高斯随机波动率模型：标度制度，大型

2022-6-10 08:49:10

高斯随机波动率模型：标度规则、大偏差和NSARCHIL GULISASHVILIABSTRACT的瞬间爆炸。本文建立了高斯随机波动率模型中对数价格过程的样本路径大偏差和中偏差原则，并研究了退出概率、所有定价函数和隐含波动率的渐近行为。此外，我们还证明，如果不相关高斯模型中的波动率函数增长快于线性增长，那么对于资产价格过程，所有大于1的阶矩都是有限的。对于相关模型，得到了相似的力矩爆炸结果。AMS 2010分类：60F10、60G15、60G18、60G22、41A60、91G20。关键词：高斯随机波动率模型，Volterra型模型，样本路径大偏差和中偏差，中心极限状态，矩爆炸，隐含波动率渐近。本文研究高斯随机波动率模型。在这样的模型中，波动过程是高斯过程b的正函数σ。本文获得的主要结果如下（有关更详细的概述，请参见导言末尾）：oVolterra型高斯随机波动率模型中对数价格过程的样本路径大偏差原理（见定理2.9），并应用于出口概率函数渐近（见定理2.16）。o高斯随机波动率模型中对数价格过程的中等偏差原则示例（见定理3.1）第6节中关于美国随机波动率模型中资产价格过程的矩爆炸的结果，特别是定理6.11。在本文中，我们还提出了一种与高斯随机波动率模型相关的各种标度制度的统一方法。

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2022-6-10 08:49:13

更准确地说，考虑了大偏差、中等偏差和中心极限标度。本文在对波动函数和波动过程非常温和的限制下，建立了样本路径大偏差和中偏差原则。我们还发现了看涨期权定价函数和混合标度制度中隐含波动率的解释。为了在这种扩展中找到更多的项，必须对波动率函数σ施加额外的平滑度限制（参见，例如，[4]）。本文没有讨论调用价格函数的高阶展开式和隐含波动率。我们让感兴趣的读者阅读一篇重要的论文【19】，其中研究了这种扩展。俄亥俄大学数学系，俄亥俄州雅典4 5701；电子邮件：gulisash@ohio.eduThe高斯随机波动率模型中的资产价格过程满足以下随机微分方程：dSt=Stσ（bBt）dZt，S=S>0，0≤ t型≤ T、（1.1）其中sis为初始价格，T>0为时间范围。（1.1）中的过程Z是标准布朗运动。（1.1）中的方程是在过滤概率空间中考虑的(Ohm, F、 {Ft}0≤t型≤T、 P），其中{Ft}0≤t型≤这是过程Z产生的过滤的增强（参见【34】，定义7.2）。过滤{Ft}是右连续的（[34]，推论7.8）。（1.1）中假设σ是R上的非负连续函数，而bb是适应过滤{Ft}0的非退化连续高斯过程≤t型≤T、在致力于大偏差原则的第2节中，过程bB是一个连续的高斯过程，对于过程B具有Volterra型表示。从（1.1）可以看出，高斯随机波动率模型中的波动率演化由随机过程σ（bB）描述。

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2022-6-10 08:49:17

函数σ和过程bb分别称为波动函数和波动过程。我们通常需要考虑资产价格和波动性之间的相关结构。在这种情况下，假设（1.1）中出现的标准布朗运动Z具有以下形式：Zt=(R)ρWt+ρBt，其中W和B是独立的标准布朗运动，ρ∈ [-1，1]是相关系数，ρ=p1-ρ.然后，资产价格模型采用以下形式：dSt=Stσ（bBt）（(R)ρdWt+ρdBt），S=S>0，0≤ t型≤ T、（1.2）在特殊情况下，如果相关系数ρeq ua为零，则（1.2）中的模型称为不相关。该模型中的资产价格过程满足随机微分方程dst=Stσ（bBt）dWt，S=S，0≤ t型≤ T、让我们用{eFt}0表示≤t型≤t流程B产生的过滤增强。如果波动过程BB是Volterra型连续高斯过程（参见第2节中的定义2.1和2.2），则它适用于过滤{eFt}0≤t型≤T、模型（1.2）看起来像一个经典的相关随机波动率模型。我们称这种模型为aVolterra型高斯随机波动率模型。请注意，具有H¨older内核的Volterratype p过程的定义2.2在LF中包含了波动过程内核的r-H¨older类型条件。（1.1）中方程的唯一解是Dol'eans Dade指数ST=sexp-Ztσ（bBs）ds+Ztσ（bBs）dZs, 0≤ t型≤ T、因此，原木价格过程Xt=原木标准Xt=x-Ztσ（bBs）ds+Ztσ（bBs）dZs，（1.3），其中x=对数s。假设H>0，β∈ [0，H]，设ε∈ （0，1）是一个小噪声参数。我们将使用（1.1）中模型的以下缩放版本：dSε，β，Ht=εH-βSε，β，HtσεHbBtdZt，其中0≤ t型≤ T、为简单起见，我们通常假设资产价格满足的初始条件s=1。

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2022-6-10 08:49:20

比例模型中的资产价格过程由ε，β，Ht=exp给出-ε2H-2βZtσ（εHbBs）ds+εH-βZtσ（εHbBs）dZs, 0≤ t型≤ T、（1.4）对数价格过程如下：Xε，β，Ht=-ε2H-2βZtσ（εHbBs）ds+εH-βZtσ（εHbBs）dZs，0≤ t型≤ T、（1.5）很容易理解，如果s6=1，本论文中获得的结果如何变化。可以简单地用过程Xε，β，H代替过程Xε，β，hb- x、接下来，我们将简要概述在本文中获得的结果。第三节介绍了对数定价过程的样本路径大偏差和中等偏差原则。随机微分方程解的样本路径LDPs理论可以追溯到Freidlin和Wentzell的著名著作（见[18]；更多信息请参考[11，12，50]）。我们还请读者参考[3、9、42、46]，了解samplepath大偏差原则在金融数学中的应用。在β=0的情况下，模型处于大偏差标度区域。在第二节中，我们证明了对数价格过程ε7的样本路径大偏差原理（LDP）→ Xε，0，H（见定理2.9）。在Cellupica和Pacchiarotti最近的p再版中，在对挥发性函数σ更严格的假设下，获得了类似的样本路径LDP。在研究出口概率的渐近行为时，通常采用小噪声采样路径大偏差原理。这些结果可以追溯到Freidlin和Wentzell的工作（见[51，52，18]）。Fleming在[15]中使用随机控制理论对这些结果给出了不同的证明。在第2节中，我们使用定理2.9中获得的大偏差原理（见定理2.16），刻画了出口时间概率函数渐近展开中的引导项。在对波动率函数σ有更多限制的情况下，在[7]中获得了类似的结果。

