根据（5.7）、切比雪夫指数不等式和柯西-施瓦茨不等式得出，对于everyy>0，P0，H，Tε（y）≤ e-2年经验值-ZTσ（εHbBs）ds+2ZTσ（εHbBs）dZs≤ e-2年经验值ZTσ（εHbBs）dZs= e-2年经验值-4ZTσ（εHbBs）ds+2ZTσ（εHbBs）dZs+4Zσ（εHbBs）ds≤ e-2年E经验值-8Zσ（εHbBs）ds+4ZTσ（εHbBs）dZs×E经验值ZTσ（εHbBs）ds. （5.9）现在，利用σ的线性增长条件和随机e指数（5.9）是鞅的事实（见[25]中的引理13），我们得到了P0，H，Tε（y）≤ e-2年E经验值ZTσ（εHbBs）ds≤ e-2是4cE经验值8cε2HZTbBsds.从（5.3）可以看出，y依赖于ε>0，因此sup0<ε<εP0，H，Tε（y）≤ le公司-2 y，（5.10），对于一些与y无关的常数l>0。不难看出，（5.8），（5.10），以及部分公式的积分意味着以下内容：CH，H，T（ε，x）=Z∞xeyP0，H，Tε（y）dy。（5.11）接下来，使用（5.11），（4.13），（5.10）和Lebesgue支配的收敛定理，我们可以看到，对于ll x>0，（5.5）中的等式成立。接下来我们将关注α+β=H和β6=H的情况。这种情况是例外的。与邻近政权相比，它表现出一种特殊的不连续性。定理5.6。假设α+β=H，β6=H。还假设推论3.5中的条件成立，且函数σ满足li近似增长条件。那么以下公式成立：Cβ，H，T（ε，xεα）=εαZ∞纽约州x√Tσ（0）！dy+o（εα）asε↓ 0.证明。在定理4.3的证明中确定，对于α=0，-εαZTσ（εHbBs）ds+ZTσ（εHbBs）dZs→ -Tσ（0）+σ（0）ZTin概率。稍加修改，我们可以证明α∈ （0，H）]，-εαZTσ（εHbBs）ds+ZTσ（εHbBs）dZs→ σ（0）ZTin概率。接下来，利用概率收敛意味着分布收敛的事实，我们可以看到thatlimε↓0便士Xε，β，HT≥ xεα=\'\'Nx√Tσ（0）！。（5.12）我们有cβ，H，T（ε，xεα）=EexpnXε，β，HTo-exp{xεα}+=Z∞xεα（ey-exp{xεα}）dh-Pβ，H，Tε（y）i。

（5.13）通过（5.10）证明中的推理，不难看出存在ε>0，从而SUP0<ε<εPβ，H，Tε（y）≤ 东南方-2 y，（5.14）对于某些常数s>0和所有y>0。（5.14）中的估计允许我们在（5.13）中集成byparts。这就给出了cβ，H，T（ε，xεα）=Z∞xεαPβ，H，Tε（y）eydy=εαZ∞xP系统Xε，β，HT≥ uεαexp{uεα}du。（5.15）接下来，再次使用（5.14），我们可以证明支配收敛定理适用于（5.15）中的积分。最后，考虑到（5.12）、（5.14）和（5.15），我们在定理5.6中建立了渐近公式。备注5.7。据我们所知，大多数方法，允许从对数价格的小时间和小噪声大偏差原则推导随机波动率模型中的上限看涨期权价格估计，依赖于综合方差的非平凡指数矩的不确定性，或者，对于较大偏差参数的较小值，取决于资产价格矩的精确性。此类证明中使用的一些想法可以追溯到第2.1条推论[16]和第5.1条第[42]款，其中研究了赫斯顿模型。值得一提的是，赫斯顿模型中对数pric e的p阶指数矩等于p阶指数矩（p-1） Heston模型中的综合方差，波动率方程中有不同的漂移（见[42]中的公式（5.4）及其前面的公式）。在高斯随机波动率模型中，积分变量的非指数矩的不确定性在一些上限买入价格估计中起着重要作用。例如，这可以从[17]中推论4.13的证明、[25]中推论31的证明以及本文中定理5.2的证明中看出。然而，定理6.7表明，如果波动率函数以整体快于线性的速度增长，则该应用程序不起作用。

