基于情景的风险评估

2022-6-10 11:50:32

Noname手稿编号（将由编辑插入）基于情景的风险评估Ruodu Wang·Johanna F.ZiegelReceived：日期/接受：日期预期缺口（ES）和风险价值（VaR）等抽象风险度量在银行监管和金融风险管理中非常突出。基于风险评估和管理中的实际考虑，包括可跟踪性、情景相关性和稳健性，我们考虑了基于情景的风险评估的理论属性。我们建立了基于情景的风险度量的共单调加性或相干的轴特征，并得到了一个新的基于ES的表示结果。我们提出了几种新的基于情景的风险度量，包括各种版本的最大ES和最大VaR，并研究了它们的性质。该理论以财务数据为例进行了说明。关键词情景·风险度量·巴塞尔协议·压力调整·相关性调整数学学科分类（2010）60A99·60A99JEL分类C690·G2801简介1.1背景风险度量在银行和保险业的各种背景下使用，如监管资本计算、优化、决策、绩效分析和风险定价；参见McNeil等人【33】对定量风险管理的一般回顾。在实践中，必须估计风险度量。Wang滑铁卢大学统计与精算系，加拿大邮政：wang@uwaterloo.caJ. .F、瑞士伯尔尼大学ZiegelInstitute of Mathematic Statistics and A ctuarial Science，University of Bern，SwitzerlandE邮件：johanna。ziegel@stat.unibe.ch2王若渡，Johanna F.Ziegelfrom数据。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 11:50:35

因此，经常有人认为必须使用基于法律的风险度量（或统计函数），例如风险值（VaR）或预期缺口（ES），这两种标准风险度量均用于银行业和保险业。然而，即使假设风险的分布是准确获得的，也可能无法全面描述风险的性质。从监管角度来看，监管机构更关注不利环境中的风险行为，例如灾难性金融事件期间的风险行为；相关讨论见Acharya等人【1】。只有风险的分布可能不足以区分金融危机中的潜在巨大损失与普通经济中的潜在巨大损失，但金融危机中没有损失。另一个简单的例子是，彩票的收益/损失和保险合同的收益/损失可能具有相同的分布，但它们所面临的风险类型非常不同，可能对决策者或社会产生非常不同的影响。因此，在不同的压力情景下评估arisk可能是有用的。将这些评估总结在一个单一的数字中，必然会得出一个非基于法律的风险度量。最后，假设可以准确获得风险的分布通常是不现实的。模型不确定性是当前风险衡量和监管挑战的核心组成部分，在2007年金融危机（见[37]）之后，它在银行业（如[5]）和保险业（如[25]）中的重要性在实践中至关重要。模型的不确定性可能是由于统计/参数的不确定性，或者更一般地说，是由于模型或经济系统的结构不确定性。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 11:50:39

稳健的方法应考虑到在几个可能的模型假设下潜在风险的分布。在基础l III和IV[5]的框架中，市场风险指数k的标准风险度量是p=0.975的预期缺口（ESp）。因此，巴塞尔银行监管委员会（BaselCommittee on Banking Supervision）选择了一种基于法律的风险衡量方法。然而，虽然ES是市场风险评估的基本组成部分，但最初的ES估计随后会进行修改，特别是两个重要的调整是压力调整和依赖性调整[5，p.52–p.69]，这两个调整随后会计入可建模风险因素的资本费用（在[5]中缩写为IMCC）。本文的目的是提出一种构建风险度量的理论方法，将初始基于法律的风险度量的压力和依赖性调整等修改纳入风险度量本身。我们称这种风险度量为基于情景的风险度量；请参阅定义2.2。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 11:50:42

我们的方法的优点是，可以从理论上理解风险估计的最终结果，并且不仅可以研究初始律不变风险度量的一致性和共单调可加性等特性，还可以研究最终风险度量，它是进一步行动和决策的相关输出，例如巴塞尔协议III和IV框架中的IMCC。基于情景的风险评估3在介绍我们的理论框架之前，让我们详细介绍巴塞尔银行监管委员会的最新监管框架，以说明它们如何处理上述问题。在Bas el III和IV[5]的交易账簿（FRTB）的市场风险基本审查中，时间范围为10天（两个交易周），每个风险头寸（随机m损失）被建模为风险因素的函数，如股票价格、利率、信用利差和波动性。每个ris k因子根据其流动性类别进行调整（有关精确的数学公式，请参见Li和Xing[32]）。为简单起见，在下图中，我们考虑线性投资组合。设X=Pni=1Xibe给定日期的总投资组合，其中X，X在集合中列出相应的风险因素（包括权重）。下面我们概述了FRTB用于计算监管资本的两项调整。（i）压力调整（a）规定了一组风险降低的因素，这些因素具有足够长的观察历史（至少可以追溯到2007年，包括2007年），因此比率θ=最大ESF（X）ESR（X），1小于4/3，其中ESF（X）=E Sp（Pni=1Xi）是使用所有风险因素计算的当前ES值，E SR（X）=ESp（Pi∈RXi）是使用降低的风险因素计算的当前ES值。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 11:50:45

比率θ像常数一样创建，只需要每周更新一次。（b）计算具有降低风险因子s的模型的ES，“校准至最严重的12个月压力期”，这用ESR s（X）表示。“最严重压力”时期，也称为压力情景，对应于一年长的滚动数据窗口，该窗口使用降低风险因素模型得出ES的最大可能值【6，p.6】。从数学上讲，ESR，S（X）涉及从长度为一年（其中许多重叠）的数据序列估计的一组Qof分布的最大值，即ESR，S（X）=maxQ∈QESQpXi∈RXi！。（c）使用公式fes（X）=ESR，S（X）×θ获得应力调整后的ES值。特别是，如果投资组合损失仅由长期历史（追溯至2007年）的风险因素建模，则R={1，…，n}，调整后的des值为fes（X）=maxQ∈QESQpnXi=1Xi！=最大质量∈QESQp（X）。4 Ruodu Wang，Johanna F.Ziegel（ii）依赖性调整（a）投资组合中的风险因素分为一系列广泛的监管风险类别（利率风险、股权风险、外汇风险、商品风险和信贷风险）。对于应力场景（见（i）（b）），计算每个风险类别的ES（根据（i）），并表示其sumbyfESC（X）。根据ES的共同单调可加性和次可加性（详情参见第2节），该计算相当于使用一个模型，其中所有类别的风险因素都是共变的（“非多样化”），并且它代表了所有可能的依赖结构中ES的最坏情况值（例如Embrechts等人[18]）。（b）使用公式（X）=λfES（X）+（1- λ） fESC（X），其中λ是一个常数（目前，λ选择为0.5）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

