一般随机变量空间上的律不变泛函

2022-6-10 08:55:49

回想一下，如果随机变量的函数ona空间将相同的值赋给具有相同概率定律的随机变量，则称其为定律不变量。金融和经济学文献中经常会遇到法律不变性，例如资本充足率、风险分担、投资组合选择、资本配置、保险定价。在（拟）凸性和（半）连续性的附加假设下，得到了关于律不变泛函的许多重要结果。示例包括定律不变性、Schur凸性和膨胀单调性之间的联系，参见Dana【11】、Cherny和Grigoriev【7】、Grechuk和Zab aran k【23】、Svindland【43】、Rahsepar和Xanthos【37】；基于分位数的定律不变量泛函的对偶表示，见Kusuoka【28】、Frittelli和Rosazza Gianin【21】、Shapiro【41】、Pichler和Shapiro【36】；定律不变泛函的扩展结果，参见Filipovi\'c和Svin dland【19】，Chen等人【6】；s ee Jouini等人【25】、Filipovi\'c和Svindland【18】、Ludkovski和R¨uschendorf【33】、Acciaio【1】、Ravanelli和Svindland【38】、Chen等人【6】、Liebrich和Svindland【31】、Liu等人【32】；定律不变泛函的自动连续性结果，见Jouini等人。【24】、Svindland【42】、Gao等人【22】、Leung和Tantrawan【29】；法律不变泛函的不确定性和统计稳健性之间的联系，见Koch-Medina和Munari【26】和Kr¨atschmer等人【27】。这些结果大多是针对Lebesgue空间上定义的定律不变泛函得出的，其中有界随机变量空间是最常见的选择。在某些情况下，只需要进行最小调整，以使证明在更一般的环境中工作。

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2022-6-10 08:55:52

然而，在其他情况下，Lebesgue空间的特定特征也被使用，因此很难评估是否可以实现更大的通用性。例如，当试图将Lebesguespaces类的结果扩展到O rlicz空间的更大类或更广泛的重排不变空间类时，就会出现这个问题，例如，Gao等人[22]，Chen等人[6]，Liebrich和Svindland[31]，Leung和Tantrawan[29]。我们还参考了Liebrich和Svindland[30]对“自然”模型空间的一般性讨论，重点是风险度量理论。上述一些结果在R¨u schendorf[39]和Ekeland and Schachermayer[15]中讨论了对随机向量空间的扩展。在本文中，我们讨论了定义在随机变量的局部凸空间X（在非原子概率空间上）上的定律不变泛函，其中包含∞并且包含在L中。对于我们所针对的结果类型，有必要让所讨论的函数接受一种特殊类型的双重表示。这自然会导致我们关注“可容许”泛函，即相对于X上的局部凸拓扑是拟凸和下半连续的泛函，从而得到的拓扑对偶也包含∞并包含在L中。正如我们在第2节中所说明的，issetup提供了足够的灵活性来容纳几乎所有有趣的案例。我们的方法对概率论中的概念和结果之间的相互作用进行了仔细的分析——数量函数、随机序、鞅收敛和凸对偶。

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2022-6-10 08:55:56

该分析给出了一系列关于可容许律不变函数的结构结果，这些结果提供了一个统一的视角，并允许以更直接、更深入的方式证明上述一些关键结果的推广。第一个结构结果是定理3.6，它确定了对于容许泛函，定律不变性和Schur凸性，即关于凸阶的单调性是等价的。这是Dana[11]首次证明的关于有界随机变量空间的一个重要结果的推广。引理3.5中包含了这种等价性背后的关键，它提供了经典结果byRy ff[40]和Luxemburg[34]的扩展，揭示了定律不变性和凸序之间的强拓扑联系：对于任何随机变量X∈ X，X中关于凸阶优于X的随机变量集与X中具有与X相同概率定律的随机变量集的闭凸包（关于选定的弱拓扑）一致。与Schur凸性的联系用于证明从定理4.2开始的第二组结构结果，这表明一个可容许的律不变泛函完全由其在L上的行为决定∞. 这一“还原原理”可以看作是本文的主要结果，并有许多结论。最重要的是，将约化原理简单应用于可容许律不变泛函的共轭（在拟凸对偶意义下），可以推广Svindland[42]得出的L∞. 事实上，定理4.4建立了每个可容许定律不变量泛函都自动为σ（X，L∞)-下部半连续。

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2022-6-10 08:55:59

特别地，这表明，在可容许律不变函数的对偶表示中，我们可以将注意力限制在从属于L的对偶元素上∞. 这一重要的拓扑性质暗示了命题5.3，该命题陈述了定义在L上的所有容许定律不变泛函∞可以唯一地扩展到X上sametype的函数。这提供了菲利波维·坎德·斯文德兰（Filipovi\'cand Svindland）在【19】中获得的重要扩展结果的一般公式。结合约化原理，这个扩展结果是从L∞到我们的一般空间X。通过依赖上述一般结果，我们能够在文献中推广一些关于不变泛函的著名定理。其中包括各种基于分位数的双重表示，以及关于非理想卷积和膨胀单调性的结果。对于其中一些，利用定律不变性和Schur凸性的等效性，我们可以提供简单的直接效果，有时甚至可以提供更清晰的版本，即使对于L∞案例我们还注意到，与大部分文献相比，我们一直使用拟凸泛函，而不是仅使用凸泛函。我们参考个别章节与文献进行详细比较。本文的组织结构如下。在描述了第二节中的设置之后，我们在第三节中研究了Law不变性和Schur凸性之间的关系。在此基础上，我们在第4节证明了律不变泛函的基本约化原理。第5.2节SettingLet讨论了上述所有应用(Ohm, F、 P）是非原子概率空间。任何Borel可测函数X：Ohm → R称为随机变量。我们用关于最确定等式（P下）的一组相等的随机变量类来表示。

