它提供了一个公式，用于计算交易员在使用错误波动率进行套期保值时所产生的利润和损失——这一经典公式的参考文献是[EJP17]。命题5.4从两个方面促成了模型误判的评估：一方面，它显示了损益公式的路径性质（这与本节的统一主题一致）；另一方面，它提供了经典P&L公式的推广。概括包括消除“真实”价格演变受It^o SDE控制的假设：它捕获了不仅在两个差异增强之间，而且在差异增强（交易员使用）和总体增强价格（真实）动态之间出现的误判。命题5.4（“衍生品交易基本定理”）。设f（ST）是一个偶然目标，其中f在Cb（Rd）中，sti是有限p变化的连续d维价格路径S的终值。设Strue=（S，Strue）为轨迹S上方的真实增强路径。设S=（S，S）为α-差异模型规范，α>p-设A，v，Delta和Gammabe如命题5.3所示。那么，损益=~VT- f（ST）=（γ。[S]- 【Strue】)0，T，（5.5），其中右侧的积分是定义良好的Young积分，而^vt是时间0的值≤ t型≤ 应用于真实增强结构的A-套期保值组合的T，由^Vt定义：=v（0，S）+（δ，γ）。（S，Strue）0，t+^tv（u，Su）- 德尔陶苏dSu。备注5.5。如果从一个差异模型中构造，那么作为概率积分中的补偿项，我们对投资组合价值的定义，即Vt，可以作为一种自我融资条件进行调整。

我们将在下文第节中为一般定价信号证明这一定义的合理性。为了证明经典导数基本定理的推广，我们将方程（5.5）中的Young积分改写为^Tzzv（t，St）d[S] t型- [Strue]t.如果结构是一种不同的增强，我们有[结构]t=\'te2r uai，jtrue（e-ruSu）du，从而将积分转换为熟悉的形式^Te2r tzi，zjv（t，St）ai，j（e-rtSt）- ai，jtrue（e-rtSt）dt。备注5.6。我们注意到，我们对衍生交易基本定理的推广允许将模型性能与价格轨迹的实际粗括号进行比较。这个数量是独立于模型的，并且可以使用Python包iisignature直接从数据进行计算，可以在链接https://pypi.org/project/iisignature/.另请参见J.Reizenstein和B.Graham的文档【RG18】。从价格数据的离散样本流中提取实际粗括号【Strue】的另一种方法可以依赖于G.Flint、B.Hambly和T.Lyons【FHL16】的收敛结果，下面的备注5.7专门用于此。命题证明5.4。我们在命题5.3的证明中使用泰勒展开式，对于0≤ u≤ t型≤ 我们写下（T，St）- v（u，Su）=zv（u，Su）Su，t+zzv（u，Su）Strueu，t+tv（u，Su）（t- u）+zzv（u，Su）[S]u，t+zzv（u、Su）u，t- [S] u，t+ Oωγ（u，t）,其中v是d维Black-Scholes微分方程（5.1）的解，ω是控制函数，γ>1。我们在分区的节点上求和，然后让网格大小缩小到零，得到（5.5）。Gammaagainst【Strue】和【S】的年轻积分的良好定义如第4.6条所示。备注5.7。假设价格向量S∈ RDI在点tk，k=0，Nof a partitionπ={tk}的时间窗口[0，T]。

根据【FHL16，定义2.1】，定义与数据流相关的Ho FFF流程{Stk:tk∈ π} 作为R2d值路径SH=（SH，b，SH，f），由HT给出=（Stk，Stk+1）kNT≤ t<k+1/2NT（Stk，（1- α（t）Stk+1+α（t）Stk+2）k+1/2NT≤ t<k+3/4NT（（1- β（t））Stk+β（t）Stk+1，Stk+2）k+3/4NT≤ t<k+1n其中α和β是t的一个函数，使得α（（k+1/2）t/N）=β（（k+3/4）t/N）=0，α（（k+3/4）t/N）=β（（k+1）t/N）=1。这是S的离散超前-滞后过程的一种特殊线性插值选择，其中第二个（超前）分量在第一个（滞后）分量之前更新。设（SH，SH）为通过标准Stieltjes积分（可能是因为有界变量的SHI）增强SHH得到的几何2-粗路径。G、 Flint，B.Hambly和T.Lyons在[FHL16，定理4.1]中证明，如果S是半鞅，则（SH，SH）收敛到2-粗路径（SH，∞, 上海，∞)s、 t：=经验值Ss、tSs、t+As、TA、t-hSis、tAs、t+hSis、tAs、t, （5.6）式中，exp是张量代数T（R2d）、andAs、tand hSis中指数映射的二级截断，分别计算Levy面积和半三角形从时间s到时间t的二次变化。当分区π的网格缩小到零时，收敛发生在极限范围内，并与适当的p-变化范数有关（我们参考原始文章了解收敛的确切方式）。受G.Flint、B.Hambly和T.Lyons构造的启发，可以从沿以下边线的可用离散数据点样本中提取实际的粗括号。设V为向量空间，对于vand-vin V，设V=V⊕ V表示它们的直和，它位于V空间⊕ 五、定义q给出的地图q：（V⊕ 五）2.-→ 五、2（v）⊕ 五） （w）⊕ w） 7→ v w- v w、 （5.7）其中 表示张量积。

请注意，对于v=v⊕vand w=w⊕赢V⊕V，我们有q（V∧w） =v⊙w-v⊙w、 其中v∧w是反对称积（vw-wv） /2in（v⊕五）2和vi⊙wjis对称积（viwj+wjvi）/2英寸V因此，q（（V⊕ 五）∧2） =V⊙然后，可以从数据序列m{Stk:tk中导出粗苞片t的代理∈ π} 通过将V=Rd定义的映射q应用于与此类数据流相关的HOFF过程的2-粗路径（SH，SH）。上述[FHL16，定理4.1]的结果保证了与经典半鞅情形的一致性，在样本的时间网格越来越小的情况下。据我们所知，在无n-半鞅的情况下，hoff过程的粗糙路径提升的极限是不可理解的。然而，为了从数据中进行估计的实际目的，可以应用该程序，并且可以校准不同的模型规格，以匹配由此导出的参数，从而将方程（5.5）中的误差降至最低。6扩大套期保值策略通过增强d价格路径S=（S，S），我们解释了P向积分（H，H′）。（S，S）作为风险资产S上头寸H产生的投资组合轨迹y。在本节中，我们探讨了修改（H，H′）解释的可能性。（S，S）。我们不仅将其视为代表S上位置H的值，还将对薪酬H进行财务解释。这需要分析在每IOD套期保值期间重新平衡投资组合的机制。

