然而，当精算师和其他财务分析师使用这些模型时，24第1章。损失数据分析简介他们是在外部可用变量的背景下进行分析的。在一般的统计术语中，可以称这些为解释变量或预测变量；在统计学、经济学、心理学、设定保险费率和保费方面，还有许多其他名称。早些时候，我们考虑了1110个观察结果的样本，这些观察结果似乎很多。然而，正如我们将在即将到来的应用中看到的那样，由于零的优势和索赔的倾斜性质，多年来，因此增加了样本量。我们稍后将讨论此策略的优势和局限性，但在此关头，我们只想向读者展示它是如何工作的。具体而言，表1.3显示，我们现在考虑的政策是五年的数据，2006年，2010年，含2010年。数据始于2006年，因为2005年索赔编码发生了变化，因此与前几年的比较没有帮助。为了减轻未结索赔的影响，我们考虑2011年之前的保单年份。如果一个人在车祸或工作场所受伤，可能需要数年才能完全了解费用。表1.3显示，平均索赔额随着时间的推移而变化，特别是2010年的高价值，这是由于单笔索赔额不断增加。coverage变量是属性和内容的覆盖率。粗略地说，你可以认为这是保险公司可能支付的最大金额。就我们目前的目的而言，这是我们的第一个评级变量。在其他条件相同的情况下，我们预计覆盖面更大的投保人将拥有更大的索赔额。

随着我们的继续，我们将使这个模糊的想法更加精确。表1.3：建筑和内装物索赔汇总年度平均频率平均严重程度平均保险覆盖率2006年政策持有人人数0.951 9695 32498186 11542007 1.167 6544 35275949 11382008 0.974 5311 37267485 11252009 1.219 4572 40355382 11122010 1.241 20452 41242070 1110R样本中的建筑和内装物索赔汇总代码<-阅读。csv（“数据/属性fundnsample.csv”，标题=T，na。字符串=c（“.”），stringsAsFactors=FALSE）库（doBy）T1A<-汇总依据（频率年，数据=INSSAMPLE，FUN=函数（x）{c（m=平均值（x），num=长度（x））}）T1B<-汇总依据（yAvg年，数据=INSSAMPLE，FUN=函数（x）{c（m=平均值（x），num=长度（x））}）T1C<-汇总依据（BCcov年，数据=INSSAMPLE，FUN=函数（x）{c（m=平均值（x），num=长度（x））}）1【1】、T1A【2】、T1B【2】、T1C【2】、T1A【3】）名称（表1in）<-c（“年份”、“平均频率”、“平均严重程度”、“平均”、“投保人数”）表1为了对这五年样本进行不同的观察，表1.4总结了我们两种结果的分布，频率和索赔金额。在每种情况下，平均值都超过了中位数，这表明这两个分布是右偏的。此外，该表总结了我们的连续评级变量、保险范围和免赔额。该表还表明，这些变量也具有右偏分布。1.3.

案例研究：威斯康星州房地产基金25表1.4：索赔频率和严重程度、免赔额和保险范围摘要最小中位平均最大索赔频率0 1.109 263索赔严重程度0 9292 12922218免赔额500 1000 3365 1000000保险范围（000）8.937 11354 37281 2444797R索赔频率和严重程度、免赔额和保险范围摘要代码示例<-阅读。csv（“数据/属性fundnsample.csv”，标题=T，na。字符串=c（“.”），stringsAsFactors=FALSE）t1<-summaryBy（inssample$Freq ~ 1，data=inssample，FUN=function（x）{c（ma=min（x），m1=median（x），m=mean（x），mb=max（x））}）名称（t1）<-c（“Minimum”，“median”，“Average”，“Maximum”）t2<-summaryBy（inssample$yAvg ~ 1，data=inssample，FUN=function（x）{c（ma=min（x），m1=median（x），m=mean（x），mb=max（x））}）名称（t2<-c（“Minimum”，“median”，“Average”，“Average”，“max（x））}最大“）t3<-汇总依据（扣除~1，数据=样本，FUN=函数（x）{c（ma=最小值（x），m1=中值（x），m=平均值（x），mb=最大值（x））}）名称（t3）<-c（“最小值”，“中值”，“平均值”，“最大值”）t4<-summaryBy（BCcov/1000~1，数据=样本，FUN=函数（x）{c（ma=最小值（x），m1=中值（x），m=平均值（x），mb=最大值（x））}）名称（t4）<-c（“最小值”，“中值”，“平均值”，“最大值”）表2 t4）表2A<-圆形（表2,3）可行<-rbind（“索赔频率”、“索赔严重程度”、“免赔额”、“承保范围（000）”）表2AA<-cbind（可行，如矩阵（表2A））表2AHenceforth侧重于承保范围和免赔额的对数变换。为了了解非连续评级变量和索赔之间的关系，表1.5将索赔结果与这些分类变量联系起来。表1.5显示了按实体类型划分的索赔频率和索赔平均严重程度的实质性变化。它还表明Fire5变量的频率和严重性更高，而NoclaimCreditVariable则相反。

fire5变量的关系与直觉相反，因为在公共保护较好的地区（当保护代码为5或更少时），人们会期望投保人的索赔额更低。当然，还有其他变量影响这种关系。我们将看到，这些背景变量在随后的多元回归分析中得到了解释，这为Fire5变量提供了一个直观、吸引人的（负面）符号。评级变量描述可变描述类型分类变量是六种类型中的一种：（村庄、城市、县、杂项、学校或城镇）LnCoverage总建筑和内容覆盖率，以对数百万美元为单位lndecrete免赔额，在对数DollarAlarmCredit分类变量中，这是四种类型之一：（0、5、10或15）对于主房间的自动烟雾报警器，请使用ClaimCredit二元变量表示过去两年没有索赔。请使用Fire5二元变量表示火灾等级低于5（火灾等级的范围为0到1026）。第1章。

