时空分数扩散驱动的期权定价模型：

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收藏 2022-06-08

英文标题：
《Option Pricing Models Driven by the Space-Time Fractional Diffusion:
Series Representation and Applications》
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作者：
Jean-Philippe Aguilar, Jan Korbel
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
In this paper, we focus on option pricing models based on space-time fractional diffusion. We briefly revise recent results which show that the option price can be represented in the terms of rapidly converging double-series and apply these results to the data from real markets. We focus on estimation of model parameters from the market data and estimation of implied volatility within the space-time fractional option pricing models.
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中文摘要：
本文主要研究基于时空分数扩散的期权定价模型。我们简要修改了最近的结果，这些结果表明期权价格可以用快速收敛的双序列表示，并将这些结果应用于实际市场的数据。我们的重点是从市场数据中估计模型参数，以及在时空分数期权定价模型中估计隐含波动率。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Mathematical Finance 数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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Option_Pricing_Models_Driven_by_the_Space-Time_Fractional_Diffusion:_Series_Repr.pdf
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kedemingshi

2022-6-8 18:21:59

Article时空分割扩散驱动的期权定价模型：序列表示与应用Jean-Philippe Aguilar1，？，扬·科尔贝尔（Jan Korbel2,3,4）巴黎拉贝岛18号（quai de la Rée，Paris）建模部繁殖的大众银行（Banque Popularire），75012；jean-philippe。aguilar@bred.frVienna，奥地利复合科学中心维也纳，Josefst"adterstrasse 39，1080维也纳，布拉格捷克技术大学澳大利亚核科学与物理工程学院；korbeja2@fjfi.cvut。捷克*通信：jean philippe。aguilar@bred.frAcademic编者：名称版本2018年2月28日提交给Fractal Fract。摘要：本文主要研究基于时空分数扩散的期权定价模型。我们简要修改了最近的结果，这些结果表明期权价格可以用快速收敛的双序列表示，并将这些结果应用于实际市场的数据。我们的重点是从市场数据中估计模型参数，并在时空分数期权定价模型中估计隐含波动率。关键词：时空分数扩散、欧式期权定价、梅林变换、多维复杂分析71。引言8衍生工具的定价，尤其是期权的定价，是数学金融中的一个中心主题。它允许市场从业者估计其投资组合的价值，并构建适当的对冲策略。最流行的期权定价模型是Black和Scholes[]引入的模型，因为其简单（例如，期权价格可以用简单的数学函数表示），并且可以用来暗示市场参数，如交易市场价格的波动率曲面。14另一方面，Black-Scholes（BS）模型的简单性也是其主要局限性。

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nandehutu2022

2022-6-8 18:22:03

标的资产的动力学由几何布朗运动描述，因此最终的期权价格由高斯分布给出。这种假设不能很好地描述极端市场事件，例如资产价格的突然上涨，这种情况在高斯世界中发生的频率远远高于预期（例如，参见Taleb[]的畅销书）。这使得布莱克-斯科尔斯公式在异常情况或流动性不足的市场中不太可靠。20在过去几年中，引入了几种模型来更真实地描述市场动态；可以提到制度转换多重分形模型[]，随机波动率模型[]或跳跃（Lévy stable）过程[]。最近，引入了一种基于时空分数扩散的模型[，]，可以看作是Lévy稳定模型的推广；该模型的分析分辨率已在[]中以其定价公式的系列表示形式提供。在本文中，我们简要回顾了这些分析结果（尤其是他们是如何提交给分形分形的，第1-15页www.mdpi.com/journal/fractalfractarXiv:1802.09864v1[q-fin.MF]2018年2月27日版本2018年2月28日提交给分形分形。第2页，共15页恢复以前已知的模型），并测试其在实际市场应用中的效率。我们还讨论了货币近似或隐含波动率的相关主题。28本论文的组织结构如下。在下一节中，我们将介绍期权定价中的一些基本概念，以及在风险中性方法下可归结为时空分数扩散问题的主要模型。这包括BS模型（将经典模型简化为时空分数模型）。

