然而，在KL方法中，我们在同一时刻减少了价差头寸和整体多头头寸。当参考模型接近低维支撑时，最坏情况模型下的鲁棒最优效果最为显著。低维支持意味着协方差矩阵没有满秩。从实际的角度来看，风险资产中存在一个非零组合的无风险投资组合。在这种情况下，存在风险接近于零但超额回报率较高的套利机会。参考模型下的最优投资组合可能是不切实际的乐观，即套利机会可能会在模型风险面前消失。图5示出了具有高相关性的两种证券的示例。在参考模型下，夏普比率（超额收益与风险线的斜率）随相关系数快速增加，如图6中的虚线所示。这是由于在价差中采取了过多的头寸（做多一个具有较高的夏普比率，做空另一个）。从图6可以清楚地看出，基于Kullback-Leibler散度的方法无法系统地解决这个问题。事实上，当相关性增加时，最坏情况下的资本市场线更接近名义线。另一方面，瓦瑟斯坦方法确实提供了一个更合理的调整。瓦瑟斯坦（Wasserstein）方法给出的稳健资本市场线与名义直线的相关性越来越大。这种差异是其改变参考度量支持度的能力的直接结果。KL方法无法改变支持。因此，参考度量下的虚假套利关系可能在最坏情况度量下持续存在。

另一方面，Wasserstein方法通过将支持转换为不同的向量子空间，打破了表面上的套利机会。4.5动态套期保值中的模型风险套期保值误差通过动态套期保值期权的绝对盈亏（PnL）来衡量，直至其到期。以Black-Scholes模型为参考模型，套期保值风险随着套期保值频率的增加而降低。理想情况下，如果对冲是连续进行的，那么对冲误差几乎肯定为零。即使在替代措施下也是如此，只要它们与参考模型等效。根本原因是，在所有等效度量下，二次变化都不会改变。事实上，如果我们考虑几何布朗运动：dSt=uStdt+σStdWt（56），几乎可以肯定二次变化[lns]t=Rtσsds。因此，该方程在所有等效度量下均成立。考虑到期权t=C（t，St）的Black-Scholes价格，时间0到t之间的连续对冲投资组合的PnL为Ztdct-ZT公司计算机断层扫描StdSt=ZT计算机断层扫描tdt+St计算机断层扫描标准【ln S】t= 0（57），其中最后一个等式来自Black-Scholes偏微分方程。由于任何f-散度都只能搜索等价的替代度量，因此这些方法给出的最坏情况下的套期保值误差在连续套期保值频率上必须为零。可以想象，随着套期保值频率的增加，最坏情况下的套期保值风险降低到零（图7（b））。然而，这与从业者对风险管理的要求不一致。事实上，如果标的资产的波动性与名义波动性不同，则等式57不再存在。这种波动性不确定性是对冲风险的主要来源，因此必须进行适当的测量和管理。

最直接的方法是假设波动率分布，然后运行蒙特卡罗模拟来量化对冲误差（图7（a））。图7：（a）KL分歧下的最坏情况对冲风险，以及（b）通过随机抽样波动率模拟的对冲风险。尽管简单，波动率抽样是一种参数方法，因为它只能生成具有不同参数的替代Black-Scholes模型。这种方法无法考虑局部波动率模型或随机波动率模型等备选方案。这需要一种非参数方法，该方法依赖于等式6中给出的公式。我们已经看到，使用基于f-分歧的方法无法正确量化对冲风险。另一方面，Wasserstein方法没有这个问题，因为它能够搜索非等效度量。使用蒙特卡罗模拟，我们获得了瓦瑟斯坦方法下最坏情况下的对冲风险（见图8）。与基于KullbackLeibler散度的方法（图7（b））相比，Wasserstein方法给出的对冲风险更符合使用波动率抽样的模拟结果（图7（a））。在连续对冲的限制下，Wasserstein方法产生的最坏情况风险略高于波动率抽样，因为它可能涉及无法对冲的跳跃。图8：（a）瓦瑟斯坦方法下的最坏情况对冲风险。实际上，Wasserstein方法需要一些技巧，因为在有限维路径空间内完全采样是不可能的。因此，仅对接近采样路径的路径（在参考度量下）进行采样，因为备选路径的重要性随其到这些采样路径的距离呈指数衰减。该点如图所示。

