反射maxmin copulas与象限子独立性建模

2022-6-10 12:04:33

反映的maxmin copulas和建模象限SubindependenceTomaˇz Koˇsir，卢布尔雅那大学数学与物理学院，斯洛文尼亚数学、物理与力学研究所数学系，斯洛文尼亚，卢布尔雅那，邮编：<tomaz。kosir@fmf.uni-lj。斯洛文尼亚卢布尔雅那数学、物理和力学研究所数学系Matjaˇz Omladiˇc邮编：<matjaz@omladic.net>由于Copula模型能够更好地描述随机系统中的依赖性概念，因此Copula模型在不同的应用中变得很流行，包括建模冲击。Omladiˇc和Ruˇziˇc最近引入了maxmin copulas类[21]。它通过允许外部冲击对系统的两个组件产生不同的影响，扩展了著名的马歇尔-奥尔金和马歇尔连接函数。通过对其中一个变量的反射（flip），我们引入了一类新的二元copula，称为反射maxmin（RMM）copula。我们研究了它们的性质，并证明对称RMM copula与一般RMM copula的关系类似于半线性copula与马歇尔copula的关系。我们也将这种关系转移到maxmin copulas。我们还刻画了对称RMM copula的可能对角函数。关键词：Copula，依赖概念，Marshall-Olkin copulas，冲击模型，Maxmin copulas，半线性copulas。2010年理学硕士：60E05，6205作者感谢斯洛文尼亚研究机构的财政支持（研究核心资金编号P1-0222，研究资金编号L1-6722）。1引言依赖概念在多元统计文献中起着至关重要的作用，因为人们认识到独立性假设不能方便地描述随机系统的行为。

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2022-6-10 12:04:37

从那时起，为了提供更灵活的方法来描述实践中可能出现的各种依赖类型，进行了不同的尝试。由于Copulamodels能够以灵活的方式描述随机变量之间的关系，因此它在不同的应用中变得很流行。为此，基于科学实践的特殊需要，引入了几个copula家族（参见[9，11，20]）。例如，考虑这样一种情况：一个人想要建立一个随机模型来描述两个（或更多）生命周期之间的依赖关系，即正随机变量。在工程应用中，寿命的联合模型可用于估计由多个组件组成的系统的预期寿命。相反，在投资组合信用风险等相关情况下，生命周期可以解释企业或一般金融实体的违约时间，而随机模型可以估计相关衍生工具合同（如CDO）的价格/风险。在这两种情况下，估计共同违约发生的概率都是有意义的。Marshall和Olkin的开创性论文【18】中提出了用于模拟此类情况的方便统计分布，最新综述见【2】。他们考虑了两组分系统（可能很容易扩展到更多组分）的情况，其行为由根据连续分布函数Fi，Xi分布的连续随机变量（=r.v.\'s）x和xd描述~ Fifor i=1，2。此外，对于每个i=1，2，考虑随机变量zi和概率分布函数Gi，该函数可解释为仅影响系统i-thcomponent的冲击，即特质冲击。此外，考虑人r.v。

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2022-6-10 12:04:41

Z具有概率分布函数G，该函数可解释为影响两个系统组件随机行为的（外源）冲击。该模型中组件的寿命（基本上是马歇尔模型，比马歇尔-奥尔金模型更一般[18，17]——关于一般框架的描述，参见[4]）通过X=min{Z，Z}和X=min{Z，Z}与冲击相联系。在最近的一篇论文中，Omladiˇc和Ruˇziˇc【21】通过引入一类新的copula扩展了Marshall andOlkin的结果，参见【8】。这些copula自然发生的一个简单模型是一个类似于上述的双组分系统，其中我们假设两个组分中的第一个组分有一个恢复选项。这一假设对联系产生了重大影响。事实上，我们得到X=max{Z，Z}和X=min{Z，Z}。[21]的作者以封闭的形式再次开发了该模型的结果copula，并将其称为maxmin copula。在[8]中可以找到对该模型的各种解释，因为在许多实际情况下，常见的外源性冲击可能会对不同的系统组件产生不同的影响。例如，我们可能会认为XA和Xas r.v.代表了两组人各自的财富，而外部冲击被描述为对第一组有利，对第二组不利的事件。类似地，XA和XC可以分别被视为短期和长期投资，而ZI只对其中一种类型的投资有利。Maxmin Copula具有一些在与模糊集理论和多准则决策相关的各种背景下都很有吸引力的性质。它包括非对称copula，例如用作更一般的模糊连接词[1，6]。它的相关度量可能有一个单数部分，这是一个在各种基于copula的积分中潜在使用的事实（参见[14，15]）。

