所有其他参数均设置为表1中的默认值。我们还研究了该模型的稳定策略，以确定集团内和集团外互动的预期收益，并改变与集团外互动相关的风险。一旦我们看到在中间环境中从稳定的低极化策略转变，除非组外互动的风险变得很低（即QO变得足够大），在这种情况下，低极化策略总是稳定的。与外部群体互动与内部群体互动成功的外部群体互动概率，qoEnvironment quality！qi=1.0Bi=0.5Boqo=0.6固定预期交互效益图S3–稳定平衡，假设来自组内和组外交互的固定预期效益，qiBiandqoBounder组外交互qo（y轴）和跨环境（x轴）的不同风险。所有其他参数均设置为表1.2.3交互次数的影响中的默认值。我们检查了交互次数n对结果的影响。

由此，我们得出如下四个定性结论：o当每个组外互动的预期收益增加很高（20%）时，只有当互动的数量很小（n∈ [10，50]互动，图4a，S4c和S4d））o当每个群体外互动的预期收益增长率较低（2%）时，即使每个个体参与了数百次互动，高极化也会占据主导地位（图S4b））o增加sigmoid函数的陡峭度（即衰退环境中的失配率）使得高极化更可能占据主导地位，即使个体参与许多交互作用（n<50，图S4c）o降低线性函数的陡峭度在性质上具有相似的效果（图S4d）与组外交互作用与组内交互作用数量、环境质量、！qi=1.0qi=0.51Bi=0.5Bo=1.0h=10“=0.02与组外交互交互组内交互次数，环境质量，！qi=1.0qi=0.6Bi=0.5Bo=1.0h=10”=0.02与组外交互组内交互次数，环境质量！qi=1.0qi=0.51Bi=0.5Bo=1.0h=100“=0.02与组外相互作用与组内相互作用次数，环境质量，！qi=1.0qi=0.51Bi=0.5Bo=1.0h=100”=0.002图中缺少字母图S4-具有不同数量相互作用的稳定平衡n（y轴）和交叉环境（x轴）。

（左上）与组内相互作用相比，组外相互作用的预期收益增加了20%，高极化仅出现在n<10（右上）时，增加了2%。然而，即使n>100（左下）时，高极化仍然可以保持，增加了20%，并且具有陡峭的S形函数（h=100）。高极化可以保持更多的相互作用（n<50），并且（右下）对于较浅的线性函数α=0.002，情况类似。所有其他参数如表1.2.4收益累积率的影响所示。最后，我们改变了收益累积函数的曲率。在正文中，我们假设F（li，lo，θ）=exp[h（liBi+loBo+nθ）/n]1+exp[h（liBi+loBo+nθ）/n]（1+α（liBi+loBo））（14），其中第一个（sigmoidal）项捕获了这样一个想法，即在生物环境中，在低于某个阈值时，能力会快速倾斜，由于饥饿或在经济环境中由于无法履行基本金融义务等原因。第二个（线性）期限反映了这样一个事实，即一旦超过阈值，仍然有利于获得更高的支付，其中h决定阈值函数的陡度，α决定线性函数的陡度。注意，通过改变h和α，我们可以产生一系列从纯线性函数到重阶梯函数的性质不同的受益函数。最后，请注意，相互作用产生的有效效益累积阈值的位置取决于环境θ，环境θ描述了环境的严酷程度、资源的成本或可用性，这取决于我们是在考虑生物经济还是人类经济。我们发现，增加S形函数的陡度（图S5-顶行）对h的影响很小~ 然而，下面我们看到了良好环境中高极化战略的增加。