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能者818

2022-6-8 18:22:06

在第4节中，我们介绍了理论结果的各种应用：我们计算了看涨期权价格并将其与实际数据进行比较，我们引入了货币波动率，并讨论了波动率微笑的构造。最后一节是结论。期权价格37提前到期的期权的价格是市场参数的函数，如潜在资产价格S、无风险利率r和市场波动率σ。我们将用v（S，K，r，σ，t）表示该价格。就欧式期权而言，其特点是其收益，即其在行权时的价值T；对于欧洲呼叫，该值等于v（S，K，r，σ，T）=max{S- K、 0}：=[S- K] +（1）[K- S] +即确定V（S，K，r，σ，t）的方法。392.1. 风险中性方法40风险中性或无风险方法基于这样一个想法，即可以构建一个投资组合并销售一定数量的产品（待确定）基础价格，因此投资组合的总价值为∏=V- 因此：d∏=dV- dS（2）另一方面，假设市场不提供套利机会，也就是说，任何无风险投资组合的收益率将与以无风险利率资本化的收益率相同：d∏=r∏dt（3）（2）（3）解一个具有终端条件的偏微分方程。42从更理论的角度来看，在风险中性方法中，价格可以表示为最终收益的贴现预期[20]：V（S，K，r，u，τ）=e-rτEQ[S]- K]+（4）其中，我们引入了到期时间τ=T- t、这些期望值将在风险中性测量值下进行，该测量值与原始概率测量值通过Radon-Nikodym导数进行关联：dQtdPt=eSt-ut（5）风险中性参数u可以表示为u=-log EPheSt=1i（6）版本2018年2月28日提交给Fractal Fract。

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mingdashike22

2022-6-8 18:22:09

[10,13]中提供了15个详细信息中的3个。432.2. Black-Scholes模型44在BS模型中，基础资产价格假设为几何布朗运动：dSt=r Sdt+σS dWt（7）。根据It^o引理[19]，期权价格的总差为：dV=五、tdt公司+五、SdS+σS五、Sdt（8） =五、第（7）（2）（3）条五、t+σS五、S+rS五、S- rV=0吨∈ [0，T]V（S，K，r，σ，T=T）=[S- K] +（9）众所周知，随着变量的变化x：=对数S+（r-σ） ττ：=T- tV（S、K、r、σ、t）：=e-rτW（x，K，r，σ，τ）（10）然后Black-Scholes PDE（9）恢复到扩散（或热）方程Wτ-σWx=0（11），这是时间分馏度γ=1，空间分馏度α=2的双分数扩散（22）的特例。众所周知，（11）的格林函数是热核（x，K，r，σ，τ）=σ√2πτe-x2στ（12）Black-Scholes PDE的解（在调用情况下）：V（S，K，r，σ，τ）=e-rτ+∞Z-∞[Se（r-σ） τ+y-K] +g（y，K，r，σ，τ）dy（13）对积分（13）的基本操作屈服值v（S，K，r，σ，τ）=SN（d+）- Ke公司-rτN（d-) d±=σ√τlogSK+rτ±σ√τ（14），其中（.）是正态分布函数；方程式（14）是著名的布莱克-斯科尔斯欧式足球方程式。因此，相应的风险中性参数为uBS=-σ（15）版本2018年2月28日提交给分形分形。第4页，共152.3页。

