无概率期权定价模型：一种粗糙路径方法

2022-6-10 12:55:38

通常，我们将从给定的扩散模型中找到一条粗路径的必要条件，并且我们将满足该条件的粗路径称为有效粗路径。投资策略产生了一个粗略的微分方程（RDE），描述了在给定资产价格信号下策略损益（P&L）的演变。如果有一个具有平滑支付功能的期权，我们将表明，P＆Lof a经典三角洲hedg策略的修改版本复制了任何不同粗糙路径的期权支付。我们为实现这一复制所做的修改是通过特定类型的波动性Swap确定的额外交易来增强delta对冲策略。通过假设这些掉期的价格得到很好的控制，我们可以看到，在连续的时间限制内，购买这些掉期不会影响损益。*伦敦国王学院+伦敦帝国学院Damiano Brigo i感谢【Bri19】会议与会者提供的有益反馈§Thomas Cass的工作得到了EPSRC计划拨款EP/S026347/1A的支持RDE解决方案的核心性能是其在输入粗路径方面的连续性。因此，我们的粗路径方法的第一个结果是我们提出的对冲策略的稳健性：如果真实的资产价格信号接近一个差异信号，我们的对冲策略仍将大致复制期权支付。这与衍生品交易的经典基本原理有关。该公式的经典参考文献包括《定量金融百科全书》[Enc10]中的条目“BlackScholes for mula”，以及[KJS98]；关于同一主题的最新论文是[EJP17]。这个经典定理表明，如果一个套期保值是根据给定的差异模型进行的，但实际资产价格过程是由一个任意差异模型决定的，那么经典的delta套期保值策略的误差将很小。

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2022-6-10 12:55:41

我们的方法超越了这一点，因为它允许资产价格信号根本不来自任何差异模型。由于市场冲击和前期运行等现象，从资产价格动态角度描述n投资策略损益动态的任何微分方程都可能包含一些错误。资产价格动态二阶项的扰动使我们能够对这种错误进行建模，从而解释了套期保值策略在更现实的市场中的稳健性，而非DiffusionModels给出的稳健性。我们的粗糙路径方法的第二个结果是，它证明了套期保值理论在不需要概率理论的情况下是可行的，尽管概率在【HK79，HP81】中确立的套期保值的经典处理中起着核心作用。我们的工作通过确定两个步骤，阐明了概率理论在证明价格合理性方面的应用：（i）表明差异模型的总价格路径满足我们的差异性条件；（ii）通过无套利论证，从复制策略的存在性中推断出期权价格的唯一性。在一个有套利的市场中，任何价格都是可能的，因此如果不调用无套利条件，就不可能获得唯一性，因此也就涉及到概率理论。因此，我们可以看到，经典定价的正确无概率模拟证明了给定初始禀赋的复制策略的存在。通过这种方式，我们可以将我们的理论解释为提供了一种无概率定价方法。在差异模型中，二次变化是一个明确的路径概念，它决定了价格。我们对不同粗糙路径的定义确定了三角洲对冲策略在粗糙路径环境下工作所需的exa c t属性。

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2022-6-10 12:55:44

连续定价信号通过其粗括号的规格增强，以获得简化的粗路径（见【FH14，第5章】），我们将其称为增强的价格路径。我们的财务模型将采用粗括号属性的特定形式。因此，我们的模型规格相当于选择增强器，正是这个粗略的括号为我们的资产定价模型提供了适当的质量变化模拟。在我们版本的《衍生品定价基础理论》（FundamentalTheem of Derivative Pricing）中，我们将通过检查我们的策略对增强器选择的敏感性，来研究财务模型错误指定的影响。增强器、价格以及隐含波动率的纯粹路径性质与历史波动率的统计（以及概率）概念形成了鲜明对比。路径属性和概率属性之间的这种二分法以前已经注意到。例如，[BM00]中利用了这一点，这部分启发了目前的工作（另请参见[Bri19]），给出了使用固定时间网格上的样本在统计上无法区分但具有任意不同期权价格的差异模型的示例。我们的工作并不是第一次给出期权定价的非概率公式。[BW94]使用[Foe81]中给出的非概率方法获得了期权定价的路径公式。类似的定价方法也可以在[Rig15]中找到。这种方法的必要条件是，【BW94】中使用的连续时间积分取决于离散时间近似序列，这或多或少地妨碍了获得方法的稳健性。为了消除这种依赖性，我们提出的策略是增量对冲的扩展版本，其中还可以投资波动率掉期，以获得定价信号的二阶部分。

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2022-6-10 12:55:47

这产生了一个稳健的交易策略，但代价是引入波动率掉期价格的假设，以确保我们的策略是自我融资。BSV08中给出了另一种方法，它使用二次变分给出了一种定价理论，该理论能够适应非半鞅信号。然而，该理论仅限于规则性信号，至少与半马氏体信号一样规则，而我们的理论适用于2<p<3的有限p变化路径。我们在方法中必须做出的另一个假设是，期权支付是不同的。我们将证明，对于具有K点的欧式看涨期权，我们无法找到我们的策略无法重复期权支付的不同路径。然而，这些粗糙路径的股票价格必须与到期时的走向完全相等。在概率理论中，此类路径出现的概率为零，因此可以忽略。然而，我们的解释是，这种路径的存在证明了经典deltaheding策略确实缺乏稳健性。随着经典差异模型的崩溃和新现象的出现，对稳健战略的需求变得越来越重要，例如围绕交易所交易的罢工“钉住”股价（参见[AL03]、[AKL12]、[JIS08]、[GJ12]）。我们对某些股票路径的策略失败表明，应该将接近成熟的策略转换为真正的概率策略，如买入并持有策略。这反映了实际的交易实践，即放弃了增量对冲策略，而在接近到期时选择了截然不同的策略。本文组织如下。在第二节中，我们回顾了对冲的经典理论，并建立了我们的符号。