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2022-6-10 12:04:44

正如我们将在下文中展示的，maxmin copulas的主要思想反映在半线性Copula的概率扩展上，因此研究其扩展到各种类型结构的可能类似物可能是值得的（参见[12，13]）。在一篇开创性的论文中，Durante等人[6]介绍了半线性copula，并给出了这些copula与马歇尔copula之间令人惊讶的关系。这些copula的想法大致是，给定一个对角线截面δ，它们沿着两个三角形线性延伸。更精确地说，Sδ（x，y）=yδ（x）x，y 6 x；xδ（y）y，否则，其中约定；=采用0，称为（下）半线性copula。[6]的作者观察到，每一个对称马歇尔copula实际上都是半线性的，而且[6，命题8]，对于每一个马歇尔copula C（x，y），都存在半线性copulas，对于所有（x，y）∈ [0，1]，C（x，y）=最小值S（xy，y）y，S（x，xy）x.在第2节中，我们简要回顾了maxmin Copula，介绍了ReflectedMaxmin（RMM）Copula，并给出了这类Copula的一些性质。第三节主要讨论了MM连接函数的奇异性和绝对连续性。在第4节中，我们给出了这类copula的统计解释，在第5节中，我们研究了对称RMM copula对角线的性质。2 Maxmin copula再论Maxmin copula有两个母函数φ，ψ：[0，1]→ 满足以下性质的R：（F1）φ（0）=ψ（0）=0，φ（1）=ψ（1）=1，（F2）φ，ψ为非减函数，（F3）相关函数φ*: (0, 1] → [1, ∞) 和ψ*: (0, 1) → [1, ∞]定义人φ*（u） =φ（u）u和ψ*（v） =1- ψ（v）v-ψ（v）是非递增的。这里，ψ*（v） =∞ 如果ψ（v）=v。给定φ和ψ具有上述性质，则maxmin copula C（u，v）=Cφ，ψ（u，v）由（cf）定义。

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2022-6-10 12:04:48

[21]）C（u，v）=min{u，φ（u）v-φ（u）ψ（v）+uψ（v）}=最小{u，u+φ（u）（v-ψ（v））- u（1- ψ（v））}（1）=u+u（v- ψ（v））min{0，φ*（u）- ψ*（v） }，其中，如果u 6=0且ψ（v）6=v，则后一个等式成立。为了使母函数φ和ψ的作用更加对称，我们对maxmin copula类应用以下变换。如果Cφ，ψ（u，v）是maxmin copula，那么我们引入copulaCσφ，ψ（u，v）=u- Cφ，ψ（u，1- v）。这是一个随机向量（α（U），β（V））的copula，其中α在U的范围内严格递增，而β在V的范围内严格递减（参见[20，定理2.4.4]）。[9，第1.7.3节]给出了copulas对称性的一般方法。然后通过简单计算得出cσφ，ψ（u，v）=max{0，uv- （φ（u）- u）（bψ（v）- v） }，其中bψ（v）=1-ψ(1 -v）。在这里以及在续集中，我们使用符号“σ”表示转换C 7→ Cσ仅在C为maxmincopula且FLIP对第二个变量执行的情况下。观察到[9]中此处使用了符号σ，因此指出这是第二个变量的反映，而第一个变量的反映用σ表示。我们将指出这样一个事实，即copula Cσ是通过上述反射从maxmincopula C中获得的，其定义为maxmin copula，简称orRMM copula；我们还将使用缩写SRMM copulas表示对称反射的maxmin copulas。请注意，相同的反射将反射的maxmin copula发送回maxmin copula。根据母函数φ和ψ的性质（F1）–（F3），对于所有u，v，φ（0）=bψ（0）=0，φ（1）=bψ（1）=1，以及u 6φ（u），v 6bψ（v∈ [0, 1].此外，如果φ（u）=u（对于某些u>0），则φ（u）=u（对于所有u<u6 1）。类似地，对于某些v>0的情况，ifbψ（v）=v，对于所有v<v6 1的情况，ifbψ（v）=v。We writef（u）=φ（u）- u、 g（v）=bψ（v）- v=1- v- ψ(1 - v），和F*（u） =f（u）u，g*（v） =g（v）v，对于u，v>0。

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2022-6-10 12:04:51

此外，我们定义*(0) =利木↓0f（u）u，如果存在；∞, 否则（2） g也是这样*(0). 因此f，g：[0，1]→ [0、1]和f*, g*: [0, 1] → [0, ∞].1引理。假设f，f*, g、和g*对应于上面定义的最大最小copula Cφ，ψ。那么以下公式成立：（G1）f（0）=g（0）=0，f（1）=g（1）=0，f*（1） =克*（1） =0，（G2）函数bf（u）=f（u）+u和bg（u）=g（u）+u在[0，1]上是非减量的。（G3）功能f*和g*在（0，1）上是非递增的。证明：在这个证明中，我们使用了Cφ的生成元φ和ψ的性质，ψ在[21]中找到。回想一下，f（u）=φ（u）- u和g（v）=1- v- ψ(1 - v）立即设置属性（G1）。属性（G2）后接[21]的（Fc）和（Fd）。（G3）：回想一下φ*（u）是非递增的，所以f*（u） =φ*（u）- 1也是非递增的。最后，函数eψ（v）=1- ψ（v）1- [21，引理3]对（0，1）的vis不减损，所以，g*（v） =eψ（1- 五）- 1为非递增（0，1）。如[21，p.117]所述，函数φ和ψ在（0，1）上是连续的，函数φ在0处不一定连续，函数ψ在1处不一定连续。议论观察条件（G3）允许非常简单的几何解释：向量（u，f（u））和（u，0）之间的角度是非递增的。定义。给定函数f，g：[0，1]→ [0, ∞) 满足引理1的性质（G1）–（G3），我们通过以下规则定义了maxmin copulaCf，Gb，g（u，v）=max{0，uv- f（u）g（v）}。（3）注意，我们可以重写Cf，gas followsCf，g（u，v）=uv max{0，1- f*（u） g级*（v） }。（4）根据引理1，我们可以将每个maxmin copula关联到对应的RMM copula。下一个引理显示了这个事实的相反情况。2引理。假设函数f，f*, g、和g*满足引理1的性质（G1）–（G3）。那么函数φ（u）=u+f（u），ψ（v）=v-g（1- v），满足性质（F1）–（F3）和Cφ，ψ是一个极大极小copula。证据