经典地，给定划分π和离散化策略（πH，πH），从（u-, u] to（u，u′）isrebalπ（u）=πHu′Su+πHu′Su-πHuSu-πHuSu。这种离散化策略在网格π上自融资，当且仅当π中的所有u>0时，它保持平衡π（u）=0，或当且仅当Hu′Su′+Hu′Su′时，等效地- 胡苏- HuSu=HuSu，u′+HuSu，u′u∈ π ∩ [0，T）。在（0，T）中给定T，设置πT：=（π∪ {t} （）∩ [0，t]。通过对u求和∈ πt，u<t，我们有HtSt+HtSt- HS公司- HS=Xu∈πtu<tHuSu，u′+Xu∈πtu<tHuSu，u′{z}=（πH.S）t。如果S是上的半鞅(Ohm, F、 P，（Ft）t），然后将P-极限取为|π|→ 0调整了雄风条件（2.5），尤其是由于SUPNLIM sup |π|→0便士（πH.S）t-^tHdS> : >0o=0。在这里，概率模型开始发挥作用，以保证Riemannsums对H的It^o积分的收敛性，对抗半鞅S=St（ω），其中实际价格轨迹被认为是一种回归。考虑到S的增强，并在再平衡机制中加入适当的补偿，在评估持续r e平衡对冲策略时，我们不能避免诉诸概率。给定对称Gtin Rd×d~=Hom（Rd Rd，R）和子区间[s，t] [0，T]我们解释实际数量gss，tas在时间T的d（d）的支付之和-1） /2位置ns2Gi，js=2Gj，is，1≤ i<j≤ d、 在交换合同上SSIS、tSjs、t- [S] i，js，t，1≤ i<j≤ d、 而对于d位置，Gi，is，1≤ 我≤ d、 关于掉期合约（Sis、t）- [S] i，is，t，1≤ 我≤ d、 因此，对于每个连续φt=（φt，φt，φt）∈ R×Rd×Rd×dsymwe可以解释πφuSu+πφuSu+πφuSu-,如果在子区间（u-, u] 我们得到πφu=φu-现金头寸，πφu=φu-股票头寸，πφu=φu-掉期头寸。

在现金、股票和掉期中持有ado pt头寸的策略应称为扩大策略。对于扩大战略，重新平衡成本来自（美国-, u] to（u，u′）isrebalπ（u）=φuSu+φuSu+φup（u，u′）-φu-Su+φu-Su+φu-苏-,u,回想一下，给定Rmand分区π中的（连续）路径Д，我们用πД表示以下分段常数caglad近似值：πДt=Xu∈πДut型∈ （u，u′）.其中，对于0≤ s<t≤ T和1≤ 我≤ j≤ d、 金额pi，j（s，t）=pj，i（s，t）表示在s时的掉期Si，js，twith到期t的（外源给定）价格。请注意，由于掉期合同不是原始金融工具，因此在支付金额上方的等式中-,Utaime u与u在下一次掉期Su，u′上持仓所需的价格p（u，u′）分离。我们假设掉期合同的价格p（s，t）Ss，tde定义为Rd⊙{（s，t）上的Rd值函数∈ R： 0个≤ s≤ t型≤ T}，对角线上的空和右连续，因此p（s，T）是有限的p/2变化。设φ为有限q变化的连续路径o nHom（Rd⊙ Rd；R） ，其中q和p/2是年轻互补的。然后，积分路径t：=（φ.p）0，t表示连续平衡扩大策略所使用的时间间隔[0，t]内的累计成本，以便在掉期合同上采用位置φ。定义6.1。设f（ST）为未定权益，其中f为Cb（Rd），Sti为有限p变化的连续d维价格路径S的终值。设S=（S，S）为α-离散模型规范，α>p-设A，v，Delta和Gamma如命题5.3所示。设C是[0，T]上的连续实值函数。然后，C-扩大的三角洲划分是定义为φt=Cte的扩大策略-rt公司- 德尔塔斯特-rt公司- Yte-rt，φt=Deltat，φt=Gammat，（6.1），其中Yt：=（φp）0，t。套期保值策略的理想属性是自我融资条件，即。

该策略在对冲期间不需要资金来调整头寸。以下命题6.2给出了（6.1）中C的明确公式，该公式保证了C-扩大三角洲hedg的零再平衡成本。提案6.2。连续实值函数ct=v（t，St）- r^ter（t-u） Yudu，（6.2），其中Yt：=（Gamma.p）0，t，是指C扩大的三角洲对冲具有零持续再平衡成本。证据我们采用定义6.1中的符号。此外，我们设置为：=-r^ter（t-u） 于都。我们可以写0，t- r^t（yu- Yu）du=0。（6.3）沿分区重新平衡的成本πisrebalπ（u）=πφu′Su+πDeltau′Su+πGammau′p（u，u′）-πφuSu+πDeltauSu+πGammauSu-,u=铜-,u+Gammaup（u，u′）- 于-,u-φu-苏-,u+Deltau-苏-,u+Gammau-苏-,u.我们的意思是：p（s，s）=limt↓sp（s，t）=0表示所有0≤ s≤ T因此，在u上求和∈ πt，u>0，我们有xu∈πtu>0rebalπ（u）=V0，t+y0，t- Yt+Xu∈πtGammaup（u，u′）- Gammap（0，0′）- （πφ.S）t-（πδ，πγ）。（S，S）t、 极限为|π|→ 0我们得出结论|π|→0Xu∈πtu>0rebalπ（u）=V0，t+y0，t- r^tVudu- r^t（yu- Yu）du+r^tDeltauSudu-（δ，γ）。（S，S）0，t=0，由于（5.4）和（6.3）。经典的delta套期保值是这样的：初始禀赋V=V（0，S）正是复制策略所需要的，以便在成熟度T时产生f（ST）金额。因此，期权的作者投资于delta对冲策略，这种策略将产生期权买方在到期时所需的确切金额。由于delta对冲没有额外的融资成本（即重新平衡投资组合不会消耗资金），因此作者的损益为零。对于Proposition6.2中的C-Amplified delta对冲，自我融资条件成立。

