基于加权随机变量的最优停车问题的半可跟踪性

2022-6-24 05:32:12

最优停止问题的半可处理性采用加权随机网格算法。Belomestny、M.Kaledin和J.Schoenmakers2019年6月25日摘要本文提出了一种加权随机网格（WSM）算法，用于逼近离散和连续时间最优停止问题的值。我们证明了在离散情况下，WSMalgorithm导致相应的最优问题的半可处理性，即其复杂性按ε的顺序有界-4logd+2（1/ε），其中d是基础马尔可夫链的维数。此外，我们还研究了连续时间最优停止问题中的WSM方法，并推导了相应的复杂性界。虽然我们无法证明这种情况下的半可处理性，但我们的边界是文献中已知的现有算法的边界中最紧的边界。我们通过一个实例来说明我们的理论发现。1简介最优停止理论关注的是选择时间采取特定行动的问题，目的是最大化预期回报或最小化预期成本。这些问题可以在统计学、经济学和数学金融的许多领域找到（例如，美国期权的定价问题）。原始方法和对偶方法在文献中得到了发展，从而产生了用于高维离散时间停止问题的蒙特卡罗算法。求解高维离散最优停止问题通常基于反向动态规划原理，这在某种意义上与蒙特卡罗模拟的正向性质相矛盾。许多研究集中于开发快速方法来计算最优值函数的近似值。

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2022-6-24 05:32:15

这些方法大多基于蒙特卡罗路径上的某种类型的回归，有关概述，请参见[4]。从业者最广泛采用的回归算法之一是Longstaff-Schwartz算法。它基于在给定函数基础上通过最小二乘回归近似条件期望。Longsta off和Schwartz【13】通过大量数值例子证明了其最小二乘法的有效性，并在【6】和【17】中建立了该方法的一般收敛性。特别是，从[17]中的推论3.10可以看出，对于固定数量的停止机会和次数小于或等于m的多项式基函数的流行选择，在一个点上估计相应值函数的误差为lrmdn+mα！，（1）其中N是用于执行回归的路径数，α≥ 1与相应条件期望算子的光滑度有关，d是底层状态空间的维数。另一方面，由于在每个停止日期计算一个（随机）伪逆，最小二乘MC算法的计算成本为N m2dL阶。在平衡了（1）中的方差和近似误差后，我们得到了最小二乘法的复杂性，即构造精度为ε的值函数近似所需的（最小）“基本”求值数，被限定为一个不依赖于L byCL（ε，d）=L 5L（2+3d/α）ε2+3d/α的常数。（2）这意味着LIM supd%∞lim supε和0log CL（ε，d）d log（ε-1)= 3/α. （3）此外，如果我们下一步想要构造一个连续时间最优停止问题的近似值，那么我们需要让L→ ∞ 导致复杂性边界C∞（ε，d）=Oε-1/β（2+3d/α）ε-1/βε2+3d/α！，其中，假设时间离散化产生的误差为L阶-β对于某些0<β<1，与d无关。

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2022-6-24 05:32:18

这意味着limε和0log C∞（ε，d）对数（1/ε）=∞,结果表明，求解连续最优停止问题的最小二乘算法的复杂度甚至可能比exp（1/ε）增长更快。对于其他基于模拟的近似算法，也可以推导出类似的复杂度边界，请参见[9]，了解一种新的嵌套型MC方法，其复杂度依赖于多项式d，指数依赖于1/ε。如果有一个算法来解决一个复杂度C（ε，d）满足limd%的问题，我们称之为半可处理的问题∞limε和0log C（ε，d）d log（1/ε）=0。（4）我们对可处理性的定义应与[14]中的定义进行对比，在[14]中，如果有一种算法可以解决复杂度C（ε，d）满足limd+ε的问题，则该问题称为（弱）可处理的-1%∞对数C（ε，d）d+ε-1= 0.这一定义似乎与直觉相反，因为它带来了一个问题，例如，dexp阶的算法复杂性（1/εlog log。。。对数ε-1.) tobe（弱）可处理，而复杂度为2d／ε的算法则不可处理。在我们的设置中，维度d通常是固定的，与ε相关的复杂度是最重要的。本文证明了离散时间最优停止问题在（4）意义下是半可处理的。为此，我们采用了Broadie和Glasserman的网格方法[5]。通过使用适当的正则化对其进行增强，我们证明，在温和的条件下，只要底层马尔可夫链的转移密度在分析上是已知的或可以很好地近似，那么所得到的WSM（加权随机网格）算法的复杂性是令人满意的（4）。我们的算法与Rust的随机网格算法有一些相似之处【15】。然而，Rust[15]研究了具有紧致状态空间的离散时间中的马尔可夫决策问题。