此外，在不相关的Volterra型模型中，资产价格过程是一个鞅，而其所有序动量都大于一次爆炸（见定理6.11）。[19]中使用了一种有趣的方法。如果波动率函数g的行快于线性，则它不适用于不相关模型，但适用于下一节中制定的假设（A2）下的相关模型（见推论6.10之后的讨论）。6、重新审视线性增长条件我们已经注意到，如果波动率函数σ在整体上的增长速度略快于线性增长速度，则（5.4）中的不等式可能会失效（见Remark5.3）。在本节中，我们证明了一个断言（Theorem6.7），这使得前面的陈述更加精确。该断言指出，在以下定义6.1中的快于线性增长条件下，d无裂缝对数价格二次变化的所有正阶指数矩都是有限的。此外，对于不相关的Volterra型高斯随机波动率模型，我们确定，在相同的增长条件下，所有大于一个资产价格的阶矩都是有限的（见定理6.11第（i）部分）。相关模型的类似结果见定理6.11的第（ii）部分。定义6.1。让x>0。[x]中定义的正函数，∞) 增长速度超过线性i fthere existered>x and a positive function g defined on[x，∞), 以下条件应为：g（x）→ ∞ 作为x→ ∞ 和f（x）≥ xg（x）对于所有x>x。在本节的其余部分，我们将使用缓慢变化函数理论的某些结果（参见宾厄姆、戈尔迪、a n d Teugels的专著[5]）。定义6。2、设l是一个定义在某个单位邻域上的正连续函数，且Limx→∞l（λx）l（x）=1对于所有λ>0。

任何满足上述条件的函数称为慢变函数。定义6.2在可测量函数的更一般情况下，可在【5】的第1.2.1小节中找到。我们最初在[33]中由Karamata介绍和研究的缓变函数。这类慢变函数是由R决定的。指数为0的平滑变函数在慢变理论中起着重要作用。定义6.3。如果函数h（x）=log f（ex）在一个不连续的邻域中是完全可微的，并且h（n）（x），则在某个不连续的邻域上定义的正函数f称为指数为0的平滑变化函数→ 0作为x→ ∞, 对于所有整数n≥ 指数为0的所有光滑变差函数的类用SR表示。众所周知，SR R、 此外，函数f属于SRif类，并且仅属于iflimx→∞对于所有n，xnf（n）（x）f（x）=0（6.1）≥ 定义6.3在更一般的情况下，上述光滑变化函数的性质可在第1小节中找到。第8.1页，共【5】页。对于定义在单位邻域上的正连续函数f和g，标准符号f~ 当f（x）g（x）时，将使用g→ 1作为x→ ∞. 慢变理论中的一个重要结果是平滑变分定理（见文献[5]中的定理1.8.2]）。我们只需要这个定理的一个特例。完整的公式见【5】。定理6.4。让f∈ R、 那么就有了g∈ SRA和h∈ SRG~ h和g≤ f≤ 在一个单位附近。以下陈述源自定理6.4。推论6.5。让f∈ Rbe使f（x）→ ∞ 作为x→ ∞. 然后存在一个函数∈ sr和常数x>0，使得g定义在（x，∞), g（x）→ ∞ 作为x→ ∞, andf（x）≥ g（x）表示所有x>x。设f∈ R、 让函数g和h如定理6.4所示。为了证明推论6.5，我们只需要确定g（x）→ ∞ 作为x→ ∞.

很容易看出f~ g、 前面的陈述如下。备注6.6。Bojanic和Karamata（见[6]，另见第24in[5]页的问题11）确定，如果0<g（x）→ ∞ 作为x→ ∞, 然后就有了l∈ R使0<l（x）→ ∞ 澳大利亚证券交易所→ ∞ 和g（x）≥ l（x）表示所有x>x。根据之前的断言，定义6.1中的函数g可以替换为缓慢变化的函数l，使得0<l（x）→ ∞ 澳大利亚证券交易所→ ∞. 此外，函数g可以替换为平滑变化的函数h，使得0<h（x）→ ∞ 作为x→ ∞ （见推论6.5）。我们将在续集中使用前面的评论。我们的下一个目标是证明一个断言，证实Remark5.3中所说的内容。定理6.7。假设（1.1）中描述的模型中的挥发函数σ满足定义6.1中引入的线性增长条件。LetbB是一个非退化的centeredGaussian过程。那么，不管怎样∈ （0，T]和γ>0，以下等式成立：E经验值γZtσbBsds公司= ∞. （6.2）（6.2）als o中的等式与函数x 7保持一致→ σ(-x） 而不是函数σ。证据我们可以假设σ（x）≥ xl（x）在一个完整的邻域中，其中L是一个缓慢变化的函数，如Remark6.6。从上面的讨论可以看出，存在一个数字x>x和一个函数h∈ 定义于（x，∞) 并且使得h（x）→ ∞ 作为x→ ∞, 和l（x）≥ h（x）对于所有x>x。在（x，∞) 乘以σ（x）=xh（x）。然后σ（x）≥对于所有x>x的^σ（x）。由于h是一个严格的正函数，我们有^σ′（x）h（x）=x2+xh′（x）h（x）^σ′（x）h（x）=2+2xh′（x）h（x）+xh′（x）h（x）。对于所有x>x。接下来，使用条件h∈ SR，前面的公式和（6.1），我们看到存在x>x，因此函数^σ严格递增且凸[x，∞). 通过以下公式定义R上的函数|σ：|σ（x）=^σ（x），如果x≥ x、 而￠σ（x）=^σ（x）如果-∞ < x<x。