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2022-6-10 12:55:50

在第3节中，我们解释了如何依靠简化的粗糙路径积分来解决与无界变化信号相关的积分技术难题，并详细解释了我们的方法与[BW94]方法之间的差异。在第4节中，我们定义了不同的粗糙路径的含义。在第5节中，我们正式演示了如何在连续时间内获得经典数学金融公式的路径公式。第6节展示了我们的连续时间交易策略如何被解释为波动率掉期中离散时间交易策略的限制。第7节证明，当股票价格在行权时终止时，我们提出的策略在Black-Scholes看涨期权模型中失败。第8节给出了我们的结论。附录A对[BM00]进行了扩展，从我们的路径观点解释了它们的构造。2符号和预备知识我们将开发经典差异模型的粗略路径版本，并将从描述经典模型开始。我们支持价格向量的每个组成部分∈ Rdof d非股息支付股票在定价测量中显示以下动态SIT=σijdBj，i=1，d、 S=S∈ Rd，在随机基础上(Ohm, F、 P，（Ft）t，（Bt）t）携带标准的n维布朗运动（Bt）t。我们假设σ在Cα-H¨olloc（Rd，Rd×n）中，0<α<1。本文采用了Einstein的双指数求和约定，并将贯穿全文。我们假设这是一项无风险资产，用St表示，它遵循一维确定性动态St=rStdt，S=1。我们让▄St为风险资产在时间t的贴现价格，即▄St=St/St=e-rtSt。设f（ST）是基础S上普通期权的支付。我们假设f是Rd上的连续有界函数。Leth（x）：=f（erTx）（2.1）和h：=e-rTh。

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2022-6-10 12:55:53

因此，付款等价地写为h（ST），其计算值为h（ST）。[HK79，HP81]的经典理论告诉我们，期权支付可以在一个价格下复制，即满足Vt=PT-t▄h（▄St），其中（Pt）是由极小算子aν（x）=Xkσikσjk！生成的Cb（Rd）上的半群！i、 jД（x），Д∈ C（Rd）∩ Cb（Rd），S的动力学。我们称A为波动率算子。为了确保没有套利，我们必须做出一些假设，以确保Black-Scholes PDE的解决方案是唯一的。本文通常假设波动率算子是一致椭圆的。然后，随机过程vt是在（t，~St）之后应用的时间和空间的确定函数w=w（t，x），其解(t+A方程（2.2）是布莱克-斯科尔斯偏微分方程的贴现版本。我们将写出v（T，z）=ertw（T，e）-rtz）表示未折现值函数，并将使用以下希腊符号：Deltat：=zv（t，St）=xw（t，~St），取Rd中的值~=霍姆（Rd，R），安格玛（andGammat）：=zzv（t，St）=ertxxw（t，~St），取Rd×d中的值~=Hom（Rd Rd，R）~=Hom（Rd，Hom（Rd，R））。在我们的设置中，定价PDE的合理性在于存在一种复制支付策略。一项投资策略可以被视为一对（Ht，Ht），表示每次购买无风险和有风险资产的数量。根据It^o公式，w（t，Xt）- w（0，X）=^txw（u，Xu）σ（Xu）dWu+^tt+Aw（u，Xu）du=^txw（u，Xu）dXu。（2.3）由此得出，Ht给出的delta对冲策略φt=（Ht，Ht）：=xw（t，~St）Ht：=w（t，~St）- HtSt（2.4）是指未贴现投资组合过程VT（φ）=Htert+HtSt=ertw（t，St）是自我融资的，即满足VT（φ）=V（φ）+^tHudSu+^tHudSu，（2.5）并复制期权支付，即。

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2022-6-10 12:55:56

VT（φ）=f（ST）。这里我们指的是Cb（Rd）上线性算子的半群，对于任何连续且有界的F，柯西问题的解(t型- A.R+×Rdu（0，x）=f（x）（在{0}×Rdis上）中的u=0表示为u（t，x）=Ptf（x）。3路径积分在本节中，我们将首先激发我们对问题的补偿黎曼和的使用，然后描述我们将需要的关于路径积分的定义和结果。在B中给出了证明。3.1动机考虑第2节中介绍的设置。设H表示连续对冲策略，ndlet X是半鞅。在这种情况下，如果交易资产的价格是基于半鞅X建模的，则使用It^o integral'HdX来表示与策略H相关的投资组合值。这由以下极限参数进行调整，该参数将realtrading与连续时间抽象联系在一起。在实际交易中，套期保值在离散时间进行，给定一个划分π为[0，T]，网格大小为|π|：=sup{| u′- u |：u∈ π} ，策略H通常由πHt：=Xu放置∈πHut型∈ （u，u′）,u的位置∈ πwe表示为u′：=inf{v∈ π：u<v}它的下一个分界点。初等caglad过程πH的（It^o-）积分为（πH.X）t=Xu∈πHuXu，u′。H是连续的，离散时间积分沿网格大小|πn |收缩到零的任何序列（πn）nof分区，概率收敛到It^o积分| HdX（见[RY99，第四章，（2.13）命题]）。这一趋同需要强调两个问题。首先，对于任意的分区序列，共收敛不会发生路径收敛；如果有，积分器X将是有界变差的（见下面的命题3.1），这不是半鞅的情况。

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2022-6-10 12:56:00

其次，在相同的过滤概率空间中，收敛性不一致，具体到等效的人工测度（见下面的示例3.2）。因此，在套期保值中使用It^o积分的合理性主要取决于概率框架。与此不同，A.Bick和W.Willinger在[BW94]中对对冲策略的投资组合价值进行了无概率分析，这些价值表示为路径积分“A la F¨ollmer”。他们的方法是对每个积分的近似序列所依赖的必要类别的权重，但这似乎代表了无概率描述所需的权衡。然而，随着粗糙路径理论的发展，人们认识到，通过适当地压缩Riema-nn和，可以在所有可能的近似序列上一致地实现路径收敛。此外，通过采用粗糙路径理论，可以削弱对股价规律性的假设：我们不必假设路径是有限的二次变化，而只能假设对于一些小于3的p，路径是有限的p-变化。这将使我们的公式进一步远离概率框架，因为这些公式不会像有限非零二次变差的典型半鞅正则性那样概括。粗糙路径理论通过部署积分器和被积函数的高阶展开来实现规定的收敛。

