那么f和g的连续性意味着过程f（t，Slt-l） =f（t，·）o Slt公司-土地g（t，Slt-l） =g（t，·）o Slt公司-l、 t型∈ [0，（n+1）l]为（Ft）t∈[0，（n+1）l]-自适应和连续。因此，processAn+1（t）：=Rtf（u，Slu-l） du，t∈ [0，（n+1）l]，几乎所有的采样路径都是连续可微分的，并且Mn+1（t）：=Rtg（u，Slu-l） dW（u），t∈ [0，（n+1）l]，isa连续（Ft）t∈[0，（n+1）l]-局部鞅。因此，过程Nn+1（t）=An+1（t）+Mn+1（t），t∈ [0，（n+1）l]是一个半鞅和线性SDEdSl（t）=Sl（t）dNn+1（t），t∈ [0，（n+1）l]Sl（0）=θ（0），有一个唯一的解（Dol\'eans Dade指数），由l（t）=θ（0）exp给出Ztf（u，Slu-l） du+Ztg（u，Slu-l） dW（u）-Ztg（u，Slu-l） 杜邦, t型∈ [0，（n+1）l]。注意，如果θ（0）>0，那么任何t的Sl（t）也是∈ [0，T]。这就完成了诱导参数，因此方程（2.2）对anyt有唯一的解∈ [0，T]。定理2.3。考虑过滤概率空间(Ohm, F、 （Ft）t∈[o，T]，P）和一维布朗运动(Ohm, F、 （Ft）t∈【o，T】，P）。设￠θ∈ L(Ohm, C） ，一个期权定价模型，最小5f:[0，T]×L(Ohm, C）→ R和▄g:[0，T]×L(Ohm, C）→ R、 当▄f和▄g连续且满足线性增长条件时：▄f（t，η）▄+▄g（t，η）▄≤ D（1+kηkL(Ohm,C） ），对于任何t∈ [0，T]和η∈ C、 常数D与t和η无关。然后SFDE（dSl（t）=f（t，Slt-l） Sl（t）dt+~g（t，Slt-l） Sl（t）dW（t），t∈ [0，T]Sl（T）=^Иθ（T），T∈ [-l- 五十、 0]，具有唯一的非负s解，满足sl（t）=θ（0）expZtf（u，Slu-l） du+Ztg（u，Slu-l） dW（u）-Ztg（u，Slu-l） 杜邦, t型∈ [0，T]。过程^Иθ由^Иθ（t）给出：=θ（t），t∈ [- 五十、 0]，°θ(-五十） ，t∈ [- l- L-五十] 。。证据这个证明类似于定理2.2，但除此之外，对于任何t∈ [-l、 T]，l中的每个Sltis(Ohm, C） 。

我们在命题2.5中展示了这一点，该命题对Ito积分使用鞅型不等式，如下所述。引理2.4。让W：[a，b]×Ohm → Rmbe过滤概率空间上的m维布朗运动(Ohm, F、 （Ft）t∈【a，b】，P）。假设g：[a，b]×Ohm → L（Rm，Rd）是可测量的，（Ft）t∈【a，b】-适应和RBAE | g（t，·）| 2kdt<∞, 对于正整数k≥ 1、网络支持∈【a、b】Ztag（u，·）dW（u）2公里≤ Ak（b- a） k级-1ZbaE | g（u，·）| 2kdu，式中：=dk-1.4km2k-1.k、 证明。读者可以参考穆罕默德（Mohammed）[16]（第27页）进行证明。2.5的提案。设￠θ、￠f和￠g满足定理2.3的假设。然后针对每个t∈ [0，T]，流程满足“supv”∈ [0，t]| Sl（v）|#+kSlt-lkL公司(Ohm,C）≤ UT/l，其中UT/l是满足UT/l的常数≥E |￠θ（0）|T/l（DT）2T/l.6 FLAVIA SANCIER和SALAH Mohammedth这表明∈ [0，t]| Sl（v）|#+kSlt-lkL公司(Ohm,C） 在l.Proof中不是一致有界的。为简单起见，考虑T是l的倍数。我们使用归纳法和l的步长。更具体地说，我们证明了对于任何T∈ [0，nl]，n=1，2，电汇，E“supv∈ [0，t]| Sl（v）|#+kSlt-lkL公司(Ohm,C）≤ Un，其中Unis为常数s ATIFYINGUN≥E |￠θ（0）|n（DT）2n。（2.4）我们首先证明该命题适用于任何t∈ [0，l]。

应用（按顺序）Jensen的ine quality（有限和积分形式）、le mma 2.4和f和g的线性增长特性，以∈ [0，l]，E“supv∈ [0，t]| Sl（·）（v）|#=E“supv∈ [0，t]θ（0）+Zvf（u，^Иθu-l） Sl（u）du+Zvg（u，^Иθu-l） Sl（u）dW（u）#≤ E“supv∈ [0，t]~θ(0)+ 3.Zvf（u，^Иθu-l） Sl（u）du+ 3.Zv▄g（u，^Иθu-l） Sl（u）dW（u）!#≤ Eh3 |θ（0）| i+3tEZt |￠f（u，^Иθu-l） | | Sl（u）| du+ 3·4EZt |￠g（u，^Иθu-l） | | Sl（u）| du≤ 3E |Иθ（0）|+3D（t+4）EZt（1+k^Иθu-lkL公司(Ohm,C） ）| Sl（u）| du≤ 3E |￠θ（0）|+3D（T+4）（1+k￠θkL(Ohm,C） ）中兴通讯“supv”∈ [0，u]| Sl（v）|#du。（2.5）因此，从Gronwall不等式中，我们得到t∈ [0，l]：E“supv∈ [0，t]| Sl（v）|#≤ 3E |Иθ（0）| e3D（T+4）（1+k |θkL(Ohm,C） ）t.A期权定价模型，包括ME MORY 7∈ [0，l]，kSlt-lkL公司(Ohm,C） =k^Иθt-lkL公司(Ohm,C） =k￠θkL(Ohm,C） ，从中我们可以得到∈ [0，l]，E“supv∈ [0，t]| Sl（v）|#+kSlt-lkL公司(Ohm,C）≤ k￠θkL(Ohm,C） +3E |Иθ（0）| e3D（T+4）（1+k |θkL(Ohm,C） ）T=：U。请注意，U≥ E |∧θ（0）|（DT）。现在假设2.5号提案有效∈ [0，nl]，其中n是正整数n<lT。

