这意味着l(-Y）是可积的。自从l(-Xn）≥ l(- Y）对于每n∈ N、 我们可以应用Fatou引理来获得[l(-十） ]=Ehlimn→∞l（Xn）i≤ 直线电机（fn）→∞E类[l（Xn）]≤ l.这得出（5.8）并证明l满足Fatou地产的需求。因此，命题2.5意味着l是σ（X，X*)-下部半连续。自^1起l也是σ（X，L∞)-根据定理4.4的下半连续性，我们可以像[17，定理4.115]中那样进行论证（另请参见[2，定理5.1]以获得更简单的证明）得到（νl)|L∞（十） =supQ∈P∞均衡器[-X]- infλ∈(0,∞)λl+ El*λdQdP对于每X∈ L∞.

X上所需的表示现在是定理4.2的直接结果。参考文献[1]Acciaio，B.《关于保护Fatou财产的inf卷积的简短说明》，《金融年鉴》，5281–287（2009）[2]Arduca，M.，Ko ch Medina，P.，Munari，C.：《基于接受集的系统性风险度量的双重表示》，发表于《数学与金融经济学》（2019）[3]Bennett，C.，Sharpley，R.《算子插值》，学术出版社（1988）[4]Biagini，S。，Frittelli，M.：关于Namioka-Klee定理的扩展和风险度量的Fatou性质，《最优性和风险：数学金融的现代趋势》，1-28，Springer（2009）[5]Cerreia Vioglio，S.，Maccheroni，F.，Marinacci，M.，Montruchio，L.：风险度量：合理性和多样性，数学金融，21，743-774（2011）[6]Chen，S.，Gao，N.，Xanthos，F.《风险度量的强Fatou性质，依赖建模》，6183–196（2018）[7]Cherny，A.S.，Grigoriev，P.G.《扩张单调风险度量是法律不变性，金融和随机性》，11291–298（2007）[8]Chong，K.M.，Rice，N.M.《函数的等度重排》，《纯粹和应用数学》皇后论文，28，（1971）[9]Chong，K.M.《谱序》，一致可积性和Lebesgue主导收敛定理，《美国数学学会学报》，191395-404（1974）[10]Delbaen，F.：一般概率空间上的一致风险测度，摘自：Sandmann，K。，Sch¨onbucher，P.J.（编辑），《金融与随机学进展：纪念迪特尔·桑德曼的论文》，pp。

1–37，Springer（2002）[11]Dana，R-A.《凹Schur凹函数的表示结果》，数学金融，15613–634（2005）[12]Denneberg，D.《非加性测度与积分》，Kluwer（1994）[13]Edgar，G.A.，Sucheston，L.《停止时间与有向过程》，剑桥大学出版社，剑桥（1992）[14]Ekeland I.，T\'emam，R.《凸分析与变分问题》，暹罗，费城（1999）[15]Ekeland，I.，S chachermayer，W.：L上的法律不变风险度量∞（Rd），《统计与风险建模》，28195-225（2011）【16】F¨ollmer，H.，Schied，A.：风险和交易约束的凸度量，金融与随机，6429-447（2002）【17】F¨ollmer，H.，Schied，A.：随机金融。离散时间的引入。柏林：De Gruyter（2016）【18】Filipovi\'c，D.，Svindland，G.《法律和现金不变凸函数的最优资本和风险分配》，《金融与随机》，12423–439（2008）【19】Filipovi\'c D.，Svindland，G.：法律不变凸风险度量的规范模型空间是L，MathematicalFinance，22585–589（2012）【20】Frenk，J.G.B.，Dias，D.M.L.，Gromicho，J.《凸/拟凸函数的对偶理论及其在优化中的应用》，载于：Koml\'osi，S.，Rapcs\'ak，T.，Schaible，S.（编辑），《广义凸》，pp。