归一化因子）Ei=βi是股票的预期收益，因此集群的预期收益EA是EA≡ 1、如果我们构建一个由所有集群组成的“g全球”基准端口对账单，那么我们组合集群的相应权重为（标准化为pka=1wA=1）wA=uEAζA=ζuA（100）u-1=KXA=1EAζA=KXA=1ζA（101）此“全球”基准投资组合中的股票权重由wi=wA[w（A）]i=uζA∧Aβiξi，i给出∈ J（A）（102）这正好是（85），γAof的形式为（96），σF=uκ（见（90）），在ζA∧A的极限处>> 那么，问题是，（96）中额外的1是什么意思？为了理解这一点，让我们考虑相反的极限，其中ζA∧A<< 在这个极限中，成对股票相关性很小（见fn.30）。这意味着总风险近似等于特定风险，因子模型协方差矩阵近似对角线。因此，在这一限制下，集群的影响是可以忽略的，我们应该恢复单因素模型的结果（54）。这正是ζA∧A中发生的情况<< （90）中的1个极限为γA≈ 1/κa和ofA无关，所以（85）正确地减少到（54）。

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2022-6-10 07:58:33

对于中间值ζA∧A~ 1、（90）在两个极限之间平滑插值。这就是全面优化的目的，它平衡了股票特定风险和因素风险。唯一的“松散”是，在得出（9 0）时，我们假设一致χA≡ χ、这导致γAthat naively可能与χ无关。然而，∧a依赖于bξi=1- OhmiφAA=1- Ohmi（ζA+χ），i∈ J（A）。此外，通过涉及因子回报时间序列的计算，ζ依赖于χ（φAB的1因子模型（91）中的因子负荷）（参见【Kakushadze，2015c】，【Kakushadzeand Yu，2016a】）。那么，前面提到的“宽松的结局”是：为什么χA≡ χ均匀？这是因为集群的预期回报是一致的：EA≡ 1（高达n个总体归一化因子）。因此，相应的因子betasβAare是均匀的：βA≡ b、因此，根据我们在第3.2小节中的讨论，因子荷载OhmA相关矩阵ψAB=φAB/σAσB（其中σA=φAA）的1-fact r模型由下式给出OhmA=βA/σA，而协方差矩阵χA中的相应因子载荷=σAOhmAis简单χA=βA≡ b、即，χAare均匀，χA≡ χ、 χ与b相同。请注意，虽然我们在这里的讨论可能显得有点“漫不经心”，但βa和χa的归一化并不是这样。这是因为，在a1因子模型中，因子负荷χAsubsumes 1×1因子协方差mat r ix，称之为ν。因此，因子模型（91）实际上是：φAB=ζAδAB+χ′AИχ′B（103），这里χ′Ais是原始（非标准化）因子负荷，χA=√νχ′A。因此，我们可以用βA来识别χ′A≡ b、可以任意进行非标准化，然后将该非标准化包含在χAvia~n中，该值基于因子回归的时间序列计算，并取决于χ′A。

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2022-6-10 07:58:36

最终结果是我们的χA是一致的：χA≡ χ.3.5.3上述推广我们讨论了聚类因子协方差matr ixφAB的1因素模型。然而，我们可以将我们的结果推广到φAB的多因素模型，其中标记为A的K聚类可以进一步分组为F聚类（通常，F<< K），我们将用a标记，a=1，F这自然出现在二元基本产业分类中。E、例如，在BIC（见上文）中，在最细粒度的层面上，我们有子行业，这些子行业被分组为行业，这些行业本身是组合的，除非所有的|χA |>> ζA.达到非实质性的整体归一化，即：κ显式依赖于χ。这种结构也出现在统计行业分类中【Kakushadze和Yu，2016b】。进入部门。这条链可以被认为是以最终分组为一个与（广泛的）“市场”相对应的单个集群而结束的。因此，上述单因素模型可以描述BICS行业，单因素负荷对应“市场”。或者，我们可以选择子行业或行业，为它们建立直接进入“市场”层面的1因素模型。然而，相反，我们可以建立多因素模型，例如，A标签子行业和A标签行业，或A标签子行业和A标签行业等。因此，这里的想法是，我们有一个φAB的事实r模型：φAB=ζAδAB+FXa，b=1χAaДABχBb（104）χAa=χAδS（A），A（105）S：{1，…，K}7→ {1，…，F}（106）这里：χAais a K×F factor loadings mat r ix；|abis an F×F F因子协方差矩阵；K向量χAis是先验任意的；S将A标记的K“子簇”映射到A标记的F“簇”，A=1，F每个集群包含且仅包含一个子集群；J′（a）={a | S（a）=a}是属于a标记的簇的子簇集。