损失数据分析简介稳定1.5：按实体类型、火灾等级和，和NoClaim CreditVariableNumber of PoliciesClaimFrequencyAverageSeverityTypeVillage 1341 0.452 10645 City 793 1.941 16924 County 328 4.899 15453 Misc 609 0.186 43036 School 1597 1.434 64346 Town 971 0.103 19831 Fire5=0 2508 0.502 13935 Fire5=1 3131 1.596 41421 NoClaimCredit=0 3786 1.501 31365 NoClaimCredit=1 1853 0.310 30499总计5639 1.109 31206R索赔代码按实体列出的摘要类型、火灾等级和无索赔CreditByVarSumm<-函数（datasub）{tempA<-summaryBy（频率1，数据=datasub，FUN=函数（x）{c（m=平均值（x），num=长度（x））}）datasub1<-子集（datasub，yAvg>0）tempB<-summaryBy（yAvg 1，数据=datasub1，FUN=函数（x）{c（m=平均值（x））}）tempC<-合并（tempA，tempB，all.x=T）[c（2,1,3）]tempC1<-tempC1作为。矩阵（tempC）return（tempC1）}datasub<-子集（Insample，TypeVillage==1）；t1<-ByVarSumm（datasub）datasub<-子集（样本中，类型城市==1）；t2<-ByVarSumm（datasub）datasub<-子集（在样本中，TypeCounty==1）；t3<-BYVARSUM（datasub）datasub<-子集（样本中，类型MISC==1）；t4<-ByVarSumm（datasub）datasub<-子集（在样本中，类型学校==1）；t5<-ByVarSumm（datasub）datasub<-子集（在样本中，TypeTown==1）；t6<-ByVarSumm（datasub）datasub<-子集（在样本中，Fire5==0）；t7<-ByVarSumm（datasub）datasub<-子集（在样本中，Fire5==1）；t8<-ByVarSumm（datasub）datasub<-子集（Insample，Insample$NoClaimCredit==0）；t9<-ByVarSumm（datasub）datasub<-子集（inssample，inssample$NoClaimCredit==1）；t10<-BYVARSUM（datasub）t11<-BYVARSUM（INSSAMPLE）表格A<-rbind（t1、t2、t3、t4、t5、t6、t7、t8、t9、t10、t11）表格AA<-圆形（表格A、3）1.3。

案例研究：威斯康辛州房地产基金27可行<-rbind（“村庄”、“城市”、“县”、“杂项”、“学校”、“城镇”、“Fire5-否”、“Fire5-是”、“NoClaimCredit-否”、“NoClaimCredit-是”、“总计”）表4<-cbind（可行，如矩阵（Tableaa））表4。例如，当查看所有实体的经验时，我们发现，不受消防站或安保公司24/7监控的投保人会报警信用。特别是，当我们查看entitytype学校时，无警报学分的频率为0.422，严重性为25257，而最高警报级别为2.008和85140。这可能仅仅意味着拥有更多索赔的实体很可能拥有报警系统。

汇总表不检查多变量影响；例如，表1.5忽略了影响声称的规模影响（我们通过覆盖量进行衡量）。表1.6：按实体类型和报警CreditCategoryEntityTypeClaimFrequencyAvg分列的索赔汇总表。SeverityNum。警务ClaimFrequencyAvg。SeverityNum。警察村0.326 11078 829 0.278 8086 54城市0.893 7576 244 2.077 4150 13县2.140 16013 50-1 ISC 0.117 15122 386 0.278 13064 18学校0.422 25523 294 0.410 14575 122城镇0.083 25257 808 0.194 3937 31总计0.318 15118 2611 0.431 10762 23962表1.7：按实体类型和报警信用类别的索赔汇总。SeverityNum。警务ClaimFrequencyAvg。SeverityNum。PoliciesVillage 0.500 8792 50 0.725 10544 408City 1.258 8625 31 2.485 20470 505County 2.125 11688 5.513 15476 2696MISC 0.077 3923 26 0.341 87021 179学校0.488 11597 168 2.008 85140 1013镇0.091 2338 44 0.2619490 88总计0.517 10194 327 2.093 41458 2462R按实体类型和报警信用类别列出的索赔汇总代码#按实体类型和报警列出的索赔汇总CreditByVarSumm<-函数（datasub）{tempA<-summaryBy（Freq ~ AC00，data=datasub，FUN=函数（x）{c（m=平均值（x），num=长度（x））}）datasub1<-子集（datasub，yAvg>0）if（nrow（datasub1）==0）{n<-nrow（datasub return（c（0,0，n））}否则{28第1章。

损失数据分析简介tempB<-summaryBy（yAvg ~ AC00，DATA=datasub1，FUN=function（x）{c（m=mean（x））}）tempC<-merge（tempA，tempB，all.x=T）[c（2,4,3）]tempC1<-as。矩阵（tempC）返回（tempC1）}AlarmC<-1*（样本$AC00==1）+2*（样本$AC05==1）+3*（样本$AC10==1）+4*（样本$AC15==1）ByVarCredit<-函数（ACnum）{datasub<-子集（样本，TypeVillage==1&AlarmC==ACnum）；t1<-ByVarSumm（datasub）datasub<-子集（样本，TypeCity==1&AlarmC==ACnum）；t2<-ByVarSumm（datasub）datasub<-子集（样本中，TypeCounty==1&AlarmC==ACnum）;t3<-ByVarSumm（datasub）datasub<-subset（in样本，TypeMisc==1&AlarmC==ACnum）；t4<-ByVarSumm（datasub）datasub<-子集（样本中，类型学校==1&报警C==ACnum）；t5<-ByVarSumm（datasub）datasub<-subset（样本中，TypeTown==1&AlarmC==ACnum）；t6<-ByVarSumm（datasub）datasub<-subset（Insample，AlarmC==ACnum）；t7<-ByVarSumm（datasub）表格A<-rbind（t1、t2、t3、t4、t5、t6、t7）表格AA<-round（表格A、3）可行<-rbind（“村庄”、“城市”、“县”、“Misc”、“学校”、“城镇”、“总计”）表格4<-cbind（可行，如矩阵（表格AA））}表格4A<-BYVARSCREDIT（1）#按实体类型和报警信用的索赔汇总==004B<-BYVARREDIT（2）#按实体类型和报警信用的索赔汇总==表格054C<-BYVARREDIT VarCredit（3）#索赔按实体类型和警报信贷汇总==10Table4d<-ByVarCredit（4）#按实体类型和警报信贷汇总==151.3.3基金运营我们现在看到了基金的两个结果变量，一个用于索赔数量的计数变量和一个特定数量变量，（对数）免赔额，两个二进制评级变量，无索赔信贷和Fire class，以及两个分类评级变量，实体类型和警报信用。接下来的章节将解释如何分析和建模这些变量的分布及其关系。