不难看出，函数σ在R中是凸的。对于每x∈ R、 我们有σ（x）≥σ（x）-^σ（x）。因此，为了建立（6.2），证明k=：E是足够的经验值γZt￠σbBsds公司= ∞.由于函数σ是凸的，Jensen不等式意味着ztσbBsds公司≥ t￠σtZtbBsds. （6.3）对于所有y>0，K≥ eγ型~σtZtbBsds> y.函数σ在（x，∞). 因此，对于y>y，K≥ eγ型ZtbBsds>t[°σ]-1（y）,他为u>u，K≥ exp{γt￠σ（u）}PZtbBsds>tu= exp{γtuh（u）}PZtbBsds>tu. （6.4）非退化连续中心高斯过程B的黎曼积分RTBBSds是一个均值为零且方差v=RtRtC（u，s）duds的高斯随机变量，其中C是过程B的协方差函数。H enceP公司ZtbBsds>tu=√2πZ∞tu公司√vexp-wv>0时的DW。接下来，使用ineq ua l ityZ∞ze公司-udu≥ e-zz公司+√z+4，可以从[1]中的7.1.13中推导出来，我们得到ZtbBsds>tu≥√√πexp-tu2v√vtu+√tu+4v。（6.5）最后，通过考虑（6.4），（6.5）和h（u）↑ ∞ 作为u→ ∞, 我们看到K=∞. 为了证明定理6.7中的最后一句话，我们将（6.2）中的公式应用于该过程-bB。这就完成了定理6.7的证明。接下来，我们将证明，如果波动率函数的增长速度超过三次方，那么可以为无漂移原木价格的绝对值建立类似于定理6.7的断言。定理6.8。假设（1.1）中出现的波动率函数σ存在一个数x>0和一个函数g，其中以下条件成立：0<g（x）→ ∞ 作为x→ ∞和σ（x）≥ xg（x），x>x.（6.6）设bb为适应过滤{Ft}0的非退化连续高斯过程≤t型≤T、 那么，不管怎样∈ （0，T]和γ>0，E经验值γZtσbBsdZs公司= ∞. （6.7）（6.7）als o中的等式与函数x 7保持一致→ σ(-x） 而不是函数σ。备注6.9。

请注意，定义6.1中的线性增长条件与（6.6）中的立方增长条件之间存在差距。如果将orem 6.8中的条件（6.6）替换为定义6.1中的条件，我们不知道orem 6.8是否成立。定理6.8的证明。从备注6.6中可以清楚地看出，我们可以用函数l替换（6.6）中的函数g∈ R如l（x）→ ∞ 作为x→ ∞. 此外，在不损失一般性的情况下，我们可以假设ZTσbBsds公司< ∞. （6.8）（展开（6.7）中的指数并使用^o等距）。SetMt=ZtσbBsdZs，0≤ t型≤ T、 （6.9）那么过程M是鞅。其二次变化由[M]t=Ztσ给出bBsds，0≤ t型≤ T、 用M表示*与过程M相关的最大函数，即isM*（t） =sup0≤s≤t | M（s）|，0≤ t型≤ T、 然后，利用Burkholder-Davis-Gundy不等式，更精确地说，利用其中的下估计，以及[44]定理2中的常数，我们得到以下结果：c√n | |[M]（t）| | n≤ ||M*（t） | | n，对于所有整数n≥ 1和绝对常数c>0。此外，利用Doob鞅不等式，我们得到| | M*（t） | | n≤nn型-1 | | M（t）| | n，n≥ 因此，对于所有整数n≥ 2，c√n | |[M]（t）| | n≤ ||M（t）| | n，绝对常数c>0。用Lγ表示（6.7）中的期望值。那么前面的估计给出了γ，t≥ E“∞∑n=0cnγnn！nn型ZtσbBsds公司n#+γE[| M（t）|]- cγE[[M]（t）]≥ E“∞∑n=0cnγnn！nn型ZtσbBsds公司n个#-cγE“ZTσ（bB）ds#≥ E“∞∑n=0cnγnn！nn型ZtσbBsds公司n个#-C、 （6.10）其中C>0取决于t。从（6.10）可以看出，为了证明等式lγ，t=∞, 有必要证明kt：=E“∞∑n=0cnγnn！nn型ZtσbBsds公司n#=∞. （6.11）根据斯特林公式，存在c>0，因此对于每n≥ 1，nn≤ cnn！。因此，（6.11）imp表示，对于某些c>0，Kt≥ E“∞∑n=0cnγn（n！）ZtσbBsds公司n#。让我们设定：=E∞∑n=0c2nγ2nn！ZtσbBsds公司n, （6.12）式中，c=c。