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2022-6-10 12:04:55

属性（F1）很简单。现在，因为φ（u）=ALU的bf（u）∈ [0，1]，属性（G2）表示φ是非减量的。类似地，bg不减（G2），因此v+g（v）为6 v+g（v），因此为1-v+g（1-v） 6.1-v+g（1-v），对于0 6 v6 v6 1的任何v、v等。So，ψ（v）- ψ（v）=1- v+g（1-五）-(1 -v+g（1-v））>0。因此，ψ是非减量的，（F2）被证明是良好的。首先显示（F3）回忆φ*（u） =f*（u）所有u+1∈ （0，1）sothat函数φ*自函数f起为非递增*按（G3）不递增。接下来，考虑ψ*（五）- 1 =1 - ψ（v）- v+ψ（v）v-ψ（v）=g*(1 - v），并回忆起函数g*（v）按属性（G3）不递增，表示g*(1 -v）不减损，因此*(1 - v）是非递增的。所以，ψ*根据需要在（0，1）上不递增，（F3）保持不变。（注意，这里可能需要考虑u<1存在的可能性，例如G（u）=0，作为特例。）利用这一事实，我们在下一个定理中立即证明了Cf，gde finedby（3）或等效的（4）是一个copula。但是，在我们这样做之前，让我们暂停一下，发表一些评论。首先，这两个公式定义的copula提醒我们在[22]中引入了一类copula。这种类型的copula也出现在[5，命题3.2]中。事实上，[22]的作者研究了C（u，v）=uv+f（u）g（v）形式的连接体。因为对于某些u，v，我们允许uv+f（u）g（v）<0∈ [0，1]，我们的copulas Cf，gextend是其中的一个子类。此外，我们的copula可以看作是乘积copula∏的扰动。[3]和[19]研究了连接函数的一般扰动，其中考虑了我们称之为反射maxmin连接函数的一个子类（参见[19，§3]）。公式（3）也可以与[7，定理7.1]中的公式相关，最大值替换为最小值；我们认为相似性不仅仅是巧合。

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2022-6-10 12:04:59

在聚合上下文中对copula进行扩展，一方面可以得到更一般的生成函数，另一方面也可能得到更一般的二元函数类（即当前的copula），即准copula。3定理。设f和g满足（G1）–（G3），则Cf，g（u，v）是一个copula。对于φ（u）=u+f（u）和ψ（v）=v-g（1- v）我们有cφ，ψ（u，v）=u- Cf，g（u，1- v） andCf，g（u，v）=u- Cφ，ψ（u，1- v）。证据通过引理2，函数φ和ψ满足条件（F1）–（F3），因此Cφ，ψ定义为maxmin copula。SoCf，g（u，v）=u- Cφ，ψ（u，1- v），是[20，Thm.2]中的一个copula。观察乘积copula∏（u，v）是f的RMM copula≡ 0，克≡此外，Fr'echet Hoe ffing下限W（u，v）=max{0，u+v- 1} 如果取f（t）=g（t），则为isan RMM copula=1.- t、如果0<t 6 1；0，t=0。实际上，这些是整个RMMcopulas类的上下限。4引理。如果C（u，v）是RMM copula，那么新（u，v）6 C（u，v）6∏（u，v）证明：这是定义的直接结果，因为C（u，v）=Cf，g（u，v）=max{0，uv- f（u）g（v）}对于某些f（u），g（v）>0。根据maxmin copulas的母函数的性质，可以得出f（u）和g（v）在（0，1）上是连续的，但它们在0处不必是连续的。如果我们取f=g，则RMM copula是对称的，因此它是anSRMM copula。我们将f（u，v）=Cf，f（u，v）=max{0，uv-f（u）f（v）}=uv最大值{0，1-f*（u） f级*（v） }。注意，通过引理4，每个RMM copula都是负象限依赖的（参见[20]）。这一事实可能鼓励我们将这种copula等价地称为象限次独立的。RMM copula的对角线部分的形式为δ（t）=Cf，g（t，t）=max{0，t- f（t）g（t）}。由于f（t）g（t）>0，因此对于所有t∈ [0, 1].5提案。