因此，期权编制人的损益仅由复制成本给出，即到期付款F（ST）与投资组合最终价值φTST+φTSTof之间的差异。请注意，后者不包括掉期的支付，因为这些捐赠是在再平衡过程中消耗的。提案6.3。如（6.2）isP和L=YT+r^Ter（t）中所示，使用C进行C扩大的增量套期保值的收益和损失-t） Ytdt，其中Yt=（伽马S）0，t证明。损益由损益=v（t，ST）之差得出- φTST+φTST。因此，该声明紧随方程式（6.1）中的定义，其中C表示为不等式（6.2）。7 Black-Scholes模型中的看涨期权我们现在考虑经典的B-lack-Scholes模型，其中基础股价的路径被建模为几何布朗运动的轨迹。因此，第2节中给出了一个设置，我们将尺寸d取为1。波动率算子A isAφ（x）=σxxxφ（x），φ∈ C（R），（7.1），其中σ>0是波动率系数。对带支付f（ST）的欧式期权定价需要解偏微分方程（2.2），其中终端约束h=e-本PDE中出现的rTh与支付函数f有关，如方程式（2.1）所示。方程（7.1）中的波动率算子不是局部一致椭圆的，即它不满足方程（4.2）中的要求。因此，我们不能依赖【LB07，第2章】中包含的理论来证明定价方程解的存在性和唯一性。然而，这样一个方程确实对所有连续和有界的终端约束h有一个解，实际上对更大类别的终端约束也有一个解。事实上，设w为方程式（2.2）中的未知值，并定义u（t，y）：=w（t- t、 eσy/√2.-σ（T-t） /2）。

然后，w solvesequalation（2.2）当且仅当u解方程(tu公司- yyu=0 in（0，T）×Ru（0，y）=g（y）（在{0}×R，（7.2）上），其中g（y）=h（eσy/√2.-σT/2）。因此，坐标的变化将方程式（2.2）引入热方程式。如备注4.3所述，假设椭圆度是为了说明（4.3）中偏微分方程的解存在且唯一的一组假设。然而，在保证存在性和唯一性而不依赖于唯一性的情况下，可以在不影响其余讨论的情况下删除此假设。这尤其适用于本节的对数正态示例。方程（7.2）的解写成asu（t，y）=√4πt^Rg（ξ）ex p-（y）- ξ） 4吨dξ=E[g（Yt）]，其中随机变量Ytis正态分布，平均值y和方差2t。通过使用初始条件g的定义，我们得到u（t，y）=E[g（Yt）]=E小时经验值σ√y+σWt-σT,式中，WT是标准布朗运动的时间-t边缘。因此，w（t，x）=uT- t，√σln x+σt/2=E小时经验值ln x+σ（WT- Wt）-σ（T- t）=e-rTE公司f经验值ln x+σ（WT- Wt）-σ（T- t） +rT,在最后一行中，我们使用了（2.1）中的关系。最后，通过回顾脱钩关系v（t，z）=ertw（t，e-rtz）我们得出，到期日为t且支付f的欧式期权在t时的价格由公式v（t，z）=e给出-r（T-t） E类f经验值ln z+σ（WT- Wt）+（r-σ） （T- t）,（7.3）其中z表示标的在时间t的价格。上述期望值用于为微分方程的解u、vand和w提供简洁的公式。

然而，数量u、v和w不是从概率框架中得出的，而是从抛物线偏微分方程中得出的。在我们的框架中，经典的Black-Scholes模型由以下增强子u指定，v=9σ^vuStdt，（7.4）在此规范下，我们现在讨论我们的路径框架在欧洲看涨期权案例中的应用，其中支付f（z）=（z- K） +，（7.5）对于某些固定走向，K>0。这种支付是没有边界的，因此原则上它不包含在上述一般讨论中。然而，方程式（7.3）中的公式扩展到线性增长的支付，从而扩展到欧洲看涨期权。换言之，尽管与PDE定价方程相关的半组在集合Cb（R）上定义，但该半组扩展到比Cb（R）更高的类别，因此允许处理欧洲看涨期权。然而，我们还想指出的是，即使模型规范不允许这样的扩展，欧洲看涨期权的定价也总是可以简化为欧洲看跌期权的定价，而欧洲看跌期权的定价是在Cb（R）中。这是由于所谓的看跌期权平价，这是欧洲看涨期权Ct时间t的价格、欧洲看跌期权Pt时间t的价格和股票St时间t的价格之间的以下无模型关系：Pt+St=Ct+Ke-r（T-t） 。由于这种关系，如果可以计算价格Pt，那么价格Ct将直接跟随。根据方程式（7.5）中的支付公式（7.3），期权价格的公式（7.3）可以重写为：asv（t，St）=StN（d（t，St））- Ke公司-r（T-t） N（d（t，St）），（7.6），其中N是正态分布的累积分布函数，d（t，St）=σ（T- t）-ln（St/K）+r+σ（T- t）d（t，St）=d（t，St）- σ√T- t、 为了能够应用命题5.3，仍需讨论对（v，S）的Q适度假设。

不幸的是，我们在这里看到，看涨期权（或相当于看跌期权）支付的非平滑性阻碍了我们直接应用上述结果。我们现在将对此进行详细讨论。回顾定义3.13中的三个条件。设Ht和H′t为（7.6）中与价格相关的δ和γ敏感性，名称为Ht=δ=zv（t，St）=N（d（t，St）），（7.7）H′t=Gammat=zzv（t，S）=N′（d（t，St））Stσ√T- t、 （7.8）其中N′表示标准正态分布的概率密度函数。定义3.13中三个条件的完整性取决于价格路径的终值。根据该终值，我们有以下渐近性t↑ T:d（T，St）~ d（t，St）~ （T- t）-如果ST>K；d（t，St）~ d（t，St）~ -（T- t）-如果ST<K.（7.9），如果ST=K，则dnor dhave a limit as t↑ T为了看到这一点，我们使用了重对数定律，它给出了布朗级数的小时间渐近性的精确说明。在所采用的几何布朗运动的情况下，我们得到了终端值STis写为asST=StexpσWT- σWt+r-σ（T- t）.如果ST=K，那么通过在方程的两侧取对数，我们得到了K- ln St=σWT- σWt+r-σ（T- t） 。因此，作为t↑ 我们有- ln Stσ√T- t型~WT公司- Wt公司√T- t=重量- Wtp2（T- t） ln ln（1/（t- t） ）|{z}lim sup=1；lim inf=-1·r2 lnT- t、 （7.10）右侧的第一个因素是：↑ T等于1，且极限值等于-因此，如果ST=K，则Lim supt↑Td（t，St）=直线电机支持↑Td（t，St）=+∞,lim信息↑Td（t，St）=lim inft↑Td（t，St）=-∞.（7.11）由于方程式（7.11），定义3.1 3中的条件1和2并不总是满足的。此外，T处的奇点也会影响条件3。条件1。H和H′延伸到时间范围t的条件取决于价格路径的终值。