在第1.2节描述功能区域之前；现在让我们思考一下这些领域如何在房地产基金的背景下应用。启动保险因为这是一个ZF资助的基金，我们不必担心选择好的或避免贫穷的风险；基金不得拒绝合格的地方ZF实体的保险申请。如果我们不必包销，费用是多少？我们不妨看看2010年的最新经验，基金索赔总额约为2816万美元（=1377起索赔×平均严重程度）。将其分配给1110名投保人，即1.4。进一步的资源和贡献者29表明比率为24370(≈28,160,000/1110). 然而，2010年是糟糕的一年；使用同样的方法，根据2009年的数据，我们的保费会低得多。这种保费的波动将破坏该基金的主要目的，使当地房地产经理可以在预算中使用稳定的费用。为所有投保人制定一个单一的价格很好，但似乎很不公平。例如，表1.5表明，学校的索赔额比其他实体高得多，因此应该支付更多。然而，简单地逐个实体进行计算也是不正确的。例如，我们在表1.6中看到，使用这种策略后，拥有15%警报积分（良好行为，拥有顶级警报系统）的实体实际上会支付更多的费用。因此，我们有数据来考虑适当的收费率，但需要深入分析。我们将在第6章“保费计算基础”中进一步探讨此主题。第7章风险分类中介绍了选择适当的风险。续保续保；这是典型的一般保险。

对于续保保单持有人，除了他们的评级变量稳定1.3表明，过去两年没有索赔的保单持有人的索赔频率远低于至少发生过一次事故的保单持有人（0.310，而1.501）；较低的预测频率通常不会导致ClaimCrediting。我们将在第8章“经验评级”中进一步探讨此主题。索赔管理当然，2010年的主要经验是超过1200万美元的大额索赔，几乎是当年索赔的一半。有没有办法预防或缓解这种情况？Are they ways前面提到的经验是，一位投保人的索赔频率非常高（239）。考虑到当年只有1377宗索赔，这意味着单个投保人拥有17.4%的索赔。这也为管理索赔提供了机会，这是第9章的主题。损失准备金在我们的案例研究中，我们只关注已结案索赔的一年结果（与未结案索赔相反）。然而，决定保险公司应保留多少以履行其义务的纪律。1.4进一步资源和贡献者贡献者o威斯康星大学麦迪逊分校Edward W.（Jed）Frees是该书的主要作者。本书介绍了与精算师和其他金融风险分析师最相关的损失数据分析工具。以下是本章引用的一些参考资料。30第1章。损失数据分析简介Schapter 2频率建模章节预览。保险公司的一个主要关注点是估计其必须引起重大关注的总索赔额，这对于分析和定价至关重要。

本章讨论频率分布、度量和参数估计技术。2.1频率分布2.1.1频率如何增加严重性信息基本术语我们使用Claim表示保险事故发生时的赔偿。虽然一些作者将索赔和损失互换使用，但其他人认为损失是被保险人支付的金额，而索赔是保险人支付的金额。频率表示保险事故发生的频率，通常在保单合同中。这里，我们重点关注表示索赔数量的随机变量计数，即事件发生的频率。Severitydenotes保险事故每次付款的金额或规模。在未来的章节中，将研究将频率模型与严重性模型相结合的聚合模型。第1章FrequencyRecall的重要性在于，设定保险商品的价格可能是一个复杂的问题。在制造业中，商品的成本（相对）是已知的。在其他金融服务领域，可以获得市场价格。在保险中，我们可以将价格设置概括如下：从预期成本开始。添加“保证金”以说明产品的风险、产品维修费用以及保险公司的利润/盈余准备金。预期保险成本可以定义为预期索赔次数乘以预期金额，即直接影响损失发生的因素，从而可能产生索赔。然后可以对频率过程进行建模。32第2章。

频率建模为什么检查频率信息保险公司和其他利益相关者（包括政府组织）有各种收集和维护频率数据集的动机。o合同-在保险合同中，通常会产生特定的免赔额和保单限额，以表明符合这些标准的索赔数量，从而提供独特的索赔频率度量。扩展这一点，总保险损失模型需要考虑每个保险事故的免赔额和保单限额行为-在考虑影响损失频率的因素时，风险承担和风险降低对事件发生频率与事件规模的模型产生不同影响在医疗保健领域，个人利用医疗保健的决定，以及通过预防性护理和健康措施尽量减少此类医疗保健的利用，主要与个人特征有关。每个用户的成本由个人、医疗状况、潜在治疗措施以及医疗保健提供者（如医生）和患者做出的决定决定决定。虽然这些因素以及它们如何影响医疗总成本存在重叠，但可以将注意力集中在医疗就诊频率和医疗成本严重性的单独驱动因素上指示被保险人是否在合同签订前的特定时间段内提出索赔的指标在房主保险中，在建模潜在损失频率时，保险人可以考虑房主采取的损失预防措施，例如可见的安全系统。另外，在建模损失严重程度时，保险公司将检查影响维修和安置成本的因素数据库。许多保险公司保留单独的数据文件，建议开发单独的频率和严重性模型。

