与（2.1）和（2.2）中基于单一情景的ES和VaR类似，最大ES和最大VaR具有不同的数学特性。已知最大ES是一致的（Zhu和Fukushima[46]），但在一般情况下，与单一基于sce-nario的ES相比，它不是共单调相加的；参见示例A。附录A.1中的1。非常引人注目的是，风险度量MVARQPStifies是共单调可加性。如果Q是由n个元素组成的，则选择|ψ作为狄拉克测度的分布函数（p，…，p）∈ 命题3.7中的[0，1]。对于场景的一般集合Q，请参见附录A.2。备注4.2作为经典结果（Delbaen[11]），具有Fatou性质的X上的一致风险度量ρ具有双重表示ρ（X）=supQ∈QEQ【X】，X∈ X，对于一些概率度量集Q。很明显，ρ是一个基于max类型Q的风险度量，与max-VaR和max-ES相比，具有不同的构造块（期望值）。这尤其包括Chic ago商品交易所开发的基于保证金要求情景的风险评估21计算方法【33，p.63】。此外，Du ffe等人[16]在计算双边投资组合的初始利润时，提出了最大类型的风险度量。除了最大类型之外，使用有限或连续的混合物也是构建基于Q的风险度量的一种方便而简单的方法（然而，使用有限混合物需要在Q上指定度量，这并不总是容易的）。下面，我们介绍了在基于Qbased的风险度量框架中制定ES的一些其他方法。可以定义VaR或任何其他基于法律的风险度量的相应版本，但由于ES在巴塞尔协议III和IV中的相关性，我们在本节中以ES为主要示例。示例4.3以p∈ （0,1）和最终Q={Q，…，Qn}，并将平均值ES（AES）定义为不同情景下的ES平均值，即AESQp（X）=nnXi=1ESQip（X），X∈ Y

（4.2）很明显，AESQP是一种连贯的、共单调的加性风险度量。其Q-畸变函数ψ（u）=（n（1-p） （）-1Pni=1min{ui，1-p} 是递增的、组件凹的和s子模块化的。对于n=2，关联函数ψ（u）=1- ψ(1 - u） ，u∈ [0，1]是[0，1]上的一个分量凸分布函数，因此在这种情况下，AESqp有一个命题3.7的积分表示。当n＞3时，ψ不是分布函数。示例4.4回顾一下（2.2）中基于单个场景的ES是概率水平超过p的平均o fVaR∈ (0, 1). 利用这一联系，我们将积分Max ES（iMES）定义为MVaR的积分，即iMESQp（X）=1- pZpMVaRQq（X）dq，X∈ Y、 （4.3）对于具有n个元素的有限Q，我们可以选择|ψ作为对角线段{（u，…，un）上均匀分布的分布函数∈ 【p，1】n：u=u=····=un}作为命题3.7的特例，在积分最大值ES中获得。其qd变形函数ψ由ψ（u）=min{max{u，…，un}，1给出- p} /（1- p） ，u∈ [0，1]n.这验证了iMESQpis是共单调的-加性。然而，ψ不是分量凹的，这意味着对于相互奇异的Qby命题3.5，imesqpi不是一致的风险度量。对于随机变量x，FX，Qi，i=1，n、 是随机有序的，它认为imesqp（X）=MESQp（X）。注意，MVaRQq（X）在q中递增，可以等效地写eimesqp（X）=ESPpMVaRQU（X）= ESPp公司supQ公司∈QF公司-1X，Q（U）, 十、∈ Y、 （4.4）美国~PU[0，1]。22 Ruodu Wang，Johanna F.ZiegelExample 4.5利用ES和最大运算量的另一种方法是在不同场景下通过X的独立复制。让p∈ （0，1），Q，Qnbe不同的场景和Q={Q，…，Qn}。将复制的最大ES（rMES）定义为最大独立副本的ES，即rMESQp（X）=ESPp最大值=1，。。。，nXi公司, 十、∈ Y、 （4.5）其中Xi~PFX，Qi，i=1。

