风险和可变性的扩展基尼型度量

2022-6-1 04:26:04

风险和变量的扩展基尼型测度Mohammed Berkhouch*LGII，ENSA，摩洛哥阿加迪尔Ibn Zohr大学。电子邮件：mohammed。berkhouch@edu.uiz.ac.maGhizlane摩洛哥阿加迪尔Ibn Zohr大学ENSA LakhnatiLGII。电子邮件：g。lakhnati@uiz.ac.maMarcelo巴西阿雷格里港南里奥格兰德联邦大学。电子邮件：marcelo。righi@ufrgs.brOctober本文的目的是引入一种风险度量，通过考虑风险规避，扩展了基尼类型的风险和可变性度量，即扩展基尼缺口。我们的风险度量是一致的，并抓住了可变性，这是风险管理的一个重要概念。分析是在Choquetintegral表示框架下进行的。我们展示了在已知分布函数下的解析计算结果。此外，我们还提供了一个实际应用。JEL分类：C6、G10关键词：风险度量、可变性度量、风险厌恶、签名Choquet积分、扩展基尼缺口。1简介在现代风险管理中，文献中提出了大量的风险措施。这些指标是从一组随机变量（财务损失）到实数的映射。首先，重点是预期回报的可变性，众所周知的方差也是如此。在金融系统崩溃和危机之后，*通讯作者。电话号码：（+212）6 10 88 46 86。与基于尾部的风险度量相关的一个显著趋势已经出现，尤其是当今最流行的风险度量：风险价值（VaR）和预期缺口（ES）。然而，这种风险度量并没有捕捉到财务状况的可变性，这是一个原始但相关的概念。

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能者818

2022-6-1 04:26:08

为了解决这个问题，一些作者提出并研究了风险度量的具体示例。在这个意义上，菲舍尔（Fischer）[8]考虑将平均值和半偏差相结合。关于尾部风险，Furman和Landsman【10】提出了一种通过VaR衡量截断尾部的平均值和标准偏差的方法，而Righi和Ceretta【17】则考虑通过损失的分散度来实现ES。从实践的角度来看，Righi和Borenstein【18】探讨了这一概念，称这种方法为损失偏差，用于投资组合优化。Righi[19]以更普遍的方式介绍了风险和可变性度量组成的结果和示例，以确保坚实的理论属性。最近，Furman等人【11】引入了基尼缺口（GS）风险度量，该度量是一致的，满足协单调可加性。GS是ES和基于尾部的基尼系数之间的组合。然而，GS假设所有个体对风险的态度都是相同的，而代理人在做出涉及风险的个人决策的方式上有所不同，因为他们对风险的厌恶程度不同。为了将这种心理行为纳入尾部风险分析，我们引入了广义的GS。这种风险度量称为扩展基尼缺口（EGS），它捕捉到了可变性的概念，满足了协单调可加性特性，并且在其荷载参数的必要和有效条件下是一致的。考虑决策者的风险厌恶，再加上这些属性，与代理人在寻找可测量的风险度量时所寻求的一致。本文采用的方法将我们引入Acerbi[1]提出的谱风险度量的新家族，该家族具有一个吸引人的加权函数。从这个意义上讲，我们将以单独的方式讨论variabilityterm和组合风险度量的属性。

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2022-6-1 04:26:10

此外，我们还详细讨论了上述加权函数中各参数的作用。此外，我们还展示了在已知分布函数下计算EGS的解析公式的结果。我们在这篇论文中的重点是理论结果，但这种方法引起了进一步的forthcominginvestigations。从这个意义上讲，我们新的风险度量系列的风险预测是一个值得进一步单独调查的主题，这将在未来几年内进行。论文的其余部分组织如下。在第2节中，我们介绍并讨论了一些预备知识，如风险和可变性度量的基本属性，以及符号Choquet积分的作用。在第3节中，我们从经典基尼泛函和扩展基尼泛函开始，介绍这一概念，并探讨我们称之为尾部扩展基尼泛函和扩展基尼短缺的性质。在第4节中，我们给出了椭圆分布风险度量类的闭合形式，然后导出了均匀、正态和Student-t情形。第5节说明了引入的风险度量类别在实践中的应用。2序言我们首先介绍一些基本符号。让(Ohm, A、 P）是无原子概率空间。所有的方程和不等式几乎都是P意义上的。设Lq，q∈ [0, ∞), 表示所有随机变量（从现在起为rv）的集合(Ohm, A、 P）具有有限的q动量和L∞是所有基本有界rv的集合。在本文中，X∈ 当财务损失（利润）为正值（负值）时，Lis arv对其进行建模。对于everyX∈ 五十、 fx表示X的cdf，ux表示任何均匀的[0，1]rv，使得方程F-1X（UX）=X保持不变。R¨uschendorf（[21]，提案1.3）保证了此类rv的存在。我们将xpas表示为X的p-分位数。