相反，如果组外互动的预期收益超过组内互动的预期收益，则增加线性函数α的陡峭度往往会减少高极化策略能够占据主导地位的环境范围（图S5，中间行）。我们还探讨了模型在恒定曲率f（li，lo，θ）=[（liBi+loBo+nθ）/n]β（15）的效益累积函数下的行为，其中我们选择指数形式，使得β=0对应于零曲率，负值对应于凹累积函数。在这里，我们可以预料到，只有当累积函数为凹函数时，才会出现规避风险的高极化策略。我们还观察到，在下降的环境中，从低极化策略到高极化策略的转变是相同的，但随着环境的持续下降，没有相应的反向转变（因为与公式14的累积函数不同，公式15具有固定的曲率方向-图S5，底行）。与外部群体互动与内部群体互动效益累积函数的曲率，$环境质量！qi=1.0qo=0.51Bi=0.5Bo=1.0横向曲率与外部组相互作用与内部组S形函数的陡度、环境质量、！qi=1.0qo=0.51Bi=0.5Bo=1.0阈值锐度与组外相互作用与组内线性函数的陡度相互作用，“环境质量，！qi=1.0qo=0.51Bi=0.5Bo=1.0线性累积率成功互动产生的收益景观曲率系数成功互动产生的收益H=2保持锐度系数成功互动产生的收益线性累积率H=10h=50”=2”=0.2”=0.02$=0.3$=-0.3图S5–具有不同收益累积的模型的稳定平衡功能。

左栏显示了变化的参数如何改变累积函数的形状，而右栏显示了当参数在不同环境（y轴）中变化时（y轴）模型的平衡。Toprow–增加sigmoidal函数的陡度对h=10以上的影响很小，但是对于较小的值，我们看到在良好的环境中极化会增加。中行-累积函数公式14中陡峭的线性分量往往会在极化能够保持的情况下减小环境范围。底部一行–改变公式15中累积函数的曲率，证明了风险规避需要凹效用函数这一已知结果，其中我们看到了与正文中所述的随着环境的下降从低极化到高极化的相同过渡。参数值如表1所示，但我们已将qo设置为0.51，以使这些参数变化的影响更清晰可见。3案例2：社会报酬3.1稳定性和可入侵性在该模型下，一名玩家h与另一名玩家g进行群体外互动的成功概率为qo（1-pg）其中-pg）说明g参与小组外互动的意愿。我们假设，如果由另一个玩家发起，玩家总是愿意参与组内互动（这体现了玩家总是愿意与其组内成员分享想法等。如果这种互动内在成本高昂，则情况可能并非如此）。模型的成对入侵图如下图S6-7所示。因为我们假设人口中N n、 居民g的能力与突变体h无关，因此选择梯度仅取决于wh，这在正文中给出了等式6。通过微分方程明确计算该梯度。

正文第6条s（f，g）f=nXk=0kXli=0n-kXlo=0nk公司主键-1f（1- pf）n-k-1（k- npf）×kli公司qlii（1- qi）k-锂n- klo公司（qo（1- pg））lo（1- qo（1- pg））n-k-lo×exp[h（liBi+loBo+nθ）]1+exp[h（liBi+loBo+nθ）]（1+r（liBi+loBo））（16），我们可以再次进行数值计算，以计算零选择梯度点，如正文图3和下图所示。然而，我们也可以在特殊情况下评估公式16，其中环境非常恶劣，liBi+loBo+nθ<0， li，loor su fficientlygood liBi+loBo+nθ>0， li，loso，我们可以近似公式17中的S形项为常数，并恢复选择梯度s（f，g）f=nXk=0nk公司主键-1f（1- pf）n-k-1（k- npf）（1+nrqoBo+kr（qiBi）- qoBo））=r（qiBi- qo（1- pf）Bo）（17），当pf=PG时，这意味着突变体的入侵成功取决于相应的策略。尤其是在p处存在一个平衡*= 1.-qiBiqoBo，这始终是qoBo>qiBii提供的可行策略。小组外互动比小组内互动具有更高的内在预期收益。我们可以通过二阶导数（见上面的公式11）来评估该平衡的稳定性s（f，g）f=rqoBo。（18） 我们看到平衡总是不稳定的。此外，我们注意到，在上边界，当pf=pg=1时，等式17减小到RQIBI，RQIBI始终为正，这表明在该模型下的极端环境中，最大极化始终是稳定的。类似地，在下边界处，当pf=pg=0时，等式17减小为qiBi- 如果组外互动的预期内在收益大于组内互动的预期内在收益，则qoBowhich始终为负值。最后，在中间环境的情况下，无法明确分析等式17，尽管可以如正文图3和下图S6所示进行数值探索。然而，可以评估边界处的稳定性。