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大多数88

2022-6-8 18:22:12

有限矩Lévy稳定模型45stdst=rStdt+σStdLα，β（t）（16），其中Lα，β（t）是Lévy过程[]。α ∈ [0，2]和β∈ [-1，1]是所谓的稳定性和不对称性，α，β（xt）β=-分布α，-1： =gα在负轴上有一条重尾，在正轴上有另一条尾，一旦α>1，则指数衰减，并且有限的指数动量-λSti=e-λασ√αcosπα（17）这些特殊的Lévy分布有时被称为Lévy Pareto分布；自20世纪60年代曼德尔布罗特（Mandelbrot）和法玛（Fama）的工作以来，人们就知道它们在金融建模中的相关性[，]。已知它们满足空间分数方程：gα（x，t）τ+uDαgα（x，t）=0（18），其中Dα：=α-2Dα是θ=α的Riesz-Feller算子（24）的特例-2、条件θ=α-2是概率条件β=-注意，当α=2时，方程（18）退化为简化的BS方程（11）；相应的看涨期权价格为nVα（S，K，r，u，τ）=e-rτ+∞Z-∞[Se（r+u）τ+y-K] +gα（y，τ）dy（19），其中风险中性参数u来自（17）：u=σ√αcosπα（20）u=-σα=以买入价格（19）方程（18）的快速收敛级数表示形式在[]中提供（见[16]）：如果x>0，则gα（x，τ）=αxc+i∞Zc公司-我∞Γ(1 - t） Γ（1-tα）x(-uτ)α!tdt2iπ0<c<1（21）2.4。时空期权定价模型46，可表示为*Dγt+u[θDαx]g（x，t）=0（22）版本2018年2月28日提交给分形分形。第5页，共15页α∈ (]γ ∈ (α]θ|θ| ≤ 最小值{α，2-α}.*Dγt表示Caputo分数导数，定义为*tDνtf（t）=Γ（dνe- ν） Zttfdνe（τ）（t- τ)ν+1-dνedτ（23）和θdαxdenotes Riesz-Feller分数导数，通常通过其傅里叶图像asF[θdνxf（x）]（k）=-θψν（k）F[F（x）]（k）=-u| k |νei（signk）θπ/2F[f（x）]（k）（24）让我们描述（22）中包含的各种财务模型。

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mingdashike22

2022-6-8 18:22:15

FMLS模型虽然比BS模型更通用，但仍然可以被视为限制性太强；这是因为最大β=-θ = α -市场（尤其是非流动性市场，其中金融资产通常表现出几乎对称的重尾）。然而，由于β6=-1已知期望值（6）存在分歧[]。风险中性参数isLévy过程的事实。在这种情况下，引入了风险最小（而非风险中性）方法（见[]）；推广FMLS模型并保持在风险中性框架内的一个有趣的可能性是，允许时间导数在等式（18）中也是分数的（在Caputo意义上）：*Dγtgα，γ（x，t）+μγ[2-αDα]gα，γ（x，t）=0（25）相应的看涨期权价格现在读取svα，γ（S，K，r，uγ，τ）=e-rτ+∞Z-∞[Se（r+uγ）τ+y-K] +gα，γ（y，τ）dy（26）格林函数也以梅林-巴恩斯线积分的形式已知[16]：gα，γ（x，τ）=αxc+i∞Zc公司-我∞Γ(1 - t） Γ（1-γαt）x(-uγτ)α!对于anyx>0，tdt2iπ0<c<1（27）。与利维稳定价格（19）的主要区别在于，风险中性参数uγ现在取决于时间分馏度γ，与利维稳定情况（20）中的分析结果不同。在[]中，推导出了风险中性参数的有效且简单的级数展开式，以及看涨期权价格的快速收敛级数展开式（26）。在下一节中，我们将详细讨论这些结果，并在实际市场条件下对其进行测试。513.时空分数扩散下定价公式的级数表示52现在，让我们为分数扩散驱动的看涨期权提供一个分析定价公式（25）（详细证明见[3]）。我们假设1<α≤ 2和0<γ≤ α.543.1.