接下来，将p=和q=3的H¨older不等式应用于（6.12）中的和，我们得到≤ τE“∞∑n=0cnγn（n！）ZtσbBsds公司n个#≤ τKt，其中τ=∑∞n=0-3牛顿. 因此，Kt≥τE“exp（cγZtσbBsds公司)#, （6.13）对于所有t∈ （0，T）。请注意，我们尚未对函数σ使用快于立方的增长条件。从（6.13）可以看出，为了完成定理6.8的证明，有必要显示elγ，T=∞ 对于所有γ>0和t∈ （0，T），其中，elγ是（6.13）右侧的期望值。定理6.8的其余证明遵循定理6.7。我们首先选择功能h∈ SRH（x）→ ∞ 作为x→ ∞, 而且l（x）≥ h（x）表示所有x>x。函数x 7→ xh（x）是严格递增的且在[x]上是凸的，∞). 设置σ（x）=xh（x）1{x>x}+xh（x）1{x≤ x} ，x∈ R、 那么很明显，函数σ是凸函数R和σ（x）≥ σ（x）- xh（x）表示所有x∈ R、 接下来，使用（6.3）证明中的Jensen不等式，我们可以通过一个类似于（6.4）中最后一个表达式的表达式，用函数hin而不是函数h，从下面估算出elγ，t。最后，考虑到定理6.7，我们建立了公式ua li tyeLγ，t=∞.这就完成了定理6.8的证明。推论6.10。假设定理6.8中的条件成立。然后，对于每个t∈ （0，T），至少下两个条件中的一个保持：E经验值γZtσbBsdZs公司= ∞ 对于所有γ>0，（6.14）矿石经验值-γZtσbBsdZs公司= ∞ 对于所有γ>0。（6.15）证明。使用（6.7）和不等式e | u|≤ 欧盟+欧盟-u、 u型∈ R、 我们每个人都看到了∈ （0，T]和γ>0经验值γZtσbBsdZs公司= ∞, （6.16）矿石经验值-γZtσbBsdZs公司= ∞. （6.17）固定t>0。如果没有（6.16）适用的γ，则（6.17）应适用于前面的所有γ>0，这表明（6.15）对此类数字t有效。否则，setat=inf{γ>0：（6.16）为真}。使用H¨older不等式很容易看出（6.16）对所有γ>at都有效。假设at=0。然后（6.14）保持不变。

另一方面，如果at>0，则（6.17）适用于所有γ∈ （0，at），因此对于所有γ>0的情况，它都是l。这样就完成了推论6.10的证明。在[4]中，作者考虑了Volterra型高斯随机波动率模型，其中资产价格过程满足以下条件：（iiia）S是一个鞅；（iiib）对于每1<γ<∞ 存在t>0，因此ESγt< ∞（见[4]第2节中的假设2.4）。文献[4]表明，如果条件（iiia）和（iiib）成立，则看涨期权价格的大偏差式估计遵循相应的大偏差原则。[19]对之前的陈述进行了有趣的改进，在较弱的限制条件下获得了相同的含义（见[19]中的假设（A2））。关于时间参数t，假设（A2）如下：存在γ>1，因此lim支持→0E[Sγt]<∞. 不难看出，如果条件（iiia）成立，则假设（A2）来自以下假设：（i）存在γ>1和t>0，使得ESγt< ∞.在本节的其余部分，我们考虑Volterra型高斯随机波动率模型。接下来将显示，对于不相关的Volterra型模型，如果波动率函数σ增长快于线性增长，则假设（A2）不成立。更准确地说，所有大于资产价格1或小于零的有序时刻都会爆炸（见定理6.11）。此外，我们在定理6.11中证明，对于相关模型（ρ6=0），γ的矩爆炸∈ (-∞, 0) ∪ (1-ρ, ∞). 如果γ=1-ρ在相关模型中，本节中获得的力矩爆炸结果仅为部分结果（见定理6.13）。请注意，在本节其余部分建立的断言中，我们仅假设Volterra类型的过程B满足定义2.1中的条件。