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2022-6-10 08:56:05

像往常一样，我们从不明确区分土地的一个元素及其代表。ran dom变量之间的相等和不相等总是在最确定的意义上表示的。特别是，R的元素由几乎肯定恒定的随机变量确定。对于每套X Lwe表示为X+X中的正随机变量集。上的标准Lebesgue空格(Ohm, F、 P）用LPP表示∈ [1, ∞]. E.definition 2.1简单地表示了期望值。对于两个随机变量X，Y∈ Lwe写入X~ 在P.A集X下，Y和X具有相同的概率定律如果对于所有X，Y，Lis被认为是定律不变的∈ Lwe haveX公司∈ X，Y~ X个==> Y∈ 十、A功能Д：X→ [-∞, ∞] 如果对于所有X，Y∈ X我们有X~ Y型==> Д（X）=Д（Y）。在整篇论文中，我们处理了L的以下一对线性子空间。假设2.2。设X和X*是Lsuch的两个线性子空间：（1）X和X*是不变的。（2） XY型∈ L对于所有X∈ X和Y∈ 十、*.（3） L∞ 十、土地L∞ 十、* 五十、我们用σ（X，X）表示*) X上最薄弱的拓扑，关于该拓扑，线性f函数νY:X→ Rgiven byY（X）：=E[XY]对于每个Y是连续的∈ 十、*. 有了这种拓扑，X就变成了一个凸的Hausdorff拓扑向量空间（参见例[44]）。以下示例显示满足上述假设的成对混凝土。示例2.3。LetΦ：【0，∞) → [0, ∞] 是一个Orlicz函数，即一个凸的、左连续的递增函数，它在零的右邻域上是有限的，满足Φ（0）=0。Φ的共轭是函数Φ*: [0, ∞) → [0, ∞] 定义人Φ*（u）：=支持∈[0,∞){tu- Φ（t）}。注意Φ*也是Orlicz函数。

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2022-6-10 08:56:09

对于每X∈ Ldefine the Luxemburg n orm bykXkΦ：=infλ ∈ (0, ∞) ; EΦ|X |λ≤ 1..相应的Orlicz空间由Φ：={X给出∈ LkXkΦ<∞}.LΦ的中心是空格HΦ：=十、∈ LΦ；λ ∈ (0, ∞) : EΦ|X |λ< ∞.经典的Lebesgue空间是Orlicz空间的突出例子。在一侧，设置Φ（t）=tpp∈ [1, ∞) 和t∈ [0, ∞), 我们有LΦ=HΦ=lp，卢森堡范数与通常的p范数一致。另一方面，如果我们定义Φ（t）=0表示t∈ [0，1]和Φ（t）=∞ 否则，我们有LΦ=L∞卢森堡标准与通常的esssup标准一致。注意，在这种情况下，HΦ={0}。在我们的非原子设置中，我们有LΦ=HΦ当且仅当Φ为, i、 e.存在∈ (0, ∞) 和k∈ (0, ∞)每tΦ（2t）<kΦ（t）∈ [s，∞). HΦ6=Lφ的非平凡HΦ的一个著名示例对应于Φ（t）=exp（t）选项- t为1∈ [0, ∞).LΦ的范数对偶不能与Lin-general的子空间识别。然而，如果Φ是有限值（否则HΦ={0}），则HΦ的范数对偶始终可以与LΦ识别*. 对于案例Lp，forp∈ [1, ∞), 这就是众所周知的Lpp与Lpp的范数对偶的识别-1（通常情况下：=∞). 有关Orlicz空间的更多详细信息，请参阅[13]。以下几对满足假设2.2（我们假设Orlicz心脏中没有一个被还原为零）：（1）X=LΦ和X*∈ {LΦ*, HΦ*, L∞}.（2） X=HΦ和X*∈ {LΦ*, HΦ*, L∞}.我们通过回顾有关泛函的一些基本注意事项来结束本节。我们在上述假设下工作。本文的重点是形式为Д：X的泛函→ [-∞, ∞].如果ν（X）>-∞ 对于每X∈ X和Д（X）<∞ 对于某些X∈ 十、我们说，对于几乎确定的偏序，即所有X，Y∈ X我们有X≤ Y型==> ^1（X）≤ ^1（Y），分别为。

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2022-6-10 08:56:12

^1（X）≥ ^1（Y）。如果对于所有X，Y∈ X和λ∈ [0，1]我们有ν（λX+（1- λ） Y）≤ λД（X）+（1- λ） ν（Y）和拟凸if对于所有X，Y∈ X和λ∈ [0，1]我们有ν（λX+（1- λ） Y）≤ 最大{Д（X），Д（Y）}。显然，每个凸泛函都是自动拟凸的。最后，φ称为σ（X，X*)-下半连续if对于每个网络（Xν） X和每X∈ X we h aveXνσ（X，X*)-----→ X个==> ^1（X）≤ lim infνν（Xν）。众所周知，Д是拟凸，分别是σ（X，X*)-下半连续，当且仅当集合{ν≤ α} ：={X∈ 十、^1（X）≤ α} 是凸的，分别为σ（X，X*)-闭合，对于每个α∈ R、 σ（X，X）的性质*)-下半连续性将在续集中扮演关键角色。下一个命题的特点是，在环境空间X可以配备重排不变结构的常见情况下，该性质有三个可操作的特征。回想一下，如果X是一个实数格（关于几乎确定的偏序），并且具有定律不变的、完备的格范数，那么X是一个重排不变空间；见【34】。请注意，如果任何卢森堡标准仅限于Orlicz心脏，则其具有Lebesgue属性。定义2.4。我们说a functionalД：X→ [-∞, ∞] 对于每个序列（Xn），都具有Fatou属性 X和每X∈ X我们拥有X NA。s--→ 十、 supn公司∈N | Xn |∈ X个==> ^1（X）≤ lim信息→∞^1（Xn）。类似地，如果每个序列（Xn）都有Lebesgue属性 X和每X∈ 我们有xNA。s--→ 十、 supn公司∈N | Xn |∈ X个==> Д（X）=limn→∞^1（Xn）。我们说对于每个序列（Xn），从下到下是连续的 X和每X∈ X we h aveXn↓ X个==> Д（X）=limn→∞^1（Xn）。提案2.5。假设X是一个重排不变空间。让^1：X→ [-∞, ∞] 是拟凸且定律不变的。

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2022-6-10 08:56:15

那么，以下陈述是等效的：（a）Д是σ（X，X*)-下部半连续。（b） ^1拥有Fatou财产。如果X=L∞或者k·k具有勒贝格性质，那么（a）也等于：（c）ν是范数下半连续的。如果Д增加，则（a）也相当于：（d）Д从下方连续。证据请注意，任何具有Fatou属性的函数都自动是范数下半连续的。这是因为每个范数收敛序列都允许一个几乎肯定收敛的支配子序列。还要注意的是，只要范数具有Lebesgue性质，任何形式的低阶连续函数都满足Fatou性质。众所周知，对于递增泛函，Fatou性质和连续性fr ombelow是等价的。其余的含义来自于bou-nded设置中的[42，命题1.1]（另见[10，定理3.2]和[24，定理2.1]）、Orlicz设置中的[22，定理1.1]，以及一般设置中的[6，命题2.11]和[29，定理3.1]。关于将下半连续性与Fatou性质联系起来的早期结果，我们也参考了[4]。我们通过回顾我们环境中的经典Fenchel-Moreau对偶表示来结束这一部分。为此，回想一下，Д的共轭物是功能的Д*: 十、*→ [-∞, ∞] 定义人：^1*（Y）：=supX∈X{E[XY]- ^1（X）}。此外，我们定义了*^1：X*×R→ [-∞, ∞] byF公司*Д（Y，α）：=inf{Д（X）；X∈ X，E[XY]≥ α}.上述泛函出现在经典的Fenchel-Moreau对偶表示中，参见[44，Th eorem2.3.3]和[20，定理2.6，引理2.7]。提案2.6。