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2022-6-24 05:32:21

让我们也注意到，文献中仍然缺少网格方法的完全收敛性和复杂性分析，有关一些初步结果，请参见Agarwal和Juneja【1】。在连续时间最优停止问题的情况下，我们不需要假设跃迁密度已知，但可以使用相应Euler格式的高斯跃迁密度。这导致了一个复杂度为O阶（cdε）的算法-（2d+14））对于一些常数>1。虽然这并不意味着连续时间最优停止问题的半可处理性，但所提出的算法非常简单，与最小二乘法相反，其复杂性保持在多项式ε。为了比较连续时间最优停车问题的不同算法，我们引入了所谓的半可跟踪性指数Γdef=lim supd%∞lim supε&0log C（ε，d）d log（1/ε）。（5）结果表明，在连续时间最优停车问题的现有算法中，WSM算法的半可跟踪性指数最小。本文的组织结构如下。第2节中给出了拟议算法的描述。第2.2节介绍了算法的收敛性和复杂性分析。在第3节中，我们讨论连续时间最优停止问题。所有证明都收集在第5.2节离散时间最优停止问题中。我们从描述离散时间最优停止问题的WSM算法开始。让我们假设一组有限的停止日期{0，…，L}，对于某些自然L>0，并且（Zl，L=0，…，L）是Rd中的马尔可夫链，适用于过滤（Fl，L=0，…，L）。对于给定的一组非负奖励函数gl，l=0，五十、在Rd上，我们考虑离散的Snell包络过程：Ul=Ul（Zl）def=esssupτ∈Tl，LEl[gτ（Zτ）]，（6）式中，Tl，l表示F-停止时间集，其值在{l。

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2022-6-24 05:32:24

，L}，和El：=Fl条件期望的EFlstands，由于过程（Zl）L的马尔可夫性，可测函数Ul（·）存在≥为简单起见，在不损失一般性的情况下，我们假设马尔可夫链（Zl）l≥0是时间均匀的，l阶跃迁密度由pl（y | x）表示，一阶密度由p（y | x）=p（y | x表示，因此p[Zk+1∈ dy | Zk=x]=p（y | x）dy.Fix一些x∈ Rd并假设Z=x。众所周知，Snellenvelope（6）满足动态规划原理，UL（ZL）=gL（ZL），（7）UL（ZL）=max{gL（ZL），E[UL+1（ZL+1）| ZL]}，l=0，L- 1、接下来，我们确定一些R>0，并定义上述动态程序viaeUL（ZL）=gL（ZL）·ZL的截断版本∈BR，（8）eUl（Zl）=最大NGL（Zl），EheUl+1（Zl+1）兹利奥·兹尔∈BR，l=0，L- 1，其中BRdef={z：| z- x |≤ R} 。因此，通过构造，EUL消失在球BR之外。同样通过构造，它保持了基尔克∞≤ GRdef=最大值0≤l≤Lsupz公司∈BRgl（z），（9），通过反向感应很容易看到。考虑到（8），我们可以写heul+1（Zl+1）Zl=xi=ZeUl+1（y）p（y | x）pl+1（y | x）pl+1（y | x）dy。现在假设我们有一组轨迹Z（n）l，l=0，五十、 Z（n）=x，n=1，N、根据一步跃迁密度p进行模拟，并考虑近似值：EheUl+1（Zl+1）Zl=xi≈NNXn=1eUl+1（Z（n）l+1）p（Z（n）l+1 | x）pl+1（Z（n）l+1 | x），其中根据查普曼-科尔莫戈罗夫方程pl+1（Z（n）l+1 | x）=Zp（Z（n）l+1 | Z）pl（Z | x）dz≈NNXm=1p（Z（n）l+1 | Z（m）l）。因此，我们有大约Yeheul+1（Zl+1）Zl=xi≈NXn=1eUl+1（Z（n）l+1）p（Z（n）l+1 | x）PNm=1p（Z（n）l+1 | Z（m）l）。（10）因此，我们提出以下算法。我们从ul（Z（n）L）def=gL（Z（n）L）Z（n）L开始∈br对于n=1，N、一旦Ul+1在0<l+1的网格上构建≤ 五十、我们设定（Z（r）L）def=max（gl（Z（r）L），NXn=1U（n）L+1（Z（n）L+1）p（Z（n）L+1 | Z（r）L）PNm=1p（Z（n）L+1 | Z（m）L））Z（r）L∈BR，（11）对于r=1，N、通过构造，每个函数ul在ballBR之外消失。

