收费公路性质与投资和消费的收敛速度

2022-6-10 10:24:17

投资与消费模型的收费公路性质与收敛速度*, Harry Zheng+摘要。我们讨论了最优投资和消费问题的收费公路性质。我们发现存在一个阈值，它决定了投资政策的收费公路属性。阈值仅取决于夏普比率、无风险利率和贴现率。我们证明，如果公用事业的行为渐近类似于电力公用事业，并且满足阈值的一些简化，那么收费公路投资属性成立。消费政策一般没有收费公路属性。我们还提供了收敛速度，并用幂函数和非HARA函数的例子以及数值试验说明了主要结果。关键词。最优投资和消费，收费公路性质，收敛速度，双重控制方法。JEL分类D9，G11简介众所周知，如果规划期很遥远（长期投资），并且最终财富效用的行为类似于电力效用，那么布莱克-斯科尔斯市场中终端财富（Money数量）效用最大化问题的最优投资组合策略可以近似为财富和时间无关的开放策略。这被称为turnpikeproperty for investment，s ee Back et al.（1999），卞和郑（2015），Cox和Huang（1992），Huang和Zariphopoulou（1999）对该主题的论述。很有意思的一点是，收费公路是否仍然适用于最优投资和消费问题。

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2022-6-10 10:24:20

考虑以下效用最大化问题：（1.1）supπ，cE中兴通讯-δtU（ct）dt+e-δTU（XT）,其中δ是一个贴现因子，T是计划期，X是时间T的财富，X是一个满足（1.2）dXt=rXtdt+XtπTσ（θdt+dWt）的长期过程- ctdt，t≥ 0，初始财富X=X，r是无风险利率，θ=σ-1(u -r）是夏普比率，u和σ是风险资产的增长率和波动率，W是标准布朗运动，π和c是投资组合和消费过程，Ui，i=1，2是财富和消费的效用。假设A（x，t）是在时间t与wealthx投资于风险资产的最佳金额。我们说，如果A（x，t）是x的近似线性函数，当t是遥远的时，问题（1.1）具有投资的turnp-ike性质。如果ui是相同的幂函数（1/p）xp，则a（x，t）=θσ（1- p） x。*同济大学数学系，上海200092。bianbj@tongji.edu.cn，作者的研究得到了国家自然科学基金11371280的资助。+英国伦敦SW7 2BZ帝国理工学院数学系。h。zheng@imperial.ac.uk.Tel：+44Jin（1998）证明，如果效用I的行为与电力效用（1/pi）xpifor largewealth x渐近相似，那么在任何固定时间t的最优投资组合π和最优消费c与电力效用（1/pi）xpii在绝对或均方范数下得出的投资期限t较远时的最优投资组合π和最优消费c接近。Back等人（1999年）讨论了最优最终财富（论文中称为消费）的组合收费公路问题，并通过一个使用转移电力公用事业的计数器示例表明，收费公路属性在存在消费（论文中称为消费退出）的情况下不成立。

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2022-6-10 10:24:24

对于一般效用Ui，当t距离较远时，如果A（x，t）仍然近似为x的线性函数，文献中所知甚少，对于最优消耗量c（x，t）的限制行为更是如此。本文的目的是确定一般公用事业投资环境的条件，在这种条件下，如果计划期很遥远，最优投资组合策略可以近似为财富和时间无关的开放策略。当公用事业UI1的行为与电力公用事业（1/pi）xpiat large wealth x类似时，我们可以给出收费公路是否存在的肯定答案。本文的主要贡献在于，我们找到了一个准确描述公用事业拥有收费公路性质的条件的保留值，我们证明了最优消费一般不存在收费公路性质，并且我们估计了最佳交易策略与限制策略的收敛速度，据我们所知，文献中没有，请参见第2.4、2.5和2.6节。接下来，我们重点介绍论文的主要结果。在有文化的人中，通常对收费公路物业的公用事业单位施加条件。例如，假设Ui是连续可微分、递增且严格凹的，满足limx→∞U′i（x）=0和（1.3）limx→∞U′i（x）xpi-1=1，对于i=1，2，其中pi<1，U′是Ui的导数。

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2022-6-10 10:24:27

条件（1.3）意味着，如果财富水平x很大，并且相当于（1.4）limy，则公用事业ui的行为类似于电力公用事业（1/pi）xpii→0V′i（y）yqi-1= -1，其中qi：=π/（π）- 1） <1和Viare Ui的双重功能，由（1.5）Vi（y）定义：=su px≥0{Ui（x）- y的xy}≥ 使用双重效用Vi而非效用Ui的关键好处如下：当使用随机控制方法解决投资和消费问题时，最优策略可以用难以求解和分析的非线性偏微分方程（PDE）解的导数函数表示。借助对偶随机控制方法，我们证明了最优策略可以用线性偏微分方程解的导数函数来表征，并且具有对偶效用Vi的表示，这使得导出turnp-ike性质和估计收敛速度是可行的。效用函数U和它的对偶函数V是等价的，可以从关系SV（y）=supx>0（U（x）中相互恢复- xy）和U（x）=infy>0（V（y）+xy）。例如，如果U是幂效用U（x）=（1/p）xpforx>0且p<1，则其等效对偶函数为V（y）=-（1/q）yq对于y>0且q=p/（p- 1). 此外，Ui（x）=Vi（y）+xy当且仅当U′i（x）- y=0。

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2022-6-10 10:24:30

因此，fromU′i（x）xpi-1=yqi公司-1.-V′i（y）圆周率-1和U′i(∞) = 0，我们得到了条件（1.3）和（1.4）的等价性。定理2.4指出，如果（1.4）保持q<q*或q≤ q*, 其中q*< 0是阈值，由（1.6）q给出*= α -rα+2Δθ，其中α=+r-Δθ，则投资用收费公路财产持有，即，（1.7）limT→∞A（x，t）=θσ（1- min{q，q}）x，这意味着最佳投资额A（x，t）可以近似为θσ（1-最小{q，q}）x当投资期限T较远时。定理2.5指出，如果双重边际效用V′i收敛为双重边际电力效用-yqi公司-1在一定速度下，q<q*或q<q*, 然后，最优投资策略收敛到（1.7）中极限策略的速度是指数级的快。定理2.6指出，如果（1.4）与q保持一致≥ q*和q>q*, 当t→ ∞ 换言之，对于一般公用事业而言，收费公路的性质并不是经典意义上的。然而，如果ConsumptionUtility是0<p<1的幂效用（1/p）xp，则有一个明显的例外，在这种情况下，a（x，t）仍然收敛于x的线性函数，由（θ/σ）（1）给出- q） x.我们现在说明定理2.4到2.6的结果，其中两个实用程序都是电力实用程序。众所周知，如果只有终端财富效用U（U=0）或消费效用U（U=0）或相同的效用U=U，最优投资额A（x，t）是财富x的线性函数。对于不同的电力公用事业U和U，A（x，t）是x的非线性函数。如果投资期t很遥远，其表现如何尚不清楚。根据定理2.4至2.6，我们得出结论，收费公路的投资性质基本上保持不变，即，（1.8）限制→∞A（x，t）=θσ(1 - 如果q<q，则最小{q，q}）x*或q≤ q*θσ(1 - q）如果q>q，则为x*和q>q*,其中qi=pi/（pi）- 1) < 0. 此外，如果q<q，则收敛速度呈指数级增长*或q<q*.