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kedemingshi

2022-6-8 18:22:18

风险中性参数55（6）概率密度gα，γ（y，τ），即：μγ=-日志∞Z-∞eygα，γ（y，τ=1）dy（28）版本2018年2月28日提交给分形分形。第6页，共15页，可通过书写（详见[12]）：gα，γ（x，τ）将计算恢复到非时间分数情况=∞Zgγ（τ，l）gα（l，x）dl（29），其中gγ和gθα是单个分数阶扩散方程的解56gγ（t，l）l=*Dγtgγ（t，l）（30）gα（l，x）l=Dαxgα（l，x）（31）3.1.1。风险中性参数57的梅林-巴恩斯表示已知卡普托方程（30）的解为【11】：gγ（τ，l）=τγMγlτγ（32）其中Mν（z）是Wright类型的函数，允许以下Mellin-Barnes表示[17]：Mν（z）=c+i∞Zc公司-我∞Γ（s）Γ（νs+1-ν） z-sds2iπc>0。（33）在（28）中插入（29）和（33），在积分中间插入（17），我们获得了风险中性参数的Mellin-Barnesrepresentation：μγ=-日志αc+i∞Zc公司-我∞Γ（s）Γ（1-sα）Γ（γs+1-γ） us-1αds2iπ0<c<1。（34）其中u=σ√αsecπα是Lévy稳定情况下的风险中性参数（γ=1），参见公式（20）。583.1.2. 风险中性参数的级数表示59在被积函数在单位时间内快速下降的条件下，可以将垂直线（34）上的积分表示为其分析连续性的剩余值之和。对于Gammafunction，该条件由著名的斯特林近似[1]Γ（x+iy）确定~|x个|→∞|y型|→∞√2π| y | x-e-π| y | x，y∈ R（35）由（35）得出，对于Γ（as+b）型线性变元的伽玛函数，a，b∈ R、其在实际中的行为取决于a的符号，即：a>0 |Γ（as+b）| s|→∞-→ 0参数s∈ (3π, -π） a<0 |Γ（as+b）| s|→∞-→ 0参数s∈ (-π、 π）（36）版本2018年2月28日提交分形分形。第7页，共15页（36页），很容易推广到线性变元伽马函数乘积的比率。

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大多数88

2022-6-8 18:22:21

让我们假设函数f允许梅林变换f*形式：f*（s） =Γ（as+b）。Γ（ans+bn）Γ（cs+d）。Γ（cms+dm）aj、bj、ck、dk∈ R（37）和Mellin变换收敛于一些非空条{Re（s）∈ （c，c）}，所以梅林反演公式成立：f（x）=c+i∞Zc公司-我∞f*（s） x个-sds2iπc∈ （c，c）（38）介绍特征量: =n∑j=0aj-m级∑k=0ck（39）从（36）可以得出控制f的渐近行为*（s） : > 0 | f*（s） | | s|→∞-→ 0参数s∈ (3π, -π) < 0 | f*（s） | | s|→∞-→ 0参数s∈ (-π、 π）（40）因此，将留数定理应用于反演公式（38）得出： > 0 f（x）=∑Re（s）<cResf*（s） x个-s < 0 f（x）=-∑Re（s）>cResf*（s） x个-s（41）其中{Re（s）>c}或{Re（s）<c}的选择由| x|-在所选的半平面内，sgoes为0。在梅林-巴恩斯表示（34）的情况下，特征量为 = 1.-α- γ（42）且当γ>1时为负值-α（43）根据规则（41），可以将（34）表示为右半平面中的残留物之和（我们之所以选择它，是因为us-当|u|<1时，该半平面中的1α在单位处变为0，这是所有Γ（1）中的情况-sα）每个负整数值-nof它的参数，即在类型的每一点=+αn，n∈ N众所周知，伽马函数在负整数处的余数-nis公司(-1） nn！[]，因此我们得到：μγ=-日志∞∑n=0(-1） nΓ（1+αn）n！Γ（1+γαn）un（44）版本2018年2月28日提交给分形分形。第8页，共15页图1。在第一张图中，我们绘制了不同稳定性参数α下μγ随γ函数的演变∈ [1.6，1]和市场波动率σ=20%。我们只考虑γ>0.38，因此条件γ>-αuγ市场波动率和稳定性参数。，对于不同的分馏度γ值。一旦条件（43）完全满足。

