一种新的自由期权定价模型

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收藏 2022-05-07

英文标题：
《A New Approach to Model Free Option Pricing》
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作者：
Raphael Hauser and Sergey Shahverdyan
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
In this paper we introduce a new approach to model-free path-dependent option pricing. We first introduce a general duality result for linear optimisation problems over signed measures introduced in [3] and show how the the problem of model-free option pricing can be formulated in the new framework. We then introduce a model to solve the problem numerically when the only information provided is the market data of vanilla call or put option prices. Compared to the common approaches in the literature, e.g. [4], the model does not require the marginal distributions of the stock price for different maturities. Though the experiments are carried out for simple path-dependent options on a single stock, the model is easy to generalise for multi-asset framework.
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中文摘要：
本文介绍了一种新的自由路径相关期权定价模型。我们首先介绍了[3]中引入的带符号测度的线性优化问题的一般对偶结果，并展示了如何在新的框架下表述无模型期权定价问题。然后，我们引入了一个模型，当提供的唯一信息是普通看涨期权或看跌期权价格的市场数据时，从数值上解决这个问题。与文献[4]中的常用方法相比，该模型不需要不同到期日的股价边际分布。虽然实验是针对单一股票的简单路径依赖期权进行的，但该模型很容易推广到多资产框架。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Pricing of Securities 证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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kedemingshi

2022-5-7 08:24:13

一种建立自由期权定价模型的新方法*1和Sergey Shahverdyan+2牛津大学数学研究所牛津大学数学研究所摘要本文介绍了一种新的建模自由路径依赖定价的方法。我们首先介绍了[3]中引入的带符号测度的线性优化问题的一般对偶结果，并展示了如何在新的框架下表述无模型期权定价问题。然后，我们引入一个模型来解决这个问题，当提供的唯一信息是普通看涨期权或看跌期权价格的市场数据时。与文献[4]中的常用方法相比，该模型不需要不同到期日的股价边际分布。虽然实验是针对单一股票上的简单路径依赖期权进行的，但该模型很容易推广到多资产框架。本文介绍了一种新的离散路径相关期权的无模型定价方法。关于这个问题的理论已经有了相当多的研究，但是，据我们所知，对于一般情况下的数值解知之甚少。这项工作基于[3]中介绍的一般对偶关系。这种二元关系在这部作品中为我们服务了两次。

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何人来此

2022-5-7 08:24:16

首先，我们展示了如何解决路径相关期权的无模型上下限优化问题*英国牛津大学伍德斯托克路拉德克利夫天文台区安德鲁·威尔斯大厦，hauser@maths.ox.ac.uk+英国牛津大学伍德斯托克路拉德克利夫天文台区安德鲁·威尔斯大厦OX2 6GG，shahverdyan@maths.ox.ac.ukformulated在他们的框架中，这使得我们可以直接从原始问题中获得双重问题。接下来，我们应用所谓的“积分边界约束”模型来数值求解优化问题。该模型允许人们构造边际分布的约束条件，这可以通过校准经验风险中性分布来获得。但我们使用欧洲看涨期权或看跌期权价格的市场数据作为约束条件。这使我们能够在无模型框架中计算出尽可能严格的界限，即，仅考虑市场信息，任何较窄的界限都必须考虑市场数据提供的限制以外的约束，并且股票价格过程是阿马丁格尔过程。2问题公式和对偶考虑一个奇异的路径依赖期权，它取决于某个离散时间t<t<···<tn时的股票价格。设X=（X，…，Xn）为n维随机变量，分别表示（t，…，tn）时的股票价格，设h（X，…，Xn）为给定期权的收益。在实践中，在无套利框架中，我们假设股票价格遵循某个特定模型，根据市场数据校准该模型，并确定期权的公平价格，即在R上找到风险中性概率度量，并计算价格asEQ[h]=ZRnh（x，…，xn）dq（x，…，xn）。