9（a），其中备选路径由靠近标称采样路径（点）的交叉点表示。通过增加备选路径到标称路径的平均距离，对冲风险会增加直至收敛（图9（b））。图9：（a）瓦瑟斯坦方法生成的样本路径，（b）最坏情况对冲风险的收敛性。这里我们列出了最后一段中描述的蒙特卡罗模拟程序：1。从参考模型2创建N个示例路径。对于每个采样路径，通过使用正态分布随机变量N（0，σ）3偏离XT来创建M个采样路径。收集所有M N条样本路径和原始N条路径，路径空间中有N（M+1）个点。计算N（M+1）条路径中每一条路径的套期保值误差。4、应用公式21计算每条路径的最坏情况概率，其中d（X，Y）=[X- Y）]。为了确定（最坏情况）对冲风险，我们对所有n（M+1）条路径的对冲误差进行平均，并根据其最坏情况概率进行加权。6、用较大的σ重复步骤2-5。继续增加偏差，直到计算出的对冲风险收敛（图9（b））。5结论模型风险度量的非参数方法在理论上是合理的，在实践上是可行的。采用Wasserstein距离可以进一步扩大合法措施的范围，而不仅仅是绝对连续的措施。这一Wasserstein方法植根于最优运输理论，非常适合于模型风险的高级解释。特别是，它规定了具有参数化实际市场结构能力的竞争对手的经济真实性。Wasserstein方法可能会产生更稳健的最坏情况模型，因为它不再受参考度量支持的限制。

当参考度量仅由子空间支持时（例如，差异过程的波动性或完全相关资产的价格），这一点尤其有用。由于这种方法能够保证可集成性，因此它具有额外的实际优势。为了进一步说明Wasserstein方法，我们介绍了四种应用，从单资产差异风险和对冲风险到多资产配置问题。所有应用程序都是连接在一起的，因为它们的引用度量（referencemeasures）仅由一个子空间支持（或接近）。在单资产差异风险的例子中，我们考察了小差异的极限，即当到期时间接近于零（或波动率接近于零）时。Wassersteinapproach能够跳出扩散过程家族，并解释了跳跃的可能性。在投资组合方差风险的应用中，Wasserstein方法为我们提供了由线性映射引起的最坏情况度量，从而改变了支持度。在处理资产配置问题时，它处理多资产问题的优势更加明显，在资产配置问题中，theWasserstein方法考虑了相关风险。这种方法产生了稳健的均值-方差最优投资组合，该投资组合根据资产的相关性调整资产的相对权重。它产生了一条弯曲的资本配置线，夏普比率在较高的标准偏差或较高的资产相关性上减少了较大的金额。最终应用与普通期权的对冲风险相关。f-分歧无法量化与持续对冲头寸相关的风险，因为其损益几乎肯定为零。另一方面，Wasserstein方法会导致正面的对冲错误，因此对模型风险的评估更为现实。

总之，Wasserstein方法为旨在管理风险和优化模型模糊头寸的从业者提供了一个有用的工具。6附录6.1 A.公式15的推导在本部分中，我们推导公式10-12所表示问题的公式15的解。为简单起见，我们用γX（y）表示跃迁密度pY | X（y | X）：=γ（X，y）/p（X）。这将问题转化为上γx∈ΓZOhmp（x）ZOhmγx（y）V（y）dydx（58）s.t.ZOhmp（x）ZOhmγx（y）c（x，y）dydx公司≤ η，其中Γ是概率密度函数的空间。凸优化中的Karush-Kuhn-Tucker（KKT）条件确保了KKT乘数λ的存在，从而等式58的解也可以解出SUPγx∈ΓZOhmp（x）ZOhmγx（y）[V（y）- λc（x，y）]dydx（59）式59的解是δ-函数跃迁密度γ*x（y）=δ（y- y*（x） ），导致运输计划γ*（x，y）=p（x）δ（y- y*（x） ）（60）其中*（x） =arg最大值∈Ohm[V（y）- λc（x，y）]（61）模型风险问题的解决方案由运输计划（等式60）或运输地图（等式61）表示。值得注意的是，λ=0是一个我们将不考虑的普通情况。为了与公式21的主要结果一致，我们将λ替换为其逆β=λ-1： y型*（x） =arg最大值∈OhmV（y）-c（x，y）β（62）6.2 B.公式21和25的推导公式。21是由等式10-12和附加熵约束等式16所形成的问题的解。如附录A所示，我们介绍了KKT乘数λ和α。

这将原始约束上确界问题转换为以下对偶问题（与附录A中相同，我们用γx（y）表示跃迁密度）：infβ，θ∈R+supγZOhm×Ohmγ（x，y）（V（y）- λ[c（x，y）- η] - α[lnγ（x，y）- u]）dxdy（63）=infβ，θ∈R+ZOhmp（x）dxsupγxZOhmγx（y）（V（y）- λc（x，y）- αlnγx（y））dy+λη + αu -ZOhmln p（x）dx与Glasserman和Xu[7]提出的相对熵方法相同，我们推导了问题内部的封闭形式解：supγxZOhmγx（y）（V（y）- λc（x，y）- αlnγx（y））dy（64）值得注意的是，等式64要求agiven x的密度函数px的上确界w.r.t∈ Ohm. 该问题的解决方案如下（为了一致性，我们将λ替换为其逆γ）：γ*x（y）=expV（y）α-c（x，y）αβROhm经验值V（z）α-c（x，z）αβdz（65）最坏情况概率密度函数是由转移密度函数γ诱导的y的边缘分布*x（y）：p*（y） =ZOhmp（x）γ*x（y）dx=ZOhmdxp（x）扩展V（y）α-c（x，y）αβROhm经验值V（z）α-c（x，z）αβdz（66）式25的推导方法类似。由于我们将熵约束方程16提升为相对熵约束方程19，内部问题方程64需要稍加修改：supγxZOhmγx（y）V（y）- λc（x，y）- αlnγx（y）q（y）dy（67）该问题与Glasserman和Xu的工作中给出的上确界问题具有相同的公式，因此具有相同的解γ*x（y）=q（y）expV（y）α-c（x，y）αβROhmq（z）扩展V（z）α-c（x，z）αβdz（68）该方程与公式65的区别仅在于先验分布q。它将公式65作为其特例，其中q为均匀分布。将过渡敏感度（等式68）边缘化，得到了等式25.6.3 C中所示的最坏情况分布。