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2022-6-10 07:58:39

直接代数给出：Q-1AB=νAδAB+χAνAζAχBνBζBκ-1S（A），S（B）（107）νA=ζA+λA（108）κab=Д-1ab+δabXA∈J′（a）χa∧A1+ζa∧a（109），所以我们有γa=1+ζa∧a“1-χAKXB=1χB∧B1+ζB∧Bκ-1S（A），S（B）#（110）按照上述逻辑，我们必须取一致的χA≡ χ. 然而，与κ是数字的1因子情况不同，这里我们有一个矩阵κab，它依赖于Дab的细节。考虑一个1因子模型：Дab=ρaδab+ωaωb（111），原因与χa的原因相同≡ χ是统一的，我们必须取统一的ωa≡ ω.这是在[Kakushadze，2015c]和[Kakushadze and Yu，2016a]中使用的[Kakushadze，2015b]的原始嵌套“俄罗斯n娃娃”嵌入。因此，我们将K个子簇分组为F簇。与（97）类似，我们可以构建对应于每个集群的子集群的基准（回想一下EA≡ 1）：[w（a）]a=ηa/ζa，a∈ J′（a），其中η-1a=PA∈J′（a）ζ-2A。我们可以通过K子集群返回：Ra=PA来计算F集群返回nsraus∈J′（a）[w（a）]ARA。当集群预期返回时≡ 因此，统一ωa。同样，上述内容适用于非实质性的整体归一化。对于一致ωa，直接代数产生以下简单结果：γa=1+ζa∧A1+ρS（a）λS（a）1+τ（112）λa=χXA∈J′（a）∧A1+ζa∧a（113）τ=ωFXa=1λA1+ρaλa（114）注：由于χa和ωa是统一的，所以（112）中的f发生得很精确。3.6一般“俄罗斯玩偶”嵌入上述我们考虑了一个2级聚类方案。现在很明显，如何将其推广到任何P级聚类方案。我们有以下顺序：库存（0级）→ 一级集群→ 二级集群→ . . . → P级集群→ “市场”（级别-（P+1））。

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2022-6-10 07:58:42

这里的“市场”指的是N个股票的整个宇宙，可以被认为是上述序列中的最终单个集群。因此，BICS是一个三级行业分类（P=3），其中一级集群=BICS子行业，二级集群=BICS行业，三级集群=BICS行业。我们有以下嵌套的“俄罗斯玩偶”风险模型构造（此处l = 1.P）：Γ(l)A(l),B类(l)=hζ(l)A(l)iδA(l),B类(l)++K级(l+1） XA公司(l+1），B(l+1)=1Ohm(l)A(l),A(l+1)Γ(l+1） A(l+1），B(l+1)Ohm(l)B类(l),B类(l+1）（115）此处：A（0），B（0）=1，N标签STOCK（即，它们是上述符号中的指数i，j=1，…）；Γ（0）ij=Γij是股票的因子模型协方差矩阵（而[ζ（0）i]=ξi是相应的特定方差）；A(l), B类(l)= 1.K级(l),l = 1.P，标记标高-l 集群；Γ(l)A(l),B类(l), l = 1.P，是对应于水平的f系数矩阵-l 集群；t级-（P+1）我们有a（P+1）=B（P+1）=1（即，这些指数只对应于“市场”，因此我们有K（P+1）=1），我们可以让[ζ（P+1）]=Γ（P+1）>0（soΓ（P）a（P），B（P）是一个1因素模型），或者我们可以设置[ζ（P+1）]=Γ（P+1）=0（soΓ（P）a（P），B（P），让我们强调一下，与此不同对于股票，均匀因子负荷对于集群（例如，工业、服务器等）是合理的。这是因为集群是多样化的股票投资组合，与股票相比，波动率的偏差较小。

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2022-6-10 07:58:45

因此，在这方面，应避免非常多的购物中心集群。此外，上述序列中的最后一段“P级集群→ 如果需要，“市场”（级别-（P+1））”可以视为可选，也可以省略（见下文）。请注意，GICS（见上文）的P=4级。是诊断性的，即“0因素模型”）；最后，对于因子贷款Ohm(l)A(l),A(l+1）我们有（这里，如上所述，βi是股票β）：Ohm（0）i，A（1）=βiδG（0）（i），A（1）（116）Ohm(l)A(l),A(l+1)= χ(l)δG(l)（A）(l)),A(l+1), l = 1.P（117）G(l): {1，…，K(l)} 7.→ {1，…，K(l+1)}, l = 0, 1, . . . , P（118）此处：G(l)是来自关卡的地图-l 群集到级别-(l + 1）集群，l =0, 1, . . . , P“0级集群”=库存；K（0）=N；在一级-（P+1），我们有“市场”（单个“集群”）。基准投资组合权重由以下公式给出：wi=σFβiξiγG（0）（i）（119）γA（1）=P+1Yl=1.1+hζ(l)F级(l)（A（1））i∧(l)F级(l)（A（1））-1（120）F（1）（A（1））=A（1）（121）F(l+1）（A（1））=克(l)（F）(l)（A（1））=克(l)（G）(l-1）（…G（1）（A（1））…））（122）∧（1）A（1）=Xj∈J（0）（A（1））βJξJ（123）∧(l+1） A(l+1)=χ(l)XA公司(l)∈J(l)（A）(l+1))Λ(l)A(l)1+hζ(l)A(l)i∧(l)A(l)-1(124)σ-2F=K（1）XA（1）=1∧（1）A（1）γA（1）（125），此处：l = 1.P in（124）；集合J(l)（A）(l+1））={A(l)|G级(l)（A）(l)) = A(l+1)}; andF（P+1）（A（1））=1。基准权重（119）是我们的主要结果之一。3.7风险模型构建假设所有βi>0（和所有χ(l)> 0），我们可以构建所有积极的WI也就不足为奇了，因为mat r ixΓij包含所有积极的元素。因此，根据Perron-Frobenius定理[Perron，1907]，[Frobenius，1912]，所有V（1）i>0（或可以选择为所有V（1）i的符号，并且始终可以同时显示），其中V（1）i是Γij的第一个主分量。