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2022-6-10 08:49:23

请注意，流程的大偏差原则ε7→ Xε，0，HTwith state space R早在Forde和Zhang[17]中就建立了，其中函数σ满足globalH¨older条件，而过程bb是分数布朗运动。在[25]中，我们证明了Forde-Zhang LDP在σ和bb的非常温和的限制下。我们在第2节中阐述了latterresult。如果0<β<H，则模型处于中等偏差标度范围内（参见，例如，[4，13，20]，以及其中的参考文献，以获取有关中等偏差的更多信息）。在第3节中，我们证明了过程ε7的样本路径中等偏差原则（MDP）→ Xε，β，H（见定理3.1），并导出过程ε7的相应MDP→ Xε，β，HT（见推论3.5）。正如中等偏差理论中经常发生的那样，推论3.5中的比率函数是二次函数。在第3节的e n d中，我们解释了在波动过程自相似的条件下，如何将小噪声、大偏差和中等偏差原则转换为小时间原则。β=H的情况对应于中心极限（C L）标度制度。在第4节中，我们描述了过程ε7的分布函数在路径空间上的极限行为→ Xε，H，H（见定理4.1），以及过程ε7→ 空间R中的Xε，H，hT（见orem 4.3）。CL区域中的结果可被视为d egenerateMDPs，其速率函数等于常数（见第节中的Remark4.4）。CL标度的一个示例可在【22】中找到。

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2022-6-10 08:49:26

文献[22]中的非资产组的波动性由过程δ7建模→ σ（δeU），其中σ是一个光滑函数，而leeu是平稳分馏-乌伦贝克过程（我们的符号与[22]第3节中使用的符号不同）。[22]中的CL标度对应于以下参数值：H=1和β=1（我们的符号）。如上所述，高斯随机波动率模型（见公式（1.4））中对数价格过程的小噪声参数化可分为三个不相交的子类，分别对应于大偏差、中等偏差和中心极限标度制度。关于这些制度之间某些差异的有趣讨论可以在[13]中找到。[4、17、19、20、25、22、23、26、27]研究了高斯随机波动率模型及其标度版本。在过去几年中，分馏高斯随机波动率模型变得越来越流行。这种模型中的挥发过程是分数高斯过程，例如分数布朗运动、黎曼-刘维尔分数B罗文运动或分数奥恩斯坦·纽伦贝克过程（有关这些过程的定义，请参阅下一节）。我们参考了文献[25、23、22]中对高斯分数随机波动率模型的简短调查，以获取更多信息。[19]中提出了分数随机波动率模型中LDP和MDP制度的统一方法。在第5节中，我们找到了混合标度制度下看涨期权定价函数渐近展开的引导项。根据对数价格的大偏差原则的有效性得出买入价格估计的方法是众所周知的。

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2022-6-10 08:49:29

这种衍生软件利用波动率函数的线性增长条件以及资产价格过程的矩或综合方差的指数矩的不确定性（见第5节的讨论）。然而，在第6节中，我们表明，如果波动率函数的增长速度略快于一次方，那么综合方差的所有非平凡分量矩都是有限的（见定理6.7）。此外，我们还发现，在波动函数增长快于线性增长的不相关高斯随机波动率模型中，所有大于一个资产价格过程的阶矩都是有限的（见定理6.11第（i）部分）。之前的断言首次包含在本论文的arXiv:1808.00421v4（2018年9月22日）版本中。在一个特例中，同样的结果是由Gassiat独立获得的，但稍晚获得的，其中波动过程是Hereimann-Liouville分数布朗运动，Hurst指数为H>，而波动函数满足一个附加条件（在定理6.11之前制定的条件（G））（见arXiv中的定理2:1811.10935 v1（2018年11月27日）版本的[24]）。我们还表明，在相关Volterra型高斯模型（ρ6=0）中，所有γ阶矩都大于1-ρ爆炸（见定理6.11第（ii）部分）。Jourdain首次为Scott模型建立了这样一个结果（见[31]）。在Scott模型中，波动性p过程是OrnsteinUhlenbeck过程，而波动性函数是σ（x）=ex。Gassiat对ρ<0的模型、满足条件（G）的波动性函数和H>的theRiemann-Liouville分数布朗运动作为波动性过程获得了类似的结果（见[24]中的定理2]）。我们在定理6的第（ii）部分中没有假设。

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2022-6-10 08:49:32

11模型呈负相关，波动率函数满足条件（G）。此外，定理6中的volatilityprocess。1 1可以是n y Volterra型连续高斯过程。在本文中，我们还得到了关于阶矩γ=1爆炸的部分结果-相关高斯随机波动率模型中的ρ（见定理6.13）。更多信息请参见下面的备注5.3和5.7。我们还想让读者注意到这篇文章【41】，作者在文中解释了连续局部鞅的最大函数的指数可积性如何取决于其二次变差动量的增长。本文的最后一节（第7节）致力于研究高斯随机波动率模型中隐含波动率在不同标度制度下的小噪声符号行为。2、大偏差：β=0我们在引言中已经提到，在[17]中，Forde和Zhang获得了分数高斯随机波动率模型中对数价格过程的大偏差原理，前提是波动率函数满足全局H¨older条件，而波动率过程是分数布朗运动。这一结果在[25]中得到了推广，其中引入了额外的标度，并且LDP是在比[17]中的条件更温和的条件下建立的。[25]中假设波动率函数满足非常温和的正则条件，而波动率过程是Volterra型连续高斯过程。我们的下一个目标是引入Volterra型过程。

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2022-6-10 08:49:36

我们还将制定在【25】中获得的大偏差原则，并在与【25】相同的限制条件下建立样本路径大偏差原则。假设（1.2）中的模型是固定的，并且让K是[0，T]上的平方可积核，这样支持∈[0，T]RT | K（T，s）| ds<∞. 设K:L[0，T]7→ L[0，T]是由Kh（T）=RTK（T，s）h（s）ds定义的线性算子，且设bb是一个中心高斯过程，具有以下定律表示：bBt=ZTK（T，s）dBs，0≤ t型≤ T、（2.1）其中B是（1.2）中出现的布朗运动。这种高斯过程的表示被称为Fredholm表示。实际上，对于每个中心连续高斯过程，都存在一个依赖于过程的布朗运动的Fredholm表示（见[48]，定理3.1）。在本文中，我们假设过程B在（2.1）中有表示，过程B在（1.2）中有表示。核K在空间L[0，T]中的连续模定义如下：M（h）=sup{T，T∈ [0,1]：| t-t型|≤h} ZT | K（t，s）- K（t，s）| ds，0≤ h类≤ T、接下来我们将定义Volterra型过程和带有H¨olderkernels的Volterra型过程。定义2.1。如果核K满足以下条件：（a）K（t，s）=0，则（2.1）中的过程称为Volterra型高斯过程≤ t<s≤ T、定义2.2。如果条件（a）满足，并且下列附加条件成立，则（2.1）中的过程称为具有H¨old erkernel的Volterra型高斯过程：（b）存在常数c>0和r>0，使得M（H）≤ CHR适用于所有h∈ [0，T]。备注2.3。条件（a）是内核的典型Volterra类型条件。平滑条件（b）包含在[28，29]中Volterra型高斯过程的定义中。[25]中也使用了它。接下来我们将介绍经典的分数p过程。