让我们也回顾一下，在不损失一般性的情况下，我们假设s=1。S=1的不相关高斯随机波动率模型中的资产价格过程S由t=exp给出-Ztσ（bBs）ds+Ztσ（bBs）dWs, 0≤ t型≤ T、 由于布朗运动W和B是独立的，通过对过程B的路径进行条件化，证明过程S是鞅是相当标准的。因此，（iiia）对不相关模型适用。此外，对于所有t∈ [0，T]，我们有[St]=1，0≤ t型≤ T、 （6.18）对于ne负相关模型（ρ<0），Gassiats的文献[24]中建立了资产价格过程S在以下附加条件下是鞅：条件（G）：对于每个∈ R、 函数σ有界于(-∞, a] 。因此，（6.18）中的等式适用于任何负相关Volterra型模型，其中波动率函数σ满足条件（G）。另一方面，正向η∈ R、 随机指数Alt 7→ 经验值-ηZtσ（bBs）ds+ηZtσ（bBs）dBs是严格正局部鞅。因此，它是一个超级角色，因此经验值-ηZtσ（bBs）ds+ηZtσ（bBs）dBs≤ 1，（6.19）每t∈ （0，T）。请注意，不需要条件（G）来确定（6.19）的有效性。下一个断言是本文结果中的一个ma。它涉及高斯随机波动率模型中的矩爆炸（参见引言中的讨论，我们将定理6.11与[24]中的结果进行比较）。定理6.11。（i） 假设不相关Volterra型高斯随机波动率模型中的波动率函数σ满足定义6.1中规定的比线性增长更快的条件。那么以下等式成立：ESγt= ∞ 对于所有γ∈ (-∞, 0) ∪ (1, ∞) 和t∈ （0，T）。

（6.20）（ii）假设ρ6=0，并假设在Volterratype Gaussian随机波动率模型中，比线性增长更快的条件成立。那么，以下等式有效：ESγt= ∞ 对于所有γ∈ (-∞, 0) ∪ (1-ρ, ∞) 和t∈ （0，T）]（6.21）证明。很清楚，如果ρ=0，则Sγt= E经验值γ-γZtσ（bBs）ds经验值-γZtσ（bBs）ds+γZtσ（bBs）dWs.利用W和B的独立性和过程B路径上的条件作用，weobtainESγt= E经验值γ-γZtσ（bBs）dsEt，γ,式中，γ=E经验值{-γZtσ（bBs）ds+γZtσ（bBs）dWs}Bs，0≤ s≤ t型. （6.22）不难证明∈ （0，T）和γ，例如在定理的部分（i）中，我们使用了（6.22）a re鞅中出现的简单随机指数这一事实。接下来就是Sγt= E经验值γ-γZtσ（bBs）ds. （6.23）现在假设ρ6=0。那么以下等式为真：E[（St）γ]=E经验值-γZtσbBsds+γZtσbBsdZs公司= E[exp{γ′ρ-γZtσbBsds+γρZtσbBsdBs}exp{-γ′ρZtσbBsds+γ′ρZtσbBsdWs}]。通过对过程B的路径进行条件化，并按照（6.23）中的证明进行推理，我们获得（6.23）中公式的以下基因关系式：E[（St）γ]=E经验值γρ-γZtσ（bBs）ds+γρZtσbBs星展银行. （6.24）让我们首先证明（6.20）中的等式。通过考虑限制γ-γ>0在定理6.11的（i）部分中，我们看到（6.20）遵循定理6。7.接下来我们将证明（6.21）。假设定理6第（ii）部分中的条件。11保持。Letη∈ R、 和fix p>1和q>1，使得p+q=1。然后（6.24），（6.19）和H¨older\'sinequality表示以下估计：ESγtp≥ESγtpE经验值-ηZtσ（bBs）ds+ηZtσ（bBs）dBsq≥ E经验值γρ-γ2p-η2qZtσ（bBs）ds+γρp+ηqZtσ（bBs）dBs. （6.25）让我们选择η=-γρp-那么γρp+ηq=0。接下来，使用（6.25），我们得到ESγtp≥ E经验值γρ-γ - η（p- 1） 2p级Ztσ（bBs）ds. （6.26）仍需选择p>1，以便l：=γ′ρ-γ -η（p-1) > 0.

然后（6.26）和定理6.7将表明6.21中的等式成立。我们有l=γ′ρ- γ -γρp-1、如果γ>1-ρ、 然后γ′ρ- γ>0，条件l>0等价于不等式p>1+γργ′ρ-1、这样的数字p>1可以很容易地选择。另一方面，如果γ<0，则条件l>0等价于以下不等式：p>1+γργ（1-ρ)+|γ|. 与之前一样，前面的条件允许我们轻松选择p。接下来（6.21）保持不变。定理6.11的证明就这样完成了。备注6.12。我们感谢Paul Gassiat的建议，在定理6.11第（ii）部分的证明中使用半鞅性质in（6.19）。我们的原始证明使用了条件（G）和（6.18）中的马丁格尔属性。下一个定理补充了定理6.11。然而，这个理论中的结论比理论6.11中的结论要弱。定理6.13。假设Volterra型高斯随机波动率模型中的波动率函数σ满足（6.6）中规定的快于立方增长条件。设ρ6=0，letfM bethe Volterra型模型，其中波动函数和波动过程与给定模型相同，而相关参数为-ρ代替ρ。在modelfM中对资产定价过程进行审批。然后，对于每个t∈ （0，T），以下两个条件中的至少一个：E（St）1-ρ= ∞, 或E（eSt）1-ρ= ∞.证据由（6.24）可知，如果ρ6=0，则（St）1-ρ= E经验值ρ1 - ρZtσbBs星展银行.同样，我们有（eSt）1-ρ= E经验值-ρ1 -ρZtσbBs星展银行.现在，很明显，定理6.13源自推论6.10。备注6.14。条件γ≥1.-力矩爆炸的ρ出现在Jourdain的论文【31】中，其中研究了Scott模型。在Scott模型中，波动函数为σ（x）=ex，而波动过程为Ornstein-Uhlenbeck过程。