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2022-6-10 08:56:18

让^1：X→ [-∞, ∞] 适当且σ（X，X*)-下部半连续。（i）如果Д是凸的，则Д（X）=supY∈十、*{E[XY]- φ*（Y）}，X∈ 十、（ii）如果Д是拟凸，则Д（X）=supY∈十、*F*^1（Y，E[XY]），X∈ 十、如果^1是额外的i nc reasing，那么我们可以替换X*按X*+在上述声明中。3法律不变性和Schur凸在这一节中，我们通过展示法律不变性与随机序之间的联系，开始研究一般随机变量空间上的法律不变性泛函。更准确地说，对于拟凸和下半连续泛函，关于凸阶，定律不变性等价于单调性。在整个章节中，我们坚持第2节中的长期假设。作为一个初步步骤，我们回顾了分位数函数的概念，并为这对函数（X，X）建立了一个有用的Hardy Littlewoodtype结果*), 这突出了分位数函数和定律不变性之间的联系。这一结果在文献中起着重要作用，在文献中，这一结果通常被用于pairs（L，L∞) an d（L∞, 五十），参见，例如，【11】。我们证明，在我们的一般设置中，一切都会通过，因为我们可以很容易地确保理解的分位数函数及其乘积的可积性。定义3.1。对于每个随机变量X∈ Lwe表示为X的qXa固定但任意的量化函数，即函数qX：（0，1）→ R满足inf{x∈ RP（X≤ x）≥ s}≤ qX（s）≤ inf{x∈ RP（X≤ x） >s}对于每个s∈ (0, 1). 注意，由于X的累积分布函数最多有可数个不连续点，因此X的任何两个分位数函数几乎肯定与（0，1）上的lebesgue测度重合。引理3.2。

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2022-6-10 08:56:22

对于所有X∈ X和Y∈ 十、*函数qX（1- ·)（0，1）上的qYand和qXqYare-Lebesgue可积，下面的陈述成立：（i）infX′~XE[X′Y]=infY′~YE[XY′）=RqX（1- s） qY（s）ds。（ii）supX′~XE[X′Y]=supY′~YE[XY′）=RqX（s）qY（s）ds。此外，还实现了上述所有In-fima和suprema。证据取X∈ X和Y∈ 十、*. 自(Ohm, F、 P）是非原子的，它遵循[3，定理2.6]中的s，0≤Zq | X |（s）q | Y |（s）ds=E[| XY′|]对于某些Y′~ YX的定律不变性*意味着Y′∈ 十、*所以XY′∈ 五十、这表明q | X | q | Y |在（0，1）上是L ebesgue可积的。现在，验证并不困难，例如参见[8，定理4.6]，th at | qXqY |=qmax{X，0}qmax{Y，0}+qmin{X，0}qmin{Y，0}- qmax{X，0}qmin{Y，0}- qmin{X，0}qmax{Y，0}≤ 4q | X | q | Y |。这就产生了qXqY的Lebesgue可积性。同于qX（1- ·) = -q-几乎可以肯定，对于（0，1）上的Lebesgue测度，这也会产生qX（1）的Lebesgue可积性- ·)qY。其余声明参见【8，T heorem 13.4】。在回顾了凸序的概念之后，我们给出了两个随机变量按凸序排序的若干等价条件，用分位数函数表示。特别是，断言（c）指出了凸阶和二阶随机优势之间众所周知的联系。这对[11]中的结果进行了较小的扩展。定义3.3。对于所有随机变量X，Y∈ Lwe写入X当[f（X）]≥ E[f（Y）]对于每个凸函数f:R→ R、 A组A 对于所有X，Y，X是Schur凸的∈ X我们有X∈ A、 X个cxY公司==> Y∈ A、类似地，A functionalД：X→ [-∞, ∞] 对于所有X，Y，Schur凸吗∈ X我们有XcxY公司==> ^1（X）≥ ^1（Y）。引理3.4。

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2022-6-10 08:56:25

对于所有X，Y∈ l下列语句是等价的：（a）对于每个非减量函数g：（0，1）→ 使得qXg和qYg在（0，1）上是Lebesgue可积的，我们有zqx（s）g（s）ds≥ZqY（s）g（s）ds。（b）对于每个非减量有界函数g：（0，1）→ R我们有zqx（s）g（s）ds≥ZqY（s）g（s）ds。（c） E[X]=E[Y]且对于每个s∈ （0，1）ZsqX（t）dt≥ZsqY（t）dt。（d） X个cxY。证据众所周知，（c）和（d）是等价的，参见例如[11，引理2.1]。此外，从[11，引理2.2]可以看出，（b）和（d）是等价的。因此，我们只需要证明（a）和（b）是等价的。很明显，（a）意味着（b），因为（0，1）上的qx和qYare-Lebesgue可积，请参见。g、 [8，提案4.3]。为了总结证明，假设（b）持有并接受任意非减量函数g：（0，1）→ 使得qXg和qYg在（0，1）上是Lebesgue可积的。对于每n∈ N定义函数gn：（0，1）→ R通过设置GN（s）=-如果g（s）<-n、 g（s）如果- n≤ g（s）≤ n、如果g（s）>n，假设我们有zqx（s）gn（s）ds≥ZqY（s）gn（s）dsfor every n∈ N、自gn起→ g点方向和| qXgn |≤ |qXg |以及| qYgn |≤ |qYg |每n∈ N、它遵循支配收敛定理th atZqX（s）g（s）ds=limn→∞ZqX（s）gn（s）ds≥ 画→∞ZqY（s）gn（s）ds=ZqY（s）g（s）ds。这就是等价性的证明。证明定律不变性和Schur凸性之间所宣布的等价性的最后一个因素包含在下面的密度结果中。这表明，对于每一个属于X的随机变量X，X中的所有随机变量在凸序上受X支配的集合与定律不变性等价类{Y的闭凸壳重合∈ 十、Y~ 十} 。对弱拓扑σ（X，X）进行闭包*).