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2022-6-10 08:49:39

对于0<H<1，分数布朗运动BHt，t≥ 0是一个中心高斯过程，协方差函数为givenbyCH（t，s）=t2H+s2H-|t型- s | 2H, t、 s≥ Kolmogorov在[35]中首次隐式考虑了BH过程，Mandelbrot和van Ness在[39]中对BH过程进行了研究。常数H称为赫斯特参数。TheRiemann-Liouville分数布朗运动定义如下：RHt=Γ（H+）Zt（t-s） H类-dBs，t≥ 0，其中0<H<1。这种随机过程是由L'evy在[36]中引入的。有关过程Rh的更多信息，请参见[38，4 3]。对于0<H<1且a>0的分数Ornstein-Uhlenbeck过程，通过以下公式定义：UHt=Zte-a（t-s）胸径，t≥ 0（见[8，32]）。分数布朗运动、Riemann-Liouville分数布朗运动和分数Ornstein-Uhlenbeck过程都是具有H¨olderkernels的Volterra型高斯过程，其r=2H（见文献[25]中的引理2]）。对于分数布朗运动，前面的陈述建立在[53]中。我们请读者参考[10、14、28、29、30、40]，以了解有关Volterra型过程的更多信息。备注2.4。我们将在整篇文章中假设高斯过程b是非退化的。这意味着B的变异函数v满足所有s的条件v（s）>0∈ （0，T）。备注2.5。满足定义2.2中条件的波动过程仅在与大偏差区域相关的结果中使用。在所有其他区域中，使用定义2.1。定义2.6。设ω为[0，∞), 也就是ω：R+7→ R+是ω（0）=0和lims的递增函数s uc h→0ω（s）=0。

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2022-6-10 08:49:42

定义在R上的函数σ称为局部ω-连续函数，如果对于每个δ>0，存在一个数L（δ）>0，那么对于allx，y∈ [-δ、 δ]，以下不等式成立：|σ（x）- σ（y）|≤ L（δ）ω（| x-y |）。连续模的一个特殊例子是ω（s）=sγ和γ∈ (0, 1). 在这种情况下，定义2.6中的条件是局部γ-氢老化条件。如果γ=1，则定义2.6中的条件是局部Lipschitz条件。用C[0，T]表示区间[0，T]上连续函数的空间。对于函数f∈ C[0，T]，其范数由| | f | | C[0，T]=支持定义∈[0，T]| f（T）|。在续集中，符号H[0，T]将代表Cameron-Martin空间，由绝对连续的函数f组成，f（0）=0和˙f∈ L[0，T]，其中˙f是f的导数。对于函数f∈ H[0，T]，其在H[0，T]中的范数由| | f | H[0，T]定义=ZT˙f（t）dt.下面将使用以下符号：bf（s）=ZsK（s，u）˙f（u）du。接下来，我们将为【25】中建立的Volterra型高斯随机波动率模型制定大偏差原则。我们将公式应用于本pape r.定理2.7中使用的符号。假设σ是R上的一个正函数，对于某些连续模ω，它是局部ω-连续的。设H＞0，letbB为带H¨olderkernel的Volterra型高斯过程。SetIT（x）=inff∈H【0，T】x个- ρRTσ（bf（s））˙f（s）ds2(1 - ρ） RTσ（bf（s））ds+ZT˙f（s）ds. （2.2）那么这个函数就是一个好的速率函数。此外，小噪声大偏差原则具有速度ε-2（2.2）给出的手动速率函数适用于过程ε7→ Xε，0，HT，其中Xε，0，HT由（1.5）定义。

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2022-6-10 08:49:44

更准确地说，对于R的每个Borel可测子集A，应给出以下e估计：- infx公司∈A.oIT（x）≤ l im infε↓0ε2Hlog PXε，0，HT∈ A.≤ lim supε↓0ε2Hlog PXε，0，HT∈ A.≤ - infx公司∈(R)AIT（x）。符号bols Ao前一个估计中的“A”分别代表集合A的内部和闭包。备注2.8。回想一下，拓扑空间X上的速率函数是下半连续映射I:X 7→ [0, ∞], 也就是说，对所有人来说∈ [0, ∞), 水平集Ly={x∈ X:I（X）≤ y} 是X的闭合子集。对于每个y，速率函数I称为良好速率函数I f∈ [0, ∞), Setlyx是X的一个紧凑子集。我们请读者参阅[4，17，25]，以了解Volterra型高斯随机波动率模型的大偏差原理的更多信息。让我们定义一个从空间M=C[0，T]到空间C[0，T]的可测量函数Φ，如下所示：对于l∈ H[0，T]和（f，g）∈ C[0，T]使得f∈ H[0，T]和g=bf，Φ（l，f，g）（T）=ρZtσ（bf（s））˙l（s）ds+ρZtσ（bf（s））˙f（s）ds，0≤ t型≤ T、此外，对于所有剩余的三元组（l，f，g），我们为所有T设置Φ（l，f，g）（T）=0∈ [0，T]。下一条语句是过程ε7的样本路径大偏差原则→ 状态空间为C[0，T]的Xε，0，h。定理2.9。假设定理2.7中的条件成立。然后过程ε7→ Xε，0，Hde（1.5）满足速度ε的小噪声大偏差原则-2手动良好率函数QT由QT（g）=∞, 对于所有g∈ C[0，T]\\H[0，T]和qt（g）=inff∈H【0，T】ZT“˙g（s）- ρσ（bf（s））˙f（s）˙ρσ（bf（s））#ds+ZT˙f（s）ds, （2.3）对于所有g∈ H【0，T】。大偏差原则的有效性意味着，对于C[0，T]的每个钻孔可测量子集A，以下估计值成立：- infg公司∈A.oQT（克）≤ lim infε↓0ε2Hlog PXε，0，H∈ A.≤ lim supε↓0ε2Hlog PXε，0，H∈ A.≤ - infg公司∈(R)AQT（g）。备注2.10。

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2022-6-10 08:49:47

在更严格的假设下，最近在[7]中获得了类似的LD P w。例如，在[7]中假设d的波动率函数σ是α-H¨older连续的，并且从R的上方有界，而在定理2.9中，我们假设σ对于某些连续模ω是局部ω-连续的。备注2.11。为了进行健全性检查，让我们考虑定理2.9的一个特殊情况，其中ρ=0，σ（u）=1表示所有u∈ [0，T]。然后qt（g）=inff∈H【0，T】ZT˙g（s）ds+ZT˙f（s）ds=ZT˙g（s）ds，我们恢复了Schilder定理。备注2。12、回想一下，a集合a C[0，T]被称为速率函数QTifinfg的一组连续性∈A.oQT（g）=infg∈(R)AQT（g）。（2.4）对于这样的集合，定理2.9意味着limε↓0ε2Hlog PXε，0，H∈ A.= - infg公司∈AQT（g）。（2.5）理论证明2.9。每克∈ C[0，T]，setQT（g）=infl，f∈H【0，T】ZT˙l（s）ds+ZT˙f（s）ds: Φ（l，f，bf）（t）=g（t），t∈ [0，T], （2.6）如果g使得（2.6）右侧的集合不为空，且QT（g）=∞,否则为了简单起见，我们假设T=1，s=1。[25]第6节的证明表明，过程ε7→ 状态空间R×C[0，1]的εH（W，B，bB）满足速度dε的大偏差原理-2由Ei（y，f，g）=y+I（f，g），y给出的Hand goodrate函数∈ R、（f，g）∈ C[0，1]。在前面的定义中，函数I定义如下：如果f∈ H[0，1]和g=bf，然后I（f，g）=R˙f（s）ds，在所有剩余情况下，I（f，g）=∞.