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大多数88

2022-6-8 18:22:24

（44）的一个有趣近似值可以很容易地从泰勒近似对数（1+u）“u:61uγ=-日志1.-Γ(1 + α)Γ(1 + γα)u+ . . .\'Γ（1+α）Γ（1+γα）u（45），如预期，当γ=1时，与Lévy稳定风险中性参数u一致。作为一种特殊情况，我们获得了分数Black-Scholes模型（α=2）中风险中性参数的良好近似值：uγ\'-σΓ（1+2γ）（46），恢复到众所周知的高斯参数-σ当γ=1.62时，在图1中，我们绘制了u随参数γ、σ和α的变化曲线；由于序列（44）的指数收敛性，只需考虑序列的前几项即可获得高精度。653.2. 期权价格66[对数]：=logSK+rτ（26）写入：[Se（r+uγ）τ+y-K] +=K[e[对数]+μγτ+y-1]+(47)3.2.1. 期权价格的梅林-巴恩斯表示67（26）（26）格林函数的梅林-巴恩斯表示（27）；第二，我们在（47）中为指数项写了一个梅林-巴恩斯表示：e[对数]+μγτ+y=c+i∞Zc公司-我∞(-1)-tΓ（t）（[对数]+μγτ+y）-tdt2iπc>0（48）版本2018年2月28日提交给分形分形。15绿色变量上的积分是Bêta积分的一种特殊情况，它是向前计算的，可以得到期权价格的表示：Vα，γ（S，K，r，uγ，τ）=Ke-rταc+i∞Zc公司-我∞c+i∞Zc公司-我∞(-1)-tΓ（t）Γ（1- t） Γ(-1.- t+t）Γ（1-γαt）×(-[日志]- uγτ）1+t-t型(-uγτγ)-tαdt2iπ∧dt2iπ（49）向量c：=[c，c]是c多面体的一个元素：={（t，t）∈ C、 0<Re（t）<1，Re（t-68t）>0}，推广了一维梅林变换收敛条的概念。693.2.2. 期权价格的级数表示70双Mellin-Barnes积分（49）也可以表示为余数之和。在一个类似的例子中，我们对风险中性参数进行了计算，其中积分（34）是通过对余数进行右加和来获得序列（44）。

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mingdashike22

2022-6-8 18:22:27

在二维中，该过程将toa求和推广到由与被积函数相关联的特征向量确定的子区域ofC。引入的残数通过Cauchy公式的二维模拟计算：Resf（t，t）dt2iπt∧dt2iπt= f（0，0）（50）[，]中引入了该程序。也就是说，特征量（39）推广到非特征向量，在双Mellin-Barnes积分（49）的情况下 =\"-1+γα#（51）规则（41）推广了tof（x，x）=∑[t，t]∈ΠReshf公司*（t，t）x-德克萨斯州-ti（52），其中∏是Cde的子集，由∏定义=nt：=[t，t]∈ C、 Re公司(.s） <R e(.c） o（53）ReCΠ线下Re（t）=（1-γα）（R e（t）- c） +c（54），其斜率为正，因为根据假设γ≤ α. 在这个地区，极点来自函数Γ(-- t+t）和Γ（t），它们在参数的每个负整数值处都是奇异的（见图2）。73根据奇点[]附近Gamma函数的奇异行为和Cauchy公式（50），我们得到了双分数模型下的买入价格序列：Vα，γ（S，K，r，uγ，τ）=Ke-rτα∞∑n=0m=1(-1） nn！Γ(1 - γn-mα）(-[日志]- uγτ）n(-uγτγ）m-nα（55）该计算的全部细节可在[3]中找到。74版本2018年2月28日提交给Fractal Fract。第10页，共15页图2。有助于评估双Mellin-Barnes积分的残留物（49）。4、应用75让我们讨论一下时空分数期权价格级数公式的几种应用。我们证明了它可以用来估计期权价格的市场参数。与其他方法（梅林-巴恩斯表示法、数值模拟法等）相比，期权价格的计算速度非常快。我们还简要讨论了隐含波动率的应用。794.1.