为了使Jourdain的结果适应我们的设置，我们考虑了漂移ss-Ornstein-Uh-lenbeck过程。Jourdain证明，对于以无漂移的Ornstein-Uhlenbeck过程为波动过程的Scott模型，如果ρ=0，等式（6.21）成立。此外，他建立了如果ρ<0，那么对于给定的t>0和γ>1，E[Sγt]<∞ 当且仅当γ<1-ρ（见[31]中的命题6）。对于ρ>0，Jourdain证明了E[Sγt]=∞ 如果γ≥1.-ρ、 并提到要分析[Sγt]<∞如果γ<1-ρ（见【31】中的备注7）。7、混合区域隐含波动率的渐近行为在本节中，我们描述了前一节中考虑的混合区域隐含波动率的小噪声渐近行为。隐含波动率可通过以下等式确定：β，H，T（ε，xεα）=CBS（ε，xεα；σ=bσβ，H，T（ε，xεα））=C-（xεα，√εbσβ，H，T（ε，xεα））。（7.1）如果0≤ α+β<H，定理5.2意味着l（ε）=：logC-（xεα，√εbσβ，H，T（ε，xεα））=JT（x）ε2α+2β-2H+oε2α+2β-2小时（7.2）asε↓ 0.在前面的公式中，符号JT表示在α+β=0的情况下（此处我们假设定理5.2第（i）部分中的假设成立），在0<α+β<H的情况下，JT（x）=x2Tσ（0），以及定理5.2第（ii）部分中的假设成立。在（7.2）中，参数化的无量纲简化波动率由ν（ε）给出=√εbσβ，H，T（ε，xεα）。此外，我们拥有k（ε）L（ε）=Oε2H-α-2βasε→ 因此，k（ε）L（ε）→ 0为ε→ 这意味着[21]中备注7.3中的公式可用于表征无量纲隐含熵ε7的渐近行为→ 混合区的ν（ε）。在我们的案例中，【21】中的公式，注释7.3给出了以下内容：k（ε）2L（ε）-εbσβ，H（ε，xεα）= ok（ε）L（ε）asε↓ 0。因此k（ε）p2L（ε）-√εbσβ，H（ε，xεα）= ok（ε）pL（ε）！（7.3）asε↓ 0

接下来，考虑到（7.2），我们得到以下断言。定理7。1.（i）假设定理2.7中的条件成立。还假设α+β=0，且线性增长条件适用于函数σ。然后bσβ，H，T（ε，xεα）=xp2IT（x）εH-β-+ oεH-β-asε↓ 0.（ii）假设推论3.5中的条件成立。假设0<α+β<H，函数σ的线性增长条件成立。然后bσβ，H，T（ε，xεα）=√Tσ（0）εH-β-+ oεH-β-asε↓ 设α=0，β=H。然后，对于σ=bσH，H，T（ε，x）的Black-Scholes模型，（5.11）中的质量采用以下形式：CBS（ε，x；bσH，H，T（ε，x））=Z∞xey？Ny√εbσH，H，T（ε，x））+√εbσH，H，T（ε，x）dy.（7.4）使用（7.1）、（5.5）和（7.4），我们得到∞xey纽约√Tσ（0）+√Tσ（0）！dy=limε↓0Z∞xey？Ny√εbσH，H，T（ε，x））+√εbσH，H，T（ε，x）dy，（7.5）对于所有x>0。设εj，j≥ 1，是一个正序，使得εj→ 0作为j→ ∞, 极限τ=limj→∞pεjbσH，H，T（εj，x）存在（有限或无限）。将Fatou引理应用于（7.5）右侧的表达式，并考虑到买入价格函数C-严格增加ν（见Remark5.5），我们可以看到τ≤ σ(0). 因此，对于j≥ j、 pεjbσH，H，T（εj，k=x）≤ C、 其中C>0是一个常数，因此我们有supj≥j“ey”纽约√εjbσH，H，T（εj，x））+pεjbσH，H，T（εj，x）#≤ ey编号yC公司.前面的估计允许我们应用公式（7.5）中的支配收敛定理（沿序列εj）。这给了C-（十），√Tσ（0））=C-（x，τ），因此τ=√Tσ（0）。现在，很明显Limε↓0√εbσH，H，T（ε，x）=√Tσ（0）。因此，以下陈述成立。定理7.2。假设α=0，β=H。然后，在推论3.5中的假设和线性增长条件下，bσH，H，T（ε，x）=√Tσ（0）ε-+ oε-asε↓ 下一步，我们将关注混合制度下隐含挥发性估计的唯一剩余情况。定理7.3。假设α+β=H和α∈ （0，H）。