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2022-6-10 08:56:27

特别是，在所述拓扑中，凸序中由X支配的每个随机变量都可以通过与X相同分布的随机变量的凸组合网络来近似。这种密度结果首先在Lin【40，定理5】中建立，并适用于L∞[11，命题4.1]中的（与L成对），以及[43，推论2.5]中的一般Lpspaces。这里，一套a X我们用co（A）表示其凸包，用clσ（X，X）表示*)（A）其σ（X，X*)-关闭。引理3.5。对于每X∈ X我们有{Y∈ 十、十、cxY}=clσ（X，X*)（co（{Y∈ 十、Y~ 十} ））。证据为了方便起见，我们在整个证明中使用以下符号：C（X）={Y∈ L十、cxY}，D（X）={Y∈ LY~ 十} ={Y∈ 十、Y~ 十} 。确立包容性””, 假设存在Y∈ C（X）∩ clσ（X，X）外的X*)（co（D（X）））。然后，通过Hahn-Banach分离，我们找到Z∈ 十、*使得sup{E[X′Z]；X′~ 十} <E[Y Z]。现在根据引理3.2和引理a 3.4得出zqx（s）qZ（s）ds<E[Y Z]≤ZqY（s）qZ（s）ds≤ZqX（s）qZ（s）ds，我们在这里使用了XcxY。这带来了矛盾，并产生了所需的包含。确立包容性””, 首先注意C（X）∩ X是凸的，定律不变，并且包含D（X）。因此，必须证明C（X）∩ X是σ（X，X*)-关闭为此，请注意，X配备了拓扑σ（X，X*), 连续嵌入到L中，具有拓扑σ（L，L∞). 这是因为我∞包含在X中*根据我们的长期假设。因为C（X）是σ（L，L∞)-紧致于[9，推论3.2]，我们推断C（X）∩ X是σ（X，X*)-关闭我们得到了定律不变性和Schur凸性之间的等价性。

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2022-6-10 08:56:30

在convexcase中，这个结果扩展了[11，定理4.1]，这是在L∞, 以及[23，命题2.4]，这是在正同质性的附加假设下，在一般Lpspace中建立的。在拟凸的情况下，结果推广了[5，定理5.1]，这是在L∞在单调性的附加假设下，以及[31，定理18]，这是在区域排列不变空间中建立的。定理3.6。对于真拟凸，σ（X，X*)-下半连续泛函Д：X→ [-∞, ∞]以下陈述是等效的：（a）Д是定律不变的。（b） ^1是Schur凸的。证据很明显，Schur凸性意味着定律不变性。现在，假设ν是定律不变的，取两个任意的X，Y∈ X使得XcxY。根据引理3.5，随机变量Y是σ（X，X*)-网的极限（Yν） X使得yν=nνXi=1λνiXνifor nν∈ N和适当的Xν，Xνnν~ X和λν，λνnν∈ [0，1]总结为一。注意，bylaw不变性和拟凸性我们有ν（Yν）≤ 对于每个ν，最大{ν（Xν），…，ν（Xνnν）}=Д（X）。因此，σ（X*, X）-下半连续性收益率Д（X）≥ lim infνν（Yν）≥ ^1（Y）。这就确定了И是Schur凸的。集合定理3.6的一个附带结果表明，关于凸阶，定律不变性等价于单子性。该语句随后立即将上述结果应用于指示器函数。推论3.7。对于凸和σ（X，X*)-闭合集A 下面的陈述是等价的：（a）a是定律不变的。（b） A是Schur凸的。4限制结果在本节中，我们揭示了定律不变性和有界性之间的深层联系。我们从一个原始和一个双重视角来了解这一点。一方面，我们证明了一个具有规律不变性的拟凸和下半连续泛函是由其对有界随机变量的作用唯一确定的。

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2022-6-10 08:56:33

另一方面，通过将此约束结果应用于共轭泛函，我们证明了有界随机变量空间是律不变性下的自然对偶空间。这些结果的关键是将前面章节中建立的定律不变性和Schur凸性之间的等价性与下面的近似结果结合起来。这里，每X∈ X我们用σ（X）表示F中X可测量的最小σ场。类似地，对于每个G F我们用σ（G）表示F中包含G引理4.1的最小σ场。对于eve ry X∈ X，对于完全生成的σ-场的每个递增序列（Fn（X）），使得σ（X）=σ（Sn∈我们有e[X | Fn（X）]σ（X，X*)-----→ 十、证明。让X∈ 取F中完整生成的σ场的递增序列（Fn（X）），使σ（X）=σ（Sn∈NFn（X））。根据鞅收敛定理，我们得到了E[X | Fn（X）]→ 几乎可以肯定。现在，任何Y∈ 十、*和E∈ F并注意到qE | Y|≤(1-P（E），1）q | Y |几乎可以肯定关于（0，1）上的勒贝格测度。自| X |起cxE[| X | Fn（X）]f或每n∈ 根据Jensen\'sInequality，引理3.2和引理3.4得出的结论是[E | E[X | Fn（X）]Y |]≤ZqE[| X | Fn（X）]（s）qE | Y |（s）ds≤Z1级-P（E）q | X |（s）q | Y |（s）ds。这表明序列（E[X | Fn（X）]Y）是一致可积的。作为E[X | Fn（X）]Y→ XY几乎可以肯定，我们得到了E[E[X | Fn（X）]Y]→ E【XY】，结束证明。根据前面的引理，L∞关于拓扑σ（X，X），在X上是稠密的*). 这并不奇怪，可以用更直接的方式加以证明。