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mingdashike22

2022-6-8 18:22:31

看涨期权价格80当我们在双系列（55）中为then（resp.m）和取上界时，我们剩下的是一个简单系列，它的-（resp.n）部分和很快收敛到期权价格（参见图3，其中参数为3800，K=4000，r=1%，σ=20%，α=1.7，γ=0.9）。我们可以观察到m-和的收敛是单调的，而n-和围绕最终价格振荡。84图3。双分数看涨期权价格序列m和n部分和的收敛性。在图4中，我们研究了期权价格（55）在不同参数作用下的演变。在第一张图中，我们将x=3800，K=4000，r=1%，σ=20%，并绘制不同稳定性参数α下γ价格影响函数的演变∈ [1.5, 2]; 我们选择只考虑γ>0.33 soγ>-时间分馏度的α函数。在图2中，我们让α在1和2之间变化，并注意到当γ≤1那么价格总是稳定性的递减函数，而当γ>1时，价格可能达到最大值。在图3（分别为4）中，我们绘制了期权价格在不同时间分馏度γ下随现货价格（分别为市场波动率σ）变化的曲线，固定稳定性α=1.7；请注意，正如预期的一样，价格始终是现货和价格的单调（增长）函数。结果显示在表中。1，取自【13】。96版本2018年2月28日提交给Fractal Fract。第11页，共15页，表1。时空分式模型。对所有期权进行了估算，并分别对看涨期权和看跌期权进行了估算。我们看到，对于这种情况，γ非常接近1，这并不是从参考文献中得到的。

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何人来此

2022-6-8 18:22:35

[13] 而且，可以在那里找到有关估计的更多细节。所有期权参数Black Scholes Lévy稳定双分数α-1.493（0.028）1.503（0.037）γ-1.017（0.019）σ0.1696（0.027）0.140（0.021）0.143（0.030）AE 8240（638）6994（545）6931（553）调用期权参数Black Scholes Lévy稳定双分数α-1.563（0.041）1.585（0.038）γ-1.034（0.024）σ0.140 021）0.118（0.026）0.137（0.020）AE 3882（807）3610（812）3550（828）卖出期权参数Black-Scholes Lévy稳定双分数α-1.493（0.031）1.508（0.036）γ-1.047（0.017）σ0.193（0.039）0.163（0.034）0.163（0.037）AE 3741（711）3114（591）2968（594）4.2。隐含波动性97隐含市场波动性的过程包括发现波动性σA模型驱动期权价格与可观察价格C一致，即当nv（S，K，r，σI，τ）=C（56）时，一个典型的程序是隐含Black-Scholes波动性（通过使用Black-Scholes公式计算价格并通过数值方法求解（56），如牛顿-拉斐逊算法，请参见分析序列（55），可以暗示市场波动，并与高斯波动进行比较。1014.2.1. 在货币波动率102时，当资产处于“货币远期”状态时，即当ns=Ke-rτ（57）那么Black-Scholes公式[5]V（S，K，r，σ，τ）存在近似值√2πσ√τ（58），因此隐含波动率方程（56）的解为σI\'CSr2πτ（59），版本2018年2月28日提交给分形分形。