跳跃风险和方差风险在差异模型下，资产的对数回报遵循正态分布，平均值为uT，方差为σT，其中σ为波动率，T为到期时间，该过程的漂移系数假定为u+σ/2。返回x isp（x）的概率密度函数=√2πσe-（十）-uT）2σT（69）假设线性损失函数V（x）=x和二次运输成本函数c（x，y）=（x），应用等式21，可以获得最坏情况度量的概率密度函数- y） ，q*（y）∝ZOhmp（x）膨胀yα-（十）- y） αβ经验值xαdx=ZOhm经验值y- xα-（十）- y） αβ-（十）- uT）2σTdx公司∝经验值-（y）- uT- β/2）2σT+αβ！（70）与KL散度给出的结果不同，公式70不仅移动了分布的平均值，而且由于额外的不确定性，还扩大了方差。关于σ→ 0时，最坏情况度量不再是Dirac度量，表明考虑了跳跃风险：limσ→0季度*（y）∝ 经验值-（y）- uT- β/2)αβ!（71）这得出等式38。或者，可以首先推导公式37，然后替换v（x）=x，得到公式38。公式37通过替换p（x）=δ（x- uT）等于。21:q*（y） =ZOhmδ（x- uT）膨胀V（y）α-（十）-y） αβROhm经验值V（z）α-（十）-z） αβdzdx（72）=经验V（y）α-（y）-uT）αβROhm经验值V（z）α-（z）-uT）αβdz（73）现在我们采用二次型损失函数，V（x）=（x- uT），遵循类似于公式70的程序，我们得到*（y）∝ 经验值-（y）- uT）2σT（1-β)+αβ(1-β)!（74）最坏情况度量的方差为σWT=σT（1- β)+αβ2(1 - β） （75）如等式40所示。我们可以验证度量值Q*公式74给出的Does提供了所有合法替代措施中最大的方差。

实际上，x在Q下的方差*isEQ公司*x个- 均衡器*（十）= 均衡器*h（x- uT）i（76）根据最坏情况模型的定义，对于所有Q∈ M（法定替代措施的空间）我们有eq*h（x- uT）i≥EQh（x- uT）i（77）=EQhx个- 等式（x）我+等式（x）- uT(78)≥EQhx个- 等式（x）i（79）这证实了公式75确实是最坏情况（最大）方差。6.4 D.最坏情况下的投资组合差异为了确定最坏情况下的投资组合差异，我们需要使用公式6和公式41给出的损失（目标）函数来公式化问题。可通过将损失函数代入等式21来评估最坏情况度量。在本节中，我们将逐步介绍计算。首先，我们需要将运输成本函数c（x，y）指定为等式43中引入的内积：c（x，y）=| | y- x | |=（y- x） TB（y- x） （80）然后我们评估等式21中的以下部分：expV（y）α-c（x，y）αβ= 经验值Y天α-（y）- x） TB（y- x） αβ= 经验值αβxTB（B）- βA）-1.- 我Bx公司-αβy- （B）- βA）-1倍T（B- βA）y- （B）- βA）-1倍（81）请记住，A和B都是对称的正定义矩阵。固定x，公式81与多元正态变量Y的概率密度函数成正比，其均值和协方差矩阵x（Y）=（B- βA）-1Bx（82）∑（Y）=αβ（B- βA）-1（83）这意味着在归一化w.r.t y后，等式81给出了y的概率密度函数。我们可以通过注意到y存在于n维向量空间中来明确地写下这一点，即。Ohm = 五： 经验值V（y）α-c（x，y）αβRVexpV（y）α-c（x，y）αβdy（84）=（2π）-nrαβ| B- βA | exp-y- （B）- βA）-1倍T（B- βA）αβy- （B）- βA）-1倍现在我们需要计算公式84和标称分布p（x）的乘积。标称分布为多变量正态分布，平均u和协方差矩阵∑：p（x）=（2π）-n∑exp-（十）- u）T∑-1（x- u)（85）产品包含x和y的许多术语。