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2022-6-24 05:32:27

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2022-6-24 05:32:30

（16）接下来，我们控制UandeU之间的差异。命题3，FRDEF=Z Z | y-x个|≤Rp（y | x）pl+1（y | x）pl（x | x）dxdy，（17）和N使得（1+FR）/√N<1，它认为U-欧盟我≤3 +√LGR1+FR√N、推论4在命题2的假设下，我们对（17）theestimateFR≤κ（2πα）d/2Vol（BR）=κRd（2α）d/2Γ（1+d/2）≤ κ（e/α）d/2Rdd-d/2，LS WSM QTM3/α0 2表1：离散时间最优停止问题的不同算法的半可处理性指数，其中最后一个不等式来自Γ（1+a）≥ aae公司-a对于任何a≥ 1/2. 然后，通过将（16）与命题3相结合，我们得到了误差估计，EU- U≤ Lcgκ1+cZ+cZ | x |+cZ√dαLd/4e-R8αL+3 +√Lcg（1+R）1+κ1/2（e/α）d/4Rd/2d-第4天√N、（18）命题5在命题2的假设下，WSM算法的复杂性从上到下为c（ε，d）=cαcgκc（d）fcdLd+7ε-4×对数+2L（1+cZ+cZ | x |）ecZ√αL1+cZ+cZ | x | 3/4（cgκ∨ 1)ε, （19）其中，c>0和c>1是自然常数，c（d）F代表计算某一点（x，y）处的转变密度pl（y | x）的成本。推论6对于固定L>0的离散时间最优停止问题（6），g和（Zl）L≥0满足（13）、（14）和（15）是半可处理的，前提是计算某一点（x，y）处的转移密度pl（y | x）的复杂性是d中的大多数多项式。可以使用半可处理性指数（5）比较离散时间最优停止问题的不同近似算法。例如，从（3）可以看出，Leatsquares（LS）方法的半可跟踪性指数等于3/α。因此，随着问题的平滑度增加，它趋于0。

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2022-6-24 05:32:33

此外，通过检查[3]中的定理2.4，我们发现量化树（QT）方法具有半可跟踪性指数2.2.3过渡密度的近似值半可跟踪性保持的关键条件是链（Zl）l的过渡密度p（y | x）的可用性≥0处于关闭状态。然而，可以表明，如果一个近似密度序列pn（y | x），n∈ N、收敛到p（y | x）可以这样构造pn（y | z）- p（y | z）pn（y | z）.（1+| y- x | m+| z- x | m）nn！，y、 z∈ BRn（20）对于某些m∈ N和a序列Rn%∞, n%∞, 然后，在适当假设RN的增长和计算pn的成本（事实上，它应该是d中的atmost多项式）的情况下，可以得出满足Limε和0log C（ε，d）的复杂性界C（ε，d）logε是有限的，不依赖于d。为了构造一个满足假设（20）的近似序列pn（y | z），可以对随机过程的跃迁密度使用各种小时间展开，例如参见[2]和[12]。让我们举例说明一下一维微分过程的这种近似形式：dXt=b（Xt）dt+σ（Xt）dWt，X=X，其中b是一个有界函数，两次连续可微分，具有有界导数，σ是一个具有三个连续有界导数的函数，因此存在两个正常数σo, σo带σo≤ σ（x）≤ σo. 考虑一个马尔可夫链（Zl）≥0定义为（Xt）t的时间离散化≥0，即Zldef=Xl、 l=0，1，2。对一些人来说 > 0