. . , n、 和X，Xnare独立于P。风险度量r mesqp是为一个有限集合Q定义的，因此（4.5）中的最大值是适定的。风险度量rMESQp发现Cherny和Madan的toMINVAR有一些相似性【10】；有关更多详细信息，请参见示例4.9。当n个场景的数量变为整数时，复制的最大ES增长到分布FX的整体上确界的最大值。因此，如果n太大，它很可能过于保守，甚至完全不适用；另见第5节。复制的最大ES是共单调加性的和相干的。我们可以如下确定其Q-失真函数。假设X，P、Xi下的Xnare indepe ndent~PFX，Qi，i=1，n、 和U~PU[第1页]。P下的分布函数Fmaxof max{X，…，Xn}为X 7→Qni=1Qi[X 6 X]。此外，F的生存函数-P下的1max（U）由x 7给出→ 1.-（Fmax（x）- p） +1个- p=1-（Qni=1Qi[X 6 X]- p） +1个- p=最小值{1-Qni=1Qi[X 6 X]，1}1- p、 因此，通过让ψ：u 7→ 最小值{1-Qni=1（1- ui），1- p} /（1- p） ，我们有ψo Q[X>X]=P（F-1最大值（U）>x），x∈ R和henceZXdψo Q=EPF-1最大值（U）= ESPp公司最大值=1，。。。，nXi公司= rMESQp（X）。因此，ψ是imesqp的Q-失真函数，它是分量凹子模。我们发现ψ（u）=（Qni=1ui- p） +/（1- p） ，u∈ [0，1]是一个分布函数，因此复制极大值是一个积分表示，如命题3.7所示。事实上，当将[p，1]上的均匀分布的边沿与阿基米德copula和属tor[0，1]→ [0, ∞), t 7→ - 低压（（1- p） t+p）。这个生成器是完全单调的，所以我们得到了任意维n的有效copula（McNeil和Neˇslehov'a[34]）。风险衡量iMESQp，rMESQpare通过以下事实联系起来：如果X，Xnin（4.5）在P下是共单调的，而不是独立的，然后（4.5）产生（4.4）。

基于Q的风险度量MESQp、AESQp、基于情景的风险评估23IMESQP和RMESQP可以被视为基于单一情景的风险度量ESQp的自然推广。尽管这些r isk度量具有与类似的ide，但它们具有不同的属性和值。如果Q={Q}，则上述五个风险度量值均相等。它们通常是非等效的，满足以下总结的顺序。命题4.6总结了本节的结果；上面已经解释了一些。命题4.6让Q成为情景和p的最终集合∈ (0 , 1).（i） MESQP是一致的，但通常不是共单调加法。（ii）MVa RQpis共单调加法，正同质和货币，但通常不一致。（iii）AESQpis共单调加法和相干。（iv）iMESQpis共单调添加剂，但通常不连贯。（v） rMESQpis是共单调加法和相干。（vi）AESQp（X）6 MESQp（X）6 iMESQp（X）6 rMESQp（X），适用于所有X∈ Y、 （vii）如果Q是单态，那么（vi）中的所有不等式都是等式。证明它只剩下显示（vi）。第一个不等式是琐事l。对于第二个不等式，观察每个Q∈ Q和U~PU[0，1]，我们有esqp（X）=ESPp（F-1X，Q（U）），因此该权利要求随后使用（4.4）。通过观察iMES的Q-失真函数比rMES的Q-失真函数小，可以得出第三个质量。这将保持sincemax{u，…，un}6 1-Qni=1（1- ui）相当于Qni=1（1- ui）6（1- uj）对于所有j=1，n其中后者显然适用于纽约大学∈ [0，1]n.上述示例说明，基于Q的风险度量框架是可行的，它允许制定各种风险度量，即使是简单地从ES和固定p。