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2022-6-10 12:05:02

如果一个copula同时是RMM copula和半线性copula，那么它等于乘积copula。证明：半线性copula是[6，推论5]的PQD，而RMM copula是引理4的NQD，这一事实立即证明了这一点。因此，RMM copula似乎与半线性copula具有互补的位置。还请注意，RMM copulas不能通过反射（也称为flipping变换）从半线性copulas获得。RMM连接函数可能具有额外的不对称性。对称性（或可交换性）属性可能过于严格，如【10】中所述。这里，我们指出了对称RMM copula的一些性质，这些性质不是整类RMM copula所共有的。第5.3节将给出更多关于RMM copula的一些特殊性质。在本节中，我们将主要考虑RMM copula的奇异性和绝对连续性。这里有一些符号。对于RMMcopula C=Cf，gwe引入了C的立场（只是为了本文）。用S（C）表示，定义为集合{（u，v）的闭包∈ [0, 1]; f（u）g（v）<uv}={（u，v）∈ [0, 1]; f*（u） g级*（v） <1}。它也是集合{（u，v）的闭包∈ [0, 1]; C（u，v）>0}。S（C）的补码的闭包称为C的零集，用Z（C）表示；clearlyZ（C）={（u，v）∈ [0, 1]; C（u，v）=0}。这里有一些RMM copula的例子，除了W（u，v）之外，还有或没有奇异分量，我们已经知道它是完全奇异的RMM copula。6示例。存在绝对连续的RMM copula族。证据函数FA（t）=at，0 6 t 6，a（1- t），6 t 6 1，且gb（t）=bt（1- t），对于a、b∈ （0，1）满足条件（G1）–（G3）。对应的RMM copulas C的双参数族：=Cfa，gb（u，v）具有密度C=Cuvsuch thatZZc du dv=1是一个简单的计算结果。接下来是期望的结论【9，20】。

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2022-6-10 12:05:04

注意，在[0，1]上，c处处都是非零的。还要注意，如果我们用一些a，b替换a，b∈ （0，1）使得ab=ab，copulaC保持不变。因此，RMM copula C的生成器不是由它唯一确定的（参见本节末尾的备注）。7示例。有一类SRMM连接函数属于FGM（Eyraud Farlie Gumbel Morgenstern）连接函数。证据设Ca=Cfabe由fa（t）=at（1）生成的一类SRMM copula- t）对于∈ (0, 1). ThenCa（u，v）=uv- auv（1- u）（1）- v）是EFGM连接函数（见[9，第193页]）。它们是绝对连续的，密度ca（u，v）=1- a+2a（u+v- 2uv）。8示例。有一些RMM copula族既有一个非平凡的溶质连续分量又有一个奇异分量。证据我们给出了三个性质略有不同的例子。（a）函数fθ（t）=θ- 1.t、 0 6 t 6θ，（1- t），θ6 t 6 1和gη（t）=η- 1.t、 0 6 t 6η，（1- t），η6 t 6 1，这里我们遵循[9，第6.3节]对θ，η的说明∈ （0，1），满足条件（G1）–（G3）。RMM copulas C的对应双参数族的每个copula：=Cfθ，gη（u，v）具有密度C=Cuvsuch thatZZc du dv=min{θ+η，1}，通过简单的计算得出。因此，当θ+η<1时，考虑的copula C既有连续分量，也有奇异分量。后者沿{（u，1）段均匀分布- u）；u∈ [θ, 1 - η] }，（5）立即检查。在极限θ，η内→ 0我们得到copula W。（b）由函数fδ（t）给出了一个单参数SRMM copula族=0，t=0；δ、 0<t 6δ；t、 δ6 t 6；1.- t、 6 t 6 1，对于δ∈0,, 满足条件（G1）–（G3）。在进行直接计算之后，我们得到了这些copula的密度函数在[0，1]上的积分等于1-2δln 2。

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2022-6-10 12:05:08

奇异分量沿两条弧分布u、 δ（1- u） u型; u∈, 1.和δ(1 - v） v，v; v∈, 1.（6）我们可以很快验证每个弧的质量等于δln2≈ 0.69 δ.（c）函数SF（t）=t（1- t）和gu（t）=0，t=0，t>u；u - t、 0<t 6u，对于u∈ （0,1]满足条件（G1）-（G3）。对应的RMM copula的单参数族的每个copula的密度在单位平方上的积分等于1- u（ln 4- 1) ≈ 1.- 0.38 u. 无痛计算表明，奇异质量沿弧分布u、 u（1- u） 2- u; u∈ [0, 1]. (7)为了能够显示示例8的差异，让我们首先回顾copula CLt（C）={（u，v）的水平集的旋转∈ [0, 1]; C（u，v）=t}对于任何t∈ （0，1）。对于t=0，水平集有不同的定义（见[20，9]），即L（C）=S（C）∩ Z（C）∩ （0，1），如果该交点是非空的，则orL（C）={[t，0]，[0，t]；t∈ [0，1]}如果S（C）=[0，1]。所以，在RMM copulas的情况下，所有的水平集都是由方程suv给出的曲线-f（u）g（v）=t。对于集合Lt，不可能总是给出一个形式为u=Дt（v）或v=ψt（v）的显式方程，因为对于例子8（b）中所示的连接函数族的Lof，可以看到这一点。这里是由（6）和线段给出的弧的并集u; δ6 u 6∪, v; δ6 v 6.同样，同一示例中小t>0的水位曲线Lt不是凸函数。现在，在例8中具有非平凡单数分量的copula中，有一些copula的单数分量仅仅是其stand的边界（C）的一部分。例如，在θ+η<1的示例8（a）中会发生这种情况，其中奇异分量由公式（5）给出；以及在示例8（b）中。另一方面，实施例8（c）中给出的copula具有沿（7）表示的整个水平集L（t）分布的矩形分量；copula W也是如此。