例如，保单持有人文件是在编写保单时建立的。该文件记录保险范围、免赔额和限额等政策信息，以及保险索赔事件。金额。（也可能有一个“付款”文件记录付款的时间安排，尽管我们在此不作讨论。）这种记录过程使得保险公司很自然地将频率和严重性建模为单独的过程监管和行政在为面临风险的个人和公司提供金融安全方面的重要性。作为其职责的一部分，监管机构通常要求报告索赔数量和金额。这可能是因为“金额”可以有其他定义，如已付与已发生，并且在报告索赔编号时，潜在错误较少。这种持续监控有助于确保这些保险公司的财务稳定。2.2基本频率分布在本节中，我们将介绍精算实践中常用的模型计数数据分布。索赔计数随机变量用n表示；就其本质而言，它只假定非负整数值。因此，下面的分布都是非负整数集（Z+）上支持的离散分布。2.2. 基本频率分布332.2.1 FoundationsSinces是一个取z+值的离散随机变量，其分布的最自然的完整描述是通过规定其假设每个非负整数值的概率。这就引出了N的概率质量函数（pmf）的概念，表示为aspN（·），定义如下：pN（k）=Pr（N=k），对于k=0，1。

（2.1）我们注意到，对n的分布有替代的完整描述或特征描述；例如，用FN（·）表示的N的分布函数如下所述：FN（x）：=bxcPk=0Pr（N=k），x≥ 0;0，否则。（2.2）在上述情况下，b·C表示FLOOR功能；bxc表示小于或等于tox的最大整数。Wesurvival functionsn·FN·SN（·）：=1- FN（·）。显然，后者是氮分布的另一个表征。人们通常对量化分布的某个方面感兴趣，而不是对其完整的描述。这在比较分布时特别有用。地理位置中心的分布是最受欢迎的；N的平均值用uN表示，定义为uN=∞Xk=0kpN（k）。（2.3）我们注意到uNis是随机变量的预期值，即uN=EN。这导致一般RNR>Nrand，用uN（r）表示。因此，对于r>0，我们有uN（r）=ENr=∞Xk=0krpN（k）。（2.4）我们注意到，uN（·）是一个定义良好的非递减函数，取[0，∞), asPr（N∈ Z+=1；此外，请注意uN=uN（1）。分布的另一个基本方面是其分散性，在文献中研究的各种分散性度量中，标准偏差是最流行的。为了定义它，我们首先定义方差Fn，用Var N表示，asVar N：=E（N- uN）当unifinite时。根据随机变量预期值的基本性质，我们可以看到Var N：=EN-（英语）。用σN表示的N的标准偏差定义为Var N的平方根。注意，后者定义为Var N，定义为平均值的平均平方偏差，是非负的；Var Nis由σN表示。请注意，这两个度量值取[0，∞).例如，如果有3个风险因素，每个风险因素的级别数分别为2、3和4，那么我们有k=（2- 1) × (3 - 1) × (4 - 1） =6.34第2章。

频率建模2.2.2矩和概率生成函数我们将介绍两个在处理计数变量时有用的生成函数。回想一下，N的矩母函数（mgf）表示为MN（·），定义为asMN（t）=E etN=∞Xk=0etkpN（k），t∈ R、 我们注意到，whileMN（·）定义得很好，因为它是一个非负随机变量（etN）的期望值，尽管它可以假设∞. 请注意，对于计数随机变量，MN（·）的有限值为(-∞,0]mn（0）=1。以下定理的证明见（Billingsley，2008）（第285-6页），概括了其命名的原因。定理2.1。计算一个随机变量，使Eet*somet的Nis定义*>我们有以下几点：N的所有时刻都是有限的，即ENr<∞, r≥ 0.mgf可用于生成其力矩，如下所示：dmdtmMN（t）t=0=ENm，m≥ 1、mgf-MN（·）表征了其分布；换句话说，它独特地规定了分布。mgf作为工具非常有用的另一个原因是，对于两个独立的随机变量X Andy，当其mgf存在于0附近时，X+Y的mgf是其各自mgf的乘积。与mgf相关的生成函数称为概率生成函数（pgf），它是随机变量取z+值的有用工具。对于随机变量，我们用PN（·）表示其Pgfan，并将其定义为：PN（s）：=E sN，s≥ 0。（2.5）很容易看出，如果mgf MN（·）存在于(-∞, t型*) 然后pn（s）=MN（log（s）），s<et*.此外，如果pgf存在于间隔[0，s*) 带*>1，则mgfMN（·）存在于(-∞, 日志（s）*)),Nof定理2.1，尤其是它的名字。定理2.2。计算一个随机变量，使E（s*)为某些人确定*>1.

我们有以下几点：N的所有时刻都是有限的，即Nr<∞, r≥ 0.N的pmf可从pgf中导出，如下所示：pN（m）=PN（0），m=0；m！dmdsmPN（s）s=0，m≥ N的阶乘矩可导出如下：dmdsmPN（s）s=1=Em-1Yi=0（N- i） ，m≥ 1、pgf PN（·）表征了分布；换句话说，它独特地规定了分布。2.2. 基本频率分布352.2.3重要频率分布在本小节中，我们将研究统计学中使用的三种重要频率分布，即二项分布、负二项分布和泊松分布。在下文中，风险是指由保险覆盖的单位。风险可能是个人、建筑物、公司或其他提供保险的身份。在上下文中，假设一个保险数据集包含索赔数量或以其他方式分层。出于各种原因，上述分配碰巧也是保险实践中最常用的分配，其中一些我们在下文中提到这些分布可以由自然随机实验激发，这些实验很好地近似于许多保险数据产生的实际生命过程。因此，毫不奇怪，他们一起完成了这一章它们为生成其他分布提供了足够丰富的基础，这些分布更接近奥威尔，更符合我们感兴趣的真实情况这三种分布要么是单参数分布，要么是双参数分布。在设置数据时，为参数指定一个特定值。通过将参数视为具有自身概率分布的随机变量（或向量），可以将这组分布扩大到其凸包，而这组更大的分布具有更大的灵活性。