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mingdashike22

2022-6-10 07:58:48

然而，（119）不是基于一些随机正协方差（或相关）矩阵Γij的主成分。相反，这里我们构造了一个非随机、有意义的Γij，用于“任意”βi>0。此外，请注意，产品（120）中的系数对应于l = P+1实际上与A（1）相关，如果ζ（P+1）=0，则等于1（即，如果Γ（P）A（P），B（P）是“0因子模型”）。现在，这是一些合格的地方。很明显，βi必须与σi类似，其中σi=Γii=股票的样本方差。一、 e.，bβI=βI/σii预计不会出现偏差的量。否则，在相同的1级集群内，标记为σi大的A（1）股票，i∈ J（0）（A（1）），与其他股票的相关性较小。因此，在0级，我们有以下系数模型bΓij，用于相关矩阵bξij=σiσjbΓij（126）bΓij=bξiδij+bβiΓ（1）G（0）（i），G（0）（j）bβj（127）bξi=ξi/σi（128）bξi+bβiΓ（1）G（0）（i），G（0）（i）≡ 1（129）如【K akushadze，2015c】、【Kakushadze和Yu，2016a】所述，很难满足条件（129）。特别是，对于Bβiwa的一般值，我们必须使用[Kakushadze和Yu，20 16a]第4节的方法，其中我们有一些试验值bβ′i和与Bβ′ivia相关的实际值bβiAr是bβ′i和样本相关矩阵ψij的高度非线性组合。因此，将bβ′i与期望值bβi分离是不可行的。为了避免此类非线性的复杂性，我们可以使用[Kakushadze，2015c]，[Kakushadze and Yu，2016a]的杂合结构，其中bβi，i∈ J（0）（A（1）），由方块ψij，i，J的第一个主分量给出∈ J（0）（A（1））。然而，这些主成分不能保证都是正的。这可以通过变形每个块来克服，使其中的所有相关性都为正。这是可行的，但有点复杂，没有独特的方法来做到这一点。

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2022-6-10 07:58:51

最后，我们将只有βi的一个选择，即由于变形的选择，βi会发生变化。另一种可能性是服用βi≡ 1并使用【Kakushadze和Yu，2016a】第3.2 o小节中的二进制结构。在这种情况下，我们不需要变形样本相关矩阵。然而，在这里，我们也有一个βi.3.7.1计算特定风险的单一选择，正是因为我们处理的每个区块都是一个单因素模型，我们可以使用另一个简单的方法来满足（129）。考虑到对称的M×M材料，为了清楚起见，【Kakushadze和Yu，2016a】第4节的方法非常适合我们构建因子模型，例如，用于优化目的，并且无需担心因子荷载的精确值（即，试验荷载和实际荷载不相同的事实）。然而，目前的问题是不同的，即构建一个基准投资组合，可忽略beta，并且实际的因子负荷必须通过构建与这些beta一致。注意，当bA（1）>0时，我们可以取bβi=bG（0）（i），否则是任意的。这是因为任何重新校准Bβi→bβibG（0）（i）简单地被因子协方差矩阵Γ（1）A（1），b（1）的相应重标度吸收→ Γ（1）A（1），B（1）/bA（1）bB（1），因此因子模型不受影响。此外，此方法不适用于标高-l 集群，l ≥ 1（见下文）。Xαβ，α，β=1，M、在这里，我们可以假设Xαβ是半正定义（正如我们对Xαβ是协方差或相关矩阵的情况感兴趣）。假设我们希望通过一个单因素模型对其进行建模：Yαβ=aαδαβ+bαθbβ（130），需要复制对角线元素：Yαα=Xαα=α（131）aα+θbα=α（132），因此，我们需要根据bα和Xαβ的值来拟合未知的θ。我们可以这样做。

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