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2022-6-10 08:49:50

同样，我们可以证明过程ε7→ 状态空间C[0，1]的εH（W，B，bB）满足速度ε的大偏差原理-2由I（v，f，g）=Z˙v（s）ds+I（f，g），y给出的手动良好速率函数∈ R、（v、f、g）∈ C[0，1]。这里我们考虑了Schilder定理和布朗运动W和B是独立的这一事实。使用与[25]第5节相同的思想，我们可以证明，如果我们去掉漂移项，那么定理2.9中的LDP不会受到影响。更准确地说，这意味着有必要证明过程ε7的理论2.9中的LDP→bXε，0，H，其中bXε，0，Ht=εHZtσ（εHbBs）（(R)ρdWs+ρdBs），0≤ t型≤ 1.（2.7）我们的下一个目标是展示如何在我们的环境中应用扩展收缩原则（有关扩展收缩原则的更多详细信息，请参见[11]中的定理4.2.23）。让我们定义一个函数序列Φm:m 7→ C【0，1】，m≥ 1如下：对于（r、h、l）∈ C[0，1]和t∈ [0，1]，Φm（r，h，l）（t）=ρ[mt-1]∑k=0σl公里数rk+1米-r公里数+ σlk+1米r（t）-r[公吨]米+ ρ[mt-1]∑k=0σl公里数h类k+1米-h类公里数+ σlk+1米h（t）-h类[公吨]米.不难看出，对于每一个m≥ 1、映射Φmis连续。接下来，我们将确定【11】中的公式（4.2.24）在我们的环境中适用。该公式用于制定扩展收缩原理（见【11】，定理4.2.23）。引理2。13、对于e veryζ>0和y>0，lim supm→∞sup{（r，f）∈H[0,1]：R˙R（s）ds+R˙f（s）ds≤ζ} | |Φ（r、f、bf）- Φm（r，f，^f）| C[0,1]=0。证据引理2.13的证明类似于文献[25]中引理2.1的证明。不难看出，对于ll（r，f）∈ H[0，1]和m≥ 1，Φm（r，f，^f）=ρZthm（s，f）˙r（s）ds+ρZthm（s，f）˙f（s）ds，其中hm（s，f）=m-1.∑k=0σ高炉煤气公里数{公里≤s≤k+1m}，0≤ s≤ 1、因此Φ（r、f、bf）- Φm（r，f，^f）=？ρZt[σ（bf（s））- hm（s，f）]˙r（s）ds+ρZt[σ（bf（s））- hm（s，f）]˙f（s）ds。（2.8）对于每个η>0，表示Dη={w∈ H[0，1]：R˙w（s）ds≤ η}.

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2022-6-10 08:49:53

不难看出，为了证明引理2.13，可以证明对于所有η>0，lim supm→∞“supf∈Dη，w∈Dη支持∈[0,1]Zt[σ（^f（s））- hm（s，f）]˙w（s）ds#= 0，（2.9）我们有SUPF∈Dη，w∈Dη支持∈[0,1]Zt[σ（^f（s））-hm（s，f）]˙w（s）ds≤ supf公司∈Dη，w∈DηZσ（^f（s））- hm（s，f）|˙f（s）| ds≤√ηsupf∈Dηsups∈[0,1]σ（^f（s））- hm（s，f）.（2.10）在【25】中Le mma 21的证明中确定，即SUPF∈Dηsups∈[0,1]σ（^f（s））- hm（s，f）→ 0（2.11）为m→ ∞ （之前的陈述源自【25】中的（49））。现在，很明显，（2.10）和（2.11）意味着（2.9）。这就完成了Lemma2.13的证明。仍需证明过程的顺序ε7→ ΦmεHW，εHB，εHbB状态空间C[0，1]是过程ε7的指数良好近似→bXε，0，H。前面的陈述意味着对于每个δ>0，limm→∞lim supε↓0ε2Hlog P||bXε，0，H-ΦmεHW，εHB，εHbB||C[0,1]>δ= -∞. （2.12）使用Bxε，0，HandΦm的定义，我们可以看到，为了证明（2.12）中的等式，有必要表明对于每一个τ>0，limm→∞lim supε↓0ε2Hlog PεHsupt∈[0,1]Ztσ（m）sdBs> δ!= -∞ （2.13）和LIMM→∞lim supε↓0ε2Hlog PεHsupt∈[0,1]Ztσ（m）sdWs> δ!= -∞, （2.14）式中σ（m）s=σεHbBs-σεHbB【mt】m, 0≤ s≤ 1，米≥ 1、（2.13）中的公式是在[25]公式（53）中建立的。公式（2.14）的证明相似。这就完成了（2.12）的证明。最后，通过考虑（2.12），引理2.13，并应用扩展收缩原理（orem 4.2.2 3 in【11】），我们证明了过程ε7→bXε，0，hs符合速度ε的大行程原则-2手动良好率函数Q（参见（2.6）中的定义）。对于任何T>0，过程ε7→bXε，0，hs符合速度ε的大偏差原则-2（2.6）中定义的手动良好率函数QT。

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2022-6-10 08:49:56

可以使用【25】中定义17之前的推理中使用的方法来建立之前的陈述。接下来，我们将证明函数qt满足（2.3）中的公式。不难看出，如果g∈ C[0，T]，l，f∈ H[0，T]，且Φ（l，f，bf）（T）=g（T），对于所有T∈ [0，T]，然后∈ H[0，1]。此外，如果用于g∈ H[0，T]前面的等式成立，那么不难看出˙l（T）=˙g（s）- ρσ（bf（s）））˙f（s）(R)ρσ（bf（s））。现在很明显，公式（2.3）适用于（2.6）定义的函数qt。这就完成了定理2.9的证明。本节的下一个目标是证明∈ H[0，T]，在（2.3）右边的极小化问题中至少存在一个极小化子fg。引理2。14、对于e功能g∈ H[0，T]存在一个函数fg∈ H[0，T]使得qt（g）=ZT“˙g（s）- ρσ（bfg（s））˙fg（s）(R)ρσ（bfg（s））#ds+ZT˙fg（s）ds。（2.15）证明。不难看出，证明每个j∈ L[0，T]，空间L[0，T]上的下列极小化问题有一个解：H（j）=infh∈L[0，T]eHj（h），其中eHj（h）=ZTj（s）(R)ρσ（Kh（s））-ρ′ρh（s）ds+ZTh（s）ds。（2.16）在（2.16）中，Kh（s）=RTK（s，u）h（u）d u，K是满足定义2.2中条件（b）的Volterra型核。众所周知，如果函数hj:L[0，T]7→ R是强制的且弱序列lowersemi连续的（参见，例如，[49]，第1章，定理1.2）。如果后一个属性适用于函数F，那么为了简短起见，我们将编写F∈ WLS。（2.16）中泛函的矫顽力是明确的。众所周知，功能h 7→RTh（s）Ds属于WL s类。