特别是，假设对于anyt∈ [0，nl]，E“supv∈ [0，t]| Sl（v）|#+kSlt-lkL公司(Ohm,C）≤ Un，其中Unis是满足（2.4）的正常数。那么对于t∈ [l，（n+1）l]，E“sups∈[-五十、 0]| Slt-l（s）|#≤ E“sups∈[-L-l、 nl]| Sl（s）|#≤ E“sups∈[-五十、 0]|￠θ（s）|#+E“sups∈[0，nl]| Sl（s）|#≤ k￠θkL(Ohm,C） +联合国。此外，在类似于（2.5）的计算中，对于任何t∈ [l，（n+1）l]，E“supv∈ [0，t]| Sl（·）（v）|#≤ 3E |θ（0）|+3D（T+4）（1+kSlu）-lkL公司(Ohm,C） ）Zt | Sl（u）| du，≤ 3E |Иθ（0）|+3D（T+4）（1+pUn）中兴通讯“supv”∈ [0，u]| Sl（v）|#du。因此，从Gronwall不等式中，我们得到了“supv”∈ [0，t]| Sl（v）|#≤ 3E |θ（0）| e3D（T+4）（1+√Un）tThus，对于任何t∈ [0，（n+1）l]，E“supv∈ [0，t]| Sl（v）|#+kSlt-lkL公司(Ohm,C）≤ k￠θkL(Ohm,C） +Un+3E |Иθ（0）| e3D（T+4）（1+√Un）T=：Un+1。请注意UN+1≥ E |θ（0）|（DT）Un≥ E |￠θ（0）|（DT）（E |￠θ（0）|）n（DT）2n=（E |￠θ（0）|）n+1（DT）2（n+1）。8 FLAVIA SANCIER和SALAH Mohammedshus，2.5号提案适用于任何t∈ [0，（n+1）l]。归纳论证到此结束，带有“supv”∈ [0，t]| Sl（v）|#+kSlt-lkL公司(Ohm,C）≤ UT/l，t∈ [0，T]其中，UT/lis是一个满足UT/l的常数≥ （E |θ（0）|）T/l（DT）2T/l。为了更好地理解理论2.2和2.3中系数之间的差异，我们提供了以下示例。示例2.6。设f:[0，T]×C→ R和g:[0，T]×C→ R是具有线性增长且满足第2.1节中条件的泛函。那么函数f:[0，T]×L(Ohm, C）→ R和g:[0，T]×L(Ohm, C）→ 定义的byf（t，η）：=ZOhmf（t，η（ω））dP（ω）=Ef（t，η（·）），g（t，η）：=ZOhmg（t，η（ω））dP（ω）=Eg（t，η（·）），对于任何t∈ [0，T]，η∈ C、 满足定理2.3的假设。示例2.7。在本例中，我们将漂移项的统一平均值和扩散项的统一标准偏差作为符号。

设f:[0，T]×C→ R和G:[0，T]×C→ R由f（t，η）定义：=LZ-Lη（u）du，t∈ [0，T]，g（T，η）：=LZ公司-L（η（u）- f（u，η））du1/2，t∈ [0，T]，它们是满足定理2.2.3中条件的联合连续泛函。具有完整记忆的股票价格模型在本节中，我们介绍了一个可行的股票价格模型，其中波动率和漂移项取决于当前股票价格的有限历史。这种模型的存在是通过“闭合记忆间隙”，即通过证明L(Ohm, C类([-五十、 T]，R），如L→ 0，将FDE（2.1）的解转换为具有完整有限内存的进程。3.1. 框架设L>0，考虑一只股票，其在时间t的价格由过程（S（t））t给出∈[0，T]满足随机泛函微分方程：dS（t）=f（t，St）S（t）dt+g（t，St）S（t）dW（t），t∈ [0，T]S（T）=θ（T），T∈ [-五十、 0），（3.1）在过滤概率空间上(Ohm, F、 （Ft）t∈[0，T]，P）满足通常条件。初始过程θ∈ L(Ohm, C） 是F-可测量的。过程W是一个一维布朗运动(Ohm, F、 （Ft）t∈[0，T]，P）和Sti由St（s）给出：=s（T+s），s∈ [-五十、 0]，对于任何t∈ [0，T]。泛函f:[0，T]×L(Ohm, C）→ 带ME MORY 9和g的RAN期权定价模型：[0，T]×L(Ohm, C）→ R在第二个变量中是联合连续的、全局有界的和一致的Lipschitz，即|f（t，ψ）|≤ fmaxand | g（t，ψ）|≤ gmaxand | f（t，ψ）- f（t，ψ）|+| g（t，ψ）- g（t，ψ）|≤ αkψ- ψkL(Ohm,C） （3.2）对于所有t∈ [0，T]和ψ，ψ，ψ∈ L(Ohm, C） 。Lipschitz常数α与t无关∈ [0，T]。（3.1）的溶液为（Ft）t∈[0，T]-调整流程∈ L(Ohm, C类([-五十、 T]，R））从θ开始，满足It^o积分方程（T）=θ（·）（0）+Rtf（u，Su）S（u）du+Rtg（u，Su）S（u）dW（u），t∈ [0，T]θ（·）（T），T∈ [-五十、 0）。（3.3）备注3.1。

即使对f和g施加有界性条件，SFDE（3.1）也不满足[16]中介绍的一般存在性和唯一性条件，即泛函▄f（t，η）：=f（t，η）η（0）和▄g（t，η）：=g（t，η）η（0），t∈ [0，T]，η∈ L(Ohm, C） ，而不是全球性的利普希茨。可以在f和g上设置一个修改的Lipschitz条件，以使泛函▄f和▄g成为g全局Lipschitz（见C hang[6]）。然而，为了推导公式的期权定价，我们使用具有记忆缺口的模型，并将其收敛到具有完整有限记忆的模型。因此，我们将通过关闭SFDE（2.1）中的memorygap给出存在唯一性证明。在此过程中，近似方案将是可行的股票价格模型。3.2. 可行解的存在唯一性。定理3.2。考虑第3.1节的框架。SFDE（3.1）具有满足S（t）=θ（0）e xp的唯一解Ztf（u，Su）du+Ztg（u，Su）dW（u）-Ztg（u，Su）du, t型∈ [0，T]。（3.4）为了证明定理3.2，我们定义了过程序列sk（t）=θ（0）+Rtf（u，Sku-1/k）Sk（u）du+Rtg（u，Sku-1/k）Sk（u）dW（u），如果t∈ [0，T]^θ（T），如果T∈ [-1.- 五十、 0），（3.5）k≥ 1、对于t∈ [-1，T]，由Skt（s）给出的记忆段Sktis：=Sk（T+s），s∈ [-五十、 0）。对于t∈ [-1，T]，定义Ft：=F。过程^θ由^θ（T）给出=θ（t），t∈ [-五十、 0]，θ(-五十） ，t∈ [-1.- L-五十] 。10 FLAVIA SANCIER和SALAH MOHAMMEDFro m第2节，每个Skexists唯一且满足k（t）=θ（0）expZtf（u，Sku-1/k）du+Ztg（u，Sku）-1/k）dW（u）-Ztg（u，Sku-1/k）du, t型∈ [0，T]。定理3.2的证明遵循命题ns 3.3至3.10。3.3的提案。对于任何γ≥ 1和每个t∈ [0，T]，流程满足“supv”∈ [0，t]| Sk（v）| 2γ#≤ Uγ，其中Uγ是独立于k证明的常数。为简单起见，考虑一个正整数T。