点击查看更多内容…

nandehutu2022

2022-6-10 11:50:48

数量ES（X）称为投资组合的I MCC。直觉上，调整背后的逻辑（i）是风险评估应基于压力期进行，而调整背后（ii）是风险因素之间的依赖结构难以指定，并且最坏情况值与原始模型相结合，以防止模型规范中的过度优化差异效应。除（i）和（ii）外，IMCC值最终将通过使用其当前计算的最大值和60天乘以恒定值（当前为1.5）的移动平均值进行调整。参见Embrechts等人【18，19】中关于依赖性不确定性下风险度量集合的讨论。总之，在FRT B中，相同投资组合的ES在不同情景和模式下进行了估计：压力（压力、非压力）和依赖性（分散、非分散）。这些值主要由两个操作（迭代）聚合而成：最大值和线性组合。在理论3.8中，我们证明这两个操作确实是两个最关键的操作，这导致了Artzner等人[4]对基于情景的风险度量的一致性。第5.2节包含上述应力调整（i）的详细数据分析。我们简要地提到了另外两个使用场景进行风险评估的突出例子。首先，芝加哥商品交易所（ChicagoMercantile Exchange）[9]制定的保证金要求计算依赖于投资组合损失超过几个特定假设性sce narios的最大值[33，p.63]。第5.1节中的数据示例与此方法类似。第二个例子来自信用评级实践，其中结构化金融证券（如可违约债券）根据其在每种经济压力情景下的行为（条件分布）进行评级。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 11:50:51

这种方法以不同的具体形式出现在标准、普尔和穆迪评级方法中【43，35】。在本文中，我们提出了一个基于情景的风险评估公理化框架，该框架具有上述三个mer，并与包括上述示例在内的许多现有风险度量程序相关联。我们应该记住巴塞尔公式作为我们的主要例子。基于情景的风险评估51.2我们的贡献和论文的结构在第2节中，我们介绍了基于情景的风险度量。它们包括经典的基于法律的风险度量、非基于法律的风险度量，如systemicrisk measures Co VaR和CoE（Adrian和Brunner meie r[2]），以及许多实际使用的风险计算原则，如巴塞尔市场风险公式、芝加哥商交所的保证金要求和信用评级中使用的常用评级度量，如上所述。第3节研究了基于情景的风险度量的公理化特征。特别是，我们描述了基于sce nario的共单调加法以及一致的风险度量，其中出现了许多令人惊讶的数学挑战。在第四节中，我们介绍了最大ES和最大VaR以及相关的风险度量族，并研究了它们的性质。第5节给出了数据分析，重点介绍了各种可能的情景解释。特别是，基于情景的风险度量可以很容易地用于压力分析和资本计算。我们的框架建立在Artzner等人首创的cohere-nt风险度量sas公理化理论的基础上。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 11:50:55

德尔巴恩（Delbaen）[12]和福尔默（F¨ollmer）及希伊德（Schied）[2]的书中可以找到对风险度量的全面回顾。与文献不同，本文中的主要数学挑战来自将风险度量视为随机变量空间上的泛函的新框架（如在传统环境中），通过随机变量在每个场景下的分布（概率度量）。数学结构与以分布元组作为输入的结构非常不同，例如Anscombe和Aumann的经典框架【3】（另见Gilboa和Schmeidler【23】、Cerreia Vioglio等人【8】、Hansenand Marinacci【24】）。在每种情况下，随机变量的分布都不是任意的。Shen等人【42】最近研究了分布和情景之间兼容性的问题；例如，如果Q和Qare相互等效，并且X在Q下的分布是均匀的，那么在Q下就不可能是正态分布。如果将分布的元组用作输入，则场景集的“地理测量”（相互依存）不会在表征结果中起作用。这与我们的框架截然相反，在我们的框架中，场景集之间的相互依赖性在风险度量的表征中发挥着重要作用。参见第3.1节和示例3.1中的详细讨论，以及定理3.8，其中场景集的选择显然对表征结果很重要。Kou等人【29】和Kou和Peng【28】从不同的角度研究了基于scenar ios的风险度量的特性。Zhu和Fukushima【46】、Zymler等人【47】、Adrianand Brunnermeier【2】、Righi【38】也以不同的伪装出现了各种基于scena rio的风险度量。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

kedemingshi

2022-6-10 11:50:58

我们的贡献是研究基于场景的属性而非特定示例的结果；因此，我们的结果为上述文献中的特定风险度量提供了公理化支持。关于风险度量的最新发展，包括统计分析、稳健性、模型不确定性和优化的各种实际问题，我们参考了Fissler和Ziegel【20】、Cambou和Filip ovic6 Ruodu Wang、Johanna F.Ziegel【7】、Kr¨atschmer等人【30】、Du和Escanciano【15】、Embrechts等人【17】、Wang和Zitikis【44】以及其中的参考文献。2基于情景的风险度量2.1定义let(Ohm, F）是一个可测量的空间e和P是所有概率测度的集合(Ohm, F）。对于任何可能性度量Q on(Ohm, F），将FX，Q写入Q下随机变量X的累积分布函数（cdf），即X的FX，Q（X）=Q[X 6 X]∈ R、并用X表示~QF如果F=FX，Q。对于两个随机变量X和Y以及概率测度Q，我们将d=QY如果FX，Q=FY，Q。对于任何cdf F，其广义逆定义为F-1（t）=inf{x∈ R:F（x）>t}表示t∈ （0，1）.设X是中有界随机变量的空间(Ohm, F），Y是包含X的随机变量的凸锥，表示感兴趣的随机变量集，可能是无界的。我们始终固定x，而Y是特定于所考虑的功能。例如，当考虑期望EQforsome Q时∈ P、它的域Y通常被选为Q-可积随机变量的空间，这取决于Q的选择。然而，这并不影响本文主要部分对Y=X的思考。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 11:51:01