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2022-6-10 12:56:03

在正则半鞅设置中，这些高阶展开式将表明It^o积分的Riemann近似将与以下形式的项相补偿∈πH′uXu∧t、 u′型∧t=Xu∈πH′uXu∧t、 u′型∧t型徐∧t、 u′型∧t型- H′uhX，秀∧t、 u′型∧t型, （3.1）式中，hX，Xi表示半鞅X的二次变化，H′是H的合适导数，将在下文介绍。补偿项是将我们的积分与经典It^o积分以及[BW94]中采用的路径积分区分开来的技术因素。一方面，补偿项在概率上消失；事实上，当网格尺寸|π|缩小到零时，方程（3.1）中的量在概率上变为零（参见示例[RY99，ChapterIV，（1.33）练习]）。因此，概率积分对是否纳入补偿不敏感。另一方面，如果不包含补偿，则黎曼和不能沿网格为零的分区的任意序列沿路径收敛（见命题3.1）。这就是为什么A.Bick和W.Willinger[BW94]被强迫将分区序列的位置附加到他们的连续时间积分上，沿该序列积分被近似。相反，使用补偿的黎曼和可以绕过此问题。本节的目的是描述对Riema nn和的补偿，我们稍后将应用于数学金融学经典公式中的积分。补偿黎曼和的技术动机激励使用补偿黎曼和的两个技术原因。首先，如果积分器具有半鞅型正则性（或更差），则无补偿黎曼和不能沿路径收敛（见命题3.1）。

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能者818

2022-6-10 12:56:06

其次，在半鞅设置中，无补偿黎曼和的c收敛到相应的It^o积分的速率取决于潜在的概率测度（参见示例3.2）。提案3.1（【RY99，第四章，（2.21）练习】）。设X是[0，T]上的Rd值函数，对于C（[0，T]，Rd）中的每一个H，（无补偿）Riemann-sumslimn（πnH.X）T=limnXu的极限∈πnHuXu，u′存在于R中，沿着[0，T]的任意序列（πn）nof划分，网格大小为零。那么，极限实际上并不取决于分区的特定序列，X是有界变化的。第二个技术动机如下。讨论了黎曼和的收敛性与发生这种收敛的概率测度的关系。示例3.2。允许Ohm 是[0，1]上连续实值函数的空间C（[0，1]，R），F是其Borelσ-代数。设P为上的维纳测度(Ohm, F），因此坐标映射Xt（ω）=ω（t），ω∈ Ohm, 是（（Ft）t，P）-布朗运动，其中fti是σ（Xs：0）的P-c完备≤ s≤ t）。考虑序列Pk，k∈ N、概率测度的(Ohm, F、（Ft）t）由dpkdp给出| Ft=expkXt公司-千吨级, 0≤ t型≤ 1，k=1，2。我们观察到，对于每个k，过程s Xt- kt是（（Ft）t，Pk）-布朗运动。对于每个hk，对于每一个连续（Ft）t适应被积函数H和任意序列（πn）nof具有消失网格大小的划分，我们得到了thatsupnlimn，m↑∞主键|（πnH.X）- （πmH.X）|>: >0o=0。考虑被积函数Hs≡ s和序列πn={l2-n： l=0，[0，1]的二元部分的2n}。我们声称，对于每一个>0，它同时持有Slimklimnpk|（πnH.X）- （πn+1H.X）|>= 0andlimnlimkPk|（πnH.X）- （πn+1H.X）|>= 事实上，因为πn+1=πn∪ {（2l+1）2-（n+1）：l=0。

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2022-6-10 12:56:09

，2n- 1} ，我们有XV∈πn+1v<1HvXv，v′-徐∈πnu<1HuXu，u′=Xu∈πnu<1Hu+2-（n+1）- 胡Xu+2-（n+1），u+2-n=2-（n+1）X-（n+1），1。因此，在pK差异下（πn+1H.X）- （πnH.X）分布为-（n+1）σnN+kσN,式中σn=（1- 2.-（n+1）），n是标准正态随机变量。我们得出结论（πn+1H.X）-（πnH.X）> =Φkσn-σnn+1+ Φ-σnn+1- kσnk↑∞-→ 1，其中Φ是标准正态随机变量的累积分布函数。3.2可加性、近似可加性和缝纫lemmaLet B为Banach空间，设X：[0，T]→ B是一条轨迹为B的连续路径。增量sxs，t：=Xt- Xs，0≤ s、 t型≤ T、（3.2）在该路径中，定义一个双参数函数X=Xs，T平方[0，T]×[0，T]。我们在所有工作中使用（3.2）中的符号。此外，我们通常只考虑单纯形{（s，t），而不是考虑[0，t]中的一般sand t∈ R： 0个≤ s≤ t型≤ T} [0，T]。X的clearproperty是可加性，对于所有0≤ s、 u，t≤ T它保持sxs，T=Xs，u+Xu，T.（3.3）注意，如果X是仅在单纯形上定义的先验函数，但是加法函数，则可以通过设置Xt，s：=-可加性在以下意义上描述了从路径增量下降的函数X在[0，t]×[0，t]上的特征。提案3。3.设X:[0，T]×[0，T]→ B为添加剂。然后，在Bsuch thatXs上存在路径x，t=xt- xs，0≤ s、 t型≤ T、此外，如果y是另一条增量与X重合的路径，则y- x是常数。我们将划分π同时视为点的有限集合和π细分的给定时间间隔[s，t]的相邻子间隔的有限集合。