应用Je nsen的不等式（有限形式和积分形式）和引理2.4，我们得到了∈ [0，T]，E“supv∈ [0，t]| Sk（·）（v）| 2γ#=E supv∈ [0，t]θ（0）+Zvf（u，Sku-1/k）Sk（u）du+Zvg（u，Sku-1/k）Sk（u）dW（u）2γ≤ E supv公司∈ [0，t]2γ-1|θ(0)|2γ+ 32γ-1.Zvf（u，Sku-1/k）Sk（u）du2γ+ 32γ-1.Zvg（u，Sku-1/k）Sk（u）dW（u）2γ!≤ E2γ-1|θ(0)|2γ+ 32γ-1t2γ-1E级Zt | f（u，Sku-1/k）| 2γ| Sk（u）| 2γdu+ 32γ-1Aγtγ-1E级Zt | g（u，Sku-1/k）| 2γ| Sk（u）| 2γdu≤ 32γ-1E |θ（0）| 2γ+32γ-1tγ-1f2γmaxZtE“supv∈ [0，u]| Sk（v）| 2γ#du+32γ-1Aγtγ-1g2γmaxZtE“supv∈ [0，u]| Sk（v）| 2γ#du≤ 32γ-1E |θ（0）| 2γ+32γ-1Tγ-1（Tγf2γmax+Aγg2γmax）中兴supv∈ [0，u]| Sk（v）| 2γdu，其中Aγ：=（4γ2γ-1)γ. 因此，从Gronwall不等式中，我们得到∈ [0，T]：E“supv∈ [0，t]| Sk（v）| 2γ#≤ 32γ-1E |θ（0）| 2γe2γ-1Tγ-1（Tγf2γmax+Aγg2γmax）T：=Uγ。带有ME MORY 11备注3.4的期权定价模型。命题3.3给出了Ehsupv的统一界∈ [0，t]| Sk（v）| 2γi。我们能够从f和g的全局有界性中获得这样一个界。该结果可以与命题2.5中获得的（非均匀）界进行比较，其中漂移和微分项仅假设线性增长条件。3.5的提案。对于任意整数γ≥ 1，每个sksaties E | Sk（t）- Sk（s）| 2γ≤Bγ| t- 所有s、t的s |γ∈ [0，T]，其中Bγ是一个独立于k.Proof的常数。通过Jensen不等式（有限形式和积分形式）、引理2.4和命题3.3，我们得到了任何0≤ s、 t型≤ T：呃Sk（t）- Sk（s）2γi=E“Ztsf（u，Sku-1/k）Sk（u）du+Ztsg（u，Sku-1/k）Sk（u）dW（u）2γ#≤ 22γ-1吨- s | 2γ-1EZts | f（u，Sku-1/k）| 2γ| Sk（u）| 2γdu+22γ-1Aγ| t- s |γ-1EZts | g（u，Sku-1/k）| 2γ| Sk（u）| 2γdu≤ 22γ-1（Tγf2γmax+Aγg2γmax）| T- s |γ-1ZtsE | Sk（u）| 2γdu≤ 22γ-1（Tγf2γmax+Aγg2γmax）| T- s |γ-1Uγ| t- s |=Bγ| t- s |γ，其中Bγ：=22γ-1（Tγf2γmax+Aγg2γmax）Uγ。接下来，我们给出了一系列Ba值随机过程的Kolmogorov连续性准则。该定理将用于命题3.7。定理3.6。

（随机过程序列的Kolmogorov连续性准则）。设{Xk（t）}∞k=1，t∈ [0，T]，是Banach空间E中具有值的随机过程序列。假设T存在正常数ρ，c和ρ>1，均独立于k，满足[kXk（T）]- Xk（s）kρE]≤ c | t- s |ρ，对于每个s，t∈ [0，T]。然后，每个xkha都是一个连续的修改Xk。此外，设b是小于ρ的任意正数-1ρ. 然后存在一个E[ξρk]<H的正态变量ξkw，其中H是一个独立于k的常数，例如kXk（t）-Xk（s）kE≤ ξk | t- s | b，对于每个s，t∈ [0，T]和a.s。。证据读者可参考Kunita【14】，第31页，以获取证据。3.7的提案。Letβ∈ （0，1/2）为固定常数。每个Sksatis fies（i）| Sk（t）- Sk（s）|≤ ck | t- 所有s、t的s |β∈ [0，T]a.s。；（二）kSkt- SkskL公司(Ohm,C）≤ 3c | t- s | 2β12 FLAVIA SANCIER和SALAH MOHAMMED+2E supv∈ (-（t∧L）∧0,-（s）∧L）∧0]|^θ(0) -^θ（s+v）|+E supv∈ [-L-（t∧L）∧0]|^θ（t+v）-^θ（s+v）|适用于所有- 1.≤ s<t≤ T、 a.s.，其中▄c是一个独立于k的常数，ck是一个满足E（c2ρk）的正随机变量≤ c，ρ为t han1以上的最小整数-2β.证据设ρ为大于1的最小整数-2β. 来自提案3.5，E | Sk（t）-Sk（s）| 2ρ≤ Bρ| t-s |ρ，对于任何s，t∈ [0，T]。自β<ρ-12ρ，则根据Kolmogorov的连续性准则（定理3.6），存在一个po sitiverandom变量cks，使得| Sk（t）- Sk（s）|≤ ck | t- 所有s、t的s |βa.s∈ [0，T]，带E（c2ρk）≤ c，其中▄c是一个独立于k的常数。这证明了第（i）部分。我们现在开始证明第（二）部分。对于任何-1.≤ s<t≤ T，kSkt- SkskL公司(Ohm,C） =E supv∈ [-五十、 0]| Sk（t+v）- Sk（s+v）|≤ E supv公司∈ (-（s）∧L）∧0,0]| Sk（t+v）- Sk（s+v）|（3.6）+E supv∈ (-（t∧L）∧0,-（s）∧L）∧0]| Sk（t+v）- Sk（s+v）|（3.7）+E supv∈ [-L-（t∧L）∧0]| Sk（t+v）- Sk（s+v）|。

（3.8）使用第（i）部分，术语（3.6）变为：E supv∈ (-（s）∧L）∧0,0]| Sk（t+v）- Sk（s+v）|≤ E supv公司∈ (-（s）∧L）∧0,0]ck | t- s |β= E（ck | t- s | 2β）=E（ck）| t- s | 2β≤ c | t- s | 2β。此外，从第（i）部分中，我们还得到了（3.7）：E supv∈ (-（t∧L）∧0,-（s）∧L）∧0]| Sk（t+v）- Sk（s+v）|≤ 2E supv∈ (-（t∧L）∧0,-（s）∧L）∧0]{| Sk（t+v）- Sk（0）|+|^θ（0）-^θ（s+v）|}≤ 2E supv∈ (-（t∧L）∧0,-（s）∧L）∧0]{ck | t+v | 2β+|θ（0）-^θ（s+v）|}≤ 2E（ck）| t- s | 2β+2E supv∈ (-（t∧L）∧0,-（s）∧L）∧0]|θ(0) - θ（s+v）|≤ 2▄c▄t- s | 2β+2E supv∈ (-（t∧L）∧0,-（s）∧L）∧0]|^θ(0) -^θ（s+v）|。最后，（3.8）变成：E supv∈ [-L-（t∧L）∧0]| Sk（t+v）-Sk（s+v）|=E supv∈ [-L-（t∧L）∧0]|^θ（t+v）-^θ（s+v）|。因此，对于-1.≤ s<t≤ T、 一个含ME-MORY-13kSkt的期权定价模型- SkskL公司(Ohm,C）≤ c | t- s | 2β+2 | c | t- s | 2β+2E supv∈ (-（t∧L）∧0,-（s）∧L）∧0]|^θ(0) -^θ（s+v）|+E supv∈ [-L-（t∧L）∧0]|^θ（t+v）-^θ（s+v）|=3c | t- s | 2β+2E supv∈ (-（t∧L）∧0,-（s）∧L）∧0]|^θ(0) -^θ（s+v）|+E supv∈ [-L-（t∧L）∧0]|^θ（t+v）-^θ（s+v）|。3.8的提案。序列（Sk）∞k=1接近极限S∈ L(Ohm, C类([-1.-五十、 T]，R））。证据我们首先注意到∈ [-1，T]，kSlt- SktkL公司(Ohm,C） =E sups∈[-五十、 0]| Sl（t+s）- Sk（t+s）|≤ 电子sups∈[-1.-五十、 t]| Sl（s）- Sk（s）|=E sups∈[0，t]| Sl（s）- Sk（s）|。