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2022-6-24 05:32:36

在上述条件下，链Z的（一步）跃迁密度p的以下表示在[8]中得到了改进（更一般的设置参见[7]）：p（y | x）=√2πσ（y）exp-（s（x）- s（y））2U（s（x），s（y）），x，y∈ R、带U（x，y）=R（x，y）扩展Rx'b（z）dz-Ry'b（z）dz,R（x，y）=E经验值-Z′ρ（x+Z（y- x）+√Bz）dz, （21）其中Bzis是标准布朗桥，s（x）=Rxdyσ（y），g=s-1和带b=（b/σ）的ρ=（\'b+\'b）/2o g级- σo g/2。通过将（21）中的指数展开为泰勒级数，我们得到小enoughp（x | y）=√2πσ（y）exp-（s（x）- s（y））2×经验值Zx'b（z）dz-Zy'b（z）dz∞Xk=0kk！ck（x，y）带ck（x，y）=(-1） kE“Z′ρ（x+Z（y- x）+√Bz）dzk#。如果ρ一致有界于常数D>0，则上述级数在x和y上均一致收敛足够小。Setpn（x | y）=√2πσ（y）exp-（s（x）- s（y））2×经验值Zx'b（z）dz-Zy'b（z）dz（nXk=0kk！ck（x，y））。它显然保持pn（y | x）>0 < （D）以及pn（y | z）- p（y | z）pn（y | z）≤(D） n（1- D扩展(D））（22）对于所有x、y∈ R、因此，假设（20）满足m=0，前提是 < 对一些人来说仅取决于D。类似地，如果|ρ≤ 0，则（20）保持不变。为了从Pn中取样，我们可以使用众所周知的acceptancerejection方法，该方法不需要精确的比例因子Rrpn（y | x）dy.3连续时间最佳停止进行区分。在本节中，我们考虑了Dxis=bi（Xs）ds+mXj=1σij（Xs）dWjs，Xi=Xi，i=1，d、（23）其中b:Rd→ Rd和σ：Rd→ Rd×m是Lipschitz连续的，W=（W，…，Wm）是概率空间上的m维标准维纳过程(Ohm, F、 P）。通常，由（Ws）生成的（增强）过滤≥0isdenoted by（Fs）s≥0

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2022-6-24 05:32:39

我们感兴趣的是解决形式为：U？t=esssupτ∈Tt，TE[e-r（τ-t） f（Xτ）| Ft]，（24），其中f是Rd，r上的给定实值函数≥ 0和Tt，t代表停车时间τ的集合，取[t，t]中的值。问题（24）与相应偏微分方程的所谓自由边界问题有关。让我们介绍微分算子Lt:Ltu（t，x）=dXi，j=1aij（x）uxixj（t，x）+dXi=1bi（x）uxi（t，x），其中ij（x）=dXk=1σik（x）σjk（x）。我们用Xt，xs（或Xt，x（s）），s表示≥ T、（23）从x:Xt，Xt=x的动量T开始的解。用u（T，x）表示以下偏微分不等式组的正则解：ut+Ltu- 俄罗斯≤ 0，u≥ f、（t，x）∈ [0，T）×Rd，（25）ut+Ltu- 俄罗斯（f）- u） =0，（t，x）∈ [0，T）×Rd，u（T，x）=f（x），x∈ Rd，然后在一些温和的条件下（参见，例如[10]）u（t，x）=supτ∈Tt，TE[e-r（τ-t） f（Xt，xτ）]，（t，x）∈ [0，T]×Rd，（26）也就是说，u（T，x）=u？t（x）。有了这个符号，我们就有必要讨论一下本节将要讨论的主要问题。我们的目标是通过一个复杂度为C？的算法，在给定的点（t，x）上以小于ε的精度估计u（t，x）？（ε，d），它是1/ε中的多项式。正如引言中已经提到的，一些众所周知的算法，如回归算法，无法实现这一目标（至少根据文献中现有的复杂性界限）。让我们介绍一下斯内尔包络过程：U？tdef=esssupτ∈Tt，TEFt[g（τ，Xτ）]，（27），其中（比（24）中更一般）g是R上的给定非负函数≥0×Rd。在第一步中，我们通过引入一组有限的停止日期tl=lh，l=1，…，来执行时间离散化。