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2022-6-10 12:05:11

在绝对连续的copula中，有那些在单位平方上处处密度非零的copula，如示例6中的copula，以及密度部分等于零的那些，如实施例8（a）中所示，θ+η=1.0.0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.00.20.40.60.81.00.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.20.60.81.00.0 0.2 0.6 0.8 1.00.20.40.60.81.00 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.00.20.40.60.81.00 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.00.20.40.60.81.0图1：示例8散点图的连接函数图1给出了实施例8中的一些连接函数。在图的第一行中，有来自8（a）的三个copula，即θ=η=、θ=、η=、和θ=η=。第一个有一个非平凡的单数部分，而其他两个是绝对连续的。在第二行中，分别有8（b）表示δ=，8（c）表示u=1和u=。我们在图2中包含了更多RMM连接函数的散点图。

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2022-6-10 12:05:14

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.00.20.40.60.81.00.0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.20.40.60.81.0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.20.60.81.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.20.40.60.81.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.20.40.60.81.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.00.20.40.60.81.0图2：第一行中一些更受影响的最大最小copulas生成器分别等于tof（t）=2t，如果0 6 t 6；1.- t、否则；和g（t）=- t、如果0<t 6；0，否则；f（t）=- t、如果0<t 6；0，否则；和g（t）=- t、如果0<t 6；0，否则；andf（t）=0，如果t=0；，如果0<t 6；1.- t、否则；和g（t）=0，如果t=0；，如果0<t 6；1.- t、否则。第二行中所有copula的第二个生成器等于g（t）=t（1- t），而第一个分别等于f（t）=2t，如果0 6 t 6；1.- t、否则；f（t）=t、如果0 6 t 6；1.- t、否则；andf（t）=0，如果t=0；，如果0<t 6；t、 if6 t 6；1.- t、否则。接下来，我们给出了函数f、g的一些正则性性质，以及由此得到的反射maxmin copula的一些正则性性质。9提案。对于给定的反射maxmin copula Cf，gwe有：（a）f和g在（0，1）上是可区分的a.e.（w.r.到Lebesgue测度），并且f>-1和g>-1.（b）Cf、gis可部分区分a.e.（w.r.到Lebesgue测度）w.r.到Ua，且偏导数不大于bg（v）。（c） Cf，gis部分可微分a.e.（w.r.到Lebesgue测度）w.r.到vand，偏导数不大于bf（u）。证据（a）由于bf是一个连续且不递减的函数，因此它几乎在任何地方都是可微的（w.r.到Lebesgues测度），其次bf（u）>0 a.e.所以，f>-1自f（u）=bf（u）起的a.e- 1 a.e.（b）根据（a）部分，函数f是可微分的a.e.，因此函数cf，g（u，v）对于每个v相对于u.e是可微分的。因此，对于[0，1]上的Lebesguemeasure，存在相应的偏导数a.e。

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nandehutu2022

2022-6-10 12:05:17

清晰地Cf，gu（u，v）=0，如果uv<f（u）f（v）；v-f（u）g（v），其他情况下，对于所有v和a.e.w.r.到u.现在，使用f>-1对于所有v和a.e.w.r.到u.（c）的证明，该表现主义不大于v+g（v）=bg（v）。证明是通过在（b）部分的证明中交换u和v的角色获得的。现在是介绍本节主要结果的时候了。其中一些是从[22]中提出的，其中考虑了公式c（u，v）=uv+f（u）g（v）（8）的copula。但是，由于我们允许uv-f（u）g（v）为负，在这种情况下使用截断，我们需要重新表述其结果。为了读者的利益，我们提供了一些证据。让我们指出，[22]关于形式（8）的copula的结果的一些扩展也在[5]和[9，第1.6节]中给出。此外，在函数f和g的绝对连续性结果中，以及随后的Cf、g结果中，假设读者熟悉[16，第7.3节]中给出的此类函数的定义和性质。10引理。假设函数f和g满足条件（G1）–（G3）。然后：（a）对于任何ε>0的函数，这两个函数在区间[ε，1]上都是绝对连续的。（b）对于每对ε，δ>0，乘积f（u）g（v）在[ε，1]×[δ，1]上绝对连续。（c）对于每对ε，δ>0，差异uv-f（u）g（v）在[ε，1]×[δ，1]上绝对连续。证据（a）根据引理1及其后的定义，Cf，gis是一个copula，具有2-递增性质。对于带有f的0 6 x<x6 1和0 6 y<y6 1的任何点，它都很容易遵循*（x） g级*（y） <1（意味着f*（xi）g*（yj）<1指数i、j的所有组合∈ {1，2}）that1>f（x）- f（x）x- x·g（y）- g（y）y- y、（9）在这里，我们可以选择x>ε而没有损失。事实上，我们可以在关系式（9）中任意选择g满足条件（G1）–（G3）。