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mingdashike22

2022-6-10 12:56:13

给定[0，T]的一部分π和[0，T]中的一个时刻T，我们采用以下符号约定：T′：=inf{u∈ π：u>t}，t型 := sup{u∈ π：u≤ t} ，t- := sup{u∈ π：u′≤ t} ，t :=（t- 如果t∈ πt型如果t/∈ π、 |π|：：=sup{| u′- u |：u∈ π} ，πt：=π ∪ {t}∩ [0，t]。（3.4）设π为所考虑的时间间隔[s，t]的一个分区。从可加性（3.3）可以得出Xu∈πXu，u′=Xs，t.（3.5）这与分区π的选择无关，因此如果πn，n≥ 1是一个网格尺寸收缩为零的分区序列，我们可以将公式（3.5）带到n和writelmn中的极限↑∞徐∈πnXu，u′=Xs，t.（3.6）实际上，这并没有使用网格大小|πn |：：=sup{| u′这一事实- u |：u∈ πn}作为n变为零↑ ∞. 然而，限制此类分区序列很快就会变得有意义，因为我们希望将（3.6）中的限制解释为积分tsdX。为了强调（3.6）中的限制不取决于特定的分区顺序，我们编写了|π|↓0Xu∈πXu，u′=Xs，t.（3.7）在积分表示法中，这是一个平凡但基本的关系'tsdX=Xs，t。设X：{（s，t）∈ R： 0个≤ s≤ t型≤ T}→ B、我们说X是某些p的有限p变量≥ 1 ifkXkpp var，[0，T]：=sup（Xu∈π| Xu，u′| p：[0，T]的π分划<∞.如果X是加法，则此符号是基础路径的常用p-变化范数。对于s≤ u≤ 我们引入符号δXs，u，t：=Xs，t- Xs，u- 如果X是加法，那么δX≡ 方程（3.7）是两种表述的组合：a.左手边的极限存在，并且对于网格大小为零的分区的每个序列都是相同的；b、这样的限制定义了单纯形上的加法泛函，从而定义了一条路径。我们已经看到，如果我们从加法X开始，这些性质是直接的。

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2022-6-10 12:56:20

现在我们将放宽x的可加性，以获得命题3.7中的非平凡陈述。定义3.4（“控制功能”）。控制函数ω是{（s，t）上的非负连续函数∈ R： 0个≤ s≤ t型≤ T}，对角线上为null，如T hat1。ω（s，t）≤ ω（s，t），如果区间[s，t]包含在区间[s，t]中；2、ω（s，u）+ω（u，t）≤ ω（s，t），对于所有s≤ u≤ t、控制函数概括了区间长度的概念。公共控制为ω（s，t）：=| t- s |对于有限p变量的连续路径x，ω（s，t）：=kxkpp var，[s，t]。由此，可以通过线性组合cω+cω与非负系数c、c定义新的控制∈ R≥0，以及指数γ和γ满足γ+γ的副产品ωγωγ≥1，见【FV10，练习1.9】。给定[s，t]的一个划分π [0，T]我们可以使用控制功能来测量网格大小。定义3.5。在小于或等于网格尺寸|π|的尺度上，ω的连续模量由OSC（ω，|π|）给出：=sup{ω（s，t）：| t- s |≤ |π|}.定义3.6（“近似可加性”）。函数Ξ：{（s，t）∈ R： 0个≤ s≤ t型≤ T}→ Bis表示近似相加if1。它在对角线上为空且右连续，即Ξs，s=limt↓对于[0，t]中的所有s，sΞs，t=0；存在γ>1和控制函数ω，使得| s，t- Ξs，u- Ξu，t |≤ ωγ（s，t），（3.8）对于所有s≤ u≤ t、注意，等式（3.8）意味着对于所有1<γ′<γkδΞkω，γ′：=sups≤u≤t |ΔΞs，u，t |ωγ′（s，t）≤ ωγ- γ′（0，T）。因此，上述条件2等价于存在一个控制ω和一些γ>1，例如kΔΞkω，γ<∞.命题3.7（“缝纫引理”）。

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2022-6-10 12:56:25

设Ξ：{（s，t）∈ R： 0个≤ s≤ t型≤ T}→ B近似可加，并使控制ω和指数γ>1，使得kΔΞkω，γ<∞.然后，存在唯一的连续路径^Ξ：[0，T]→ B、我们用“tsΞ”表示其增量，因此对于所有0≤ s≤ t型≤ T1。\'tsΞ=lim |π|↓0Pu∈πΞu，u′，极限在B；2.^tsΞ- Ξs，t≤kδΞkω，γ1- 21-γωγ（s，t）。（3.9）备注3.8。关于[FH14引理4.2]中的公式，命题3.7将所谓的缝纫引理扩展到一般控制ω的情况。因此，它允许处理p变化规律的情况，这比1/p-H–older规律的情况更普遍。根据建议n 3.7，我们可以将积分视为映射：Napproximativelyadditivefunction→nadditivefunctionalso。根据命题3.3，我们可以明确地用B上从0开始的连续路径空间来替换RangeAditiveFunctionalsOW∈ B、设AAp var（[0，T]；B）是近似可加函数族{（s，T）∈ R： 0个≤ s≤ t型≤ T}→ B确认值，p≥ 1、然后，我们可以陈述以下推论3.9。对AAp var（[0，T]；B）的积分映射的限制取B上从原点0开始的连续路径的空间Cp var（[0，T]；B）中的值∈ B和具有明确的变化。此外，^：AAp var（[0，T]；B）-→ Cp变量（[0，T]；B）Ξ7-→ lim |π|↓0Xu∈πΞu，u′在p-变分范数中是连续的。证据方程式（3.9）中的立即数。3.3杨氏积分let X:[0，T]→ B连续且p变化有限。设H：[0，T]→ W是有限q变化的连续，其中W=Hom（B；V），V是Banach spa c e。我们说，如果1/p+1/q>1，p和q是年轻互补的。命题3.10（“Young积分”）。设p和q是年轻互补的，并将Ξs，t：=HsXs，tf全部设为0≤ s≤ t型≤ T，或Ξs，T：=所有0的HtXs，T≤ s≤ t型≤ T然后，Ξ近似为加性和有限的p-变化。

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2022-6-10 12:56:29

因此，积分。X：=直线度|π|↓0Xu∈πΞu，u′（3.10）定义了有限p变化V中的连续路径。（3.10）中的积分并不取决于Ξ是否根据Ξs，t=HsXs，tor toΞs，t=HtXs，t定义。H的连续性仅用于表明在分区子区间开始或结束时计算H的选择不会影响积分。这两种选择分别被称为适应性评估和最终评估。如果H不是连续的，而是有界变化，则定义年轻积分（因为q=1），但取决于评估选择。如果π是[0，T]的一个分区，我们设置πHt：=Xu∈πHu11{t∈ （u，u′）}，表示网格π上H的分段常数caglad近似。我们让πH.Xbe是H对X的年轻积分，具有终端值，即（πH.X）0，t：=Xu∈πtHuXu，u′。这样，对于H连续和有限q变化，1/p+1/q>1，我们可以写。X=lim |π|↓0πH.X.（3.11）3.4补偿积分\'a la Gubinelli当被积函数H和积分器X的互补正则性不适用于Young积分时，我们采用补偿Riemann和。尤其是在这种情况下，当p大于2时，ifH和X具有相同的p变化规律。如上所述，设X是有限p变化的连续路径，其轨迹在banach空间B中。回想一下，W表示Hom（B；V）。我们使用识别Hom（B，W）~=Hom（BBV），我们写Homsym（B BV）对于这些l 单位：Hom（B BV）确保l （a） b） =l （b） a）对于所有a、b∈ B