假设ST>K。然后，项sd（t，ST）和d（t，ST）都收敛到+∞ 作为t↑ T和thuslimt↑Tv（t，St）=St- K、 限制↑Tzv（t，St）=1，limt↑Tzzv（t，St）=0。因此，在ST>K的情况下，通过设置ht=1和H′T=0，H和H′可以连续扩展到T。此外，请注意，t H′在[0，t]上是有限的p-变量，因此，由于它可以连续扩展到t，它实际上是[0，t]上的有限p-变量。cas e ST<K类似。事实上，在这种情况下，术语d（t，St）和d（t，St）两者都接近于-∞ 作为t↑ T和thuslimt↑Tv（t，St）=0极限↑Tzv（t，St）=0，limt↑Tzzv（t，St）=0。因此，在ST<K的情况下，通过设置ht=0和H′T=0，H和H′可以连续扩展到T。此外，请注意，t H′在[0，t]上是有限的p-变量，因此，由于它可以连续扩展到t，它实际上是[0，t]上的有限p-变量。相反，情况ST=K不允许延长到时间T。事实上，由于方程式（7.1 1），N（d（t，St））将不会有一个限制为t↑ T此外，H′将收敛到+∞ 作为t↑ 因为，使用方程（7.10），我们有′（d（T，St））√T- t型~(2π)-经验值(-WT公司-Wt公司√2（T-t） ln ln（1/（t-t） （）· 2英寸lnT-t）√T- t、 （7.12）条件2。对于所有x>0，函数t 7→ N（d（t，x））在[0，t]上是连续可微的↑Td（t，x）=+∞ 如果x>Klimt↑Td（t，x）=- ∞ 如果x<K，则函数t 7→ N（d（t，x））在[0，t]上有界变化，如果x>K或x<K，则可以连续扩展到闭合区间[0，t]。相反，在c asex=K时，则不会连续扩展到t。条件3。对于所有t<t，我们有mapx 7→N′（d（t，x））xσ√T- t（7.13）在（0+∞).

事实上，我们可以计算x个N′（d（t，x））xσ√T- t型= -d（t，x）+σ√T- t型N′（d（t，x））xσ（t- t） 。因此，我们得到了所有>0supx≥x个N′（d（t，x））xσ√T- t型≤Cσ（T- t） ，对于不依赖于t的fix e d常数C。限制x≥ 并不妨碍适用性，因为股票价格总是严格正的，因此路径S的下界是严格正的常数。由于后一种估计，对于所有的t<t，方程（7.13）中的映射对于所有的0<α<1都是α-H¨older。然而，当t接近t时，H¨older连续性的模量趋于完整。这表明，定义3.13中的条件3在期权到期之前不满足，但Gamma仅在期权到期之前的一段时间内控制Gubinelli意义上的Delta。以上评估的三个条件表明，当接近期权成熟度时，我们基于整合的路径框架的适用性受到敏感性奇点的阻碍。原则上，可以通过期权支付的平滑近似来规避这一问题，从而消除非差别点；我们将此作为未来的练习。相反，我们评论这说明了期权交易在实践中的意义，以及我们的路径框架所揭示的这些奇点如何被视为期权对冲实用性的基础。在实践中，当时间接近到期时，敏感性的不稳定行为是众所周知的，特别是在货币期权的情况下（即标的期权的价格等于或非常接近于行使）。

因此，通常在实际期权到期之前停止delta Hedging，并继续采用更简单的策略，如买入并持有。这可以通过引入一个小于期权到期日T的时间范围T来描述；然后，基于Black-Scholes模型的主要期权交易取决于未贴现的Black-Scholesde(t+L（e）-rt^v）=0 in[0，^T）×Rd^v（^T，z）=v（^T，z）在{T}×Rd上，其中L由L^（z）=zσ给出zzИ（z）+rzzИ（z），Д∈ Cb（Rd）∩ C（Rd）。（7.14）（7.14）和v=v（t，z）在方程式（7.6）中给出，且^v表示PDE中的未知值。实际上，函数v和^v在[0，^T]×Rd中重合，但我们使用不同的符号来强调，后者被认为是期权到期之前停止的Black-Scholes解。上述问题不适用于该对（^v，S），该对在定义3.13至ho rizon^T的意义上为q型。因此，我们的路径方法揭示了支持上述常见实践的数学特征。在^T之后，在时间接近T的极限范围内，方程式（7.8）中的灵敏度γ不再控制方程式（7.7）在古比内利意义上的δ。这是由于上述定义3.13中的条件3失效所致。此外，在moneyoptions的情况下，随着时间接近T，伽马灵敏度会偏离到单位。这对提案5.4的盈亏公式产生了影响，如以下提案所述。提案7.1。假设ST=K。考虑方程（7.4）中由theenhancer指定的Black-Scholes模型，并考虑真实价格信号的粗略括号。设<γ<1。假设对于所有的>0，存在一个分区，使得|π|<andinfu，u′- [S] u，u′：u∈ π> 1-γ.

（7.15）那么，总是存在一个任意确定的交易网格，使得该交易网格上的deltahedging利润和损失偏离-∞ 随着时间的推移，期权到期。备注7.2。命题7.1指出，在货币期权的情况下，如果Black-Scholes模型的错误描述导致波动性被低估，那么在进行delta对冲时，存在交易时间，这将使交易风险承担无限损失。相反，在货币内期权和货币外期权的情况下（分别为ST>K和ST<K），随着时间接近到期，伽马敏感性有一个限制，该限制为零。因此，在这两种情况下，描述利润和损失的年轻积分可以在第3节的积分边界上进行界定。命题证明7.1。设π为期权到期前的交易网格。考虑这个交易网格上方程式（5.5）中年轻积分的近似值，即Xu∈πGammau（[S]u，u′）- u，u′）。（7.16）方程式（7.15）中的条件表示，对于每一个>0，就存在π=π（），使得π中的所有u都保持[S]u，u′- u，u′≤ -1-γ.因此，如果在该分区上执行等式（7.16）中的和，则该和的上界为-1-γΓT-,其中T- 表示紧靠期权到期日之前的分区点。根据方程（7.12）中的渐近性，我们将其视为↓ 0数量-1-γΓT-转到-∞.8结论在这项工作中，我们提出了一种不使用概率的欧洲期权定价和对冲技术工具。我们提出建议的动机是基于这样一个事实，即martinga le定价的经典范式中的衡量标准的变化意味着只有实物基础证券的路径属性才与衍生价值的估值相关。

