再看一下Ho Le e债券期权定价模型Young Shin Kim、Stoyan Stoyanov、Svetlozar Rachev和Frank J.Fabozzi3，*德克萨斯理工大学（Texas Tech UniversityEDHEC）商学院石溪大学（Stony Brook University）数学与统计系商业学院*联系作者：858 Tower View Circle，New Hope，PA 18938 USA电子邮件：fabozzi321@aol.comAbstractIn本文将经典的Ho-Lee二项式期限结构模型推广到时间相关参数的情况，从而解决了该模型的一个缺陷。与Ho Lee模型中的假设条件相比，这是通过引入更灵活的无套利条件来实现的。JEL分类：G13、G12、G19关键词：Ho-Lee模型；模型参数随时间变化；灵活无套利条件1简介最常用的债券期权、掉期期权、上限和期货定价模型是Ho和Lee（1986）开发的模型。该模型被称为Ho Lee模型，是利率衍生品定价的第一个无套利模型。在本文中，我们扩展了原始的Ho-Lee二项模型（Ho和Lee（1986）），该模型考虑了债券期权定价的利率期限结构，但考虑了时间相关的模型参数。通过这样做，我们解决了Bliss和Ronn（1989）指出的Ho-Lee模型的一个缺点：在Ho-Lee模型中，时间t的单期短期利率≥ 如果在二叉树中观察到足够长的衰退序列，则0变为基线。我们的二项式模型没有Ho-Lee模型的这个缺点。2具有时间相关参数的Ho-Lee二项利率模型目的是将原Ho-Lee模型扩展到模型参数相关的情况，从而解决原Ho-Lee模型的局限性。考虑一个空间Ohm 和离散交易时间∏(t） ={t=kt:k=0，1，2，···}。

Let（ε（t））t∈Π(t） 是一个离散的随机过程，使得ε（0）=0和ε（t），t>0是伯努利分布的概率（ε（t）=1）=p（t），并且假设如果t 6=s，则ε（t）和ε（s）是独立的。对于t=mt型∈ Π(t） ，我们定义了一个m维随机向量E（t）=（ε(t） ，ε（2t） ，···，ε（mt） ）。在Ho-Lee模型中，Thesee Ho and Lee（1986、2009）、Bliss and Ronn（1989）、Sommer（1996）、Prigen（2003）和Akahori等人（2006）。零息票价格可以表示为∏（dt）中的二项式定价格。timet的零价格动态∈ Π(t） 到期日为t∈ Π(t） ，t≤ T，由B（T，T | E（T））=B（T）给出-  t、 t | E（t- t） ）B（t- t、 t | E（t-  t） H（ε（t），t，t）（1），其中H（ε（t），t，t）=（U（t，t），如果ε（t）=1D（t，t），如果ε（t）=0。在原始Ho-Lee模型中，对于某些常数p，p（t）=p∈ (0, 1). Ho-Lee模型有几个扩展，但在所有扩展中，“向上”和“向下”移动的概率都是恒定的。我们考虑上涨的时变概率，以获得更灵活的零息票债券价格动态模型。（1）定义的二叉树应为重组树，这意味着，U（t，t）D（t，t）=U（t，t+t） U（t+t、 t）D（t，t+t）D（t+t、 t）。（2） 设置H（s，t）：=U（s，t）D（s，t）。那么，（2）等于H（t，t）=H（t，t+t） H（t+t、 t）。设h（s，t）=ln h（s，t）。自t，t∈ Π(t） 和t≤ T，存在正整数m和N，使得T=m t和t=Nt、 weobtainh（米t、 N个t）=h（mt、 （m+1）t） +小时（（m+1）t、 N个t） 。放置n=n- m（即m=N- n） ，我们有h（（n- n）t、 N个t） =h（（N- n）t、 （N）- n+1）t） +h（（N- n+1）t、 N个t） 。（3） 设d（n，n）=h（（n- n）t、 N个t）和c（n，n）=h（（n- n）t、 （N）- n+1）t） 。那么（3）等于tod（n，n）=c（n，n）+d（n- 1，N）。我们得到d（n，n）=d（0，n）+Pnj=1c（j，n）。

自d（0，N）=h（Nt、 N个t） =0，我们有d（n，n）=Pnj=1c（j，n）。设η（T）为随机变量，且支持度为{t、 2t、 ···，Nt=t}。假设c（j，N）=c（T）P（η（T）=jt） ，j=1，2，···，N，对于常数C（t）>0。那么我们有d（n，n）=C（T）Pnj=1P（η（T）=jt） =C（t）P（η（t）≤ nt=t）和henceH（t，t）=exp（h（mt、 N个t） ）=exp（d（n，n））=exp（C（t）P（η（t）≤ t） ）。（4） 当P（η（T）=j时t） =所有j∈ {1，2，···，N}，我们有h（t，t）=expnC（T）N=经验值C（T）Nt型nt型=经验值-C（T）T-（T-t） 。通过设置δ=exp-C（T）T, 我们得到H（t，t）=δ-（T-t） ，这给出了原始Ho-Lee模型的特例。参见Artamanova和Leipus（2005）中的Ho-Lee型模型综述。详见附录。3具有时间相关参数的Ho-Lee二项利率模型的风险中性动态我们现在将注意力转向二项树隐含的风险中性动态。在Ho和Lee（1986）中，考虑了由两种不同到期日的债券组成的投资组合，即S>0和T>0。这导致了无套利条件：对于某些q∈ （0，1），qU（ε（t），t，t）+（1- q） D（ε（t），t，t）=1。（5） 在下面的内容中，我们将选择S=T+t>0，这将是一个比（5）更不严格的无套利条件。为此，考虑一个组合π，由（a）一个到期日为t的零息债券单位和（b）b个到期日为S的零息债券单位组成。