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2022-6-10 12:56:33

此外，符号B⊙ B将表示Banach空间B的对称张量积，因此我们可以识别Homsym（B B五）~=Hom（B⊙ BV）。我们说连续路径H：[0，T]→ 如果存在连续路径H′：[0，T]，则W允许关于X的对称Gubinelli导数H′→ 霍姆西姆（B BV）细微变化，如1。q和p／2是年轻互补的；2、RHs，t：=Hs，t- H′sXs，这是有限的pq/（p+q）-变化。在这种情况下，我们说这对（H，H′）是X控制的（p，q）-变化规律。注意，X的RHand的规律性意味着H是有限的p变化。定义3.11（“路径增强”）。设X为Cp-var（[0，T]；B），A为inCp/2-var（[0，T]；B）⊙ B）。X的A-增强是X=（X，X）对，其中2xs，t=Xs，t Xs，t- L.C.Young的原始文章是[You36]，其中介绍了Stieltjes积分的扩展。我们的参考文献是[FV10，第6章]中包含的年轻积分的粗糙路径表示。类似地，如果X是inCp var（[0，T]；B）和（s，T）7，则我们得到了增强路径X=（X，X）p变化规律的峰值→ Xs，t Xs，t- 2Xs，tde定义添加剂B⊙ 有限p/2变化的B值函数。路径As，t：=Xs，t Xs，t- 2Xs，它被称为X的增强子，我们通常用symbol[X]s，t来表示这种增强子：=Xs，t Xs，t- 2Xs，t。当强调Symbol的财务意义时，它将被称为波动增强剂。我们说X=（X，X）是X ifsup（Xu）的有界变差增强∈π[十] u，u′: [0，T]）<∞.注意，δX不依赖于增强子，因为[X]是加性的；此外，对于ALL≤ u≤ t以下简化的Chen恒等式保持δXs，u，t=Xs，u⊙ 徐，t.引理3.12。设X=（X，X）为增强路径，设（H，H′）为（p，q）变化规律的X控制，H′对称。

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2022-6-10 12:56:36

那么，Ξs，t：=HsXs，t+H′sXs，t近似相加。根据引理3.12，由补偿黎曼和（H，H′）给出的积分。（X，X）=lim |π|↓0Xu∈πhHuXu，u′+H′uXu∧t、 u′型∧这是很明确的。与（3.11）类似，我们写（πH，πH′）。（X，X）=Xu∈πhHuXu，u′+H′uXu∧t、 u′型∧ti，所以（H，H′）。（X，X）=lim |π|↓0（πH，πH′）。（X，X）。与q-中等对相关的空间梯度被积函数如果J是时间间隔，n和m是非负整数，α，β在[0，1]中，考虑空间cm+β，n+αloc（J×Rd；Re）具有局部β-H¨older正则性的m次时间导数的m次连续可微的重值函数，以及具有局部α-H¨older正则性的所有n阶空间导数的n次连续可微的n次空间重值函数。没有关于Cm+β，n+αloc中函数在时间和空间上的交叉导数的假设。LetCm+β，n+α交叉（[0，T]×Rd；Re）是Cm+β，n+αloc（[0，T]×Rd；Re）的子空间，由函数SF组成，因此增强路径被称为[FH14，第5章]中的简化粗糙路径。增强路径满足以下两个属性，这两个属性被视为简化粗糙路径的定义属性：1。对称二阶过程X=symX具有有限的p/2变化；2、降低的陈的身份保持不变，即对所有s≤ u≤ tXs，t- Xs，u- Xu，t=Xs，u⊙ Xu，t.In【FH14，引理5.4】这两个性质必然意味着我们采用了更明确的公式。1、对于| I |=n的每个多指标I和每个紧致K Rd，supnIxf（t，·）α-羟基，K:0≤ t型≤ 至<∞;2、对于每个紧凑型K Rd，supnkmtf（·，x）kβ-H¨ol，[0，T]：x∈ Ko<∞.设Cα为空间Cα：=C1+α/2，2+αloc（[0，T）×Rd）∩C（[0，T]×Rd）。（3.12）定义3.13（“q-缓和”）。设w在Cα中，X是有限p-变分上的连续路径，其中p- 2 < α < 1. 我们说这对（w，X）是q-moder-ate if1。

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2022-6-10 12:56:39

路径：t 7-→ xw（t，Xt）H′：t 7-→ xxw（t，Xt），0≤ t<t，可以连续扩展到[0，t]，并且H′对于一些1-2／p＜1／q＜α／p；2、存在一个控制函数ω，使得对于迹x[0，T]中的所有x和所有0≤ s≤t型≤ T型|xw（t，x）- xw（s，x）| p*≤ ω（s，t），其中p* = pq/（p+q）；3.sup0≤s≤Txxw（s，·）α-羟基，ConvX[0，T]<∞,其中，ConvX[0，T]是X的迹的凸包。备注3.14。设0<α<1和p，q≥ 1应确保1- 2/p<1/q<α/p。假设w∈ C1+α/2，2+αloc（[0，T]×Rd；R）是这样的xw在C1/p+1/q、1+a交叉（[0，T]×Rd；Rd）和xxw为C1/q，α交叉（[0，T]×Rd；Rd×d）。然后，对于Cp var（[0，T]；Rd）中的所有X，对（w，X）是中等的。特别是，如果w在组合时空变量（t，x）中具有α-H¨older正则性的二阶导数，则这一点成立。引理3.15。设w在Cα中，X是有限p-变化的连续Rd值路径，其中p- 2 < α < 1. 假设该对（w，X）为q-中等，1- 2/p<1/q<α/p。然后，（H，H′）：=xw（t，Xt），xxw（t，Xt）是（p，q）-变化规律的Gubinelli X-控制路径。4差异类型的增强路径依赖于第3节中介绍的路径积分，我们现在描述一个框架，以评估实际影响套期保值实践的价格轨迹的路径特征，忽略随机模型的概率规格。我们将考虑嵌入随机模型基本特征的增强价格路径（定义3.11中定义）。在这些模型中，我们分离出了我们采用作为基准的阶级差异模型（马尔可夫模型）的后代。基准马尔可夫模型由以下两部分组成((Ohm, F、 Q，（Ft）t），A），其中(Ohm, F、 Q，（Ft）t）是一个过滤概率空间，a是一个扩散发生器。