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2022-6-1 04:26:13

当（X（ω）时，两个rv的X和Yare是共单调的- X（ω））（Y（ω）- Y（ω））≥ 0表示（ω，ω）∈ Ohm × Ohm （P×P）-几乎可以肯定。在本文中，我们处理了几个凸锥X ofrv，其中X=Lis特别重要，L∞始终包含在X中。我们首先揭示风险和可变性度量的定义。我们在整篇文章中假设所有泛函都尊重以下性质，这是直接从其分布函数获得泛函的必要条件。定义2.1。如果函数f满足以下性质，则称其为定律不变性：（A）定律不变性：如果X∈ X和Y∈ X在P下具有相同的分布，简洁地说Xd=Y，然后f（X）=f（Y）。定义2.2。风险度量是一个函数ρ：X→ (-∞, ∞], 这可能会满足以下特性：（B1）单调性：ρ（X）≤ ρ（Y）当X，Y∈ X是这样的X≤ 几乎可以肯定。（B2）平移不变性：ρ（X+m）=ρ（X）+m，对于所有m∈ R和X∈ 十、（A1）正同质性：ρ（λX）=λρ（X），对于所有λ>0和X∈ 十、（A2）次加性：ρ（X+Y）≤ ρ（X）+ρ（Y），对于所有X，Y∈ 十、（A3）共单调可加性：ρ（X+Y）=ρ（X）+ρ（Y），对于每个共单调对，Y∈ 十、如果风险度量满足属性（B1）和（B2），则为货币度量；如果风险度量满足属性（A1）和（A2），则为一致性度量。备注2.3。关于这些性质的解释，我们请读者参考F¨ollmer and Schied（[9]，第4章），Delbaen[6]和McNeil等人[16]。例如，functionalsVaR和ES都是货币的，并且是协单调加性的，而ES甚至是相干的。定义2.4。

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nandehutu2022

2022-6-1 04:26:16

函数ν：X→ [0, ∞] 是一种可变性的度量，它可能符合以下特性：（C1）标准化：对于所有c，ν（c）=0∈ R、（C2）位置不变性：ν（X+c）=所有c的ν（X）∈ R和X∈ 十、（A1）正同质性：对于所有λ>0和X，ν（λX）=λν（X）∈ 十、受Rockafellar等人[20]偏差度量概念的启发。（A2）次加性：ν（X+Y）≤ ν（X）+ν（Y）对于所有X，Y∈ X（A3）共单调可加性：ν（X+Y）=对于每个共单调对，Y∈ 十、如果进一步满足（C1）、（C2）、（A1）和（A2），则可变性度量是一致的。备注2.5。例如，最经典的可变性度量是方差和标准差。方差函数满足属性（A）、（C1）、（C2），但不满足（A1）或（A2），因此不一致。另一方面，由于满足所有上述性质，标准偏差函数是一致的。方差和标准差都不是协单调可加的。此后，有符号Choquet积分的概念起着关键作用。它起源于Choquet[4]，在能力的框架内，由Schmeidler（[22]，[23]）在决策理论中进一步描述和研究。定义2.6。函数h：[0，1]→ 当R为非递减且满足边界条件h（0）=0和h（1）=1时，称其为畸变函数。设h为一个位移函数，该函数由以下等式定义：I（X）=Z∞(1 - h（FX（x）））dx-Z-∞h（FX（x））dx（2.1），适用于所有x∈ X称为（递增）Choquet积分。每当h：[0，1]→ R是有限变量，I称为有符号Choquet积分。备注2.7。当h是右连续的，则方程（2.1）可以重写为（Wanget al.[25]）：I（X）=ZF-1X（t）dh（t）。（2.2）此外，当h是绝对连续的，φa函数使得dh（t）=φ（t）dt，那么方程（2.2）变成：I（X）=ZF-1X（t）φ（t）dt。

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kedemingshi

2022-6-1 04:26:19

（2.3）在这种情况下，φ被称为有符号Choquet积分I的加权泛函。备注2.8。有符号Choquet积分是共单调可加的，我们可以从表示式（2.2）中很容易看到（参见Schmeidler[22]）。此外，我们从Yaari【26】和F¨ollmer and Schied（【9】，定理4.88）中了解到，任何法律不变的风险度量都是单调可加的和货币的，当且仅当它可以表示为Choquetintegral。此外，当且仅当函数h是凸时，函数I是次可加的（参见Yaari[26]和Acerbi[1]）。此外，正如Furman等人[11]所证明的，关于加权泛函φ，积分是单调的当且仅当φ≥ 当且仅当φ在[0，1]上不递减时，它是次可加的。（递增的）Choquet积分和有符号积分之间的主要区别在于，后者更一般，不一定是单调的。我们特别感兴趣的一个实际和理论原因是，我们知道一个合适的风险度量应该是单调的，这是Artzner等人提出的[2]，但这个问题与可变性度量无关。换言之，只要涉及变量的度量，有符号Choquet积分就是相关的。下面的定理是在Furman等人的一个完整证明中阐明的。[11] 给出了变率的共单调可加测度和相干测度的刻划。定理2.9。设ν：Lq→ R是任何Lq连续函数。以下三个陈述是等价的：（i）ν是一个共单调可加且相干的可变性度量。（ii）存在一个凸函数h：[0，1]→ R、 h（0）=h（1）=0，使得ν（X）=ZF-1X（u）dh（u），X∈ Lq。（2.4）（iii）存在一个非递减函数g：[0，1]→ R使得ν（X）=Cov[X，g（UX）]，X∈ Lq。