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2022-6-10 08:49:59

由于WLS中两个泛函的和也是WLS中的，并且WLS中一个非负泛函的平方是WLS中的，因此有必要证明泛函gj（h）=（ZTj（s）(R)ρσ（Kh（s））-ρ′ρh（s）ds）属于WLS类。我们有gj（h）=sup | | q||≤1ZTj（s）(R)ρσ（Kh（s））-ρ′ρh（s）q（s）ds。WLS函数族的上确界是WLS。为了完成引理2.14的证明，对于任何j，q∈ L[0，T]，功能LH 7→ZT公司j（s）(R)ρσ（Kh（s））-ρ′ρh（s）q（s）Ds属于WLS类。功能性h 7→ -ρ′ρRTh（s）q（s）ds是弱连续的，因此它在WLS中。仍需分析函数Ldj，q（h）7→ZTj（s）q（s）(R)ρσ（Kh（s））ds。（2.17）我们将证明这个泛函是弱序连续的。假设香港→ H在L[0，T]中很弱。n supk | | hk | |<∞. 根据对核函数K的限制，算子K从L[0，T]到C[0，T]是连续的。因此，它是弱连续的，因此Khk（s）7→ Kh（s）适用于所有s∈ [0，T]。此外，我们有SUP≥1，s∈[0，T]| Khk（s）|≤ ||K | | SUP | | hk | |<∞.在定理2.9中，假设波动率函数σ在R上严格为正。因此，在任何有限区间上，它都有远离零的界。接下来，使用（2.17）和支配收敛定理，我们看到Dj，q（hk）7→ Dj，q（h）为k→ ∞. 因此，函数Dj，qis是弱序列连续的。最后，通过考虑上述事实，很容易完成Lem ma2.14的证明。在下一个引理中，我们证明了空间H[0，T]上速率函数qt的连续性。引理2。15、功能QT:H[0，T]7→ R是连续的。证据函数QTin引理2.15的下半连续性源于qt是C[0，T]上的速率函数和Sobolev嵌入H[0，T] C【0，T】。接下来我们将证明QTon H[0，T]的上半连续性。

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2022-6-10 08:50:02

对于每个f∈ H[0，T]，定义功能Df:H[0，T]7→ R byDf（g）=ZT“˙g（s）- ρσ（bf（s））˙f（s）(R)ρσ（bf（s））#ds+ZT˙f（s）ds。不难看出，为了完成引理2.15的证明，对于每一个f∈ H[0，T]，功能Dfis连续。很明显，bf是[0，T]上的有界连续函数。因此，存在δ>0和M>0，因此所有s的M>σ（bf（s））>δ∈ [0，T]。假设gk→ g in H[0，T]。那么我们有| Df（g）- Df（gk）|≤δ(1 - ρ） ZT |˙g（s）-˙gk（s）|g（s）+gk（s）-2ρσ（bf（s））˙f（s）| ds≤δ(1 - ρ） | | g- gk | | H[0，T]| | g | H[0，T]+SUP | | g | | H[0，T]+2ZTσ（bf（s））˙f（s）ds!≤≤δ(1 - ρ） | | g- gk | | H[0，T]| | g | H[0，T]+SUP | | g | | H[0，T]+2M | | f | H[0，T]！。现在，很明显Df（gk）→ Df（g）为k→ ∞, 因此，函数Dfis在空间H[0，T]上是连续的。因此，函数QT是上半连续的，因为它可以表示为H[0，T]泛函上连续族的最小值。这就完成了Lemma2.15的证明。我们在本节中的最终目标是应用定理2.9来描述退出概率从开放区间渐近展开的领先项。我们假设Sε，0，H=1。因此，Xε，0，H=0。设U=（a，b）是一个间隔，使得0∈ （a，b），并通过τε=infns确定从U的退出时间∈ （0，T）：Xε，0，Hs/∈ Uo。对于每个固定的t∈ （0，T），出口时间概率函数vε（T）由vε（T）=P（τε）定义≤ t）。SetAt={f∈ C[0，T]：f（s）/∈ U代表一些s∈ （0，t）}。定理2。16。在定理2.9中的条件下，对于每t∈ [0，T]，limε→0ε2Hlog vε（t）=- inff公司∈AtQT（f）。证据不难看出{τε≤ t}=Xε，0，H∈ 在. 接下来我们将展示Atis是QT的一组连续性。实际上，内部otof AT由所有路径f组成∈ C[0，T]，其中存在s<T，使得f（s）/∈美国。

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2022-6-10 08:50:05

在加法中，At的边界与所有路径f的集合重合∈ C[0，T]，它在T之前或s=T时到达U的边界，但在T之前没有退出U。不难看出，集合Aot型∪ H[0，T]在'At'组中是稠密的∪ 空间H[0，T]拓扑中的H[0，T]。现在，使用引理2.15，很容易证明（2.4）中的等式适用于集合At，因此（2.5）适用于集合At。定理2.16的证明就此完成。3、中等偏差：0<β<在本节中，我们假设0<β<H，并证明过程ε7的样本路径大偏差原理→ Xε，β，H。对于过程ε7，我们也得到了类似的结果→Xε，β，HT。本节不假设高斯随机波动模型为Volterra型。下一句话是本节的主要结果。定理3.1。设0<β<H，σ（0）>0，并假设函数σ对于某些连续模ω是局部ω-c连续的。还假设BB是一个非退化的连续中心高斯过程，适合过滤{Ft}0≤t型≤T、然后过程ε7→ 状态空间C[0，T]的Xε，β，h满足速度为ε2β的LDP-2 EIT（f）=（2σ（0）RT˙f（t）dt，f定义的手良率函数∈ H【0，T】∞, f∈ C[0，T]\\H[0，T]。证据SetbXε，β，Ht=εH-βZtσ（εHbBs）dZs，0≤ ε ≤ 1.（3.1）我们将首先证明，在理论3.1的环境中，漂移项的去除不会影响LDP的有效性。引理3.2。在定理3.1的条件下，过程ε→bXε，β，手ε→ s状态空间C[0，T]的Xε，β，hw是指数等价的。备注3.3。指数等值的定义见【11】。在我们的例子中，指数当量e意味着对于每一个y>0，limε→0ε2H-2βlog P||bXε，β，H-Xε，β，H | | C[0，T]≥ y= -∞.引理3.2的证明。在【25】的第5节中，在一个稍有不同的环境中得到了一个类似于引理3.2的陈述。