这样的扩大可以更好地解决一个简单的例子，即由属于许多不同风险类别的被保险人产生的索赔组合在保险数据中，我们可能会观察到少量或过多的零，即风险索赔为零。当符合数据时，其标准规范中的频率分布往往无法合理解释这种情况。然而，对上述三种分布的自然修改很好地适应了这一现象，以提供更好的回报。在保险领域，我们对支付的总索赔感兴趣，其分布是由确定的频率分布和严重性分布组成的。这三种分布的特性使其易于处理生成的聚合严重性分布。二项式分布我们从二项式分布开始，二项式分布源于任何一系列相同且独立的抛投实验，结果是正面或反面。因此，如果在一系列的独立抛硬币实验中，用相同的硬币记录人头数，该硬币的正面概率为qnm、qminteger和q∈[0,1]. 注意，当nq=0（分别，q=1）时，分布退化为N=0（分别，N=m），概率为1。显然，它的支持∈（0,1）等于{，，…，m}，pmf givenbypk：=mk公司qk（1- q） m级-k、 k=0，m、 之所以命名为pmf，是因为pmf从（q+（1）的二项展开式中得出的项中取值- q） ）m。然后，此实现导致二进制分布的pgf的以下表达式：P（z）：=mXk=0zkmk公司qk（1- q） m级-k=mXk=0mk公司（zq）k（1- q） m级-k=（qz+（1- q） ）m=（1+q（z）- 1） ）m.在（8.4）中已经暗示了更喜欢乘法形式而不是其他形式（例如加法形式）。36第2章。

频率建模注意，pgf的上述表达式证实了一个事实，即二项分布是伯努利分布的卷积，伯努利分布是m=1和pgf（1+q（z））的二项分布-1)). 此外，请注意，二项分布的mgf由（1+q（et- 1） 二项分布的中心矩可以通过几种不同的方式找到。为了强调这是伯努利分布的am卷积这一关键性质，我们利用这一性质推导了下面的矩。我们首先观察到带有参数Qassigns的贝努利分布的Qand概率- qto分别为1和0。因此，其平均等式q（=0×（1- q） +1×q）；注意，其原始第二动量等于其平均值asN=nw，概率为1。利用这两个事实，我们可以看到方差等于Q（1-q） 。继续讨论带参数的二项式分布，利用贝努利分布的卷积，我们写出n，…，的和，Nm，其中iid Bernoulli变量为。现在，利用伯努利矩和期望的线性，我们可以看到e N=EmXi=1Ni=mXi=1E Ni=mq。此外，利用独立随机变量之和的方差是其方差之和的事实，我们可以看到Var N=VarmXi=1Ni=mXi=1Var Ni=mq（1- q） 。练习中建议对上述力矩进行交替推导。特别是从应用的角度来看，一个重要的观察结果是，除非q=0，否则平均值大于方差。泊松分布（Poisson DistributionPoisson）可能是最广为人知的离散分布。这在一定程度上是因为，如果某类事件的发生率是一个常数，它自然会随着某一时间段内某类事件随机发生次数的分布而上升。

与此相关，它也作为m的二项分布的渐近极限出现→ ∞ 和mq→ λ.泊松分布由一个参数参数化，该参数通常由λ表示，取（0，∞). 其pmf由pk=e给出-λλkk！，k=0，1。很容易检查上述各项是否为pmf，因为这些项显然是非负的，并且它们的总和符合eλ的有限泰勒级数展开式。更一般地，我们可以推导出它的pgf，P（·），如下所示：P（z）：=∞Xk=0pkzk=∞Xk=0e-λλkzkk！=e-λeλz=eλ（z-1), z∈ R、 从上面，我们推导出其mgf如下：M（t）=P（et）=eλ（et-1） ，t∈ R、 在推导其平均值时，我们注意到对于泊松分布kpk=（0，k=0；λpk-1，k≥ 1.这很容易检查。特别是，这意味着e N=Xk≥0k pk=λXk≥1件-1=λXj≥0pj=λ。2.2. 基本频率分布37事实上，更一般地，使用上述的推广或使用定理2.2，我们可以看到-1Yi=0（N- i） =dmdsmPN（s）s=1=λm，m≥ 这尤其意味着Var N=E N- （E N）=E N（N- 1） +E N- （E N）=λ+λ- λ= λ.注意，有趣的是，对于泊松分布Var N=E N。负二项分布，第三个重要的计数分布是负二项分布。回想一下，二元分布是指二元结果实验的独立重复中成功次数的分布。相反，如果我们考虑成功的数量，直到我们观察到参数中的失败是任何正实数，不幸的是，如果不是整数，上述随机实验将不适用。为了更普遍地激发分布，并在解释其名称的过程中，我们回顾了二项式序列，即（1+x）s=1+sx+s（s- 1)2!x+。