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2022-6-1 04:26:22

（2.5）接下来，我们回顾一些在经济学、保险、金融和概率论中流行的可变性偏序：定义2.10。对于X，Y∈ 五十、 X是二阶随机支配（SSD）byY，简洁地说是XSSDY，如果E【f（X）】≤ E[f（Y）]对于所有增凸函数f。如果另外，E[X]=E[Y]，那么我们说X在凸阶上小于Y，简洁地说是XCXY。在此框架下，我们具有以下风险和可变性度量属性：（B3）SSD单调性：如果XSSDY，然后ρ（X）≤ ρ（Y）。（C3）CX单调性：如果XCXY，然后ν（X）≤ ν（Y）。备注2.11。让q∈ [1, ∞], 关于Lqall，实值律不变的相干风险测度是SSD单调的。我们请读者参考Dana【5】、Grechuk等人【14】、F¨ollmer和Schied【9】来证明上述断言，并参考Mao和Wang【15】来描述SSD单调风险度量。3扩展基尼短路在本节中，我们展示了我们的主要贡献，它基于基尼系数，一个由Corrado Gini引入的自由中心可变性度量，作为方差度量的替代（例如，Giorgi（[12]，[13]），Ceriani和Verme[3]）。基尼系数在许多研究领域都具有显著的影响力（例如，Yitzhakian和Schechtman[30]及其参考文献）。伊扎基（Yitzhaki）[28]列出了更多关于基尼系数的备选表述。我们现在给出一个正式的定义。我们同样地说，Y是X的平均保持扩散，简单地说是M P S X.definition 3.1。基尼系数是一个功能基尼：L→ [0, ∞] 定义一致性：基尼（X）=E[| X*- 十、**|], （3.1）其中X*和X**是X.备注3.2的两份独立副本。基尼系数可以用有符号Choquet积分表示：基尼（X）=2ZF-1X（u）（2u- 1）杜。

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2022-6-1 04:26:25

（3.2）从定理2.9可以看出，基尼系数是可变性的相干度量，并且是CX单调的。此外，方程（3.2）可以用协方差（这是基尼系数最常见的公式）表示：基尼（X）=4Cov[F-1X（U），U]=4Cov[X，UX]。（3.3）我们记得，U可以是[0，1]分布rv上的任意均匀值，Ux是均匀的[0，1]rv，因此方程式F-1X（UX）=X保持不变。基尼函数假设所有个体对风险都有相同的态度。尽管如此，这一概念可以扩展为一系列在决策者的风险厌恶程度上彼此不同的可变性度量，本文中的参数r反映了这一点。扩展基尼系数的基本定义基于协方差项。我们参考了Yitzhaki【27】、Shalit和Yitzhaki【24】、Yitzhaki和Schechtman【29】以及Yitzhaki和Schechtman【30】，以了解延伸吉尼地产的概述。我们现在在正式意义上公开它。定义3.3。扩展基尼系数是一种功能性基尼系数：L→ [0, ∞]定义一致性：EGinir（X）=-2rCov[X，（1- FX（X））r-1] ，r>1。（3.4）备注3.4。扩展基尼有一些特殊情况：对于r=2：扩展基尼系数变为简单基尼系数。对于r→ ∞: 扩大基尼反映了最大最小投资者的态度，他们只在最坏的结果方面表达风险。对于r→ 1：扩展基尼值趋于零，代表了一个风险中性个体的态度，他不关心可变性。现在，我们将探讨扩展基尼系数作为signedChoquet积分的特征。在这个意义上，请注意，从定理2.9中的方程式（2.5）中，如果onesets gr（u）=-r（1- u） r-1对于r>1和u∈ [0，1]，我们遇到ν（X）=-r Cov[X，（1-FX（X））r-1]. 考虑到这一点，我们现在陈述并证明正式结果。提案3.5。

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nandehutu2022

2022-6-1 04:26:27

扩展的基尼泛函是变异性的CX单调相干度量，由有符号Choquet积分Ginir（X）=2ZF表示-1X（u）（1+gr（u））du。（3.5）证明。我们记得，U可以是[0，1]上的任意均匀分布的rv，这样方程F-1X（U）=X成立，其中E[X]=m。为了获得证明，我们需要声明E[（1- FX，p（X））r-1 | X>xp]=（1- p） r-X为1/r∈ 五十、 r∈ (1, ∞) andp公司∈ 为了证明这一点，我们得到了- FX，p（X））r-1 | X>xp]=E[（1- U） r-1 | U>p]=1- pZR（1- u） r-1[p，1]（u）du=1- pZp（1- u） r-1du=1- p[-(1 - u） r/r]p=（1- p） r-1/r。在这个角度下，我们可以很容易地验证：E[（1- FX（X））r-1] =1/r。因此，我们得到以下结果：EGinir（X）=-2r Cov[X，（1- FX（X））r-1]= -2r E[（X- E（X））（（1- FX（X））r-1.- E[（1- FX（X））r-1])]= -2r E[（F-1X（U）- m）（（1- U） r-1.-r） ]=-2rZ（F-1X（u）- m）（（1- u） r-1.-r） du=-2rZF-1X（u）（（1- u） r-1.-r） du=2ZF-1X（u）（1+gr（u））du。从这个有符号Choquet积分表示出发，命题中的其他主张紧接着从定理2.9开始，并且所有变量的相干测度都是CX单调的。证据到此结束。备注3.6。在这种情况下，定理2.9的hrin方程（2.4）由以下公式得出：hr（u）=u+（1- u） r- 1，r>1（3.6）根据公开的内容，我们现在将重点转向对分布函数尾部的调整。在这个意义上，我们现在引入尾部扩展基尼（TEG）泛函，并正式证明其性质和Choquet积分表示。定义3.7。尾部延伸基尼是一种功能性基尼，p:L→ [0, ∞] 定义一致性：T EGinir，p（X）=-2r1- pCov[X，（1- FX（X））r-1 | X>xp]，r>1，0<p<1。（3.7）提案3.8。尾部扩展基尼是标准化的、位置不变的、正齐次的、共单调的加性基尼。此外，它是一个有符号的Choquet积分：T EGinir，p（X）=（1- p） ZpF公司-1X（u）[gr（u）+（1- p） r-1] 杜。（3.8）证明。

