例如，后者修改了零计数的比例。将保险中产生的修改/截断数据集归零。在下文中，我们修改了（a，b，0）类分配给零计数的概率，同时保持分配给非零计数的相对概率-零修正。请注意，由于（a，b，0）类（2.6）复发率（2.6）满足k≥ 这导致了对以下类别分配的定义。定义。计数分布是（A，b，1）类的成员，如果对于某些常量和概率pksatisfypkpk-1=a+bk，k≥ 2.（2.10）注意，由于递归以p和notp开始，我们将（a，b，0）distributionsby（a，b，1）的这个超类称为（a，b，0）。为了理解这个类，回想一下（a，b，0）类的AndBo的每一对有效值对应于一个唯一的概率向量{pk}k≥如果我们现在看概率向量{pk}k≥0由￠pk=1给出- p1- p·pk，k≥ 1，其中▄p∈[0,1）是任意选择的，因为根据{pk}k，正值的相对概率≥0和{pk}k≥0相同，我们有{pk}k≥0满意度复发（2.10）。这尤其表明，（a，b，1）分布的类严格地比（a，b，0）分布的类宽。在上面，我们从and的一对值开始，这导致了一个有效的（a，b，0）分布，然后研究了与此（a，b，0）分布相对应的（a，b，1）分布。现在我们将讨论（a，b，1）类允许a和b的允许值集大于（a，b，0）类。回想一下a<（2.6）k，a<0的（a，b）对（a，b，0）类的允许值与（a，b，1）类的允许值相同。对于a=0的配对，很容易得出相同的结论。

在a>0的情况下，对于（a，b，0）类，约束a+b>0，而对于（a，b，1）类，约束a+b/>0较弱。参数化B=（r-1） 第2.3节中使用的aas，而不是ofr>0，我们现在有较弱的约束ofr>-特别是，我们看到，虽然零修改a（a，b，0）分布会导致（a，b，1）类中的分布，但结论在另一个方向上并不成立。对计数分布F的零修改，如将零概率分配给零计数，则称为F的零截断。因此，概率{pk}k的零截断版本≥0由pk=（0，k=0；pk1）给出-p、 k级≥ 1、尤其是计数分布{pk}k的零修正≥0，由{pMk}k表示≥0，可以写成0处退化分布和{pk}k的零截断的凸组合≥0，由{pTk}k表示≥也就是说，我们有pmk=pM·δ（k）+（1- pM）·pTk，k≥ 0.48第2章。频率建模示例2.5.1。零截断/修正泊松。考虑参数λ=2的泊松分布。Calculatepk，k=0，，，3，对于常用（未修改）、截断和修改版本（pM=0.6）。显示示例解决方案解决方案。对于作为（a，b，0）类成员的泊松分布，我们有a=0和b=λ=2。因此，我们可以使用递归pk=λpk-1/k=2件-1/k在确定启动概率后，针对每种类型。k的概率计算≤ 3如表2.2所示。k pkpTkpMk0 p=e-λ=0.135335 0.61 p=p（0+λ）=0.27067p1-p=0.3130351-pM1-pp=0.1252142 p=pλ= 0.27067磅=磅λ= 0.313035 pM=0.1252143 p=pλ= 0.180447磅=磅λ= 0.208690 pM=pMλ= 0.083476表2.2：k的概率计算≤ 32.6混合物分布在许多应用中，基础人群由自然确定的亚组组成，每个亚组内具有一定的同质性。

在这种情况下，可以方便地对单个子组进行建模，并以彻底的方式对整个群体进行建模。正如我们将在下面看到的，除了该方法的美学外观之外，它还扩展了标准参数分布可以满足的应用范围。Letkdenote一个群体中定义的亚群的数量，letFidenote注意从第i个亚群中得出的另一个观察值的分布。如果我们让αi注意到i亚组中总体的比例，那么从总体中随机选择的观察值的分布，用f表示，由f（x）=nXi=1αi·Fi（x）给出。（2.11）上述表达式可视为Bayes定理的直接应用。例如，考虑将驾驶员大致分为两个亚组，即驾驶经验不足5年的驾驶员和驾驶经验超过5年的驾驶员。α表示经验不足5年的驾驶员比例，f≤5和F>5分别表示每个组中一名驾驶员一年内索赔数量的分布。然后，随机选择的驾驶员的索赔计数分布由α·F给出≤5+ (1 - α） F>5。混合物分布的另一种定义如下。设一个随机变量，其分布i=1，k、 LetIbe是取值为1，，…，的随机变量，k概率α，αk分别为。然后，随机变量NI的分布由方程（2.11）给出。在（2.11）中，我们看到分布函数是分量分布函数的凸组合。这个结果很容易推广到密度函数、生存函数、原始矩和期望，因为这些都是分布函数的线性函数。

