受Duquesne和Labbe【15】的启发，我们为方差过程V提供了一个分解公式，其中包含一个基本部分和一系列跳跃集群过程。这种分解意味着一种分支结构，即每个集群过程都是由“母跳”引起的，然后是“子跳”。母亲的跳跃代表着市场上的一种触发性冲击，通常是由外部消息驱动的，而孩子的跳跃可能反映出某种传染效应。然后，我们研究了相关的属性，如一个簇的持续时间和在给定时间段内发生的簇的数量。我们对主要参数α所起的作用特别感兴趣。论文的其余部分组织如下。我们在第2节中介绍了模型框架。第3节专门讨论模型的特性和相关特性。第四章，我们研究了资产和方差期权的渐近隐含波动率行为。第5节讨论跳跃簇的分析。我们通过在附录中提供标题来结束本文。2模型frameworkLet us fix a概率空间(Ohm, A、 Q）配备过滤器F=（Ft）t≥0满足正常条件。我们首先通过使用随机领域SDE的广义综合表示，提出了一系列随机波动率模型。

考虑资产价格过程S=（St，t≥0）给定bydStSt=rdt+ZVtB（dt，du），S>0（1），其中r∈ R+是恒定利率，B（ds，du）是R+上的白噪声，强度为dsdu，过程V=（Vt，t≥ 0）由VT=V+Zta（b）给出- Vs）ds+σZtZVsW（ds，du）+σNZtZVs-ZR+ζeN（ds，du，dζ）（2）式中a，b，σ，σN∈ R+，W（ds，du）是R+上与B（ds，du）相关的白噪声，使得B（ds，du）=ρW（ds，du）+p1- ρW（ds，du），其中W（ds，du）为独立白噪声，ρ∈ (-1，1），eN（ds，du，dζ）是R+上的独立补偿泊松随机测度，强度dsduν（dζ），其中ν（dζ）是R+上的L'evy测度，满足R∞(ζ ∧ζ） ν（dζ）<∞. 测度Q表示风险中性概率测度。我们将在第3.1节中更详细地讨论概率的变化。上述方差过程V是一个CBI过程（c.f.Dawson和Li[12，Theorem3.1]），其分支机制由ψ（q）=aq+σq+Z给出∞（e）-qσNζ- 1+qσNζ）ν（dζ）（3）和移民率Φ（q）=abq。[12]和[36]证明了（2）强解的存在唯一性。从财务角度来看，菲利波维奇（Filipovi\'c）[19]展示了CBI过程如何自然进入短期结构建模领域。

积分表示法提供了一系列过程，其中（2）中的积分间隔取决于过程本身的值，这意味着跳变发生时，跳变频率将增加，这与自激特性相对应。我们特别感兴趣的是以下模型，称为α-赫斯顿模型，dStSt=rdt+pVtdBt（4）dVt=a（b- Vt）dt+σpVtdWt+σNαpVt-dZt（5），其中B=（Bt，t≥ 0）和W=（Wt，t≥ 0）是相关的布朗运动d hB，W it=ρdt，Z=（Zt，t≥ 0）是具有参数α的独立谱正补偿α稳定L'evy过程∈ （1，2）的拉普拉斯变换，对于任何q≥ 0，再见e-qZt公司= 经验值-tqαcos（πα/2）.方程（5）对应于L'evy度量να（dζ）=-{ζ>0}dζcos（πα/2）Γ(-α)ζ1+α, 1 < α < 2. （6） 在（2）中。然后，这两个SDE系统的解承认相同的概率定律，并且在[35]所扩展的概率空间中几乎肯定相等。α-赫斯顿模型是标准赫斯顿模型的扩展，其中方差过程的跳跃部分取决于α-平方根跳跃过程。特别是，我们将（5）中定义的过程称为α-CIR（a，b，σ，σN，α）过程，Fu和Li中建立了强解的存在性和唯一性[20]。在这种情况下，通过（3）和（6），方差V具有明确的分支机制ψα（q）=aq+σq-σαNcos（πα/2）qα。（7） 与标准Heston模型相比，参数α表征了瞬时方差过程V的跳跃行为和尾部肥满度。当α接近1时，V更可能有大的跳跃，但由于深度负性补偿，大跳跃之间的值往往很小（c.f.[30]）。当α接近2时，大跳跃会减少，但小跳跃会更频繁。

在α=2的情况下，过程Z简化为一个独立的布朗运动，其标度为√2，模型简化为标准赫斯顿模型。Feller条件，即不等式2ab≥ σ、 通常在赫斯顿模型中假设，以确保过程V的积极性。在α-赫斯顿模型中，同样的条件仍然有效。更准确地说，对于任何α∈ （1，2），点0是（4）的不可访问边界当且仅当2ab≥ 任意σN的σ≥ 0（c.f.[30，提案3.4]）。从财务角度来看，这意味着跳跃对波动率到达原点的可能性没有影响，这可以通过以下事实来解释：只添加了正跳跃，并且它们的补偿器与过程本身成比例。当α=2时，伐木条件变为2ab≥ σ+2σNsince Z变为标度布朗运动。实证研究表明（参见Da Fonseca和Grasselli【11】、Graselli【23】），在实践中，由于在对股票市场数据进行校准时，需要高vol vol来再现较大的变化，因此违反了伐木条件。这一点通常被视为赫斯顿模型的一个缺点。在α-赫斯顿模型中，vol-vol参数的一部分被跳跃部分捕获。事实上，正如Asmussen和Rosinski[3]所示，L'evy过程的小跳跃可以用图2：方差过程V的模拟来近似。0 2 4 6 8 10 12 14 T00.10.20.30.40.50.60.70.8VT布朗运动，因此方差过程的有限活动引起的小跳跃产生类似于布朗运动的行为。这允许减少布朗部分的机械贡献，从而减少vol-vol参数。