这一点在A节中得到了建设性的展示，其中给出了一个例子，即在任意确定的时间网格上可能无法区分的两种股票动态实际上意味着在其上书写的欧洲期权的任意不同价格。我们的无概率装置依赖于增强的价格路径，该路径是根据路径理论的精神定义的。一方面，它们的增强对于路径集成至关重要，这将在第3节中讨论。另一方面，它们封装了衍生工具估值的amodel规范，包含了套期保值所需的信息（第4节）。此外，这些改进允许评估模型的错误规定：证明了“错误”波动率下套期保值的损益公式，概括了所谓的激励交易的基本原理（第5节）。我们确定了允许在对冲策略描述中应用Gubinelli积分的精确假设。这些假设在标准的BlackScholes案例中得到了满足，即欧元区看涨期权和看跌期权的时间仅为严格先于期权到期日的时间T。一方面，当^T收敛到T（不使用概率）时，这打开了关于极限情况的合适近似的问题；另一方面，它为一些与不稳定的期权敏感性相关的对冲实践提供了数学基础，尤其是在现金情况下。除了这一技术问题之外，我们对数学金融学经典公式的研究方法还提出了进一步可能的研究方向。事实上，目前的工作采用了期权作者的观点，期权价格被认为是复制期权支付的自我融资对冲策略的初始禀赋。

这可以通过讨论依赖于增强d路径的套利来补充，从而采用期权买方的观点。事实上，我们的增强路径扩展到了半鞅的其他部门，这将使无套利论点适用于具有交易成本和其他市场缺陷的模型。事实上，在这些情况下，价格走势通常不如东南美洲金枪鱼那么规则。此外，我们想指出的是，交易成本下无套利的经典论点是基于一致的价格体系，参见【Gua06】、【GRS08】。这意味着没有套利最终是基于支持定理，因此提供了应用粗糙路径理论的机会，粗糙路径理论在支持型参数中的应用已被证明是富有成效的（见[FV10，第19章]）。在这个方向上，伦敦帝国理工学院最近的一篇硕士论文迈出了第一步（[Pei19]）。参考文献[AKL12]Marco Avellanda、Gennady Kasyan和Michael D Lipkin。期权到期日附近股票钉扎的数学模型。《纯粹与应用数学通讯》，65（7）：9 49–9742012。Marco Avellaneda和Michael D Lipkin。由市场引导的股票定价机制。《定量金融》，3（6）：417–4252003年。Damiano Brigo和Fabio Mercurio。离散观测股票价格替代连续时间动态的期权定价影响。财务Stoch。，4(2):147–159,2000.达米亚诺·布里戈。关于具有在有限维指数族中演化的边际法则的SDE。统计学家。概率。Lett。，49(2):127–134, 200 0.达米亚诺·布里戈。期权定价中的无概率模型：统计上不可区分的动力学和历史波动率与隐含波动率。

在“期权：布莱克-斯科尔斯-默顿模型出版45年后”会议上提交的论文，耶路撒冷，2018年12月4日至5日，arXiv:1904.0188912019年4月。[BSV08]Christian Bender、Tommi Sottinen和Esko Va lkeila。套期保值定价和半鞅以外的无风险定价。财务Stoch。，12(4):441–468, 2008.Avi Bick和Walter Willinger。无概率动态s平移。随机过程。应用程序。，50(2):349–374, 1994.Simon Ellersgaard、Martin J¨onsson和Rolf Poulsen。衍生品交易的基本理论阐述、扩展和实验。数量。《金融》，17（4）：515–5292017。【附录10】量化金融百科全书。第1卷：A-D.Wiley，奇切斯特，2010年。【FH14】彼得·K·弗里兹和马丁·黑尔·e·r.《崎岖道路上的课程》。Springer International Publishing，Cham，2014年版，2014年2月。盖伊·弗林特、本·哈姆布莱和特里·莱昂斯。离散采样信号和粗化过程。随机过程。应用程序。，126(9):25 93–2614, 2016.汉斯·福尔默。无概率计算。《斯特拉斯堡概率》，15:143–1501981年。【FV10】彼得·K。Friz和Nicolas B.Victoir。多维随机过程作为粗路径，《剑桥高等数学研究》第120卷。剑桥大学出版社，剑桥，2010年。理论与应用。Benjamin Golez和Jens Carsten Jackwerth。锁定标普500指数期货。《金融经济学杂志》，106（3）：566–5852012。保罗·瓜索尼、米克尔·奥斯·拉索尼和沃尔特·沙切梅耶。一致的价格体系和交易成本下的正面定价。安。应用程序。概率。，18(2):491–520,2008.保罗·瓜索尼。交易成本下无套利，分数布朗运动及更高。数学《金融》，16（3）：569–5822006年。[HK79]J.Michael Harrison和David M.Kreps。

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几何布朗运动），并给出一个交易网格π，它们构造性地证明了连续价格动态的存在，使得以下情况同时成立1。在网格π上，它的所有概率特征都是X的概率特征；2、将未定权益定价为XDOE。无论网格如何清晰，都存在这种“替代动态”，它们跨越了无套利价格的所有范围。在这方面，“替代本地动态”具有欺骗性，因为根据统计推断，gr idπ上的分布特性会使交易者倾向于用于定价和对冲目的，而“正确”的波动率将是X。这表明Black-Scholes定价技术忽略了离散观察到的标的证券的分布特征。本节致力于重新制定Brigo和Mercurio的结构。我们的公式强调了隐含波动率概念与历史波动率概念的分离（更精确的术语可能是边际方差），因此从我们的路径视角描述了Briggo和Mercurio的构建。我们根据福克-普朗克方程和密度的有限维流形中的边际定律的演化，发送了简单的直接证据，绕过了原始论述（例如，见[Bri00]）。此外，我们还处理了原始文章中暗示的一个限制性案例。事实上，在[BM00]中，“替代动力学”是通过将不同的过程拼凑在一起而构建的，这种操作依赖于网格点周围的-邻域。作者指出，在极限中出现的过程是↓ 0存在，但他们没有处理此限制情况。通过引入弱NAP等价的概念，我们设法在命题a中呈现一个整洁的s陈述。21关于这个极限情况。我们首先回顾[BM00]中使用的三个概念。