如果Q是有限的，则命题4.6的（i）、（ii）和（iv）部分成立；见附录A.2。当scenar ios Q的集合是示例2.1中的经济场景时，iMES（MVaR）和ES（VaR）之间存在简单的关系。命题4.7设Q={Qθ：θ∈ K} 如例2.1所示。对于p∈ （0，1），对于所有X，MVaRQp（X）>VaRPp（X）和iMESQp（X）>ESPp（X）∈ Y、 证明我们只需要证明MVaRQp（X）>VaRPp（X），这意味着imesqp（X）>ESPp（X）。取x<VaRPp（x），意味着P[x 6 x]<P。作为P，是Qθ，θ的凸组合∈ K、 对于so meθ∈ K、 我们有Qθ[X 6 X]<p，意味着X 6 VaRQθp（X）6 MVaRQp（X）。因此，MVaRQp（X）>sup{X∈ R:x<VaRPp（x）}=VaRPp（x）。命题4.7意味着，当使用示例2.1中的经济情景时，iMES（MVaR）比ES（VaR）在非条件真实世界概率测度P上更为保守。请注意，MESQp（X）>ESPp（X）通常不采用任何方法（反例请参见附录A.1中的示例A.2），24 Ruodu Wang，Johanna F.Ziegel尽管这种不等式几乎在经验上始终成立，我们将在第5节的数据分析中看到。下面，我们将讨论我们的风险度量与文献中的风险度量之间的另外两种联系。例4.8最近，Righi【38】研究了风险度量的组合。对于场景{Q，…，Qn}的有限集合，这些风险度量采用某些函数f的形式f（ρQ，…，ρQn），其中ρQi基于{Qi}，i=1，n、 这包括最大型风险措施。Kou和Peng给出了另一种基于情景的f型风险度量（ρQ，…，ρQn），定义为ρ（X）=sup（w，…，wn）∈W（nXi=1wiρQihi（X）），X∈ X，其中ρQihi，i=1，n是（2.3）中的Qi失真风险度量，W是标准单纯形{（W，…，wn）的asubset∈ [0，1]n:Pni=1wi=1}。（3.7）中的示例4.9（基于情景的最小风险值），选择“ψ（u）=Qni=1如果u∈ [0，1]n，我们得到ρ（X）=EP[最大值{X。

，Xn}]，X∈ X，其中FXi，P=FX，对于i=1，n、 和X，Xnare在P下独立。那么，ρ是一个Q-谱风险度量，对应的Q-畸变函数ψ（u）=1-Qni=1（1-ui），u∈ [0，1]n.风险度量ρ是一致的。基于单一场景的风险度量MINVAR（Cherny和Madan[10]），定义了asMINVAR（X）=EP[最大{X，…，Xn}]，X∈ X，其中X，通过选择Q=···=Qn=P.5基于情景的风险度量数据分析，P下X的Xnare iid副本是ρ的一个特例。在本节中，我们讨论了基于Q的风险度量数据分析的两个示例。这两个例子在概念上是不同的，旨在说明场景s集合Q的不同可能解释；参见备注2.4。选择第4节中基于Q的预期不足的各种版本来说明主要观点；显然，该分析可以应用于更基于情景的风险度量。5.1经济情景损失的最大预期缺口以示例2.1为例，我们认为Qi=P[·|Θ=θi]，i=1，4，式中，Θ是一个经济因素，取{θ，…，θ}中的值，其中P可以解释为真实世界的概率度量。虽然基于Q的预期短缺X是明确定义的数学量，但如何估计它们并不完全是显而易见的基于Scenario的风险评估25。我们描述的方法可以在数据生成过程的适当假设下进行调整。然而，我们对提出的估计器进行了详细的研究，以供将来的工作使用。这里，我们假设有四个数据集D={XQ，…，XQN}，D={XQ，…，XQN}这样，DII的经验分布是对FX，Qi，i=1，…，的合理估计，4.

然后，我们通过经验对应方分别估计了（4.1）、（4.2）、（4.3）和（4.5）中给出的风险度量ESp、MESp、iMESp和RMESP。给定一系列返回（Xt）t∈N、 对于每个交易日，我们计算长度为250的滚动窗口估计的基于Qbased的预期短缺量XT。这四种情景可以解释为{θ，…，θ}={高波动率，低波动率}×{好经济，坏经济}。Θ的值基于VIX（高波动率/低波动率）和标准普尔500指数（良好经济/糟糕经济）的值。准确地说，对于白天，我们使用时间窗t- 250, . . . , t型- 然后，我们使用波动率指数将时间段分为两类，这取决于波动率指数是高于还是低于时间窗口中的经验中值。自1950年以来，我们从标准普尔500指数中删除了对数线性趋势，然后根据标准普尔500指数残差在这125天内是否高于或低于中间值，我们将当前时间窗口中波动性较高的125天细分为两类（几乎）相等的时间。然后在低波动性的125天内进行同样的操作。这导致将时间窗口分为四个（几乎）大小相等的场景。集合D，t=t时的XT值的Dconsist- 250, . . . , t型- 1指定了相应日期的场景。我们考虑了纳斯达克综合指数、DAX指数和AppleInc的回报数据。股票和宝马股票。这些数据是免费获得的fromhttps://finance.yahoo.com.考虑的时间段为1991年至2018年。我们不考虑1990年之前的数据，因为没有VIX数据可用。我们选择了置信水平p=0。9为简单起见。对于每个系列的回报数据，我们还使用相同大小的滚动窗口计算了经验ESP。

