为简单起见，我们取x=1。考虑过程（t，t，σ，σ）=expσζ（t，t，σ2σ）+l（t，t，u，σ）, （A.17）式（A.14）中定义了ζ。我们已经知道，log Y（t）→ 在L（P）中记录Y（t）。由remarkA提供。9，我们还得到，对于所有的s<t，（Y（s），Y（t））的联合定律收敛于（Y（s），Y（t））的联合定律。此外，存在一个概率测度P，等价toP，使得（ζ，P）是布朗运动，因此存在一个等价Q，使得（log Y，Q）具有log X（·，t，r，σ）定律。这表明了所断言的弱NAP-e等价性。至于边际恒等式，需要注意的是，log Y（t，t，σ，σ）是一个具有均值的高斯随机变量l（t，t，u，σ）和方差σVarζ（t，t，σ2σ）=σhRH（t，t，t）/2HiH=σ/2σ=σ（t- t） 。这些是高斯随机变量log X（t，t，u，σ）的平均值和方差。备注A.19。对于n中的n，让Ynbe为过程s{Y1/n（t，t，σ，σ）}，其中对于>0，过程Y（·，t，σ，σ）定义在方程式（A.17）中。设Xn=X（·，t，u，σ）是一个几何布朗运动，对于n中的所有n，漂移u和波动σ。然后，命题a.17的证明表明，该对（Xn，Yn）是命题a中定义的过程Y之间弱Nap等价的还原序列。17和几何布朗运动X（·，t，u，σ）。我们注意到，Xnis是常数序列等式X（·，t，u，σ），因此对于所有有界连续函数f，我们得到eqn[f（YnT）| Yt=X]=EQ[f（X（t（t，t，u，σ））| X（t，t，u，σ）=X，其中Qnis与yn相关的定价度量，Q是X（·，t，u，σ）具有X（·，t，r，σ）定律的度量。这意味着，对于所有随机模型Yn，到期日支付为T的欧式期权的价格是相同的，并且该价格与经典Black-Scholes模型中该期权的价格相等。备注A.20。

Y和几何布朗运动X（·，t，u，σ）之间的弱NAP等价性的约化序列是根据方程（A.17）中定义的过程Y构建的。这个过程与[BM00]中构造的过程密切相关，但它并不相同。实际上，在[BM00]中构造的过程由“Y（t，t）=xexp（\'Z（t，t））”给出，其中“Z在t=时为空，并遵循动力学“Z（t，t）=l（t，t，u，σ）+σ（Wt- Wt）如果t≤ t<t+-1（t- t）(σ-σ） /2σ·hσ（Wt+）- Wt）+σ'tt+-1（s）- t）(σ-σ） /2σdWsiif t≥ t、 这是方程【BM00，方程（3）】。log Y和log'Y都是高斯过程，因此对于所有t，边缘log Y（t）和log'Y（t，t）在L（P）中收敛到lo g Y（t，t，σ，σ）。此外，对于所有>0的情况，Y与X（·，t，u，σ）略微相同。设π为时间窗[0，T]的一个分区，并回顾符号约定不等式（a.2）。对于π中的u，考虑过程z（t，u，σ，σ）=0 0 ≤ t型≤ ul（t，u，u，σ）+σζ（t，u，σ2σ）u<t≤ u′型l（u′，u，u，σ）+σζ（u′，u，σ2σ）t>u′。（A.18）提案A.21（[BM00，提案2.1和2.2]）。设σ和σ为两个正实数，并相应地考虑几何布朗运动X（·，σi）=X（·，0，u，σi），i=1，2，在方程式（A.16）中定义，对于R中的某些u。设π为时间窗[0，T]中的时间网格，并相应地定义方程式（A.18）中的过程Z。设Y=Y（·，σ，σ）为过程（t，σ，σ）=xexpXu∈πZ（t，u，σ，σ），0≤ t型≤ T、 然后，它同时保持1。Y（·，σ，σ）和X（·，σ）是π-不可区分的；2、Y（·，σ，σ）和X（·，σ）是弱NAP等价的。证据我们把证据分成两部分，与陈述相对应。设u为一个划分点，观察t>u时，变量log Y（t，σ，σ）-log Y（u，σ，σ）与Fu无关。