它们涉及随机过程的分布性质。定义A.1（“边缘身份”）。设X和Y是时间窗[0，T]上的随机过程。我们说，如果X和Y的边际定律始终相等，即如果对于所有有界可测f和所有0≤ t型≤ T它保持sef（Xt）=Ef（Yt）。（A.1）备注A.2。方程式（A.1）中的条件是指两个过程X andY的定律。因此，实际上没有必要假设X和Y定义在相同的概率空间上。我们将在定义中强调这一点。不同的概率空间呈现了不同的股价演变模型。然而，假设X andY定义在相同的概率空间上，并不影响一般性，因为可以使用一个概率空间，使两个过程都可以共同构建。设π为[0，T]的划分，即[0，T]中点的有限有序集合，使得初始时间0和时间范围均为π。设t在[0，t]中。我们采用以下符号约定：t′：=inf{u∈ π：u>t}，t型 := sup{u∈ π：u≤ t} （A.2）定义A.3（“π-马尔可夫性”）。设X为[0，T]上的随机过程，设（Ft）为X生成的最小过滤。设π为[0，T]的一个划分。我们说X是π-马尔可夫如果对于π中的所有s，所有t≥ s、 所有有界可测f，它保持se[f（Xt）| Fs]=E[f（Xt）| Xs]。定义A.4（“π-不可区分性”）。设X和Y是[0，T]上的随机过程，π是[0，T]的一个划分。我们说，如果X和Y是π-马尔可夫的，那么它们是π-不可区分的，而if1。对于π中的所有s，Xsand的边际律的推进是R上等价的概率测度；2.

对于π中的所有s，所有t≥ s、 对于几乎所有的有界可测f，对于R中的每个z，关于Xs的边际定律的推进（或等价于Ys），它都保持se[f（Xt）| Xs=z]=E[f（Yt）| Ys=z]，（A.3）。等式（A.3）中的条件是，如果边际Xs和ysa相等，则边际Xs和Yt的定律重合。换句话说，对于π中的所有s和所有t≥ s、 以X为条件的X定律与以Y为条件的Y定律相同。与RemarkA中的观察结果相同。2 a适用于方程式（a.3）中的条件。Moreover观察到π-不可区分性意味着离散时间马尔可夫过程的转移函数πXt：=Xt型和πYt：=Yt型都是一样的。我们介绍的最后一个概念是典型的财务概念。acr onym NAP应支持无套利定价。我们确定了一个确定性利率r，以便将无风险资产St=Sexp（+rt）纳入普通市场模型。给定价格过程X，时间t时X的远期价格定义为e-rtXt。定义A.5（“NAP等效性”）。设X和Y分别为上定义的正半鞅(Ohm十、 FX、PX）和(OhmY、 FY，PY）。我们说，如果分别定义了概率测度Qx和QY，则X和Y诱导等价的定价核/是NAP等价的(Ohm十、 FX）和(OhmY、 FY），并等效于px和PY，例如1。X和Y的远期价格分别是qx和QY鞅；2、对于所有s，将X和Y的边际定律与QXandQYare等价作为R上的概率测度向前推；3.

对于所有的s<t，并且对于几乎所有的z，关于Xs的边缘律（或等效于Ys的边缘律）的推进，对于所有有界的可测f，它保持seqx[f（Xt）| Xs=z]=EQY[f（Yt）| Ys=z]，（A.4），其中EQX和EQY分别表示qx下和QY下的期望。示例A.6（“NAP等效几何布朗运动和风险市场价格”）。众所周知，如果ui，i=1，2是两个实数，而Xit，i=1，2是动态xi=uiXidt+σXidWi（A.5）之后的价格过程，其中σ是波动系数，W是标准的一维布朗运动，然后X和X引入不同的定价核。将物理动力学（A.5）引入其相应定价动力学的度量变化xi=rXidt+σxidwi由dqidpi=E描述-ui- rσWi, i=1，2，其中E表示指数。系数（ui- r） /σ指的是风险的市场价格，它在相对于物理度量的度量的Radon-Nykodim导数的动力学中起着波动性的作用。如果（X，QX）和（Y，QY）是时间齐次马尔科夫过程，那么方程（A.4）就是它们的转移半群的等价性。事实上，在时间齐次马尔可夫性的假设下，我们可以用^f（x）pXt替换方程（A.4）-s（z，dx）=^f（y）pYt-s（z，dy），对于所有有界可测f和几乎所有z，支持Xs的向前推。接下来的讨论实际上就是这样，在定价度量下，过程X和Y将是几何布朗运动。

在马尔可夫性假设下，在该公式中，pXt（z，dx）表示与时间齐次马尔可夫过程（X，QX）相关的转移函数，pYt（z，dy）表示与时间齐次马尔可夫过程（Y，QY）相关的转移函数。方程（A.4）暗示过程X和Y的全部定律是相同的；在布朗运动的情况下，这迫使X和Y在定价度量下具有相同的漂移和相同的效率差，如示例a所示。考虑到几何布朗运动，我们可以建立以下命题。它将允许我们将相邻时间间隔上定义的流程拼接在一起，并保持NAP等效性。提案A.7。设（X，Y）和（X，Y）是两对NAP等价价格过程。假设在定价度量下，它们是时间齐次马尔可夫过程，其中xin依赖于X，yin依赖于Y，X=Y≡ 1、考虑连接XT=（Xt0≤ t型≤ TXTXt文本-TT<t≤ 2TandYt=（Yt0≤ t型≤ 泰泰特-TT<t≤ 2吨。那么X和Y是NAP等效的。证据让(Ohm, F、 Q）是适应过程（Xi，QXi）和（Yi，QYi）的概率空间，i=1，2。首先，我们需要证明，对于所有有界可测f和all0≤ s≤ t型≤ 2T它保持se[f（Xt）| Xs=z]=E[f（Yt）| Ys=z]，（A.6），其中期望值是关于Q计算的。这是因为在Q下，存在{log Xt，0≤ t型≤ 2T}与{log Yt，0}定律相同≤ t型≤ 2T}。