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2022-6-10 08:56:38

事实上，每X∈ 支配收敛定理的直接应用表明{| X|≤n} Xσ（X，X*)-----→ 十、前面引理的强大之处在于，我们可以通过一系列特殊的有界随机变量来近似X中的每个元素，即关于有限生成σ场的条件期望。这允许我们利用Schur凸性来建立神经约束结果。通过[22，引理5.4]中关于Orliczsetting和[6，推论2.5]中关于Rearrangement不变空间的不同论点，已经获得了类似的结果。此处，用于功能Д：X→ (-∞, ∞] 和子集a X我们用Д| A表示Д对A的限制。定理4.2。让^1：X→ [-∞, ∞] 真，拟凸，σ（X，X*)-下半连续和Law不变量。对于每X∈ X，对于每个增加的序列（Fn（X）），完整生成的σ场inF，使得σ（X）=σ（Sn∈NFn（X））我们有ν（X）=limn→∞^1| L∞ （E[X | Fn（X）]）。尤其是，Д由其对L的限制唯一确定∞.证据让X∈ 取F中完整生成的σ场的递增序列（Fn（X）），使σ（X）=σ（Sn∈NFn（X））。通过引理4.1，我们得到了E[X | Fn（X）]→ X相对于σ（X，X*). 它遵循σ（X，X*)-下半连续性≤ lim信息→∞^1（E[X | Fn（X）]）。（4.1）自每n∈ N我们有XcxE[X | Fn（X）]根据Jensen不等式，我们从定理3.6中建立的ν的Schurconvexity推断，我们也有ν（X）≥ lim支持→∞^1（E[X | Fn（X）]）。（4.2）期望的断言通过结合（4.1）和（4.2）立即出现。下一个推论将集合的伴随语句记录到前面的限制结果中。它表明，定律不变的凸闭集完全由它们与L的交集决定∞.推论4.3。

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2022-6-10 08:56:42

对于每个凸，σ（X，X*)-闭且律不变集A X我们有a=clσ（X，X*)（A）∩ L∞).证据显然，我们只需要证明 clσ（X，X*)（A）∩ L∞). 为此，取X∈ A、根据引理4.1，我们在F中找到了一个完整生成σ场的序列（Fn（X）），使得E[X | Fn（X）]→ X相对于σ（X，X*). 为了总结证据，必须观察everyn∈ N我们有XcxE[X | Fn（X）]由Jensen不等式得出，因此，E[X | Fn（X）]∈ A.∩ L∞推论3.7。很容易证明拟凸和下半连续泛函的共轭泛函是律不变的，它本身也是律不变的。这使我们能够对前面的restrictionresult进行简化，可以将对偶空间限制到有界随机变量空间。这有以下显著的结果，将[42，命题1]扩展到有界设置之外。我们还可以参考[6，定理2.6]、[31，定理18]和[29，定理3.1]，了解在设置重排不变空间时该结果的等效公式。定理4.4。对于真拟凸，定律不变泛函Д：X→ [-∞, ∞] 以下陈述是等效的：（a）Д是σ（X，X*)-下部半连续。（b） ^1为σ（X，L∞)-下部半连续。证据它有助于在凸情况下建立等价性。实际上，拟凸的情况可以通过通过指示泛函将等价性转换为凸集的声明来建立，参见推论4.5。因此，假设ν是凸的。显然，我们只需要证明（a）意味着（b）。为此，假设Д为σ（X，X*)-下部半连续。回想一下*是真的、凸的和σ（X*, X）下部半连续。此外，对于每个Y∈ 十、*我们有*（Y）=supX∈X{E[XY]- ^1（X）}=supX∈XsupX′型~X{E[X′Y]- ^1（X）}=supX∈十、ZqX（s）qY（s）ds- ^1（X）引理3.2，表明*也是定律不变的。

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2022-6-10 08:56:45

现在，x Y∈ 十、*. 从引理4.1和定理4.2可以看出，对于F中完全生成的σ场的合适序列（Fn（Y）），我们有[Y | Fn（Y）]→ 拓扑σ（X）中的Y*, X）和Д*（E[Y | Fn（Y）]）→ φ*（Y）。这意味着- φ*（Y）=limn→∞E[XE[Y | Fn（Y）]]- φ*（E[Y | Fn（Y）]）≤ supZ公司∈L∞{E[XZ]- φ*（Z） }对于每个X∈ 十、根据命题2.6，我们推断出Д（X）=supZ∈L∞{E[XZ]- φ*（Z） }对于每个X∈ 十、这表明Д是σ（X，L∞)-下半连续，并给出了证明。通过将上述结果应用于指示函数，可以为集合重新格式化前面的语句。推论4.5。对于凸和定律不变集a 以下陈述是等效的：（a）a是σ（X，X*) 关闭（b） A是σ（X，L∞) 关闭5应用在本节中，我们将展示如何利用上述限制结果来转换关于L上的定律不变量或Schur凸泛函的各种已知结果∞到X上的相应结果。关于定律不变性和Schur凸性之间的等价性，我们参考定理3.6。5.1分位数r表示我们首先扩展了著名的定律不变泛函的分位数表示。在convexcase中，这扩展了[11，定理4.2]，该定理建立于∞, 以及[23，命题4.3]，这在LPS中得到了证明，并满足了正同质性的额外要求。值得指出的是，即使在Lpsetting中，我们的分位数表示也更清晰，因为我们可以将对偶空间限制为L∞.还值得注意的是，[23]中的参数利用了lpspace的特殊性质，例如L的normdesignment∞, 我们对于空间X的一些可容许选择，例如Orlicz空间，d不必满足。

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2022-6-10 08:56:49

在拟凸的情况下，下面的表示扩展并补充了[5，定理5.1]，这是在L∞在单调性的附加假设下。提案5.1。让^1：X→ [-∞, ∞] 适当，σ（X，X*)-下半连续和定律不变。（i）如果Д是凸的，则可以表示为Д（X）=supY∈L∞ZqX（s）qY（s）ds- φ*（Y）, 十、∈ 十、（5.1）Д*（Y）=supX∈十、ZqX（s）qY（s）ds- ^1（X）, Y∈ 十、*.（ii）如果Д是拟凸，则可以表示为Д（X）=supY∈L∞F*φY、 ZqX（s）qY（s）ds, 十、∈ 十、 F级*ν（Y，α）=inf^1（X）；十、∈ X，ZqX（1- s） qY（s）ds≥ α, Y∈ 十、*, α ∈ R、如果^1是额外的i nc reasing，那么我们将替换L∞作者：L∞+在上述陈述中。证据（i）从定理4.4可以看出，Д是σ（X，L∞)-下部半连续。因此，我们可以应用Proposition 2.6来获得ν（X）=supX′~XИ（X′）=supX′~XsupY公司∈L∞{E[X′Y]- φ*（Y）}=supY∈L∞supX′~X{E[X′Y]- φ*（Y）}（5.2）每X∈ X，这里我们使用了ν的定律不变性。然后，引理3.2得出ν（X）=supY∈L∞ZqX（s）qY（s）ds- φ*（Y）对于每X∈ 十、同样，我们有*（Y）=supX∈X{E[XY]- ^1（X）}=supX∈XsupX′型~X{E[X′Y]- ^1（X）}=supX∈十、ZqX（s）qY（s）ds- ^1（X）对于每个Y∈ 十、*. 如果ν额外增加，则L上的上确界∞可将（5.2）中的∞+根据提案2.6。（ii）从定理4.4可以看出，Д是σ（X，L∞)-下部半连续。然后，ν的定律不变性和命题2.6（注意，我们可以将下面的上确界限制为L∞+如果Д处于cr缓和状态），则意味着Д（X）=supX′~XИ（X′）=supX′~XsupY公司∈L∞F*^1（Y，E[X′Y]）=supY∈L∞supX′~XF车型*^1（Y，E【X′Y】）（5.3）每X∈ 十、作为F*^1（Y，·）对于每个Y都是不变的∈ L∞, 由引理3.2可知，Д（X）=supY∈L∞F*φY、 ZqX（s）qY（s）ds对于每X∈ 十、