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mingdashike22

2022-6-10 10:24:33

如果q=q*和q*< q<0则A（x，t）收敛到x的非线性函数，详见定理2.3。这是一个新的结果，即使对于电力设施，更不用说我们的主要定理涵盖了一般设施。接下来我们给出一个数值测试。使用的数据是夏普比率θ=0.2，贴现率δ=0.02+（1/2）r，这给出了阈值q*= -1，波动率σ=0.2，无风险利率r=0.02，0.06，0.1，其中，ich给出的贴现率δ分别为0.03，0.05，0.07，时间范围T- t=1、2、5、10、25、50和100年。我们讨论三种情况：1）q=-1/2和q=-2.2） q=-2和q=-1/2; 3） q=-1/2和q=-1/4. 从（1.8）中，我们知道财富的最佳比例π*（x，t）：=在案例1和案例2中，A（x，t）/x收敛到默顿投资组合πM（x，t）=3，在案例3中，A（x，t）/x收敛到πM（x，t）=1.25，作为t- t倾向于∞.表1列出了最优投资组合π的值*（x，t）对于不同的时间范围t-t和无风险利率r。很明显-t趋于有限，精确的最优投资组合收敛于（1.8）中的梅顿投资组合。然而，不同的电力公司的收敛速度并不一致：在案例1和案例3中收敛速度快，但在案例2中收敛速度慢（当-t=200，r=0.02时的确切最佳组合值为2.9789，r=0.06时为2.9981，r=0.10时为2.9998）。Back等人。

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2022-6-10 10:24:37

（1999）权利要求定理2.4的结果可以用（1.3）中定义的PID的t项等效表示，即，如果p>p*orp公司≥ p*, 其中p*= q*/（q）*- 1) ≥ 0，则收费公路财产保持不变，最佳投资额可通过limT近似→∞A（x，t）=（θ/σ）（1- 最大值{p，p}）-1x。请注意，q*仅取决于风险θ的市场价格、无风险利率r和效用贴现率δ。q、 q，πMr\\T- t 1 2 5 10 25 50 100q=-1/2 0.02 2.6075 2.7195 2.8345 2.9014 2.9655 2.9919 2.9995q=-2 0.06 2.6125 2.7271 2.8461 2.9152 2.9771 2.9966 2.9999πM=3 0.10 2.6174 2.7344 2.8569 2.9273 2.985 2.9986 3.000q=-2 0.02 2.6099 2.348 1.9557 1.7538 1.6742 1.8119 2.4955q=-1/2 0.06 2.6149 2.362 1.9924 1.8107 1.7963 2.1486 2.8421πM=3 0.10 2.6198 2.3759 2.0297 1.8739 1.9555 2.4723 2.9532q=-1/2 0.02 1.3928 1.3458 1.2944 1.2714 1.2571 1.2527 1.2507q=-1/4 0.06 1.3927 1.3456 1.2942 1.2712 1.2567 1.2522 1.2504πM=1.25 0.10 1.3927 1.3455 1.294 1.2708 1.2563 1.2518 1.2502表1：最优投资组合π*（x，t）具有不同的时间范围t- t、利率r和dualpower utilities Vi（y）=-（1/qi）yqi，或等效的电力设施Ui（x）=（1/pi）xpi，其中pi=qi/（qi）- 1）对于i=1，2。对于q=-1/4, -1/2, -2，相应的p分别为1/5、1/3、2/3。阈值q*= -1，对应的p*= 1/2. 使用的其他数据是Sharperatioθ=0.2、贴现率δ=0.02+（1/2）r和波动率σ=0.2。πMis默顿投资组合。以数字例子说明，在低利率经济环境下，只有在投资期限很长的情况下才拥有收费公路资产。案例2与结论一致，但案例1和案例3表明，收敛速度仍然相当快。事实上，我们可以找到所有情况下的指数收敛率。例如，在情况1中，对于r=0.02，收敛速度为0.055，对于r=0.06，收敛速度为0.075，对于r=0.10，收敛速度为0.095。

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2022-6-10 10:24:41

利率越高，最优投资组合收敛到极限投资组合的速度越快。对于任何qandq，最优消耗策略通常是x的非线性函数，见定理2.4和2.6。收费公路消费属性不存在的经济原因是，消费的效用是在整个投资期内产生的，初始财富和消费可能很小，这意味着即使消费效用表现为耗电量大的电力效用，但一开始，人们必须使用特定的消费效用来决定最佳消费策略，这可能是财富的非线性函数。只有同时存在终端和消费公用设施时，才会出现这种现象。定理2.7指出，如果（1.9）limy→0Ri（y）：=-yV′i（y）V′i（y）= 1.-qi，i=1、2和q，q<q*以及其他一些条件，则收费公路属性（1.7）成立。条件（1.4）和（1.9）通常互不隐含，示例见脚注6。对于收费公路特性，可以进一步放宽条件（1.9），特别是Vis只需在零处有规律地变化，详情见定理2.8。最后，我们想强调的是，本文提出的方法依赖于具有持续投资机会的布莱克斯科尔斯市场。对于只有终端消费的收费公路问题，具有随机投资机会（不完全市场）的模型已被证明，条件（1.9）相当于公用事业相对风险规避的Arrow-Pratt系数为1的极限- π，也就是，（1.10）limx→∞-xU′i（x）U′i（x）= 1.- pi，i=1、2和p，p>p*. 这是由于Ui和（1.5）中定义的双重关系，这意味着如果y=U′i（x），那么x=-V′i（y）和U′′（x）=-1/V′（y），因此条件（1.9）和（1.10）相等。Guasoni等人进行了研究。