（3.9）那么，对于任何t∈ [0，T]和l>k，我们有∈ [0，t]| Sl（v）- Sk（v）|=E supv∈ [0，t]Zv{f（u，Slu-1/l）Sl（u）- f（u，Sku-1/k）Sk（u）}du+Zv{g（u，Slu）-1/l）Sl（u）- g（u，Sku-1/k）Sk（u）}dW（u）≤ 2tEZt | f（u，Slu-1/l）Sl（u）- f（u，Sku-1/k）Sk（u）| du+2·4EZt | g（u，Slu）-1/l）Sl（u）- g（u，Sku-1/k）Sk（u）| du≤ 2tEZt（2 | f（u，Slu-1/l）- f（u，Sku-1/k）| | Sl（u）|+2 | f（u，Sku-1/k）| | Sl（u）- Sk（u）|）du+8EZt（2 | g（u，Slu-1/l）- g（u，Sku-1/k）| | Sl（u）|+2 | g（u，Sku-1/k）| | Sl（u）- Sk（u）|）du≤ 4α（t+4）EZtkSlu-1/l- Sku（库存单位）-1/kkL(Ohm,C） | Sl（u）| du+4EZt（tfmax+4gmax）| Sl（u）- Sk（u）| du14 FLAVIA SANCIER和SALAH MOHAMMED≤ 8α（t+4）Zt（kSlu-1/l- Slu公司-1/kkL(Ohm,C） +千平方英尺-1/k- Sku-1/kkL(Ohm,C） ）E | Sl（u）| du+4（tfmax+4gmax）中兴通讯| Sl（u）- Sk（u）| du≤ 8αU（t+4）Zt（kSlu-1/l- Slu公司-1/kkL(Ohm,C） +E supv∈ [0，u]| Sl（v）- Sk（v）|）du+4（tfmax+4gmax）Ztsupv∈ [0，u]E | Sl（u）- Sk（u）| du≤ 4[2αU（T+4）+T fmax+4gmax]中兴supv∈ [0，u]| Sl（v）- Sk（v）|）du+8αU（t+4）ZtkSlu-1/l- Slu公司-1/kkL(Ohm,C） 杜。（3.10）设C：=8αU（t+4），C：=4[2αU（t+4）+t fmax+4gmax]。然后，将Gronwall不等式应用于上述不等式，我们得到了supv∈ [0，t]| Sl（v）- Sk（v）|≤ CeCtZtkSlu公司-1/l- Slu公司-1/kkL(Ohm,C） 杜。（3.11）我们现在展示RTKSLU-1/l- Slu公司-1/kkL(Ohm,C） 杜邦→ 0为l，k→ ∞. 从位置3.7（ii）开始，任何u∈ [0，T]，kSlu-1/l- Slu公司-1/kkL(Ohm,Cd）≤ 3℃1/k- 1/l | 2β+2 E supv∈ (-{（u-1/l）∧L}∧0,-{（u-1/k）∧L}∧0]|^θ(0) -^θ（u- 1/k+v）|+E supv∈ [-L-{（u-1/l）∧L}∧0]|^θ（u-1/l+v）-^θ（u- 1/k+v）|。（3.12）设>0。根据^θ的一致连续性，存在0<δ<，使得| s- s |<δ=> |^θ（s）-^θ（s）|<最大值6c2β，r.然后，对于任何l>k>δ，则得出l<k<δ，然后，对于任何v∈(-{（u-1/l）∧L}∧0, -{（u-1/k）∧L}∧0]，我们有| u-1/k+v |≤k-l<δ。因此，对于任何l>k>δ，它遵循（3.12）thatkSlu-1/l- Slu公司-1/kkL(Ohm,Cd）≤ 3摄氏度6c2β2β+ 2r+r= ，对于任何u∈ [0，T]。

因此，对于任何l>k>δ，ZtkSlu-1/l- Slu公司-1/kkL(Ohm,Cd）du≤Ztdu公司≤ T。MORY 15的期权定价模型这表明RTKSLU-1/l-Slu公司-1/kkL(Ohm,C） 杜邦→ 0为l，k→ ∞. 因此，从不等式（3.11），E supv∈ [0，t]| Sl（v）- Sk（v）|→ 0 a s l，k→ ∞.因此，序列（Sk）∞k=1是L中的柯西序列(Ohm, C类([-1.-五十、 因此收敛到极限S∈ L(Ohm, C类([-1.- 五十、 T]，R））。从（3.9）中，对于每个t∈ [0，T]，（Skt）∞k=1接近Stin L(Ohm, C） 。3.9的提案。流程S|[-五十、 满足SFDE（3.1）的要求，可以写成（3.4）。证据为了证明这一点，我们将极限取为k→ ∞ （3.5）两侧。（3.5）的左侧收敛到L中的S(Ohm, C类([-1.- 五十、 T]，R））。此外，S是（Ft）t∈[0，T]-适应，因为每个滑雪板。此外，在类似于（3.10）的计算中，E supv∈ [0，t]Zv{f（u，Su）S（u）- f（u，Sku-1/k）Sk（u）}du+Zv{g（u，Su）S（u）- g（u，Sku-1/k）Sk（u）}dW（u）≤ 4[2αU（T+4）+T fmax+4gmax]中兴supv∈ [0，u]| S（v）- Sk（v）|）du+8αU（t+4）ZtkSu- 苏-1/kkL(Ohm,C） 杜。（3.13）关于[0，T]的连续性 t 7→ 接下来是ZTKSU- 苏-1/kkL(Ohm,C） =Z1/kkSu- θkL(Ohm,C） +Zt1/kkSu- 苏-1/kkL(Ohm,C）→ 0作为k→ ∞.此外，如前所述，E supv∈ [0，u]| S（v）- Sk（v）|→ 0作为k→ ∞.因此，（3.13）收敛到0作为k→ ∞. 这表明，对于任何t∈ [0，T]，在L中，（3.5）的右侧s ide收敛到（3.3）(Ohm, C类([-五十、 T]，R））作为k→ ∞.因此，S|[-五十、 满足SFDE（3.1）和过程n（T）：=Rtf（u，Su）du+Rtg（u，Su）dW（u），T∈ [0，T]是（Ft）T∈[0，T]-自适应连续半鞅。然后我们可以将It^o公式应用于半鞅dS（t）=S（t）dN（t），t∈ [0，T]S（0）=θ（0），给出（T）=θ（0）e xpZtf（u，Su）du+Ztg（u，Su）dW（u）16 FLAVIA SANCIER和SALAH MOHAMMED-Ztg（u，Su）du, t型∈ [0，T]。3.10的提案。（唯一性）如果▄S是（Ft）t∈[0，T]-适应过程满足（3.1），然后￠S=S|[-五十、 T]a.s。。证据