图5.1总结了分析结果。风险度量s MESpand imesp通常会产生相似的值。这可能暗示，不同情景下的经验分布通常是随机有序的。我们可以观察到，在金融压力时期，基于Q的预期短缺和ESP大幅偏离，而在经济稳定时期，它们更接近。对于指数s（纳斯达克和DAX），iMESpand r MESpare比股票回报率（苹果和宝马）更接近。如果一种情景下的经验分布强烈支配其他情景，即一种情景下的分位数函数比其他情景下的分位数函数大得多，则风险度量为iMESpand rMESpare close。因此，这一现象可以通过以下事实来解释：指数与定义经济的数量的关系更为密切26若都王，Johanna F.Ziegel1990 1995 2000 2005 2010 20151 2 3 4 5 6 7最小均方误差NASDA2990 1995 2000 2005 2010 20151 2 3 4 5 6最小均方误差DAX1990 1995 2000 2005 2010 20152 4 6 10 14最小均方误差SAPPLE1995 2000 2005 2010 20152 4 6 8 10 14最小均方误差BMWFIG。5.1基于Q的风险度量，根据w=250的经济情景估计数据。情景（波动率指数和标准普尔500指数）。这也解释了为什么rMESpand与IMESPI之间的比率通常大于金融压力期间而非经济稳定期间。MESpand与ESP之间的比率在性质上区分了20世纪初的经济衰退与2008年的金融危机，后者的比率更大，但苹果股票除外。与其他股票和指数相比，苹果似乎受到2000年互联网崩溃的影响更大。5.2预期空头的巴塞尔压力调整在本节中，我们按照第1.1节所述在巴塞尔市场风险评估中计算预期空头的压力调整。

假设一个投资组合中有n个证券，让Pit，i=1，n、 t型∈ N表示证券i的时间t价格。设Xit=-（坑/坑-1.- 1） 每天都有负面报道。构建一个价格过程为Vt=Pni=1αiPitwhere for Scenario based Risk Evaluation 27i=1，….的投资组合，n、 αii是证券i中投资的股份单位，假设在整个投资期间固定不变。在时间t- 1，我们需要计算该投资组合次日损失的经验ES。请注意，每日lo SSIVT-1.- Vt=nXi=1αi（凹坑-1.- Pit）=nXi=1XitαiPit-1、时间t- 1，值α和Pit-1已知，随机风险系数为（Xt，…，Xnt）。为了计算过去12个月数据的ES，我们需要在给定NumberαiPit的情况下评估数量-1，ESPp（Vt-1.- Vt）=ESPpnXi=1XitαiPit-1.,式中，【5】中规定的p=0.975。为此，对方案P进行建模，使（Xt，…，Xnt）的分布符合过去250次观测的经验版本，即。超过每iod[t- 250吨- 1].如【5】所述，应将ES校准至最严重的12个月长观察期的应力，该观察期必须追溯至2007年。为了模拟BaselII引入之前的调整，每天的评估回顾10年，并找出12个月内的最大ES似乎是公平的。为此，我们在创建αiPit时评估-1作为常数，最大ES由MESQP（Vt）给出-1.- Vt）=MESQpnXi=1XitαiPit-1.= maxj=1，。。。，NESQjp公司nXi=1XitαiPit-1.,其中N=2251，Q={Qj}j=1，。。。，N、 在Qj下，（Xt，…，Xnt）根据其在时间段内的经验分布进行分布- j- 249，t-j] 。使用相同的场景，我们还计算积分最大值ES，即isiMESQp（Vt-1.-Vt）。