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2022-6-10 08:56:52

同样，我们有*Д（Y，α）=inf{Д（X）；X∈ X，E[XY]≥ α} =inf{Д（X）；X∈ X，X′~ 十、 E[X′Y]≥ α} =inf{Д（X）；X∈ X，infX′~XE[X′Y]≥ α} =inf^1（X）；十、∈ 十、 ZqX（1- s） qY（s）ds≥ α对于所有Y∈ 十、*和α∈ R、 I fД额外增加，则L上的上确界∞在（5.3）中，可限制为L∞+根据提案2.6。从上述分位数表示可以看出，对于拟凸和下半连续泛函，可以在共轭函数的层次上表征定律不变性。考虑到定律不变性和Schur凸性之间的等价性，用Schur凸性替换定律不变性也具有相同的特征。推论5.2。让^1：X→ [-∞, ∞] 适当且σ（X，X*)-下部半连续。（i）如果Д是凸的，则以下陈述是等效的：（a）Д是定律不变的。（b） ^1*是定律不变的。（ii）如果Д是拟凸，则以下语句是等效的：（a）Д是定律不变的。（b） F*ν（·，α）对于每个α都是定律不变的∈ R、证明。（i）根据命题5.1，（a）意味着（b）。自^1起*是真的、凸的和σ（X*, X）下半连续，且Д与Д的共轭相一致*通过命题2.6，我们立即得到命题5.1再次暗示（b）的（a）。（ii）根据命题5.1，（a）意味着（b）。为了建立逆向含义，假设F*ν（·，α）对于每个α都是定律不变的∈ R、然后，对于每个X∈ X我们有ν（X）=supY∈十、*F*^1（Y，E[XY]）=su pY∈十、*supY\'~YF公司*由命题2.6得出的ν（Y，E[XY′））。作为F*^1（Y，·）对于每个Y都是不变的∈ 十、*, 我们从引理3.2推断出，Д（X）=supY∈十、*F*φY、 ZqX（s）qY（s）ds对于每X∈ 十、

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2022-6-10 08:56:56

这表明Д是定律不变的，并确定（b）意味着（a）。5.2扩展结果下一个命题表明，具有定律不变量X的每一个凸和下半连续泛函可以唯一扩展到整个空间L，而不会丢失其性质。特别是，Lcanbe被视为这类泛函的规范模型空间。在凸情况下，在Lebesgue设置中的[19，定理2.2]，在Orlicz设置中的[22，定理1.4]，以及在重排不变空间设置中的[6，定理2.6]中，都得到了这种扩展结果。在拟凸的情况下，我们参考[31，命题20]获得重排不变空间设置中的一个版本。提案5.3。让^1：X→ [-∞, ∞] 适当，σ（X，X*)-下半连续和定律不变。（i）如果Д是凸的，那么它可以唯一地扩展到适当的凸σ（L，L∞)-下半连续，不变律泛函Д：L→ [-∞, ∞]. 扩展显式由Д（X）=supY给出∈L∞ZqX（s）qY（s）ds- γ（Y）, 十、∈ 五十、式中γ（Y）=supX∈L∞ZqX（s）qY（s）ds- ^1（X）, Y∈ L∞.（ii）如果Д是拟凸，那么它可以唯一地扩展到一个适当的拟凸σ（L，L∞)-lowersemicontinuous，law-invariant functional^1：L→ [-∞, ∞]. e xtension显式由φ（X）=supY给出∈L∞ΓY、 ZqX（s）qY（s）ds, 十、∈ 五十、式中，Γ（Y，α）=inf^1（X）；十、∈ L∞,ZqX（1- s） qY（s）ds≥ α, Y∈ L∞, α ∈ R、如果Д额外增加，则Д也会增加。证据（i）注意：Д| L∞是真的，凸的，σ（L∞, 十、*)-下半连续和定律不变。特别是，Д| L∞isσ（L∞, L∞)-定理4.4给出的下半连续。然后，命题5.1得出了ν| L∞（十） =s upY∈L∞ZqX（s）qY（s）ds- γ（Y）（5.4）每X∈ L∞, 式中γ（Y）=supX∈L∞ZqX（s）qY（s）ds- ^1（X）对于每个Y∈ L∞.

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2022-6-10 08:56:59

现在，定义功能Д：L→ [-∞, ∞] 通过设置Д（X）=supY∈L∞ZqX（s）qY（s）ds- γ（Y）= 苏比∈L∞supY\'~Y{E[XY′]- γ（Y）}，其中最后一个等式由引理3.2保持。很明显，Д是一个适当的凸σ（L，L∞)-ν| L的lowersemicontinuous和law不变扩张∞ . 注意，Д| X和Д都是适当的、凸的σ（X，X*)-ν| L的下半连续和定律不变扩张∞. 然后，我们必须有定理4.2中的Д=Д| xb，因此Д是Д的期望扩展之一。这种扩展的唯一性直接来自定理4.2。如果^1额外增加，则（5.4）中的supr emum可限制为L∞+根据命题2.6和Д，很容易看出它们在增加。（ii）注意∞是真的，拟凸，σ（L∞, 十、*)-下半连续和定律不变。尤其是，Д| L∞isσ（L∞, L∞)-定理4.4给出的下半连续。然后，命题5.1得出了ν| L∞（十） =supY∈L∞ΓY、 ZqX（s）qY（s）ds（5.5）每X∈ L∞, 式中，Γ（Y，α）=inf^1（X）；十、∈ L∞,ZqX（1- s） qY（s）ds≥ α对于所有Y∈ L∞和α∈ R、现在，定义功能Д：L→ (-∞, ∞] 通过设置Д（X）=supY∈L∞ΓY、 ZqX（s）qY（s）ds= 苏比∈L∞supY\'~YΓ（Y′，E[XY′），其中最后一个等式由引理3.2保持。很明显，th at|是|L的一个适当的和法律不变的扩展∞ . 此外，从[20，引理2.7]可以看出，Д也是拟凸和σ（L，L∞)-下半连续。注意，Д| X和Д都是真的，拟凸，σ（X，X*)-|L的下半连续andlaw不变扩张∞ . 然后，我们必须通过定理4.2得到Д=Д| xb，因此Д是Д的期望扩展之一。这种扩展的唯一性直接来自定理4.2。