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2022-6-24 05:32:42

，L，其中h=T/L，L是一个自然数，接下来考虑离散化的Snell包络过程：Uotl（Xtl）def=ESSUPτ∈Tl，LEFtl[g（τ，Xτ）]，其中Tl，l表示停止时间集，其值在{Tl，…，Tl}集中。注意，可测量函数Uotl（·）的存在是由于过程X的马尔可夫性。时间离散化引起的误差在文献中得到了很好的研究。我们将依赖Thm隐含的以下结果。例如，在[3]中为2.1。命题7让g:[0，T]×Rd→ R为Lipschitz连续且p≥ 1、那么一个最大值为0，。。。，LUtl（Xtl）- Uotl（Xtl）p≤co欧共体oT（1+| x |）L，其中常数co, Co> 0分别取决于b、σ和G的Lipschitz常数。为了获得可接受的离散化误差，我们选择了一个有效的大L，然后重点计算Uo.在下一步中，我们在时间网格ti=iT/L，i=0，…，上使用一些强离散化方案来近似基本过程X，五十、产生近似X。假设该方案的一步跃迁密度是明确已知的。最简单和最流行的方案是Theuler方案，Xitl+1=Xitl+bi（Xtl）h+mXj=1σij（Xtl）Wjtl+1- Wjtl公司, Xi=Xi，（28）i=1，d、一般具有强收敛阶1/2，链的一步跃迁密度（Xtl+1）l≥0由“ph（y | x）def=q（2πh）d |∑exp”给出-h类-1（y- x个- b（x）h）>σ-1（y- x个- b（x）h）（29）带∑=σ>∈ Rd×dand h=T/L。现在我们将转向离散时间最优停车问题，可能的停车时间{tl=lh，L=0。

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2022-6-24 05:32:45

，L}。为此，我们将离散时间马尔可夫链Zldef=xtladapted引入过滤（Fl）def=（Ftl）和gl（x）def=g（tl，x）（略微滥用符号），并考虑离散化的斯内尔包络处理（Xtl）def=esssupτ∈Tl，左Lg（τ，Xτ）= esssupι∈Il，LEFl[gι（Zι）]def=Ul（Zl），（30），其中，由于进程x（或Z）的马尔可夫性，Il，l表示具有{l，…，l}值的停止指数集，以及可测量函数Utl（·）（或Ul（·））存在。U和U之间的距离o由下一个命题控制。命题8存在一个常数CEuler>0，取决于b、σ和g的Lipschitz常数，因此Maxl=0，。。。，LE公司Uotl（Xtl）- Utl（Xtl）≤ 塞勒√h、因此，将命题7和命题8结合起来产生。推论9如果X由时间步长h=T/L的Euler格式构造，其中L是离散化步数，那么在命题7和命题8的条件下，我们得到了e[| U？（X）- U（x）|]。塞勒√h代表h→ 0，（31）其中。表示根据c达到常数的不等式o, Co还有CEuler。由于Euler格式的转移密度是明确已知的（见（29）），WSM算法可以直接用于构建基于马尔可夫链（Zl）路径的近似U（x）。为了推导得出的估算结果的复杂度界限，我们将做出以下假设。（AG）假设cg>0等于g（t，x）≤ 所有0的重心（1+| x |）≤ t型≤ T、 x个∈ Rd.（32）（AX）假设存在一个常数c'X>0，使得对于所有0≤ l≤ 五十、 EFtlhsupl≤l≤LXlh公司Xlh=xi≤ c'X（1+| X |），X∈ Rd，（33）在L中均匀分布（因此为h）。在Lipschitz条件下，该假设在SDE（23）的系数上得到满足，并且可以使用Burkholder-Davis-Gundy不等式和Gronwall引理加以证明。（AP）进一步假设Xlh，l=0。