人们可以重新排列这些项来分离x:p（x）exp的二次项和线性项V（y）α-c（x，y）αβRVexpV（y）α-c（x，y）αβdy公司∝经验值-αβy- （B）- βA）-1倍T（B- βA）y- （B）- βA）-1倍-（十）- u）T∑-1（x- u)∝经验值-αβ（十）- Ku- Ly）TM（x- Ku- Ly）- （Ku+Ly）TM（Ku+Ly）-αβyT（B- βA）y（86）其中m：=B（B- βA）-1B+αβ∑-1K：=αβM-1Σ-1L：=米-1B（87）固定y，式86与多变量变量X的概率密度函数成正比，其中e（X）=Ku+Ly（88）∑（X）=αβM-1（89）以下积分zvexp-αβ（x）- Ku- Ly）TM（x- Ku- Ly）dy=αβ（2π）-n | M|-1（90）是常数，与y无关。将等式86与x积分得到最坏情况下的概率密度函数q*（y） ：q*（y） =ZVdxp（x）expV（y）α-c（x，y）αβROhm经验值V（y）α-c（x，y）αβdy公司∝ZVexp公司-αβ（x- Ku- Ly）TM（x- Ku- Ly）dx×expαβ（Ku+Ly）TM（Ku+Ly）-αβyT（B- βA）y∝经验值αβ（Ku+Ly）TM（Ku+Ly）-αβyT（B- βA）y= exp“αβαβΣ-1u+由TM公司-1.αβΣ-1u+由- yT（B- βA）y#∝经验值-y- B（B- βA）-1uT∑*-1.y- B（B- βA）-1u（91）其中∑*-1=αβBTM公司-1B级- （B）- βA）=αβ（B）- βA）-1+αβB-1Σ-1B级-1.-1.- （B）- βA）=αβ（B）- βA）-1+αβB-1Σ-1B级-1.-1.我-I+αβB-1Σ-1B级-1（B）- βA）!=（B）- βA）-1+αβB-1Σ-1B级-1.-1.（B）- βA）-1B∑B-1=（B）- βA）-1B∑B（B- βA）-1+αβ（B- βA）-1.-1Eq。91表明最坏情况分布仍然是多元正态分布。均值向量和协方差矩阵分别由uW=（B）给出- βA）-1Bu（92）∑W=（B- βA）-1B∑B（B- βA）-1+αβ（B- βA）-1（93）关于等式92的一个有趣的观察结果是，最坏情况下的度量可以由保留度量的线性映射生成。

事实上，对于资产回报的任何向量v，线性映射g给出sg（v）=（B- βA）-1Bv=（I- βB-1A）-1v（94）我们记下了参考度量byf（v）的概率密度函数∝ 经验值-（五）- u）T∑-1（v- u)（95）由保测度映射g给出的测度具有与f（g）成比例的概率密度函数-1（v）），f（g-1（v））∝经验值-（一）- βB-1A）v- uT∑-1.（一）- βB-1A）v- u= 经验值-v- （一）- βB-1A）-1uT（I- βB-1A）∑-1（一）- βB-1A）（一）- βB-1A）v- u= 经验值-（五）- u）T ∑-1（v- ~u)（96）式中￠u：=我- βB-1A级-1u (97)~Σ :=我- βB-1A级-1Σ我- βB-1A级-1（98），精确地表示等式92中给出的平均值和协方差矩阵（α=0）。因此，我们通过应用度量preservingmap g.6.5 E生成最坏情况度量。多元正态分布的支持在本节中，我们讨论了参考度量P的支持，假设资产回报遵循多元正态分布。此外，我们想看看不同的模型风险度量方法是如何改变它的。显然，基于f-分歧的方法不能改变支持度，因为它们只考虑与标称值相等的度量值。但这个结论并没有明确告诉我们支持什么。在以下工作中，我们旨在找到支持度量的线性子空间。从形式上讲，n个资产的回报形成了一个存在于n维拓扑向量空间V中的n维向量。如果资产回报遵循具有非奇异协方差矩阵的多变量正态分布，则支持是整个空间V。然而，如果协方差矩阵是奇异的，该支持只能是V的一部分。我们将找到该支持并证明它是am维线性子空间，其中m是协方差矩阵的秩。资产收益参考模型定义了一个概率空间（V，F，P），其中F是V上的Borelσ-代数。

