设X是一条独立于Gj+1的一般轨迹，并表示一系列最佳停止时间τ*j、 j=1。。。，J、 按τ*J=J，对于J<J，τ*j： =j 1fj（Xj）≥cj（Xj）+ τ*j+1fj（Xj）<cj（Xj）.对于j<j，则有fτ*j+1（Xτ*j+1）- fτj+1（Xτj+1）=fj+1（Xj+1）- fτj+1（Xτj+1）{τ*j+1=j+1，τj+1>j+1}+fτ*j+1（Xτ*j+1）- fj（Xj+1）{τ*j+1>j+1，τj+1=j+1}+fτ*j+1（Xτ*j+1）- fτj+1（Xτj+1）{τ*j+1>j+1，τj+1>j+1}。暂时表示E：=EGj+1，表示Rj：=Ehfτ*j+1（Xτ*j+1）- fτj+1（Xτj+1）Xji，我们有Rj≥ 0几乎可以肯定，andRj=Ehfj+1（Xj+1）- Efτj+2（Xτj+2）Xj+1{τ*j+1=j+1，τj+1>j+1}Xji+EhEhfτ*j+2（Xτ*j+2）Xj+1i- fj+1（Xj+1）{τ*j+1>j+1，τj+1=j+1}Xji+EhEhfτ*j+2（Xτ*j+2）- fτj+2（Xτj+2）Xj+1i{τ*j+1>j+1，τj+1>j+1}Xji=：T+T+EhRj+1{τ*j+1>j+1，τj+1>j+1}Xji。（A.7）对于Twe haveT=Ehfj+1（Xj+1）- Ehfτ*j+2（Xτ*j+2）Xj+1i{τ*j+1=j+1，τj+1>j+1}Xji+EhEhfτ*j+2（Xτ*j+2）Xj+1i- Efτj+2（Xτj+2）Xj+1{τ*j+1=j+1，τj+1>j+1}Xji和sincecj+1（Xj+1）≥ fj+1（Xj+1）≥ Ehfτ*j+2（Xτ*j+2）Xj+1i=cj+1（Xj+1）≥ Efτj+2（Xτj+2）Xj+1关于{τ*j+1=j+1，τj+1>j+1}，我们得到0≤ T≤ Eh（cj+1（Xj+1）- cj+1（Xj+1））1{τ*j+1=j+1，τj+1>j+1}Xji+EhRj+1{τ*j+1=j+1，τj+1>j+1}Xji。（A.8）同样，对于T，我们发现（A.9）0≤ T≤ Eh（cj+1（Xj+1）- cj+1（Xj+1））1{τ*j+1>j+1，τj+1=j+1}Xji。结合（A.7）、（A.8）和（A.9），yieldsRj≤ E[| cj+1（Xj+1）- cj+1（Xj+1）| | Xj]+E[Rj+1 | Xj]。DYN公司。OPT编程。通过伪回归25使用塔特性和最终条件，通过直接归纳停止-1=0，然后我们得到0≤ cj（Xj）- ecj（Xj）≤J-1Xl=j+1E[| cl（Xl）- cl（Xl）| | Xj]。现在取Xl=Xj，ulin依赖于Gj+1，然后在两侧取Lp标准值，因为Xj，Uj的分布~ u，应用三角形不等式，并使用（A.10）E[E[| cl（Xl）- cl（Xl）| | Xj]p]≤ E[| cl（Xl）- cl（Xl）| p]，我们最终获得（4.6）。A、 3。引理4.6的证明。