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2022-6-10 12:05:21

特别地，我们可以选择g非平凡，因此它包含一个点y∈ （0，1），其值严格为正，因此它在一些小于Yan的点上递增，在一些大于Yb的点上递减，因为g（0）=g（1）=0。因此，我们可能会发现点0 6 y<y6 1α-1： =g（y）- g（y）y- y<0，分别为β-1： =g（y）- g（y）y- y> 0。（注意，在第一种情况下，我们可以假设-1 6 α-1按属性（G2）。）因此，我们将关系式（9）分别发展为以下两个关系式：α6f（x）- f（x）x- x6β和f是绝对连续的[22，引理2.1]。这些具有f和g作用的论点使g的结果相反，g是绝对连续的。（b）（a）和（c）是（b）的简单结果。11推论。RMM copula C在所有矩形（a，1）×（b，1）和（a，b）的[0，a）×[0，b）上是绝对连续的∈ L（C）。证据这紧接着引理10和C在Z（C）上等于0的事实。对于[0，1]中定义的函数f，我们引入f={t∈ [0, 1] ; f（t）存在}。12引理。假设函数f和g满足条件（G1）–（G3）。让u∈ Af，v∈ 使（a）f（u）g（v）6 uv，然后f（u）g（v）6 1，分别是（b）f（u）g（v）<uv，并且f（u）和g（v）不都是负的，然后f（u）g（v）<1。尤其是f（u）g（v）6 1表示所有（u，v）∈ S（Cf，g）∩ （Af×Ag）。证据（a）条件（G2）明确表示f*（u） 6 0，表示f（u）6f*（u），与g类似，因此f（u）g（v）6 f*（u） g级*（v） 6前提是衍生工具并非均为负值。否则，第9（a）项主张将紧随其后。案例（b）类似。13定理。假设Cf，gis是RMM copula。然后它在S（Cf，g）的支架内部和零集Z（Cf，g）的内部是绝对连续的。因此，它可能仅沿边界（Cf，g）是单数。证据

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mingdashike22

2022-6-10 12:05:24

通过引理10和推论11，函数f（u）g（v）和Cf在支架S（Cf，g）内部的所有矩形上是绝对连续的，并且在零集Z（Cf，g）内部的所有矩形上也是绝对连续的。因此，密度函数c（u，v）=1.- f（u）g（v），用于（u，v）∈ S（Cf，g），0，表示（u，v）∈ Z（Cf，g），（10）通过引理12是非负的，我们有zcazdbc（u，v）du dv=Cf，g（c，d）- Cf、g（c、b）- 对于S（Cf，g）或Z（Cf，g）内部的任意矩形【a，c】×【b，d】，Cf，g（a，d）+Cf，g（a，b）。因此，copula可能只在L（Cf，g）上是单数的。14提案。对于RMM copula Cf，g其绝对连续部分的密度由（10）给出。其单数部分的质量由1给出-ZZ（1- f（u）g（v））du dv=λ（Z）+ZZSf（u）g（v）du dv。这里我们写的是较短的S=S（Cf，g）和Z=Z（Cf，g）。如前所述，λ表示Lebeque度量。15提案。唯一完全奇异的RMM copula是Fr'echet-hoeff-ding下界W。证据设C=Cf，gbe是一个完全奇异的RMM copula。所以，它的单数部分的质量等于1，通过（10），我们得到了几乎所有（u，v）的f（u）g（v）=1（11）∈ S、（这里我们隐含地使用了这样一个事实，即byLemma 10函数f，g在区间（0，1）上是绝对连续的，因此它们的导数几乎无处不在。）现在，如果几乎所有（u，v）的f（u）>0或g（v）>0∈ S、那么f（u）=g（v）=0（因为由（G1）f（1）=g（1）=0）与（11）相矛盾。那么，有了existu，v∈ （0，1）使得f（u）<0且g（v）<0，这意味着集合={（u，v）∈ Sf（u）<0，g（v）<0}是非空的。我们想证明ES包含了几乎所有的S。对于A冲突，假设不是这样；然后，S中包含一个子集positiveLebesgue测度。如上所述使用（11），我们在该集中选择一个点（u，v），使f（u）>0，g（v）>0。此外，选择（u、v）∈eS，并观察（u，v）∈ S或（u，v）∈ S

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2022-6-10 12:05:27

因为off（u）g（v）<0和f（u）g（v）<0，这与（11）相矛盾。最后，命题9和（9）告诉我们f（u）=-1和G（v）=-1适用于几乎所有（u、v）∈ S，因此几乎所有（u，v）∈[0, 1]. So，f（u）=0，u=0；1.- u、 u>0；和g（v）=0，v=0；1.- v、 v>0；得出期望的结论。上述RMM copulas的结果暗示了Maxmin copulas的以下结果。16推论。设Cφ，ψ为maxmin copula。然后将C的奇异分量包含在曲线φ中*（u） =ψ*（v）。唯一完全奇异的maxmincopula是Fr'echet Hoe ffing上界M.Proof。简短的计算表明，由f定义的曲线*（u） g级*（v） =1当转换回maxmin copulas时，对应于曲线φ*（u） =ψ*（v）。此外，当我们对Fr’echet-hoeffing下界W执行一个flip时，我们得到Fr’echet-hoeffing上界M和命题15的推论。评论结果表明，两对生成器f，gand f，gthat生成相同的RMM copula Cf，g=Cf，g（不同于乘积copula）只差于一个乘法常数：f=λfand g=λ-1G对于某些λ>0。特别是，SRMM copula的生成器f是由copula唯一确定的。我们将省略这些事实的证明，以避免本文过长。4 RMM和SRMMcopula的统计方面在本节中，我们需要区别C（u，v）=∏（u，v）- C（u，v）和相应的差异商qc（u，v；u，v）=C（u，v）C（u，v）对于给定的RMM copula C。请注意Cis总是非负的，并且测量C的“依赖”部分。特别是，当且仅当C≡ π和C表示独立。