..., s∈ R|x |<1。如果我们定义sk公司, 广义二项式系数sk公司=s（s）- 1） ···（s）- k+1）k！，那么我们有（1+x）s=∞Xk=0sk公司xk，s∈ R|x |<1。如果我们让s=-r、 然后我们看到，上述结果（1- x）-r=1+rx+（r+1）r2！x+=∞Xk=0r+k- 1公里xk，r∈ R|x |<1。这意味着如果我们定义pkaspk=k+r- 1公里1 + βrβ1 + βk、 k=0，1。对于r>0且β>=0，则定义有效的pmf。这种定义的分布称为参数（r，β）为负二项分布，r>0和β≥此外，二项式级数还意味着该分布的thepgf由p（z）=（1）给出- β（z- 1))-r、 | z |≤ 1 +β, β ≥ 0.以上表示mgf由m（t）=（1）给出- β（et- 1))-r、 t型≤ 日志1 +β, β ≥ 我们使用定理2.1推导其矩，如下所示：38第2章。频率建模N=M（0）=rβet（1- β（et- 1))-r-1.t=0=rβ；E N=M（0）=rβet（1- β（et- 1))-r-1+r（r+1）βe2t（1- β（et- 1))-r-2.t=0=rβ（1+β）+rβ；和EN=EN- （EN）=rβ（1+β）+rβ- rβ=rβ（1+β）我们注意到，当β>0时，我们有Var N>EN。换言之，这种分布是均匀分布的（相对于泊松分布）；类似地，当q>0时，二项分布被称为欠分散（相对于泊松分布）。最后，我们观察到泊松分布也是负二项分布的一个极限。为了确定这一点，让βrbe使α-α-β-α-α-β-β-α-β-β-β-β-β-β-β-β-β-β-α>0。然后，我们发现参数为（r，βr）的负二项分布的MGF满足→0(1 - βr（et- 1))-r=exp{λ（et- 1） }，上述方程的右侧是参数为λ2.3的泊松分布的mgf，在上一节中，我们研究了三种分布，即二项分布、泊松分布和负指数分布。

在泊松情况下，为了推导其平均值，我们使用了kpk=λpk的事实-1，k≥ 1，可等效表示为aspkpk-1=λk，k≥ 有趣的是，我们可以类似地表明，对于二项式分布pkpk-1=-第一季度- q+（m+1）q1- qk、 k=1，m、 对于负二项分布pkpk-1=β1 + β+（r）- 1)β1 + βk、 k级≥ 1、以上关系均为formpkpk-1=a+bk，k≥ 1.（2.6）关系。从leta<0开始。在这种情况下为（a+b/k）→ a<0询问→ ∞, 左边的比率是非负的，因此ifa<0则应满足B=-ka，为了somek≥1、任何一对（a、b）都可以写为-第一季度- q、 （m+1）q1- q, q∈ （0，1），m≥ 1.对应于VAgecat12.4。估计频率分布39注意，当a<0且a+b=0时，会产生退化的at 0分布，这是q=0且任意m的二项分布≥ 1、在ofa=0的情况下，再次通过比率k/pk的非负性-1、我们有≥如果b=0，则分布为qλ分布，β=0。如果b>0，那么很明显，这样的分布是泊松分布，平均值（即λ）等于b。在a>0的情况下，同样通过比率k/pk的非负性-1，我们有A+b/k≥0表示所有K≥其中最严格的是不平等A+b≥注意，A+b=0再次导致0处的简并度；排除这种情况，我们有a+b>0或等效的yb=（r-1） A大于0。一些代数很容易得出pk的以下表达式：pk=k+r- 1公里pak，k=1，2。当nr>0时，上述级数收敛于a<1，其和由p给出*((1-（a）(-r）-1). 因此，将后者等于1- pwe getp=（1- （a）(-r） 。

所以在这种情况下，对（a，b）的形式是（a，（r-1） a），对于r>0和0<a<1；由于等效参数化为（β/（1+β），（r-1） β/（1+β）），对于r>0和0<β，我们从上面可以看出，这种分布是负二项分布。从上述发展中，我们看到，复发率（2.6）不仅将这三种分布联系在一起，而且还刻画了它们的特征。因此，在精算文献中，这三种分布统称为（a、b、0）类分布，其中0表示复发的起点。注意，（a，b）所暗示的Pis值，因为概率之和必须为1。当然，（2.6）正如APK所看到的，即使在频率分布属于（a，b，0）类的复合分布的情况下，它也会这样做——这一事实是从这个角度研究这三种分布的更重要的动机。示例2.3.1。离散概率分布具有以下性质pk=c1+k主键-1k=1，2，3。p=确定该离散随机变量的期望值。示例解决方案：由于pmf满足（a，b，0）递推关系，我们知道基础分布是b/a）等于2，我们知道它是负二项分布，r=3。此外，因为对于负的binomialp=r（1+β）-（r+1）β，我们有β=3。最后，由于负二项式isrβ的平均值，因此给定分布的平均值等于9.2.4估计频率分布2.4.1参数估计在第2.2节中，我们介绍了三种重要分布，用于建模来自保险的各类计数数据。

现在让我们假设我们有一组计数数据，我们希望对其进行分布，并且我们已经确定其中一个（a、b、0）分布比其他分布更合适。由于如果我们允许其参数取任何允许值，其中每一个都会形成一类分布，因此仍然需要确定手头数据的参数的最佳值。这是a40第2章。最大似然频率模型通常会产生有效的估计量。在本节中，我们将描述这种范式并推导最大似然估计（MLE）。假设我们观察到iid随机变量X，X，xn来自pmfpθ的分布，其中θ是Θ中的未知值 Rd.例如，在泊松分布pθ（x）=e的情况下-θθxx！，x=0，1，Θ=（0，∞). 在二项分布的情况下，我们有pθ（x）=mx公司qx（1- q） m级-x、 x=0，1，m、 θ：=（m，q）∈ {,,, . . .} ×（0,1）.让我们假设观测值为x，…，xn；在这种情况下，从pθequalsnYi=1pθ（xi）观测该样本的可能性。Lθ依赖于数据，强调我们将其视为参数的函数。例如，在泊松分布的情况下，我们有l（λ）=e-nλλPni=1xinYi=1xi！！-1.在二项分布的情况下，我们haveL（m，q）=nYi=1mxi公司!qPni=1xi（1- q） 纳米-Pni=1xi。θ的最大似然估计量（mle）是似然的任何最大化子；在某种意义上，最大似然估计选择了最能解释观测结果的参数值。考虑来自aBernoulli分布（m=1的二项式）的3号样本，其值为0，0。这种情况下的可能性很容易检查为等式（q）=q（1- q） ，图2.1给出了可能性图。