取pg=1，我们恢复20 40 60 80 100 12000.10.20.30.40.50.60.70.80.91-1-0.8-0.6-0.4-0.200.30.40.60.810与群内互动的概率，环境质量！与组内交互的可能性，pTime（1000次复制事件）环境质量！b20 40 60 80 100 12000.10.20.30.40.50.60.70.80.91-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.810与组内交互的概率，pTime（1000秒复制事件）环境质量！与群内互动的概率，环境质量！cd0.51.00.0-1.00.01.00.51.00500.00.01.0-1.0100图S6–极化模型，在此模型下，外部群体互动的成功取决于内部成功概率Qo和其他参与者参与外部群体互动的意愿，1- 如正文图3所示，即群体或人群中其他成员的策略，群体内互动收益B=0.2。（左）在适应性动力学的框架下，我们计算单态种群中罕见的局部突变体入侵的选择梯度，我们计算选择梯度作为环境质量θ和常住种群策略p的函数。选择梯度的方向和随后的进化动力学由蓝色（极化增强）和红色（极化减弱）区域显示，箭头指示给定环境θ（右）下p的进化变化方向。

我们表明，在这些参数下，系统在所有环境中都是双稳态的b）因此，在低极化或高极化状态下初始化的种群倾向于保持在那里（黑线），无论环境如何（紫色虚线），倾向于将每个个体分配到两个组中的一个组，以便在上述自适应动力学模型的假设下，所有个体都有一个由500个个体组成的入组和出组（见正文）。个人尝试新策略的创新以每次复制事件u=0.001的速度发生，新策略的出现偏离了当前的规模策略 = 0.01，加上边界条件，以确保战略主要在物理范围内[0，1]。模型参数和可视化如图2b所示。s（h，g）h=nqniexp[h（nBi+nθ）]1+exp[h（nBi+nθ）]（1+rnBi）+n-1Xli=0n- 1liqlii（1- qi）n-1.-锂n（1- qi）n- 锂- 1.exp[h（liBi+nθ）]1+exp[h（liBi+nθ）]（1+rliBi）注意，如果这个量是正的，当sigmoidal项是常数时，它总是正的，因为sigmoidal项总是会减少项li<n（1）的贡献-n（1-qi））对求和的贡献负权重大于它减少项li>n（1- n（1- 因此，我们可以通过将sigmoid常数设置为1来获得上边界的稳定性。Wethen find from Eq.18s（h，g）h=上述RQI偏差。

因此，上边界总是稳定的，除了在极限qiBi内→ 0，在这种情况下，上边界与不稳定点p收敛*.最后，我们考虑下边界pg=0的稳定性，在该点我们找到selectiongradients（h，g）h=Xli=0n-1Xlo=0qlii（1- qi）1-锂n- 1loqloo（1- qo）n-1.-lo×exp[h（liBi+loBo+nθ）]1+exp[h（liBi+loBo+nθ）]（1+r（liBi+loBo））- （19） nXlo=0n非直瞄qloo（1- qo）n-loexp[h（loBo+nθ）]1+exp[h（loBo+nθ）]（1+r（loBo）），可以是正的，也可以是负的，如正文图3和下面所示。最后，我们还注意到，等式17的形式允许pg的非边界值存在平衡，因此系统包含多个稳定平衡。我们在下面给出了这样一个例子。3.2双稳定性和多重稳定性正文图2中所示的第一个（案例1）和第二个（案例2）模型之间的定性差异是案例2模型维持多重稳定平衡的能力。在适应性动力学的框架下，局部突变的情况就是这样。然而，用于产生正文图3的相同参数值的成对入侵图显示，事实上，这两个平衡对所有入侵都是稳定的（图S6）。这导致我们的结论是，如果没有绕过罕见入侵者所面临的不利条件的协调行为转变，情况2会导致低极化行为的不可逆转损失。入侵策略，总统策略，p*良好环境，#=1入侵策略，总统策略，p*中间环境，#=0入侵策略，总统策略，p*不良环境，#=-1入侵策略，总统策略，p*#=-0.55，h=20图S7-使用表1中给出的默认参数在不同环境中成对入侵图。