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2022-6-1 04:26:30

尾部延伸基尼是标准化的、位置不变的、正均匀的，这一事实很容易从其定义中实现。对于Choquet表示，weagain指出，U可以是[0，1]上的任何均匀分布rv，因此方程F-1X（U）=X保持不变，其中E[X]=m。因此，我们得到t EGinir，p（X）=-2r1- pCov[X，（1- FX（X））r-1 | X>xp]=-2r1- pE[（X- m）（（1- FX（X））r-1.- (1 - p） r-1/r）| X>xp]=-2r1- pE[（X- m）（（1- FX（X））r-1.- (1 - p） r-1/r）| X>xp]=-2r1- pE[（F-1X（U）- m）（（1- U） r-1.- (1 - p） r-1/r）| U>p]=-2r（1- p） Zp（F-1X（u）- m）（（1- u） r-1.- (1 - p） r-1/r）du=（1- p） [ZpF-1X（u）(-r（1- u） r-1+ (1 - p） r-1） du+mrZp（（1- u） r-1.- (1 - p） r-1/r）du]=（1- p） ZpF公司-1X（u）[gr（u）+（1- p） r-1] 杜。事实上，根据前面命题的证明，我们得到了Rp（（1- u） r-1.- (1 -p） r-1/r）du=0。最后，Choquet表示意味着共单调可加性。这就完成了证明。备注3.9。然而，正如Furman等人【11】的反例（r=2）所示，尾部延伸基尼并不是次加性的。因此，与扩展的基尼函数不同，尾部对应项不是变异性的一致度量。尽管TEG不是一个一致的可变性度量，但我们现在将表明，预期缺口与尾部扩展基尼的线性组合有助于形成一致的风险度量，即扩展基尼缺口，从而量化尾部风险的大小和可变性。我们现在定义了这样的组合。定义3.10。让p∈ (0, 1). 我们知道风险价值和预期短缺是函数V aRp:L→ (-∞, ∞] 和ESp:L→ (-∞, ∞] 定义一致性：V aRp（X）=inf{X∈ R:FX（x）≥ p} ，（3.9）ESp（X）=1- pZpV aRq（X）dq。（3.10）备注3.11。ES是一个SSD单调共单调加性相干风险度量，这是一个公认的事实。

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2022-6-1 04:26:33

当cdf fx连续时，ES与尾条件期望E[X | X]一致≥ xp]。定义3.12。广义基尼缺口是一个函数EGSλr，p:L→ (-∞, ∞]定义的一致性：EGSλr，p（X）=ESp（X）+λT EGinir，p（X），λ≥ 0.（3.11）为了成为合理的风险管理工具，需要一致的风险度量的属性。然而，如前一节所述，TEG不是次加性的，并且作为可变性的度量也不是单调的。然而，当λ为零时，EGS显然继承了ES的所有相干特性，但当λ足够大时，TEG开始支配ES，因此EGS的相干性无法预期。直觉上，正如Furman等人[11]所建议的那样，可能存在描述λ值的athreshold，其中EGS是一致的。我们现在以正式的方式对其进行验证。提案3.13。扩展的基尼缺口具有平移不变性、正齐次性和共单调可加性，可表示为有符号Choquetintegral一致性：EGSλr，p（X）=ZF-1X（u）φλr，p（u）du（3.12），其中，φλr，p（u）=（1- p） [1- p+2λ（gr（u）+（1- p） r-1） [p，1]（u），u∈ [0, 1]. （3.13）此外，广义基尼缺口是λ的SSD单调一致风险度量∈ [0，1/（2）（r-1)(1 - p） r-2)].证据从ES和TEG的性质可以很容易地验证平移不变性、正同质性和共单调可加性。关于Choquet表示，我们有：EGSλr，p（X）=ESp（X）+λT EGinir，p（X）=1- pZpF-1X（u）du+2λ（1- p） ZpF公司-1X（u）[gr（u）+（1- p） r-1] du=ZpF-1X（u）[1- p+2λ（1- p）（gr（u）+（1- p） r-1） ]du=ZF-1X（u）φλr，p（u）du。对于相干性，仍然需要证明EGS对于λ是单调的和次可加的∈[0，1/（2）（r- 1)(1 - p） r-2)]. 注意，φλr，pis是[0，1]上的一个增函数，因此φλr，p（u）是非负的当且仅当φλr，p（p）≥ 0