此外，对数Y（t，σ，σ）- 逻辑（u，σ，σ）=Xv∈πu≤五<t型逻辑（v′，σ，σ）Y（v，σ，σ）{z}L1+逻辑（t，σ，σ）Y(t型, σ、 σ）|{z}L2。两个求和L1和L2是独立的。第二个和L2随平均值正态分布l（t，t型, u，σ）和方差σ（t-t型). 对于第一个总结L1，我们进一步注意到变量log[Y（v′，σ，σ）/Y（v，σ，σ）]，v的独立性∈ π、 均数正态分布l（v′，v，u，σ）和方差σ（v′）- v） 。因此，L1正态分布平均值l(t型, u、 u，σ）和方差σ(t型-u） 。因此，log[Y（t，σ，σ）/Y（u，σ，σ）]分布为log[X（t，σ）/X（u，σ）]。2、在π的每个子区间[u，u′]上，过程Y（t，σ，σ）Y（u，σ，σ）：u≤ t型≤ u′型和X（t，σ）X（u，σ）=X（t，u，u，σ）：u≤ t型≤ u′型是弱NAP等价的，如命题A中所述。因此，我们通过对花冠y A.10进行归纳得出结论。命题A.21实现了隐含波动性概念和历史波动性概念之间的分离。事实上，如果我们将隐含波动率作为与期权定价相关的价格路径的特征，我们可以从命题A的陈述中看到。21这一特征与价格路径的物理演化的分布特性相去甚远。更准确地说，参考第1节中的讨论，我们看到过程Y（·，σ，σ）的隐含波动率是σ，但对于所有t，Y的t-边际的物理变量（Y（t，σ，σ））是σt。这激发了我们对期权定价数学模型的路径观点。这种观点尤其需要重新考虑所采用的整合理论，我们将在下一节中解释。B提案3.1第3节的证明。一维情形d=1个曲面。设（（1）πn）与（（2）πn）为两个网格尺寸为零的序列。

定义N中k的π2k+1：=（1）πkandπ2k：=（2）πkF。a假设保证（πnH.X）T，N≥ 1是C中每个yh（[0，T]，R）的柯西序列。因此，tr调节| limn（（1）πnH。十） T型-limn（（2）πnH。十） T型|≤limn（（1）πnH。十） T型- （（1）πNH。十） T型+（∧π2N+1H.X）T- （∧π2NH.X）T+（（2）πNH。十） T型- limn（（2）πnH。十） T型产生第一个索赔。因此，对于C（[0，T]，R）中的每个H，我们有sup{（πH.X）T |：[0，T]}的π划分<∞.但是地图H 7→ （πH.X）是C（[0，T]，R）上带|（πH.X）T |的有界线性算子≤ kHk公司∞徐∈π| Xu，u′|。此外，给定π，被积函数st=1.-t型- t型t型′- t型签名十、t型,t型′+t型- t型t型′- t型签名十、t型′,t型′′,0≤ t型≤ T、 即（πS.X）T=Xu∈π| Xu，u′|。因此，一个一致有界性原则的应用结束了证明。命题3.7的证明。给定[s，t]的一个划分π [0，T]，让我们设置^πΞ：=Xu∈πΞu，u′。我们首先证明，对于任意一对π，~π的分区o f[s，t]，它都成立^πΞ-^~πΞ≤2γζ（γ）ω（s，t）kδΞkω，γosc（ω，|π|）γ- 1.- osc（ω，|π|）γ- 1.,（B.1）式中ζ（γ）：=Pn≥1n-γ是z e ta函数，osc（ω，|π|）：=sup{ω（s，t）：| t- s |≤ |π|}是ω在小于或等于网格大小|π|的尺度上的连续模量。设π是[s，t]的一个分划 至少有两个子区间的[0，T]和letm：=#{[u，u′]∈ π} ≥ 2denoteπ的子区间数。矛盾很容易看出，π必然存在一些内点u，[u-, u] ，[u，u′]∈ πa和ω（u-, u′）≤m级- 1ω（s，t）。我们估计π{u}-^πΞ= |Ξu-,u′型- Ξu-,u- Ξu，u′|≤kδΞkγωγ（u-, u′）≤kδΞkγγ（m- 1） γωγ（s，t）。通过迭代，我们可以看到Ξs，t-^πΞ≤ kδΞkγ2ω（s，t）γXn≥1nγ。