因此，我们的模型更可能保持Feller条件和挥发过程的正性。图2模拟了（5）中定义的T=14期间的方差过程V，并与图1中的经验波动率数据（2004年至2017年）进行了比较。参数选择为a=5、b=0.14、σ=0.08、σZ=1和α=1.26。根据2004年1月2日的波动率数据，初始值固定为V=0.03。请注意，伐木条件在很大程度上满足上述参数选择，图2中的V值始终为正值。我们还观察到跳跃的集群现象，特别是一些集中在短时间内的大跳跃。同时，方差过程V的值在跳跃之间保持在相对较低的水平，这与危机之间的正常周期相对应，类似地，如图1.3中的经验数据所示。在本节中，我们给出了对数价格的联合拉普拉斯变换，根据Du ffe et al.（13，14）和Keller Ressel（33），方差及其积分过程。我们首先讨论历史定价概率测度和风险中性定价概率测度之间的概率变化。Weshall还将其与文献中的其他几种模型进行比较。3.1概率度量的变化我们假设模型动力学（1）、（2）和（4）是在风险中性概率Q下指定的。然而，重要的是要与P通常指出的物理或历史的动力学建立联系，以保持描述市场的过程演变的可跟踪形式。等效历史概率的构造基于Kallsen等人[31]中的Esscher类型转换，这是Heston[27]提出的类别的自然扩展。

下一个结果表明，回火Heston型模型的一般类别在概率变化下更接近，并且是对[30，命题4.1]的轻微修改。命题3.1假设（S，V）与（1）和（2）中的概率测度Q相同，并假设过滤F由随机场（W，W）和（n）生成。固定（η，η）∈ Randθ∈ R+，和定义：=ηZtZVsW（ds，du）+ηZtZVsW（ds，du）+ZtZVs-Z∞（e）-θζ- 1） eN（ds，du，dζ）。然后Dol’eans Dade指数E（U）是鞅，概率测度P由dpdq定义Ft=E（U）t，等于Q。此外，在P下，（S，V）满足（1）和（2），参数σP=σ，σPN=σN，aP=a- ση -ασNcos（πα/2）θα-1，bP=ab/aP，L'evy度量νPα（dζ）=-{ζ>0}e-θζcos（πα/2）Γ(-α） ζ1+αdζ。P下的模型仍属于α-赫斯顿模型的CBI类，具有相似的行为。注意，参数η、η和θ的选择应确保aP∈ R+。作为上述命题的直接结果，P下价格过程的回报率变为uPt=r- 及物动词ρη+p1- ρη.风险溢价由λS（t）给出：=uPt- r=-ρη+p1- ρηVtλV（t）：=（aP- a） Vt=-ση+ασNcos（πα/2）θα-1.Vt.当η<0时，风险溢价λVis与波动过程V正相关。风险溢价与波动率之间的正相关关系可以解释[6]中详述的波动率微笑中强烈向上倾斜的现象。3.2联合特征函数在赫斯顿模型中，众所周知，特征函数对衍生品定价和模型校准起着至关重要的作用。现在，我们提供了三元组的联合拉普拉斯变换：原木价格、方差及其综合过程。以下结果是[13]和[33]的直接结果，其证明推迟到附录中。命题3.2让Yt=对数St。

对于任何ξ=（ξ，ξ，ξ）∈ iR×C-,进出口商品ξYt+ξVt+ξZtVsdsi=经验值ξY+ψ（t，ξ）V+φ（t，ξ）（8） 其中φ和ψ求解广义Riccati方程tφ（t，ξ）=F（ξ，ψ（t，ξ），ξ），φ（0，ξ）=0；(9)tψ（t，ξ）=R（ξ，ψ（t，ξ），ξ），ψ（0，ξ）=ξ。（10） 此外，函数F和R:iR×C-→ R定义为f（ξ，ξ，ξ）=Rξ+abξ，（11）R（ξ，ξ，ξ）=（ξ- ξ) + ρσξξ+σξ- aξ-σαNcos（πα/2）(-ξ)α+ ξ. （12） 为了将α-赫斯顿模型与文献中的其他模型进行比较，我们在本文的剩余部分考虑了通常情况，如[13]和[33]，其中省略了第三个值ξ，且r=0。回想一下，在标准Heston模型中，广义Riccati算子由fh（ξ，ξ）=abξ和RH（ξ，ξ）=（ξ）给出- ξ) + ρσξξ+σξ- aξ。（13） 根据命题3.2，α-赫斯顿模型包含f（ξ，ξ）=FH（ξ，ξ），R（ξ，ξ）=RH（ξ，ξ）-σαNcos（πα/2）(-ξ)α. （14） 请注意，（14）中的函数R不是解析函数，仅对ξ进行了很好的定义≤ 0.差值R（ξ，ξ）- RH（ξ，ξ）为正，因为α的cos（πα/2）<0∈ （1，2）.如[33]所述，F表示（S，V）的状态无关动态，而R表示状态相关动态。为了突出（10）中函数ψ的优先性，我们将R称为主要的广义Riccati算子。我们强调的要点是，文献中讨论的许多模型都承认R的形式相似。在Barndorff-Nielsen和Shephard[4]中，R是Heston one的一个特例，即σ=0，他们模型的主要创新在于以一种有趣的方式扩展了辅助运算符F。贝茨（Bates）[5]中的模型具有更一般的广义Riccati算子R，但新术语仅取决于股票S的拉普拉斯系数。因此，贝茨（Bates）[5]中的方差过程遵循CIR差异，因此与赫斯顿模型相比，波动率和方差期权没有差异。Nicolato等人的随机波动率跳跃模型。

【40】，示例共享赫斯顿模型的相同Riccati运算符。因此，方差过程的拉普拉斯变换对于a ffne函数具有某种形式。因此，正如【40】（另见【39】）所述，“跳跃分布的特定选择对基波的定性行为和隐含波动率面的期限结构有轻微影响”，这并不奇怪，由于模型的塑性仅限于辅助函数φ（t，ξ）的形式，它与累积量母函数的初始方差水平无关。由于主要广义Riccati算子R中出现了补充的α-幂项，我们的模型表现出不同的行为，这增加了累积量生成函数中方差ψ（t，ξ）的系数的灵活性。原因在于，新的跳跃部分取决于方差本身，从而导致（12）中的非线性依赖关系。换句话说，跳跃项的自激性质引入了一种完全不同的累积生成函数形状。4渐近行为和隐含波动率在本节中，我们重点讨论资产和方差期权的隐含波动率曲面，特别是它们在小的或大的冲击下的渐近行为。我们遵循Lee（34）的开创性论文中的无模型结果，旨在获得特定α-赫斯顿模型的一些结果。我们还提供了瞬间爆炸条件。4.1资产期权我们首先提供了[33]关于广义Riccati算子R的以下结果，并给出了资产价格S的矩爆炸条件。命题4.1我们假设a>σρ。