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2022-6-10 12:05:30

当然，只有分母不为零时，商才能很好地定义。给定一个SRMM copula C（u，v），我们想找到生成器f（u）或等效的f*（u）在闭合形式中，至少对于f（u）为非零的u，要在一瞬间精确定义。（正如我们所认为的，找到RMM copula的两个生成器之一的问题具有相同的复杂性。）给定区间[0，1]上的连续非负函数f，使得（G1）–（G3）保持不变，由f生成的SRMM copula定义为asCf（u，v）=max{0，uv- f（u）f（v）}。（12）回顾f的定义（2）*(0). 对于U∈ （0，最小值{1，f*（0）}]我们表示F*-1（U）：=inf{U∈ Rf*（u） =u}。请注意，该最小值实际上是f连续性的最小值，因此也是f的最小值*. 现在，如果u，v∈ （0，1）足够大，我们得到f*（u） f级*（v） <1因为f*是非递增的，由（12）定义的copula的对角线δf（u）：=Cf（u，u）对于足够大的u是正的。表示umin=f*-1（最小值{1，f*（0）}）并观察到，对于所有u，v>u，我们得到δf（u）是非负的（或等价于f*（v） f级*（u） 6 1）自f起*是非递增的。出于同样的原因，它适用于每x>1，甚至更多的f*（十五）f*（u） 6.1。那么，表达式f的值*（徐）f*（u） =xQC（xu，v；u，v）作为两个严格正数的商存在，且与v无关。在该方程中，用uminto getf替换第一个u*（徐敏）f*（umin）=xQC（xumin，v；umin，v）。然后，用一个任意的u>u来替换Xumin，得到公式（在回顾了u的定义后，得出f*（umin）=1，随后f（umin）=umin）f（u）=uminQC（u，v；umin，v）。（13）这里，v是任意的，但选择它是为了使这个商的分子和分母的差值都是正的。注意，商与v.17定理无关。

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2022-6-10 12:05:33

由两个srmmcopula Cand和C的生成器生成的RMM copula C以闭合形式由C（u，v）=max{0，uv给出- uminQC（u，w；umin，w）vminQC（v，w；vmin，w）}。证明：为了得到这个公式，我们使用公式（13）两次。在第一个系数中，我们用w代替v，而在第二个系数中，我们用vmin代替Umin，用uby v，用w代替v。注意，这个公式与wand W的选择无关，前提是在商中，分子和分母都是非零的（当然，我们总是可以这样选择它们）18定理。假设C是RMM copula，F和G是单变量d.F.\'s。此外，假设H（x，y）=C（F（x，G（y））是双变量d.F。然后存在三个独立的随机变量Z，Zand Zsuch，H是随机对（x，y）的联合分布函数，其中d.F.of yis是对应于x的生存d.F，x=max{Z，Z}，x=min{Z，Z}。这直接源于我们的定义和[21，引理7]。我们现在想将本节的所有结果与反向边缘d.f的公式（13）结合起来。特别注意，当g（v）=f（u），v=1时- u点VMIntranslate到umax。19定理。假设C是maxmiin copula，F和G是单变量d.F.\'s。此外，设H（x，y）=C（F（x，G（y））是双变量d.F。然后存在三个独立的随机变量Z，Zand Zsuch，H是随机对（x，x）的联合分布函数，其中x=max{Z，Z}，x=min{Z，Z}。此外，存在两个SRMM copula Cand和Csuch thatC（u，v）=u- 最大值{0，u（1- 五）- uminQC（u，w；umin，w）（1- vmax）QC（1- v、 w；1.- vmax，w）}。对称反射maxmincopulasOne想要确定满足δ（t）6 ton[0，1]的对角线函数δ可能是RMM copulas的对角线部分。

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2022-6-10 12:05:36

我们说函数δ：[0，1]→ [0,1]是一个对角函数，如果它满足以下条件：（D1）δ（0）=0，δ（1）=1，（D2）δ（t）6t∈ [0，1]，（D3）δ为非减量，（D4）δ为2-Lip*****z：|δ（s）- δ（t）| 6 2 | s- t |对于所有s，t∈ [0, 1].A函数δ：[0，1]→ [0，1]是对角函数，当且仅当它是copula的对角部分[20，pp.84-85]。我们用D.20命题表示所有对角函数的集合。假设δ是RMM copula Cf，g的对角线部分，那么δ#（t）=δ（t）t：（0，1）→ [0，1]是不减损的。证明：我们有δ（t）=tmax{0，1- f*（t） g级*（t） }。通过引理1（性质（G3），并结合（G1））函数f*（t）和g*（t）是非递增和非负的，所以它们的乘积f*g*也是不递增的。因此，函数1- f*（t） g级*（t）不减损，建议如下。在对称RMM’s.21命题的情况下，我们可以对对角线部分说得更多一些。假设δ是SRMM copula Cf的对角线部分，则bδ（t）=t+pt- δ（t）：[0，1]→ [0, ∞) 是不减损的。证明：因为δ（t）=max{0，t- f（t）}我们有bδ（t）=t+min{t，f（t）}，即bδ（t）=2t，如果t 6 f（t）；t+f（t），如果t>f（t）。（14）通过引理1（性质（G2）），可以得出函数t+f（t）是非减量的。然后，通过基于方程（14）的简单观测，bδ是不衰减的。我们将bybD表示为满足命题20和21条件的所有对角线截面的集合，即bD={δ∈ Ds、 t.δ#，bδ为非减量}。观察函数δ#和bδ通过方程bδ（t）=t相关联1+p1- δ#（t）（15） δ#（t）=1-bδ（t）t- 1.（16）其中，我们对所有t使用了长期假设δ（t）6 t∈ [0，1]适用于反射的maxmin Copula的对角线部分。从关系式（15）和（16）可以直接得出，当且仅当ifbδ（t）在（0，1）上不增时，δ#是不减的。