要看到这一点，请观察log X和log Y是马尔可夫的，并且：{log Xt，0≤ t型≤ T}和{log Yt，0≤ t型≤ T}根据假设是相同的；2） {log Xt，T的定律≤ t型≤ 2T}和{log Yt，T≤ t型≤ 2T}是相同的，因为它们都符合由log x的转移半群和初始分布log XT描述的马尔可夫过程的唯一定律。其次，我们需要证明远期价格是Q鞅。同样，这是对时间t=t的清除。如果s≥ T，thenE[电子]-rtXt | e-rsXs）=E[Ehe-rtXt公司e-rTXT，e-r（t-T）Xs-Ti | e-rsXs]=E[E-rTXTe公司-r（s）-T）Xs-T | e-rsXs]=e-rsXs。最后，如果s<T<T，那么-rtXt | e-rsXs]=E[E-rTXT | e-rsXs]E[E-r（t-T）Xt-T] =e-rsXs。e的鞅性-rtYtis要么以类似的方式证明，要么从e-RTX和法律上的等效性。定义A.5中概念的宽松版本带来了以下定义A.8（“弱NAP等效性”）。设X和Y为正半鞅，解释为价格动力学。我们说，如果存在正半鞅序列X和Yn，n，X和Y是弱NAP等价的≥ 1，这样1。对于所有t，log prices log xnT和log ynt分别收敛为log xT和log YtinL（P）作为n↑ ∞;2、对于所有s和t，（Xns，Xnt）的联合定律收敛到（Xs，Xt）的联合定律，即n↑ ∞,（Yns，Ynt）的联合律收敛到（Ys，Yt）的联合律；3、对于每个n，进程Xnand和ynNAP是等价的。序列Xnand Yn，n≥ 1，在定义中，ab ove被称为弱NAP等效对（X，Y）的还原序列。备注A.9。考虑日志正常情况，其中处理log X、log Y、log X和log Ynfrom definitiona。8都是高斯过程。那么，定义中的要求1实际上意味着要求2。

实际上，（Xns，Xnt）的联合定律收敛于（Xs，Xt）的联合定律，当且仅当高斯变换器（log Xns，log Xnt）的均值和协方差矩阵收敛于高斯变换器（log Xs，log Xt）的均值和协方差矩阵。从收敛日志Xnu可以立即看出，E[log Xns]、E[log Xnt]、E[（log Xns）]和E[（log Xnt）]分别收敛到E[log Xs]、E[log Xt]、E[（log Xs）]和E[（log Xt）]→ 记录所有u的Xuin L（P）。此外，从L（P）中的相同收敛性可以看出，乘积log Xnslog Xnt收敛到productlog Xslog Xtin L（P），协方差cov（log Xns，log Xnt）收敛到协方差cov（log Xs，log Xt）。Ynto Y收敛的情况是analo gous。将NAP-e等效过程串联起来的可能性立即扩展到了weaklyNAP等效过程。推论A.10。设（X，Y）和（X，Y）是两对弱NA-P-等价过程。Let（X1，n，Y1，n）nand（X2，n，Y2，n）n，n≥ 1，是它们的约化序列，并假设每n个NAP等价过程（X1，n，Y1，n）和（X2，n，Y2，n）满足概率a的假设。7、然后串联XT=（Xt0≤ t型≤ TXTXt文本-TT<t≤ 2TandYt=（Yt0≤ t型≤ 泰泰特-TT<t≤ 2吨。弱NAP等效。在介绍了上述概念之后，我们准备构建“替代动力学”。允许Ohm, F、 P设W为概率空间上的布朗运动。我们认为概率测度P是固定的，我们将其称为物理测度。设（Ft）为W生成的最小完成右连续过滤。我们考虑在时间窗口[0，T]中定义的流程。

给定tin[0，T[，空间L（PdtT公司-t） =L(Ohm ×[t，t]，F B[t，t]，PdtT公司-t） 是平方可积随机变量的空间Ohm ×[t，t]关于产品度量值PdtT公司-t、 式中dt/（t）- t） 是[t，t]上的归一化勒贝格测度。我们使用符号flung dt表示关于这种归一化Lebesgue测度的积分。对于L（P）中的ξ dt/（T）- t） ）我们设置| | |ξ| | | |：=Ttkξ（t）kL（P）dt（A.7），并观察| | |ξ| | |≤ kξkL（Pdt/（T）-t） ）。设L（[0，T]；L（P））是L（P）的闭包 dt/（T）- t） ）关于| | |·| | |。设H为严格正实数。对于s，t>t，我们将介绍函数K（t，s，t）：=s- tt- t型H-（A.8）和RH（t，s，t）：=（t- t） H+（s- t） H类-. （A.9）我们收集了一些关于KHand RHin的事实，包括以下两个引理。证明是向前延伸的，省略了。引理A.11。考虑函数KHin方程（A.8）。然后，1。实值函数s 7→ KH（t，s，t）在区间]t，t]上是平方可积的，对于任何t<s的情况，^stKH（t，u，s）KH（t，u，t）du=RH（t，t，s）/2H≤ t；实值函数（s，t）7→ KH（t，s，t）在单纯形{t上是平方可积的≤s≤ t型≤ T}带^Ttdt^ttdsKH（T，s，T）=RH（T，T，T）/4H；3、对于所有s≤ t它保持右侧（t，t，s）≤ RH（t，t，t）。引理A.12。考虑倒数R-1Hof RH，定义asR-1H（t，s，t）=（s- t） H类-（t- t） H+。然后，1。实值函数s 7→ R-1H（t，s，t）在区间]t，t]上是平方可积的，具有^stR-1H（t，u，s）R-1H（t，u，t）du=R-1H（t，s，t）/2H，对于所有t<s≤ t；实值函数（s，t）7→ R-1H（t，s，t）等于Lq（t<s≤ t型≤ T）对于所有1≤ q<2，但不是单纯形{t上的平方可积≤ s≤ t型≤ T}，带^Ttdt^ttdsR-qH（t，s，t）=R2-qH（t，t，t）/（2- q） （qH+1- q/2）；3、对于所有0<≤ it holdsR-1H（t，t+，t+）≤ R-1H（t，t，t）。函数KHand-RHare用于描述高斯过程ζ和ψ，这两个引理在下面的两个引理中介绍。引理A.13。