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2022-6-10 12:56:42

在另行通知之前，我们采用贴现价格的观点，因此仅考虑A的二阶部分，系数被视为贴现股票价格的函数。定义4.1（“α-H–波动率算子”）。设α处于开放区间（0，1）。α-霍尔德波动率算子是形式=迹的二阶椭圆微分算子一/2=ai，ji、 j/2，其中a=（ai，j）1≤i、 j≤非对称和所有系数ai，j:Rd→ R、 1个≤ i、 j≤ d、是α-H–older正则。请注意，对于方程（2.4）的经典delta套期保值的定义，只有市场模型的扩散生成器是相关的，而随机基数则不是。在这方面，我们有时写“A-delta对冲”，以强调它是在第2节中解释的半群ETA中定义的。给定α-H¨older波动率操作符A=跟踪一/2和连续路径X：[0，T]→ 对于有限的p-变化，我们可以考虑X的A-增强X=（X，X）给定的b X，t=Xs，t Xs，t-^tsa（Xu）du。请注意，这样的构造会产生有界变化增强。逆向构造从有界变异增强开始，定义了一个微分算子，在以下定义4.2（“α-微分类型的增强路径”）中正式化。设X=（X，X）是增强的p-变异规律。我们说X是α-扩散型，p- 2<α<1，如果通过设置mi，j（s，t）:= [十] i，js，t，0≤ s<t≤ T、 1个≤ i、 j≤ d、（4.1）绝对连续测度定义在区间[0，T]上，如果它们关于T的密度由dmi给出，则jdt=ai，j（Xt），对于某些a=（ai，j）1≤i、 j≤满足椭圆度条件ai，j（x）ξiξj的din Cα-H¨olloc（Rd，Rd×d）≥ c（x）|ξ|，x、 ξ∈ Rd，（4.2）具有一些连续的严格正c:Rd→ R+。

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2022-6-10 12:56:45

运算符A[X]：=ai，j（X）i、 j/2被称为[X]-波动率算子，我们说，如果L的二阶部分等于[X]，则与马尔可夫发生器L的不同价格是[X]-兼容的。备注4.3。方程（4.2）中的椭圆度条件是为了将[LB07，第2章]中的理论应用于与波动率算子A相关的Cb（Rd）上半群的存在性和唯一性。如果已知与A相关的偏微分方程的解具有唯一解，则可以移除假定的椭圆度。例如，具有波动率算子σx的经典Black Scholes部分微分方程就是这种情况xx/2。α-扩散型增强路径是PDE定价技术对概率模型所需的最小信息。事实上，假设我们希望使用PDEpricing技术对未定权益h（XT）进行定价，其中h在Cb（Rd）中，XT是有限p变化的连续价格路径X的终值。设X=（X，X）是α-扩散型X的增量，并考虑方程(t+A[X]w=0 in[0，T）×Rdw（T，·）=▄h（·）on{T}×Rd.（4.3）这里我们滥用符号：定义3.11规定将粗括号A=As，tin放在“增强”一词的前面，因此实际上我们应该写“tsa（Xu）”du增强。然而，雇佣的符号偏离并不会引起混淆，而是强调了扩散类型增强的性质。然后，Cauchy问题（4.3）在Cα中加入了解w，并且在任何[X]兼容的市场模型上，值w（t，Xt）是在t<t时到期并产生h（Xt）的期权的贴现价格。我们可以将路径对应关系推到方程（2.3）上，这是增量对冲的关键。提案4.4。设X=（X，X）为α-扩散型增强路径。

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2022-6-10 12:56:48

设w是（4.3）的解，并假设对（w，X）是q-中等的，对于一些1-2/p<1/q<α/p。然后，（Ht，H′t）：=xw（t，Xt），xxw（t，Xt）是（p，q）-变化规律的Gubinelli X-控制路径，它是这样的（（H，H′）。（X，X））s，t=w（t，Xt）- 所有0的w（s，Xs）（4.4）≤ s≤ t型≤ T证据（H，H′）是X-控制的，这一事实来自引理3.15。我们可以计算wt的增量：=w（t，Xt）asw（t，Xt）- w（s，Xs）=（t- s） ^htw（s+y（t- s），Xt）- tw（s，Xt）idy-t型- shai，j（Xt）i、 jw（s，Xt）- ai，j（Xs）i、 jw（s，Xs）i+tw（s，Xs）（t- s） +^^hxxw（s，Xs+yyXs，t）- xxw（s，Xs）yidydy！Xs，t Xs，t+ xw（s，Xs）Xs，t+xxw（s、Xs）Xs，t Xs，t.我们在第二行使用d（4.3）来重新表示时间导数和空间导数。假定的q调节允许控制扩展中的三个增量类型总和。设ConvX[0，T]是X的迹的凸包，K：=sup0≤s≤Txxw（s，·）α-羟基，ConvX[0，T]。然后^htw（s+y（t- s），Xt）- tw（s，Xt）idy≤卡克∞, X[0，T]hKωα/pX+ω1/qH′i（s，T）；和ai，j（Xt）i、 jw（s，Xt）- ai，j（Xs）i、 jw（s、Xs）≤卡克∞, X[0，T]Kωα/pX（s，T）+kH′K∞, [0，T]kakα-H¨ol，ConvX[0，T]ωα/pX（s，T）；和^^hxxw（s，Xs+yyXs，t）- xxw（s，Xs）yidydyXs，t Xs，t≤K（1+α）（2+α）ω（2+α）/pX（s，t）。例如，在[LB07，定理2.2.1]中，证明了（4.3）解的存在性和正则性。再次说明方程（3.12）中定义了函数空间Cα。回想一下，尤其是在定义α扩散型增强路径时，通过选择α，2+αp>1。