如图所示，似然/q/q/的最大值可以借助代数来表示q（1- q）=q-q-+,并得出结论，最大值等于4/27，在Q=1/3时达到（利用第一项为广义的事实。通常，人们借助微积分来推导mle-注意，对于某些可能性，可能必须求助于其他优化方法，尤其是当可能性有许多局部极值时。通常会等效地最大化可能性的对数（·），以byl（·）表示，并查看其第一个导数（·）的零集。在上述可能性的情况下，l（q）=log（q）+2 log（1- q） ，andl（q）：=ddql（q）=q-1.- q、 l（·）的唯一零点等于1/3，sincel（·）为负，我们有1/3是likelihood的唯一最大化子，因此它的mle。我们在这里使用矩阵导数。使用l（·）的一个小小好处是，l（·）中的常数项不会出现在l（·）中，而会出现在l（·）中。2.4. 估计频率分布41图2.1：伯努利2.4.2频率分布中（0，1，0）3样本的可能性mle在下面，我们推导（a，b，0）类的三个成员的mle。我们首先总结上面的讨论。在观察iid随机变量X，X，xn来自pmf pθ的分布，其中θ是Θ中的未知值 Rd，似然L（·），一个函数定义为L（θ）：=nYi=1pθ（xi），其中x，X测量观察值。

θ的最大似然估计量（mle），表示为^θMLEisa函数，该函数将观测值映射到L（·）的最大化子集的一个元素，即{θ| L（θ）=maxη∈ΘL（η）}。注：上述数据集是观测值的函数，即使这种依赖关系没有明确说明。在我们将研究的三种分布的情况下，通常情况下，上述集合是一个单子，概率趋于1（随着样本量的增加）。换言之，对于许多常用的分布，当样本量较大时，最大似然估计是以高概率唯一定义的。在下面，我们将假设我们观察到NIID随机变量X，X，xn来自考虑中的分布，即使参数值未知。还有，x，x，xn表示观察值。我们注意到，在计数数据和离散分布数据的情况下，概率可以交替表示为l（θ）：=Yk≥0（pθ（k））mk，其中mk：=|{i | xi=k，1≤ 我≤ n} |=nXi=1I（xi=k），k≥ 0.n效率意义上的数据。下面，我们用{mk}k表示mle的表达式≥1很好。MLE-泊松分布：在这种情况下，如上所述，似然值由l（λ）=nYi=1xi给出！！-1e级-nλPni=1xi，这意味着l（λ）=-nXi=1log（xi！）- nλ+对数（λ）·nXi=1xi，42第2章。频率建模ANDL（λ）=-n+λnXi=1xi。Sincel<0如果pni=1xi>0，则在样本平均值处达到最大值。相反，最大值是指最小可能的参数值，即mle等于零。因此，我们有^λMLE=nnXi=1Xi。请注意，样本平均值也可以按NXK计算≥1kmk。值得注意的是，在泊松分布的情况下，当基础分布为泊松分布时，^λmle的精确分布以闭合形式可用，即标度泊松分布。这是因为独立泊松随机变量之和也是泊松分布。

当然，对于大样本量，可以使用ordinaryCentral极限定理（CLT）导出法向近似。请注意，如果基础分布是具有有限秒矩的任何分布，则后一种近似值为7。MLE-二项式分布：与泊松分布的情况不同，中的参数空间通过观察似然值由l（m，q）=nYi=1给出mxi公司!qPni=1xi（1- q） 纳米-Pni=1xi，对数似然比byl（m，q）=nXi=1logmxi公司+nXi=1xi！对数（q）+nm-nXi=1xi！日志（1- q） 。请注意，因为CEM只取非负整数值，所以我们无法使用多元微积分来找到最佳值。然而，我们可以使用单变量微积分来证明^qMLE×^mMLE=nnXi=1Xi。（2.7）对此，我们注意到，对于m的固定值，Δδql（m，q）=nXi=1xi！q-纳米-nXi=1xi！1.- q、 Δδql（m，q）=-“nXi=1xi！q+nm-nXi=1xi！(1 - q）#≤ 0.以上表明，对于m的任何固定值，q满足的最大值q=nnXi=1Xi，因此我们建立了方程（2.7）。以上将任务简化为搜索^mMLE，它是2.4最大化器集合的成员。估计频率分布43Lm，nmnXi=1xi！。（2.8）注意，对于小于max1的m值，可能性为零≤我≤nxi，因此^mMLE≥ 最大值1≤我≤nxi。^mMLE^mMLEequal∞, 表明泊松分布比任何二项分布都更适合。这是因为带有参数（m，x/m）的二项分布接近带有参数x的泊松分布，并使用MapProaching in-finity。

一些数据集倾向于泊松分布这一事实并不令人惊讶，因为在上述意义上，泊松分布集位于二项分布集的边界上。有趣的是，在（Olkin et al.，1981）中，他们表明，如果样本平均值小于或等于样本方差，则^mMLE=∞; 否则，存在一个使方程（2.8）最大化的单元。在图2.2L中m、 nmPni=1xi样本最大值。（2，，，，5）中的第一个样本的样本平均值与样本方差的比率大于1（1.875），而（2，，，，6）中的第二个样本的比率等于1.25，接近于1，而（2，，，，7）中的第三个样本的比率小于1（0.885）。对于这三个样品，如图2.2所示，^mMLEequals 7、18和∞, 分别地注意，L的极限值m、 nmPni=1xiasm接近完整等式Nyi=1xi！！-1exp(-nXi=1xi）xnx。（2.9）此外，请注意，图2.2表明，最大似然估计是非稳健的，即数据集的一小部分变化可能会导致估计量发生较大变化。上述讨论提出了以下简单算法：o步骤1。如果样本均值小于或等于样本方差，则^mMLE=∞. mle建议的分布是一个泊松分布，λ=x。Lm，x/mm大于或等于样本最大值，直到（m，x/m）接近泊松（？）的值mLm，x/m计算值等于^mMLE。我们注意到，如果基础分布是具有参数（m，q）（q>0）的二项分布，并且以概率1收敛到q.MLE-负二项分布：负二项分布的情况与二项分布的情况类似，因为我们有两个参数，并且极大似然估计不可用。