Volterra型公式ψ（t，t，H）=^ttR-1H（t，s，t）dws定义了一个中心高斯（Ft）自适应过程，其协方差结构[ψ（s，t，H）ψ（t，t，H）]=R-1H（t，s，t）/2H，s≤ t、 设置ψ（t，t，H）：=0，自适应过程{ψ（t，t，H）：t≤ t型≤ T}是L（[0，T]；L（P））的一个定义良好的元素，它与| | |·| | | | | |通过序列ψ（T）：=^ttR近似-L（P）元素的1H（t，s+，t+）dWs（A.10） dt/（T）- t） ）。备注A.14。对于每>0，方程（A.10）的过程ψ是一个半鞅，适用于布朗运动W的过滤（Ft）。引理A的证明。13、考虑C1,2（]t，t]×R）中定义的函数g（t，x）：=（t- t）--Hx。设>0。考虑中心高斯鞅ξ（t）：=^tt（u+）- t） H类-dWu，（A.11）和过程ψ（t）：=g（t+，ξ（t+））=^t+tR-1H（t，s+，t+）dWs。（A.12）设0<≤ . 我们可以估计^Ttk|ψ（t）-ψ（t）kL（P）dt=2H^Tt | R-1H（t，t+，t+）+R-1H（t，t+，t+）- 2R级-1H（t，t+，t+）| 1/2dt≤2H^Tt | R-1H（t，t+，t+）- R-1H（t，t+，t+）| 1/2dt+2H^Tt | R-1H（t，t+，t+）- R-1H（t，t+，t+）| 1/2dt-→0，as，↓ 我们使用了支配收敛和支配| R-1H（t，t+，t+）- R-1H（t，t+，t+）| 1/2≤2R级-H（t，t，t）。因此，{ψ（t，t，H）：t≤ t型≤ T}作为极限存在于L（[0，T]；L（P））中，并定义了具有所声称的协方差结构的T，T]上的高斯过程。最后，△ψ（t）- ψ（t）=^t+tR-1H（t，s+，t+）dWsandEИψ（t）- ψ（t）= （t+）- t）-2小时-1^t+t（s+- t） 2小时-1ds。在这两种情况下，0<H<1/2和H≥ 1/2，我们有Иψ（t）- ψ（t）. （t+）- t）-2，使^Ttk|ψ（t）- ψ（t）kL（P）dt。1/2^Tt（t+）- t）-1dt=1/2（对数（T+- t）- log）。右侧归零为↓ 引理A.15。

Volterra型公式ζ（t，t，H）=^ttKH（t，s，t）dWsde在[t，t]上定义了一个中心高斯（Ft）自适应过程，协方差结构为[ζ（s，t，H）ζ（t，t，H）]=RH（t，t，s）/2H，s≤ t、 此外，ζ是一个半鞅，对于所有t≤ t型≤ Tζ（T，T，H）=Wt- 重量+(- H） ^ttψ（s，t，H）ds，（A.13），其中等式在L（P）中表示，ψ在LemmaA中定义。13.证明。LemmaA第2点。11产生第一个索赔。我们确定第二项索赔。考虑C1,2（]t，t]×R）中定义的函数f（t，x）：=（t- t）-Hx。设>0。考虑过程ζ（t）：=ft+，ξ（t）,式中，ξ在方程式（A.11）中定义。由于f在[t+t，t]×R上是两次连续可微的，因此，o的引理ζ是L（P dt/（T）- t） ）和ζ（t）=f（t+，ξ（t））+^ttxf（s+，ξ（s））dξ（s）+^tttf（s+，ξ（s））ds=重量+重量+- H^ttψ（s）ds+o（1），其中ψ在方程式（A.10）中定义，o（1）在L（P）中为0↓ 通过Minkowski积分不等式，我们得到^ttψ（s）- ψ（s）dsL（P）≤^ttkψ（s）- ψ（s）kL（P）ds。因此，让↓ 0得出方程式（A.13）。考虑，对于>0，过程ζ（t，t，H）：=Wt- 重量+(- H） ^ttψ（s）ds，t≤ t型≤ T、 （A.14）式（A.10）中定义了ψ。上述证明表明，ζ（t，t，H）收敛于L（P）中的ζ（t，t，H）。自Varψ（t）≤ R-1H（t，t+，t+）/2H，我们有≤t型≤TVarψ（t）≤ -1/2H，对于0<η<2Hsupt≤t型≤TE exp公司ηψ（t）< ∞.这是一种Novikov型条件，参见[RY99，第八章，（1.40）练习]。因此，对于所有的>0，存在一个概率P，相当于物理度量P，因此ζ（·，t，H）是P下的布朗运动。更准确地说，P由公式dPdP | Ft=exp给出（H）-)^ttψ（s）dWs-（H）-)^ttψ（s）ds,t型≤ t型≤ T、 备注A.16。

非正式地传递到极限，如↓ Yieldshewick e指数（H）上的测量值变化为0-)^ttψ（s，t，H）dWs。借用示例A中介绍的术语。6，我们可以参考（H-1/2）ψ（t，t，H）作为风险的（时间相关）市场价格。然而，测量的极限变化是无效的，因为它会导致一些质量损失；实际上，P（'ttψ（s，t，H）ds=∞) > 引入弱NAP等价的概念是为了绕过这个技术问题，并在不必明确提及近似序列的情况下给出一个简洁的语句。这样一个简洁的陈述将包含在Propo sitionA中。请注意，第[B M00]条没有做出这一选择，而是以近似序列的形式陈述了一切。设u为一个固定数，我们用σ表示r+，我们定义了这条线l（t，t，u，σ）asl（t，t，u，σ）：=（u- σ/2）（t- t） ，t，t∈ [0，T]。（A.15）字母X表示几何布朗运动，定义为t≤ t型≤ T asX（T，T，u，σ）：=xexpl（t，t，u，σ）+σWt- σWt. （A.16）示例A。6表明{X（·，t，u，σ）：u∈ R} 是一系列NAP等价过程，其定价动力学为X（·，t，R，σ）之一，R表示市场模型中的固定利率。提案A.17。设u为实系数，σ和σ为两个正实数。然后，过程（t，t，σ，σ）=xexpσζ（t，t，σ2σ）+l（t，t，u，σ）,t型≤ t型≤ T、 同时弱NAP相当于X（·，T，u，σ），与X（·，T，u，σ）略微相同。备注A.18。Y的q值变化为[Y]t，t=σ^ttYsds。这与X（·，t，u，σ）的值相同，因为[X（·，t，u，σ）]t，t=σ^ttXsds，但与X（·，t，u，σ）的值不同。在这方面，无套利定价对二次变化敏感，但对边际变化/历史波动率视而不见。Y的符号中抑制了漂移u。命题A.17的证明。