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能者818

2022-6-10 12:56:57

然后，上面的三个估计表示，对于增量sws，t的展开，以下结果成立：存在一个控制ω和一个指数γ>1，使得ws，t- xw（s，Xs）Xs，t- xxw（s，Xs）Xs，t- tw（s，Xs）-xxw（s，Xs）[X]s，t=ws，t- tw（s，Xs）- xw（s，Xs）Xs，t- xxw（s、Xs）Xs，t Xs，t≤ωγ（s，t）。因此，ws，t=lim |π|→0Xu∈π∩[s，t]htw（u，Xu）（u′）- u）+i、 jw（u，Xu）[X]i，ju，u′i+lim |π|→0Xu∈π∩[s，t]hHuXu∧t、 u′型∧t+H′uXu∧t、 u′型∧ti|{z}=：（（πH，πH′）。（X，X））s，t{z}=（（H，H′）。（X，X））s，t分裂极限的可能性从已知的（（πH，πH′）收敛性下降。（X，X））as |π|→ 对于任何i，j，离散的sumPu∈πi、 jw（u，Xu）[X]u，u′逼近连续函数u 7的stieltjes积分→ i、 jw（u，Xu）与度量值mi，jof（4.1）。因此，在极限为|π|→ 0它收敛到ti、 jw（u，Xu）艾，j（Xu）杜。（4.3）所保证的取消则意味着（4.4）。高阶灵敏度和路径积分的部署允许估计积分量时间离散化产生的误差。整体数量的时间离散化实例出现在与套期保值相关的成本中。事实上，考虑对冲策略的融资成本，定义asCt（φ）：=φtSt+φtSt- （φS）t- （φS）t，（4.5）式中（φ，φ）∈ R×Rdis the strategy，S，S分别是无风险资产和风险资产。符号（φS）和（φS）t分别表示φ和φ的积分过程相对于S的时间t边缘。因此，方程式（4.5）中的融资成本是时间t时投资组合的价值与时间窗口内重新平衡投资组合的成本【0，t】之间的差异，以便遵循套期保值策略。如果可以进行连续套期保值，并且能够采用（2.4）中定义的（φ，φ）=（H，H），则该成本将与期权的V=w（0，X），时间t=0的价格相匹配，在P-全集合上。

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2022-6-10 12:57:01

我们注意到概率P是随机基的度量，在连续时间的情况下，可以在此基础上定义It^o积分（φ.S）two。在实践中，融资成本有两个组成部分：理论价格和时间离散化产生的成本，即isCT（φ）- 五、对于Latter，用（2.4）的离散化（πH，πH）代替φ，我们现在提供依赖于积分边界的路径估计。回想一下，命题4.4中的X起到了贴现轨迹的作用St=e-rtSt。推论4.5。假设命题4.4的设置。设ω为控制函数，其（2/p+1/q）次方断言HsXs，t+H′sXs，t的近似可加性。沿连续时间抽象中的任何分区，项（φS）应为连续自适应过程φ对连续半鞅S的It^o积分；术语（φS）twould指的是Lebesgue积分r’tφuer udu。[0，T]中的π，源自（2.4）的离散化策略（πH，πH）（S=X）的融资成本为C（πH，πH），其有界如下：CT（πH，πH）≤|V |+erTKω（0，T）osc（ω，|π|）2/p+1/q-1+|重量-,T型|+徐∈πu′<Teru′H′uXu，u′,（4.6）式中，osc（ω，|π|）是ω在小于或等于分区网格大小的尺度上的连续模量，以及wT-,这是w（T，XT）=h（XT）和折扣值w（T）之间的差异-, XT公司-) 分区最后一个节点上的选项。边界中出现的路径依赖常数K不大于1- 21-（2/p+1/q）ω1/p+1/qRH（0，T）kXkp var，[0，T]+kH′kq var，[0，T]kXkp/2-var，[0，T],式中，ωRH是Hs，t的pq/（p+q）-变化控制- H′sXs，t.证明。设WT为路径t 7→ w（t，Xt）。修复分区π为[0，T]并调用（3.4）中的表示法。

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mingdashike22

2022-6-10 12:57:04

我们初步观察到（πH.S）t+（πH.S）t=Xu∈π乌苏∧t、 u′型∧t+HuSu′型∧tSu∧t、 u′型∧t型=wt公司St公司- w+Xu∈πSu′型∧t型- 吴∧t、 u′型∧t+HuSu∧t、 u′型∧t型,在第二行中，我们使用了部分求和。那么，Ct（πH，πH）=πwtSt-πHπtStSt+πHtSt- wt公司St+w+Xu∈πSu′型∧t型吴∧t、 u′型∧t型- 胡苏∧t、 u′型∧t型=StHt公司St-St+ V+Xu∈πSu′型∧t型吴∧t、 u′型∧t型- 胡苏∧t、 u′型∧t型=V+Stwt,t+Xu∈πu′＜tSu′吴，u\'- 胡苏，u\'. （4.7）通过增加和减少补偿，我们可以应用缝纫引理（命题3.7）并得出结论。到目前为止，我们一直在使用标识X=~S，即手头的增强路径代表了贴现股票价格的实际增强路径。换言之，市场模型必须与en[~S]兼容。这相当于将平方a=σTofco挥发度视为一个真实参数。在下面的推论4.6中，我们不再这样做，我们将X fr的模型增强子与S的实际增强子区分开来。S的唯一假设是它是一条增强路径，即它的轨迹S是一条有限p变量的连续路径，2<p<3，其二阶过程S=（）S- [S]/2是有限p/2的连续双参数函数，随Rd值变化⊙Rd；增强子[~S]不需要是有界变量，与之相对的积分将被解释为年轻积分。推论4。设▄S=（▄S，▄S）是p-变化规律的Rd值折扣价格轨迹▄S之上的增强路径。设A为α-H¨older波动率算子，α>p- 2、考虑▄S的A-增强X=（▄S，X）。如果h和w如命题4.4所示，则（Ht，h′t）：=(xw（t，~St），xxw（t，St））是（p，q）-变化规律性和▄h（▄St）的Gubinelli▄S控制路径- 五=（H，H′）。（▄S，▄S）0，T+（H′）。[S]- [X])0，T，（4.8），其中右侧的第二个求和是一个定义良好的Young积分。