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2022-6-10 08:57:03

如果Д额外增加，则（5.5）中的上限可限制为L∞+根据命题2.6和Д，很容易看出它们在增加。下一个推论通过显示凸，σ（X，X*)-闭的，并且X的法则不变子集总是可以从它们的范数闭包中检索出来。这里，我们用clk·K表示关于Lnorm的闭包。推论5.4。对于每个凸，σ（X，X*)-闭且律不变集A X we haveA=clk·k（A）∩ 十、证据我们只需要显示clk·k（A）∩ 十、 A、为此，选择X∈ X并假设Xn→ 关于LF中的范数拓扑，对于一个合适的序列（Xn） A、特别是Xn→ X相对于σ（X，L∞). 因为A是σ（X，L∞)-通过推论4.5，我们得出结论，X∈ A、 5.3扩张单调性在这一小段中，我们回顾了扩张单调性的概念，并证明它等价于拟凸和下半连续下的定律不变性。在凸的情况下，这将[7，推论1.3]扩展到有界设置之外，并将[43，定理2.1]扩展到Lebesgue设置之外。在拟凸情形中，它将[31，定理18]扩展到了重排不变空间的设置之外。关于一般空间中扩张单调性的各种结果，请参见[37]。定义5.5。A功能Д：X→ [-∞, ∞] 称为扩张单调≥ ^1（E[X | G]）每X∈ X和每个σ-场G F使得E[X | G]∈ 十、提案5.6。对于真拟凸，σ（X，X*)-下半连续泛函Д：X→ [-∞, ∞]以下陈述是等效的：（a）Д是定律不变的。（b） ν是扩张单调。证据回想一下XcxE[X | G]每X∈ X和每个σ-场G F由Jensen不等式得出。因此，从定理3.6可以看出，（a）意味着（b）。

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2022-6-10 08:57:05

为了显示相反的含义，假设ν是扩张单调的。我们可以很容易地遵循定理4.2的证明来证明ν（X）=limn→∞^1| L∞ （E[X | Fn（X）]）（5.6）每X∈ X和F中完整生成的σ场的每个递增序列（Fn（X）），使得σ（X）=σ（Sn∈NFn（X））。现在，作为|L∞ 关于L上的范数拓扑是下半连续的∞,根据【43，定理2.1，备注2.2】可知∞ 是定律不变的。现在，取X，Y∈ X令人满意X~ Y考虑R的有限划分的重新定义序列（Pn），并设置Fn（X）=σ（{X-1（I）；我∈ Pn}）和Fn（Y）=σ（{Y-1（I）；我∈ Pn}）。自E起[X | Fn（X）]~ E[Y | Fn（Y）]每n∈ N、我们从（5.6）中推断，Д（X）=limn→∞^1| L∞（E[X | Fn（X）]）=limn→∞^1| L∞（E[Y | Fn（X）]）=Д（Y）。这表明Д是定律不变的，并确定（b）意味着（a）。5.4实卷积在本节中，我们重点讨论法律不变泛函的实卷积。本着【31】的精神，我们考虑一般聚合函数的理想卷积。在金融和保险领域的应用中，在风险分担和资本配置问题的研究中，通常会自然出现不完全卷积，其中聚合函数通常被视为总和或最大值。我们参考导言中的参考文献列表。特别是，我们参考了文献[6]，了解了在重排不变空间中关于经典卷积的各种结果。定义5.7。让n∈ N和∧：Rn→ 每X的R和d∈ X定义集合X，n（X）=（（X，…，Xn）∈ Xn；nXi=1Xi=X）。让^1，^1n:X→ [-∞, ∞] 要得体。地图ni=1хi:X→ [-∞, ∞] 定义人ni=1Дi（X）：=inf{∧（Д（X），…，Дn（Xn））；（X，…，Xn）∈ SX，n（X）}被称为∧基的∧的整数卷积。

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2022-6-10 08:57:09

，νn.作为本文的重点，我们感兴趣的是研究拟凸、下半连续和律不变泛函的不正卷积在哪些条件下仍然是律不变的。最近，对于基于标准和的整数卷积，这个问题在[32]中得到了解决，但没有任何拟凸性和下半连续性假设。我们表明，在我们的设置中，只要聚集函数增加，且空间X满足适当的正则性，则始终保持定律不变性。我们从以下关于非扩张函数的简单引理开始。回想一下函数f:R→ 如果| f（x），则称R为非扩张的- f（y）|≤ |x个- y |对于所有x，y∈ R、引理5.8。让n∈ N并假设f，fn：R→ R是递增的f函数，求和R上的恒等函数。然后，f，fn是非扩展的。证据如果n=1，则该语句很明显，因此假设n>1。设置g=Pni=2平面，注意g是递增的，F和g的总和等于R上的恒等式函数。如果F不是非扩张的，我们会找到x，y∈ r使x>y和f（x）- f（y）>x- y、然而，在这种情况下，我们会得到g（y）- g（x）+x- y>x- y、这违反了g的单调性。因此，fm必须是非扩张的。显然，对于其他金融机构的每一个，都可以重复同样的论点。命题5.9。假设∧增加且f（X）∈ 对于每个非扩张函数f:R→ 兰德e非常X∈ 十、让n∈ N并设φ，^1n:X→ [-∞, ∞] 真，拟凸，σ（X，X*)-lowersemicontinuous和law不变性。然后ni=1хiis定律不变量。证据取任意X，Y∈ X表示X~ Y显然，这足以表明ni=1хi（X）≥ ni=1хi（Y）。（5.7）为此，让（X，…，Xn）∈ SX，n（X）。【33，定理2】中确定的共单调改进的存在确保我们找到一个共单调向量（Xc。