在类似于（3.10）的计算中，我们发现差异- S|[-五十、 T]kL(Ohm,C类([-五十、 T]，R））≤ E supv公司∈ [0，T]|S（v）- S（v）|=E supv∈ [0，T]Zv{f（u，~Su）~S（u）- f（u，Su）S（u）}du+Zv{g（u，~Su）~S（u）- g（u，Su）S（u）}dW（u）≤ 4[αU（T+4）+T fmax+4gmax]中兴supv∈ [0，u]|S（v）- S（v）|）du。因此，根据Gronwall不等式，可以得出∈ [0，T]|S（v）- S（v）|=0=>S=S|[-五十、 T]a.s。。定理3.11。Letβ∈ （0，1/2）为固定常数。如果初始过程θ满足θ（t）-θ（s）| 2γ≤ Cθ| t- s |γ，（3.14）对于任何γ>1，其中Cθ是一个正常数，那么θ是路径β-H¨older连续的andE supv∈ [0，t]| S（v）- Sk（v）|≤ ck2β，其中c是独立于k证明的常数。设ρ>1-2β为整数。从（3.14）和β<ρ-12ρ，Kolmogorov连续性准则（定理3.6）意味着存在一个正态变量cθ，使得|θ（t）-θ（s）|≤ cθ| t-s |βa.s.，带E（cγθ）≤ cθ，其中▄cθ是一个正常数。也就是说，θ是沿路径的β-H–older连续的。然后注意到^θ也是沿β-H–older连续的。的确，对于-1.-L≤s<t≤ 0，|^θ（t）-^θ（s）|=|θ（t）-θ（s）|≤ cθ| t- s |β，-L≤ s、 t型≤ 0 |θ（t）-θ(-五十） |≤ cθ| t+L |β≤ cθ| t- s |β，s<-五十、 t>-L|θ(-L）- θ(-五十） |=0≤ cθ| t- s |β，-1.- L≤ s、 t<-五十、 那么命题3.7（ii）和θ的β-H¨older连续性意味着kskt- SkskL公司(Ohm,C）≤ 3c | t- s | 2β+2E supv∈ [-（t∧五十） ，则，-（s）∧L）]cθ| s+v+E supv∈ [-L-（t∧五十） ]cθ| t- s|≤ 3c | t- s | 2β+2E（cθ）| t- s | 2β+E（cθ）| t- s | 2β=3（≈c+1）| t- s | 2β，对于任何- 1.≤ s<t≤ T因此，它遵循ZTKSLU-1/l- Slu公司-1/kkL(Ohm,C） 杜邦≤ 3T（▄c+▄cθ）k-l2β.因此，从不等式（3.11）中，我们得到了supv∈ [0，t]| Sl（v）- Sk（v）|≤ CeCt3T（▄c+▄cθ）k-l2β.最后，让我→ ∞ c：=3CT eCt，我们得到supv∈ [0，t]| S（v）- Sk（v）|≤ ck2β.命题3.3-3.10完成了定理3.2的证明。

定理3.11给出了近似格式（3.5）的收敛顺序，当初始过程θ与β是β-H-older连续的∈ (0, 1/2). 近似格式（3.5）可用作（3.1）的数值方法。注意，如果θ（0）是严格正的，那么定理3.2.4中的解也是正的。带记忆间隙的期权定价公式在本节中，我们提出了第2节中介绍的股票动态的期权定价公式。这种公式及其推导是[1]中介绍的“延迟B-lack-Scholes公式”的扩展。设L，L>0，T是L的倍数，并考虑一只股票，其在T时的价格由满足SFDE的过程S给出dSl（t）=f（t，Slt-l） Sl（t）dt+g（t，Slt-l） Sl（t）dW（t），t∈ [0，T]Sl（T）=θ（T），T∈ [-l- 五十、 0），（4.1），其中f：[0，T]×L(Ohm, C）→ R、 g:[0，T]×L(Ohm, C）→ R和^θ满足定理2.3的条件（参见▄f，▄g，^Оθ）。此外，假设^θ为严格正，且每当η为严格正时，g（t，η）>0。（4.2）还假设所有t的Ft=fwt∈ [0，T]，其中（FWt）T∈[0，T]是由布朗运动W生成的过滤。考虑到不存在交易成本，并且可以及时连续买卖股票和债券，我们得出以下定理。定理4.1。设{B，Sl}为市场，以便≥ 0，B（t）=ert，t∈[0，T]，这样SLI由SFDE描述（4.1）。考虑一下这个市场上的一个偶然目标Z（例如，在SLT上写下的一个带有matu r ityT的期权的支付）。

那么市场是完全的，公平价格Vlof Z由Vl（t）=e给出-r（T-t） EQl[Z | FSlt]，t∈ [0，T]，其中ql由dQl=ρl（T）dP定义，ρl（T）由ρl（T）给出：=exp-ZT{f（t，Slt-l）- r} g（t，Slt）-l） dW（u）-ZT{f（t，Slt-l）- r} g（t，Slt-l） 哦！杜邦.18 FLAVIA SANCIER和SALAH Mohammedth套期保值策略πl=（πlSl，πlB）由πlSl（t）=erthl（t）Sl（t）g（t，Slt）给出-l） ，πlB（t）=e-rT{EQl[Z | FSlt]- πlSl（t）Sl（t）}，t∈ [0，T]，其中hl由ml（T）=EQl[e）给出-rTZ]+Zthl（u）dWl（u），t∈ [0，T]。证据为了应用Girsanov定理[9]，我们定义了过程XL（t）：=-{f（t，Slt-l）- r} g（t，Slt-l） ，t∈ [0，T]。因为我们假设θ是严格正的a.s.，所以它来自于Slt的定理m2.2-lis对所有t均为严格正∈ [0，T]a.s。。然后，根据（4.2），Xlis（a.s.）定义良好。在定理2.2的证明中，我们看到过程[0，T] t 7→f（t，Slt-l） 和[0，T] t 7→ g（t，Slt-l） 连续和（Ft-l） t型∈[0，T]-调整。因此，Xl（t）是Ft-l-可测量和RT | Xl（u）| du<∞ a、 每个t的s∈ [0，T]。这意味着随机积分-（k）-1） lT公司-klXl（u）dW（u），k=1，2，Tl，以FT为条件-kl，具有均值为零且方差为zt的正态分布-（k）-1） lT公司-klXl（u）du。（Engel[8]）。然后，通过正态分布的矩母函数公式，我们得到：EP“exp（ZT-（k）-1） lT公司-klXl（u）dW（u））英尺-kl#=exp（ZT-（k）-1） lT公司-klXl（u）du），对于k=1，2，Tl.HenceEP“exp（ZT-（k）-1） lT公司-klXl（u）dW（u）-ZT公司-（k）-1） lT公司-klXl（u）du）英尺-kl#=1，（4.3）对于k=1，2，Tl，使用该表达式的位置-RT公司-（k）-1） lT公司-klXl（u）双瓦英尺-KL可测量。现在定义Random变量szk：=exp（ZT-klXl（u）dW（u）-ZT公司-klXl（u）du），k=1，2，注意，对于每个k，zk是FT-kl可测量。