定义w（ξ），使R（ξ，w（ξ））=0和T*（u） ：=sup{T:E[SuT]<∞}（1） w（ξ）以[0，1]为最大支撑。(2) ξ∈ [0，1]我们有限制→∞φ（t，ξ，w）=w（ξ）。(3) ξ∈ [0，1]我们有*(ξ) = ∞ 和ξ/∈ [0，1]我们有*(ξ) = 0.证明：耦合（Yt，Vt）是一个以（14）和F（u，w）：=abw为特征的有效过程。注意F（0，0）=R（0，0）=R（1，0）=0和χ（q）：=R（q，q）qq=0=ρσq- a<∞. 那么byKeller-Ressel[33，推论2.7]我们有E[ST]<∞ 对于任何T>0。还要注意，χ（0）<0和χ（1）<0表示a>0，ρ<0和σ>0。从[33，引理3.2]可以看出，存在一个最大区间I和一个唯一函数w∈ C（一）∩ C（一）o) 使得R（q，w（q））=0表示所有q∈ I，w（0）=w（1）=0。自0=sup{q≥ 0:R（q，q）<∞}, 如果q<0且q<0，R（q，q）>0，且R（q，0）=q（q- 1） ，我们立即得到I=[0，1]。然后集合{q∈ I:F（q，w（q））<∞} 与[0，1]重合。根据【33，定理3.2】，我们得到了E【SqT】=∞ 对于任何q∈ R \\[0，1]。推论4.2上述命题暗示，对于任何T>0，我们有sup{p>0:E[SpT]<∞} = 1和sup{p>0:E[S-pT]<∞} = 换言之，矩母函数E的最大域[eq log ST]为[0，1]。设∑S（T，k）为到期日为T且行使k=ek的资产价格S上的看涨期权的隐含波动率。然后，结合Lee[34]的无模型结果，即矩公式，它得出了极值条件下隐含波动率的渐近行为由Lim supk给出→±∞∑S（T，k）| k |=T，（15），这意味着资产期权的隐含波动率的翼行为是[34，定理3.2和3.4]中最尖锐的。在本小节的下文中，我们研究了S的概率尾，该概率尾允许用（15）中资产期权左翼的通常限制替换“lim sup”。

下一个technicallemma（其证明推迟到附录中）表明，V的极值行为主要是由于驱动过程Z的一个大跳跃。引理4.3固定T>0，并考虑（4）定义的方差过程V。然后在B（\'D[0，T]）上存在一个非零有界有限测度δ，δ（\'D[0，T]\\D[0，T]）=0，这样，asu→ ∞,uαP（V/u∈ ·)体重-→ B（(R)D（[0，T]），（16）上的δ（·），其中δ由δ（·）=σαNZT给出b（1- e-as）+xe-像Z∞呃重量：=e-a（t-s） y1【s，T】（T）∈ ·iνα（dy）ds，να由（6）定义。我们参考Hult和Lindskog【28，第312页】对“D[0，T]和模糊收敛bw”的定义-→.命题4.4修正t>0。对于任何x≥ 0，我们有那个px(-日志St>u）~ -σN2aαια（t）αcos（πα/2）Γ(-α） u型-α、 u型→ +∞, （17） 式中：ια（t）=e-αatZt（b（1- e-as）+xe-as）（吃- eas）αds。证明：我们通过（4）得出，log St=log s+Zt（r-Vs）ds+ZTPVSDB。（18） 对于任何t>0，考虑rtvsd的概率尾的渐近行为，即Px（RtVsds>x）。引理4.3，作为u→ +∞,uαP（V/u∈ ·)体重-→ δ（·）在B（\'D[0，t]）上，定义函数h：\'D[0，t]-→ R+乘以h（w）=RTWSD。设Disc（h）为h的不连续集。通过h的定义（16），很容易看出δ（Disc（h））=0。从[28，定理2.1]可以看出→ +∞,uαPx2uZtVsds∈ ·v-→ δ o h类-B（R+）上的1（·）和δo h类-1（·）=σαNZtE[Vs]Z∞{yRtse-a（ζ-s） dζ∈· }να（dy）ds。因此我们得到了thatPxZtVsds>u~ -σN2aαια（t）αcos（πα/2）Γ(-α） u型-α、 u型→ +∞.此外，我们注意到ZtpVsdBsi=ZtEx[Vs]ds<∞.鉴于（18），我们有那个px(-日志St>u）~ 二甲苯ZtVsds>u, u→ +∞.推论4.5设∑S（T，k）为到期日为T，行权k=ek的股票价格上所写期权的隐含波动率。则∑S（T，k）的左翼具有以下渐近形状，即k→ -∞:√T∑S（T，k）√=r-k+α对数(-k）-日志日志(-k）-rα对数(-k）-日志日志(-k） +O（（日志(-k） （）-1/2). （19） 证明：在不丧失一般性的情况下，我们假设k<0。

请注意，看跌期权价格可以写成asP（ek）：=E[（ek- ST）+]=Z∞-kPx公司(-日志ST>u）e-udu。根据命题4.4，不难看出P（ek）~ -σN2aαια（t）αcos（πα/2）Γ(-α） ekk公司-α、 k级→ -∞.然后（19）遵循上述渐近等式和[25，定理3.7]。图3显示了资产期权的隐含波动率曲线。我们使用具有10条轨迹的蒙特卡罗方法，参数V=0.0332、a=5、b=0.144、σ=0.08和σN=1与Nicolato等人的一致。[40]4.2方差选项我们现在考虑波动性和方差选项，已经开发了大量不断增长的文献（例如参见[22]、[40]和[42]）。特别是，关于波动率指数期权向上倾斜的隐含波动率偏斜，在[42]和[40]中有强调。接下来，我们推导了V的尾部概率的渐近行为，这意味着V的矩爆炸条件和方差期权的极端行为。我们首先给出两个技术问题。图3：资产期权的隐含波动率引理4.6设X为正随机变量。（i） （Karamata-Tauberian定理[7，定理1.7.1]），对于常数C>0，β>0和低变函数（at-in-finity）L，E[E-λX]~ Cλ-βL（λ），asλ→ ∞,当且仅当ifP（X≤ u）~CΓ（1+β）uβL（1/u），单位为u→ 0+.（ii）（德布鲁因的陶伯里定理[8，定理4]）设0≤ β ≤ 1是一个常数，L是一个微小变化的函数，L*是L的共轭慢变函数。然后是对数E[E-λX]~ -λβ/L（λ）1-β为λ→ ∞,当且仅当iflog P（X≤ u）~ -(1 - β)ββ/(1-β） u型-β/(1-β） L*（u）-1/(1-β） ）作为u→ 0+.引理4.7对于任何0<β<α，存在一个局部有界函数C（·）≥ 0，因此对于任何T≥ 0，Exhsup0≤t型≤TVβti≤ C（T）（1+xβ）。命题4.8（Vt的概率尾）修正t>0。