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可人4

2022-6-8 18:22:38

第12页，共15页图4。在各种参数（时间分馏性参数γ、稳定性参数α、资产（现货）价格和市场波动率σ）的作用下，双分数买入价格的演化。α=（57）[对数]=定价公式（55）变成幂级数（即，只有uγ和τ的正幂）：V2，γ（S，K，r，u，τ）=S“Γ（1+γ）p-uγτγ+O(-uτγ）#（60）使用风险中性参数uγ=-σΓ（1+2γ）（61）在幂级数（60）的一阶项中，我们获得了隐含的分数Black-Scholes波动率（在ATM远期情况下）：σI’2CSΓ（1+γ）rΓ（1+2γ）τγ（62）（59）γ=1（回想一下Γ（）=√π). 在图5中，我们绘制了公式（62）在到期时间τ=1.027和各种行权和看涨期权价格（见表2中的市场数据）的γ函数中的演变。105图5。双分数Black-Scholes模型的货币隐含波动率是时间分数γ的函数。版本2018年2月28日提交给Fractal Fract。第13页，共154.2.2页。波动率Smile106在表2中，我们提供了标普500指数看涨期权的可观察市场买入（报价）价格，2008年底交易了几个行使（行使）价格，报价日期=2008年11月3日，到期日期=2009年1月17日（来源：eurexchange.com）。我们计算了各种时间分数的隐含Black-Scholes波动率和隐含分数Black-Scholes波动率。它们是通过将级数（55）截断为n，m=4和参数μγ的近似值（46）获得的。111表2。

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能者818

2022-6-8 18:22:42

标准普尔500指数看涨期权的隐含波动率罢工看涨价格BS vol f-BS vol（γ=0.8）f-BS vol（γ=0.9）f-BS vol（γ=1.1）900 118.9 0.4708 0.3163 0.3827 0.5900940 92.7 0.4462 0.3066 0.3670 0.5330980 69.5 0.4232 0.2929 0.3493 0.52101020 49.2 0.3976 0.2754 0.3284 0.48911060 32.3 0.3711 0.2557 0.3058 0.45741100 19.5 0.3475 0.2380 0.2857 0.41861150 8.9 0.3279 0.2269 0.2727 0.39381180 5.10.3301 0.2324 0.2789 0.37641220 2 0.3514 0.2514 0.3015 0.36921280 0.25 0.4110 0.2949 0.3544 0.4166 in fig 6我们绘制了表2中获得的0.8的隐含波动率≤ γ ≤1.1. 我们观察到，通常的波动率微笑（即现货价格附近存在一个最小值）得以保持，但当γ>1时，波动率微笑就不那么平滑了。有趣的是，当γ≤1，对于相同的执行价格（与γ无关），可获得最小的隐含波动率。115图6。分数Black-Scholes模型的隐含波动率，（市场价格S=966.3）5。结论116本文讨论了时空分数扩散在期权定价中的应用及其与Black-Scholes模型和有限矩Lévy稳定模型的关系。基于分数扩散的模型能够对风险再分配进行建模，以纳入大幅度下降、记忆效应和异常周期。我们简要介绍了上述所有模型，并基于期权价格和剩余总和股份有限公司的Mellin Barnes积分表示进行了描述。这种数学技术可以克服分数模型的技术困难，这是因为最终价格通常用积分变换（傅立叶、拉普拉斯、梅林）表示，而实际计算非常耗时，只有受过分数阶微积分培训的人才能理解。

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nandehutu2022

2022-6-8 18:22:45

2018年2月28日提交给Fractal Fract的任何版本都可以轻松掌握由此产生的系列表示。15名金融从业者中的14名。我们还将这些公式应用于真实金融数据，以证明真实数据中的模型参数、隐含波动率的应用以及波动率微笑的存在。分数模型为金融系统的进一步研究提供了一个富有成果的领域，包括投资组合管理、衍生品定价、商品定价和许多其他可能的应用。边界条件。在某些情况下，例如在分数几何布朗运动的情况下，它将在未来的研究中得到解决。135致谢136捷克科学基金会，批准号17–33812L。M.Abramowitz和I.Stegun，《数学函数手册》。多佛出版社（1972年）。1402.J.-Ph.Aguilar，C.Coste，J.Korbel，《非高斯分析期权定价：利维稳定模型的闭合公式》，2017年，arXiv:1609.00987，提交给暹罗金融杂志1423。J、 -Ph.Aguilar，C.Coste，J.Korbel，《通过时空分数扩散驱动的欧式期权定价公式的系列表示》，2017年，arXiv:1712.04990，提交给FCAA1444。F、 Black和M.Scholes，《期权定价和公司负债》，1973年，《政治经济学杂志》，第5期。M、 Brenner和M.G.Subrahmanyam，《Black-Scholes模型中期权估值和对冲的简单方法》，1994年，《金融分析师杂志》，25-281486。J、 -Bouchaud博士和D.Sornette博士，《数学金融中的Black-Scholes期权定价问题：一大类随机过程的推广和扩展》，1994年，J.Phys。I法国，4863–8811507。五十、 Calvet和A.Fisher，《多重分形波动率：理论、预测和定价》。学术出版社AdvancedFinance，Elsevier（2008）。P.Carr和L。