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可人4

2022-5-7 08:24:19

（1）在Q下，股价过程（Xi）i=1，。。。，假设nis是一个离散鞅。无模型期权定价的问题是，在不假设股票价格过程的任何特定模型的情况下，确定期权价格的界限，即在所有模型上确定与观察到的市场数据一致的最大值和最小值。假设知道市场看涨期权价格，每i=1，…，就可以恢复fixi的分布函数，n（例如，参见[5]），代表风险中性等价概率测度X的边际分布。在这个框架中，用边际F，…，Fn表示鞅测度集，Fn，问题解决了∈Mn（F，…，Fn）ZRnh（x，…，xn）df（x，…，xn）。（2）我们称上述问题为原始问题。对于任何i=1，。。。，n从R中定义一组可积函数→ R byHiand对于任何j=1，N-1 Rj中的有界可测函数集→ Tj的R。有人打招呼吗∈ 嗨，i=1，n和gj∈ Tj，j=1。，N- 1考虑函数ψ（hi），（gj）（x，…，xn）：Rn→ 定义为ψ（hi），（gj）（x，…，xn）=n∑i=1hi（xi）+n-1.∑j=1gj（x，…，xj）（xj+1）- xj）。（3）考虑以下优化问题：sup（hi∈嗨）n，（gj∈Tj）n-1n∑i=1ZRhi（xi）d Fi（xi）（4）s.t.ψ（hi），（gj）（x，…，xn）≤ h（x，…，xn）。（5）我们有下面的定理。定理1（定理1，[1]）假设F，Fn是R上的Borel概率测度，因此M（F，…，Fn）是非空的。让h:Rn→ (-∞,∞] bea下半连续函数，使h（x，…，xn）≥ -K·（1+| x |+··+| xn |），对于某些常数K，则原始问题（2）和对偶问题（4）之间的对偶间隙等于零。此外，还得到了原最优值，即存在鞅测度F∈ M（F，。。

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何人来此

2022-5-7 08:24:23

，Fn），使得（2）的最佳值等于EF[h]。这个定理的证明可以在[1]中找到。为了数值求解对偶问题，我们需要对这个有限维问题进行一些离散化。这样做的一种方法（如[1]所述）是分解函数（hi）和（gj）n-1在有限尺寸的基础上。自（gj）n-假设是连续的，我们可以选择多项式基，即gj（x，…，xj）=∑kgkjekj（x，…，xj），其中ekjare是基的函数，gkjare是gj相对于所选基的坐标。对于函数（hi），nwe可以选择看涨期权支付作为basishi（xi）=∑khki（xi）- kb）+。通过这种近似，对偶问题简化为线性规划问题，可以通过内点法、单纯形算法或其他选择的算法来解决。在这项工作中，我们对无套利定价问题的数值解采取了不同的方法。该方法基于[3]中描述的模型，将在下一节中介绍。3一般对偶关系在本节中，我们将看到[1]在[3]中提出的大规模运输问题的一般对偶关系的特例中引入的（2）和（4）之间的对偶关系，从而得出（4）的替代推导。首先，我们将描述对偶结果，然后将展示如何使用此框架获得上一节中介绍的对偶结果。

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能者818

2022-5-7 08:24:26

在这一部分中，我们还提出了一个模型，该模型有助于数值求解有限维优化问题，这些问题具有特殊的结构。设（Φ，F）、（Γ，G）和（∑，S）为完备测度空间，设A:Γ×Φ→ R、答：Γ→ R、 B：∑×Φ→ R、 b.∑→ R、 h:Φ→ R在这些空间和相应的乘积空间上是有界的可测函数。设MF、MG和MSbe分别为（Φ，F）、（Γ，G）和（∑，S）上具有有限变化的有符号测度集。分别考虑mf和MG×mssupf上的以下一对优化问题∈MFZΦh（x）df（x）（6）s.t.ZΦA（y，x）df（x）≤ a（y），（y）∈ Γ），ZΦB（Z，x）df（x）=B（Z），（Z∈ ∑），F≥ 0，and（G，S）∈MG×MSZΓa（y）dg（y）+Z∑b（Z）ds（Z），（7）S.t.ZΓa（y，x）dg（y）+Z∑b（Z，x）ds（Z）≥ h（x），（x∈ Φ），G≥ 0.有限编程问题（6）和（7）是彼此的对偶。定理2（弱对偶，定理1，[3]）对于每（6）-可行测度和每（7）-可行对（G，S），我们有zΦh（x）df（x）≤ZΓa（y）dg（y）+Z∑b（Z）ds（Z）。证据利用富比尼定理，我们得到了zΦh（x）df（x）≤ZΓ×ΦA（y，x）d（G×F）（y，x）+Z∑×ΦB（Z，x）d（S×F）（Z，x）≤ZΓa（y）dg（y）+Z∑b（Z）ds（Z）。在各种特殊情况下，如[3]中讨论的情况，强对偶性在正则性假设下成立，即（6）和（7）的最优值重合。强对偶适用的另一种特殊情况是，当测度F、G和S在适当的希尔伯特空间中具有密度时，参见第二作者即将发表的DPhil论文[8]。还要注意的是，如果一组允许的措施受到限制，那么约束中的量化指标可能会被削弱。