概率测度P∈ 本文应选择P作为参考概率测度，在某些应用中可将其解释为真实世界的概率测度。在本文中，我们使用概率测度Q的术语情景∈ P、这种术语选择背后的原因是从场景分析的角度来看的，如以下示例所示。本示例将在本文中多次引用。例2.1设Θ为随机经济因子，取s中的值s，qθ[·]=P[·|Θ=θ]，θ∈ K、是引用到Θ的正则条件概率。集合{Θ=θ}∈ F表示e achθ的可能经济事件∈ K、分析每种情况下风险X的行为Θ=θ，θ∈ K、在概率测度Qθ下，X的相应分布是o。假设有一组感兴趣的场景。正如导言中所提到的，对集合Q可能有不同的解释。在下文中，我们收集了一些感兴趣的场景IO，我们将不区分这些解释。如果一个风险（随机损失）X和另一个风险Y在Q中的所有相关场景下具有相同的分布，那么它们应该被分配相同的风险，无论我们所说的风险程度如何。这导致了以下基于Q的映射的定义。定义2.2：方案Q的非空集合 P、 a映射ρ：Y→ (-∞, ∞] 如果X，Y的ρ（X）=ρ（Y），则是基于Q的∈ 当Xd=qy时，Y表示所有Q∈ Q、基于情景的风险评估7为了将上述概念应用于风险管理，我们重点关注基于Q的风险度量。风险度量是从Y到(-∞, ∞], ρ（X）<∞对于有界X，我们使用广义的风险度量，因为它还包括偏差度量（如方差）和其他风险函数。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 11:51:04

为了简洁起见，我们的主要示例是传统的风险度量，如sVaR和ES，尽管我们的框架包括偏差度量s。关于后者，请参见Rockafellar等人【39】。在本文中，我们采用McNeil等人[33]中的符号约定：对于风险X∈ Y、损失由X的正值s表示，利润由X的负值表示。基于Q的风险度量的一个直接例子是依赖于风险和经济因素的联合法则的风险度量，如例2.1所示。通过写入q={P[·|Θ=θ]：θ∈ K} ，ρ是基于Q的当且仅当ρ（X）由（X，Θ）的联合分布确定。该设置包括系统风险度量COVAR和CoES，它们是根据给定事件风险的条件分布进行评估的（s e e Adrian和Brunnermeier[2]）。对于固定随机变量S（系统）和p∈ （0，1），机构损失X的系统性风险度量CoVaR∈ Y定义为：CoVaRSp（X）=VaRPp（S | X=VaRPp（X）），其他系统风险度量COE定义为：CoESSp（X）=EP[S | S>CoVaRSp（X）]，X∈ Y、由于Co VaR和COE由（X，S）的联合分布确定，因此它们是Q={P[·| S=S）]：S的基于Q的风险度量∈ R} 。显然，基于Q的风险度量是基于法律的（基于单一情景的）风险度量的重新推广，其由给定概率空间中的随机变量定律确定。因此，基于Q的风险通过注意关系（假设P∈ Q） {P}{z}基于定律基于Q{z}Q的 P{z}泛型。下面总结了一些基于Q的风险度量的即时事实。（i） Y上的所有风险度量均基于P。事实上，如果Xd=QY for all Q∈ P、然后X=Y。（ii）如果Q Q P、然后，基于Q的风险度量也是基于Q的。（iii）对于Q，Qn公司 P、设Q=∪ni=1qindρi:Y→ R基于Qi，i=1，n

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

能者818

2022-6-10 11:51:07

对于任何f:Rn→ R、映射fo （ρ，…，ρn）：Y→ Ris基于Q。为了证明这个断言（i）成立，让ω∈ Ohm 和定义Q:F→ R、 A 7→ 1A（ω）。可以验证Q定义了一个概率度量。Q下X和Y的分布分别是X（ω）和Y（ω）处的点质量。因此，Xd=QY意味着X（ω）=Y（ω）。接下来，我们将介绍一种特殊类型的概率度量集合，它自然适用于示例2.1.8 Ruodu Wang，Johanna F.ZiegelDe定义2.3概率度量集合Q 如果存在相互不相交的集合AQ，则P是相互奇异的∈ F、 Q∈ Q、使得Q[AQ]=1对于Q∈ Q、这种类型的一个例子是，取Qi[B]=P[B | Ai]表示B∈ Fwhere A，Anis是Ohm 对于i=1，…，当P[Ai]>0时，n、也就是说，每一个QI都说明了常见的感兴趣事件的概率。g、重要性抽样。在示例2.1中，Q={Qθ：θ∈ K} 是相互的语言。我们说一个元组（Q，…，Qn）∈ 如果{Q，…，Qn}是相互奇异的，并且Q，…，中的任意两个是相互奇异的，Q不相同。备注2.4在本文中，场景是在一般意义上处理的。他们在不同的语境中可能有不同的解释。在统计背景下，它们可能代表风险模型中估计参数的不同值。在基于仿真的模型中，它们可能表示仿真动力学中的不同参数，或在重要采样中使用的不同概率。在监管框架中，它们可能代表监管机构关注的不同经济状况。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 11:51:10