（B.2）现在，如果∧π是一个定义π的分区，那么我们有^πΞ-^ИπΞ=Xu∈π（Ξu，u′）-^~π∩[u，u′]Ξ）和方程（B.2）的产率^πΞ -^~πΞ≤徐∈πkδΞkγ2ω（u，u′）γζ(γ)≤2γζ（γ）kδΞkγosc（ω，|π|）γ- 1ω（s，t）。π、~π的一般情况可归纳为~π定义π的情况。这证明了（B.1），并表示'与t 7的逐点极限定义良好且一致→沿[0，T]的任何序列（πn）nof分区的'πntΞ，网格大小'πn'收缩为零。这里我们使用了旋转πnt：=（πn∪ {t} （）∩ [0，t]。为了得到（3.9）中的界，我们考虑了[s，t]的分块的并矢序列，即π={[s，t]}和πn+1=[u∈πnn[u，^u]，[u，u′]o，n≥ 0，其中^u：=inf{v>u：ω（u，v）≥ 2.-（n+1）ω（s，t）}。在不丧失一般性的情况下，我们假设（πn）nhas为消失网格大小，即ω严格增加，如果s<t，则ω（s，t）>0。注意，通过ω的连续性，它保持ω（u，^u）=2-（n+1）ω（s，t）和次可加性ω（^u，u′）≤ 2.-（n+1）ω（s，t）。因此，^πn+1Ξ=^πnΞ-徐∈πnΔΞu，^u，u′和^πn+1Ξ-^πnΞ≤徐∈πnkΔΞkγωγ（u，u′）≤kΔΞkγωγ（s，t）Xu∈πn-nγ=kδΞkγωγ（s，t）2n（1-γ).右侧可以用n求和。因此，^tsΞ- Ξs，t≤Pn编号≥0πn+1-\'πnΞ)≤ kΔΞkγωγ（s，t）1- 21-γ.这建立了方程（3.9）。获得方程式（3.9）后，路径'Ξ的连续性遵循假设极限↓sΞs，t=0。命题3.10的证明。设ωX和ωHbe分别为X和H的p变量和q变量控制。使用X的可加性，我们可以看到hsxs，t- HsXs，u- 胡旭，t=-Hs、uXu、tandHtXs、t- HuXs，u- HtXu，t=Hu，tXu，t。因此，在这两种情况下≤ ω1/qHω1/pX（s，t）。这表明了所声称的近似可加性。此外，1/p′=1-1/p我们可以估计Xu∈π|胡旭，u′- 胡旭，u′|≤X | Hu，u′| p′1/p′X | Xu，u′| p1/p≤oscp′型-qp′（H，|π|）ω1/p′Hω1/pX（0，T）-→0为|π|↓ 引理3.12的证明。

设γ：=1/q+2/p，注意，对于每s≤ u≤ t、 它保持|ΔΞs，u，t | 1/γ≤hω1/q+1/pRH（s，u）ω1/pX（u，t）+ω1/qH′（s，u）ω2/pX（u，t）i1/γ≤ω1-1/γpRHω1/γpX+ω1/γqH′ω2/γpX（s，t），其中ωRH，ωX，ωH′和ωX是RH，X，H′和X的变化控制，具有适当的表达式。自（1）起-γp）+γp=γq+γp=1，方括号中的项为对照。引理3.15的证明。让p* ωbe与q-调节的定义相同。然后|xw（t，Xt）-xw（s、Xs）- xxw（s，Xs）Xs，t|≤|xw（t，Xt）- xw（s，Xt）|+|xw（s、Xt）- xw（s、Xs）- xxw（s，Xs）Xs，t|≤ω1/p*（s、t）+^hxxw（s，（1+y）Xs+yXt）- xxw（s，Xs）iXs，tdy≤ω1/p*（s、t）+xxw（s，·）α-H¨ol，ConvX[0，T]ω1+αpX（s，T）1+α。符号ωXdenotes表示路径X的p变化控制。通过假设1/q<α/p和SO1+αpp* > 1、这说明p*-右手边的力量是有界变化的。