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能者818

2022-5-7 08:24:29

例如，如果G被限制在一组相对于固定测度绝对连续的测度中∈ MG，然后是数量（y∈ Γ）可以减弱为（G-几乎所有y）∈Γ）.3.1一般对偶结果在无模型期权定价中的应用在本小节中，我们证明了在这个框架下，路径相关期权的无套利界的对偶结果也可以得到。在原始问题（2）中，我们有两种类型的约束。第一种类型是联合概率测度F要求具有边际分布F。，Fn。第二种类型的约束是F是阿马丁格尔测度。边际约束可表述如下。t、 ZR{xi≤z} （z，x）df（x）=Fi（z），（z∈ R、 i=1，n）（8）对于鞅测度约束，注意F是鞅测度当且仅当对于每k=1，。。。，N- 每一次波雷尔可测量的挫折 RkZRnB（x，…，xk）（xk+1）- xk）df（x，…，xn）=0，（9），这相当于（[1]，引理2.3）：对于每个z，y∈ 太棒了≤ 伊兹尔茨≤x | k≤y（x，…，xk）（xk+1）- xk）df（x，…，xn）=0，（10），其中x | kwe表示x的前k个坐标，向量的比较是分量式的。现在我们已经准备好在新的框架中阐述问题（2）。我们的目标是找到以下优化问题的双重问题。infFZRnφ（x）df（x）s.t.ZRn{xi≤t} （t，x）df（x）=Fi（t），（t∈ R、我∈ Nn）ZRnz | k≤x | k≤y | k（z，y，x）（xk+1）- xk）df（x）=0，（y，z∈ Rn，k<n）F≥ 0.表示Φ=r和∑=1，…，2n- 1} ×R×Rn×Rn。如果k，我们构造函数b（k，t，z，y）=Fk（t）≤ n、 b（k，t，z，y）=0，fork>n。进一步，对于k≤ n我们有B（k，t，z，y，x）=1xk≤t、对于k=1，N-1我们有b（k+n，t，z，y，x）=1z | k≤x | k≤y | k（xk+1- xk）现在我们构造对偶问题。作为目标函数，我们有z∑b（k，t，z，y）ds（k，t，z，y）=n∑k=1ZR×Rn×RnFk（t）d’Sk（t，z，y）。对于k=1，。。。

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nandehutu2022

2022-5-7 08:24:32

定义了Borel sigma代数B（R）的度量值，例如每D的Sk（D）=Sk（D×Rn×Rn）∈ B（R）。至于边缘问题，有符号的度量是有限变化的，函数sk（t）=S((-∞,t] ）和极限sk=limt→∞Sk（t）=S((-∞,+∞)) A定义明确且明确。此外，使用limt→-∞Fk（t）=0和limt→+∞Fk（t）=1，我们有∑k=1ZRFk（t）d Sk（t）=n∑k=1Fk（t）Sk（t）|+∞-∞-ZRSk（t）d Fk（t）=N∑k=1sk-N∑k=1ZRSk（t）d Fk（t）=n∑k=1ZR（sk- Sk（t））d Fk（t），同样地，对于约束。书写hk（t）=sk- Sk（t），（k=1，…，n），目标函数变为∑k=1ZRhk（t）d Fk（t），约束的左侧变成z∑B（k，t，z，y，x）ds（k，t，z，y）=n∑k=1ZR×Rn×Rnxk≤td？Sk（t，z，y）+n-1.∑k=1ZR×Rn×Rnz | k≤x | k≤y | k（xk+1- xk）d′Sn+k（t，z，y）=n∑k=1hk（xk）+n-1.∑k=1gk（x，…，xk）（xk+1）- 其中gk（x，…，xk）=RRn×Rnz | k≤x | k≤y | k（xk+1-xk）dsk+n（z，y），k=1，。。。，N-1.测量Sn+k，k=1。，N-1定义为每D的Sk+n（D）=Sk+n（R×D）∈ B（Rn×Rn）。我们显然有函数gk，k=1。，N- 1是有界的。所以我们得到了原始问题的以下对偶公式。嗯，。。。，hnn∑k=1ZRhk（τ）d Fk（τ）（11）s.t.n∑k=0hk（xk）+n-1.∑k=1gk（x，…，xk）（xk+1）- xk）≤ h（x），（x∈ Rn）。由于决策变量g，gn-当目标函数系数为零时，我们得到对偶问题（11）等价于up（n）∑k=1EFk[hk]：Ggn-1s。t、 ψ（hk），（gj）≤φ）式中ψ（hk），（gj）（x，…，xn）=n∑k=0hk（xk）+n-1.∑k=1gk（x，…，xk）（xk+1）- xk）和EFk（hk（t））=RRh（t）d Fk（t）。注意，（12）与（4）完全相同。3.2通过积分边界的约束在本节中，我们给出了本节开头讨论的一般对偶结果的一个特殊情况，具体来说，我们有很多约束。