通过感应调节EXPNRTXL（u）dW（u）-RTXl（u）duoon英尺-l、 英尺-2l，依此类推，从（4.3）中可以看出EP“exp（ZTXl（u）dW（u）-ZTXl（u）du）英尺-kl#=带有ME MORY 19a的ZkAN期权定价模型。s、 对于k=1，2，Tl.特别是EP“exp（ZTXl（u）dW（u））-ZTXl（u）du）F#=1。（4.4）在（4.4）的两侧进行勘探，我们到达atEP“exp（ZTXl（u）dW（u）-ZTXl（u）du）#=1。（4.5）因此，Girsanov定理适用于过程Xl，因此l（t）：=W（t）+Zt{f（u，Slu-l）- r} g（u，Slu-l） du，t∈ [0，T]是dQl定义的量度ql下的维纳过程：=ρl（T）dP，w he reρl（T）：=exp-ZT{f（t，Slt-l）- r} g（t，Slt-l） dW（u）-ZT{f（t，Slt-l）- r} g（t，Slt-l） 哦！杜邦.现在让▄Sl（t）：=Sl（t）B（t）=e-rtSl（t），t∈ [0，T]（4.6）是折扣股价过程。然后，根据It^o的公式，它遵循D▄Sl（t）=▄Sl（t）（f（t，Slt-l）- r） dt+g（t，Slt-l） dW（t）, t型∈ [0，T]，可写为d▄Sl（T）=▄Sl（T）d^Sl（T），T∈ [0，T]，（4.7），其中^Sl（T）是由^Sl（T）定义的连续半马尔代夫：=Zt{f（u，Slu-l）- r} du+Ztg（u，Slu-l） dW（u），t∈ [0，T]。因此，过程^Sl可以写成形式^Sl（t）=Ztg（u，Slu-l） dWl（u），t∈ [0，T]。（4.8）这意味着^sli是(Ohm, F、 （Ft）t≥0，Ql），andby（4.7），贴现股票价格也是一个连续的局部鞅(Ohm, F、 （Ft）t≥0，Ql）。换言之，Qlis是▄Sl的等价局部鞅测度。因此，市场{B，Sl}满足无套利性质。

我们现在确定了市场{B，Sl}的完整性。从方程（4.6）、（4.7）和（4.8）中，我们可以写出▄Sl（t）=▄Sl（t）g（t，Slt-l） dWl（t），t∈ [0，T]。自[0，T] t 7→Sl（t）和[0，t] t 7→g（t，Slt-l） 连续和（Ft）t∈【0，T】调整后，Ft=FWlt=FSlt=FSlt。20 FLAVIA SANCIER和SALAH MOHAMMEDLet Z是未定权益，并考虑Ql鞅ml（t）：=EQl[e-rTZ | FSlt]=EQl[e-rTZ | FWlt]，t∈ [0，T]。根据鞅表示定理（参见，例如[18]），Ml（t）=EQl[e-rTZ]+Zthl（u）dWl（u），t∈ [0，T]，其中hl是（FWlt）T∈[0，T]-可预测过程满足ZT | hl（u）| ds<∞ a、 s.defineπlSl（t）：=hl（t）~Sl（t）g（t，Slt-l） ，πlB（t）：=毫升（t）- πlSl（t）~Sl（t），t∈ [0，T]。πl对：=（πlB，πlSl）是一种交易策略，因为（i）πlBandπlSlare{FSlt}t∈[0，T]-可预测（ii）随机积分rtπlSl（T）dSl（T）存在，因为ztπlSl（T）dSl（T）=ZThl（T）Sl（T）g（T，Slt-l） Sl（t）g（t，Slt-l） dWl（t）=Zthl（t）dWl（t）。其值过程由vlπl（t）=πlB（t）ert+πlSl（t）Sl（t）=[Ml（t）给出- πlSl（t）~Sl（t）]ert+hl（t）~Sl（t）g（t，Slt-l） Sl（t）=Ml（t）ert-hl（t）~Sl（t）g（t，Slt-l） ertSl（t）+hl（t）ertg（t，Slt-l） =毫升（t）ert。这意味着贴现值过程由所有t的▄Vπl（t）=Ml（t）决定∈ [0，T]。然后我们有d▄Vπl（t）=dMl（t）=hl（t）dWl（t）=πlSl（t）▄Sl（t）g（t，Slt-l） dWl（t）=πlSl（t）dSl（t），这意味着t{πlB，πlSl}是一种自我融资策略。此外，Vl（T）=erTMl（T）=erTEQl[e-rTZ | FWlT]=erTe-rTZ=Z，因为Z是FWlT可测量的。因此Z是可以实现的，因此，市场是完整的。

这意味着为了使扩大市场{B，Sl，Z}满足无套利性，索赔Z在时间t的价格∈ [0，T]mustbeVl（T）=ertEQl[e-rTZ | FSlt]=e-r（T-t） EQl[Z | FSlt]。下一个定理是定理4.1的一个特例，当索赔Z是到期时间为T的股票S上的欧式看涨期权的付款。具有ME MORY 21定理4.2的期权定价模型。假设市场{B，Sl}满足定理4.1的条件，并假设Vl（t）是股票SLT上的欧式看涨期权在时间t的公允价格，行使价格为K，到期时间为t。设Φ表示标准正态变量的分布函数，即Φ（x）：=√2πZx-∞e-u/2du，x∈ R、 那么对于所有t∈ [T- l、 T]，Vl（T）由Vl（T）=Sl（T）Φ（β+（T））给出- Ke公司-r（T-t） Φ（β-（t） ），（4.9），其中β±（t）：=lnSl（t）K+RTt公司r±g（u，Slu-l）duqRTtg（u，Slu-l） 杜。如果T>l且T<T- l、 thenVl（t）=ertEQl“HSl（t- l） ，则，-ZTT公司-lg（u，Slu-l） du，ZTT-lg（u，Slu-l） 杜！Ft#，其中H由H（x，m，σ）给出：=xem+σ/2Φσ+lnxK公司+ rT+mσ！-Ke公司-rTΦlnxK公司+ rT+mσ！，对于σ，x∈ R+，m∈ R、 套期保值策略由πlSl（t）=Φ（β+（t）），πlB（t）=-Ke公司-rTΦ（β-（t） ），t∈ [T- l、 T）]。证据