在这种情况下，由于场景的数量太多，因此不明智的做法是共同计算复制的最大ES，rMESQpin。我们选择α，α确保每个αiptistart从1美元开始。我们构建了一个美国股票投资组合（苹果和沃尔玛）和一个德国股票投资组合（宝马和西门子）。在图5.2中，我们报告了左侧面板上的ESPp、MESQP和iMESQp，以及ESPp、MESQP和iMESQp的百分比，即ESPp（Vt-1.- Vt）/Vt-1和soforth，位于右侧面板中。第一行是美国股票投资组合，第二行是德国股票投资组合。MESQ和IMESQ的百分比相对稳定（分别在6%和9%之间，7%和10%之间），ESPP的百分比变化剧烈（在2%和9%之间），很大程度上取决于个人股票在过去一年的表现。这表明mesqp和imesqpha具有更健壮的优势，因为在过去的许多场景中，它们被计算为最坏的情况。截至1998年，美国投资组合中MESQpand IMESQPUNPUN的比例相当高，这是由于黑色星期一（1987年10月19日）的影响，该影响在10年后逐渐消失。MESQp28 Ruodu Wang、Johanna F.Ziegel1995 2000 2005 2010 2015 10 20 30 40 50 60苹果和Walmart1995 2000 2005 2010 2015 50.02 0.04 0.06 0.08 0.10%-ES%-MES%-苹果和沃尔玛的iMESPortfolio 2005 2010 2010宝马和西门子的iMESPortfolio 2005 2010 2015 50.5 1.0 1.5 2.0eSmesfolio 2005 2010 2010 50.02 0.04 0.06 0.08 0.10%-ES%-MES%-宝马（BMW）和西门子（SiemensFig）的IMESortfolio。5.2美国和德国投资组合的MES和ES。左面板：投资组合的MES和ES。右侧面板：小微和小微在投资组合价值中的百分比。IMESQPI随时间变化很小，这与5.1中的分析相反。

目前，我们对这一现象缺乏明确的理论解释。如果通过ESPp计算市场风险的监管资本，那么就在2007年金融危机之前，两个投资组合都表现出严重的资本不足，当金融危机爆发时，它们的ESPp价值急剧增加。另一方面，如果ME SQpor iMESQpare用于监管资本计算，那么在金融危机期间，这两个投资组合的资本需求只会适度增加。从数据分析来看，没有看到MESQP相对于iMESQp的巨大优势，反之亦然。然而，从理论角度来看，IMESqpSeems更可取，因为它是共单调加法。基于情景的风险评估296结论性意见在本报告中，我们提出了一个基于情景的风险评估框架，其中不同的情景（概率度量或模型）包含在风险计算程序中。我们的框架允许对情景进行灵活的解释，尤其是受预期Sho rtfall、芝加哥商品交易所和信用评级的基本计算程序的推动，如第1.1节所述。本文在理论上做出了一些贡献。我们介绍了新的风险度量类别，包括最大ES、最大VaR及其变体，并研究了它们的理论性质。得到了基于情景io的共单调加法的公理化特征和一致的风险度量类，它们与巴塞尔市场风险指数公式有很好的联系。

最后，我们提供了数据分析，以阐明如何估计、计算和解释基于情景的风险度量。鉴于模型不确定性和情景分析在现代风险管理中的关键重要性，基于情景的风险度量可用于风险评估的许多学科，而不仅仅限于财务风险管理。我们注意到，对于s c enarios的各种解释，基于情景的风险度量的估计程序可能表现出不同的性质，如第5节所示。这就需要对基于塞纳里奥风险函数的统计理论进行进一步的研究。一个具有挑战性的开放性问题是，在不假设相互奇点的情况下，基于情景的一般供应链协调风险度量的特征化。致谢作者感谢编辑、一名副编辑、两名匿名裁判、Rama C ont、Paul Embrechts、Dami r Filipovic、Steven Kou、Fabio Maccheroni、Marco Maggis、Ilya Molchanov和Andreas Tsanakas对论文早期版本的有益讨论。Wang感谢加拿大自然科学与工程研究委员会（RGPIN-2018-03823/RGPAS-2018-522590）的财政支持。参考文献1。Acharya，V.、Engle，R.和Richardson，M.（20-12）。资本短缺：对系统性风险进行评级和监管的新方法。《美国经济评论》，102，59-64.2。Adrian，T.和Brunnermeier，M.K.（2016）。科瓦尔。《美国经济评论》，106，17 05–1741.3。Anscombe，F.J.和Aumann，R.J.（1963年）。主观概率的定义。《数理统计年鉴》，34199–205.4。Artzner，P.、Delbaen，F.、Eber，J.-M.和Heath，D.（1999年）。Cohe rent风险度量。《数学金融》，9203–228.5。BCBS（巴塞尔银行监管委员会）（2016年）。标准。市场风险的最低资本要求。2016年1月。可在www上下载。国际清算银行。组织。30王若渡，Johanna F。