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大多数88

2022-6-8 18:22:48

吴，有限矩对数稳定过程与期权定价，J.Finance（2003），753–778；内政部：10.1111/1540-6261.00544.1549。E、 F.Fama，《股票市场价格行为》，商业杂志，1965年，38，34–10515510。H、 Gerber，U.Hans和E.Shiu，《Esscher Transforms期权定价》，高等商学院（1993）15711。R、 Goren Flo，Yu。卢奇科。和F.Mainardi，《Wright函数的分析性质和应用》，Fract。计算应用程序。肛门。2，第4号（1999年）。383–41415912.H、 Kleinert和V.Zatloukal，《双分数福克-普朗克方程的格林函数：路径积分和随机微分方程》。物理。修订版。E（2013），论文编号052106；doi:10.1103/PhysRevE。88.052106.16213.H、 Kleinert和J.Korbel，基于双分数扩散的Black-Scholes期权定价。Physica 449（2016），200–214；内政部：10.1016/j.physa。2015.12.125.16414.不同的顺序。压裂。计算应用程序。肛门。19，第6号（2016），1414–1433；doi:10.1515/fca-2016-0073；16615.S.L.Heston，具有随机波动性的期权的闭式解，应用于债券和货币期权。修订版。财务研究。6，No 2（1993），327–343；内政部：10.1093/rfs/6.2.327.16816。F、 Mainardi，Yu。Luchko和G.Pagnini，时空分数扩散方程的基本解。压裂。计算应用程序。肛门。4，No 2（2001），153–192.17017。《调查》，国际微分方程式2010（2010），论文编号：104505；内政部：10.1155/2010/104505.17218。B、 Mandelbrot，《某些投机价格的变化》，《商业杂志》，1963年，第36394-41917319页。B、 Oksendal，《随机微分方程：应用简介》，2000年，Springer（第5版）。17420.N.Privault，《随机金融》，Chapman&Hall，2014175版本2018年2月28日提交给分形分形。第15页，共1521.22页。P、 Tankov和R。

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能者818

2022-6-8 18:22:51

Cont，《带跳跃过程的金融建模》，Chapman&Hall/CRC FinancialMathematics系列，Taylor&Francis（2003）。M.Passare、A.Tsikh和O.Zhdanov，一个多维Jordan剩余引理及其在Ellin-Barnes积分中的应用。In：对复杂分析和解析几何的贡献。数学方面26。Vieweg+Teubner Verlag，威斯巴登（1994），233–241；内政部：10.1007/978-3-663-14196-9\\U 8.18124。M、 Passare，A.Tsikh和A.A.Cheshel，多重Mellin-Barnes积分作为具有多个模量的Calabi-Yau manifolds的周期，定理。数学物理。109，No 3（1997），1544-1555；内政部：10.1007/BF02073871.18325。P、 Wilmott，Paul Wilmott论量化金融，Wiley&Sons，2006.18426。五、 M.Zolotarev，《一维稳定分布》，1986年，美国数学学会。185摄氏度2018年由作者完成。提交给分形分形。根据知识共享署名（CC BY）许可证的条款和条件进行可能的开放获取发布(http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/).188

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