在时间t- t型≥ 0，投资组合价值，用V（t）表示- dt、T、T+t | E（t- t） ，由V（t）给出- dt、T、T+t | E（t- t） ）=B（t- dt，T | E（T- t） ）+bB（t- dt，T+t | E（t- t） ）。在下一个时期，t，投资组合价值由v（t，t，t+t | E（t））=B（t，t | E（t））+bB（t，t+t | E（t））=（VU（t，t，t+t） 如果ε（t）=1VD（t，t，t+t） 如果ε（t）=0，其中Vu（t，t，t+t） =B（t- t、 t | E（t- t） ）B（t- t、 t | E（t-  t） ）U（t，t）+bB（t- t、 t+t | E（t- t） ）B（t-  t、 t | E（t- t） ）U（t，t+t） andVD（t，t，t+t） =B（t-  t、 t | E（t- t） ）B（t- t、 t | E（t-  t） ）D（t，t）+bB（t- t、 t+t | E（t- t） ）B（t- t、 t | E（t-  t） ）D（t，t+t） 我们选择b，使投资组合在[t，t+t] ；即isVU（t，t，t+t | E（t））=VD（t，t，t+t | E（t））。然后B=B（t- t、 t | E（t- t） ）（D（t，t）- U（t，t））B（t-  t、 t+t | E（t- t） ）（U（t，t+t）- D（t，t+t） ）。（6） 为了避免套利机会，V（t- t、 t，t+t | E（t- t） ）=B（t- t、 t | E（t- t） ）V（t，t，t+t | E（t））。因此，B（t- t、 t | E（t- t） ）+bB（t- t、 t+t | E（t- t） ）=B（t- t、 t | E（t- t） ）U（t，t+t） +bB（t- t、 t+t | E（t- t） ）U（t，t+t） 。（7） 现在（6）和（7）表示1+D（t，t）- U（t，t）U（t，t+t）- D（t，t+t） =U（t，t+t） +D（t，t）- U（t，t）U（t，t+t）- D（t，t+t） U（t，t+t） orU（t，t+t） U（t，t）- D（t，t）（1- D（t，t））-D（t，t+t） U（t，t）- D（t，t）（1- U（t，t））=1。（8） 假设U（t，t）和D（t，t）有连续导数U（t，t）坦德D（t，t）T、 方程式（8）分别表示U（t，t）T（1- D（t，t））-D（t，t）T（1- U（t，t））=0。因此，存在正函数λ（t），使得ln（U（t，t）- 1） =ln（1- D（t，t））+lnλ（t）。设q（t）=1+λ（t）∈ (0, 1). 这导致放宽了无套利条件（5）：q（t）U（ε（t），t，t）+（1- q（t））D（ε（t），t，t）=1。

（9） 虽然我们不要求q（t）=所有t的q≥ 0，我们确实要求q（t）∈ （0，t）表示0≤ t型≤ T和T∈ Π(t） 。接下来，从（4）中，我们有u（t，t）D（t，t）=H（t，t）=exp（C（t）P（η（t）≤ t） ，且henceU（t，t）=D（t，t）exp（C（t）P（η（t）≤ t） ）。通过（9），我们得到u（t，t）=q（t）+（1- q（t））exp(-C（T）P（η（T）≤ t） ）>1，（10）和D（t，t）=经验(-C（T）P（η（T）≤ t） ）q（t）+（1- q（t））exp(-C（T）P（η（T）≤ t） ）<1。（11） 在q（t）=q和P（η（t）=j的情况下t） =N，我们得到Ho-Lee表达式：U（t，t）=q+（1- q） δ-（T-t） ，D（t，t）=δ-（T-t） q+（1- q） δ-（T-t） ，（12）式中δ=exp(- C（T）/T）。4 Ho-Lee模型的缺点解决方案在一步时间间隔内（t，t+t] be r（t，t+t | E（t））。那么，为了避免发生错误，我们有B（t，t+t | E（t））exp（r（t，t+t | E（t））=1。通过（1），我们有b（t，t+t、 E（t））=B（t，t | E（t））B（t+t、 t | E（t+t） ）H（t+t、 t）。假设限制↑∞B（t+t、 t | E（t+t） B（t，t | E（t））=1+f∞（t，t+t | E（t+ t） ）为非零且存在。LetF公司∞（t，t+t | E（t+t） ）=1+f∞（t，t+t | E（t+t） ）>0。Bliss和Ronn（1989）指出了H-o-Lee模型的以下弱点。假设T↑ ∞在固定的时间t之后≥ 仅发生了0次下滑动作，1+f∞（t，t+t | E（t+t） ）<1-q、 然后，从（12）开始，它遵循thatexp(-r（t，t+t | E（t））=B（t，t+t、 E（t））=极限↑∞B（t，t | E（t））B（t+t、 t | E（t+t） ）D（t+t、 t）=F∞（t，t+t | E（t+ t） ）限制↑∞δ-（T-t型-t） q+（1- q） δ-（T-t型-t） =F∞（t，t+t | E（t+ t） ）1- q> 1，（13）导致负短期利率r（t，t+t | E（t））<0。假设接下来在固定的时刻之后≥ 0，仅发生上升移动。