然后，在推论3.5中的假设和线性增长条件下，以下公式适用于隐含波动率：bσβ，H，T（ε，xεα）=xεα-q2αlogε+oεα-qlogε（7.6）asε↓ 0.证明。根据定理5.6，l（ε）=logCβ，H，T（ε，xεα）=αlogε-logZ公司∞纽约州x√Tσ（0）！dy+o（1）asε↓ 0 . 我们还有k（ε）=xεα和hencek（ε）L（ε）→ 0为ε↓ 接下来，应用[21]中备注7.3中的公式（见上文（7.3）），我们得出（7.6）。从而完成了定理7.3的证明。感谢Jean-Dominique Deuschel、Pe ter Friz、Josselin Garnier、Paul Gassiat、Stefan Gerhold、Benjamin Jourdain、Barbara Pacciarotti、Paolo Pigato和Knut Solna对本文的关注和宝贵的评论。参考文献【1】M.A b ramovitz和I.A.Stegun（编辑）。数学函数手册。应用数学系列55，国家标准局，华盛顿，1972年。[2] J.-M.Az–ais和L.-V.Lozada Chang。关于高斯过程最大值分布的工具箱。2013年，hal-00784874。[3] P.Baldi和L.Caramellino。广义Freidlin-Wentzell大偏差和正扩散。《统计与概率信件》，81（2011），1218-1229。[4] C.拜耳、P.K.弗里兹、A.古利萨什维利、B.霍瓦思和B.斯坦珀。分数波动率模型中的短期近货币倾斜，（2018）量化金融，DOI:10.1080/14 697688.2018.1529420；arXiv上提供：1703.05132，2017。[5] N·H·宾厄姆、C·M·戈尔迪和J·L·特格尔。定期变化。剑桥大学出版社，1987年。[6] R.Bojanic和J.Karamata。关于慢变函数和渐近关系。硕士学位。研究中心技术报告432，威斯康星州麦迪逊，1963年。[7] M.Cellupica和B.Pacchiarotti。Volterra型随机波动率模型的路径渐近性。提交出版，可在arXiv上获得：1902.05896。[8] P.Cheridito、H.Ka waguchi、M.Ma ejima。

分数Ornstein-Uhlenbeck过程。电子J、 概率。，8 (2003), 1-1 4.[9] G.Conforti、S.DeMarco和J.-D.Deuschel。关于波动率模型中具有退化极限系统的小噪声方程。金融学中的大偏差和渐近方法。P、 K.Friz，J.Gatherel，A.Gulisashvili，A.Jacquer，J.Teichman（编辑），瑞士斯普林格国际出版社，2015年，47 3-505。[10] L.Decreusefond。具有奇异核的随机Volterra积分的正则性。潜力分析，16（2002），139-149。[11] A.Dembo和O.Zeitouni。大型设备技术和应用。Sp ringer Ve rlag柏林海德堡，2010年。[12] J.-D.Deuschel和D.W.Stroock。偏差较大。学术出版社，1989年[13]P.Eichelsbacher和M.L¨owe。i.i.d.随机变量的中度偏差。ESAIM：概率与统计，7（20 03），209-218。[14] S.El Rahouli。Volterra过程的金融建模及其在期权、利率和信用风险方面的应用。这些，洛林大学，卢森堡大学，2014年。[15] W·H·弗莱明。退出概率与最优随机控制。应用程序。数学优化，4 (1978), 329-346.[16] M.Forde和A.Jacquier。赫斯顿模型下隐含波动率的小时间渐近性。Int.J.理论。应用程序。财务状况。，12 (2009), 861-876.[17] M.Forde和H.Zhang。粗糙随机波动率模型的渐近性。《暹罗金融数学杂志》，8（2017），114-1 45。[18] M.I.Freidlin和A.D.Wentzell。动力系统的随机扰动。Springer Verlag纽约，1998年。[19] P.K.Friz、P.Gassiat和P.Pigato。精确渐近：稳健随机波动率模型，arXiv版本：1811.0 02672018。[20] P.K.Friz、S.Gerhold和A.Pinter。中等偏差制度下的期权定价。MathematicalFinance，28（2018），962-988。[21]K.Gao和R.L ee。