对于任何x≥ 0，我们有那个px（Vt>u）~ -σαNαΓ(-α） cos（πα/2）qα（t）+pα（t）xu-α、 作为u→ ∞, （20） 式中，pα（t）=a（α- 1)e-在- e-αat, qα（t）=bαa（1- e-αat）- pα（t）.此外，（i）如果σ>0，则px（Vt≤ u）~ u2ab/σ′v2ab/σtΓ（1+2ab/σ）exp- x'vt- abZ公司∞(R)vtzψα（z）-σzdz公司, 作为u→ 0，（21），其中“vt”是ODEddt的最小解“vt=-ψα（(R)vt），t>0，（22），具有奇异初始条件Pv0+=∞;（ii）如果σ=0，则记录Px（Vt≤ u）~ -α - 12- α-ab cos公司παα-1σ-αα-1Nu-2.-αα-1，作为u→ 证明：我们通过（4）得出vt=e-亚视+中兴通讯-a（t-s） ds+σ中兴通讯-a（t-s） pVsdBs+σNZte-a（t-s） V1/αs-dZs。（24）注意，Ex[Vt]=e-atx+b（1- e-位于）。通过马尔可夫不等式，Px中兴通讯-a（t-s） PVSDB> u≤ u-2ExhZte公司-2a（t-s） Vsdsi≤xa+btu-2.（25）引理4.7得出E[sup0≤t型≤T（α√Vt）α+δ]<∞ 对于0<δ<α（α-1). 然后通过Hultand Lindskog【28，定理3.4】，我们得到→ ∞,二甲苯σNZte-a（t-s） V1/αs-dZs>u~ να（u，∞)σαNZte-αa（t-s） Ex[Vs]ds~ -σαNαcos（πα/2）Γ(-α)qα（t）+pα（t）xu-α. （26）鉴于（24）、（25）和（26），VTI的极值行为由（24）右侧的第四项确定。那么我们有，作为u→ ∞,Px（Vt>u）~ 二甲苯σNZte-a（t-s） V1/αs-dZs>u,给出（20）。另一方面，根据命题3.2，我们有-λVti=exp- xvt（λ）- abZtvs（λ）ds,其中，vt（λ）是以下ODE的唯一解：vt（λ）t=-ψα（vt（λ）），v（λ）=λ。（27）从[35，定理3.5，3.8，推论3.11]中可以看出=↑ limλ→∞vt（λ）存在于（0，∞)对于所有t>0，vt是奇异初值问题（22）的最小解。首先考虑σ>0的情况。通过（27），Ztvs（λ）ds=Zλvt（λ）uψα（u）du=Zλvt（λ）σudu+Zλvt（λ）uψα（u）-σudu，λ>0，t>0。注意σu-uψα（u）=O（u-(3-α） ）作为u→ ∞ 因此0<R∞(R)vtσu-uψα（u）du<∞.

一个简单的计算表明-λVti~ (R)v2ab/σtλ-2ab/σexp-x'vt- abZ公司∞(R)vtuψα（u）-σu杜邦, λ → Karamata-Tauberian定理（见引理4.6（i））给出（21）。现在我们来看看σ=0的情况。用σ=-σαNcos（πα/2）。回想一下“vt”=↑limλ→∞vt（λ）∈ (0, ∞), 这是σ=0的奇异初值问题（22）的最小解。仍按（27），日志Exhe-λVti=-xvt（λ）- abZλvt（λ）a+σλα-1件~abα- 2λa+σλα-1.~abσ（α- 2)λ2-α.然后，de Bruijn的Tauberian定理（见引理4.6（ii））给出了（23）。推论4.9作为命题4.8的结果，对于任何α∈ （1，2），{p∈ R:E【Vpt】<∞} =-2abσ，α（28）根据惯例2ab/σ=+∞ 如果σ=0。证明：通过分部积分，我们得到，对于p>0，E[Vpt]=- 利木→∞upP（Vt>u）+pZ∞向上的-1P（Vt>u）du。根据命题4.8，P（Vt>u）~ C（t）u-α为u→ ∞ 对于某些函数C（t）。然后我们得到[Vpt]<∞ 对于0≤ p<α，E[Vpt]=∞ 对于p≥ α. 同样，我们考虑E[（1/Vt）p]和haveP（1/Vt>u）~ D（t）u-2ab/σ为u→ ∞. 然后我们得到E[（1/Vt）p]<∞ 对于0≤ p<2ab/σ和E[（1/Vt）p]=∞ 如果p≥ 2ab/σ。推论4.10设∑V（T，k）为在方差过程V上书写的看涨期权的隐含波动率，到期日为T，行使k=ekand，且Letψ（q）=2-4（pq+q-q） 。那么∑V（T，k）的右翼具有以下渐近形状：∑V（T，k）~ψ（α）T1/2√k、 k级→ +∞ （29）左翼满足（i）如果σ>0，则∑V（T，k）~ψ（2abσ）T1/2√-k、 k级→ -∞; （30）（ii）如果σ=0，则∑V（T，k）~√2吨(-k）logekP（ek）1/2，k→ -∞. （31）式中，P（ek）=E[（ek- VT）+]。证明：结合（20）和[40，命题2.2-（a）]，我们直接得到（29）。同样，（21）和[40，命题2.4-（a）]导致（30）。在σ=0的情况下，（23）意味着sup{p>0:E[V-pt]<∞} = ∞. 那么（31）来自【40，定理2.3-（iii）】。推论4.10给出了方差期权隐含波动率的显式行为，其极端冲击远离货币性。