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2022-6-10 08:57:12

，Xcn）∈ SL，n（X）使得XciCXXI针对每个i∈ {1，…，n}。根据[12，命题4.5]中对共单调性的描述，Xc=f（X），Xcn=fn（X）对于适当的递增函数f，fn：R→ R求和为R上的恒等式函数。从引理5.8来看，这些函数是非扩张的。特别地，通过对X的假设，我们得到了所有随机变量fi（X）’和fi（Y）’都属于X。因此，∧（Д（X），^1n（Xn））≥ ∧（Д（f（X）），Дn（fn（X））=∧（Д（f（Y）），^1n（fn（Y）））≥ ni=1хi（Y）。这里，我们使用了∧的单调性和左侧不等式中定理3.6中建立的Schur凸性以及等式中的定律不变性。期望的不平等（5.7）现在通过在所有（X，…，Xn）中取最小值来实现∈ SX，n（X）。备注5.10。如果X是Orlicz空间，则立即验证f（X）∈ 对于每个非扩张函数f:R→ R和每X∈ 十、实际上，必须观察到| f（X）|≤ |X |+| f（0）|。更一般地说，只要X包含所有常量r和dom变量，并且在意义上对所有X都是实心的，这就是事实∈ X和Y∈ l如此| Y |≤ |X |它认为Y∈ 十、5.5特殊风险度量的双重r表示在本节中，我们扩展了风险度量文献中获得的各种双重r表示。Wesay a functionalД：X→ [-∞, ∞] 如果为所有X，则为现金加法∈ X和m∈ R我们有φ（X+m）=φ（X）- m、此外，我们说对于所有的共单调X，Y，ν是共单调的∈ X我们有ν（X+Y）=Д（X）+Д（Y）。我们的表述将遵循下一个引理中记录的一般延拓原理。引理5.11。让^1：X→ [-∞, ∞] be prop r，凸，σ（X，X*)-下半连续和定律不变。

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2022-6-10 08:57:15

此外，设我们是一个集合，并假设存在映射Φ：X×S→ [-∞, ∞] 和γ：S→ [-∞ , ∞]以便∞（十） =支持∈S{Φ（X，S）- γ（S）}，X∈ L∞.如果Φ（·，S）是凸的，σ（X，X*)-下半连续和对每S的定律不变∈ S、则Д（X）=supS∈S{Φ（X，S）- γ（S）}，X∈ 十、证据我们认为ψ与函数ψ：X重合→ [-∞, ∞] 定义为ψ（X）=supS∈S{Φ（X，S）- γ（S）}，X∈ 十、为了说明这一点，请注意ψ是凸的，σ（X，X*)-下半连续，并且我们假设Φ是定律不变的。还要注意的是∞根据ν的性质和定理4.2，是正确的。如果ψ（X）=-∞ 对于someX∈ 那么，[44，命题2.2.5]意味着ψ不能取任何有限值，这是不可能的，因为ψ| L∞ = ^1| L∞ . 因此，我们必须有ψ（X）>-∞ 对于每X∈ 十、|L的性质∞现在意味着ψ也是正确的。当ψ和ψ在L上重合时∞, 根据定理4.2，我们必须得到ψ=ψ，从而得出证明。作为首次应用，我们使用上述扩展原理推导出KusuokareRepresentation的一般公式。在正同质性假设下，[28]和[21]首次在有界随机变量空间中建立了该表示。后来，又在正同质性假设下，将其扩展到一般的Lebesguesetting，并将其扩展到一般的Orlicz设置。这里，对于每个s∈ [0，1]和每X∈ Lwe确定s级X的预期差额为（X）：=(-sRsqX（t）dt如果s∈ (0, 1],- 如果s=0，则为ess inf（X）。特别要注意的是，ES（X）=E[-十] 。此外，我们用P（（0，1））表示（0，1）上的概率度量集（配备Borelσ场）。提案5.12。假设X是一个重排不变空间。让^1：X→ [-∞, ∞] 适当，凸，σ（X，X*)-下半连续、不变律、递减和现金加法。

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2022-6-10 08:57:18

那么，我们得到了ν（X）=supu∈P（（0,1））（Z（0,1）ESs（X）du（s）- γ（u）），X∈ X，其中γ（u）=sup（Z（0,1）ESs（X）du（s）；十、∈ L∞, ^1（X）≤ 0), u ∈ P（（0，1））。证据请注意，对于所有X∈ X和u∈ P（（0，1）），积分r（0，1）ESs（X）du（s）定义得很好，因为（X）≥ E类[-十] 对于每个s∈ （0，1）。从[17，定理4.62]可以看出∞（十） =supu∈P（（0,1））（Z（0,1）ESs（X）du（s）- γ（u）），每X∈ L∞, 式中，γ（u）=sup（Z（0,1）ESs（X）du（s）；十、∈ L∞, ^1（X）≤ 0）每u∈ P（（0，1））。现在，考虑函数Φ：X×P（（0，1））→ (-∞, ∞] 由Φ（X，u）=Z（0,1）ESs（X）du（s）给出。很明显，对于每u∈ P（（0，1）），泛函Φ（·，u）是凸的，且具有定律不变性。我们声称Φ（·，u）满足Fatou属性。要看到这一点，请执行一个序列（Xn） X和X∈ X使得Xn→ 几乎可以肯定和支持∈N | Xn |∈ 十、设置Y=supn∈N | Xn |。因为埃斯拥有每个人的法图财产∈ （0，1）和ESs（Xn）≥ ESs（Y）≥ E类[-Y]对于所有s∈ （0、1）和n∈ N、我们得到Φ（X，u）=Z（0,1）limn→∞ESs（Xn）du（s）≤ lim信息→∞Z（0,1）ESs（Xn）du（s）=lim infn→∞Φ（Xn，u）由Fatou引理表示。这就建立了法头地产。有鉴于此，命题2.5暗示Φ（·，u）是σ（X，X*)-下部半连续。所需的表示现在遵循引理5.11。接下来，我们在共单调风险度量的情况下给出了Kusuoka表示的一般版本。我们用P（[0，1]）表示[0，1]上的概率测度集（配备Borelσ场）。提案5.13。假设X是一个重排不变空间。让^1：X→ [-∞, ∞] 适当，凸，σ（X，X*)-下半连续、定律不变、递减、现金加和共单调。然后，存在u∈ P（[0，1]），使得Д（X）=Z[0，1]ESs（X）du（s），X∈ 十、证据请注意，对于所有X∈ X和u∈ P（[0，1]）积分r[0，1]ESs（X）du（s）定义得很好，因为（X）≥ E类[-十] 对于每个s∈ [0, 1].

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