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能者818

2022-5-7 08:24:35

在下一节中，我们将展示如何使用该模型找到分段线性收益期权的无套利边界。我们假设Φ分解成一个具有非空内部的多面体的分区Φ=Ski=1Ξiof。每个多面体都有一个生成元的原始描述，Ξi=conv（qi，…，qini）+cone（ri，…，rioi），其中conv（qi，…，qini）是顶点为qin的多面体∈ Rn和Cone（ri，…，rioi）=（oi）∑m=1ξmrim:ξm≥ 0（米）∈ Noi）是具有后退方向边缘的多面体圆锥体∈ 注册护士。每个多面体都有一个线性不等式的对偶描述，Ξi=ki\\j=1十、∈ 注册护士：h fij，xi≥ lij,对于一些向量fij∈ Rnand界限lij∈ R.主要关注的情况是，平面平行于坐标轴的有限或有限长方体，或此类长方体与线性半空间的交点，在这种情况下，很容易在原始描述和双重描述之间传递。然而，请注意，对偶描述更可取，因为框的描述只需要2n个线性不等式，而原始描述需要下一个顶点。考虑一下这个问题∈MFZΦh（x）df（x）（13）s.t.ZΦs（x）df（x）≤ as，（s=1，…，M），s.t.ZΦψt（x）df（x）=bt，（t=1，…，N），ZΦ1df（x）=1，F≥ 0，其中测试函数ψ在分区Φ=Ski=1Ξi上是分段线性的，其中- h（x）和测试函数φ在分区的有限多面体上是分段线性的，在分区的有限多面体（即多面体）上是联合线性的、凹的或凸的。（13）isinf（y，z）的对偶∈RM+N+1M∑s=1asys+N∑t=1btzt+z，（14）s.t.M∑s=1ysφs（x）+N∑t=1ztψt（x）+zΦ（x）- h（x）≥ 0，（x∈ Φ），y≥ 0.请注意，（13）是一个半无限规划问题，具有无限多变量和无限多约束，而（14）是一个半无限规划问题，具有无限多变量和无限多约束。

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能者818

2022-5-7 08:24:38

然而，问题（14）的约束可以重写为多面体Ξi，M上的asco正性要求∑s=1ysφs（x）+N∑t=1ztψt（x）+zΦ（x）- h（x）≥ 0，（x∈ Ξi，（i=1，…，k）。接下来，我们将看到如何在数值上处理这些共正性约束，通常是通过放松所有约束，但不包括很多约束。在下面的内容中，我们将使用符号φy，z（x）=M∑s=1ysφs（x）+N∑t=1ztψt（x）+z- h（x）.3.2.1分段线性测试函数我们讨论的第一种情况是φs|i和hi联合线性。由于wefurthermore假设函数ψt |是线性的，因此存在向量∈ 机智∈ 注册护士，gi∈ Rnand常数∈ R、迪特∈ R和ei∈ R使得φsΞi（x）=hvis，xi+cis，ψtΞi（x）=hwit，xi+dit，hΞi（x）=hgi，xi+ei。共正性条件∑s=1ysφs（x）+N∑t=1ztψt（x）+zΦ（x）- h（x）≥ 0，（x∈ Ξi）然后可以写为ash fij，xi≥ lij，（j=1，…，ki）==>*M∑s=1ysvis+N∑t=1ztwit- gi，x+≥ 工程安装-M∑s=1yscis-N∑t=1ztdit- z、根据Farkas引理，这相当于constraintsM∑s=1ysvis+N∑t=1ztwit- gi=ki∑j=1λijfij，（15）ei-M∑s=1yscis-N∑t=1ztdit- Z≤基∑j=1λijlij，（16）λij≥ 0，（j=1，…，ki），（17），其中λij是额外的辅助决策变量。因此，如果所有测试函数在所有多面体块Ξi上都是线性的，那么对偶（D）可以作为M+N+1的线性规划问题来求解+∑ki=1kivariables和k（n+1）线性约束，加上y和λij上的有界约束。更一般地说，如果一些但不是所有多面体对应于联合线性测试功能块，那么联合线性块可以被视为上文讨论的，而其他块可以被视为下文讨论的。上述构造的线性优化问题的有效解决方法详情见[3]。在下一节中，我们将展示分段线性支付的无模型期权定价问题可以在该模型的框架内近似。