我们注意到，右翼只取决于参数α，它是跳跃项的特征参数。当α减小时，尾巴变重，（29）中的斜率增大。相比之下，左翼取决于属于具有布朗扩散的纯CIR部分的参数，并且（30）中的解释系数2ab/σ与Feller条件有关。当布朗项消失时，即σ=0，则方差波动率曲面的左翼行为出现不连续性。5跳跃簇行为在这一部分中，我们通过给出方差过程V的分解公式来研究跳跃簇现象，并分析簇过程的一些性质。5.1方差过程的聚类分解让我们确定跳跃阈值y=σZy，并用{τn}n表示≥Vwhose大小的跳跃时间序列大于y。我们称{τn}n≥1大跳跃。通过分离大跳跃和小跳跃，方差过程（2）可以写成vt=V+Ztab-σNΘ（α，y）Vsa- Vs公司ds+σZtZVsW（ds，du）+σNZtZVs-ZyζeN（ds，du，dζ）++σNZtZVs-Z∞yζN（ds，du，dζ）（32），其中Θ（α，y）=Z∞yζνα（dζ）=παΓ（α- 1） 罪恶παy1级-α. （33）我们用ea（α，y）=a+σNΘ（α，y）和b（α，y）=aba+σNΘ（α，y）表示。然后在两次大跳跃之间，也就是说，对于任何t∈ [τn，τn+1），我们有vt=Vτn+Ztτnea（α，y）eb（α，y）- Vs公司ds+σZtτnZVsW（ds，du）+σNZtτnZVs-ZyζeN（ds，du，dζ）。（34）表达式（34）表明，两个大跳跃之间出现两种现象。首先，平均长期b级下降。这种影响是标准的，因为平均水平b（α，y）变得更低，以补偿大跳跃，从而保持全球平均水平b。其次，更令人惊讶的是，平均回复速度a增加了。也就是说，波动性在两次跳跃之间衰减得更快。

此外，当参数α减小时，该速度更大，并且当α接近1时趋于一致，因为Θ（α，y）~ (α - 1)-1、我们引入了V到跳跃阈值的截断过程，它将作为分解的基础部分，asV（y）t=V+Ztea（α，y）eb（α，y）- V（y）sds+σZtZV（y）sW（ds，du）+σNZtZV（y）s-ZyζeN（ds，du，dζ），t≥ 0。（35）与V类似，过程V（y）也是CBI过程。根据定义，过程V（y）的跳跃都小于y。此外，V（y）与第一次大跳跃τ之前的V重合。nextresult研究了第一次大跳跃及其跳跃大小，这将有助于分解。引理5.1我们有p（τ>t）=Ehexpn-Z∞yuα（dζ）ZtV（y）sds氧指数。（36）跳跃Vτ：=Vτ- Vτ-与τ和V（y）无关，且满足(Vτ∈ dζ）=1{ζ>y}αyαζ1+αdζ。（37）不难看出P（Vt≥ V（y）t，t型≥ 0) = 1. 然后，可以将（32）中的大跳跃分为两部分，即ZTZVS-Z∞\'yN（ds，du，dζ）=ZtZV（y）s-Z∞\'yN（ds，du，dζ）+ZtZVs-V（y）s-Z∞(R)yN（ds，du，dζ）。（38）LetJ（y）t=ZtZV（y）s-Z∞\'yN（ds，du，dζ），t≥ 0（39），这是一个到达时间为{Tn}n的点进程≥1与部分大跳跃时间相连，这些跳跃称为母跳跃。根据定义，母亲跳跃形成了大跳跃的子集。每一个母跳都会诱发一个从时间tn开始的集群过程v（n），其初始值为VTn=VTn- VTn公司-并由v（n）t=VTn公司- aZtTnv（n）sds+σZtTnZV（y）s+Pni=1v（i）sV（y）s+Pn-1i=1v（i）sW（ds，du）+σZZtTnZV（y）s-+Pni=1v（i）s-V（y）s-+Pn-1i=1v（i）s-ZR+ζeN（ds，du，dζ），t∈ [Tn，∞).（40）下一个结果将V分解为基本过程V（y）和一系列集群过程之和。

分解形式的灵感来自Duquesne和Labbe【15】。命题5.2（2）给出的方差过程V具有分解：Vt=V（y）t+J（y）tXn=1u（n）t-Tn，t≥ 0，（41），其中u（n）t=v（n）Tn+v（n）的两倍，由（40）给出。此外，（1）{u（n）：n=1，2，···}是独立同分布过程的序列，对于每个n，u（n）具有与ut=u给出的α-CIR（a，0，σ，σZ，α）过程相同的分布- aZtusds+σZt√usdBs+σNZtα√我们-dZs，（42），其中ud=Vτ及其分布由（37）给出。（2） 对（V（y），J（y））独立于{u（n）}。以V（y）为条件，J（y）是具有强度函数的时间非齐次泊松过程R∞(R)yνα（dζ）V（y）·。注意，每个集群过程与α-平方根跳跃过程具有相同的分布，该过程类似于（4），但参数b=0，即α-CIR（a，0，σ，σZ，α）过程，也称为无移民的CB过程。（Jt，t）给出的跳跃≥ 0）被称为母跳，即每个母跳tn将通过其簇（分支）过程u（n）诱发一簇跳，或所谓的子跳。相反，从RtRVs-V（y）s-R∞\'yN（ds，du，dζ），t≥ 0在（38）中，就是一个大的跳跃而不是母亲的跳跃，是一个孩子跳跃的一些母亲的跳跃。5.2集群过程我们最终关注集群过程，并展示其一些特性。我们对两个数量特别感兴趣。第一个是给定时间t之前的簇数，它等于母跳数。第二个是每个集群进程的持续时间。命题5.3（1）[0，t]isE[J（y）t]=（1）期间的预期集群数量- α） σαZcos（πα/2）Γ（2- α） yαeb（α，y）t+V-eb（α，y）ea（α，y）（1- e-ea（α，y）t）. （43）（2）设θn：=inf{t≥ 0:u（n）t=0}是集群u（n）的持续时间。我们有P（θn<∞) = 1andE[θn]=αyαZ∞dzψα（z）z∞y1级- e-ζzζ1+αdζ。

（44）我们注意到，所有聚类过程的预期持续时间是相等的，这意味着u（i）的初始值，即触发母跳的跳大小对持续时间没有影响。通过（44），我们得到了e[θn]=αZ∞dzψα（z）z∞1.- e-ζyzζ1+αdζ，这意味着E[θn]随着y的增加而增加。这是自然的，因为较大的跳跃会导致更长的时间效应。但通常情况下，持续时间很短，这意味着θn没有长范围特性，因为我们有以下估计：P（θn>t）≤αyα- 1qe-a（t-1） ，t>1，（45）对于某些常数0<q<∞.我们在图4中通过上述命题说明了跳跃集群过程的行为。参数与图2相似，只是我们比较了α=1.2、1.5和1.8的三个不同值。第一张图显示了（43）给出的预期聚类数，作为t=14期间y的函数。我们看到，当跳跃阈值y增大时，会出现更少的簇。换句话说，我们需要等待更长的时间才能有一个非常大的母跳。然而，一旦发生这种情况，在集群持续时间内可能会诱发更多的大的子跳跃，因此持续时间会随着y而增加。对于足够大的y，集群的数量会随着α而减少。在这种情况下，大跳跃起主导作用。对于较小的y值，存在小跳跃和大跳跃的混合影响，这打破了α的单调性。第二个图表说明了一个集群的持续时间，由（44）给出。