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2022-6-10 10:24:44

（2014）和Rober tson和Xing（2017），参见这两篇论文中的详细讨论和其他参考文献。论文的其余部分组织如下。在第2节中，我们制定了模型，对收费公路性质的不同情况进行了分类，当UAE和Uare电力公司（定理2.3）陈述并讨论了论文的主要结果（定理2.4-2.8）。在第三节中，我们将emain定理应用于具有幂和非HARA效用的两个例子，并进行了一些数值测试和分析。第4节总结。附录九讨论了效用最大化问题的原方法和对偶方法，导出了最优投资和消费策略，并给出了所有定理的详细证明。2收费公路性质和收敛速度考虑由一项无风险资产和一项风险资产组成的金融市场。风险资产S的价格过程由0的DST=St（udt+σdWt）建模≤ t型≤ T，其中u是风险资产的回报率，σ是波动率，两者都是正常数，W是完全概率空间上的标准布朗运动(Ohm, F、 P），赋予W产生的自然过滤{Ft}。财富过程X满足SDE（1.2），即dXt=rXtdt+Xtπtσ（θdt+dWt）- ctdt，X=X，其中r>0是无风险利率，θ=σ-1(u-r）是S harpe比率，π是一个比例投资组合过程，c是一个非负消费率过程，满足标准的可测性和可积性条件。财富过程X仅由一只股票驱动。将其扩展到多个相关股票很简单。因此，我们将重点放在模型el（1.2）上。考虑效用最大化问题（1.1）。

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2022-6-10 10:24:47

假设Ui，i=1，2，是R+：=（0）上的连续可微、严格递增和严格凹函数，∞), 满足Ui（0）=0，U′i（0）=∞ 安杜伊(∞) = 0和Ui（x）≤ C（1+xp）代表x≥ 0和一些常数C>0和0<p<1。注意，定理2.3中不需要假设Ui（0）=0，但所有其他结果都需要假设Ui（0）=0。为了简化符号，我们定义τ=T- t、时间范围。然后T→ ∞ 等于τ→ ∞. 我们仍然使用t来表示时间范围变量，而不是τ。利用双随机控制方法，我们可以证明最优投资额和消费率由（2.1）A（x，t）=xπ给出*（x，t）=θσJ（y，t）+ZtJ（y，τ）dτ, C（x，t）=C*（x，t）=-V′（y），其中y=y（x，t）是预算约束方程（2.2）x=I（y，t）+ZtI（y，τ）dτ的解。和，f或i=1，2，Ii（y，t）=eβt√πZ∞-∞e-η-(α-1） a√tη| V′i（是√tη）| dηJi（y，t）=eβt√πZ∞-∞e-η-(α-1） a√tη年√tηV′i（是√tη）dη，α=+r-Δθ，a=θ√, β = -aα- δ. 定义λ=λ（q）：=β+（α- q） a=θq（q- 1) - rq+δ（q- 1）对于q<1。注λ（0）=-δ<0且λ（1）=-r<0，我们得出结论，存在唯一的根Q*< 公式λ（q）=0表示q<1，由（1.6）给出，λ（q）<0表示q*< q<1，对于q<q，λ（q）>0*.备注2.1在本文中，我们假设市场上只有一种风险资产。很容易将结果推广到具有n个资产和n个标准布朗运动的完全市场。在这种情况下，风险的市场价格θ变成一个向量：θ=σ-1(u -r1），其中σ是股票波动率矩阵，u是股票增长率向量，1是包含所有成分1的向量。在定义λ（q）时，我们需要做的唯一改变是用kθk=θTθ替换θ。投资于资产i的最佳金额由Ai（x，t）=xeiTπ给出*（x，t）=eiT（σt）-1θJ（y，t）+RtJ（y，τ）dτ, 其中，ei是除第i个分量为1外，所有分量均为0的向量。

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2022-6-10 10:24:50

一个风险资产模型的所有结果仍然适用于这个多风险资产模型。因此，本文只讨论一个风险集合。备注2.2我们采用双重随机控制方法推导（2.1）和（2.2），这是tu rnpike性质的关键关系。由于动态规划方程（HJB方程）用于解决原始和对偶问题，因此模型必须是马尔可夫和时间一致的，也就是说，根据当前的方法，我们不能用随机系数或均值方差问题覆盖模型。然而，可以将模型从一个完整的无约束市场扩展到一个有控制约束的市场（没有卖空或某些资产没有交易等），即πt∈ K，其中K是Rn中的闭凸锥。这是因为双重HJB方程（见（5.4））仍然是线性偏微分方程，可以用费曼-卡茨表示法求解。双HJB方程（5.4）的唯一变化是将θ替换为k^θk，其中θ：=θ+σ-1^π = σ-1(u-r1+π）和π是二次函数f（|π）的唯一极小值：=kθ+σ-1▄πkover▄π∈~K：={p:p′v≥ 0, v∈ K} ，Rn中K的正极锥。在存在控制约束的情况下，不能像在完整的市场环境中那样使用马尔丁格尔表示定理来找到最优控制，但可以使用随机控制方法来推导，详见卞等人（2011）和卞和郑（2015）。由于关系式（2.1）和（2.2）本质上适用于闭凸约束问题，我们期望收费公路性质的结果仍然适用，因此本文仅关注无约束情况。方程（2.2）是一种预算约束，其中初始财富x用于为最优终端财富（第一期）和最优总消费（第二期）融资。

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2022-6-10 10:24:53

我们想显示一个项支配另一个项，即一个项趋向于0，另一个趋向于x ast→ ∞. 一旦确定，A（x，t）和C（x，t）的极限性质与（2.1）相同。结果是q*是确定（2.2）中哪个项占主导地位的阈值。下一个定理描述了当两个公用事业都是电力公用事业时收费公路的性质。定理2.3当i=1，2时，设Ui（x）=（1/pi）xpiand和pi<1（如果pi=0，则Ui（x）=ln x）。定义：=pi/（pi）- 1） <1和λi：=λ（qi），i=1，2。我们有1个。如果q<q*或q≤ q*, thenlimt公司→∞A（x，t）=θσ（1-最小{q，q}）x，极限→∞R（t）C（x，t）=xq-1min{q，q}-1，其中（2.3）R（t）=eλt+eλt-1λ，q=q，eq-1季度-1λt，q<q，eλt-1λ，q>q，和（eλt- 1） /如果λ=0.2，则λ=t。如果q>q*和q>q*, thenlimt公司→∞A（x，t）=θσ（1- q） x.limt公司→∞C（x，t）=-λx，3。如果q=q*和q>q*, thenlimt公司→∞A（x，t）=θσ[（1- q） Yq公司-1.- (1 - q） λYq-1] ，限制→∞C（x，t）=Yq-1，其中Y是方程yq的唯一解-1.-λyq-1=x。如果i=1，2的0<pi<1，则可从定理2.4和2.6中恢复定理2.3，但如果pi≤ 0，因为条件Ui（0）=0不满足。然而，由于幂函数的同位旋性质，可以使用条件Ui（0）=0证明定理2.3，参见附录中的严格证明。我们概述了定理2.3证明的关键思想。从（2.1）我们得到（2.4）A（x，t）=θσ(1 - q） eλtyq-1+ (1 - q） eλt- 1λyq-1., C（x，t）=yq-1，其中y是方程（2.5）x=eλtyq的解-1+eλt- 1λyq-1、初始财富x用于为最优终端财富和最优总消费融资。当t趋于时，（2.5）中的项占主导地位的qand qdetermines的关系∞.