隐含波动率到任意阶的渐近性。财务Stoch。，18 (2 014), 349392.[22]J.Garnier和K.Solna。修正了分数随机波动率引起的黑洞公式。暹罗J。金融数学。，8 (2017), 560-588.【23】J.Garnier a和K.Solna。快变长记忆随机波动下的期权定价。将在《数学金融》杂志上发表，可在arXiv上获得：1604.001052017。【24】P.Gassiat。关于粗糙Bergomi模型中的鞅性质。预印，可于2018年4月14日提供：1811.10935。【25】A.Gulisashvili。Volterra型分数阶随机波动率模型的大偏差原理，SIAM J。金融数学。，9 (2018), 1102-1136.【26】A.Gulisashvili、F.Viens和X.Zhang。高斯自相似随机波动率模型的小时间渐近性。附录l.数学。选择即时消息。(2018). https://doi.org/10.1007/s00245-018-9497-6，41页。；arXiv上提供：1505.05256，2 016。【27】A.Gulisashvili、F.Viens和X.Zhang。一般Ga-ussian随机波动率模型的极端打击渐近性。Ann Finance（2018）。https://doi.org/10.1007/s10436-018-0338-z，43 p。；可在ARXIV上获得：1502.05442V32017。【28】H.Hult。一些Volterra型随机积分的逼近及其在参数估计中的应用。随机过程及其应用，105（2003），1-32。【29】H.Hult。规则变化stoc-hastic过程的极值行为。皇家理工学院博士论文，斯德哥尔摩，2003年。[30]E.A.Jabe r、M.Larsson和S.Pulido。Af fine Volterra过程。预打印，可用onarXiv：1708.08796v2，201 7。【31】B.Jourdain。对数正态随机波动率资产价格模型的鞅性损失。预印本2004-267。[32]T.Kaarakka和P.Salminen。关于fr作用的Ornstein-Uhlenbeck过程。《随机分析通讯》，5（2011），121-133。【33】J.Kara mata。

在羊角面包的模式下，我们可以吃羊角面包。Mathem atica（Cluj），4（1930），38-53，[34]I.Karatzas和S.E.Shreve。Brownain运动和随机微积分，S第二版，Springer-Verlag，1991年。【35】科尔莫戈罗夫。《维也纳螺旋报》（Wienersche Spirlen and einige Ander Interestsante Kurven im Hilbertschen Raum）。Doklady Acad。苏联，26（1940），11 5-118。【36】P.L'evy。维纳随机函数和其他拉普拉斯随机函数。过程。第。伯克利研讨会。数学统计学家。概率。，第二卷，加利福尼亚州伯克利加利福尼亚大学出版社，1950年，第171-186页。【37】M.Lifshits。高斯过程讲座。Springer Verlag，2012年。[38]S.C.Lim和V.M.S Iti。RiemannLiouville型分数布朗运动的渐近性质。物理字母A，20 6（1995），311-317。【39】B.M andelbrot a和J.W.van Ness。分数布朗运动，分数噪声及其应用。《暹罗评论》，10（1968），422-437。[40]L.Mytnik和E.Neuma n.S Volterra过程的充分路径性质。《随机分析通讯》，6（2012），359-377。【41】G.佩斯基尔。关于停止布朗运动的指数Orlicz范数。《数学研究》（Studia Mathematica），117（19 96），253-273。【42】H.Pham。数学金融方面存在较大偏差。2010年8月23日至27日，巴黎，第三所SMAI欧洲金融数学暑期学校。可用时间：https://www.lpsm.paris/pageperso/pham/GD融资。pdf，2010年1月5日。[43]J.Picard。分数布朗运动的表示公式。S'eminaire de Probabilit'es，Springer Verlag，XLIII（2011），3-70。【44】任永福。关于连续鞅的Burkholder-Davis-Gundy不等式。《统计与概率快报》，78（2008），3034-3039。【45】D.Revuz和M.Yor。连续矩阵与B-rownian运动。施普林格·维拉格（Springer Verlag Berlin-Heidelberg），1999年。【46】S.罗伯逊。随机波动率模型ls的样本路径大偏差和最优重要性抽样。

随机过程及其应用，120（2010），66-83。【47】L.Scott。方差随机变化时的期权定价：理论、估计和应用。《金融与定量分析杂志》，22（1987），419-438。[48]T.Sottinen a和L.Viitasaar i.通过Fredholm表示对高斯过程的随机分析。《国际随机分析杂志》，2016卷，文章编号8694365，15页。【49】M.Struwe。变分方法：非线性偏微分方程和哈密顿系统的应用，第四版，Springer-Verlag-Berlin-Heide-lberg，2008。【50】S.R.S.Varadhan。大偏差和应用。工业和应用数学学会，宾夕法尼亚州费城，1984年。【51】A.D.Ventsel’和M.I.Freidlin。关于动力系统的小随机扰动。俄罗斯数学。调查，25（1970），1-56。【52】A.D.Ventsel和M.I.Freidlin。关于小随机扰动下稳定性的一些问题。理论问题。应用程序。，17 (1972), 269-283.[53]X.张。具有奇异核的随机Volterra方程的Euler格式和大偏差。《微分方程杂志》，244（2008），2226-2250。