尽管持续时间相对于y增加，但由于（45）给出的有限期望和指数递减概率尾，持续时间总是相对较短。当跳跃阈值y变得非常大时，点过程{J（y）t}渐近于泊松过程，预期的聚类数收敛到固定水平，如下结果所示。图4：对于α的不同值，作为跳跃阈值y的函数，预期簇数（左）和一个簇的持续时间（右）。0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2y0123456789E[Jt（y）]=1.2=1.5=1.80 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2y0.260.280.30.320.340.360.380.40.420.44E[i]=1.2=1.5=1.8命题5.4让{yn n}n≥1b yn的正阈值序列~ cn1/α为n→ ∞其中c是某个正常数。然后对于每个t≥ 0，J（yn）ntw-→ Jt，（46）作为n→ ∞, 其中J是泊松过程，参数λ由λ=-σαNbαcos（πα/2）Γ(-α） cα，1<α<2.6附录命题3.2的证明。作为[13]和[33]的直接结果，证明主要用于提供广义Riccati方程的显式形式。通过（1），我们得到DYT=（r-Vt）dt+ρZVtW（dt，du）+p1- ρZVtW（dt，du）。根据Ito的公式，我们得出过程（Yt，Vt，RtVsds）是一个由AF（y，v，u）=（r）生成的有效过程-v） fy（y，v，u）+a（b- v） fv（y，v，u）+vfu（y，v，u）+vfyy（y，v，u）+ρσvfyv（y，v，u）+σvfvv（y，v，u）+σαNvZ∞f（y，v+ζ，u）- f（y、v、u）- fv（y，v，u）ζνα（dζ）。用Xt=（Yt、Vt、RTVSD）表示。我们的目标是找到一些函数（φ，|ψ）∈ C×cw，φ（0，ξ）=0，且|ψ（0，ξ）=ξ，使得以下对偶性保持εξ，XTii=expφ（T，ξ）+h|ψ（T，ξ），Xi. （47）事实上，ifMt=f（t，Xt）=expφ（T- t、 ξ）+h|ψ（t- t、 ξ），Xti是一个鞅，那么我们立即得到E[ehξ，XTi]=E[MT]=M=expφ（T，ξ）+h|ψ（T，ξ），Xi,这意味着（47）。

现在假设（φ，|ψ）是完全不同的，并将Ito公式应用于f（t，Xt），我们得到了mt- M=局部鞅部分-ZTf（t，Xt）˙φ（T- t、 ξ）+hXt，˙Иψ（t- t、 ξ）idt+ZTf（t，Xt）~ψ（t- t、 ξ）（r-Vt）dt+ZTf（t，Xt）~ψ（t- t、 ξ）a（b- Vt）dt+ZTf（t，Xt）~ψ（t- t、 ξ）Vtdt+ZTf（t，Xt）~ψ（t- t、 ξ）Vtdt+ρσZTf（t，Xt）~ψ（t- t、 ξ）~ψ（t）- t、 ξ）Vtdt+σZTf（t，Xt）~ψ（t- t、 ξ）Vtdt+σαNZTf（t，Xt）VtZ∞hexp{ψ（T- t、 ξ）z}- 1.-Иψ（T- t、 ξ）ziνα（dz），其中|ψ=（|ψ，|ψ，|ψ）。那么f（t，Xt）是局部鞅，如果˙φ（t- t、 ξ）=r|ψ（t- t、 ξ）+ab|ψ（t- t、 ξ），˙Иψ（t- t、 ξ）=0，˙Иψ（t- t、 ξ）=0，和˙Иψ（t- t、 ξ）=-Иψ（T- t、 ξ）- a|ψ（T- t、 ξ）+ψ（t- t、 ξ）+ψ（t- t、 ξ）+ρσИψ（t- t、 ξ）~ψ（t）- t、 ξ）+σИψ（t）- t、 ξ）+σαNZ∞ez￠ψ（T-t、 ξ）- 1.- z￠ψ（T- t、 ξ））να（dz）。对于0，我们有|ψ（t，ξ）=ξ和|ψ（t，ξ）=ξ≤ t型≤ T此外，ρψ（t，ξ）解出了ODEρψ（t，ξ）=-ξ- a|ψ（t，ξ）+ξ+ξ+ρσξ|ψ（t，ξ）+σИψ（t，ξ）+σαNZ∞ez￠ψ（t，ξ）- 1.- z|ψ（t，ξ））να（dz）=-ξ- a|ψ（t，ξ）+ξ+ξ+ρσξ|ψ（t，ξ）+σИψ（t，ξ）-σαNcos（πα/2）(-Иψ（t，ξ））α现在让ψ（t，ξ）=ψ（t，ξ），这显然满足ODE（9）和φ（t，ξ）=Zt（rξ+abψ（s，ξ）ds。因此，证明是完整的。引理4.3的证明。考虑（24）。根据Doob不等式，Exhsup0≤t型≤T中兴通讯-a（t-s） PVSDB我≤ 4ExhZTe2asVsdsi≤2x+b2ae2aTwhich表示uαPx（sup0≤t型≤T | Rte-a（t-s）√VsdBs |>u）→ 0作为u→ ∞. 然后，根据（24），vt在（16）意义下的极值行为由σNZte确定-a（t-s） αpVs-dZs=e-at·σNZteasαpVs-dZs：=Xt·Yt。注意E[sup0≤t型≤T（α√Vt）α+δ]<∞ 对于0<δ<α（α- 1） 引理4.7。然后根据[28，定理3.4]，我们得到→ ∞,uαP（Y/u∈ ·)体重-→ B（(R)D（[0，T]），（48）上的δY（·），其中δ由δY（·）=T EhZ给出∞{wt：=σNeaτα√Vτy1[τ，T]（T）∈·}να（dy）i，其中τ均匀分布在[0，T]上，与V无关。