在金融市场中，为了评估或有报酬，可能需要将其分布纳入定价措施和实物措施、多重定价措施或关于实物概率措施的不同意见中；这些情况自然需要通过不同措施下的风险分布来确定风险措施。2.2风险度量的初步研究我们采用Artzner等人[4]、Kusuoka[3 1]、F¨ollmer和Schied[21]中的术语。风险度量ρ：Y→ (-∞, ∞] 如果保持ρ（X+c）=ρ（X）+c表示c，则为现金不变性∈ R和X∈ Yρ是单调的，如果ρ（X）6ρ（Y）对于X，Y∈ Y带X 6 Y；如果ρ（λX）=λ的λρ（X），则ρ是正齐次的∈ (0, ∞) 和X∈ Y、如果ρ（X+Y）6ρ（X）+ρ（Y）forX，Y，ρ是次可加的∈ Y、如果风险度量是单调的和现金流的，则称其为货币风险度量。如果风险度量是货币性的、正均质性的和次加性的，则称其为一致性的。两个随机变量X和Y in(Ohm, F）非单调if（X（ω）- X（ω′）（Y（ω）- Y（ω′）>0表示所有ω，ω′∈ Ohm. 当X和Y为共单调时，如果ρ（X+Y）=ρ（X）+ρ（Y），则风险度量ρ为共单调加法。让我们根据单个场景Q确定一些ic类风险度量∈P、银行和保险监管中最常用的风险度量是在固定概率度量Q下计算的风险价值（VaR）和预期缺口（ES）∈ P、我们将它们分别称为Q-VaR和Q-ES。对于这些风险度量s，其域Y可以选择为包含X的随机变量的任何凸锥，可能是整个随机变量集。对于p∈ （0，1），变量：Y→ (-∞, ∞] 定义为varqp（X）=inf{X∈ R:Q（X 6 X）>p}=F-1X，Q（p），X∈ Y、（2.1）基于情景的风险评估9和p∈ （0，1），ESQp:Y→ (-∞, ∞] 定义为SQP（X）=1- pZpVaRQq（X）dq，X∈ Y

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

可人4

2022-6-10 11:51:14

（2.2）自-∞ < VaRQp（X）6 VaRQq（X）<∞ 对于p6q<1，积分（2.2）定义良好。此外，我们让ESQ（X）=VaRQ（X）。对于特定场景Q，Q-VaR和Q-ES属于失真风险度量的类别。定义以下函数集g={g:[0，1]→ [0，1]：g随g（0）=0和g（1）=1}增加，g+={g∈ G:G是凹的}。本文中，术语“递增”、“递减”和“集合包含”是非严格意义上的。Q-扭曲风险度量定义为ρQg（X）=Z-∞（g）o Q[X>X]- 1） dx+Z∞g级o Q[X>X]dx，X∈ Xg。（2.3）其中g∈ G称为ρQg的畸变函数，Xgis是一组随机变量，因此（2.3）中的第一个积分是有限的。那么，ρQg:Xg→ (-∞, ∞]是一个定义明确的风险度量。集合X包含X。Q-谱风险测度是具有凹畸变函数的Q-畸变风险测度。Q-失真风险度量通常是货币、正同质和共单调的加性。此外，Q-sp中央风险度量是一致的。VaRQphas扭曲函数g（x）=1{x>1-p} ，x∈ [0，1]和ESQphas畸变函数g（x）=（1/（1- p））最小值{x，1- p} ，x∈ [0, 1]. 有关失真风险度量的上述属性，请参见F¨ollmer和Schied[22，第4.7节]。3公理化特征在本节中，我们建立了基于Q的共单调加性风险测度以及基于Q的一致性风险测度的公理化特征。我们关注有限集合Q和有界随机变量集，即Y=X。关注有界随机变量集并不是公理化表征结果的限制，因为Y上的属性 X意味着X。在整个过程中，n是一个正整数，Q=（Q，…，Qn）是度量向量，其中Q，Qn公司∈ P是（预先分配的）概率测量(Ohm, F），和Q={Q。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

能者818

2022-6-10 11:51:17

，Qn}是这些测量值的集合。Q的维数和Q的基数只有当Q中的一些，Q相同。如果Q，Q是不同的，则Q的相互奇点等价于Q的相互奇点。写入0=（0，…，0）∈ Rnand 1=（1，…，1）∈ 注册护士。我们说P∈ P支配Q，如果Q<< P代表所有Q∈ Q、也就是说，如果所有Q∈ Q、 Q相对于P是绝对连续的。我们说Q（或Q）是atomlessif(Ohm, F、 Qi）对于每个i=1，…，都是无电的，n、回想一下概率空间(Ohm, F、 Q）是无原子的，如果存在均匀随机变量U(Ohm, F、 Q）。10 Ruodu Wang，Johanna F.Ziegel3.1框架的新颖性和挑战我们首先说明了我们的框架与文献中其他结果的区别，因为这种区别在数学上非常微妙。主要信息是Q，…，和，Qn（例如，它们是否相互独立）关系到我们工作中的风险度量公理，而这与基于场景的泛函的文献中的结果无关（例如Cerreia Vioglio et a l【8】、Kou和Peng【28】）。下面的简单示例展示了基于情景的风险度量的一个有趣特性，与经典的基于法律的风险度量形成鲜明对比。示例3.1对于P、Q∈ P、我们将基于{P，Q}的风险度量ρ定义为ρ（X）=2 EP【X】- 等式[X]，X∈ 十、注意2P- Q∈ P当且仅当2P>Q时，在此条件下，ρ是概率测度2P下的期望值- Q、如果2P>Q不能保持，则ρ不是单数。因此，当且仅当2P>Q时，ρ是相干的。为了理解示例3.1的含义，我们研究随机序的概念。对于Q∈ P和两个随机变量X，Y，we writeX如果所有x的FX，Q（x）>FY，Q（x），则为QstY∈ R、我们说ρ是Q-单调的如果ρ（X）6ρ（Y），对于所有X，Y满足X所有Q的QstY∈ Q

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 11:51:20

自X 6年以来，简化了X所有Q的QstY∈ Q、如果风险测度ρ是Q-单调的，那么它是单调的。众所周知，在Q={P}是单态的情况下，基于{P}的风险测度是单调的当且仅当它是{P}单调的。然而，示例3.1中的风险度量ρ通常不是Q-单调的（参见第3.6节），但如果2P>Q，则它是单调且一致的。这与基于{P}的风险度量的情况形成鲜明对比。上述观察表明，P和Q之间的关系对ρ的性质至关重要。为了确定ρ是一个一致的风险度量，我们需要说明两件事：首先，ρ如何结合每个场景下的风险分布（即映射（FX，Q）Q∈问题7→ ρ（X））；其次，这些场景如何相互作用。在基于{P}的风险度量的情况下，映射外汇，P7→ ρ（X）仅确定风险度量的属性，而度量P的选择是无关的。例如，无论P的选择如何，ESPpand EPare总是一致的风险度量。上述讨论与Anscombe和Aumann[3]框架内流行的结果论优柔寡断理论有关。在结果论的框架下，通过一个偏好模型比较了两个随机结果X和Y（称为AnscombeAumman行为），该模型将分布（FX，Q）Q的倍数归为g∈Qand（FY，Q）Q∈Qe、 g.著名的Gilboa和Schmeidler的robustpreference【23】。在上述工作中，公理是建立在分布元组集上的（例如，单音性是根据Q-随机顺序定义的），而不是建立在随机变量集上的。作为一个序列，度量值Q集合在偏好模型中不起作用。这与我们的框架形成了鲜明对比。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 11:51:23