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2022-6-24 05:32:48

L时间与满足Aronson型不等式的跃迁密度plh（y | x）齐次：存在正常数κ和α，因此对于任何x，y∈ Rd和任何l>0时，它保持PLH（y | x）≤κ（2παlh）d/2e-|x个-y | 2αlh。如果（23）中的系数有界且σ一致椭圆，则该假设成立。下一个命题为连续时间最优停止问题的WSM算法提供了复杂性边界。命题10假设假设假设（AG）、（AX）和（AP）成立，那么o通过WSM算法计算精度ε>0的固定L>0的U（x）in（30）的成本在c（ε，d）=cαcgκc（d）fcdTd+7hd+5×ε以上-4日志D+2Th（1+c'X+c'X'X'）ec'X√αT1+c'X+c'X'3/4（cgκ∨ 1)ε. （34）LS WSM QTA∞ 2表2：连续时间最优停车问题不同算法的半可处理性指数计算U的成本？（x）在精度ε>0的情况下，通过WSM算法以C为界？（ε，d）=cαcgκc（d）fcdTd+7ε2d+14×logd+2T（1+c'X+c'X'X'）ec'X√αT1+c'X+c'X'3/4（cgκ∨ 1)ε. （35）第一个陈述直接来自命题5，采用（19），α=αh，cZ=c'X，L=T/h。然后设置h ε我们得到（35）（可能修改了自然常数c，c）。讨论见（35），ΓWSM=limd%∞直线度ε和0对数C？（ε，d）d对数ε-1=2（36），这表明所提出的算法与连续时间最优停车问题的现有算法相比，至少在半可跟踪性指数方面是有效的。事实上，文献中唯一具有可证明的有限类型限制（36）的算法是Bally、Pag\'es和Printems的量化树算法（QTA）[3]。事实上，通过使停止次数和量化次数趋于一致，使得Thm中相应的误差。

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2022-6-24 05:32:51

[3]中的2.4-b是平衡的，我们推导出以下复杂度上界c？QTA（ε，d）=Oε6d+6（37）因此ΓQTA=6.4数值实验在以下实验中，我们在连续时间最优停止问题的情况下说明了WSM算法。WSM算法的下界可以使用在独立轨迹集上计算的次优策略来获得。该策略可以直接通过（10）或使用似然权重sp（Z（j）l+1 |·）PNm=1p（Z（j）l+1 | Z（m）l）的插值来构造。做到这一点的最快和最简单的方法是使用基于轨迹训练集的最近邻插值，在所有实验中，将“邻居数”设置为500。4.1一个美国人在一个资产上放置，以说明WSM算法在连续时间内的性能，我们考虑了一个单对数布朗资产上美式看跌期权定价的财务问题，该资产TXT=Xexp（σWt+（r- σ/2）t），其中r表示无风险利率，假设为常数，σ表示恒定波动率。Payoff函数由g（x）=（K）给出-x） +且期权的公平价格为u=supτ∈T[0，T]Ee-rτg（Xτ）.该期权价格的闭合形式解未知，但有各种数值方法可以精确近似V。使用的参数值为r=0.08，σ=0.20，δ=0，K=100，T=3。通过二叉树型算法获得的真实价格的准确估计值为6.9320（见【11】）。在图1中，我们显示了由于WSM、Longstaff和Schwartz[13]（LS）的最小二乘法以及Tsitsiklis和Van Roy[16]（VF）的值函数回归算法，作为在[0，T]上形成均匀网格的停止次数L的函数。

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2022-6-24 05:32:55

由于在一组新的独立轨迹上估计了估计的连续值，这些下界是使用次优停止规则构造的。在LS和VF中用作基函数的多项式的最大阶数由图例中的数字（2和4）表示。可以看出，当NL增加时，WSM下界更稳定。VF下限似乎随着L的变化而变化→ ∞.5证明5.1命题1的证明l=l陈述已读UL（x）-eUL（x）pL（x | x）dx=Z | x-x |>Rg（x）pL（x | x）dx=εL，R，20 40 60 80 100L5.25.45.65.86.06.26.46.66.8期权价格，N=1000WSMLowVF2LowLS2VF4LowLS420 40 60 80 100L5.25.45.65.86.06.26.46.66.8期权价格，N=2000WSMLowVF2LowLS2VF4LowLS4（a）（b）图1：使用不同方法和统一方法近似的一维美式看跌期权价格的下限网格tk=kT/L，k=0，五十、行使日期。训练路径的数量为Ntrain=1000（a）和Ntrain=2000（b），在这两种情况下，用于构造下界的新轨迹的数量为Ntest=20000。在LS和VF回归方法中，使用2次和4次多项式基。所以这是真的。假设（12）对于0<l+1为真≤ L