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2022-6-10 10:25:02

如果第一项占主导地位，即如果第一项趋向于x，第二项趋向于0，因为t趋向于∞, 然后，基本上所有初始财富都用于最大化终端财富的效用，因此，最优投资策略主要由终端财富的效用决定。这很容易从（2.5）和（2.4）中看出。寻找最优消费的限制关系更为复杂。类似的讨论适用于第二项占主导地位或两项都不占主导地位的情况。接下来，我们对定理2.3的结果进行一些讨论。在案例1中，由于q<q*或q≤ q*, λ>0或λ≥ 0、这导致limt→∞R（t）=∞和限制→∞C（x，t）=0 f或任何x>0，这意味着初始消耗C（x，t）应接近于零，R（t）是地平线t较远时消耗趋于零的速度。来自预算约束（2.5）和λ>0或λ≥ 0，我们的边际效用y=ux（x，t）趋向于∞ 作为t→ ∞ 对于任何固定x，这意味着一个人应该投资于风险资产，以增加财富水平，从而提高整体效用。在案例2中，由于q>q*和q>q*, 我们有λ<0和λ<0，这意味着边际效用y=ux（x，t）有界于0和∞ 作为t→ ∞ （我们可以用以下矛盾的公式来证明：如果y→ 0（或∞) 作为t→ ∞, 那么（2.5）的右侧倾向于+∞ （或0），但左侧的x是正数）。（2.5）中的第二项占主导地位，最优交易策略主要由消费效用决定，即阿默顿策略。在情况3中，因为q=q*和q>q*, 我们有λ=0和λ<0，这再次意味着边际效用y=ux（x，t）从0和∞ 作为t→ ∞.

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2022-6-10 10:25:05

由于（2.5）中的任何一项都不占主导地位，最优交易策略由终端财富和消费的效用共同决定，这导致最优投资策略是财富的非线性函数。现在，我们陈述并讨论本文针对一般实用程序的主要结果。定理2.4设q<q*或q≤ q*. 假设Vi∈ C（R+）并满足（1.4），对于i=1，2。那么对于任何x∈ R+，我们有收费公路属性（1.7）。如果，对于某些^q<0，（2.6）石灰→∞V′（y）y^q-1= -那么，我们有（2.7）个极限→∞R（t）^q-1季度-1C（x，t）=x^q-1min{q，q}-1，其中R（t）在（2.3）中定义。请注意，只有一个QI需要小于q*; 另一个Qi可以是小于1的任何常数，这意味着另一个效用在大财富（U’i）下的渐近边际行为(∞)) 可以像负幂效用（0<qi<1）或对数效用（qi=0），不一定像正幂效用（qi<0），但我们仍然要求财富为零时的效用值为零（i=1，2，Ui（0）=0）。条件（2.6）相当于limx→0U′（x）/x^p-1=1和^p=^q/（^q）-1） >0，这意味着消费效用Ubehaves渐近类似于电力效用（1/p）x^pat小财富水平。收费公路消费物业一般不适用，因为（2.7）的右侧是x的非线性函数，即使投资期限很长，这是因为消费效用是在整个投资期间累积的，而不仅仅是在终端时间，因此，我们必须选择一种消费政策，在最初的小财富消费和未来的大财富消费之间实现良好的平衡。接下来，我们将我们的结果与文献中的结果进行比较。

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2022-6-10 10:25:09

Jin（1998）讨论了一类公用事业的收费性质，如（U′i）-1= -V′i在零处有规律地变化，指数为1- qi，也就是，（2.8）limy→0V′i（xy）V′i（y）=xqi-1.x>0。除了要求（U′i）-1 Jin（1998）还提出了（U′i）的有限极限的存在性问题，以使其在零处有规律地变化-1（x）/xqi-1as x趋于0（见Jin（1998，第1007页）），这意味着效用条件（1.4）和（2.6）中的限值为-1可以用一些常量替换。具体而言，如果存在Ki>0，则limy→0V′i（y）yqi-1= -ki，然后是x∈ R+，我们仍然拥有收费公路属性（1.7）。如果，对于某些^q<1，k≥ 0，灰色→∞V′（y）y^q-1= -k、那么，我们有限制→∞^R（t）^q-1季度-1C（x，t）=kx^q-1min{q，q}-1，其中^R（t）=keλt+keλt-1λ如果q=q，kq-1^q-1eq-1季度-1λtif q<q，和d keλt-1λ如果q>q。证明与定理2.4的证明相同，但有一些明显的变化，包括Ki和k。很容易验证（1.4）和（1.9）都暗示（2.8），因此（2.8）是三个条件中最弱的条件。函数V′（y）=yq-1年（y）≤ Y<1）是一个满足（1.9），但不满足（1.4）的例子（见Huberman和Ross（1983），第1346页）。函数V′（y）=-yq公司-1Hy siny，其中h<1-q、是一个满足（1.4），但不满足（1.9）的例子（见Back等人（1999），第178页）。但是，如果limy→0V′i（y）/yqi-2存在，则（1.4）和（1.9）都满足L\'Hospital规则。Jin（1998）中的函数也满足（1.4）。我们还需要条件（2.6）来证明最优消费政策的渐近性质。Jin（1998）中没有明确的对应项（2.6），但Jin（1998）中有一个隐藏的假设（M1，和M2，的完整性，朝向p age1011的底部，这在Back等人（1999，第194页）中首次指出）。