取Z=（Sl（t）- K） +在定理4.1中，使用Ft=FSlt，t时期权的定价由vl（t）=e决定-r（T-t） EQl[（Sl（t）- K） +| Ft]=ertEQl[（Sl（T）-Ke公司-rT）+英尺]，t∈ [0，T]。根据定理2.2，我们有▄Sl（t）=e-rtSl（t）=θ（0）expZt{f（u，Slu-l）- r} du+Ztg（u，Slu-l） dW（u）-Ztg（u，Slu-l） 杜邦= θ（0）expZtg（u，Slu-l） dWl（u）-Ztg（u，Slu-l） 杜邦, t型∈ [0，T]，这意味着▄Sl（T）=▄Sl（T）exp（ZTtg（u，Slu-l） dWl（u）-ZTtg（u，Slu-l） du），t∈ [0，T]。22 FLAVIA SANCIER和SALAH MOHAMMEDHenceVl（t）=ertEQl“~Sl（t）exp（ZTtg（u，Slu-l） dWl（u）-ZTtg（u，Slu-l） du）-Ke公司-rT公司+英尺, t型∈ [0，T]。如果t∈ [T- l、 T]thenRTtg（u，Slu-l） du是Ft可测量的，所以当条件为Ft时，TTG（u，Slu）的分布-l） Qlis正态分布下的dWl（u），平均零和方差|σ：=RTtg（u，Slu-l） 杜。即RTtg（u，Slu-l） dWl（u）的分布与∑ξ的分布相同，其中ξ~ N（0，1）。由于￠Sl（t）是Ft可测量的，因此wehaveVl（t）=ertEQlSl（t）e-~σ+~σξ- Ke公司-rT公司+= ertHSl（t），-~σ, ~σ,式中▄H（x，m，σ）：=EQl[（xem+σξ- Ke公司-rT）+]，σ，x∈ R+，m∈ R、 从一个简单的计算中可以看出，H=H，如定理中所定义。因此，对于t∈ [T- l、 T]，Vl（T）=第Sl（t），-~σ, ~σ= Sl（t）Φ（β+（t））- Ke公司-r（T-t） Φ（β-（t） ）。（4.10）对于T>l和T<T- l我们有Vl（t）=ertEQl[（￠Sl（t）- Ke公司-rT）+英尺]=ertEQlhEQl[（￠Sl（T）- Ke公司-rT）+英尺-l]Fti=ertEQl“HSl（T- l） ，则，-ZTT公司-lg（u，Slu-l） du，ZTT-lg（u，Slu-l） 杜！英尺#。我们现在寻找最后一个延迟期内自融资策略πl=（πlB，πlSl）的clos e d形式表示。自πlis自融资以来，我们有DVLπl（t）=πlB（t）dB（t）+πlSl（t）dSl（t）=πlB（t）retdt+πlSl（t）{f（t，Slt-l） Sl（t）dt+g（t，Slt-l） Sl（t）dW（t）}={πlB（t）rert+πlSl（t）f（t，Slt-l） Sl（t）}dt+πlSl（t）g（t，Slt-l） Sl（t）dW（t）。（4.11）时间t的期权价格Vl（t）∈ [T- l、 T]由（4.10）给出，取决于（T），St-土地t。

自St-lis英尺-l-可测量t∈ [T-l、 （已知），我们可以把Vl（T）看作是T和Sl（T）的函数，即。Vl（t，Sl（t）），其中Vl（t，x）：=xΦ（β+（t，x））-Ke公司-r（T-t） Φ（β-（t，x）），t∈ [T- l、 T]，x∈ R、 （4.12）ME MORY 23Fro m（4.10）的期权定价模型，Vl∈ C1,2（[T- l、 T]×R，R），因此我们可以将广义It^o\'s公式（第92页，见[14]）应用于getdVl（T，Sl（T））=Vlt（t，Sl（t））+Vlx（t，Sl（t））f（t，Slt-l） Sl（t）+Vlx（t，Sl（t））g（t，Slt-l） Sl（t）dt公司+Vlx（t，Sl（t））g（t，Slt-l） Sl（t）dW（t）。（4.13）回想一下，我们有Vlπl（t）=V（t，Sl（t））。然后，通过表示（4.11）和（4.13）（Baxter[4]）的唯一性，我们必须得到t的唯一性∈ [T- l、 T]，πlSl（t）g（t，Slt-l） Sl（t）=Vlx（t，Sl（t））g（t，Slt-l） Sl（t），πlB（t）rert+πlSl（t）f（t，Slt-l） Sl（t）=Vlt（t，Sl（t））+Vlx（t，Sl（t））f（t，Slt-l） Sl（t）+Vlx（t，Sl（t））g（t，Slt-l） Sl（t）。（4.14）因此，由于g（t，Slt-l） ，对于所有t，Sl（t）>0∈ [T- l、 T]，因此πlSl（T）=Vlx（t，Sl（t）），t∈ [T- l、 T）]。通过简单的计算，我们可以证明Vlx（t，x）=Φ（β+（t，x）），t∈ [T- l、 T）]。这就完成了proo f。备注4.3。L etu，σ>0。如果f（t，η）=u且g（t，η）=σin（4.9），对于t∈ [0，T]，η∈ C类([-五十、 得到了经典的Black-Scholes模型。具有完整（有限）记忆的期权定价公式在本节中，我们介绍了第3节中介绍的股票动态的期权定价公式（作为条件预期）。函数f和G满足第3节的假设，此外，当η严格正时，存在一个常数gminsuch thatg（t，η）>gmin。（5.1）还假设所有t的Ft=fwt∈ [0，T]，其中（FWt）T∈[0，T]是由布朗运动W生成的过滤。考虑到不存在交易成本，并且可以持续按时买卖股票，我们得出以下定理。定理5.1。

设{B，S}是一个市场，对于固定的r≥ 0，B（t）=ert，t∈[0，T]，并且S由SFDE（3.1）描述，对于所有T，θ（T）>0∈[-五十、 每年0]。。考虑这个市场上的或有索赔Z。然后市场是完全的，Z的公平价格V由V（t）=e给出-r（T-t） 公式[Z | FSt]，t∈ [0，T]，其中Q由dQ=ρ（T）dP定义，ρ（T）由ρ（T）给出：=ex p(-ZT{f（t，St）- r} g（t，St）dW（u）-ZT公司{f（t，St）- r} g（t，St）du）。24 FLAVIA SANCIER和SALAH Mohammedth套期保值策略π=（πS，πB）由πS（t）=erth（t）S（t）g（t，St），πB（t）=e给出-rT{EQ[Z | FSt]- πS（t）S（t）}，t∈ [0，T]，其中h由m（T）=等式e给出-rTZ]+Zth（u）d^W（u），t∈ [0，T]。当索赔Z是在行使价格为K且到期时间为T的股票上书写的欧洲看涨期权的付款时，期权的公平价格为v（T）=ertEQ“~S（T）exp（ZTtg（u，Su）d^W（u）-ZTtg（u，Su）du）（5.2）-Ke公司-rT公司+英尺, t型∈ [0，T]。（5.3）证明。定义流程Xk（t）：=-{f（t，Skt-1/k）- r} g（t，Skt-1/k）和X（t）：=-{f（t，St）- r} g（t，St），t∈ [0，T]，对于任何正整数k。由于sk和S都是严格正的，因此这两个过程都得到了很好的定义。此外，Xkand X是连续的，且（Ft）t∈[0，T]-调整。从m（4.5）开始，我们有那个EP“exp（ZTXk（u）dW（u）-ZTXk（u）du）#=1。（5.4）我们还希望将Gir-sanov定理应用于过程X，即我们希望显示EP“exp（ZTX（u）dW（u））-ZTX（u）du）#=1。设h:[0，T]×L(Ohm, C）→ R为h（t，η）定义的函数：=-f（t，η）-rg（t，η），注意h是一致有界的：| h（t，η））|≤fmax+rgmin。确定流程{Yk}的顺序∞k=1bydYk（t）=h（t，Skt-1/k）Yk（t）dW（t），t∈ [0，T]Yk（T）=1，T∈ [-1.- 五十、 0），（5.5）具有唯一的非负解，满足yk（t）=expZth（u，Sku-1/k）dW（u）-Zth（u，Sku-1/k）du= 经验值ZtXk（u）dW（u）-ZtXk（u）du, t型∈ [0，T]。