例如，Gilboa和Schmeidler【23】不允许将示例3.1作为单调偏好，而其基于场景的风险评估11是Artzner等人【4】的经典意义上的一致风险度量。假设2p>Q。对于风险管理相关性，对随机变量集施加经济相关公理是很自然的。稍后，我们将看到上述讨论在基于塞纳里奥的风险度量的公理化描述中起着重要作用。3.2共单调-加性风险度量和Choquet积分如第2.2节所述，实践中最流行的风险度量类别是共单调风险的加性度量。我们选择这门课作为起点，建立基于Q的风险度量的雄学理论。众所周知，基于法律的货币风险度量与Cho quet积分的概念密切相关；例如，Yaari的双重效用泛函[45]和K Usooka表示[31]基于Choquet积分。定义3.2 A集合函数c:F→ R、如果c（A）6 c（B）为 B、 A、B∈ F、如果c增加且满足c，则为标准() = 0和C(Ohm) = 1，它是子模ifc（A∪ B） +c（A∩ B） 6 c（A）+c（B），A，B∈ F、 s标准集函数c和X的定义3.3∈ X，Choquet积分xdc定义为zxdc=Z-∞（c（X>X）- 1） dx+Z∞c（X>X）dx。（3.1）（3.1）中的积分rxdc也可以在大于有界随机变量集合X的集合上定义。通常，根据c的不同选择，可以为Choquet积分选择不同的域。通过选择c=g，（2.3）中的Q-扭曲风险度量正好是Choquet积分o Q、现在，我们准备介绍基于共单调加法的风险度量的特征，这是基于一个著名的结果，可以追溯到施梅德勒[41]。因为一些Q的重复出现。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

能者818

2022-6-10 11:51:26

，Q在Q Matterf理论3.4中，但不适用于定义2。2，我们将同时使用向量Q和集合Q。定理3.4 X上的风险度量ρ是货币的（分别是相干的）、协单调加法和基于Q的当且仅当ρ（X）=ZXdψo Q、 X个∈ X（3.2）对于某些函数ψ：[0，1]n→ [0，1]使得ψo Qis标准（分别为ψo Qis标准和子模块）。12 Ruodu Wang，Johanna F.ZiegelProof总结了F¨ollmer和Schied[22]中的定理4.88和4.94，X上的r iskmeasureρ是货币和共单调加法，当且仅当ρ是某些标准集函数c的aChoquet积分。此外，ρ是相干的，仅当c是子模。首先假设ψo Qis是标准设置功能。然后，根据上述结果，（3.2）的右侧定义了一个共同的加性和货币风险度量ρ。它是相干的当且仅当ψo Qis附加子模块。根据xdψ的定义o Q、 ρ（X）=Z-∞(ψ o Q[X>X]- 1） dx+Z∞ψ o Q[X>X]dx，（3.3），因此ρ是基于Q的。相反，根据上述表示结果，ρ可以写成一些标准集函数c的Choquet积分。如果ρ被假定为相干的，则c是额外的子模。取X=1A，A∈ F、我们有c（A）=ρ（1A）。由于ρ是基于Q的，ρ（1A）由1A在Q下的分布决定，Qn。让RQ [0，1]nbe Q的范围，即RQ={（Q[A]，…，Qn[A]）：A∈ F} 。由于ρ（1A）仅取决于Q【A】，我们可以定义ψ：RQ→ R乘以ψ（x，…，xn）=ρ（1A），其中（x，…，xn）=Q【A】。因此，c（A）=ρ（1A）=ψo Q【A】对于所有A∈ F、我们可以很容易地将ψ的域扩展到[0，1]，而这并不影响c=ψ的说法o QIS标准。我们将（3.2）中的风险度量称为Q-失真风险度量，根据定理3.4，这正是一种货币、辅音和基于Q的风险度量。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

nandehutu2022

2022-6-10 11:51:29

相干Q失真风险度量称为Q谱风险度量。对于（3.2）中的Q-畸变风险度量ρ，ψ被称为Q-畸变函数，它在Q的范围内是唯一的，因为ρ（1A）=ψo Q【A】对于所有A∈ F、对Q的依赖是至关重要的。例如，取P，Q∈ P和定义ρ（X）=（1/3）EP【X】+（2/3）等式【X】，X∈ 那么ρ有一个不同的（P，Q）-畸变函数和一个（Q，P）-畸变函数。Q-失真和Q-谱风险度量的类别将是基于Q的风险度量理论的基石。显然，如果n=1，则Q-失真风险度量、Q-谱风险度量和Q-失真函数的概念与第2.2节中针对单个场景定义的概念一致。在这种情况下，（3.2）中的表示减少到ρ（X）=ZXdψo Q、 X个∈ Xwhereψ∈ G（和ψ∈ G+如果ρ是相干的）。ψ的条件o Q为标准或ψo Q是子模可能不容易在g e ne ral中验证，因为它涉及ψ和Q的联合性质。接下来，我们建立了仅基于ψ的简单有效条件。如果Q是相互单数且无原子的，则这些条件是必要且有效的。回想一下函数f：[0，1]n→ 如果R对所有x，y都成立，则称为子模∈ [0，1]n在f（min（x，y））+f（max（x，y））6 f（x）+f（y）处，其中基于情景的风险评估13min（x，y），max（x，y）分别表示组件的最小值和最大值。根据M¨uller和Stoyan[36，定理3.12.2]，函数f是凹模和子模的组合当且仅当所有x，y，w，z∈ [0，1]n当w 6 x，y 6 z，w+z=x+y时，我们有f（x）+f（y）>f（w）+f（z）。（3.4）此外，如果f是两倍连续可微分的，则（3.4）仅当其Hessian的条目均为非正时，才适用于I。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 11:51:32