此外，根据[28，Theorem3.1]，我们有→ ∞,uαP（XY/u∈ ·)体重-→ δY（w∈\'D[0，T]：Xw∈ ·) 在B（(R)D（[0，T]）上，一个简单的计算表明δ（·）：=δY（w∈\'D[0，T]：Xw∈ ·) = σαNZTE[Vs]Z∞{wt=e-a（t-s） y1【s，T】（T）∈·}να（dy）ds引理4.7的证明。在（24）中，一个初等不等式表明存在一个局部有界函数C（·），使得exhsup0≤t型≤TVβti≤ C（T）xβ+bβ+σβExhsup0≤t型≤T中兴通讯-a（t-s） PVSDBβi+σβNExhsup0≤t型≤T中兴通讯-a（t-s） V1/αs-dZs公司βi. （49）通过H¨older不等式和Doob鞅不等式，存在一个局部有界函数（·），使得exhsup0≤t型≤T中兴通讯-a（t-s） PVSDBβi≤ 2βExhZTE2SVSDSβ/2i≤ 2βZTEx[e2asVs]dsβ/2≤ C（T）xβ/2eβaT/2+eβaT.此外，根据Long[38，引理2.4]，这是Rosinski和Woyczynski[41，定理3.2]的推广，存在局部有界函数C（·）和C（·），因此exhsup0≤t型≤T中兴通讯-a（t-s） V1/αs-dZs公司βi≤ C（T）排气中兴通讯αasVsdsβ/αi≤ C（T）ZTEx[eαasVs]dsβ/α≤ C（T）xβ/αeβa（1-1/α）T+eβaT.通过组合（49），（50）和（50），我们得到了引理。引理5.1的证明。通过（2），我们注意到{τ>t}=nτ>t，ZtZVs-Z∞yζN（ds，du，dζ）=0o。由于V（y）与V到τ重合，因此（2）和（35）之间的比较表明{τ>t}=nτ>t，ZtZV（y）s-Z∞yζN（ds，du，dζ）=0oa。s、 Ifτ≤ t、 我们马上就有了ZTZV（y）s-Z∞yζN（ds，du，dζ）≥ZτZV（y）s-Z∞yζN（ds，du，dζ）=ZτZVs-Z∞yζN（ds，du，dζ）>0。因此{τ>t}=nZtZV（y）s-Z∞yζN（ds，du，dζ）=0oa。s、 （50）回想一下，1{ζ>y}N（ds，du，dζ）是N（ds，du，dζ）到（0，∞) ×(0, ∞) ×（y，∞),它独立于1{ζ≤y} N（ds，du，dζ）。由（35）我们得到1{ζ>y}N（ds，du，dζ）独立于（V（y）t，t≥ 0). 然后以（V（y）t，t为条件≥ 0），RtRV（y）s-R∞yN（ds，du，dζ）是一个具有强度函数的时间非齐次泊松过程R∞yνα（dζ）V（y）。。注意，τ是σZRtRV（y）s的第一个跳跃时间-R∞yN（ds，du，dζ），和Vτ是σZRtRV（y）s的第一个跳跃大小-R∞yN（ds，du，dζ）。

那么我们有τ∈ dt，Vτ∈ dζ| V（y）。=Z∞yνα（dx）V（y）tdtαyα{ζ>y}ζ1+αdζ,这意味着Vτ与τ和V（y）无关。5.2步骤1的提案证明。回想一下，τ=inf{t>0：Vt>y}，这是pointprocess{Jt:t的第一个跳转时间≥ 0}由（39）给出。通过（50），我们立即得到τ=Ta。s因此，通过引理5.1，我们得到V（y）与V一致，直到TandVTI独立于V（y）。注意V（y）T=VT-andV（y）t=VT-+ZtTea（α，y）eb（α，y）- V（y）sds+σZtTZV（y）sW（ds，du）+σNZtTZV（y）s-ZyζeN（ds，du，dζ），t≥ T、 （51）取k=1 in（40），v（1）T=及物动词- aZtTv（1）sds+σZtTZV（y）s+v（1）sV（y）sW（ds，du）+σNZtTZV（y）s-+v（1）s-V（y）s-ZR+ζeN（ds，du，dζ），t≥ T、 （52）如上所述，独立于VT-. 利用W和N的独立和平稳增量的性质，我们得到v（1）和v（y）彼此独立且{u（1）t：=v（1）t+t，t≥ 0}是一个CB过程，其分布与（42）给出的u相同；参见例如，【12，定理3.2，3.3】）。现在设置V（1）t=VT-+ZtTa公司b-五（1）秒ds+σZtTZ'V（1）sW（ds，du）+σNZtTZ'V（1）s-ZR+ζeN（ds，du，dζ），t≥ T、 （53）很容易看出V（1）与V的类型相同，但具有初始值VT-从timeT开始。定义？τ：=inf{t>t：\'V（1）t>y}，这是跳跃大小大于y的\'V（1）的第一次跳跃时间。然后（51）和（56）的比较表明，t的\'V（1）t=V（y）t∈ 此外，引理5.1的类似证明表明，对于任何T>0，{τ- T> T}=nZT+tTZV（y）s-Z∞yζN（ds，du，dζ）=0oa。s、 ，这意味着？τ=Ta。s、 因此\'V（1）\'τ=VTandVTI独立于V（y）和此外，V（1）t=t的V（y）t∈ 我们得到v（y）T+v（1）T=(R)v（1）T+v（1）T=Vt，a.s.T∈ （54）第三个等式来自（56）、（52）和（2）。步骤2。