正如正文图3所示，我们看到低极化（p*= 0）和高极化（p*= 1） 在非常好或非常差的环境（左图和右图）中都是稳定的，但在中间环境中，只有高极化才是稳定的，这会导致在变化环境中低极化行为的不可逆损失。如上所示，高极化平衡从未丢失，尽管其吸引盆地可以变得任意小。我们还注意到，等式17允许存在策略空间内部的平衡，即常驻策略的值0<pg<1。我们在下面的图S7中说明了这种稳定内部平衡的存在，并注意到其易受环境变化的影响，这种变化会破坏平衡，并导致高极化或低极化策略的入侵。入侵策略，总统策略，p*良好环境，#=1入侵策略，总统策略，p*中间环境，#=0入侵策略，总统策略，p*不良环境，#=-1入侵策略，总统策略，p*#=-0.55，h=20图S8–显示三个稳定均衡的成对入侵图。其中两个是全球稳定的，p*= 0（低极化（）和p*≈ 0.88（高-中极化），而高极化平衡似乎是局部稳定的。所示参数如表1所示，但需要一个陡峭阈值（h=100）来产生内部平衡。4基于个人的模拟我们进行了基于个人的模拟，以测试正文和本附录中模型的分析和数值预测。在复制过程中，使用N=1000个个体的群体进行模拟，平均轨迹由10条样本路径组成的集合确定。

对100N复制事件进行模拟，并通过允许θ在100N复制事件周期内正弦变化来模拟环境位移。通过将所有人口成员随机分配到两组中的一组来计算每个人的适应度。为了模拟案例2，然后通过随机选择一名非团队成员来确定给定焦点个体的组外互动，互动成功与否由所选成员的策略和内在成功率QO决定。假设突变发生率为每复制事件0.1N，突变目标从人群中随机选择。对于非社会模型（案例1）模拟，我们允许全局突变，这样突变的参与者被分配了一个新的策略p+∈ [0, 1].在案例2的模拟中，我们使用了局部突变，使得突变目标的策略受到以下因素的干扰 = ±0.01，突变增加和减少p的可能性相等，我们施加适当的边界条件以确保策略是物理的。5数据分析在这里，我们为正文（图4）中的实证结果提供了额外的分析和稳健性检查。我们考虑了2008-2016年最后三个总统选举周期内，美国州一级的有效极化和不平等之间的关系。我们使用ANES和CCES选举调查的数据来衡量有效的两极分化（美国国家选举研究，2020年；McKee et al.，2019年；Gross，2019年；Cooper and Endres，2019年），以及人口普查局和联邦选举委员会关于各州（美国）每次选举时基尼系数、失业率和投票份额的数据。

人口普查局，2020年）。在个人层面上，有效的两极分化被定义为“温暖度”的差异，通过“情感温度计”测量，在个人最认同的主要政党（共和党或民主党）和外部政党（即受访者最不认同的主要政党）之间。长期以来，情感温度计一直是选举调查的标准组成部分，采用100分制，0表示对政党的强烈负面情绪，100表示强烈的正面情绪。直觉上，如果一个人给一方高分而给另一方低分，这表明一种高度的有效极化，即对首选方的积极感觉。最近的政治学研究强调，党派是一种显著的社会身份，也是与主要政党相关的各种其他群体身份的标志（Iyengar et al.，2012；Iyengar and Westwood，2015；Mason，2015，2018）。因此，有效极化（effectivepolarization）是一种非常适合评估我们基于团队的模型的指标。个人层面的有效极化分数可用于计算州或国家层面的平均值，这提供了选民对政党的极化程度的衡量标准。我们的模型所描述的倾向于行为策略的群体内或群体外可以理解为对应于这种个体层面的有效极化。由于我们预测（图3）不平等可能会成为群体内偏爱态度的驱动因素，因此我们可以在有效的极化数据中为这一预测寻求支持。

为此，我们提出了三种分析方法，支持不平等可以作为有效极化的驱动因素这一假设。5.1汇总数据在图4（正文）中，我们显示了州一级的平均极化与州一级基尼系数之间的相关性。显示的结果是所有三个选举周期的汇总数据（三个选举周期各50个州+DC，共153个数据点）。这种相关性在单截距双向固定效应模型下显著（双尾检验，t=5.2，p<0.01）。