我们称之为f增量如果x 6 y意味着f（x）6 f（y）。命题3.5设ψ：[0，1]n→ [0，1]是满足ψ（0）=0，ψ（1）=1的函数。（i）如果ψ在Q的范围内增加，那么ψo Q为标准。（ii）如果ψ是递增的、分量凹的和子模的，那么ψoQ是标准和子模块。更准确地说，如果ψ在Q的范围内增加并满足（3.4），那么ψo Q是标准和子模块。如果Q是相互单数且无原子的，那么Q的范围是[0，1]n，（i）和（ii）的倒数也是真的。证明部分（i）很琐碎。对于A、B∈ F和Q∈ Q、我们总是这样问∪ B] +Q[答∩ B] =Q【A】+Q【B】。因此，从（3.4）中，我们得到ψo Q[答∪ B] +ψo Q[答∩ B] 6ψo Q[A]+ψo Q[B]给出ψ的子模性o Q、从而显示第（ii）部分。如果QI是相互单数且无原子的，则映射Q:F→ [0，1]是满射的。让A，一∈ F是不相交集，使得Qi[Ai]=1，对于eachi=1，n、对于第（i）部分的相反，假设x，y∈ [0，1]nwithx6 yand x=y，xn=yn。让B∈ F，x=（Q[B]，…，Qn[B]）。由于（A，F，Q）是一个无原子概率空间，因此存在一个具有（B）的集合C∩ （A） C a和Q[C]=y（Delbaen[11，定理1]）。We havey=（Q[C∪ B] ，Qn[C∪ B] ），从而产生索赔。对于第（ii）部分的相反情况，我们展示了n=1的主张，由于QI相互单数，一般情况很容易遵循。设x，y，w，z∈ R，w 6 x，y 6，w+z=x+y。取B，C∈ F | a，Q[B]=x，Q[C]=y。如果Q[B∩ C] >w，取B′ （B\\C）Q[B′）=Q[B∩ C]- w和C′ （C\\B）Q[C′）=Q[B∩ C]- w、然后，\'C=（C\\C′）∪ B′ful fillsq[(R)C]=y和Q[B∩\'\'C]=w.如果Q[B∩ C] <w，取B′ （B）∪ C） cwithQ[B′）=w- Q【B】∩ C] 和C′ C∩ B，Q[C′）=w- Q【C】∩ B] 。然后，\'C=（C\\C′）∪ B′full fills Q[(R)C]=y和Q[B∩\'\'C]=w。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

kedemingshi

2022-6-10 11:51:35

方程W+z=x+y=Q[B]+Q[C]=Q[B∩\'C]+Q[B∪因此z=Q[B∪\'\'C]。现在，ψ的子模性o Qimplies（3.4）。命题3.5意味着通过选择增函数ψ来设计各种基于Q的共单调加性风险度量是一个前进方向。我们注意到，如果Qis不是相互独立的r，为了ψo Q为标准（分别为子模），ψ通常不必递增14 Ruodu Wang，Johanna F.Ziegel（分别为组件凹模和子模）。在例3.1中，ρ的畸变函数为ψ：（s，t）7→ 2秒- t、没有增加；然而，如果2P>Q，ρ仍然是一个谱风险度量。下面的命题表明，在这个例子中，ρ不可能是Q-mo notone，除非Q的范围退化，在这个意义上，如果P=Q，它的内部是空的。命题3.6让ρ成为具有Q-畸变函数ψ的Q-畸变风险度量。风险测度ρ是Q-单调的当且仅当ψ在Q的范围内增加。证明如果ψ在Q的范围内增加，ρ的Q-单调性从（3.3）直接开始。相反，假设x=Q[A]6 y=Q[B]对于someA，B∈ F、然后，1AQstBfor all Q∈ Q、因此，通过ρ的Q单调性，我们得到ψ（x）=ψo Q[A]=ρ（1A）6ρ（1B）=ψo Q[B]=ψ（y）。我们继续讨论Q-失真风险度量的积分表示。在第2.2节中，对于单场景io Q，Q-Distortion ris k度量ρQgis定义为ρQg（X）=Z-∞（g）o Q[X>X]- 1） dx+Z∞g级o Q[X>X]dx，X∈ 十、（3.5）如果g是左连续的，则ρqgha是通过分部积分论证的Lebesgue积分公式（Dhaene等人【14，定理6】），即ρQg（X）=ZVaRQp（X）d'g（p），X∈ X，（3.6），其中'g（t）=1- g（1- t） FOR r t公司∈ [0, 1].

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 11:51:38

注意，在这种情况下，(R)g是右连续的，g（0）=1- g（1）=0；因此，g是[0，1]上的分布函数。该特性是（3.6）中积分表示的关键。在相似假设下，我们建立了多个情景下的非线性积分公式。对于函数ψ：[0，1]n→ [0，1]，我们定义了ψ（u）=1- ψ(1 - u），u∈ [0，1]n.命题3.7假设ψ：[0，1]n→ [0，1]是这样的，ψ是[0，1]n上的分布函数。设ρψ：X→ R由ρψ（X）=Z[0,1]nmax{VaRQu（X），…，VaRQnun（X）}dψ（u，…，un）给出。（3.7）那么ρψ（X）是具有Q-畸变函数ψ的Q-畸变风险度量。此外，如果ψ是分量凸的，则ρψ是Q-谱风险度量。证明长度=最大{F-1X，Q（U），F-1X，Qn（Un）}=max{VaRQU（X），…，VaRQnUn（X）}，基于情景的风险评估15，其中（U，…，Un）~P′ψ。几乎每x∈ R、我们有P[Y 6 x]=P[F-1X，Q（U）6 x，F-1X，Qn（Un）6 x]=P[U6 FX，Q（x），…，Un6 FX，Qn（x）]=(R)ψ（Q[x 6 x]，…，Qn[x 6 x]）=1- ψ o Q[X>X]。因此ρψ（X）=EP[Y]=Z-∞（P[Y>x]- 1） dx+Z∞P[Y>x]dx=Z-∞ψ o Q[X>X]- 1.dx+Z∞ψ o Q[X>X]dx=ZXdψo Q、注意，任何分布函数？ψ都是递增的和超模的。因此，ψ是递增的和子模的，并且通过定理3.4和命题3.5，我们得到了期望的结果。命题3.7提供了构建各种Q-扭曲风险度量的便捷方法。例如，人们可以选择“ψ”作为n-copula（Joe[26]）。命题3.7的一个直接结果是，如果ψ是分布函数，则任何具有Q-畸变函数ψ的Q-畸变风险度量都有一个表示（3.7）。对于单个场景Q，Q-谱风险度量ρQgin（3.5）的失真函数g是凹的，这意味着'g自动是一个分布函数，因此ρQgalways允许（3.6）中的表示。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