由于V是一个向量空间，我们可以考虑它的对偶空间V*, i、 e.线性映射的空间a:V→ R、 对偶空间的任何元素都被视为投资组合权重的向量。要看到这一点，假设资产回报率为v=（v，v，····，vn）∈ 五、 投资组合权重为a=（a，a，···，an）∈ 五、*.a和v的配对会产生一个实数，这正是portfolioreturn：a（v）=nXj=1ajvj（99）。如果我们将资产收益视为随机变量，我们可以在给定的权重向量a上计算PortfolioInvenue∈ V乘以Var（a（V））=等于∑a，其中∑是资产回报的方差矩阵。为方便起见，我们对随机变量向量（随机向量）及其实现（即V中的特定元素）使用相同的符号V。现在将正半有限矩阵∑作为线性映射∑：V*→ 五： ∑（a）=∑a∈ 五、一∈ 五、*（100）投资组合方差是通过应用线性映射a：V形成的→ R至∑（a）∈ 五： Var（a（V））=a（∑（a））。如果平方矩阵∑是奇异的，则其核ker∑不是平凡的（即包含零向量以外的元素）。五、*因此可以分解为两个子空间：V*= ker∑⊕ ker∑⊥（101）假设ker∑⊥具有维数n。ker∑具有维数m- n对于子空间的维数，求和为V的维数*. 我们可以切换到一个新的正交基{e*, e*, ··· , e*m、 k级*, k*, ··· , k*m级-n} 与分解方程一致。101，在这个意义上，e*, e*, ··· , e*mspan ker∑⊥和k*, k*, ··· , k*m级-nspanker∑。现在回到资产收益的原始空间V，我们可以选择一个新的基础{e，e，···，em，k，k，··，km-n} ，双到{e*, e*, ··· , e*m、 k级*, k*, ··· , k*m级-n} ，即*i（ej）=δi-jk公司*i（kj）=δi-日本脑炎*i（kj）=0k*i（ej）=0任何v∈ V可以用V=mXi=1iei+m表示-nXi=1wiki（102）假设U表示e，e，·····，em所跨越的线性子空间。U实际上是ker∑的二次空间⊥.

我们将证明，参考测度P的支持度是指线性子空间U被平均资产收益向量u移动：定理给定一个有限维拓扑向量空间V及其Borelα代数F，测度P对（V，F）的支持度是{V∈ 五：五- u ∈ U} 如果P提供多变量分布N（u，∑）。每v的证明∈ ker∑，考虑a（v）的方差（v是一个随机向量）：Var（a（v））=aT∑a=0（103）。零方差意味着a将v上的度量P带到狄拉克度量Paon RPa（a）=P（a-1（A）），A.∈ {A R：a-1（A）∈ F} （104）假设supp（Pa）={sa}，其中sa∈ R、 我们可以证明supp（P）应该只包括V中投影到sa的元素。更正式地说，使用projectionmap P:V→ ker∑，我们有{v∈ 五：一∈ ker∑，a（v）6=sa}∩ supp（P）= （105）事实上，对于给定的v∈ 五、 假设存在∈ ker∑使得a（v）6=s.a（v）不在supp（≈P）中，表明存在开放邻域Na（v） r使Pa（Na（v））=0。由于线性映射a是连续的，因此-1（Na（v））是v和p（a）的一个开放邻域-1（Na（v））=Pa（Na（v））=0（106），因此，v 6∈ supp（P），证明等式105。现在我们考虑集合S：={v∈ V:a（V）=sa，一∈ ker∑}。对于给定的NVS∈ S、 每v∈ S满意度（v- vs）=a（v）- a（vs）=0，一∈ ker∑（107）表明v- vs公司∈ U、 因此S={v∈ 五：五- vs公司∈ U} 。将U看作V的具有相对拓扑的原子线性子空间。~F是U上的Borelσ-代数。我们可以通过~P（a）定义一个新的概率空间（U，~F，~P∩ U） =P（A），A.∈ F（108）可以验证这个概率空间是定义得很好的。现在我们想展示supp（≈P）=U。事实上，假设这是真的，那么对于任意v∈ 严重开放性邻近区N（v）具有正向测量值：P（N（v））=~P（N（v）∩ U） >0（109）这立即导致结果supp（P）=S。

特别是，根据多元正态分布的性质，supp（P）包括平均资产回报的向量u。这意味着u∈ S、 因此，P的支持可以写为supp（P）=S={v∈ 五：五- u ∈ U} 。现在我们只需要显示supp（≈P）=U。考虑投影贴图P:V→ 发送v=（U，U，···，um，w，w，··，wm-n） 到u=（u，u，····，um）。投影结果是边际分布w.r.t u，u，····，um。这个边际分布表征了子空间U上的一个测度：P（a）=P（P-1（A）），A.∈ {A U：P-1（A）∈ F} （110）对于任何A∈ F、 P（A∩ U） =P（P-1（A∩ U） ）=▄P（P-1（A∩ U）∩ U） =▄P（A∩ U） （111）因此，这两个度量值P和Pcoincide，我们只需要证明supp（P）=U。投影P的边际分布显然是多元正态分布（U中元素的每个线性组合也是v中元素的线性组合∈ P-1（u）正态分布）。截断随机向量u的协方差矩阵∧∑是可逆的。实际上，因为∑（a）不是每个非零a的零向量∈ ker∑⊥, 两个m维向量空间∑| ker∑之间的线性映射⊥: ker∑⊥→ ∑（ker∑）⊥) 是可逆的。由m×m矩阵表示，∑| ker∑⊥只有非零特征值。因为它也是正的半定义（对于Var（a（v））=a（∑（a））≥ 0, 一∈ ker∑⊥ 五、*),它必须是正定义。我们得出结论，对于每个非零∈ ker∑⊥,Var（a（v））=a（∑| ker∑）⊥（a） ）>0。如果我们根据Q展开（v）分量。102，a（v）=mXi=1uia（ei）+m-nXi=1wia（ki）=amXi=1iei！=因此，对于每一个非零a，a（u）（112）在∧∑a=Var（a（u））=Var（a（v））>0处∈ ker∑⊥. 因此，∑a是正定义，因此是可逆的。在测度P下，随机向量u服从多元正态分布，协方差矩阵非奇异。它由整个子空间U支持，即supp（P）=U。