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可人4

2022-5-7 08:24:41

我们在第6节中给出的数值实验表明，在某些情况下，该模型准确地解决了问题。4数字实现在实践中，我们没有为每次罢工提供欧式期权价格，因此我们无法准确了解边际分布。此外，对于某些到期日，交易的流动产品数量可能非常少，以至于期权价格的任何插值都会包含额外的误差。为了避免在模型中引入额外的估计误差，并且只使用市场给出的信息，我们用代表普通期权价值计算的约束替换了边际分布的约束。考虑到上述观察结果，我们构造了以下问题supfzrnh（x）df（x）s.t.ZRn（xi- kji）+d F（s）≤\'\'Cji，i=1，n、 j=1。，mjZRn（xi）- kji）+d F（s）≥ Cji，i=1，n、 j=1。，mjZRnφi（s）d F（s）≤△i，i=1，NφZRnφi（s）df（s）≥δi，i=1，NφZRnz≤s|k≤y（z，y，s）（xk+1）- xk）df（s）=0，（y，z∈ Rk，k<n）（18）ZRn1d F（s）=1，F≥ 0，其中（kji）mij=1是市场上可用的欧洲看涨期权的价格，（`Cji）mij=1和（Cji）mij=1是它们各自的市场价格界限（买入价），mij是此类期权的数量。除了看涨期权或看跌期权，我们可能会观察市场上的其他期权。让它们具有支付函数φi（s）和买卖价格δi和δi，i=1，Nφ。对于每一个额外的观察选项，我们都增加了2个不平等约束。注意，代表看涨期权价格的约束符合我们的模型（函数是分段线性的）。为了使鞅约束与我们的模型兼容，我们通过要求（10）只保留我们选择的有限多个框来近似它们。我们对每个ti的股价XI施加上下限，i=1，。。。，N

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nandehutu2022

2022-5-7 08:24:44

0代表一个自然的下限，而对于上限，我们可以取一个足够大的值，使股价在统计上不太可能超过。我们还确保罢工被包括在我们的离散化中。设0=di<di<···<dnii为Xi的离散点集。表示Φ：=s:迪≤ xi≤ dnii，（i=1，…，n）.然后，k=1的鞅约束是zrn{x∈注册护士：djii≤xi≤Dlii，（i=1，…，k）}（s）（xk+1）-xk）df（s）=0，（1≤ 冀≤ l我≤ 镍，i）。因此，对于每个k，我们有Mk：=∏ki=1（ni- 1）等式约束，用分段线性函数表示为积分不等式。我们发现，在离散化之后，我们的所有约束都符合第3.2节所述的模型。此外，如果支付函数h（s）和φi（s），i=1，Nφ是分段线性的（看跌/看涨或二元障碍期权、亚式期权、回望期权等），然后我们可以解决第3.2节所述的对偶问题。如果支付函数h（s）是凹的（对于实现差的选项），那么我们可以用我们的方法找到上界，如果它是凸的，我们可以找到下界。对于所有其他情况，我们必须进行近似，例如一阶泰勒近似。现在我们可以把对偶问题写成：infy，y，z，z，t，wn∑i=1ni∑j=1（\'yji\'Cji）- yjiCji）+Mφ∑i=1（\'zi\'δi）- ziδi）+ws。t、 n∑i=1ni∑j=1（`yji- yji）（xi）- Kji）+Mφ∑i=1（\'zi- zi）φi（s）+n-1.∑k=1∑τ∈Ikpτ≤s|k≤pτ+1（s）（xk+1）- xk）+w≥ h（s），s∈ Φ.感兴趣的读者可以在第二作者的DPhil论文[8]中找到解决上述优化问题的有效算法。由于线性优化问题的规模随着维数的增加而迅速增长，内存开销成为一个重要问题。对于这种情况，有必要实现simplexalgorithm的延迟列生成方法。