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2022-6-1 04:26:36

因此，φλr，pis非负当且仅当λ∈ [0，1/（2）（r- 1)(1 - p） r-2)]. 这一事实暗示了第2节讨论的性质的单调性和次可加性。因此，EGS是选择λ的一致风险度量。最后，对于λ的选择，SSD单调性，这直接暗示了EGS是定律不变的。证据到此结束。备注3.14。根据前面的命题，我们可以将EGS与其接受集联系起来，接受集定义为AEGSλr，p={X∈ 五十： EGSλr，p（X）≤ 0}. 众所周知，例如，见F¨ollmer和Schied[9]，该集合是凸的、定律不变的、单调的，对于正标量的乘法和共单调变量之间的加法是闭合的。此外，我们有AEGSλr，p包含L+，并且与{X没有交集∈ 五十： X个/∈L+}。从EGS的平移不变性直接验证EGSλr，p（X）=inf{m:X+m∈ AEGSλr，p}。备注3.15。我们已经知道，EGS可以表示为不同水平p上ES的凸组合，一种Kusuoka表示，符合EGSλr，p（X）=RESp（X）u（dp），其中φλr，p（u）=r[1-u、 1）su（ds）。这里，u是（0，1）上的概率度量。这些表示与众所周知的对偶表示相联系，符合EGSλr，p（X）=E[XQ]，其中F-1Q（u）=φλr，p（u）。我们可以将Q视为相对于P绝对连续的替代概率度量的相对密度（RadonNikodym）。备注3.16。从前面的命题中，我们得出，扩展基尼短路是Acerbi[1]中引入的谱风险度量类别的一部分，其特征是加权函数φλr，p，能够反映个人对风险的主观态度。在Furman等人【11】中，引入了一个特殊案例（r=2），将相同的权重函数分配给所有决策者。因此，这与个人的风险厌恶功能有关。

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2022-6-1 04:26:39

因此，φλr、pto依赖于参数r、p和λ更为合理。现在，我们提供了一个关于权重函数φ如何与每个变量（参数）amongu、r、p和λ的变化（偏导数）相关的结果和解释。可以指出，通过光谱表示，结果可以直接理解为每个参数对EGS值的影响。提案3.17。考虑加权函数φλr，p（u）=φ（u，r，p，λ）=1- p+2λ[（1- p） r-1.- r（1- u） r-1](1 - p） [p，1]（u），其中u∈ [0，1]，p∈ （0，1），r>1和λ∈ [0，1/（2）（r- 1)(1 - p） r-2)]. 我们得到：（i）使EGS次可加的λ值的区间在p中具有不减的上界，如果r≥ 2，否则p不增加。此外，当且仅当r≥ 1.-ln（1-p）；（ii）φ在u中不递减；（iii）φ在λ中不递减；（iv）φ在p if中不递减，且仅在ifu中递减≥ 1.-1.- p- 2λ（r-3)(1 - p） r-14λr（r）-1);（v） φ在r中不递减，当且仅当（1- p）（1）-p）≥经验值(1 - u） r-1[r ln（1- u） +1]（r）-1).证据对于（i），我们必须记住，当λ∈ [0，1/（2）（r- 1)(1 -p） r-2)]. 考虑函数lb（r，p）=2（r- 1)(1 - p） r-2表示λ不应超过的阈值。关于p，我们得到Bp（r，p）=Bp（r，p）=（r- 2）（1）- p） 1个-r2（r- 1).BPR的符号直接依赖于r的符号-因此，对于r，B（r，p）在p中不递减≥ 2，否则不增加。关于r，我们有Br（r，p）=Br（r，p）=-1(1 - p） r-2[1+（r- 1） ln（1- p） ][（r）- 1)(1 - p） r-2].Br的符号取决于Cp（r）=1+（r）的符号-1） ln（1-p）。