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2022-6-10 10:25:12

条件（2.6）表示M1，是有限的，但M2，的完整性是Jin（1998）中的附加条件，因此这些条件不具有直接可比性。Jin（1998，定理5.1-5.3）指出，如果投资期限很长，并且误差可以在绝对或均方范数内任意小，则任何固定时间的最优投资组合和消费策略都可以近似于电力公司的最优投资组合和消费策略。定理2.4的结果是不同的。首先，我们证明了（1.7）和（2.7）中每个固定x的逐点收敛性，这符合文献中收费公路性质的标准定义，但并不意味着Jin（1998）中讨论的概率空间中的n形式收敛。其次，我们证明了当q<q时，收费公路性质成立*或q≤ q*而Jin（1998，定理5.4-5.5）要求q=q<q*= 0（Jin（1998）中δ=0）得到相同的性质。Back等人（1999年）讨论了最优终端财富的收费公路性质。他们声称，在使用翻译后的电力公用设施的反例中，不存在收费公路消费属性，见Back等人（1999年，第1.1节）。然而，该实用程序是-∞ 在[0，K）中，并且不满足U（0）=0和条件（2.6）的假设。因此，Back et al.（1999）本文只讨论了终端财富效用最大化的Turnpike性质，不同于消费和终端财富效用最大化的Turnpike性质。现在，如果公用设施以一定速度收敛到电力公用设施，我们估计转弯道具属性的收敛速度。

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2022-6-10 10:25:16

下一个定理确定了当q<q时的收敛速度*orq≤ q*, 据我们所知，这在有关收费公路物业与消费和投资的文献中是不存在的。定理2.5假设Vi∈ C（R+）和常数q∈ （max{q，q，0}，1）和L>0，这样（2.9）V′i（y）+yqi-1.≤ Ly'q-1，y≤ 那么A（x，t）收敛到θσ（1）- min{q，q}）x指数yas t→ ∞ 如果q<q*或q<q*, And多项式if q≥ q*q=q*. 此外，如果存在常数q<min{q，q}，则（2.10）| V′（y）+y^q-1| ≤ Lyq-1，y≥ 1，则R（t）^q-1季度-1C（x，t）收敛到x^q-1min{q，q}-1表示为t→ ∞ 如果q<q*或q<q*, And多项式if q≥ q*q=q*, 其中，R（t）在（2.3）中定义。定理2.6设q≥ q*和q>q*. 假设Vi∈ C（R+）和满意度（1.4）。然后对于任何x∈ R+，我们有（2.11）极限→∞A（x，t）=θσ[（1- q） Yq公司-1{q=q*}- Y h′（Y）]，和（2.12）limt→∞C（x，t）=-V′（Y），假设f和g分别是R+×R+和R+上的定义良好的函数。我们说f（x，t）以指数（或多项式）的形式收敛到g（x）作为t→ ∞ 如果存在常数c>0和'T>0以及R+上定义良好的函数，则'f（x，T）- g（x）|≤ D（x）e-ct（或| f（x，t）- g（x）|≤ D（x）t-c）为了所有的x∈ R+和t≥\'\'T。外显收敛比多项式收敛快得多。其中1{q=q*}如果q=q，则为等于1的指示器*否则，Y是方程（2.13）x=yq的唯一解-1{q=q*}+ h（y），和h（y）=-Z∞eβτ√πdτZ∞-∞e-η-(α-1） a√τηV′（是√τη）dη。此外，如果V′（y）=-yq公司-1 q<0，q，q>q*, 然后我们有收费公路财产（2.14）限制→∞A（x，t）=θσ（1- q） x，极限→∞C（x，t）=-λx.注意，q，q<1涵盖了所有渐近表现为幂效用的效用（包括对数和负幂效用）。

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2022-6-10 10:25:19

从（2.11）、（2.12）和（2.13）中可以清楚地看出，当q≥ q*和q>q*. 自q起*倾向-∞ 当δ趋于∞, 我们有q，q>q*当δ足够大时，风险资产的最佳投资额通常是财富的非线性函数，即使投资期限很长。这在经济上并不令人惊讶，因为较大的贴现率δ意味着，在遥远的未来，终端财富的效用可以忽略不计，人们更看重消费的近期效用，而消费显然取决于当前的财富水平。只有当终端和消费公用设施同时存在时，才会出现这种现象。如果只有终端效用，那么人们应该仍然拥有经典意义上的收费公路属性。我们发现，具有终端和消费公用设施的收费公路物业与仅具有终端公用设施的收费公路物业有根本不同。接下来的两个定理列出了确保转弯道具投资性能的效用的其他一些条件，参见脚注6 f不同条件的关系。定理2.7设q，q<q*. 假设Vi∈ C（R+）并满足（1.9）。进一步假设存在常数“q”∈ （max{q，q，0}，1），K>0表示。（2.15）Ri（y）| V′i（y）|=yV′i（y）≤ 肯塔基州-1，y≥ 1、那么对于任何x∈ R+，我们有基于观察的收费公路性质（1.7）：如果V′i（y）满足（2.8），那么对于任何t>0，vy（y，t）s满足（1.9），我们有定理2.8，让q，q<q*. 假设V∈ 指数为1的C（R+）满意度（2.8）- q、五∈C（R+）满意度（1.9），指数为1- qand（2.15）和limy→0V′（y）V′（y）=某些k的k∈ [0, ∞] ifq=q。那么对于任何x∈ R+，我们有收费公路属性（1.7）。如果V≡ 0，定理2.8是Back等人（1999）的定理2。

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2022-6-10 10:25:23

它表明，为了在消费存在的情况下维持tur npikeproperty，最终财富效用一词只需满足较弱的条件（2.8），而消费效用UI需要满足较强的条件（1.9）。如果V≡ 0，我们只需要'q∈ （max{q，0}，1）]3示例和数值测试在本节中，我们讨论了两个示例来说明定理2.4和2.6的应用。我们将表明，如果消费效用ui不是幂效用，那么当q>q时，通常没有收费公路性质*和q>q*, 这与电力公司的结果形成鲜明对比，见定理2.3。对于0<p<1，定义非HARA效用函数（3.1）U（x）=-qH（x）q-“qH（x）”q+xH（x），对于x>0，其中H（x）=21-\'\'p√1+4倍- 1.\'\'p-1和“p=2p”- 1，q=pp-1，“q=”p“p”-1、U的对偶函数有一个简单的形式，由V（y）=-qyq公司-“qy”q.示例3.1假设Uis是一个非HARA实用程序，由（3.1）给出n，p=p，Uis是一个powerutility，由U′（x）=xp给出-1，其中0<p，p<1，对应于q，q<0。条件（1.4）和（2.6）满足^q=q。如果q<q*或q≤ q*, 然后，我们有用于投资的收费公路物业（1.7）和用于消费的限制性物业（2.7）。如果q>q*和q>q*, 然后，由于消费公用事业公司Ubeinga电力公用事业公司，我们仍有收费公路物业可供投资（2.14）。我们现在做一些数值试验。使用的数据与表1中的数据相同。如果我们选择Seq=q=q=-3，对应于p=3/4，然后“q=-（3.1）中的非HARA实用程序为1。我们得到λ=λ（q）=0.16+r和|||||||||||||¤q）=0。因为q=q=q<q*, 我们有收费公路物业→∞π*（x，t）=极限→∞A（x，t）/x=θσ（1）- q） =4对于任何固定财富水平x。我们可以计算精确的最优交易策略π*（x，t）和c*（x，t）以查看此近似的准确性。