对于多元分布N（u，∑），支持度supp（P）={v∈ 五：五-u ∈U} 仅取决于向量u和∑的核。很明显，在库尔贝克-莱布勒分歧下，最坏情况下的衡量标准得到了同样的支持。事实上，最坏情况下的分布是N（uKL，∑KL），其中uKLand∑KLare给定inEq。46、假设θ足够小- 2θ∑A是可逆的，∑KLa=0if且仅当∑KL=0对于每个A∈ 五、*. 因此，∑KLand∑共享samekernel，因此共享相同的子空间U 五、 此外，uKL- u ∈ U因为每个a∈ ker∑我们有（uKL- u）=a2θ∑A（I- 2θ∑A）-1u=2θ（a）TA（I- 2θ∑A）-1u=0（113）因此，最坏情况度量的支持度为{v∈ 五：五-uKL∈ U} ={v∈五：五- u ∈ U} ，与参考度量的支持相同。另一方面，瓦瑟斯坦方法得出的最坏情况可能有不同的支持。根据公式44，最坏情况下的协方差矩阵∑通常是一个不同的核。此外，uW-u=βA（B-βA）-1u不依赖于∑，因此不与子空间U相关联。等式44中的设置α=0提供了一个特别有趣的情况，其中最坏情况的度量由保留度量的线性映射g：V给出→ V由等式94给出。因此，可以使用相同的映射获得最坏情况度量的支持，即。v∈ V：g-1（v）- u ∈ U=v∈ 五：（一）- βB-1A）v- u ∈ U=v∈ 五：五- （一）- βB-1A）-1u ∈ {（一）- βB-1A）-1u：u∈ U}= {v∈ 五：五- uW∈ UW}（114）UW：={（I）- βB-1A）-1u：u∈ U} V是线性子空间（垂直于ker∑W），对应于Wasserstein方法下的最坏情况。6.6 F.瓦瑟斯坦方法的验证。6.5表明，在Wasserstein方法下，最坏情况下的措施没有获得支持。现在的问题是，该方法是否会搜索所有替代措施。

与仅能测量等效度量之间距离的f-散度不同，瓦瑟斯坦度量也提供了非等效度量之间的有限距离。因此，Wasserstein方法应该能够从所有等效和非等效度量中找出最坏情况的度量。在本节中，我们将以投资组合方差为例进行验证。特别是，我们将找出最坏情况下的线性映射g*: 五、→ 通过搜索线性映射的整个空间。我们将验证等式46（α=0）可以由最坏情况下的线性映射得到。定理给定一个概率空间（V，F，P），其中V是一个有限维向量空间，P提供一个多元分布N（u，∑），存在一个最坏情况下的线性映射g*: 五、→ 式15中的V，即*（x） =arg最大值∈五、Y日期-（十）- y） TB（x- y） β（115）对于每个非零x∈ 五、 只要B- βA为正定义。给出非零x的证明∈ 五、 每个非零y∈ V可以用y=g（x）表示，其中g是一些线性映射（不是唯一的）g:V→ 五、 因此，等式115的问题等价于*（x） =arg最大值∈L（V，V）“g（x）标签（x）-（十）- g（x））TB（x- g（x））β#（x）（116），其中L（V，V）是从V到V的所有线性映射的空间。选择V的正交基允许我们用平方矩阵表示g，用矩阵乘法gx表示线性映射g（x）。然后将等式116中方括号内的表达式转换为（gx）TAgx-（十）- gx）TB（x- gx）β=-βxT燃气轮机- B（B- βA）-1.（B）- βA）g级- （B）- βA）-1B级x（117）-βxTB- B（B- βA）-1B级X自B起-βA为正定义，式117中的第一项为零或负。当且仅当g级- （B）- βA）-1B级x=0（118）或等效yg（x）=（B- βA）-1Bx（119）这允许通过g重写等式116*（x） =（B- βA）-1Bx（120）线性映射g*由平方矩阵（B）给出- βA）-1B满足等式。