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2022-6-10 08:50:08

在我们的情况下，P||bXε，β，H-Xε，β，H | | C[0，T]≥ y= Pε2H-2βZTσ（εHbBs）ds≥ y,我们可以使用与[25]第5节中的证明相同的工具来完成引理3.2的证明。根据引理3.2，过程ε→bXε，β，手ε→ Xε，β，hs符合samelarge-de-viation原理（关于两个过程的指数等效性意味着它们满足相同LDP这一事实的证明，请参见[11]）。因此，有必要证明前一过程的理论3.1。引理3.4。在定理3.1中的条件下，过程ε7→bXε，β，His指数等价于p过程ε7→eGε，β，H：=εH-βσ（0）Z。引理3.4的证明。设δ>0，0<η<1。对于每个ε∈ [0，1]，setM（ε）t=Zthσ（εHbBs）- σ（0）idZs，0≤ t型≤ T、通过ξ（ε）η=infns定义停止时间∈ [0，T]：εH | bBs |>ηo。然后我们有||bXε，β，H-eGε，β，H | | C[0，T]>δ= PεH-βsupt∈[0，T]M（ε）t> δ!≤ PεH-βsupt∈[0,ξ(ε)η]M（ε）t>δ+ Pξ（ε）η<T= J（ε，δ，η）+J（ε，δ，η）。（3.2）我们将首先估计J。设置σ（ε）s=σ（εHbBs）- σ(0 ). 由于函数σ是局部ω-连续的（见定义2.6），|σ（ε）s |≤ 所有s的L（1）ω（η）∈h0，ξ（ε）ηi.（3.3）很明显，由于过程7→ M（t∧ ξ（ε）η），t∈ [0，T]。（3.4）可以表示为具有有界被积函数的随机积分，它是鞅。此外，对于0<ε<ε且固定λ>0，随机指数（ε）t=exp（λεH-βZt∧ξ（ε）ησ（ε）sdZs-λε2H-2βZt∧ξ(ε)ησ（ε）sds）是鞅（使用Novikov条件）。在其余的证明中，我们将假设0<ε<ε。根据（3.3）和上述马丁性条件，e“exp（λεH-βZt∧ξ（ε）ησ（ε）sdZs）#=E“E（ε）texp（λε2H-2βZt∧ξ(ε)ησ（ε）sds）#≤ 经验值Tλε2H-2βL（1）ω（η）< ∞, （3.5）对于所有t∈ [0，T]。将t=t插入（3.5），我们得到“exp（λεH-βZξ（ε）ησ（ε）sdZs）#≤ 经验值Tλε2H-2βL（1）ω（η）.

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2022-6-10 08:50:11

（3.6）由于（3.4）中的过程是鞅，因此（3.5）中的可积条件意味着过程t 7→ exp（λεH-βZt∧ξ（ε）ησ（ε）sdZs）是一个正子鞅（见[34]中的命题3.6]）。接下来，使用（3.6）和[34]定理3.8中的firstsubmartingale不等式，我们得到支持∈[0，ξ（ε）η]expεH-βλZtσ（ε）sdZs> eλδ≤ 经验值Tε2H-2βλL（1）ω（η）-λδ.设置λ=δTε2H-2βL（1）ω（η），我们从前面的不等式得到支持∈[0，ξ（ε）η]εH-βZtσ（ε）sdZs>δ≤ 经验值-δ2Tε2H-2βL（1）ω（η）. （3.7）可以用以下过程替换过程M-我在上面的推理中。这给出了以下类似于（3.7）的不等式：P支持∈[0,ξ(ε)η]-εH-βZtσ（ε）sdZs> δ≤ 经验值-δ2Tε2H-2βL（1）ω（η）. （3.8）由（3.7）和（3.8）得出支持∈[0，ξ（ε）η]εH-βZtσ（ε）sdZs> δ≤ 2经验值-δ2Tε2H-2βL（1）ω（η）, （3.9）对于所有δ>0和0<η<1。然后，我们得到了（3.2）J（ε，δ，η）中引入的J的以下估计值≤ 2经验值-δ8Tε2H-2βL（1）ω（η）andlim supε→0ε2H-2βlog J（ε，δ，η）≤ -δ8TL（1）ω（η）。（3.10）我们的下一个目标是估算（3.2）中定义的Jde。我们有j（ε，δ，η）≤ PεHsups∈[0，T]| bBs |>η！，（3.11）对于所有ε∈ （0，T），δ>0和η∈ (0, 1). 利用高斯过程最大值的大偏差原理（例如，参见[37]中的（8.5）），我们可以证明存在常数C>0和y>0，使得PSUPT∈[0，T]| bBt |>y！≤ e-Cy（3.12）对于所有y>y。接下来，考虑（3.11）a n d（3.12），我们得到lim supε→0ε2H-2βlog J（ε，δ，η）=-∞. （3.13）最后，结合（3.2）、（3.10）和（3.13），并使用不等式log（a+b）≤ max{log（2a），log（2b）}，a>0，b>0，我们可以证明limε→0ε2H-2βlog P||bXε，β，H-eGε，β，H | | C[0，T]>δ= -∞,对于所有δ>0。从而完成了L emma3.4的证明。为了完成定理3.1的证明，我们观察到，通过Schilder定理（见[11]），过程ε、β、hs满足了定理3.1中的LDP。

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可人4

2022-6-10 08:50:14

接下来，利用引理3.2和3.4中的指数等价性，我们看到相同的LDP适用于过程bxε，β，H。这就完成了定理3.1的证明。推论3.5。在定理3.1的限制下，过程ε7→ Xε，β，HTS状态空间表示LDP的速度为ε2β-2按位（x）=x2Tσ（0），x定义的手动良好速率函数∈ R、推论3.5可以从定理3.1中推导出来。实际上，设A是R的Borel子集，并考虑f的C的Borel子集∈ C[0，T]使得f（T）∈ A、然后，通过将定理3.1中的Ldp估计应用于集合A，不难证明推论3.5中关于集合A的Ldp估计。备注3.6。T heorem2.7和Corolulary3.5中得到的大偏差和中等偏差结果，以及r ate函数在[0，∞) （见[25]），表示以下尾部估计值：limε↓0ε2H-2βlog PXε，β，HT≥ x个=(-IT（x），如果β=0-x2Tσ（0），如果0<β<H.（3.14），我们的下一个目标是讨论自相似波动过程的小时间和小噪声LDP之间的关系。定义3.7。设0<H<1。进程BBT，0≤ t型≤ T、对于e v eryε，称为H-self-s相似∈ （0，1），bBεt=εHbBt，0≤ t型≤ T、在法律上。分数布朗运动B和Riemann-Liouville分数布朗运动是H-自相似的，而分数Ornstein-Uhlenbeck过程则不是。假设波动过程bb是H-自相似的。然后，我们可以从定理2.7和定理3中的small noiseLDP和MDP中通过。5到小时间LDP和MDP，通过以下观察（这种方法是众所周知的）。SetZε，Ht=-εZtσ（εHbBs）ds+√εZtσ（εHbBs）dZs。不难看出，在forbB的自相似条件下，对于每个ε∈ （0，1）质量Xεt=Zε，Ht，0≤ t型≤ T、法律适用。此处，流程X由（1.3）定义。