设X是独立于Gj+1的一般轨迹。对于j<j（见（3.5）），| cj（Xj）- ecj（Xj）|≤ |E[最大值[fj+1（Xj+1），cj+1（Xj+1）]- 最大值[fj+1（Xj+1），cj+1（Xj+1）]| Xj]|≤ E[| cj+1（Xj+1）- cj+1（Xj+1）| | Xj]。现在取Xj+1=Xj，Uj+1，独立于Gj+1，由于Xj，Uj的分布，两侧的Lp范数~ u，使用（A.10），我们得到（4.9）。A、 4。定理4.5的证明。这个定理将用归纳法加以证明。由于OREM 4.1，我们几乎可以肯定EGJ+1hkcj-ecjkL（uj）i≤ CKM+Cinfw∈ span{ψ，…，ψK}kecj- wkL（uj），hencekcj-ecjkL（ujP）≤ CrKM+Cinfw∈ span{ψ，…，ψK}kecj- wkL（ujP） （A.11）对于一些C，C>0，不依赖于j、K和M以及分布uj。我们现在证明η的陈述（4.7）：=max（C，C）。自ecJ以来-1=cJ-1时间J- 1，（4.7）由（A.11）表示，j=j- 1、假设该语句适用于0<j+1≤ J- 让我们写下，（A.12）infw∈ span{ψ，…，ψK}kecj- wkL（ujP）≤ kecj公司- cjkL（ujP） +输入∈ span{ψ，…，ψK}kcj- wkL（uj）。通过使用（A.11），（A.12），以及应用于引理4.3且p=2的无条件期望，我们得到了kcj- cjkL（ujP）≤ kcj公司-ecjkL（ujP） +kecj- cjkL（ujP）≤ CrKM+Cinfw∈ span{ψ，…，ψK}kcj- wkL（uj）+（C+1）kecj- cjkL（ujP）≤ ηεj，M，K+（η+1）j-1Xl=j+1kcl- clkL（uj，lP） 。（A.13）26克里斯蒂安·拜耳（CHRISTIAN BAYER）、马丁·雷德曼（MARTIN REDMANN）、约翰·舍恩马克斯（JOHN SCHOENMAKERSNext）观察到（A.14）kcl- clkL（uj，lP） =ZRdEh | cl（x）- cl（x）| iuj，l（x）ul（x）ul（x）dx≤ R∞氯化钾- clkL（ulP） ，其中（A.13）产生，（A.15）kcj- cjkL（ujP）≤ ηεj，M，K+R1/2∞（η+1）J-1Xl=j+1kcl- clkL（ulP） 。使用归纳假设，我们得到，（A.16）J-1Xl=j+1kcl- clkL（uj，lP）≤J-1Xl=j+1ηεl，M，K1+R1/2∞(η + 1)J-l-1.≤ ηεj，M，K1+R1/2∞(η + 1)J-j-1.- 1月1日/2日∞(η + 1).然后结合（A.15）和（A.16），我们得到（4.7）。A、 5。定理4.7的证明。通过归纳，证明类似于第4.5条中的证明。

根据定理4.1，我们再次得到（见（A.11））（A.17）kcj-ecjkL（ujP）≤ CrKM+Cinfw∈ span{ψ，…，ψK}kecj- wkL（ujP） 对于一些C，C>0，不依赖于j、K和M以及分布uj，其中ECJI由（4.8）定义。自ecJ以来-1=cJ-1时间J-1，（4.11）从（A.17）开始，对于j=j，η=max（C，C）- 假设（4.11）被证明为0<j+1≤ J-现在（A.12）也适用于当前设置。然后，通过（A.17），（A.12），将无条件期望应用于引理4.6，p=2，我们得到（A.13）（A.18）kcj的类似物- cjkL（ujP）≤ ηεj，M，K+（η+1）kcj+1- cj+1公斤（uj，j+1P） 。接下来观察，类似于（A.14），kcj+1- cj+1公斤（uj，j+1P）≤ R+kcj+1- cj+1公斤（ujP） 。因此，根据（A.18）和归纳假设，kcj- cjkL（ujP）≤ ηεj，M，K+R1/2+1（η+1）kcj+1- cj+1公斤（uj+1P）≤ ηεj，M，K+R1/2∞（η+1）ηεj+1，M，KR1/2+（η+1）J-j-1.- 1R1/2+（η+1）- 1.≤ ηεj，M，KR1/2+（η+1）J-j- 1R1/2+（η+1）- 1.DYN。OPT编程。通过伪回归停止27参考文献【1】L.Andersen和M.Broadie。多维美国期权定价的原对偶模拟算法。管理Sci。，50:1222–1234, 2004.[2] F.Anker、C.Bayer、M.Eigel、M.Ladkau、J.Neumann和J.Schoenmakers。基于SDE的线性随机偏微分方程回归。暹罗科学杂志。计算。，39（3）：A1168–A1200，2017年。[3] C.拜耳、D.Belomestny、M.Redmann、S.Riedel和J.Schoenmakers。求解线性抛物型粗糙偏微分方程。ArXiv e-prints，2018年3月。[4] D.Belomestny和J.Schoenmakers。通过粒子系统回归优化停止McKean-Vlasov微分。arXiv预印本arXiv:1806.094832018。[5] Denis Belomestny和John Schoenmakers。优化停车和控制的高级仿真方法。帕尔格雷夫·麦克米兰，伦敦，2018年。在金融领域有应用。[6] 保罗·格拉斯曼。金融工程中的蒙特卡罗方法，《数学应用》（纽约）第53卷。

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