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何人来此

2022-5-7 08:24:47

他用单纯形算法迭代生成整列，而用单纯形算法生成整列。在实践中，为了获得理想精度的最佳解决方案，不需要考虑所有列。此外，由于大量迭代只在少量列上工作，因此该方法不使用辅助内存，在节省时间方面具有很大优势。无套利定价通常被用作识别套利机会的一种手段。假设某个收益为h（s）的路径依赖期权在价格为hM的市场上交易。通过实现我们对该期权的模型，我们发现没有套利边界[L，U]。如果嗯/∈ [L，U]，然后市场中存在套利（双重问题也提供了在这种情况下无风险赚钱的策略，但我们不会在这项工作中详细介绍，感兴趣的读者可以参考[1]）。因此，我们通常感兴趣的是确定对于给定的hM，L<hM<U。为此，关于Nesterov算法在线性优化问题中的实现的详细描述见[8]。备注3注意，根据对股票行为的额外假设，可以在模型中引入额外的约束。例如，很容易包含股票波动性的下限和/或上限。5.分段线性函数的收益在本节中，我们描述分段线性函数的不同收益。显然，看涨期权和看跌期权属于这一类。5.1屏障选项对于给定的上下屏障B<B（如果仅为一个屏障定义了选项，例如向下和向外、向上和向内，那么我们假设其他屏障为-∞ 或∞ 根据上下文的不同，障碍选项的回报为H（s）=H（X）n∏i=1B≤xi≤B、其中H（X）是最终收益。

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能者818

2022-5-7 08:24:51

对于数字屏障选项，我们有H（S）=1，s∈ Rnand对于带K的看涨期权和看跌期权，我们有H（S）=（Xn- K） +和H（S）=（K- Xn）+。很明显，这些期权具有分段线性回报。5.2回望期权和亚洲期权回望期权的收益取决于Xmax=max{X，…，Xn}和/或Xmin=min{X，…，Xn}。亚洲期权被定义为在到期时具有支付函数，其取决于平均值XA=n∑ni=1X路径上的股价。表1描述了不同回望期权和亚洲期权的收益。下面的引理证明了表1中的所有支付：回望和亚式期权支付Scall PutLookback Fixed max（Xmax- K、 0）最大值（K）- Xmin，0）回望浮动Xn- XminXmax- XnAsian固定最大值（XA- K、 0）最大值（K）- XA，0）亚洲浮动Xn- XAXA- 表1中的xN是Φ上的分段线性函数。引理4设Φ是RNA中的一个多面体，并进一步分为许多多面体Φ=（SMi=1∏i）。设函数f:Φ→ R和g:Φ→ R在这些多面体上是分段线性的。然后，函数max{f（x），g（x）}和min{f（x），g（x）}在Φ=（S\'Mi=1∏i）的某些有限划分上也是分段线性的。6数值实验在本节中，我们给出了障碍选项的数值结果。我们考虑二维和三维情况。在MATLAB上，利用SEDUMIT和SDPT3解算器，采用内点法对线性规划问题进行了数值求解。对于高维或更精细的离散化问题，最好使用Nesterov的非光滑函数平滑技术[7,8]。首先，我们得到了模拟市场数据的数值结果，即我们使用Black-Scholes公式计算不同时间段的看涨期权价格。对模拟市场数据的数值实验特别有趣，因为在这种情况下，我们还可以计算目标衍生产品（即。