可人4

2022-6-10 11:51:47

这一性质通常不适用于Q-失真风险度量的情况。更准确地说，Q-谱风险度量的Q-失真函数不一定总是一个分布函数，因为[0，1]上的所有分布函数都是超模的，但并非相反。因此，并非所有Q谱风险度量都具有代表性（3.7）。这与单一场景的情况形成了鲜明的对比。3.3一致风险度量作为风险度量理论中的一个经典结果，Kusuoka表示[31]指出，在无原子概率空间中，任何基于场景的一致风险度量都允许表示为谱风险度量集合的上确界，我们自然会想，对于Q-ba-sedris-k度量，类似的结果是否成立。首先，很容易注意到，Q-谱风险度量集合上的supremumover始终是基于Q的相干风险度量。对于相反的方向，我们将证明基于Q的一致风险度量允许表示为混合集合的s上积16 Ruodu Wang，Johanna F.Ziegelof Q-ES For Q∈ Q、但这需要一些非常重要的条件。更准确地说，ES的Q混合是由ρ（X）=nXi=1wiZESQip（X）dhi（p），X定义的风险度量∈ X，（3.8）对于s ome w=（w，…，wn）∈ [0，1]n其中pni=1wi=1，分布函数h，hnon[0，1]。显然，ρ是一个Q-谱风险度量，因为每个Q-E都是一个Q-谱风险度量。其Q-畸变函数由ψ（x）=Pni=1wigi（xi），x给出∈ [0，1]n，其中对于每个i=1，n、 gi是sqip（·）dhi（p）的变形函数，因此ψ（x）=nXi=1wi1.- 嗨（1- xi）+xiZ1-xi1- pdhi（p）, x个∈ [0，1]n.我们用Φqt表示（3.8）中ES的所有Q-混合物的集合。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 11:51:56

在下一个定理中，我们证明，如果Qi相互奇异且无原子，则任何基于Q的相干风险度量ρ都可以写成ES的Q-混合的上确界，即ρ（X）=sup^ρ∈Φ^ρ（X），X∈ X，（3.9）对于某些集合Φ ΦQ.第4节将讨论（3.9）类风险度量的示例。定理3.8（i）如果ρ：X→ R是一些Q-谱风险测度的上确界，是一个基于Q的相干风险测度。（ii）如果合格中介机构是相互单一且无原子的，则X上的风险度量是基于Q的一致风险度量，当且仅当其是（3.9）中的Q-混合的上确界时。在证明定理3.8之前，我们建立了一些辅助结果，这些结果可能是独立的。首先，我们讨论了Fa tou地产（Delbaen【11，12】），我们将根据domina tingQ的情景确定该地产。这种主导情景可以选择为Q*= （1/n）Pni=1Qi。形式上，如果一致有界序列X，X，···，则风险度量ρ满足Q-Fatou性质∈ X，收敛性XkQ*→ 十、∈ 最大值ρ（X）6 lim infk→∞ρ（Xk）。我们还引入了一个范数k·kQon theQ*-X的等效类e s，定义为k·kQ=sup{X>0:Q*[| X |>X]>0}，这是通常的L∞中本质有界随机变量的范数(Ohm, F、 Q*). 请注意，在Q-Fatou属性和normk·kQ的定义中，主要度量值Q*可以等效地选择任何支配Q的概率度量。很容易检查所有基于Q的货币风险度量相对于k·kQ是连续的。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 11:52:00

拟对流风险度量ρ满足ρ（λX+（1- λ） Y）所有λ的最大值为6{ρ（X），ρ（Y）}∈ [0，1]和X，Y∈ 十、引理3.9如果QI是相互奇异的，则基于Q的拟凸风险度量与k·KQ连续，可满足Q-Fatou性质。基于情景的风险评估17证明文件Q*= （1/n）Pni=1Qi，注意XkQ*→ 十、∈ X表示XKQI→ 对于每个i=1，…，X，n、我们将以与Elbaen[12，定理30]相似的方式展示引理，该引理指出a{Q*}-基，k·k{Q*}-连续拟凸泛函满足{Q*}-Fatou地产（首先由Jouini et a l.【27】显示，附带一个次要的额外条件）。基于Q的风险度量不一定是{Q*}-基于，因此上述结果不直接适用。尽管如此，我们还是利用了[12，引理11]，它给出了eachi=1，n、 k级∈ N、存在一个自然数NK和随机变量Szik，1，Zik，2，Zik，NK与Xkunder Qi分布相同，如thatlimk→∞在k·k{Qi}中，NkNkXj=1Zik，j=X。正如Delbaen【12，备注40】所解释的，可以独立于i选择数字NK。对于k∈ N和j=1，Nk，让Yk，j=Pni=1Zik，jaiwhere，一∈ F是不相交集，使得i=1时，Qi[Ai]=1，n、很明显，对于（i，j，k），Yk，jh的每个选择，其分布与XkunderQi，andlimk相同→∞NkNkXj=1Yk，j=X，单位为k·kQ。因此，ρ（Yk，j）=ρ（Xk）。最后，由于ρ是k·kQ连续的、拟凸的和基于q的，我们得到ρ（X）=limk→∞ρNkNkXj=1Yk，j6 lim infk→∞maxj=1，。。。，Nkρ（Yk，j）=lim infk→∞ρ（Xk）。因此，ρ满足Q-Fatou性质。作为引理3.9的直接结果，如果Q是相互奇异的，则基于nyQ的相干风险度量，如Q-谱风险度量，满足Q-Fatou性质。接下来，我们给出一个引理，它是证明Theo rem3.8的基础。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 11:52:05