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2022-6-24 05:32:58

然后，使用| max（a，b）- 最大值（a，c）|≤ |b- c |和eul（x）为| x消失的事实- x |>R，Ul（x）-eUl（x）≤ 1 | x-x个|≤R | max[克（x），E[升+1（Xl+1）| Xl=x]]-最大Hg（x），EheUl+1（Xl+1）Xl=xii+ 1 | x-x |>RUl（x）≤ 1 | x-x个|≤REh公司Ul+1（Xl+1）-eUl+1（Xl+1）Xl=xi+1 | x-x |>RUl（x）。因此我们有归纳法，ZUl（x）-eUl（x）pl（x | x）dx≤Z | x-x |>REhUl+1（Xl+1）-eUl+1（Xl+1）Xl=xipl（x | x）dx+εl，R≤ZUl+1（y）-eUl+1（y）pl+1（y | x）dy+εl，R=LXj=l+1εj，R+εl，R=LXj=lεj，R.5.2命题2的证明，结合假设（32）和（33）收益率，Ul（x）=esssupτ∈Tl，LE[gτ（Zτ）| Zl=x]≤ cgE1+最大值≤l≤L | Zl|Zl=x≤ cg（1+cZ）+cgcZ | x |。使用Z | x-x |>Re-|x个-x | 2αldx≤ e-R8αl（4/3）d/2（2παl）d/2，和z | x-x |>R | x- x | e-|x个-x | 2αldx≤sZ | x-x |>Re-|x个-x | 2αldxsZ | x- x | e-|x个-x | 2αldx≤ e-R8αld/4（2παl）d/2√dαlwe get（注意（4/3）1/2<21/4），εl，R≤κ（2παl）d/2Z | x-x |>R（cg（1+cZ）+cgcZ | x |）e-|x个-x | 2αldx≤κcg（1+cZ+cZ | x |）（2παl）d/2Z | x-x |>Re-|x个-x | 2αldx+κcgcZ（2παl）d/2Z | x-x |>R | x- x | e-|x个-x | 2αldx≤ κcg1+cZ+cZ | x |+cZ√dα√ld/4e-R8αl≡A+B√lcgκe-R8αl，用于l≥ 1（ε0，R>0时R=0）。现在到（12），即命题1，我们得到Ul（x）-eUl（x）pl（x | x）dx≤ LA+B√Lcgκe-R8αL，由此估算（16）。5.3命题3的证明让我们为步骤l编写基于样本的反向动态程序（11）<Lin形式，UlZ（i）l=Z（i）l-x个≤Rmaxgl（Z（i）l），NXj=1Ul+1（Z（j）l+1）wij（38）通过定义权重wij：=p（Z（j）l+1 | Z（i）l）PNm=1p（Z（j）l+1 | Z（m）l），（39），其中l是固定和抑制的。对于一般的Borel函数f，让我们进一步缩写为[f]（x）=E[f（Zl+1）| Zl=x]=Zf（y）p（y | x）dy≥ 0

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2022-6-24 05:33:01

使用，eUlZ（i）l=Z（i）l-x个≤Rmaxhgl（Z（i）l），E[eUl+1]（Z（i）l）i，（38）和| max（a，b）- 最大值（a，c）|≤ |b- c |，我们因此得到联邦制药-eUl公司N： =NNXi=1Ul（Z（i）l）-eUl（Z（i）l）≤NNXi=1Z（i）l-x个≤RNXj=1升+1（Z（j）升+1）wij- E[eUl+1]（Z（i）l）≤NNXi=1Z（i）l-x个≤RNXj=1wijUl+1（Z（j）l+1）-eUl+1（Z（j）l+1）+NNXi=1Z（i）l-x个≤RNXj=1eUl+1（Z（j）l+1）wij- E[eUl+1]（Z（i）l）≤:Ul+1-eUl+1N+Rl+1，（40），使用（39）中的权重总和为1。因此，可以通过迭代（40）获得，英国-欧盟N≤L-1Xl=kRl+1（41）sinceUL-eUL=0。现在让我们介绍一下oij：=Np（Z（j）l+1 | Z（i）l）pl+1（Z（j）l+1 | x），（42），并考虑通用术语RL+1=NNXi=1Z（i）l-x个≤RNXj=1eUl+1（Z（j）l+1）wij- E[eUl+1]（Z（i）l）≤NNXi=1Z（i）l-x个≤RNXj=1eUl+1（Z（j）l+1）wij公司- woij公司+NNXi=1Z（i）l-x个≤RNXj=1woijeUl+1（Z（j）l+1）-NE[eUl+1]（Z（i）l）=: 期限+期限。由于（9）一个有，期限≤GRNNXi=1NXj=1Z（i）l-x个≤RZ（j）l+1-x个≤Rwij公司- woij公司,根据（39）和（42），我们可以写，wij公司- woij公司=p（Z（j）l+1 | Z（i）l）PNm=1p（Z（j）l+1 | Z（m）l）-Np（Z（j）l+1 | Z（i）l）pl+1（Z（j）l+1 | x）=p（Z（j）l+1 | Z（i）l）PNm=1p（Z（j）l+1 | Z（m）l）1.-NPNm=1p（Z（j）l+1 | Z（m）l）pl+1（Z（j）l+1 | x）.因此获得，期限≤GRNNXj=1Z（j）l+1-x个≤R1.-NPNm=1p（Z（j）l+1 | Z（m）l）pl+1（Z（j）l+1 | x）.我们现在要估计[Rl+1]。E[期限]+E[期限]。它认为≤GRNE“Z（1）l+1-x个≤RNXm=11-p（Z（1）l+1 | Z（m）l）pl+1（Z（1）l+1 | x）！#≤GRNDR+GRNE“NXm=2Z（1）l+1-x个≤R1级-p（Z（1）l+1 | Z（m）l）pl+1（Z（1）l+1 | x）！#withDR：=E“Z（1）l+1-x个≤R1.-p（Z（1）l+1 | Z（1）l）pl+1（Z（1）l+1 | x）#.现在考虑i.i.d.随机变量η（l+1）m：=Z（1）l+1-x个≤R1级-p（Z（1）l+1 | Z（m）l）pl+1（Z（1）l+1 | x）！，m=2。。。，N、平均值为零。