（5.6）ME MORY 25的期权定价模型现在考虑过程（Y（t））t∈[0，T]定义人dY（t）=h（t，St）Y（t）dW（t），t∈ [0，T]Y（T）=1，T∈ [-五十、 0）。（5.7）序列Yk|[-五十、 0]在L中收敛到Y(Ohm, C类([-五十、 T]，R）和Y（T）是给定的nbyy（T）=expZth（u，Su）dW（u）-Zth（u，Su）du= 经验值ZtX（u）dW（u）-ZtX（u）du, t型∈ [0，T]。（5.8）这是定理3.2证明的一个特例。由于这种收敛和方程（5.4），它遵循t | EY（t）- 1 |=| EY（T）- EYk（T）|≤ E | Y（T）- Yk（T）|≤ E支持∈[0，T]| Y（T）- Yk（t）|→ 0 a s k→ ∞.这意味着EY（T）=1，orEP“exp（ZTX（u）dW（u）-ZTX（u）du）#=1。因此，Girsanov定理适用于过程X，因此^W（t）：=W（t）+Zt{f（u，Su）- r} g（u，Su）du，t∈ [0，T]是由dQ定义的度量Q下的维纳过程：=ρ（T）dP，其中ρ（T）：=ex p(-ZT{f（t，St）- r} g（t，St）dW（u）-ZT公司{f（t，St）- r} g（t，St）du）。设S（t）：=S（t）B（t）=e-rtS（t），t∈ [0，T]，（5.9）是贴现股价过程，定义S（T）：=Zt{f（u，Su）- r} du+Ztg（u，Su）dW（u），t∈ [0，T]。那么，It^o的公式意味着ds（t）=s（t）[（f（t，St）- r） dt+g（t，St）dW（t）]=~S（t）d^S（t），t∈ [0，T]。（5.10）最后，请注意，过程^S可以写成^S（t）=Ztg（u，Su）d^W（u），t的形式∈ [0，T]。（5.11）因此，^S是上的连续局部鞅(Ohm, F、 （Ft）t≥0，Q），并且通过（5.10），计算出的股价S也是一个连续的局部鞅(Ohm, F、 （Ft）t≥0，Q）。26 FLAVIA SANCIER和SALAH MOHAMMEDIn换句话说，Q是▄S的等效局部鞅测度。这意味着市场{B，S}满足无套利性质。请注意，Ft=F^Wt=FSt=FSt。

现在设Z为未定权益，并考虑Q鞅（t）：=等式[e-rTZ | FSt]=等式[e-rTZ | F^Wt]，t∈ [0，T]。然后根据鞅表示定理m，m（t）=等式e-rTZ]+Zth（u）d^W（u），t∈ [0，T]，其中h是（F^Wt）T∈[0，T]-可预测过程满足zt | h（u）| ds<∞ a、 定义交易策略π：=（πB，πs）乘以πs（t）：=h（t）~s（t）g（t，St），πB（t）：=M（t）- πS（t）~S（t），t∈ [0，T]。其价值过程由Vπ（t）=πB（t）ert+πS（t）S（t）=M（t）ert给出，这意味着所有t∈ [0，T]。然后我们得到了d▄Vπ（t）=dM（t）=h（t）d^W（t）=πS（t）▄S（t）g（t，St）d^W（t）=πS（t）d▄S（t），这意味着t{πB，πS}是一种自我约束策略。同样，V（T）=erTM（T）=erTEQ[e-rTZ | F^WT]=erTe-rTZ=Z，因为Z是F^WT可测量的。因此Z是可以实现的（因此市场是完整的）。然后为了使增广市场{B，S，Z}满足无轨道性质，在时间t时索赔Z的价格∈ [0，T]必须为v（T）=ertEQ[e-rTZ | FSt]=e-r（T-t） 公式[Z | FSt]。取Z=（S（t）- K） +并将股票价格设置为OREM 3.2中获得的解决方案，时间t时期权的公平价格由v（t）=ertEQ“-S（t）exp（ZTtg（u，Su）d^W（u）给出-ZTtg（u，Su）du）-Ke公司-rT公司+英尺, t型∈ [0，T]。备注5.2。期权定价公式（5.2）允许人们在股票动态如下（3.1）时，使用蒙特卡罗方法估计欧洲期权的公平期权价格。股票动力学（3.1）可以看作是一个具有完整有限记忆的广义计量布朗运动。一个有27个参考文献1的期权定价模型。Arriojas，M.、Hu，Y.、Mohammed，S.-E.、Pap，G.：延迟Black and Scholes公式，《随机分析与应用杂志》25（2007），第2期，471–492.2。Bachelier，L.：《高等师范学院科学年鉴》。3（1900），第17、21–86.3号。贝茨，D。

S、 ：测试期权定价模型，H andbook of Statistics 14（1996），567–611.4。巴克斯特，M.，伦尼，A.：《金融微积分-衍生品定价导论》，剑桥大学出版社，1996年5月。Black，F.，Scholes，M.S.：《期权定价与公司负债》，政治经济杂志81（1973），第3637-654.6号。Chang，M.-H。；Youree，R.K.：具有遗传结构的有限维Black-Scholes方程，应用数学与优化56（2007），395–424.7。Cox，J.，Ross，S.A.：《替代随机过程的期权估价》，《金融经济学杂志》第3期（1976），第1-2期，145–166.8。Engel，D.D.：《多重随机积分》，美国数学学会回忆录，265号，AMS，普罗维登斯，1982.9。Girsanov，I.V.：《关于用绝对连续替代测度变换一类随机过程的概率论及其应用》，V（1960），第3285–301.10号。Hobson，D.G.，Rogers，L.C.G.：《随机波动的完整模型》，MathematicalFinance 8（1998），27–48.11。Johnson，H.，Shanno，D.：《方差变化时的期权定价》，《金融与定量分析杂志》第22期（1987），第2期，第143–151.12页。Kazmerchuk，Y.I.，Swishchuck，A.V.，Wu，J.H.：《延迟响应证券市场期权的定价》，《模拟中的数学和计算机》，75（2007），第34期，69-79.13。Lee，M-K.，Kim，J-H.：《对常数E lasticityof方差模型的延迟随机容积修正》，数学应用学报，英文系列32（2016），第3611–622.14号。Kunita，H.：《随机流和随机微分方程》，剑桥大学出版社，1990.15。默顿，R.C.：《理性期权定价理论》，贝尔经济与管理科学杂志第4期（1973），第1141-183.16号。穆罕默德，S.-E。

A、 ：随机泛函微分方程，Pitman 99，波士顿伦敦-墨尔本，1984.17。Mohammed，S.-E.A.：《记忆随机微分系统：理论、实例和应用》，《概率进展》42（1998），1–77.18。Protter，P.《随机积分和微分方程-一种新方法》，SpringServerLag，柏林海德堡，1990.19。Samuelson，P.，权证定价的理性理论，工业管理评论6（1965），13–39.20。萨缪尔森（Samuelson），P.：《合理预期价格随机波动的证明》，《工业管理评论》第6期（1965），第41–49.21页。Scott，L.O.：《方差随机变化时的期权定价：理论、估计和应用》，《金融和定量分析杂志》第22期（1987），第4419–438.22号。Stoica，G.《随机延迟金融模型》，载《美国数学学会学报》133（2004），第6期，1837-1841年。Flavia Sancier：俄亥俄州黄泉市安提俄克学院科学部，邮编：45387，美国电子邮箱：fsancier@antiochcollege.eduURL: https://sites.google.com/a/antiochcollege.edu/fsancier/Salah穆罕默德：于2016年12月21日去世