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2022-6-10 08:50:17

然后εH-β-Xεt=-εH-β+Ztσ（εHbBs）ds+bXε，β，Ht，对于所有t∈ [0，T]，ε∈ （0，1），H∈ （0，1），a和β∈ [0，H）。前面等式中的过程bxε，β，hT在（2.7）和（3.1）中定义。接下来，用t替换t，用t替换ε，我们得到-β-XtT=-tH公司-β+ZTσ（tHbBs）ds+bXt，β，HT，（3.15）对于所有t∈ [0, 1]. 对于β=0，过程t 7→ Xt，β，hts满足定理2.7中的LDP，而对于β∈ （0，H）它满足推论3中的MDP。5、现在，替换漂移项-t2H型-2βRTσ（tHbBs）ds在过程t 7中→ Xt，β，HTby一个新的漂移项-tH公司-β+ZTσ（tHbBs）ds，使用（3.15），我们可以看到（3.15）左侧的过程满足β=0时OREM2.7中的L DP，以及β的推论3.5中的MDP∈ （0，H）。可以使用【25】第5节中采用的想法来调整漂移置换的可能性。前面的推理说明了如何从小噪声中获得小时间大偏差和中等偏差原则。对于β=0，定理18.4中的[25]获得了定理2.7中LDP的小时间模拟。中心极限状态：β=HWe接下来将描述如果β=H会发生什么。回想一下，在LDP和MDP状态中，我们可以忽略漂移项。对于β=H，情况不再如此，必须考虑漂移项。在本文的其余部分，符号“N”将代表由“N（z）”定义的标准正态互补累积分布函数=√2πZ∞zexp-udu，z∈ R、假设定理3.1中对函数σ的限制成立。WehaveXε，H，Ht=-Ztσ（εHbBs）ds+Ztσ（εHbBs）dZs，0≤ t型≤ T、如果β=H，则（3.14）左侧的表达式具有以下形式：L（x）=limε↓0日志PXε，H，HT≥ x个, x>0。（4.1）如下所示，（4.1）中的限值存在于每x>0处，并计算其值。我们将首先研究过程的行为ε7→ Xε，H，Hon路径空间。设置=-tσ（0）+σ（0）Zt，t∈ [0，T]。（4.2）定理4.1。

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2022-6-10 08:50:20

在定理3.1中对函数σ和过程b的限制下，以下公式适用于所有y>0的情况：limε→0便士||Xε，H，H-U | | C[0，T]≥ y= 0.证明。对于每y>0，P||Xε，H，H-U | | C[0，T]≥ y≤ Psupt公司∈[0，T]Zthσ（0）-σ（εHbBs）ids≥ y！+Psupt公司∈[0，T]Zthσ（εHbBs）- σ（0）idZs≥y！=L（ε，y）+L（ε，y）。（4.3）我们将首先显示Limε→0L（ε，y）=0。（4.4）为了证明（4.4）中的等式，我们使用了引理3.4证明中使用的方法。分析前面（3.9）的证明，我们发现（3.9）中的估计也适用于β=H。此给定SP支持∈[0,ξ(ε)η]Ztσ（ε）sdZs> δ≤ 2经验值-δ2L（1）ω（η）.现在，不难看出如何使用（3.11）和（3.12）证明（4.4）。我们的下一个目标是显示limε→0L（ε，y）=0。（4.5）对于所有η∈ （0，1），我们有（ε，y）≤ P支持∈[0,ξ(ε)η]Zthσ（0）-σ（εHbBs）ids≥y+ Pξ（ε）η<T≤ P支持∈[0，ξ（ε）η]Ztσ(0) - σ（εHbBs）σ（0）+σ（εHbBs）ds公司≥y+ PεHsups∈[0，T]| bBs |>η！≤ P2TL（1）ω（η）sup0≤u≤1[σ（u）]≥y！+PεHsups∈[0，T]| bBs |>η！。（4.6）对于固定的y>0且η足够小，则（4.6）中最后一行的第一项等于零，因为ω（η）→ 0为η→ 0.此外，对于固定η∈ （0，1），我们有limε→0PεHsups∈[0，T]| bBs |>η！=使用（3.12）可以获得先前的等式。现在，不难看出（4.6）意味着（4.4）。最后，很明显，orem 4.1源自（4.3），（4.4），a n d（4.5）。下一个结果回答了Barbara Pacchiarotti提出的以下问题：函数dh的测试值是多少，T（x）=l imε→0Psupt∈[0，T]Xε，H，Ht>X！人们能用定理4.1推导吗？我们将只处理右尾。定理4。2、设H＞0，x＞0。ThenDH，T（x）=Φxσ（0）√T+σ（0）√T！+经验值{-x} “1-Φxσ（0）√T+σ（0）√T！#。（4.7）其中，符号Φ代表标准正态累积分布函数。证据用0<δ<1固定δ。

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2022-6-10 08:50:23

那么我们有PSUPT∈[0，T]Xε，H，Ht>X！≤ P||Xε，H，H-U | | C[0，T]>（1-δ） x个+ Psupt公司∈[0，T]Ut>δx！，其中U由（4.2）定义。根据定理4.1，lim supε→0Psupt∈[0，T]Xε，H，Ht>X！≤ lim supε→0便士||Xε，H，H-U | | C[0，T]>（1-δ） x个+ Psupt公司∈[0，T]Ut>δx！=Psupt公司∈[0，T]Ut>δx！=Psupt公司∈[0，T]-tσ（0）+Zt>δxσ（0）！。（4.8）已知带漂移的B-rownian运动的最大值分布。以下公式适用于每y>0和u∈ R： Psupt公司∈[0，T]（uT+Zt）>y！=Φy- uT√T+ exp{2uy}1.- Φy-uT√T（4.9）（参见，例如，[2]）。因此，（4.8）意味着LIM supε→0Psupt∈[0，T]Xε，H，Ht>X！≤ Φδxσ（0）√T+σ（0）√T！+经验值{-δx}“1- Φδxσ（0）√T+σ（0）√T！#。接下来，让δ→ 1，我们得到lim supε→0Psupt∈[0，T]Xε，H，Ht>X！≤ Φxσ（0）√T+σ（0）√T！+经验值{-x} “1- Φxσ（0）√T+σ（0）√T！#。（4.10）我们的下一个目标是获得较低的估计值。我们有PSUPT∈[0，T]Xε，H，Ht>X！≥ Psupt公司∈[0，T]Ut>（1+δ）x！-P||Xε，H，H-U | | C[0，T]>δxandlim infε→0Psupt∈[0，T]Xε，H，Ht>X！≥ Psupt公司∈[0，T]Ut>（1+δ）x！-lim supε→0便士||Xε，H，H-U | | C[0，T]>δx= Psupt公司∈[0，T]Ut>（1+δ）x！=Psupt公司∈[0，T]-tσ（0）+Zt>（1+δ）xσ（0）！。（4.11）现在，使用（4.11）、（4.9）和le ttingδ→ 0，我们得到Lim infε→0Psupt∈[0，T]Xε，H，Ht>X！≥ Φxσ（0）√T+σ（0）√T！+经验值{-x} “1- Φxσ（0）√T+σ（0）√T！#。（4.12）最后，从（4.10）和（4.12）中可以看出（4.7）。这就完成了定理4.2的证明。下一句话是定理4.1的推论。定理4.3。在定理3.1中引入的函数σi的限制下，以下公式有效：limε↓0便士Xε，H，HT≥ x个=\'\'Nx√Tσ（0）+√Tσ（0）！。因此，（4.1）中的极限值存在于e very x>0，且moretoverl（x）=log'Nx√Tσ（0）+√Tσ（0）！。（4.13）证明。根据定理4.1，过程Xε，H，ht在概率上收敛为ε↓ 0到随机变量-Tσ（0）+σ（0）ZT。众所周知，概率收敛意味着分布收敛。