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2022-6-10 10:25:26

为此，我们需要找到方程的唯一解-vy（y，t）=x，即R（t）yq-1+e'λty'q-1=x，其中R（t）=eλt+（eλt- 1)/λ.我们可以解方程得到π*（x，t）=x4R（t）z+2z和c*（x，t）=z，其中z=(-1+p1+4xR（t））/（2R（t））。默顿策略由πM（x，t）：=（θ/σ）（1）给出-q） =4。表2列出了π值*（x，t）（第2至4行）和与默顿策略的相对误差em（x，t）：=πM（x，t）π*（x，t）- 1（第5行至第7行）表示x=10和各种r和t。很明显，最优投资策略π*（x，t）收敛到默顿策略πM（x，t），因为t趋于∞, 正如定理2.4所预期的那样。相对误差e（x，t）表示过度投资（如果e（x，t）>0）或投资不足（如果e（x，t）<0）的程度，如果采用默顿策略πM（x，t）而不是最优策略π*（x，t）。例如，对于t=1和r=0.02，如果采用默顿策略，则与最优策略π相比，过度投资约10%*（x，t）。如果投资期为25年或更长，默顿策略将与本例中使用的数据产生1%或更小的相对误差。投资周期越短，相对误差越大，一年投资的相对误差为10%。表3列出了c值*（x，t）（第2至4行），R（t）c*（x，t）（第5至7行）和相对误差f（x，t）：=xR（t）c*（x，t）-1（第8至10行）表示x=10和各种r和t。很明显，limt→∞R（t）c*（x，t）=x，我们有\'q=（q+1）>q和\'q- 1=（q- 1). 很容易验证U是严格递增的，并且是严格单调的，U（0）=0，U(∞) = ∞, U′（0）=∞ 和U′(∞) = 0

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2022-6-10 10:25:29

因此，U是经典意义上的效用函数。Bian和Zheng（2015）使用该效用（p=3/4）来说明收费公路属性和终端财富效用最大化问题的收敛状态。r\\t 1 2 5 10 25 50 100最佳0.02 3.6237 3.7023 3.8147 3.8946 3.9740 3.9973 4.000组合0.06 3.6288 3.7099 3.8264 3.9084 3.9829 3.9989 4.0000π*（x，t）0.10 3.6340 3.7175 3.8376 3.9209 3.9889 3.9996 4.000相对0.02 0.1039 0.0804 0.0486 0.0271 0.0065 0.0007 0.000误差0.06 0.1023 0.0782 0.0454 0.0234 0.0043 0.0003 0.0000e（x，t）0.10 0.1007 0.0760 0.0423 0.0202 0.0028 0.0001 0.000表2：最优投资组合π*（x，t）和限制（默顿）投资组合e（x，t）的相对误差，不同的时间范围t和利率r。对于所有x和dt，默顿投资组合πM（x，t）=4。r\\t 1 2 5 10 25 50 100最佳0.02 3.5407 2.2161 0.8585 0.2778 0.0169 0.0002 0.000消耗量0.06 3.4442 2.1033 0.7538 0.2097 0.0073 0.0000 0.0000c*（x，t）0.10 3.3497 1.9947 0.6593 0.1564 0.0031 0.0000 0.00000.02 8.1183 8.5113 9.0734 9.4730 9.8701 9.9863 9.9998R（t）c*（x，t）0.06 8.1441 8.5497 9.1318 9.5421 9.9144 9.9945 10.00000.10 8.1698 8.5877 9.1880 9.6045 9.9444 9.9978 10.000相对0.02 0.2318 0.1749 0.1021 0.0556 0.0132 0.0014 0.000误差0.06 0.2279 0.1696 0.0951 0.0480 0.0086 0.0005 0（x，t）0.10 0.2240.1645 0.0884 0.000 0412 0.0056 0.0002 0.000表3：最佳消耗量c*（x，t），时间调整最优消耗R（t）c*（x，t），以及财富f（x，t）的相对误差，不同的时间范围t和利率r，财富水平x=10。正如定理2.4所预期的那样。投资期越长，消费率c越小*（x，t）。相对误差f（x，t）表示过度消费（如果f（x，t）>0）或不足消费（如果f（x，t）<0）的程度，如果取极限消费x，则用R（t）贴现，即c（x，t）=x/R（t）。

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mingdashike22

2022-6-10 10:25:33

例如，对于t=1和r=0.02，如果采用消耗策略c（x，t）=，则与最佳消耗策略c相比，消耗过多约23%*（x，t）。如果投资期为25年或更长，消费策略c（x，t）与本例中使用的数据产生的相对误差为1%或更小。投资周期越短，相对误差越大，一年投资的相对误差高达23%。表4列出了默顿策略的绝对误差'e（x，t）=π*（x，t）- πM（x，t）|（第2到4行）和近似收敛速度cn（第5到7行），对于x=10和各种r和t。从表4可以清楚地看出，对于x-ed r，误差序列具有收敛性。对于r=0.02、0.06和0.10，指数收敛速度的指数分别约等于c=0.09、0.11和0.13。我们用q=q=q=-1/3和与上述数据相同的所有其他数据，对应于（3.1）中非HARA实用程序的p=1/4和'q=1/3。因为q=q=q>q*, 我们有λ<0和limt→∞R（t）=-1/λ. 数值试验表明，如果{en}是一个指数收敛的误差序列，则存在正常数M和c，使得| en |≤ 我-中国。为了找到c，我们可以假设| en |≈ 我-cn，它给出了c≈ - ln（| en+1 |/| en |）。在我们的数值试验中，我们选择了时间范围t=1、2、5、10、25、50、100，它没有等距间隔。需要进行调整以反映这一点。具体而言，我们通过cn估算c：=-（1/m）ln（| en+m |/| en |），其中m是一个整数，表示误差和en+m的指数n和n+m之间的距离。对于n：=1、2、5、10、25、50、100，相邻点之间的距离为m=1、3、5、15、25、50。