我们注意到，对于Central来说，情况并非如此。这特别提供了一种从混合分布进行模拟的方法，该方法利用了成分分布可能存在的有效模拟方案。2.6. 混合分布49很容易看到，asENI=EENI | I+EENI | I=kXi=1αiENi+EENI | I，因此不是方差的凸函数，除非组均值都相等。示例2.6.1。SOA考试题。在某个城镇，一个人一年内可能患的普通感冒的数量遵循泊松分布，这取决于个人的年龄和吸烟状况。人口分布和平均感冒人数如下：人口比例平均感冒人数儿童0.3成年不吸烟者0.6成年吸烟者0.1表2.3：人口分布和平均感冒人数1。计算随机抽取的人一年中患3次普通感冒的概率。2.吸烟者。显示示例解决方案解决方案。1、利用上述发展，我们可以写出所需的概率asPr（NI=3），而不包括随机选择的个体组，其中1、2和3分别表示儿童组、成人非吸烟者组和成人吸烟者组。现在通过条件化，我们得到Pr（NI=3）=0.3·Pr（N=3）+0.6·Pr（N=3）+0.1·Pr（N=3），其中N，N分别为均值为3,1和4的泊松分布。利用上述方法，我们得到Pr（NI=3）~ 0.12352. 所需概率可写为Pr（I=3 | NI=3），等于Pr（I=3 | NI=3）=Pr（I=3；N=3）Pr（NI=3）~0.1 × 0.19540.1235~ 0.1581.在上面的示例中，subsk的数量等于3。一般来说，kc可以是任何自然数，ksubgroup方法。为了激励这种方法，设第i子群的分量分布由gθi给出，其中g·是参数空间为Θ的参数分布族 Rd。

在此假设下，从总体中随机抽取的观测值的分布函数F由F（x）=kXi=1αiG|θi（x）给出，x个∈ R、 可交替写入asF（x）=RGθ（x），x个∈ R、 ИθИθiαii，kkone可以通过将θ视为连续随机变量来模拟上述情况。为了说明这种方法，假设我们有一个拥有an50第2章索赔分布的驾驶人群体。频率建模要求λ-良好驱动力的值较小，其他驱动力的值较大。在种群中存在λ的分布；对该分布建模的一个流行且方便的选择是伽马分布，其中α，θn随机选择驱动因素，是一个带参数的负二项分布（r=α，β=θ）。这可以用很多方式来表示，但一个简单的参数如下：Pr（N=k）=Z∞e-λλkk！λα-1e级-λ/θΓ（α）θαdλ=k！Γ（α）θαZ∞λα+k-1e级-λ（1+1/θ）dλ=Γ（α+k）k！Γ（α）θα（1+1/θ）α+k=α+k- 1公里1 + θαθ1 + θk、 k=0，1。值得一提的是，通过考虑参数类分布的混合，我们增加了类的丰富度，使得混合类能够很好地适应参数分布位于负二项分布边界上的更多应用，通过混合泊松，我们也得到了内部分布。混合建模是保险应用中一种非常重要的建模技术，后面的章节将介绍这种建模技术的更多方面。示例2.6.2。N个|~~确定N=1的概率。显示示例解决方案解决方案。α、 θαθ是αθ。使用这些表达式，我们得到α=和θ=2。现在，可以直接使用上述结果得出结论，NIS分布为负二项，R=α=和β=θ=2。

ThusPr（N=1）=1+r- 1.（（1+β）r）β1 + β=1 +- 1.(1 + 2)1/21 + 2=3/2=0.19245.2.7拟合优度在上述情况下，我们讨论了三种基本频率分布，以及它们增强所有可能频率分布（即非负整数上的分布集）的方法因此，尽管我们已经讨论了估计未知参数的方法，但拟合分布将不适用于建模。事实上，可以证明，mle估计值将收敛到一个值，使得fittedModeling。下面我们介绍一种检验方法——皮尔逊卡方统计法——来检验拟合分布的拟合优度。2.7. 拟合优度51 1993年，新加坡一家大型保险公司提供的7483份汽车保险单的组合中，每个投保人的汽车事故分布如表2.4所示。计数（k）0 1 2 3 4 TotalNo。在有k起事故的保单中（mk）6996 455 28 4 0 7483表2.4：新加坡汽车事故数据如果我们采用泊松分布，则λ的最大似然估计，即泊松平均值，是样本平均值，由n=0·6996+1·455+2·28+3·4+4·0=0.06989给出。现在，如果我们使用泊松（^λMLE）作为拟合分布，则拟合计数和观测计数的表格比较如下表2.5所示，其中^pk表示在拟合泊松分布下的估计概率。使用泊松（n^pk）0 6，996 6，977.861 455 487.702 28 17.043 4 0.40计算观测拟合计数（k）（mk）≥ 4 0 0.01总计7，483 7，483.00表2.5：观察到的计数与拟合计数的比较：新加坡汽车数据虽然fit似乎合理，但表格比较未能对可用于此目的的测试的假设进行统计检验。为了解释这一统计数据，我们假设一个大小为的数据集被分组为mk/nand^pk的kcells，fork=1。