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nandehutu2022

2022-6-1 04:26:42

递减函数cpmaps（1，∞) 至(-∞, 1），则存在唯一的临界值r=1-ln（1-p） Bpnon在（1，r）上增加，在（r，∞).对于（ii），该主张源于EGS是光谱风险度量这一事实。更具体地说，我们有φu（u，r，p，λ）=2λr（r-1)(1 - u） r-2(1 - p） [p，1]（u），在任何情况下都是非负的。关于（iii），该索赔直接来自EGS的定义。更具体地说，关于我们获得的权重函数φλ（u，r，p，λ）=2[（1- p） r-1.- r（1- u） r-1](1 - p）【p，1】（u）。我们可以注意到，当u=1时，该表达式在u中是非递减的，具有临界值-(1 -p） r-r-1、因此，φλ≥ u时为0≥ 1.-(1 -p） r-r-1.≥ p、自rr起-1.≥ 1、但u≥ pis是唯一重要的情况，因为φλ.对于第（iv）项，我们首先注意到φp（u，r，p，λ）=1- 2λ（r- 3)(1 - p） r-2.- 4λr（1）- u） r-1(1 - p）-1(1 - p） [p，1]（u），这是u中的一个非递减表达式。因此，我们得到φp≥ 0当且仅当u≥ 1.-1.- p- 2λ（r-3)(1 - p） r-14λrr-最后，关于第（v）项，我们按照相同的推理得出φr（u，r，p，λ）=2λ[ln（1- p）（1）- p） r-1.- (1 - u） r-1.- r ln（1- u）（1）- u） r-1](1 - p）。这是一个复杂的表达式，可以同时假设正值和负值，因为分子中的一些项具有不同的符号，没有支配性。此外，isolatingu或r并非微不足道。尽管如此，经过一些处理，我们得到了φr≥ 0当且仅当（1- p）（1）-p）≥ （exp{（1- u） r-1[r ln（1- u） +1]}）（r-1). 到此结束。备注3.18。上述命题所发现的偏导数的非线性行为与函数gr（u）=-r（1-u） r-1，这是我们发展的理论的核心，对于r 6=2来说，这并不是微不足道的，Furman等人[11]考虑了这种情况。很容易注意到，它反复出现在偏导数的表达式中。

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2022-6-1 04:26:45

因此，我们的贡献是通过将规范案例扩展到可以解决更复杂的r的情况。由于p反映了谨慎性水平，在实践中通常接近1，因此第（i）项的优先级通常接近1。因此，就实际问题而言，λ的上限在最相关的r值中是不递减的。最复杂的参数敏感性分别与第（iv）项和第（v）项中的谨慎性水平p和推广项r有关，因为φpand公司φ由于分子中的某些项具有不同的符号而不受支配，所以很少有表达式可以同时假设正值和负值。这可以解释为φ是一个加权函数，而pand r的变化会改变任何概率水平u的“质量”的大小。由于φλr，p（u）du=1，有必要通过其他值的减少来补偿φ（u）的增加。关于谨慎性水平，前面命题中的第（iv）项强调，对于较大的u值，p中的φnon会减小。这与实际直觉一致，因为将更多的权重置于极端概率。此外，当我们验证φ关于u和p的变化时，这一点得到了证实，我们得到了非负表达式φup=4λr（r- 1)(1 - u） r-2(1 - p）【p，1】（u）。当我们考虑u和r变化的敏感性时，在一种情况下，我们得到φur=2λ（1- u） r-2[（2r- 1） +（r- r） ln（1- u） ]（1- p）【p，1】（u），关于符号存在分歧——括号内的第一项为非负项，而第二项为非正项，这与前面的论点一致。尽管如此，φ在r中是不递减的，在这种情况下，r的行为更像是风险规避系数，当p（1）为非递减函数时-p）（1）-p）大于一个阈值，该阈值是一个表达式，取决于u和r。

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2022-6-1 04:26:48

重复Prudenclevel的实际选择论证，p将接近1，而对于更多的u值，φ将在r中增加。在这个意义上，r必须被理解为EGS风险度量系列的泛化参数，而不是单个线性风险规避系数。4常规分布的广义基尼缺口在本节中，我们提供了分析公式，以计算已知和常用分布函数的拟议广义基尼缺口。从这个意义上说，位置标度矩阵是由位置参数和非负标度参数参数化的概率分布族。假设Z是一个固定的rv，取α的R值∈ 兰德β∈ (0, ∞), 设X=α+βZ。与X相关的双参数分布族称为与给定Z分布相关的位置-尺度族；α称为位置参数，β称为比例参数。任意分布的标准形式是位置和比例参数分别为0和1的形式。在本节中，我们将注意力限制在标准rv上。通常，当X=α+βZforα∈ R和β∈ (0, ∞), 直接从它们的性质来看，我们得到了ESp（X）=α+βESp（Z）和T EGinir，p（X）=βT EGinir，p（Z）。接下来，我们从一般的椭圆族开始，然后将得到的结果专门化为均匀分布、正态分布和Student-t分布情况。我们记得，如果Xd=α+βZ，则Xis是椭圆分布，其中Z是球形分布。设Zbe为球形rv，特征发生器ψ：[0，∞) → R简洁地Z~ S（ψ）。当Z具有概率密度函数（pdf）时，则存在密度生成器g：[0，∞) → [0, ∞) 这样的话∞z-1/2g（z）dz<∞, 我们简洁地写Z~ S（g）。我们可以将pdf格式转换为f:R→ [0, ∞] f（Z）=c g（Z/2），其中c>0是归一化常数。