它们之间的区别在于，与二项式参数采用正整数不同，负二项式参数可以采用任何正实值。这使得优化问题更加复杂。我们首先观察到可能性可以用以下形式表示：L（r，β）=nYi=1r+xi- 1十一!(1 + β)-n（r+x）βnx。上述情况意味着对数似然度由l（r，β）=nXi=1log给出r+xi- 1十一- n（r+x）log（1+β）+nx logβ，44第2章。频率建模图2.2：二项分布的L（m，x/m）曲线图，因此ΔΔβL（r，β）=-n（r+x）1+β+nxβ。将上述值等于零，我们得到^rMLE×^βMLE=x。上述值将二维优化问题简化为一维问题-我们需要最大化（r，x/r）=nXi=1logr+xi- 1十一- n（r+x）log（1+x/r）+nx log（x/r），关于tor，最大化rB为其mle，βmle=x/rMLE。在（Levin et al.，1977）中，它显示出>lr，x/rrβ^σ≤ xlikelihood将由^λ=x的泊松可能性决定-换句话说，泊松分布会更好地拟合数据。^σ>^u的保证允许我们使用任何算法来最大化l（r，x/r）。对于计算可能性的另一种方法，我们注意到L（r，x/r）=nXi=1xiXj=1log（r- 1+j）-nXi=1log（xi！）- n（r+x）log（r+x）+nr log（r）+nx log（x），其产生nΔδrl（r，x/r）=nnXi=1xiXj=1r- 1+j- 对数（r+x）+对数（r）。我们注意到，在上述表达式中，如果xi=0，则内和等于0。mle forris是最后一个表达式的零，因此可以使用寻根算法来计算它。还有，我们有nΔδrl（r，x/r）=xr（r+x）-nnXi=1xiXj=1（r- 1+j）。巴比伦人被认为是用来计算平方根的。将牛顿方法应用到我们的问题中会得到以下算法：2.4。估计频率分布45步骤i.选择近似解，例如r。

将k设置为0。第二步。定义rk+1asrk+1：=rk-nPni=1Pxij=1rk-1+j- 对数（rk+x）+对数（rk）xrk（rk+x）-nPni=1Pxij=1（rk-1+j）步骤iii.如果rk+1~ rk，然后报告rk+1as MLE；否则，将k增加1，然后重复步骤ii、、、、、。，，，，randβ=5。选择r的起始值，使rβ=^u且rβ（1+β）=^σ，则起始值为23.14286。牛顿法中r的迭代次数为21.39627、21.60287、21.60647、21.60647；上面看到的快速收敛是牛顿方法的典型特征。因此，在本例中，^rMLE~.和^βMLE=8.3308R牛顿法的实现-rShow R CodeNewton的负二项式MLE<-函数（x，abserr）{mu<-均值（x）；sigma2<-均值（x^2）-mu^2；R<-mu^2/（sigma2 mu）；b<-真；iter<-0；而（b）{tr<-R；m1<-均值（c（x[x==0]，sapply（x[x>0]，函数（z）{和（1/（tr-1+z））））；m2<-均值（c（x[x==0），sapply（x[x>0]，函数（z）{和（1/（tr：（tr-1+z））^2）}））；r<-tr-（m1 log（1+mu/tr））/（mu/（tr*（tr+mu））-m2）；b<-！（abs（tr-r）<abserr）；iter<-iter+1；}c（r，iter）}为了总结我们对（a，b，0）类分布的mle的讨论，在下面的图2.3中，我们绘制了表2.1中给出的三个大小为5的样本的泊松似然的最大值，L（m，x/m）为二项，L（r，x/r）为负二项。数据的构建涵盖了样本均值和方差的三个顺序。如图2.3所示，并由理论支持，如果^u<σ，则负二项式将导致更高的最大似然值；如果^u=^σ，泊松将具有最高的似然值；最后，在^u>^σ的情况下，二项式将给出比其他方法更好的结果。

So在用（a，b，，）分布拟合频率数据之前，最好先检查^^^σ边界^u的顺序≥ ^σ^u ≤ ^σ二项式（分别为二项式），这也将由^r=∞ （^m=∞, 各自）。数据平均值（μ）方差（σ）（2，3，6，8，9）5.60 7.44（2，5，6，8，9）6 6（4，7，8，10，11）8 646第2章。频率建模图2.3：（a，b，0）部分最大化概率图稳定2.1：大小为52.5的三个样本其他频率分布在上面，我们讨论了三个分布，其支持度包含在非负整数集中，这很好地满足了许多保险应用。此外，通常通过允许参数是已知（保险人）解释变量（如年龄、性别、地理位置（地区）等）的函数，这些分布允许我们根据这些变量解释索赔概率。研究此类模型的统计研究领域被称为回归分析——这是我们在本书中不会探讨的一个重要的实际兴趣话题；参见（Frees，2009a）。零计数，与其他计数的相对概率分配无关。自然由同质子集组成的数据集的另一个特征是，尽管上述分布可能（a、b、0）分布能够特别满足此类数据集的需要。2.5. 其他频率分布472.5.1零截断或修改假设我们正在查看某个时期内出现在汽车索赔数据库中的汽车保险单。如果要研究这些保单在此期间提出的索赔数量，将影响零计数的比例。