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大多数88

2022-5-7 08:24:54

我们的目标是找到上界和下界。因此，我们可以将Black-Scholes模型中的导数价格与我们的模型得到的上下限进行比较。表2和表3分别显示了2和3个时间步的不同屏障选项的数值结果。为了获得这些结果，我们只使用给定的罢工作为离散点，即对于所有i=1，n和j=1，ni，上下黑色Scholes双不接触数字0.282622 0.612447 0.4232双不接触通话0.527483 0.2020 0.187674 0.0919表2：与toBlack-Scholes值相比，双时间步障碍选项的上下限。上下Black Scholes Double no touch digital 0.0610184 0.533453 0.2732 Double no touch call 0.43506 0.1方差交换0.326711 0.1369表3：与toBlack-Scholes值相比，三次阶梯屏障选项的上下限。Barrier Call Barrier Digital Variance Swap2 0.554805 0.90002 1.211953 0.485545 0.855626 1.24816表4：方差交换的下限，2个和3个时间步的双无触点Barrier Digital和caloptions。这些结果是使用苹果股票的市场数据得出的。股价为115，门槛分别为95和125。dji=kji。我们进行了模拟期权价格的实验，现货价格为50%，波动率为30%，时间跨度为6个月。罢工人数在30到60之间（含30和60），而下限和上限分别为34和56。在表4中，我们使用苹果股票（APPL）看涨期权的市场数据，给出了双无触点看涨期权、数字和方差互换期权的下限。现货价格为115，考虑的壁垒为95和125。我们对到期日为2014年12月20日、2015年2月20日和2015年4月17日的债券采用买入期权价格。

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mingdashike22

2022-5-7 08:24:58

计算日期为2014年11月20日。请注意，这里考虑的第三个选项是方差互换选项，它既没有分段线性回报，也没有分段凹回报。在这种情况下，我们通过对每个多面体进行线性限制的分段线性函数来近似支付函数。在进行了一些数值实验后，我们观察到，只要与我们期权的障碍一致的期权价格可用，任何比上述更精确的离散化都不会进一步收紧界限，也就是说，优化问题的解决方案保持不变。这一观察结果是进一步研究的主题，它表明我们的方法产生了与给定市场数据兼容的最紧可能的债券。这就是说，对于任何其他的界l>l和u<u，我们可以构造一个股票价格的鞅测度，在这个测度下，我们得到了超出这些新界l和u的限制期权的价格，其中l和u是我们的模型得到的上界和下界。考虑到上述观察，如果我们的市场数据中没有障碍作为罢工，我们应该在开始时进行一些插值，以找到障碍作为罢工的近似看涨期权价格，然后构建我们的模型。这种方法比通过更精确的近似来解决问题要好。备注5请注意，在实践中，市场和鞅约束提供的关于看涨期权价格的信息会产生非常大的界限，因此人们永远不会观察到套利，即目标期权的价格总是在界限内。

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大多数88

2022-5-7 08:25:01

但是，正如在使用布莱克-斯科尔斯模型得到的看涨期权价格的结果中所观察到的，期权的实际价值大约是上下限的中值。7结论在这项工作中，我们展示了[3]的一般对偶结果如何应用于自由路径相关期权定价模型。我们还引入了所谓的“通过分段凹函数积分的约束”，以数值方式解决由此产生的半无限维优化问题。此外，我们的数值实验提供了强有力的证据，证明通过我们的方法得到的界限是与观察到的市场价格和无套利假设相容的最紧密的可能界限。参考文献[1]Beigbl–ock Mathias和Henry Labord\'ere Pierre and PenknerFriedrich：期权价格的模型独立界限：一种大规模运输方法。金融学和随机学。17 (3), 477-501, (2014).[2] Borwein，J.和Lewis，A.：凸分析和非线性优化：理论和例子（CMS数学书籍）。[3] Hauser，R.和Shahverdyan，S.，Embrechts，P.：风险聚合中的二元性（2014年）。[4] 《自动期权定价：数值方法》（2011年12月5日）。可从SSRN获得：http://ssrn.com/abstract=1968344 orhttp://dx.doi.org/10.2139/ssrn.1968344[5] 蒙泰罗，上午。；T–ut–unc–u，R.H.和Vicente，L.N.：使用立方线从期权价格中恢复风险中性概率密度函数，并确保非负性。欧洲运筹学杂志187（2），525-542（2008）。[6] Nesterov，Y.：一种解决收敛速度为O（1/k）的凸规划问题的方法。苏联数学。多克。27 (2), (1983).[7] Nesterov，Y.：非光滑函数的光滑最小化。数学程序爵士。A 103127–152（2005年）。[8] Shahverdyan，S.：风险管理中的优化方法。DPhilthesis，牛津数学研究所（2014年）。

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