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2022-6-24 05:33:04

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2022-6-24 05:33:07

因此，我们首先取ε，d=（8αL）1/2log1/2Lcgκ1+cZ+cZ | x |+cZ√dαL1+d/4ε，即R%∞ 当d+ε-1% ∞. 然后带上表示R%∞ 直到某个自然常数，Nε Lcgκ（e/α）d/2d-d/2Rd+2εε-2. αcgκ（8e/d）d/2Ld/2+3×ε-2日志/2+1升1+cZ+cZ | x |+cZ√dαL1+d/4cgκε。因此，计算工作量（复杂性）由c（d）fNεL给出≤ cαcgκc（d）f（8e/d）dLd+7×ε-4logd+2L1+cZ+cZ | x |+cZ√dαL1+d/4cgκε（44），其中cis为自然常数。现在让我们写下-dlogd+2升1+cZ+cZ | x |+cZ√dαL1+d/4cgκε=dlogd+2L1/d1+cZ+cZ | x |+cZ√dαL1/d1/d+1/4（cgκ）1/dε1/d.然后，使用基本估计a+b√d1/天≤ aeb/a，对于a，b>0，d≥ 假设ε<1，（44）表示（19）。5.5命题8的证明一方面，一个hasUotl（Xtl）- Utl（Xtl）=esssupτ∈Tl，LEFtl[g（τ，Xτ）]- esssupτ∈Tl，左Lg（τ，Xτ）≤ esssupτ∈Tl，左Lg（τ，Xτ）- g（τ，Xτ）≤ esssupτ∈Tl，左Lg（τ，Xτ）- g（τ，Xτ）,另一个有相似的UTL（Xtl）- Uotl（Xtl）=esssupτ∈Tl，左Lg（τ，Xτ）- esssupτ∈Tl，LEFtl[g（τ，Xτ）]≤ esssupτ∈Tl，左Lg（τ，Xτ）- g（τ，Xτ）≤ esssupτ∈Tl，左Lg（τ，Xτ）- g（τ，Xτ）.因此我们得到Uotl（Xtl）- Utl（Xtl）≤ Esup0≤s≤Tg（s，Xs）- g（s，Xs）≤ LgE公司sup0≤s≤TXs型- Xs型≤ 塞勒√h、由于Euler格式的强阶性，对于g.References【1】Ankush Agarwal和Sandeep Juneja，Lg是一些Lipschitz常数。比较了百慕大期权定价的随机网格法和最小二乘法的最优收敛速度。《2013年冬季模拟会议论文集：模拟：在复杂世界中做出决策》，第701-712页。IEEE出版社，2013年。[2] 罗伯特·阿森科特。小规模临时就业：发展机会研讨会。一、在《数学讲师》第1059卷第十八期《概率研讨会》中。，第402–498页。柏林斯普林格，1984年。[3] 弗拉德·巴里、吉勒·帕格斯和雅克·普林特姆斯。

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