，k分别是属于第k个细胞的观察到的和估计到的无观测概率。皮尔逊卡方检验统计量由kxk=1（mk）给出- nbpk）nbpk。上述统计数据的动机来自Kxk=1（mk- npk）npkha是具有k的极限卡方分布-1个自由度ifpk，k=1，Kare真实的细胞概率。现在假设只有由mk表示的汇总数据，k=1，Kis可用。此外，ifpk是参数的函数，用任何有效估计的概率替换GPK。BPK的统计结果继续具有限制性的卡方分布，但自由度由K给定-- s、 例如，可以通过使用最大似然法（具有多项式似然）或通过估计使皮尔逊卡方统计量最小化的参数来推导此类有效估计。例如，下面的代码确实计算了λ的估计值，并得出估计值0.06623153，接近但不同于使用完整数据的λ的最大似然估计值：m<-c（6996455,28,4,0）；op<-m/总和（m）；g<-函数（lam）{sum（（op-c（dpois（0:3，lam），1-ppois（3，lam）））^2）}；optim（sum（op*（0:4）），g，method=“Brent”，lower=0，upper=10）$par52第2章。频率建模当使用完整数据估计概率时，渐近分布介于带参数的卡方分布之间-1和K-- s、 在实践中，忽视这一微妙之处很常见-- 在泊松分布的情况下，斜视良好。对于新加坡汽车数据，使用λ的全数据最大似然估计，皮尔逊卡方统计量等于41.98。使用卡方检验的极限分布与5--1=3个自由度，我们可以看到。98是最后一个（99%低于12）。

因此，我们可以得出结论，泊松分布为数据提供了不充分的拟合。在上面的表格摘要中，我们从单元格开始。在实践中，一个相关的问题是如何定义单元，使卡方分布很好地近似于统计的有限样本分布。经验法则是确定细胞的数量至少为80%（如果不是所有细胞的预期计数大于5）。此外，很明显，细胞数量越多，测试效果越好，因此一个简单的经验法则是最大化细胞数量，使每个细胞至少有5个观察值。2.8练习理论练习：练习2.1。根据FN（·）和SN（·）推导pN（·）的表达式。练习2.2。等方差nncnc，然后测量的中心位置之间的差异必须相等。表明平均值满足此属性。练习2.3。色散的度量应该是不变的w.r.t.位移和等标度变量。通过执行以下操作表明标准偏差满足这些特性：o表明对于任意常数c，随机变量N的标准偏差等于N+c的标准偏差。o表明对于任意变量N，其标准偏差等于任意正常数c的标准偏差的1/c。练习2.4。设N为概率质量函数为pn（k）的随机变量：=(πk, k≥ 1.0，否则。表明N的平均值为∞.练习2.5。设为具有有限秒矩的随机变量。表明函数ψ（·）由ψ（x）定义：=E（N- x） 。x个∈ Ris最小化为uN，无需使用微积分。此外，使用微积分给出这一事实的证明。

得出结论，最小值等于N的方差。练习2.6。使用以下方法推导（a，b，0）分布的前两个中心矩：o对于二项式分布，仅使用其pmf、mgf和pgf推导矩。o对于泊松分布，仅使用其mgf推导力矩对于负二项分布，仅使用其pmf和pgf推导矩。练习2.7。分别取两个均值为λ和λ的独立泊松随机变量。确定Ngiven N+N.2.9的条件分布。第53章练习2.8中绘图的R代码。（MLE的非唯一性）考虑以下由参数p索引的密度参数族，取[0，1]中的值：fp（x）=p·φ（x+2）+（1- p） ·φ（x- 2） ，x∈ R、 其中φ（·）表示标准正常密度显示所有p∈ [0，1]，上面的fp（·）是一个有效的密度函数在p中找到fp（·）的平均值和方差的表达式xxpequals[0，1]；另外，还表明mle是唯一的。练习2.9。绘制对应于（a，b）值的平面区域，该值产生有效的（a，b，0）分布。对（a、b、1）分布执行相同操作。练习2.10。（计算复杂度）对于（a，b，0）类分布，计算数字NP。pn编号-1暴力方法。你观察到了什么？注重实践的练习：练习2.11。SOA考试题。您得到：1。PK表示k=0、1、2、…，索赔数量等于k的概率。2、pnpm=m！nm级≥ 0，n≥ 0使用pM=0.1的相应零修正索赔计数分布，计算pM。练习2.12。SOA考试题。在一年期间，每天的事故数量分布如下：事故数量0 1 2 3 4 5否。

在第209 111 33 7 5 2天中，您使用卡方检验测量泊松分布的fit，平均值为0.60。任何一组的最小预期观察次数应为5次。应使用最大组数。确定卡方统计量的值。离散概率分布具有以下性质pr（N=k）=3k+98kPr（N=k- 1） ，k=1，2，3。确定Pr值（N=3）。（Ans:0.1609）练习是一组练习，引导观众了解损失数据分析的一些理论基础，特别是精算师学会考试C。频率分布指导教程2.9本章中绘图的R代码图2.3的代码：显示R代码54第2章。