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2022-6-1 04:26:51

当∞g（z）dz<∞, 在这种情况下，我们的E[Z]=0，因为pdf f在0左右对称。在这种情况下，我们定义函数g:[0，∞) → [0, ∞) 按G（y）=cR∞yg（x）dx被称为Z.Wenow态的尾发生器，证明了本节的主要结果。提案4.1。让Z~ S（g）、E[Z]和p∈ (0, 1). 那么，我们有：ESp（Z）=G（zp/2）1- p、（4.1）T EGinir，p（Z）=2r（r- 1)1 - pE公司(1 - FZ（Z））r-2G（Z/2）| Z>zp+2[1-r（1-p） r-2] ESp（Z）。（4.2）证明。对于ES。我们得到：ESp（Z）=E[Z | Z>zp]=1- pZ公司∞zpzf（z）dz=c1- pZ公司∞zpzg（z/2）dz=c1- pZ公司∞zp/2g（x）dx=G（zp/2）1- p、关于TEG，我们得到：T EGinir，p（Z）=-2r1- pE[Z（1- FZ（Z））r-1 | Z>zp]- E[Z | Z>zp]E[（1- FZ（Z））r-1 | Z>zp]E[Z（1- FZ（Z））r-1 | Z>zp]=1- pE[Z（1- FZ（Z））r-1{Z>zp}]=1- pZ公司∞zpz（1- FZ（z））r-1f（z）dz注意，zf（z）dz=-dG（z/2）和G（z/2）=（1- p） ESp（Z）。部件的集成应符合：E[Z（1- FZ（Z））r-1 | Z>zp]=1- p（1- p） r-1克（z/2）- （r）- 1） E[（1- FZ（Z））r-2G（Z/2）| Z>zp]=（1- p） r-1ESp（Z）- （r）- 1） E[（1- FZ（Z））r-2G（Z/2）| Z>zp]。E[Z | Z>zp]=ESp（Z）。最后，类似于命题3.5的证明，我们有：E[（1- FZ（Z））r-1 | Z>zp]=（1- p） r-1r。这就完成了证明。备注4.2。请注意，V ar（Z）在错误时是有限的∞z1/2g（z）dz<∞, 在这种情况下，v ar（Z）等于toR∞-∞G（z/2）dz（通过部件集成）。因此，我们有*（z） =G（zp/2）/V ar（z）是pdf。在这种情况下，我们得到表达式T EGinir，p（Z）=2r（r-1)1-pV ar（Z）E[（1- FZ（Z））r-2f层*（Z） | Z>zp]+2[1- r（1- p） r-2] ESp（Z）。现在，我们重点讨论标准均匀rv Z的情况~ U型[-1, 1]. 从这个意义上讲，我们有以下推论。推论4.3。让Z~ U型[-1、1]和p∈ (0, 1). 那么，我们有：ESp（Z）=1- zp4（1- p），（4.3）T EGinir，p（Z）=r3（1- p）1.- zp公司r-1+ 2[1 - r（1- p） r-2] ESp（Z）。（4.4）证明。标准均匀分布为密度为fZ（z）的球形分布=[-1,1]（z）=[0,1/2]（z/2），z∈ [-1, 1].

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能者818

2022-6-1 04:26:54

因此，我们得到g（z）=1[0,1/2]（z）和c=。在这种情况下，尾部生成器由以下公式得出：G（y）=Z∞yg（t）dt=-y、因此，我们得到（zp/2）=1- zp，ESp（Z）=1- zp4（1- p）为了证明TEGini的结果，我们使用备注4.2。因此，我们得到：T EGinir，p（Z）=2r（r- 1)3(1 - p） E“1.- Zr-2f层*（Z） | Z>zp#+2[1- r（1- p） r-2] ESp（Z），带E“1.- Zr-2f层*（Z） | Z>zp#=4（1- p） Zzp公司1.- zr-2dz=2（1- p）（r）- 1)1.- zp公司r-这就完成了证明。在下一个推论中，我们处理标准法线rv Z~ N（0，1），其cdfwe用Φ表示。推论4.4。让Z~ N（0，1）和p∈ (0, 1). 那么，我们有：ESp（Z）=Φ（zp）1- p、（4.5）T EGinir，p（Z）=2r（r- 1)1 - pE公司(1 - Φ（Z））r-2Φ（Z）| Z>zp+ 2[1 - r（1- p） r-2] ESp（Z）（4.6）证明。标准正态分布是密度生成器g（z）=exp的球形分布(-z），c=1/√2π和G（z/2）=Φ（z）。因此，方程式（4.5）直接遵循方程式（4.1）。为了确定第二部分，我们使用注释4.2，V ar（Z）=1。最后，我们揭示了一个关于Student-t分布的推论。让n∈ R*+,如果其Pdfi:fn（Z），我们说Z有一个具有n个自由度的标准Student-t分布=√nβ（n/2，1/2）1+锌-（n+1），z∈ rBeta（a，b）代表Beta分布。我们设置θ=n+1和kθ=n。然后，我们表示Z~ 参数为θ>的t（θ），pdf可以重写为：fθ（z）=cθ1+z2kθ-θ、 z∈ R其中cθ=(√2kθβ（θ-1/2, 1/2))-1、Z的期望值仅在θ>1时定义明确，Z的方差仅在θ>时定义明确。设Fθ为Z的cdf。推论4.5。让Z~ t（θ），θ>1，和p∈ (0, 1). 那么，我们有：ESp（Z）=cθkθ（1- p）（θ- 1)1+zp2kθ-(θ-1），（4.7）T EGinir，p（Z）=2r（r- 1)(1 - p）（θ- 1） cθkθcθ-1E“（1- Fθ（Z））r-2fθ-1rkθ-1kθZ|Z>zp#+2[1- r（1- p） r-2] ESp（Z）。（4.8）证明。