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2022-6-10 10:25:37

我们形成一个序列{cn}，看看是否有一个极限可以指示指数收敛速度的近似指数。r\\t 1 2 5 10 25 50 100绝对0.02 0.3763 0.2977 0.1853 0.1054 0.0260 0.0027 0.000误差0.06 0.3712 0.2901 0.1736 0.0916 0.0171 0.0011 0.0000'e（x，t）0.10 0.3660 0.2825 0.1624 0.0791 0.0111 0.0004 0.000收敛0.02 0.2343 0.1580.1128 0.0933 0.0900 0.0900速率0.06 0.2466 0.00 1710 0.1279 0.1118 0.1099 0.1100cn0.10 0.2592 0.1845 0.1439 0.1308 0.1299 0.1300表4:最优投资组合和默顿投资组合e（x，t），相邻点之间的距离m，以及不同时间h原点和利率r.limt的收敛速度估计→∞π*（x，t）=（θ/σ）（1- q）和限制→∞c*（x，t）=-λx.因此，由于消费公用事业为电力公用事业，收费公路投资财产仍然有效。数值试验也表明，当qand Qa大于q时，收敛是指数的，尽管我们还没有证明这一结果*.示例3.2假设Uis是一个电源实用程序，由U′（x）=xp给出-1，Uis是非HARAutility，由（3.1）给出n，其中p=p，0<p，p<1。满足条件（1.4）。如果q<q*或q≤ q*, 然后从（1.7）中，我们得到了limt→∞A（x，t）=θσ（1- min{q，q}）x。如果q>q*和q>q*, 然后从（2.11）和（2.12）中，我们得到了limt→∞A（x，t）=-θσY h′（Y），极限→∞C（x，t）=-V′（Y），其中Y是方程x=-（1/λ）yq-1.-（1/(R)λ）y'q-1、解方程，将Y代入上述极限，得到（3.2）limt→∞A（x，t）=θσ（1- q）x+(R)λZ, 限制→∞C（x，t）=Z+Z，其中Z=2xq'λ-4xλ-λ-1、很明显，极限最优投资组合和消费不是财富的线性函数，换句话说，初始财富水平将影响最优交易策略的行为，即使时间跨度很长。

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2022-6-10 10:25:40

经典意义上的收费公路属性在这种情况下并不适用。这与消费实用程序是power utilityfunction的情况形成了明显的对比。我们可以得出这样的结论：当消费效用（consumptionutility）是一般效用时，一般不存在收费公路属性。我们使用与例3.1中相同的数据进行了数值测试。当q=q=q时=-3<q*= -1、我们还有收费公路物业可供投资。当q=q=q=-1/3>q*= -1和“q=”q=1/3，我们知道现在一般没有收费公路属性。为了从数字上说明这一点，我们找到了精确的最优投资和消费策略π*（x，t）和c*（x，t）如下：找到方程的唯一解y-vy（y，t）=x，即R（t）yq-1+R（t）y'q-1=x，其中R（t）=eλt+（eλt- 1） /λ和R（t）=（e'λt- 1)/λ. 我们可以解方程得到π*（x，t）=xR（t）z+R（t）z和c*（x，t）=z+z，r\\t 1 2 5 10 25 50 100最佳0.02 1.2008 1.1328 1.0290 0.9519 0.8710 0.8353 0.8222组合0.06 1.2017 1.1356 1.0386 0.9722 0.9151 0.9025 0.9055π*（x，t）0.10 1.2027 1.1384 1.0478 0.9912 0.9538 0.9540 0.9588相对0.02-0.3155-0.2744-0.2012-0.1365-0.0563-0.0160-0.0003误差0.06-0.2450-0.2011-0.1265-0.0668-0.0086 0.0053 0.0020e（x，t）0.10-0.2023-0.1573-0.0845-0.0321 0.0059 0.0056 0.0006相对0.02 0.1104 0.1771 0.2958 0.4007 0.5307 0.5962 0.6216误差0.06 0.1095 0.1741 0.2838 0.3714 0.4570 0.4775 0.4725eM（x，t）0.10 0.10860.1712 0.2724 0.3451 0.3980 0.3976 0.3907表5：最佳投资组合π*（x，t），相对于极限投资组合e（x，t）的相对误差，以及相对于不同时间范围t和利率r的默顿投资组合eM（x，t）的相对误差。

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mingdashike22

2022-6-10 10:25:44

梅顿投资组合πM（x，t）=所有x和t.x的4/3 r\\t 1 2 5 10 25 50 1000.02 1.0014 0.8922 0.7845 0.7365 0.7045 0.6944 0.69121 0.06 1.0032 0.8961 0.7921 0.7472 0.7201 0.7152 0.71630.10 1.0051 0.8999 0.7998 0.7583 0.7374 0.7375 0.74000.02 1.2008 1.1328 1.0290 0.9519 0.8710 0.8353 0.822210 0.06 1.2017 1.1356 1.0386 0.9722 0.9151 0.9025 0.90550.10 1.2027 1.1384 1.0478 0.9912 0.9538 0.95400.95880.02 1.2881 1.2617 1.2149 1.1727 1.1165 1.0852 1.0723100 0.06 1.2885 1.2628 1.2197 1.1847 1.1491 1 1.1402 1.14240.10 1.2888 1.2640 1.2242 1.1953 1.1738 1.1739 1.1768表6：最佳投资组合π*（x，t）具有不同的财富水平x、时间范围t和利率r。默顿投资组合πM（x，t）=所有x和t的4/3。其中z=(-R（t）+pR（t）+4xR（t）/（2R（t））。使用（3.2），同时注意θ/σ=1和q=-1/3，我们可以找到相对误差se（x，t）=（1+(R)λxZ）π*（x，t）- 1和f（x，t）=Z+Zc*（x，t）- 1、默顿策略由πM（x，t）=（θ/σ）（1）给出- q） =4/3。表5列出了π值*（x，t）（第2行至第4行）、相对误差e（x，t）（第5行至第7行）和默顿策略eM（x，t）（第8行至第10行）的相对误差，对于x=10和各种r和d t。很明显，π*（x，t）不收敛于默顿策略，因为t倾向于∞. 如果使用默顿策略，与最优投资策略π相比，将大大过度投资风险资产*（x，t）。这种现象是由于消费公用事业公司不是电力公用事业公司。表6列出了π值*（x，t）对于不同的财富水平x=1、10、100以及不同的时间范围和利率r。