120和120求出每个非零x的等式116∈ 五、值得注意的是，在投资组合方差风险问题中，平方矩阵A和B都是对称的正定义。因此，如果正乘数β足够小，B-βA也是满足上述定理假设条件的正定义。现在最坏情况下的线性映射g*将资产回报向量从u转换为（B- βA）-1Bu，协方差矩阵从∑到（B-βA）-1B∑B（B-βA）-1，与等式46中给出的表达式相同（α=0）。这验证了Wasserstein方法确实搜索线性映射的整个空间L（V，V）。它产生了一个对应于最坏情况线性映射g的度量值*.6.7 G.稳健MVO投资组合（Kullback-Leibler散度）根据等式54，我们考虑问题Maxq∈墨西哥当量（十）- u - k） TaaT（X- u - k）（121）自X起-u -k~ N个(-k、 ∑），在Kullback-Leibler散度下，协方差矩阵和最坏情况度量的平均值根据等式46给出（记住aTk=λ/2）∑KL=（I- 2θ∑A）-1∑（122）uKL=（u+k）- （一）- 2θ∑A）-1k=u- λθ（I- 2θ∑A）-1∑然而，使用Wassertein方法，最坏情况下的度量具有不同的协方差矩阵和平均值（等式44）∑W=（I- βB-1A）-1∑（I- βAB-1)-1（123）uW=（u+k）- （一）- βB-1A）-1k=u-λβ（I-βB-1A）-1B级-1然后，我们可以制定最佳资产配置a*在最坏的情况下。根据公式52，在库尔贝克-莱布勒散度下，问题以以下形式表示。minaaT∑KLa- λaTuKL=aT（I- 2θ∑A）-1∑a- λaT（u- λθ（I- 2θ∑A）-1∑a）=aT∑a- λaTu+θaT∑aλ+2aT∑a+ O（θ）（124）注意，在最后一个等式中，我们应用泰勒展开式（I- 2θ∑A）-1=I+2θ∑A+4θ∑A∑A+····=I+2θ∑A+O（θ）。为了找到闭式解，我们需要忽略高阶项O（θ）。

然后，由一个非线性方程2∑a给出了最小化问题的平稳条件- λu + 2θλ+4aT∑a∑a=0（125）注意*:=λΣ-1u（126）是参考度量下的MVO投资组合权重。对于稳健的MVOportfolio，我们可以考虑其与*. 为此，我们将a=a替换为*+ θb转化为等式125，允许我们取消λu项。2θ∑b+θλλ+λuT∑-1uu+O（θ）=0（127）通过匹配一阶项w.r.tθ，我们找到了b的表达式：b=-λ1+uT∑-1uΣ-1u（128）因此，最坏情况下的最佳MVO组合是isa*吉隆坡=λ-θλ1+uT∑-1uΣ-1u=ca*（129）其中系数c由c定义：=1- θλ1+uT∑-1u（130）稳健的MVO投资组合，作为向量a*KL，与正常的MVOportfolio a平行*. 因此，稳健的MVO投资组合不会改变组件资产的相对权重。事实上，为了考虑模型风险，所有权重都按相同比例（c<1）减少。然而，这对于相关性风险来说是不适当的。例如，两项高度相关的资产在名义MVO投资组合中的权重极高。由于存在相关风险，我们预计稳健的MVO投资组合会将其相对于其他资产的权重较低。稳健MVO投资组合的夏普比率明显等于参考度量值的夏普比率，用S表示（S=puT∑）-1u). 有时我们可能对最坏情况下的夏普比率感兴趣。这要求我们检查等式129给出的稳健MVO投资组合的均值和方差。假设我们处于以下等式给出的最坏情况下。

122，可以通过替换*KL=cλ∑-1u/2：uTKLa*吉隆坡=u - λθ我- 2θ∑a*KLa公司*TKL公司-1∑a*吉隆坡助教*KL（131）=λcuT∑-1u - θλcuT∑-1u+O（θ）（132）a*TKL∑KLa*KL=a*TKL公司我- 2θ∑a*KLa公司*TKL公司-1∑a*KL（133）=λcuT∑-1u+θλc（uT∑）-1u）+O（θ）（134）通过使用等式131中给出的投资组合均值和方差，我们可以计算稳健MVO投资组合的比率（在最坏情况下）：SKL=uTKLa*KLqa公司*TKL∑KLa*KL=2- θλc+O（θ）2+θλcuT∑-1u+O（θ）puT∑-1u=1.-θλccS+2+ O（θ）S（135）我们可以看到，稳健夏普比率（定义为最坏情况下稳健MVO投资组合的夏普比率）是名义夏普比率S的函数。MVO投资组合对应于c=1，比最坏情况下稳健MVO投资组合（c<1）的夏普比率减少更多。然而，这种简单的关系不再适用于瓦瑟斯坦方法。6.8 H.稳健的MVO投资组合（Wasserstein方法）在本节中，我们将切换到Wasserstein方法来进行模型风险度量。我们将使用Wasserstein方法得出稳健的MVO投资组合。使用公式123，我们可以用以下形式描述稳健投资组合优化问题：minaaT∑Wa- λaTuW=aT（I- βB-1A）-1∑（I- βAB-1)-1a级- λaTu -λβ（I-βB-1A）-1B级-1a级=在∑a- u+β时的λ2 TB-1aaT∑a+λaTB-1a级+ O（β）（136）忽略高阶项，使用2∑a解决最小化问题- λu + β4aTB-1a∑a+（4aT∑a+λ）B-1a级= 0（137）替换a=a*+ βb转化为等式。