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mingdashike22

2022-6-10 08:50:26

因为对于每x>0，集合[x，∞) 是ZT分布的一组连续性，我们有limε↓0便士Xε，H，HT≥ x个=√2π√Tσ（0）Z∞xexp(-2Tσ（0）r+Tσ（0）)dr=(R)Nx√Tσ（0）+√Tσ（0）！。（4.14）很明显，（4.13）是（4.14）的后续内容。这就完成了定理4.3的证明。备注4.4。在β=H的情况下，可以考虑函数-LT（x）=-日志'Nx√Tσ（0）+√Tσ（0）！，x>0，以替代定理2.7中大偏差原则中的速率函数ITI，或速率函数位（x）=√Tσ（0）xin推论3.5中的中等偏差原则。然而，f或β=H，相应的中等偏差原则退化，因为在这种情况下，速度ε2H-2β等于1。备注4.5。如果β→ 0，则推论3.5中MDP区域的速率函数不趋向于定理2.7中LDP区域的速率函数。如果我们容忍O（x）-近似，对于小x>0，这种不连续性就会消失。实际上，对于β=0，在对波动率函数的更强平滑度限制下，在[4]中建立了以下渐近展开：IT（x）=x2Tσ（0）+O（x）as x→ 0（实际上，上述泰勒展开式中的更多项可在[4]中找到）。请注意，β=H时的渐近公式中也存在不连续性。上述不连续性的原因之一是，通常不可能通过渐近公式中的外参数达到极限。5、混合区域中小噪声看涨期权定价函数的渐近行为在本节中，我们研究了混合区域中小噪声看涨期权定价函数的渐近行为。将考虑以下小噪声通话定价函数：Cβ，H，T（ε，xεα）=ESε，β，HT-exp{xεα}+.上一定义中出现的参数满足x>0，H>0，β≤ H、 α≥ 0和0≤ α + β ≤ H、请注意，参数β可能为负值。

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2022-6-10 08:50:29

在前面的公式中，成熟度由ε参数化，而测井走向遵循pa thε7→ xεα（有关调用的各种参数化的讨论，请参见[21]）。在本节中，我们将讨论波动率函数满足线性增长条件的情况。下一节将讨论当波动率函数以整数比线性快的速度增长时会发生什么。定义5.1。据说，如果存在常数c>0和c>0，使得σ（x），则函数σ的线性增长条件成立≤ c+CXAll x≥ 众所周知，如果函数σ的线性增长条件成立，那么（1.1）描述的模型中的资产定价过程S是鞅，因此P是风险中性度量（参见，例如，[17，25]）。即使对于增长更快的函数σ，过程S也可以是鞅。例如，在[31]中确定，对于Scottmodel（见[47]），其中σ（x）=exandbB是经典的Ornstein-Uhlenbeck过程，资产价格过程S是鞅当且仅当-1 < ρ ≤ 0 . 最近的一份预印本[24]中获得了gene-Ralverterra型高斯模型的类似结果。在下一个断言中，调用定价函数的渐近公式是从大偏差原理推导出来的。定理5.2。假设波动率函数σ满足li近似增长条件。以下是正确的：（i）假设定理2.7中的条件成立，且α+β=0。Thenlimε↓0ε2Hlog Cβ，H，T（ε，xεα）=-IT（x）。（ii）假设推论3.5中的条件成立，并设0<α+β<H。Thenlimε↓0ε2H-2α-2βlog Cβ，H，T（ε，xεα）=-x2Tσ（0）。证据在线性增长条件下，允许从大偏差原则推导出看涨期权定价函数估计值的方法是众所周知的（参见，例如，[16，17，25，42]）。我们将仅在定理5.2的第（i）部分中概述上估计的证明。

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mingdashike22

2022-6-10 08:50:32

让我们从尾部估计开始。根据（1.5）得出，在上述α+β6=H的情况下，移除漂移项的可能性为thatlimε↓0ε2H-2α-2βlog PXε，β，HT≥ xεα= limε↓0ε2H-2α-2βlog Pε-αXε，β，HT≥ x个= limε↓0ε2H-2α-2βlog PXε，α+β，HT≥ x个. （5.1）如果α+β=0，则定理2.7和（5.1）中的e质量意味着Limε↓0ε2Hlog PXε，β，HT≥ xεα= -IT（x）（在0<α+β<H的情况下，为了证明类似的等式，我们使用推论3.5和（5.1））。设p＞1，q＞1，使得p+q＝1。ThenCβ，H，T（ε，xεα）≤内赫Sε，β，HTpiopnPXε，β，HT>Xεαoq。从前面的估计可以看出，lim supε↓0ε2H-2α-2βlog Cβ，H，T（ε，xεα）≤plim supε↓0ε2H-2α-2β对数EhSε，β，HT圆周率-qIT（x）。定理5.2第（i）部分中上估计的其余证明遵循了文献[25]中推论31中类似估计的证明（文献[25]中的公式（81））。通过后一个证明中的推理，我们可以确定∈ （0，1），p>1和β∈ [0，H），呃Sε，β，HT圆周率≤ 服务提供商E经验值2p级- pε2H-2βZTσ（εHbBs）ds. （5.2）在（5.2）的证明中，假设资产价格过程S是鞅。如【25】所示，存在δ>0，因此e经验值δZTbBsds< ∞. （5.3）接下来，利用σ的线性增长条件，我们证明了（5.3）中的不等式意味着ε>0和dδ>0的存在，其中ε∈（0，ε）E经验值δZTσ（εHbBs）ds< ∞. （5.4）现在，我们可以完成定理5.2第（i）部分的证明，与[25]推论31完全相同。请注意，这里需要以下事实。由于线性增长条件成立，因此托卡斯特指数t 7→ （1.4）中定义的Sε，β，HTi是每个固定ε的鞅，因此1=EhSε，β，HTi≤ Eh | Sε，β，HT | Pi表示所有ε∈ （0，1）和p>1。这就完成了定理5.2第（i）部分证明的简短草图。备注5.3。

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