取k=2 in（40），v（2）t=及物动词- aZtTv（2）sds+σZtTZV（y）s+v（1）s+v（2）sV（y）s+v（1）sW（ds，du）+σNZtTZV（y）s-+v（1）s-+v（2）s-V（y）s-+v（1）s-ZR+ζeN（ds，du，dζ），t≥ T、 （55）自VTI独立于V（y）TandVT，仍然利用W和N的独立和平稳增量的性质，我们得到v（2）独立于v（y）和v（1），并且{u（2）t：=v（2）t+t，t≥ 0}也是一个CB进程，它与u具有相同的分布。现在设置'V（2）t=V（y）t+ZtTab-五（2）秒ds+σZtTZ'V（2）sW（ds，du）+σNZtTZ'V（2）s-ZR+ζeN（ds，du，dζ），t≥ T、 （56）定义τ：=inf{T>T：\'V（2）t>y}，如步骤2中所证明的，我们得到了\'τ=Ta。s、 对于t，V（2）t=V（y）t∈ 注意，vt-= V（y）T+r（1）待定（54）。我们得到v（y）t+v（1）t+v（2）=v（2）t+v（1）t+v（2）t=Vt，a.s.t∈ 第3步，通过归纳，不难证明对于任何T，Vt=V（y）T+Pnk=1v（k）tholds∈[总氮，总氮+1）和氮≥ i.i.d过程的序列与u具有相同的分布。此外{u（n）}与V（y）无关。那么我们有了这个提议。提案证明5.3（1）注意J（y）td=RtRV（y）s-RDM（ds，du，dω）。ThenE[J（y）t]=中兴通讯[V（y）s]dsZ∞(R)yνα（dζ）。一个简单的计算显示（43）。（2） 根据命题5.2，u（n）是一个没有移民的亚临界CB过程，即分支机制为ψα（q）=aq+σq-σαNcos（πα/2）qα。移民率Φ（q）=0。那么0是θ的吸收点，θnis是CB过程u（n）的熄灭时间。SinceR公司∞1/ψα（u）du<∞, 所谓的格雷条件是满足的，它由格雷[24，定理1]得出，p（θn<∞) =Z∞Px（θn<∞)P(VTn公司∈ dx）=1。此外，仍然根据[24，定理1]，我们得到p（θn>t）=E[1- e-VTnqt]=αyαZ∞y（1- e-xqt）x-（1+α）dx，（57），其中qt是ODEddtqt的最小解=-ψα（qt），t>0，q0+=∞. 在这种情况下，0<qt<∞ 对于t∈ (0, ∞). ThenE[θn]=αyαZ∞Z∞y（1- e-xqs）x-（1+α）dxds，由（57）得出（44）。

通过（39）证明命题5.4，我们有j（yn）nt=ZntZV（yn）s-Z∞\'ynN（ds，du，dζ），其中\'yn=yn/σN。根据命题5.2-（2），对于任何θ>0，Ehe-θJ（yn）nti=E经验值Z∞(R)ynνα（dξ）ZntV（yn）sdse-θ- 1.= E经验值新西兰∞(R)ynνα（dξ）nZntV（yn）sdse-θ- 1.. （58）基于（35），对于固定yn，{V（yn）t:t≥ 0}是CBI进程。根据[30，备注5.3]，对于θ>0，Ee-θnRntV（yn）sds= 经验值- vn（θ，nt）V- abZntvn（θ，s）ds（59）其中vn（θ，t）是vn（θ，t）dt=θn的唯一解- ψn（vn（θ，t）），（60），其中vn（θ，0）=0，和ψn（q）=a+σαNZ∞ynξνα（dξ）q+σq+σαNZyn（e-qξ- 1+qξ）να（dξ）。那么我们有-ψn（vn（θ，t））≤dvn（θ，t）dt≤θn- avn（θ，t），这意味着0≤ vn（θ，t）≤θan（1- e-位于）。乘以（60），nvn（θ，nt）=θan（1- e-南特）-Znte-an（nt-s） nbψn（vn（θ，s））ds，（61），其中n=a+σαNZ∞ynξνα（dξ），bψn（q）=σq+σαNZyn（e-qξ- 1+qξ）να（dξ）。请注意→ a、 对于所有t≥ 0和n≥ 1,0 ≤ nvn（θ，t）≤θa，nbψn（vn（θ，t））≤σθ2an-σαNθαcos（πα/2）aαNα-根据（61），我们得到了nvn（θ，nt）→θa和thenZntvn（θ，s）ds=Ztnvn（θ，ns）ds→θta。因此，在（59）中，对于任何t≥ 0，RntV（yn）sdsnp→ bt.回想一下yn~ cn1/α。然后nR∞(R)ynνα（dξ）→ -σαNαcos（πα/2）Γ(-α） cα。作者（58），Ehe-θJ（yn）nti→ 经验值-σαNbtαcos（πα/2）Γ(-α） cα（e-θ- 1).我们完成了。参考文献[1]Abi Jaber，E.、Larsson，M.和Pulido，S.（2017）：A ffene Volterra过程。工作文件【2】Avellaneda，M.和Papanicolaou，A.（2018）：波动率指数期货统计数据和波动率交易产品的应用。《投资策略杂志》，7（2），1-33。[3] Asmussen，S.和Rosinski，J.：《利用aview逼近模拟的L'evy过程小跳跃的近似》，应用概率杂志，38482-493（2001）。[4] Barndorff-Nielsen，E.和Shephard，N.（2001）：基于非高斯Ornstein-Uhlenbeck的模型及其在金融经济学中的一些应用，《皇家统计学会杂志》，B辑，63（2），167-241。[5] 贝茨，D。

（1996）：跳跃和随机波动：汇率过程隐式指数市场期权，金融研究评论，9，69-107。[6] 拜耳，C。；Friz，P.和Gathereal，J.（2016）：粗糙波动下的定价。QuantitativeFinance，16（6），887-904。[7] 宾厄姆·N·H.、戈尔迪·C·M.和特格尔斯·J·L.（1987）：规则变化。剑桥：剑桥大学出版社。[8] Bingham，N.H.和Teugels，J.L.（1975）：规则变化函数的对偶性。夸特·杰马特·牛津，26333-353。[9] Carr，P.和Lee，R.（2007）：已实现的波动性和方差：通过互换的期权，风险，20,76-83。[10] Cox，J.、Ingersoll，J.和Ross，S.：利率期限结构理论。《计量经济学》，53385-408（1985）。[11] Da Fonseca，J.和Grasselli，M.（2011）：骑在微笑上。《定量金融》11.11（2011）：1609-1632。[12] Dawson，A和Li，Z.：随机方程、流和测度值过程。《概率年鉴》，40（2），813-857（2012）。[13] 杜菲，D.、潘，J.和辛格尔顿，K.（2000）：针对跳跃式差异的转换分析和资产定价。《计量经济学》，68（6），1343-1376。[14] Du ffie，D.、Filipovi\'c，D.和Schachermayer，W.：《金融中的过程和应用》，应用概率年鉴，13（3），984-1053（2003）。[15] Duquesne，T.和Labb\'e，C.（2014）：关于CSBP的Eve财产，Electron。J、 概率。第19页，第6页，共31页。[16] El Euch，O.和Rosenbaum M.（2016）：粗糙赫斯顿模型的特征函数，预印本将出现在《数学金融学》中。[17] El Euch，O.、Fukasawa，M.和Rosenbaum M.（2016）《杠杆效应和粗波动的微观结构基础》，预印本将出现在《金融学和随机学》中。[18] Errais，E.、Giesecke，K.、Goldberg，L.（2010）：一点流程和投资组合信用风险。《暹罗金融数学杂志》，1642-665。[19] 菲利波维奇，D。