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2022-6-10 10:25:47

很明显，即使时间跨度很长，最优投资组合也不会收敛于默顿投资组合，并且依赖于财富水平x。4结论在本文中，我们讨论了最优投资和消费问题的收费公路性质。我们使用对偶控制方法，用对偶值函数来描述最优投资和消费策略。我们发现，当来自消费和终端财富的公用事业表现出类似于大型财富的电力公用事业时，存在一个阈值来确定用于投资的Turnpike财产是否成立。我们表明，收费公路的消费属性一般不成立。我们推导了最优策略对其极限策略的指数收敛率。我们用幂和非HARA效用的两个例子以及一些数值试验来说明主要结果。确认。作者非常感谢匿名评论者，他们的评论和建议帮助改进了前两个版本。5附录最优交易策略推导（2.1）和预算方程（2.2）。我们可以使用标准的随机控制方法来解决问题（1.1）。定义值函数u byu（x，t）=supπ，cE中兴通讯-δ（s-t） U（cs）ds+e-δ（T-t） U（XT）Xt=x对于（x，t）∈ R+×[0，T]。然后满足HJB方程（5.1）ut+maxπ{σxπuxx+xπσθux}+rxux- δu+最大值≥0{U（c）- cux}=0，表示（x，t）∈ R+×[0，T），终端条件u（x，T）=x的u（x）∈ R+，其中ux（x，t）是u对x的偏导数，在（x，t）处求值（为了简化符号，我们省略了（x，t）不等式（5.1）），tu和UXX的定义类似。让Vibe成为Ui的双重功能，i=1，2，定义见（1.5）。

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2022-6-10 10:25:51

然后通过非负（sinceUi（0）=0），连续可微，严格递减，严格凸函数。HJB方程（5.1）中的最优投资和消费策略由（5.2）π给出*（x，t）=-θσuxuxx，c*（x，t）=-V′（ux）。HJ B方程（5.1）可写成（5.3）ut型-θuxuxx+rxux- δu+V（ux）=0。方程（5.3）是一个完全非线性的偏微分方程，通常很难求解。在文献中，方程（5.3）是用一些试错法来求解的，当UAR和UAR使用相同的功率效用函数时，这种方法是有效的。Bian et al.（2011）和Bian and Zh eng（2015）应用对偶随机控制方法来解决问题（1.1），并表明HJ B方程（5.1）有一个经典解，可以用相应对偶控制问题的对偶函数来表示。双重控制问题的值函数v（y，t）满足线性PDE（5.4）vt+θyvy y- （r）- δ）伊维- （y，t）的δv+v（y）=0∈ R+×[0，T），最终条件v（y，T）=v（y）。其解v在R+×[0，T]上是连续的，在R+×[0，T]上是连续的，在R+×[0，T]上是C2,1，且v在y上是严格递减的，且对于fixedt<T，v在y上是严格凸的。HJB方程（5.1）的经典解由u（x，T）=v（y，T）+xy给出，其中y是方程x的唯一解=-vy（y，t）。这导致ux（x，t）=y和uxx=-1/vy y。从（5.2）中，我们得出最佳投资量A（x，t）和最佳消费率C（x，t）由A（x，t）=xπ给出*（x，t）=θσyvy y（y，t），C（x，t）=C*（x，t）=-V′（y）。为了简化符号，我们定义τ=T- t、时间范围。然后T→ ∞ 等于τ→ ∞. 我们仍然使用t来表示时间范围变量，而不是τ。很容易验证vy（y，t）是初值问题（5.5）wt的解-θywy y+（r- δ - θ）（y，t）的ywy+δw=V′（y）∈ 初始条件vy（y，0）=V′（y），y的R+×R+∈ R+。

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2022-6-10 10:25:56

根据泊松公式，方程（5.5）的解由（5.6）vy（y，t）=-I（y，t）-ZtI（y，τ）dτ，yvy y（y，t）=J（y，t）+ZtJ（y，τ）dτ，证明了（2.1）和（2.2）。数学证明的预备课程。我们需要一些公关方面的技术成果。Simplecalculus给出了任何常数A的表达式，（5.7）√πZ∞-∞e-η-Aηdη=ea因此对于任何q<1，（5.8）eβt√πZ∞-∞e-η-(α-1） a√tη（η2a√t+α- 1） e（q-1） a√tηdη=（q- 1） eλ（q）tand（5.9）eβt√πZ∞-∞e-η-(α-1） a√tη|η2a√t+α- 1 | e（q-1） a√tηdη≤ [1 -q+a√πt]eλ（q）t。对于任何y>0的情况，Vi的凸性意味着Vi（y）≥ 六（y）-yV′i（y），加上V的递减性和非负性，得到（5.10）0≤ -yV′i（y）≤ 2Vi（y）≤ 2Vi（），所有y≥ 1、在证明中我们需要以下代数不等式：（5.11）| xc- yc |≤ （1+c）最大{x，y}c-1 | x- y |对于所有x，y≥ 0和0<c<∞. （5.11）可以证明如下：假设x>y>0，让z=x/y，那么z>1，（5.11）等价于zc-1.≤ （1+c）（zc-zc公司-1). 设g（z）=zc-1.-（1+c）（zc-zc公司-1).然后g′（z）=czc-1.- （1+c）（czc-1.- （c）- 1） zc公司-2) = -c（1- z） zc公司-2.- zc公司-2.≤ z为0≥ 1、So g是递减的，g（z）≤ g（1）=0表示z≥ 1、对于任何q<\'q<1，λ=λ（q），\'λ=λ（\'q）（5.12）e'λty'q-1=（eλtyq-1） \'\'q-1季度-1e（(R)λ）-λ′q-1季度-1） t.和（5.13）(R)λ- λ′q- 1季度- 1=（(R)q- q） [θ（(R)q- 1） +rq- 1] < 0.定理2.3的证明。因为U′i（x）=xpi-1对于i=1，2，对偶函数由v′i（y）=-yqi公司-1式中，qi=pi/（pi）- 1). 将V′i（y）代入（5.6），同时注意（5.7），我们得到vy（y，t）=-eλtyq-1.-eλt- 1λyq-因此，我们从（2.1）中得出（2.4），其中y是方程（2.5）的解。接下来，我们通过直接讨论三个案例来完成证明。案例1。当q<q时*或q≤ q*, λ>0或λ≥ 我们知道解y=uxto方程（2.5）必须倾向于∞ 当t趋于∞ （否则，（2.5）的右侧倾向于∞ ).我们可以在（2.5）中找到t趋向的支配项∞ 对于不同的q和q，假设q=q=q≤ q*.

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