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管理科学，59172–188。附录A。1示例和计数器示例示例A.1（MESQpis非共单调添加剂）让p∈ （0，1）和takeQ，Q∈ P、 A，A∈ F使A A、 Q【A】>Q【A】和alsoQ【A】<Q【A】<1- p、 这种Q、Q、A、A的存在可以通过(Ohm, F、 Q）和(Ohm, F、 Q）作为无原子概率空间。定义集合Q={Q，Q}，X=1A和Y=1A。很明显，X和Y是共单调的。回想一下，对于带有参数Q的Q下的伯努利随机变量Z，我们得到了ESQp（Z）=Q/（1- p） 。我们有ESQp（X+Y）=ESQp（X）+ESQp（Y）=1- p（Q[A]+Q[A]）<1- p（Q[A]+Q[A]）=最大值∈QESQp（X）+maxQ∈QESQp（Y），类似地，ESQp（X+Y）<maxQ∈QESQp（X）+maxQ∈QESQp（Y）=MESQp（X）+MESQp（Y）。然后我们得到MESQp（X+Y）=max{ESQp（X+Y），ESQp（X+Y）}<MESQp（X）+MESQp（Y）。因此，MESQPI不是共单调添加剂。示例A.2（示例2.1中Q的MESQp（X）<ESPp（X））考虑集合Ohm = {ω，…，ω}有八对不同的元素，设P是Ohm. 写Ohm= {ω，…，ω}和Θ=1Ohm.设Q[·]=P[·|Θ=1]，Q[·]=P[·|Θ=0]和X=1Ohm+ 2 × 1{ω}. 可以看到ESPp（X）=1.25和ESQp（X）=ESQp（X）=1。因此，MESQp（X）<ESPp（X）。A、 2命题4.6的扩展我们表明，如果Q不确定，命题4.6的（i）、（ii）和（iv）部分也成立。关于（i），ESQpis cohe rent for Q∈ Q、 由于MESQPI可以写为一致风险度量的上确界，并且采取基于上确界的风险评估33一致风险度量的所有属性，因此MESQPI也是一致的。示例a给出了一个显示MESQpis不是共单调的加法的示例。关于（ii），VaRQpis货币用于Q∈ Q、 因此，MVaRQp作为货币风险度量的上限，是货币性的。有待证明的是，MVARQP是一种共单调的加性风险度量。

使用Denneberg引理[13]，对于共单调随机变量X和Y，存在递增的连续函数f和g，其中X=f（X+Y），Y=g（X+Y）。对于任何Q∈ Q、 我们有mvarqp（X）=supQ∈QVaRQp（f（X+Y））=supQ∈Qf（VaRQp（X+Y））=fsupQ公司∈QVaRQp（X+Y）,类似地，MVaRQp（Y）=gsupQ公司∈QVaRQp（X+Y）.注意，f（z）+g（z）=z在X+Y的范围内，通过连续性，对于z=supQ，fand g也满足f（z）+g（z）=z∈QVaRQp（X+Y）。因此，wehaveMVaRQp（X+Y）=supQ∈QVaRQp（X+Y）=fsupQ公司∈QVaRQp（X+Y）+ gsupQ公司∈QVaRQp（X+Y）= MVaRQp（X）+MVaRQp（Y）。MVARQPI不一定一致的说法来自于众所周知的事实，即VARQPI对任何Q都不一致∈ P使(Ohm, F、 Q）无原子。关于（iv），需要注意的是，IMESQPI是单调加性风险度量的混合物，因此它是共单调加性的。