对于X∈ X，letLX（Q）={Y∈ X:Yd=所有Q的QX∈ Q} 。也就是说，LX（Q）是所有随机变量的集合，这些随机变量在Q中的每个度量下都是相同分布的∈ LX（Q），因此LX（Q）不是空的。引理3.10假设Qi相互奇异且无原子，概率测度P<< （1/n）Pni=1Qi。函数ρ：X→ R，ρ（X）=supY∈LX（Q）EP[Y]是ES的Q混合物。18王若渡，Johanna F.ZiegelProof Let A，一∈ F be不相交集，对于i=1，…，Qi[Ai]=1，n、写入Q*=nPni=1千D Z=dP/dQ*. 对于每个i=1，n、设Ui为[0，1]上的均匀随机变量，在Qi下，Z=F-1Z，Qi（Ui）Qialmother肯定。例如，F¨ollmer和Schied[22，引理a.32]可以保证这种随机变量Ui的存在。根据《消除不平等法》（R¨uschendorf[40，备注3.25]），Y∈ X，我们有EQi[ZY]6 EQi[ZF-1Y，Qi（Ui）]。因此，对于Y∈ LX（Q），EP[Y]=nnXi=1EQidPdQ公司*YnnXi=1EQihZF-1X，Qi（Ui）i。另一方面，很容易验证pni=1F-1X，Qi（Ui）1Ai∈ LX（Q），andEP“nXi=1F-1X，Qi（Ui）1Ai#=nnXi=1EQihZF-1X，Qi（Ui）i。因此，supY∈LX（Q）EP【Y】=nnXi=1EQihZF-1X，Qi（Ui）i.注意EQIHZF-1X，Qi（Ui）i=ZF-1Z，Qi（u）F-1X、Qi（u）du和函数g:[0，1]→ [0，1]，t 7→RtF公司-1Z，Qi（u）du在G中是凸的。因此，映射X 7→ EQi[采埃孚-1X，Qi（Ui）]是一种光谱风险度量，其形式如（3.6）所示。因此，ρ是Q-谱风险度量Q的线性组合∈ Q

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-10 11:52:08

注意，每个Q-谱风险度量是Q-ES的混合物（Kusuoka【31，定理4】），因此ρ是ES的Q-混合物。证明（定理证明3.8）关于第（i）部分，有必要观察到Q谱风险度量是一致的，基于Q的一致风险度量的上确界也是基于Q的一致风险度量。对于pa rt（ii），由于ρ是相干的，因此通过引理3.9，它具有Q-Fatou性质。根据经典的相干风险度量表示（Delbaen[11]），存在一个集R 关于Q绝对连续的概率测度的P*, 使得ρ（X）=supP∈代表【X】，X∈ 十、（3.10）现在fix x∈ 十、由于ρ是基于Q的，ρ（Y）=ρ（X）表示所有Y∈ LX（Q）。因此ρ（X）=supY∈LX（Q）供应∈代表【Y】=支持∈RsupY公司∈LX（Q）EP[Y]。引理3.10，对于e ach P∈ R、地图X→ R、 x7→ 苏比∈LX（Q）EP[Y]是Q的Q-ES混合物∈ Q、因此，ρ是Es的Q-混合物的上确界。基于情景的风险评估19（3.9）中的表述类似于巴塞尔FRTBformula中的风险度量；见第1节。事实上，值得注意的是，如果Q是相互奇异的，那么只使用Q-E的最大值和线性组合，就像在[5]中所做的那样，就可以得到所有可能的基于Q的一致风险度量。当然，在[5]中选择的一组度量值Q不一定是相互单一的，允许有更多可能的一致风险度量值。然而，在基于情景的风险度量的一般类别中，Q-E的最大线性组合是所有情景选择的唯一一致形式。定理3.8中关于有界随机变量集的刻画可以推广到一般的Lq空间。下面，让Q∈ P是控制Q的概率测度，Lq（Q），Q>1是Q下具有有限Q阶矩的随机变量的序列。命题3.11假设Q是相互奇异且无原子的，Q>1。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

可人4

2022-6-10 11:52:11

映射ρ：Lq（Q）→ R是基于Q的一致风险度量，当且仅当它是ES的Q-混合的上确界，如（3.9）所示。证明了ES的Q混合特征的上确界是一个基于Q的相干风险测度。必须显示“仅当”语句。首先，用与定理3.8中相同的参数，很容易验证引理3.10对“X”是否成立吗→ R“将d替换为”Lq（Q）→ R∪{∞}”. 注意命题3中的ρ。11是有限值，LQA上的所有有限值凸风险度量都是连续的（R¨uschendorf[40，定理7.24]）。因此，ρ接受（3.10）中的表示，其中X替换为Lq（Q）。在定理3.8（ii）的证明中使用相同的论点，我们得出结论，ρ是ES的Q-混合的上确界。备注3.12在命题3.11中，我们已将ρ表示为Lq（Q）上的实值d。这一假设很有用，因为并非所有的E元素的Q-混合物都在Lq（Q）上，这是因为在不同的等价测度下不存在可积性。理论3.8是本文最具技术性的成果。证明中反复使用了Q的互运算性，这对于第（二）部分来说是不必要的。没有Q的相互奇异性，定理3的相反。8（ii）不正确。注意，表示（3.9）是Q单调的，我们在示例3.1中看到，有基于Q的相干ris k测度不是Q单调的，另请参见命题3。6、我们预计，对于基于Q的相干风险度量，如果不假设Q的互单调性，那么一个有趣的特征化结果至少需要ρ为Q单调的附加假设，甚至可能是对于比通常的s-tochastic序更弱的随机序。然而，即使有这样一个附加假设，没有假设相互奇点的表征问题仍然是一个悬而未决的问题，目前的技术工具似乎无法解决这个问题。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