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2022-6-1 04:26:57

标准Student-t的尾部生成器由以下公式给出：g（z）=1+zkθ-θ、 z∈ RHence，我们得到：G（z）=cθz∞z1+tkθ-θdt=cθkθ- 1.1+zkθ-(θ-1），这导致：G（Z/2）=cθkθcθ-1(θ - 1） fθ-1rkθ-1kθZ！然后，方程式（4.6）紧随方程式（4.2）之后。5从理论到实践在本节中，我们将为EGS的实际使用提供说明。在此意义上，考虑EGSλr，pde定义：EGSλr，p（X）=ZF-1X（u）φλr，p（u）du，其中，φλr，p（u）=1- p+2λ[（1- p） r-1.- r（1- u） r-1](1 - p） [p，1]（u），带u∈ [0，1]，p∈ （0，1），r>1和λ∈ [0，1/（2）（r- 1)(1 - p） r-2)].在实践中，EGSλr的评估，PCA可以简化为评估Acerbi[1]提出的离散版本，作为谱风险度量的一致估计：[EGSλr，p（X）=NXi=1X（i）φi，（5.1），其中，{X（i）；i=1，…，N}是观测值的N元组{X，…，XN}给出的有序统计量，φii是给出的合适权重函数的自然选择：φi=φλr，p（i/N）PNk=1φλr，p（k/N）i=1，…，N（5.2）满足piφi=1。根据φλr，p的表达式，EGSλr，pi只涉及V aRp以外的损失，因此我们对尾部风险感兴趣。备注5.1。当r足够高时，（1-p） r-1.-r（1-u） r-1.→ 0φλr，p→1.- p、也就是说，在这种情况下，EGSλr，pis与ESp混淆。这句话确保了，对于高度风险厌恶的投资者，我们可以简单地使用ESp。换句话说，ESp可以被视为EGSλr，pF对于相当高风险厌恶程度的限制。此外，由于投资者的风险厌恶程度越高，他承担的风险就越小，因此我们可以认为EGSλr，pis至少等于ESpi。e、，EGSλr，p≥ 特别是在下面，我们用一个数值例子来说明上述方法。我们的数据集包括2016年11月15日至2017年11月15日期间MASI指数的每日收益，其中包括N=250个观察值。

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mingdashike22

2022-6-1 04:27:00

MASI（摩洛哥所有股票指数）是一种股票指数，跟踪位于摩洛哥卡萨布兰卡的卡萨布兰卡证券交易所上市的所有证券的表现。所提出的方法没有对描述数据的分布作出任何假设，只是进行了增广单位根检验，以确保我们的数据序列是平稳的。此外，如图1所示，返回图验证了这一验证，因为该系列函数约为0，没有趋势。http://www.casablanca-bourse.comFigure1：每日观测的MASI回报图。备注5.2。在确定EGSλr时，pwe制定了一个惯例，即我们的rv X代表正（负）值时的财务损失（利润）。然而，为了符合真实世界的数据，对后一种约定进行了更新。通过使用排序的收益序列，我们计算ARPV值，以确定相关损失。

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2022-6-1 04:27:03

然后，我们根据下表1所示的参数p、r和λ影响每个值自身的权重。填充条件λ∈ [0，1/（2）（r-1)(1-p） r-2） ]我们任意取λ作为区间的中点，因此λ=4（r- 1)(1 - p） r-2、排序返回（%）权重-1.146 0.04-1.151 0.05-1.160 0.05-1.181 0.06-1.270 0.06-1.273 0.07-1.304 0.08-1.621 0.08-1.685 0.09-1.690 0 0.10-1.880 0 0 0.10-1.924 0.11-2.090 0 0 0.11表1：p=95%和r=2的VaR之外的加权损失。在下表2中，我们报告了不同pand r值的计算结果[EGSλr，Pf:[EGSλr，pr=2（GSλp）r=3 r=6 r=20 r=30p=90%V aR=0.73%1.32%1.28%1.25%1.22%1.22%ES=1.21%p=95%V aR=1.11%1.58%1.55%1.52%1.50%1.49%ES=1.49%p=99%V aR=1.79%1.99%1.98%1.97%1.96%1.96%ES=1.96%i 2016年11月15日至2017年11月15日之间的指数是历史性的说明EGSλr实际使用的方法，通过考虑投资者的心理态度来定位现实世界。所获得的结果证实了前一小节中的早期评论：首先，投资者越厌恶风险，他承担的风险就越小，然后对冲头寸所需的资本金额就越小；此外，我们还有EGSλr，p≥ ESpand在高度风险规避的情况下（r≥ 20）这两种风险度量都可能混淆。参考文献【1】Acerbi，C.（2002）。风险的光谱度量：主观风险厌恶的一致表示。《银行与金融杂志》，261505-1518。内政部：10.1016/S03784266（02）00281-9[2]Artzner，P.、Delbaen，F.、Eber，J.-M.和Heath，D.（1999年）。一致的风险度量。《数学金融》，9203-228。内政部：10.1111/1467-9965.00068【3】Ceriani，L.和Verme，P.（2012）。

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