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2022-6-10 12:05:39

利用这一事实，我们得到了DBD的等效定义{δ∈ Ds、 t.bδ（t）是不递减的，bδ（t）是不递增的}。22定理。函数δ是SRMM copula的对角部分当且仅当δ∈bD.此外，如果f（t）=pt- t的δ（t）∈ [0，1]，其中δ∈bD，则δ是SRMM copula Cf的对角线。证明：首先假设δ（t）是SRMM copulaCf的对角线。然后δ∈bD根据命题20和21。相反，如果δ∈bD然后δ#，和Bδ是不递减的。定义f（t）=pt- δ（t），f：[0，1]→ [0，1]并首先观察其定义。的确，t- δ（t）>0，δ#（t）=δ（t）在（0，1）上不衰减，δ#（1）=1。下一步服务bf（t）=t+f（t）=t+pt- δ（t）=bδ（t），和f*（t） =f（t）t=p1- δ#（t）。由于δ#和bδ是不减损的，因此很容易得出bf是不减损的和f*（t）是非递增的。回想一下，f（0）=f（1）=f*（1） =0得出结论，所有性质（G1）–（G3）都成立，f是带对角线δ的SRMMcopula的生成器。23示例。通常，SRMM copula不是由其对角线截面唯一确定的。证明：Fr'echet-Hoe-ffing下界W的对角线等于δW（t）=max{0，2t- 1}.它属于托布。我们已经知道W=cgfug（t）=0，如果t=0；1.- t、如果0<t 6 1。还可以观察到，g不等于对应于δWbyTheorem 22的函数f。这等于f（t）=min{t，1- t} 对应的copula等于f（u，v）=0，0 6 u，v 6；u（2v-1），0 6 u 66 v 6 1；v（2u- 1），0 6 v 66 u 6 1；u+v- 1,6 u，v 6 1。实际上，对于任何函数h：[0，1]→ [0，1]使得f（t）6 h（t）6 g（t）对于所有t∈ [0，1]以及BH和h*分别为非减和非增，我们得到Chis的对角线等于δW。观察copula Cf等于∏的两个副本相对于分区{0，1}的反射序数和（见[9，第3.8节]）。24推论。

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2022-6-10 12:05:43

如果δ∈bD使得所有t的δ（t）>0∈ （0，1）然后Cfforf（t）=pt- δ（t）是唯一的SRMM copula，对角线截面等于δ。证明：根据定理22，我们知道f是这样的，即Cf的对角线截面等于δ。假设Cg（u，v）=max{0，uv- g（u）g（v）}是一个SRMMcopula，其对角线等于δ。那么δ（t）=max{0，t- g（t）}由于δ（t）>0，我们得到了t- g（t）>0表示所有t>0。但theng（t）=pt- δ（t）=所有t的f（t）∈ [0, 1]. 25示例。对于所有t，copula存在满足δ（t）6t的对角线截面δ，使得δ#是不减的，而bδ不是。证明：设δ由δ（t）给出=0，t∈0,;2吨-, t型∈\", 1 -√#;t、 t型∈\"1 -√, 1#.很容易验证δ是一个连续函数，满足条件（D1）–（D4）以及所有t的δ（t）6 t∈ [0, 1]. 然后δ#（t）=0，t∈0,;4吨- 12吨，吨∈\"+, 1.-√#;1，t∈\"1 -√, 1#.为不减损whilebδ（t）=2t，t∈0,;t+rt- 2t+，t∈\", 1 -√#;t、 t型∈\"1 -√, 1#.不是。对于由aδ表示的任何对角线截面δ，最大t∈ [0，1]使得δ（aδ）=0。这意味着t的δ（t）=0∈ [0，aδ]和δ（t）>0表示t∈ （aδ，1）。由于W是所有copula的下界，因此aδ∈0,. 在下面的定理中，我们给出了具有给定对角截面δ的SRMM copula的上下界。26定理。假设δ∈bD是这样的，即aδ>0且writeh（t）=0，t=0；2aδ- t、 t型∈ （0，aδ）；pt- δ（t），t∈ （aδ，1）；且f（t）=pt- δ（t）。然后，Chand-Cf是具有对角截面δ的SRMM copula，如果Cg是任何具有对角截面δ的SRMM copula，那么对于所有的u，v，Cg（u，v）6 Cg（u，v）6 Cf（u，v∈ [0, 1].证明：CFS是SRMM copula的事实遵循定理22。要想知道Ch也是如此，我们必须稍微修改一下该定理的证明。

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