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能者818

2022-6-10 12:57:07

作为一个序列，如果πH表示通过沿πA-delta套期保值进行离散获得的策略，则其融资成本（πH，πH）以| V |为界+徐∈πu′<Teru′H′uSu，u′+ erTKω（0，T）osc（ω，|π|）2/p+1/q-1+|重量-,T |+KH′k[| S]- [十] kp/2-var，[0，T]！，（4.9）式中ω、K和| wT-,T |与推论4.5和kh′相同=-(1-2/p）1- 21-（4/p+1/q）kH′kq var，[0，T]+2-(1-2/p）kH′k∞,[0，T]。证据事实是(xw（t，~St），xxw（t，St））由（p，q）的S-控制-变差规律已经包含在命题4.4中，因为它不涉及S的第二个或第二个分量。此外，命题4.4的泰勒展开产生了一个控制函数ω和一个指数γ>1，这样无论选择了[0，t]的子区间[S，t]，它都保持sw（t，St）- w（s，~Ss）=xw（s，~Ss）~Ss，t+tw（s，~Ss）（t）- s）+xxw（s，~Ss）~Ss，t~Ss，t+O（ωγ（s，t））=xw（s，~Ss）~Ss，t+xxw（s，~Ss）~Ss，t+tw（s，~Ss）（t）- s）+xxw（s，~Ss）[X]s，t+xxw（s，~Ss）[S]S，t- [十] s、t+ O（ωγ（s，t））。因此，通过考虑[s，t]的一个分划π的s次区间[u，u′，求和，并让|π|→ 0，我们得到w（t，~St）- w（s，~Ss）=（H，H′）。（▄S，▄S）s、 t+（H′）。[S]- [X])s、 t，（4.10），尤其是（4.8）。右侧的第二个summand是一个定义良好的Youngintegra l，因为t 7→ xxw（t，~St）是有界q值，q<p/α，α>p- 2根据假设。为增量w（t，~St）写入ws，t-w（s，~Ss），0≤ s≤ t型≤ T

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2022-6-10 12:57:10

根据（4.10），对于一个分区π的每个超区间[u，u′]，我们可以写wu，u′- 胡苏，u\'=（H，H′）。（▄S，▄S）u、 u′型- 胡苏，u\'- H′u▄Su，u′＋H′u▄Su，u′＋（H′）。[S]- [X])u、 u′。因此徐∈πu′＜tSu′吴，u\'-胡苏，u\'≤erTKω（0，T）osc（ω，|π|）2/p+1/q-1+徐∈πu′<teru′H′uSu，u′+erT公司H′。[S]- [X]p/2-var，[0，T]，其中，通过应用[FV10，定理6.8]中的边界，我们可以看到H′。[S]-[X]p/2-var，[0，T]≤2(1-p） p[S]- [X]p/2-var，[0，T]1.- 21-（4/p+1/q）kH′kq var，[0，T]+kH′k∞,[0，T].因此，通过插入（4.7），我们得出结论。5混合基本方程的路径公式通过采用未贴现价格路径的观点，我们在路径设置中恢复了数学金融的经典公式。给定价格路径S，我们说，当选择增强S=（S，S）时，已经指定了S的模型。这意味着选择增强子，参见第3节。我们说的是一个α-差异模型规范，如果由i，ju，v=^vue2r tai，j（e-rtSt）dt，0≤ u≤ v≤ T、 1个≤ i、 j≤ d、其中ai，j，1≤ i、 j≤ d是α-H¨older波动率算子的系数，r是恒定利率。换句话说，α-差异模型规范是某些折扣价格路径的A-增强的未贴现对应物，其中A是定义4.1中定义的α-H–OlderVolability操作符。定理5。设f（ST）为未定权益，其中f为Cb（Rd），Sti为有限p变化的连续d维价格路径S的终值。设S=（S，S）为α-离散模型规范，α>p- 2，设A=ai，ji、 j/2是相应的波动率算子。然后，Black-Scholes偏微分方程（e2r tai，j（e-rtz）zi，zjv+rziziv+tv=rv in[0，T）×Rdv（T，z）=f（z）（在{T}×Rd（5.1）上）允许Cα中的解v，并且该解是唯一的。

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2022-6-10 12:57:13

此外，每0≤ t型≤ T，数量Vt：=v（T，St）是基准马尔可夫模型中或有权益f（St）在T时的公允价值((Ohm, F、 Q，（Ft）t），A）。备注5.2。与我们在第2节中的论点一致，定理5.1的陈述表明，从期权买方的角度来看，概率仅在期权价格公平性的公正性方面起作用。相反，从期权作者的角度来看，价格的调整仅基于套期保值；在我们的路径框架中，请参见下面的第5.3页中给出的公式。因此，如果所需的价格路径信息编码在增强器中，则可以在指定的模型中制定套期保值策略，而无需参考基础价格的概率演化。定理5.1的证明。变量x的变化：=e-rtz允许将方程式（5.1）重写为(t+Aw=0英寸[0，T）×Rdw（T，x）=e-{T}×Rd上的rTf（e+rTx），其中w（T，x）=e-rtv（t，z）。因此，解的存在性、唯一性和正则性遵循方程（4.3）的解的存在性、唯一性和正则性。设p（t，t）为基准马尔可夫模型中f（ST）的公允价值((Ohm, F、 Q（Ft）t），A）。这意味着贴现价格路径被认为是马尔可夫差异过程的实现(Ohm, F、 Q）对于生成器A，这种扩散过程是一个Q-鞅。一方面，通过定价范式P（t，t）=EQe-r（T-t）高（~ST）|英尺=e（T-t） Ah（~St），（5.2），其中h（x）：=f（erTx），eta是与A相关的半群。另一方面，It^o积分~Vt：=\'tzv（u，Su）dsui使得VT=e-rTh（~ST）和thusp（t，t）=ertEQVT |英尺= ert▄Vt，（5.3），因为▄V是鞅。结合（5.2）和（5.3），我们得到了第二个索赔。提案5.3。设f和S如定理5.1所示。

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