137，我们通过匹配β：b=-λuT∑-1B级-1Σ-1u +1+uT∑-1uΣ-1B级-1.Σ-1u（138）因此，Wasserstein方法产生了一个稳健的MVO投资组合，其权重为*W=λ-βλuT∑-1B级-1Σ-1u -βλ1+uT∑-1uΣ-1B级-1.Σ-1u=ca*- Da公司*（139）其中c是系数，而c是由c定义的方阵：=1-βλuT∑-1B级-1Σ-1uD：=βλ1+uT∑-1uΣ-1B级-1： =d∑-1B级-1（140）c正好是Kullback-Leibler散度下的系数，将投资组合权重减少了相同的分数。D是一个矩阵，用于线性转换正常MVO投资组合权重。等式139正确地解释了相关性风险。当两项资产高度相关时，∑接近单数。这导致在正常MVO投资组合下的权重非常大。另一方面，等式139不仅通过系数c同时缩放权重，还通过线性映射D减少高度相关资产的相对权重。为了了解线性映射D如何改变相对权重，我们可以将等式139重新安排为以下形式：a*W=λ∑（cI- D）-1.-1u（141）因此，稳健的MVO投资组合与具有有效协方差矩阵∑的正常MVO投资组合具有相同的权重*= ∑（cI- d∑-1B级-1)-1（142）我们可以通过归纳法证明，∑v=xv（x和v分别是特征值和特征向量）导致每个整数n的∑nv=xv。也就是说，只有当x是与相同特征向量相关的∑n的特征值时，x才是∑的初始值。

因此，对于正有限协方差矩阵的每个特征值x>0，存在有效协方差矩阵的相应特征值（这里我们只考虑B是单位矩阵I的特殊情况）∑*v=∑（cI- d∑-1)-1v=c∞Xi=0dc公司i∑1-iv=c∞Xi=0dc公司ix1-iv=xc- d/xv（143）对应的特征值x*:=xc公司- d/x=x+βλ1+uT∑-1u+uT∑-1B级-1Σ-1u+ O（β）（144）根据方程式144调整任何接近零的特征值x，从而得到相应的特征值x*至少与βλ/2一样大。这将导致有效矩阵∑*这比∑少“奇异”，因此是一个稳健的MVOportfolio，可以解释相关风险。图10：特征值x*有效协方差矩阵∑的*当原始特征值x接近零时，增加的幅度更大。参考文献[1]Syed Mumtaz Ali和Samuel D Silvey。一种分布与另一种分布的一般差异系数。皇家统计学会杂志。B系列（方法学），第131-142页，1966年。[2] I Csisz等人，《概率分布和间接观测差异的信息类型度量》。科学研究院。数学匈牙利。，2:299–318, 1967.[3] 阿米尔·艾哈迈迪·贾维德。熵风险价值：一种新的一致性风险度量。优化理论与应用杂志，155（3）：1105–11232012。[4] C维拉尼。最佳运输——新旧，第338卷，第18页。01 2008.[5] C维拉尼。最佳运输——新旧，第338卷，第22页。01 2008.[6] 托马斯·M·掩护，乔伊·A·托马斯。信息论要素。JohnWiley&Sons，2012年。[7] 保罗·格拉斯曼和徐兴波。稳健的风险度量和模型风险。《定量金融》，14（1）：29–582014年。[8] Gurdip Bakshi和Nikunj Kapadia。Delta对冲收益和负市场波动性风险溢价。《金融研究评论》，16（2）：527–5662003。[9] 布恩辛洛和张少军。

波动性风险溢价嵌入了收益期权。《金融与定量分析杂志》，40（4）：803–8322005。[10] 彼得·卡尔和刘仁武。分析波动率风险和操作合同的风险溢价：一种新理论。《金融经济学杂志》，120（1）：1–202016。[11] Tim Bollerslev、George Tauchen和Hao Zhou。预期股票收益和差异风险溢价。《金融研究评论》，22（11）：4463–44922009。[12] Yacine Ait Sahalia、Mustafa Karaman和Loriano Mancini。方差掉期和风险溢价的期限结构。2015